عدد مختلط عددی به شکل z =x + i * y است که x و y واقعی هستند شمارهو i = واحد خیالی (یعنی عددی که مربع آن -1 است). برای تعریف نمایندگی بحث و جدلجامع شماره، باید به یک عدد مختلط در صفحه مختلط در سیستم مختصات قطبی نگاه کنید.

دستورالعمل ها

1. صفحه ای که مجتمع های پیچیده در آن نمایش داده می شوند شماره، پیچیده نامیده می شود. در این صفحه، محور افقی توسط واقعی اشغال شده است شماره(x)، و محور عمودی خیالی است شماره(y). در چنین صفحه ای، عدد با دو مختصات z = (x، y) داده می شود. در سیستم مختصات قطبی، مختصات یک نقطه مدول و آرگومان است. مدول فاصله |z| است از نقطه ای تا مبدأ آیا یک زاویه را استدلال می نامند؟ بین بردار اتصال نقطه و مقدمه مختصات و محور افقی سیستم مختصات (شکل را ببینید).

2. شکل نشان می دهد که ماژول پیچیده شماره z = x + i * y با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا می شود: |z| =؟ (x^2 + y^2). استدلال بیشتر شماره z به عنوان یک زاویه حاد مثلث یافت می شود - از طریق مقادیر توابع مثلثاتی sin، cos، tan:sin؟ =y/؟ (x^2 + y^2),cos ? = x /؟ (x^2 + y^2)، tg ? = y/x.

3. فرض کنید عدد z = 5 * (1 + ?3 * i) داده شود. اول از همه قسمت های واقعی و خیالی را انتخاب کنید: z = 5 +5 * ?3 * i. معلوم می شود که قسمت واقعی x = 5 است و قسمت خیالی y = 5 * ?3 است. محاسبه مدول شماره: |z| = ?(25 + 75) = ?100 = 10. بعد، سینوس زاویه را پیدا کنید؟: sin ? = 5 / 10 = 1 / 2. از آنجا آرگومان را دریافت می کنیم شماره z برابر با 30 درجه است.

4. مثال 2. عدد z = 5 * i داده شود. از روی تصویر می توانید ببینید که زاویه؟ = 90 درجه این مقدار را با استفاده از فرمول بالا بررسی کنید. مختصات این را بنویسید شمارهدر صفحه مختلط: z = (0، 5). مدول شماره|z| = 5. مماس زاویه tg؟ = 5 / 5 = 1. از آنجا به دنبال چیست؟ = 90 درجه

5. مثال 3. فرض کنید باید آرگومان مجموع 2 عدد مختلط z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i را پیدا کنیم. طبق قوانین جمع این دو مجموعه را اضافه می کنید شماره: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. سپس با توجه به نمودار بالا آرگومان را محاسبه کنید: tg? = 9/3 = 3.

توجه داشته باشید!
اگر عدد z = 0 باشد، مقدار آرگومان برای آن تعریف نشده است.

مشاوره مفید
مقدار آرگومان یک عدد مختلط با دقت 2 * ? * k، که در آن k هر عدد صحیحی است. معنای برهان؟ به طوری که -؟

تعریف 8.3 (1).

طول |z| بردار z = (x,y) مدول عدد مختلط z = x + yi نامیده می شود

از آنجایی که طول هر ضلع مثلث از مجموع طول دو ضلع دیگر آن تجاوز نمی کند و قدر مطلق اختلاف طول دو ضلع مثلث کمتر از طول ضلع سوم نیست. ، سپس برای هر دو عدد مختلط z 1 و z 2 نابرابری ها برقرار است

تعریف 8.3 (2).

آرگومان عدد مختلط اگر φ زاویه ای باشد که توسط یک بردار غیرصفر z با محور واقعی تشکیل می شود، آنگاه هر زاویه ای از شکل (φ + 2πn، که n یک عدد صحیح است و فقط یک زاویه از این نوع است، نیز زاویه ای خواهد بود که با بردار z با محور واقعی.

مجموعه تمام زوایای تشکیل شده توسط بردار غیرصفر z = = (x, y) با محور واقعی آرگومان عدد مختلط z = x + yi نامیده می شود و با arg z نشان داده می شود. هر عنصر از این مجموعه، مقدار آرگومان عدد z نامیده می شود (شکل 8.3(1)).

برنج. 8.3 (1).

از آنجایی که یک بردار غیرصفر یک صفحه به طور منحصربه‌فردی با طول و زاویه‌ای که با محور x تشکیل می‌دهد تعیین می‌شود، پس دو عدد مختلط متفاوت از صفر مساوی هستند اگر و فقط در صورتی که مقادیر مطلق و آرگومان‌های آنها برابر باشند.

برای مثال، اگر شرط 0≤φ بر مقادیر آرگومان φ عدد z اعمال شود.<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

تعریف 8.3. (3)

شکل مثلثاتی نوشتن یک عدد مختلط. قسمت های واقعی و خیالی یک عدد مختلط z = x + уi ≠ 0 از طریق مدول آن r= |z| و آرگومان φ به صورت زیر (از تعریف سینوس و کسینوس):

سمت راست این تساوی را شکل مثلثاتی نوشتن عدد مختلط z می نامند. همچنین از آن برای z = 0 استفاده خواهیم کرد. در این مورد، r = 0، و φ می تواند هر مقداری را بگیرد - آرگومان عدد 0 تعریف نشده است. بنابراین، هر عدد مختلط را می توان به صورت مثلثاتی نوشت.

همچنین مشخص است که اگر عدد مختلط z به شکل نوشته شود

سپس عدد r مدول آن است، زیرا

و φ یکی از مقادیر آرگومان آن است

شکل مثلثاتی نوشتن اعداد مختلط می تواند برای استفاده در هنگام ضرب اعداد مختلط راحت باشد؛ به ویژه، به شما امکان می دهد معنای هندسی حاصلضرب اعداد مختلط را پیدا کنید.

بیایید فرمول هایی برای ضرب و تقسیم اعداد مختلط به شکل مثلثاتی پیدا کنیم. اگر

سپس طبق قانون ضرب اعداد مختلط (با استفاده از فرمول سینوس و کسینوس حاصل جمع)

بنابراین، هنگام ضرب اعداد مختلط، مقادیر مطلق آنها ضرب می شود و آرگومان ها اضافه می شوند:

با اعمال این فرمول به صورت متوالی بر روی n عدد مختلط، دریافت می کنیم

اگر همه n عدد مساوی باشند، به دست می آوریم

برای کجا

انجام

از این رو، برای یک عدد مختلط که قدر مطلق آن 1 است (از این رو، شکل دارد

این برابری نامیده می شود فرمول های مویور

به عبارت دیگر، هنگام تقسیم اعداد مختلط، ماژول های آنها تقسیم می شوند.

و آرگومان ها کم می شوند.

مثال 8.3 (1).

روی صفحه مختلط C مجموعه ای از نقاط را که شرایط زیر را برآورده می کند رسم کنید:

که نشان دهنده یک عدد مختلط $z=a+bi$ است، مدول عدد مختلط داده شده نامیده می شود.

مدول یک عدد مختلط داده شده با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

مثال 1

مدول اعداد مختلط داده شده را محاسبه کنید $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

ما مدول یک عدد مختلط $z=a+bi$ را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

برای عدد مختلط اصلی $z_(1) =13$، $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2)) = \sqrt (169) = 13 دلار

برای عدد مختلط اصلی $\، z_(2) =4i$، $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) را بدست می آوریم. ) = \sqrt(16) =4$

برای عدد مختلط اصلی $\، z_(3) =4+3i$، $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

تعریف 2

زاویه $\varphi $ تشکیل شده توسط جهت مثبت محور واقعی و بردار شعاع $\overrightarrow(OM) $ که مربوط به عدد مختلط $z=a+bi$ است، آرگومان این عدد نامیده می شود. با $\arg z$ نشان داده می شود.

یادداشت 1

مدول و آرگومان یک عدد مختلط معین به صراحت هنگام نمایش یک عدد مختلط به صورت مثلثاتی یا نمایی استفاده می شود:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - فرم مثلثاتی.
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - شکل نمایی.

مثال 2

یک عدد مختلط را به شکل مثلثاتی و نمایی بنویسید که با داده های زیر به دست می آید: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) داده‌های $r=3;\varphi =\pi $ را در فرمول‌های مربوطه جایگزین کنید و دریافت کنید:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - فرم مثلثاتی

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - شکل نمایی.

2) داده‌های $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ را در فرمول‌های مربوطه جایگزین کنید و دریافت کنید:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - فرم مثلثاتی

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - فرم نمایی.

مثال 3

مدول و آرگومان اعداد مختلط داده شده را تعیین کنید:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

مدول و آرگومان را با استفاده از فرمول هایی برای نوشتن یک عدد مختلط داده شده به ترتیب به شکل مثلثاتی و نمایی پیدا خواهیم کرد.

\ \

1) برای عدد مختلط اصلی $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ را بدست می آوریم .

2) برای عدد مختلط اولیه $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ ما $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $ را بدست آورید.

3) برای عدد مختلط اولیه $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4)) $$r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) برای عدد مختلط اصلی $z=13\cdot e^(i\pi ) $$r=13;\varphi =\pi $ را بدست می آوریم.

آرگومان $\varphi $ یک عدد مختلط $z=a+bi$ را می توان با استفاده از فرمول های زیر محاسبه کرد:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

در عمل، برای محاسبه مقدار آرگومان یک عدد مختلط $z=a+bi$، معمولاً از فرمول استفاده می شود:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ پی، a

یا یک سیستم معادلات را حل کنید

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(آرایه)\right. $. (**)

مثال 4

آرگومان اعداد مختلط داده شده را محاسبه کنید: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

چون $z=3$، پس $a=3،b=0$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با استفاده از فرمول (*) محاسبه کنیم:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

چون $z=4i$، پس $a=0،b=4$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با استفاده از فرمول (*) محاسبه کنیم:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

چون $z=1+i$، پس $a=1,b=1$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با حل سیستم (**) محاسبه کنیم:

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2)) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(array)\right. .\]

از درس مثلثات مشخص می شود که $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ برای زاویه مربوط به ربع مختصات اول و برابر با $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

از آنجایی که $z=-5$، سپس $a=-5،b=0$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با استفاده از فرمول (*) محاسبه کنیم:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

از آنجایی که $z=-2i$، سپس $a=0،b=-2$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با استفاده از فرمول (*) محاسبه کنیم:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

تبصره 2

عدد $z_(3)$ با نقطه $(0;1)$ نشان داده می شود، بنابراین، طول بردار شعاع مربوطه برابر با 1 است، یعنی. $r=1$ و آرگومان $\varphi =\frac(\pi )(2) $ مطابق تبصره 3.

عدد $z_(4)$ با نقطه $(0;-1)$ نشان داده می شود، بنابراین، طول بردار شعاع مربوطه 1 است، یعنی. $r=1$ و آرگومان $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ مطابق تبصره 3.

عدد $z_(5) $ با نقطه $(2;2)$ نشان داده می شود، بنابراین، طول بردار شعاع مربوطه برابر است با $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $، یعنی. $r=2\sqrt(2) $ و آرگومان $\varphi =\frac(\pi )(4) $ با خاصیت مثلث قائم الزاویه.

عدد مختلط عددی به شکل z =x + i * y است که x و y واقعی هستند شمارهو i = واحد خیالی (یعنی عددی که مربع آن -1 است). برای تعریف مفهوم بحث و جدلجامع شماره، لازم است یک عدد مختلط در صفحه مختلط در سیستم مختصات قطبی در نظر گرفته شود.

دستورالعمل ها

صفحه ای که مجتمع های پیچیده در آن نمایش داده می شوند شماره، پیچیده نامیده می شود. در این صفحه، محور افقی توسط واقعی اشغال شده است شماره(x)، و محور عمودی خیالی است شماره(y). در چنین صفحه ای، عدد با دو مختصات z = (x، y) داده می شود. در سیستم مختصات قطبی، مختصات یک نقطه مدول و آرگومان است. مدول فاصله |z| است از نقطه ای تا مبدأ آرگومان زاویه بین بردار اتصال نقطه و مبدا و محور افقی سیستم مختصات است (شکل را ببینید).

شکل نشان می دهد که ماژول پیچیده شماره z = x + i * y با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا می شود: |z| =؟ (x^2 + y^2). استدلال بعدی شماره z به عنوان یک زاویه حاد مثلث یافت می شود - از طریق مقادیر توابع مثلثاتی sin، cos، tg:sin = y / ? (x^2 + y^2)،
cos = x / ? (x^2 + y^2)،
tg = y/x.

به عنوان مثال، اجازه دهید عدد z = 5 * (1 + ?3 * i) داده شود. اول از همه قسمت های واقعی و خیالی را انتخاب کنید: z = 5 +5 * ?3 * i. معلوم می شود که قسمت واقعی x = 5 است و قسمت خیالی y = 5 * ?3 است. محاسبه مدول شماره: |z| = ?(25 + 75) = ?100 = 10. بعد، سینوس زاویه را پیدا کنید: sin = 5 / 10 = 1 / 2. این آرگومان را نشان می دهد شماره z برابر با 30 درجه است.

مثال 2. عدد z = 5 * i داده شود. شکل نشان می دهد که زاویه 90 درجه است. این مقدار را با استفاده از فرمول بالا بررسی کنید. مختصات این را بنویسید شمارهدر صفحه مختلط: z = (0، 5). مدول شماره|z| = 5. مماس زاویه tg = 5 / 5 = 1. نتیجه می شود که = 90 درجه.

مثال 3. لازم است آرگومان مجموع دو عدد مختلط z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i را پیدا کنیم. طبق قوانین جمع این دو مجموعه را اضافه می کنید شماره: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. سپس، با استفاده از نمودار بالا، آرگومان را محاسبه کنید: tg = 9 / 3 = 3.