معادلات دیفرانسیل حرکت معادلات دیفرانسیل حرکت نقطه مادی مقدمه ای بر دینامیک. مقررات اساسی

پویایی شناسی

کتاب درسی الکترونیک رشته: مکانیک نظری

برای دانش آموزان فرم مکاتبهآموزش

مطابق با استاندارد آموزشی فدرال است

(نسل سوم)

سیدوروف V.N.، دکترای علوم فنی، پروفسور

دانشگاه فنی دولتی یاروسلاول

یاروسلاول، 2016

معرفی…………………………………………………………………………………

پویایی شناسی…………………………………………………………………..

1. مقدمه ای بر دینامیک. مقررات اساسی…………………………

1.1. مفاهیم و تعاریف اساسی………………………………

1.2. قوانین نیوتن و مسائل دینامیک…………………………………

1.3. انواع اصلی نیروها……………………………………………………………. ...........

نیروی گرانش……………………………………………………………………

جاذبه زمین ………………………………………………………..

نیروی اصطکاک……………………………………………………

نیروی کشسان……………………………………………………………………………

1.4.معادلات دیفرانسیلحرکات………………………..

معادلات دیفرانسیل حرکت یک نقطه………………..

معادلات دیفرانسیل حرکت مکانیکی

سیستم های……………………………………………………….

2. قضایای عمومی دینامیک………………………. ………………………

2.1. قضیه حرکت مرکز جرم ………………………..…………………

2.2. قضیه تغییر در حرکت ………………………

2.3. قضیه تغییر در تکانه زاویه ای…………

قضیه لحظه……………………………………………………………………

گشتاور جنبشی یک جسم صلب………………………………

گشتاور محوری اینرسی جسم صلب ………………………………

قضیه هویگنز – اشتاینر – اویلر……………………………..

معادله دینامیک حرکت چرخشی جسم صلب...

2.4. قضیه تغییر انرژی جنبشی……………………..

قضیه تغییر انرژی جنبشی یک ماده

نکته ها……………………………………………………………….

قضیه تغییر انرژی جنبشی مکانیکی

سیستم های………………………………………………………

فرمول های محاسبه انرژی جنبشی یک جسم جامد

در موارد مختلف حرکت………………………………………………………

نمونه هایی از محاسبه کار نیروها……………………………………

2.5 قانون پایستگی انرژی مکانیکی…………………………

معرفی

«کسی که با قوانین مکانیک آشنا نیست

او نمی تواند طبیعت را بشناسد"

گالیله گالیله

اهمیت مکانیک، نقش پررنگ آن در بهبود تولید، افزایش کارایی آن، تسریع روند علمی و فنی و معرفی پیشرفت های علمی، افزایش بهره وری نیروی کار و ارتقای کیفیت محصولات، متأسفانه برای همه روسای وزارتخانه ها و ادارات به وضوح درک نشده است. ، بالاتر موسسات آموزشی، و همچنین آنچه که مکانیک روزهای ما نشان می دهد /1/. به عنوان یک قاعده، بر اساس محتوای مکانیک نظری که در همه موسسات آموزشی فنی عالی مورد مطالعه قرار می گیرد، قضاوت می شود.

دانشجویان باید بدانند که مکانیک نظری به عنوان یکی از رشته های اساسی مهندسی آموزش عالی، پایه علمی مهم ترین بخش ها چقدر است. فن آوری پیشرفته، نوعی پل ارتباطی ریاضی و فیزیک با علوم کاربردی، با یک حرفه آینده. در کلاس های در مکانیک نظریبرای اولین بار به دانش آموزان تفکر سیستمی و توانایی طرح و حل مسائل عملی آموزش داده می شود. آنها را تا انتها، تا نتیجه عددی حل کنید. یاد بگیرید که یک راه حل را تجزیه و تحلیل کنید، محدودیت های کاربرد آن و نیاز به دقت داده های منبع را تعیین کنید.

برای دانشجویان به همان اندازه مهم است که بدانند مکانیک نظری تنها یک مقدمه، هرچند کاملاً ضروری، بخشی از بنای عظیم مکانیک مدرن به معنای وسیع این علم بنیادی است. که در سایر شاخه‌های مکانیک توسعه می‌یابد: استحکام مواد، نظریه صفحات و پوسته‌ها، نظریه ارتعاشات، تنظیم و پایداری، سینماتیک و دینامیک ماشین‌ها و مکانیزم‌ها، مکانیک مایع و گاز، مکانیک شیمیایی.

دستاوردها در تمام بخش های مهندسی مکانیک و ابزارسازی، صنعت ساختمان و مهندسی هیدرولیک، استخراج و فرآوری سنگ معدن، زغال سنگ، نفت و گاز، حمل و نقل راه آهن و جاده، کشتی سازی، هوانوردی و فناوری فضایی مبتنی بر درک عمیق قوانین مکانیک

این کتاب درسی برای دانشجویان رشته های مهندسی مکانیک، رشته های مکانیک خودکار دوره های مکاتبه ای در دانشگاه فنی طبق یک برنامه دوره کوتاه شده در نظر گرفته شده است.

بنابراین، چند تعریف.

مکانیک نظریعلمی است که قوانین کلی حرکت مکانیکی و تعادل اجسام مادی و فعل و انفعالات مکانیکی حاصل از آن بین اجسام مادی را مطالعه می کند.

زیر حرکت مکانیکی یک جسم مادیفهمیدن تغییر موقعیت آن نسبت به سایر اشیاء مادی که در طول زمان رخ می دهد.

زیر تعامل مکانیکیدلالت چنین اعمال اجسام بر روی یکدیگر که در طی آن حرکات این اجسام تغییر می کند یا خود تغییر شکل می دهند (شکل خود را تغییر می دهند).

مکانیک نظری از سه بخش استاتیک، سینماتیک و دینامیک تشکیل شده است.

پویایی شناسی

مقدمه ای بر دینامیک مقررات اساسی

مفاهیم و تعاریف اساسی

اجازه دهید بار دیگر تعریف دینامیک را به عنوان بخشی از مکانیک به شکلی متفاوت فرموله کنیم.

پویایی شناسی – شاخه ای از مکانیک که حرکت اجسام مادی را با در نظر گرفتن نیروهای وارد بر آنها مطالعه می کند.

به طور معمول، مطالعه دینامیک با مطالعه شروع می شود دینامیک یک نقطه مادیو سپس اقدام به مطالعه نمایید دینامیک سیستم مکانیکی.

با توجه به تشابه صورت‌بندی‌های بسیاری از قضایا و قوانین این بخش‌های دینامیک، به منظور جلوگیری از تکرارهای غیرضروری و کاهش حجم متن کتاب درسی، پیشنهاد می‌شود این بخش‌های دینامیک با هم ارائه شوند.

اجازه دهید چند تعاریف را معرفی کنیم.

اینرسی (قانون اینرسی) – خاصیت اجسام برای حفظ حالت سکون یا حرکت انتقالی مستطیلی یکنواخت در غیاب اجسام دیگر (به عنوان مثال در صورت عدم وجود نیرو).

اینرسی - توانایی بدن برای مقاومت در برابر تلاش برای تغییر، با کمک نیروها، حالت استراحت یا یکنواخت آنها حرکت مستقیم .

اندازه گیری کمی اینرسی است وزن(m). استاندارد جرم کیلوگرم (کیلوگرم) است.

نتیجه این است که هر چه جسم بی اثرتر باشد، جرم آن بیشتر است، وضعیت سکون یا حرکت یکنواخت آن تحت تأثیر نیروی معین کمتر تغییر می کند، سرعت جسم کمتر تغییر می کند، یعنی. بدن بهتر می تواند در برابر نیرو مقاومت کند. و بالعکس، هر چه جرم بدن کوچکتر باشد، هر چه حالت استراحت یا حرکت یکنواخت آن تغییر کند، سرعت بدن بیشتر تغییر می کند، یعنی. بدن در برابر نیرو مقاومت کمتری دارد.

قوانین و مسائل دینامیک

اجازه دهید قوانین دینامیک یک نقطه مادی را فرموله کنیم. در مکانیک نظری آنها به عنوان بدیهیات پذیرفته می شوند. اعتبار این قوانین به این دلیل است که بر اساس آنها کل بنای مکانیک کلاسیک ساخته شده است که قوانین آن با دقت زیادی اجرا می شود. نقض قوانین مکانیک کلاسیک فقط در سرعت های بالا (مکانیک نسبیتی) و در مقیاس میکروسکوپی (مکانیک کوانتومی) مشاهده می شود.

انواع اصلی نیروها

قبل از هر چیز، اجازه دهید تقسیم تمام نیروهای موجود در طبیعت را به فعال و واکنش دهنده (واکنش های اتصالات) معرفی کنیم.

فعال نیرویی را نام ببرید که می تواند جسم را در حالت سکون در حرکت قرار دهد.

واکنش اتصال در نتیجه عمل یک نیروی فعال بر یک جسم غیرآزاد ایجاد می شود و از حرکت بدن جلوگیری می کند.. بنابراین، در واقع یک پیامد، یک پاسخ، یک اثر پس از یک نیروی فعال است.

اجازه دهید نیروهایی را که اغلب در مسائل مکانیک با آن مواجه می شوند در نظر بگیریم.

جاذبه زمین

این نیروی جاذبه بین دو جسم که توسط قانون گرانش جهانی تعیین می شود:

که در آن شتاب گرانش در سطح زمین است، عددی برابر با g≈ 9.8 متر بر ثانیه 2، متر- جرم یک جسم یا سیستم مکانیکی که به عنوان مجموع جرم تمام نقاط سیستم تعریف می شود:

بردار شعاع کجاست k-اوه نقطه سیستم مختصات مرکز جرم را می‌توان با بیرون کشیدن هر دو طرف برابری (3.6) روی محورها به دست آورد:

(7)

نیروی اصطکاک

محاسبات مهندسی بر اساس قوانین تجربی ایجاد شده به نام قوانین اصطکاک خشک (در صورت عدم وجود روانکاری)، یا قوانین کولمب:

· هنگام تلاش برای حرکت یک جسم در امتداد سطح جسم دیگر، نیروی اصطکاک ایجاد می شود ( نیروی اصطکاک ساکن ) که مقدار آن می تواند مقادیری از صفر تا مقداری محدود کننده داشته باشد.

· بزرگی نیروی اصطکاک نهایی برابر است با حاصلضرب مقداری ضریب اصطکاک بدون بعد و آزمایشی fبر نیروی فشار عادی ن، یعنی

.

(8)

· با رسیدن به مقدار محدود نیروی اصطکاک ایستا، پس از اتمام خواص چسبندگی سطوح جفت، بدن شروع به حرکت در امتداد سطح نگهدارنده می کند و نیروی مقاومت در برابر حرکت تقریباً ثابت است و به سرعت بستگی ندارد. (در حد معقول). این نیرو نامیده می شود نیروی اصطکاک لغزشی و برابر با مقدار محدود نیروی اصطکاک استاتیکی است.

· سطوح

اجازه دهید مقادیر ضریب اصطکاک را برای برخی اجسام ارائه دهیم:

جدول 1

اصطکاک نورد

عکس. 1

هنگامی که چرخ بدون لیز خوردن می چرخد ​​(شکل 1)، واکنش تکیه گاه کمی به سمت جلو در جهت حرکت چرخ حرکت می کند. دلیل این امر تغییر شکل نامتقارن مواد چرخ و سطح نگهدارنده در ناحیه تماس است. تحت تأثیر نیرو، فشار در لبه B منطقه تماس افزایش می یابد و در لبه A کاهش می یابد. در نتیجه واکنش به مقداری به سمت حرکت چرخ جابه جا می شود ک، تماس گرفت ضریب اصطکاک نورد . یک جفت نیرو روی چرخ وارد می شود و با یک لحظه مقاومت غلتشی در مقابل چرخش چرخ:

در شرایط تعادلی با غلتش یکنواخت، ممان‌های نیرو با یکدیگر متعادل می‌شوند: که از آن تخمینی از مقدار نیروی وارد بر حرکت جسم به دست می‌آید: . (10)

نسبت برای اکثر مواد به طور قابل توجهی کمتر از ضریب اصطکاک است f.این واقعیت را توضیح می دهد که در فناوری، در صورت امکان، آنها سعی می کنند کشویی را با نورد جایگزین کنند.

نیروی الاستیک

این نیرویی است که یک جسم تغییر شکل یافته تلاش می کند تا به حالت اولیه و تغییر شکل نیافته خود بازگردد. اگر مثلاً یک فنر را به اندازه ای کشش دهید λ ، سپس نیروی کشسان و مدول آن به ترتیب برابر است:

.

(11)

علامت منفی در رابطه بردار نشان می دهد که نیرو در جهت مخالف جابجایی هدایت می شود. اندازه بانامیده میشود " سختی "و دارای ابعاد N/m است.

معادلات دیفرانسیل حرکت

معادلات دیفرانسیل حرکت نقطه ای

اجازه دهید به بیان قانون اساسی دینامیک یک نقطه به شکل (3.2) بازگردیم و آن را به صورت معادلات دیفرانسیل برداری از مرتبه 1 و 2 بنویسیم (مشترک با عدد نیرو مطابقت دارد):

(17)

(18)

اجازه دهید برای مثال، سیستم های معادلات (15) و (17) را با هم مقایسه کنیم. به راحتی می توان فهمید که توصیف حرکت یک نقطه در محورهای مختصات به 3 معادله دیفرانسیل مرتبه 2 یا (پس از تبدیل) به 6 معادله مرتبه 1 کاهش می یابد. در عین حال، توصیف حرکت یک نقطه در محورهای طبیعی با سیستم مخلوطی از معادلات، متشکل از یک معادله دیفرانسیل مرتبه 1 (با توجه به سرعت) و دو معادله جبری همراه است.

از اینجا می توان نتیجه گرفت که هنگام تجزیه و تحلیل حرکت یک نقطه مادی، گاهی اوقات حل مسائل اول و دوم دینامیک، فرموله کردن معادلات حرکت در محورهای طبیعی آسان تر است..

اولین یا مستقیم مسئله دینامیک یک نقطه مادی شامل مسائلی است که در آنها با توجه به معادلات حرکت نقطه و جرم آن، باید نیروی (یا نیروهای) وارد بر آن را پیدا کرد.

مسئله دوم یا معکوس دینامیک یک نقطه مادی شامل مسائلی است که بر اساس جرم آن، نیروی (یا نیروهای) وارد بر آن و شرایط اولیه سینماتیکی شناخته شده، لازم است معادلات حرکت آن مشخص شود.

لازم به ذکر است که هنگام حل مسئله اول دینامیک، معادلات دیفرانسیل به معادلات جبری تبدیل می شوند که حل سیستم آن یک کار بی اهمیت است. هنگام حل مسئله دوم دینامیک، برای حل یک سیستم معادلات دیفرانسیل، باید مسئله کوشی را فرموله کرد، یعنی. به اصطلاح به معادلات اضافه کنید شرایط "لبه" در مورد ما، اینها شرایطی هستند که محدودیت هایی را در موقعیت و سرعت در لحظه اولیه (نهایی) زمان یا به اصطلاح ایجاد می کنند. "

از آنجایی که طبق قانون برابری کنش و عکس العمل، نیروهای درونی همیشه جفت هستند (روی هر یک از دو نقطه برهم کنش عمل می کنند)، مساوی، جهت مخالف هستند و در امتداد خط مستقیمی که این نقاط را به هم وصل می کند، عمل می کنند، سپس مجموع آنها به صورت جفت است. برابر با صفر است. علاوه بر این، مجموع گشتاورهای این دو نیرو در مورد هر نقطه نیز صفر است. این به آن معنا است مجموع تمام نیروهای داخلیو مجموع گشتاورهای تمام نیروهای داخلی یک سیستم مکانیکی به طور جداگانه برابر با صفر است:

,

(22)

.

(23)

در اینجا، به ترتیب، بردار اصلی و ممان اصلی نیروهای داخلی، نسبت به نقطه O محاسبه شده است.

برابری های (22) و (23) منعکس می کنند خواص نیروهای داخلی یک سیستم مکانیکی .

اجازه دهید برای برخی ک-مین نقطه مادی یک سیستم مکانیکی، نیروهای خارجی و داخلی به طور همزمان عمل می کنند. از آنجایی که آنها در یک نقطه اعمال می شوند، می توان آنها را به ترتیب با نتایج نیروهای خارجی () و داخلی () جایگزین کرد. سپس قانون اساسی دینامیک کنقطه -ام سیستم را می توان به صورت نوشتاری نوشت ، بنابراین برای کل سیستم به صورت زیر خواهد بود:

(24)

به طور رسمی، تعداد معادلات در (24) با عدد مطابقت دارد nنقاط سیستم مکانیکی

عبارات (24) نشان می دهد معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم به صورت برداری اگر بردارهای شتاب را به ترتیب با مشتقات اول یا دوم بردار سرعت و شعاع جایگزین کنند: با قیاس با معادلات حرکت یک نقطه (15) می توان این معادلات برداری را به سیستم 3 تبدیل کرد. nمعادلات دیفرانسیل مرتبه 2

قضایای عمومی دینامیک

کلی آن دسته از قضایای دینامیک یک نقطه مادی و یک سیستم مکانیکی هستند که قوانینی را ارائه می دهند که برای هر حالت حرکت اجسام مادی در چارچوب مرجع اینرسی معتبر هستند.

به طور کلی، این قضایا پیامدهای حل یک سیستم معادلات دیفرانسیل هستند که حرکت یک نقطه مادی و یک سیستم مکانیکی را توصیف می کنند.

بخش 3. دینامیک.

پویایی شناسی بدن مادی- جسمی که جرم دارد.

نقطه مادی

مواد

آ - بV -

اینرسی

جرم بدن

زور -

,

. آ - ب- - نیروی کشش لوکوموتیو الکتریکی؛ V- -

سیستم اینرسی

جنبش فضا زمان

سیستم

موضوع 1

قانون اول(قانون اینرسی).

جدا شده

مثلا: - وزن بدن، -

- سرعت شروع).

قانون دوم(قانون اساسی دینامیک).

از نظر ریاضی، این قانون با برابری برداری بیان می شود

در طول شتاب، حرکت نقطه به طور یکنواخت متغیر است (شکل 5: آ -حرکت - آهسته؛ ب -حرکت - شتاب، . - جرم نقطه ای، - بردار شتاب، - بردار نیرو، - بردار سرعت).

هنگامی که - نقطه به طور یکنواخت و مستقیم حرکت می کند یا زمانی که - در حالت سکون است (قانون اینرسی). قانون دوم به ما این امکان را می دهد که بین آنها ارتباط برقرار کنیم وزن بدن، واقع در نزدیکی سطح زمین و آن وزن , , شتاب سقوط آزاد کجاست

قانون سوم(قانون برابری کنش و واکنش).

دو مادهنقاط با نیروهایی مساوی از نظر بزرگی و در امتداد خط مستقیمی که این نقاط را در جهات مخالف به هم وصل می کند بر یکدیگر تأثیر می گذارند.

از آنجایی که نیروها به نقاط مختلف اعمال می شود، سیستم نیروها متعادل نیست (شکل 6). در نوبتش - نسبت جرم نقاط برهم کنش با شتاب آنها نسبت معکوس دارد.

قانون چهارم(قانون استقلال عمل نیروها).

شتاب،دریافت شده توسط یک نقطه زمانی که چندین نیرو به طور همزمان روی آن وارد می شود، برابر است با مجموع هندسی آن شتاب هایی که نقطه دریافت می کند وقتی هر نیرو به طور جداگانه به آن وارد شود.

توضیح (شکل 7).نیروی حاصل به صورت . از آنجا که ، آن

مشکل دوم (معکوس).

دانستن جریانبر روی نقطه نیرو، جرم آن و شرایط اولیه حرکت، قانون حرکت نقطه یا هر یک از ویژگی های سینماتیک دیگر آن را تعیین کنید.

اولیهشرایط حرکت یک نقطه در محورهای دکارتی مختصات نقطه، و پیش بینی سرعت اولیه بر روی این محورها و در لحظه زمانی مربوط به شروع حرکت نقطه و برابر با صفر است. .

حل مسائل از این نوع به تدوین معادلات دیفرانسیل (یا یک معادله) حرکت یک نقطه مادی و حل بعدی آنها با انتگرال مستقیم یا استفاده از تئوری معادلات دیفرانسیل خلاصه می شود.

موضوع 2. مقدمه ای بر دینامیک سیستم مکانیکی

2.1. مفاهیم و تعاریف اساسی

مکانیکیسیستم یا سیستمی از نقاط مادی مجموعه ای از نقاط مادی است که با یکدیگر تعامل دارند.

نمونه هایی از سیستم های مکانیکی:

1. یک جسم مادی، از جمله یک جسم کاملاً جامد، به عنوان مجموعه ای از ذرات ماده متقابل. مجموعه ای از جامدات به هم پیوسته؛ مجموعه ای از سیارات در منظومه شمسی و غیره

2. یک دسته از پرندگان در حال پرواز یک سیستم مکانیکی نیست، زیرا هیچ تعامل نیرویی بین پرندگان وجود ندارد.

رایگانسیستم مکانیکی سیستمی است که در آن هیچ اتصالی بر حرکت نقاط تحمیل نمی شود. مثلا:حرکت سیارات منظومه شمسی

غیر رایگانسیستم مکانیکی - سیستمی که در آن اتصالات بر حرکت نقاط تحمیل می شود. مثلا:حرکت قطعات در هر مکانیزم، ماشین و غیره.

طبقه بندی نیروها

طبقه بندی نیروهای وارد بر یک سیستم مکانیکی غیر آزاد را می توان در قالب نمودار زیر ارائه کرد:

خارجینیروها - نیروهایی که بر روی نقاط یک سیستم مکانیکی معین از سیستم های دیگر وارد می شوند.

داخلی- نیروهای برهمکنش بین نقاط یک سیستم مکانیکی.

یک نقطه دلخواه از سیستم (شکل 1) تحت تاثیر قرار می گیرد: - حاصل نیروهای خارجی (شاخص - حرف اول) کلمه فرانسویخارجی - (خارجی))؛ - حاصل نیروهای داخلی (شاخص - از کلمه interieur - (داخلی)). همان قدرت واکنش اتصال، بسته به شرایط کار، می تواند هم خارجی و هم داخلی باشد.

خاصیت نیروهای داخلی

و - نقاط متقابل سیستم مکانیکی (شکل 2). بر اساس قانون سوم دینامیک

از طرف دیگر: . بنابراین، بردار اصلی و ممان اصلی نیروهای داخلی سیستم مکانیکی برابر با صفر است:

بخش 3. دینامیک.

مفاهیم اولیه مکانیک کلاسیک

پویایی شناسی- شاخه ای از مکانیک نظری که در آن حرکت مطالعه می شود بدن های مادی(نقاط) تحت تأثیر نیروهای اعمالی. بدن مادی- جسمی که جرم دارد.

نقطه مادی- جسم مادی که تفاوت حرکت نقاط آن ناچیز است. این می تواند یا جسمی باشد که ابعاد آن در حین حرکت نادیده گرفته شود یا اگر به صورت انتقالی حرکت کند جسمی با ابعاد محدود باشد.

موادبه نقاطی نیز ذراتی گفته می شود که در آنها جامدهنگام تعیین برخی از ویژگی های دینامیکی آن.

نمونه هایی از نقاط مادی (شکل 1): آ -حرکت زمین به دور خورشید زمین یک نقطه مادی است. ب- حرکت انتقالی یک جسم صلب. جسم جامد یک نقطه مادی است، زیرا ; V -چرخش جسم حول یک محور ذره یک جسم یک نقطه مادی است.

اینرسی- خاصیت اجسام مادی که تحت تأثیر نیروهای وارده سرعت حرکت خود را سریعتر یا آهسته تر تغییر دهند.

جرم بدنیک کمیت مثبت اسکالر است که به مقدار ماده موجود در یک جسم معین بستگی دارد و اندازه اینرسی آن را در طول حرکت انتقالی تعیین می کند. در مکانیک کلاسیک جرم یک کمیت ثابت است.

زور- اندازه گیری کمی از اندرکنش مکانیکی بین اجسام یا بین جسم (نقطه) و میدان (الکتریکی، مغناطیسی و غیره). نیرو یک کمیت برداری است که با بزرگی، نقطه اعمال و جهت (خط عمل) مشخص می شود (شکل 2: - نقطه اعمال خط عمل نیرو است).

در دینامیک، همراه با نیروهای ثابت، نیروهای متغیر نیز وجود دارد که می تواند به زمان، سرعت بستگی داشته باشد , فاصله یا از مجموع این مقادیر، یعنی.

نمونه هایی از این نیروها در شکل 1 نشان داده شده است. 3 . آ -- وزن بدن، - نیروی مقاومت هوا؛ ب- - نیروی کشش لوکوموتیو الکتریکی؛ V- - نیروی دافعه از مرکز یا جاذبه به سمت آن.

سیستممرجع - یک سیستم مختصات مرتبط با یک جسم که در رابطه با آن حرکت بدن دیگری مطالعه می شود. اینرسیسیستم - سیستمی که در آن قوانین اول و دوم دینامیک برآورده می شود. این یک سیستم مختصات ثابت یا سیستمی است که به صورت یکنواخت و خطی به صورت انتقالی حرکت می کند.

جنبشدر مکانیک، تغییر در موقعیت جسم در مکان و زمان است. فضادر مکانیک کلاسیک، سه بعدی، تابع هندسه اقلیدسی. زمان- یک کمیت اسکالر که به طور مساوی در هر سیستم مرجع رخ می دهد.

سیستمواحدها مجموعه ای از واحدهای اندازه گیری کمیت های فیزیکی هستند. برای اندازه گیری تمام کمیت های مکانیکی: سه واحد اساسی کافی است: واحد طول، زمان، جرم یا نیرو. سایر واحدهای اندازه گیری کمیت های مکانیکی از این واحدها به دست می آیند. دو نوع سیستم واحد استفاده می شود: سیستم بین المللی واحدهای SI (یا کوچکتر - GHS) و سیستم فنی واحدها - ICG.

موضوع 1. مقدمه ای بر دینامیک یک نقطه مادی.

1.1. قوانین دینامیک یک نقطه مادی (قوانین گالیله-نیوتن)

قانون اول(قانون اینرسی).

جدا شدهاز تأثیرات خارجی، یک نقطه مادی حالت سکون خود را حفظ می کند یا به طور یکنواخت و مستقیم حرکت می کند تا زمانی که نیروهای وارده آن را مجبور به تغییر این حالت کنند.

حرکتی که توسط یک نقطه در غیاب نیرو یا تحت عمل یک سیستم متعادل از نیروها انجام می شود حرکت با اینرسی نامیده می شود.

مثلا:حرکت یک جسم در امتداد یک سطح افقی صاف (نیروی اصطکاک صفر است) (شکل 4: - وزن بدن، - واکنش هواپیمای عادی). از آن به بعد.

وقتی بدن با همان سرعت حرکت می کند; زمانی که بدن در حال استراحت است ( - سرعت شروع).

رایکوف وی.تی.

آموزش. - کراسنودار: دانشگاه ایالتی کوبان، 2006. - 100 ص: 25 ill. بخش اول دوره سخنرانی با تکالیف در مورد مکانیک نظری برای تخصص های فیزیکی آموزش دانشگاهی کلاسیک.
این راهنما نمایانگر بخش دوم مجموعه آموزشی و روش شناختی مکانیک نظری و مکانیک پیوسته است. این شامل نکات سخنرانی برای سه بخش از دوره مکانیک نظری و مکانیک پیوسته است: "معادله دیفرانسیل پایه دینامیک"، "حرکت در یک میدان متقارن مرکزی" و "حرکت چرخشی یک جسم صلب". به عنوان بخشی از مجموعه آموزشی و روش شناسی، این کتابچه راهنمای شامل وظایف کنترلی (گزینه های تست) و سوالات تست نهایی کامپیوتر (امتحان) است. این دوره با یک کتاب درسی الکترونیکی با قطعات سخنرانی (روی دیسک لیزر) تکمیل می شود.
این راهنما برای دانشجویان سال دوم و سوم فیزیک و دانشکده های فیزیک- فنی دانشگاه ها در نظر گرفته شده است؛ ممکن است برای دانشجویان دانشگاه های فنی که در حال مطالعه مبانی مکانیک نظری و فنی هستند مفید باشد.
معادله دیفرانسیل بنیادی دینامیک (قانون دوم نیوتن)
ساختار بخش
شرح حرکت یک نقطه مادی
مسائل دینامیک مستقیم و معکوس
استخراج قانون بقای تکانه از معادله دیفرانسیل پایه دینامیک
استخراج قانون بقای انرژی از معادله دیفرانسیل پایه دینامیک
استخراج قانون بقای تکانه زاویه ای از معادله دیفرانسیل پایه دینامیک
انتگرال های حرکت

تکلیف تست
حرکت در یک میدان متقارن مرکزی
ساختار بخش
مفهوم میدان متقارن مرکزی
سرعت در مختصات منحنی
شتاب در مختصات منحنی
سرعت و شتاب در مختصات کروی
معادلات حرکت در یک میدان متقارن مرکزی
سرعت بخش و شتاب بخش
معادله حرکت یک نقطه مادی در میدان گرانش و میدان کولن
تقلیل مشکل دو تنه به مشکل تک بدنی. کاهش جرم
فرمول رادرفورد
تست با موضوع: سرعت و شتاب در مختصات منحنی
حرکت چرخشی یک جسم صلب
ساختار بخش
مفهوم جسم جامد حرکت چرخشی و انتقالی
انرژی جنبشی یک جامد
تانسور اینرسی
کاهش تانسور اینرسی به شکل مورب
معنای فیزیکی اجزای قطری تانسور اینرسی
قضیه اشتاینر برای تانسور اینرسی
حرکت یک جسم صلب
معادلات حرکت چرخشی یک جسم صلب در یک سیستم مختصات دوار
زوایای اویلر
حرکت در چارچوب های مرجع غیر اینرسی
تست با موضوع: حرکت چرخشی جسم صلب
خواندن توصیه می شود
کاربرد
کاربرد
برخی از فرمول ها و روابط اولیه
نمایه موضوعی

می توانید یک نقد کتاب بنویسید و تجربیات خود را به اشتراک بگذارید. خوانندگان دیگر همیشه به نظر شما درباره کتاب‌هایی که خوانده‌اید علاقه‌مند خواهند بود. چه کتاب را دوست داشته باشید یا نه، اگر افکار صادقانه و دقیق خود را بیان کنید، مردم کتاب‌های جدیدی را پیدا خواهند کرد که برای آنها مناسب است.

N k k = G F(t، r G (t) G، r (t)) k= 1 ∑FG k= 1 کراسنودار 2011 mrG = n k = 1 k n k = 1 k k = 1 k n k = G F(t، r G = G (t) G F(, r t, r G (t)) k= 1 ∑FG mrG = = G (t) G , r F((t) t, r G k =) G (t), G F(r( t، G t)) k= 1 n ∑FG n ∑FG mrG = ∑FG آموزش) = G ∑FG F(r(t، r G = G t)، G F((((t، r G t)، G r (t) G t)) r , r (t)) (t) mrG = n ∑FG mrG = mrG = mrG = V.T. Rykov Rykov V.T. معادله دیفرانسیل پایه دینامیک کتاب درسی نکات سخنرانی تکالیف تست سوالات تست نهایی (امتحان ترکیبی) کراسنودار 2006 UDC 531.01 BBK 22.25я73 R 944 داور: دکترای فیزیک و ریاضیات. علوم، استاد، رئیس. گروه مکانیک سازه دانشگاه فنی کوبان I. M. Dunaev Rykov V. T. R 944 معادله دیفرانسیل پایه دینامیک: کتاب درسی. کمک هزینه کراسنودار: کوبان. حالت univ., 2006. – 100 p. ایل. 25. کتابشناسی 6 عنوان شابک راهنمای بخش دوم مجموعه آموزشی و روش شناختی مکانیک نظری و مکانیک پیوسته است. این شامل نکات سخنرانی برای سه بخش از دوره مکانیک نظری و مکانیک پیوسته است: "معادله دیفرانسیل پایه دینامیک"، "حرکت در یک میدان متقارن مرکزی" و "حرکت چرخشی یک جسم صلب". به عنوان بخشی از مجموعه آموزشی و روش شناسی، این کتابچه راهنمای شامل وظایف کنترلی (گزینه های تست) و سوالات تست نهایی کامپیوتر (امتحان) است. این دوره با یک کتاب درسی الکترونیکی با قطعات سخنرانی (روی دیسک لیزر) تکمیل می شود. این راهنما برای دانشجویان سال دوم و سوم فیزیک و دانشکده های فیزیک- فنی دانشگاه ها در نظر گرفته شده است؛ ممکن است برای دانشجویان دانشگاه های فنی که در حال مطالعه مبانی مکانیک نظری و فنی هستند مفید باشد. منتشر شده با تصمیم شورای دانشکده فیزیک و فناوری دانشگاه دولتی کوبان UDC 531 (075.8) BBK 22.25ya73 ISBN © دانشگاه دولتی کوبان، 2006 مطالب مقدمه................ .......................................................... ....... 6 واژه نامه .......................................... ........ .......................... 8 1. معادله دیفرانسیل پایه دینامیک (قانون دوم نیوتن) .. ......... ................. 11 1.1. ساختار بخش ................................................ ... 11 1.2. شرح حرکت نقطه مادی......... 11 1.2.1. دستگاه مختصات دکارتی.......................... 12 1.2.2. روشی طبیعی برای توصیف حرکت یک نقطه. سه ضلعی همراه................................................ ... .............. 13 1.3. مسائل مستقیم و معکوس دینامیک ................................... 16 1.4. استخراج قانون بقای تکانه از معادله دیفرانسیل پایه دینامیک................................... ...................................... 21 1.5. استخراج قانون بقای انرژی از معادله دیفرانسیل پایه دینامیک... ...................................... 24 1.6. استخراج قانون بقای تکانه زاویه ای از معادله دیفرانسیل پایه دینامیک ................................ ...................... 26 1.7. انتگرال های حرکت ..................................................... .... 27 1.8. حرکت در قاب های مرجع غیر اینرسی .......................................... .......................................... 28 1.9. تکلیف تست ................................................ ... 28 1.9.1. مثالی از حل مسئله................................ 28 1.9.2. گزینه هایی برای تکالیف آزمایشی ............................ 31 1.10. تست های نهایی کنترل (امتحان) .................. 35 1.10.1. فیلد A ................................................ ..... ............ 35 1.10.2. فیلد B ................................................ ..... ............ 36 1.10.3. فیلد ج ...................................... ..... ............ 36 2. حرکت در میدان متقارن مرکزی.......... 38 2.1. ساختار بخش ................................................ ... 38 2.2. مفهوم میدان متقارن مرکزی......... 39 3 2.3. سرعت در مختصات منحنی........... 39 2.4. شتاب در مختصات منحنی......... 40 2.5. سرعت و شتاب در مختصات کروی ................................................... ................ ................... 41 2.6. معادلات حرکت در یک میدان متقارن مرکزی .......................................... .......... ..... 45 2.7. سرعت بخش و شتاب بخش...... 46 2.8. معادله حرکت یک نقطه مادی در یک میدان گرانشی و یک میدان کولن................................... 48 2.8.1. انرژی موثر................................................ ... 48 2.8.2. معادله مسیر................................................ .... 49 2.8.3. وابستگی شکل مسیر به انرژی کل.......................................... ........... .......... 51 2.9. تقلیل مشکل دو تنه به مشکل تک بدنی. کاهش جرم................................................ ......... 52 2.10. فرمول رادرفورد...................................................... ... 54 2.11. تست با موضوع: سرعت و شتاب در مختصات منحنی................................. 58 2.11.1. نمونه ای از انجام تست با موضوع سرعت و شتاب در مختصات منحنی. .......................... 58 2.11.2. گزینه هایی برای تکالیف آزمایشی.......................... 59 2.12. تست های نهایی کنترل (امتحان) ................. 61 2.12.1. فیلد A ................................................ ..... ............ 61 2.12.2. فیلد B ................................................ ..... ............ 62 2.12.3. فیلد ج ...................................... ..... ............ 63 3. حرکت دورانی جسم صلب ........................ ............ 65 3.1. ساختار بخش ................................................ ... 65 3.2. مفهوم جسم جامد حرکت چرخشی و انتقالی ..................................................... ...... 66 3.3. انرژی جنبشی جسم جامد................... 69 3.4. تانسور اینرسی ................................................ ........ ..... 71 3.5. کاهش تانسور اینرسی به شکل مورب ...................................... ......... ..... 72 4 3.6. معنای فیزیکی مولفه های مورب تانسور اینرسی .......................................... ............ 74 3.7. قضیه اشتاینر برای تانسور اینرسی.......... 76 3.8. تکانه جسم صلب...................................... 78 3.9. معادلات حرکت چرخشی یک جسم صلب در یک سیستم مختصات دوار ...................................... ................................. 79 3.10. زوایای اویلر................................................ ... .......... 82 3.11. حرکت در قاب های مرجع غیر اینرسی .......................................... .......................................... 86 3.12. تست با موضوع: حرکت چرخشی جسم صلب................................ ............. .. 88 3.12.1. نمونه هایی از تکمیل وظایف کنترلی ...................................... ...................................... 88 3.12.2. تست خانگی................................ 92 3.13. تست های نهایی کنترل (امتحان) ................. 92 3.13.1. فیلد A ................................................ ..... ............ 92 3.13.2. فیلد B ................................................ ..... ............ 94 3.13.3. فیلد ج ...................................... ..... ............ 95 مطالعه پیشنهادی .............................. ...... .......... 97 پیوست 1 .............................. ..... ..................... 98 ضمیمه 2. برخی از فرمول ها و روابط اساسی ......... ................................................ ...... ... 100 فهرست موضوعی................................ ............. ....... 102 5 پیشگفتار این کتاب "جزئی جامد" از مجموعه آموزشی و روش شناسی درس "مکانیک نظری و مبانی مکانیک پیوسته" است. که بخشی از استاندارد آموزشی دولتی در تخصص ها است: "فیزیک" - 010701 ، "رادیوفیزیک" و الکترونیک" - 010801. نسخه الکترونیکی آن (فرمت pdf) در وب سایت دانشگاه دولتی کوبان و در شبکه محلی دانشکده فیزیک و فناوری دانشگاه دولتی کوبان قرار گرفته است. در مجموع، چهار بخش اصلی مجموعه آموزشی و روش شناختی مکانیک نظری و مبانی مکانیک پیوسته توسعه یافته است. تجزیه و تحلیل برداری و تانسور - بخش اول مجموعه - برای تقویت، و تا حد زیادی، ایجاد دانش پایه در زمینه مبانی ریاضی نه تنها درس مکانیک نظری، بلکه کل دوره فیزیک نظری در نظر گرفته شده است. درس مکانیک نظری خود به دو بخش تقسیم می شود که یکی از آنها شامل ارائه روش هایی برای حل مسائل مکانیکی بر اساس معادله دیفرانسیل پایه دینامیک - قانون دوم نیوتن است. بخش دوم ارائه مبانی مکانیک تحلیلی (بخش سوم مجموعه آموزشی و روش شناسی). قسمت چهارم مجموعه شامل اصول مکانیک پیوسته است. هر قسمت از مجموعه و همه با هم توسط دوره های آموزشی الکترونیکی پشتیبانی می شوند - اجزای اصلاح شده، که صفحات HTML هستند، تکمیل شده توسط ابزارهای یادگیری فعال - عناصر کاربردی آموزش. این ابزارها به صورت آرشیو شده در وب سایت KubSU قرار می گیرند و بر روی دیسک های لیزری، به صورت پیوست شده یا به طور جداگانه، توزیع می شوند. بر خلاف اجزای جامد، قطعات الکترونیکی برای بهبود کارایی خود دستخوش تغییرات دائمی خواهند شد. 6 اساس "مولفه جامد" مجتمع آموزشی، یادداشت های سخنرانی است که با یک "واژه نامه" تکمیل شده است که مفاهیم اساسی این بخش را توضیح می دهد و یک نمایه الفبایی. پس از هر یک از سه بخش این راهنما، یک تکلیف آزمایشی با مثال هایی از حل مسئله ارائه شده است. دو وظیفه کنترلی این مؤلفه در خانه تکمیل می شود - اینها وظایف بخش های 2 و 3 هستند. وظیفه 3 برای همه مشترک است و برای بررسی در دفترچه های کلاس های عملی به معلم ارائه می شود. در کار 2، هر دانش آموز یکی از 21 گزینه را طبق دستور معلم تکمیل می کند. تکلیف 1 در کلاس درس طی یک جلسه کلاس (جفت) روی تکه های کاغذ جداگانه تکمیل می شود و برای بررسی به معلم ارائه می شود. اگر تکلیف ناموفق باشد، کار باید یا توسط دانش‌آموز تصحیح شود (تکالیف) یا با گزینه دیگری (تکالیف کلاسی) دوباره انجام شود. دومی خارج از برنامه مدرسه در زمان پیشنهادی معلم انجام می شود. قسمت پیشنهادی کمک آموزشی همچنین حاوی مطالب کمکی است: ضمیمه 1 اجزای تانسور متریک - اهداف میانی آزمون 3 و ضمیمه 2 - فرمول ها و روابط پایه را ارائه می دهد که حفظ آن برای کسب نمره رضایت بخش در امتحان الزامی است. هر بخش از هر بخش از دفترچه راهنما با وظایف تست به پایان می رسد - بخشی جدایی ناپذیر از یک آزمون ترکیبی، که اساس آن تست کامپیوتری با پر کردن موازی فرم های پیشنهادی و مصاحبه بعدی بر اساس ارزیابی های کامپیوتری و فرم تست است. فیلد "B" آزمون نیاز به یک ورودی مختصر در مورد شکل تبدیل های ریاضی منتهی به گزینه انتخاب شده در مجموعه پاسخ دارد. در فیلد "C" باید تمام محاسبات را روی فرم بنویسید و پاسخ عددی را روی صفحه کلید تایپ کنید. 7 واژه نامه کمیت افزودنی کمیت فیزیکی است که مقدار آن برای کل سیستم برابر است با مجموع مقادیر آن برای بخش های جداگانه سیستم. حرکت دورانی حرکتی است که در آن سرعت حداقل یک نقطه از جسم صلب صفر باشد. دومین سرعت فرار، سرعت پرتاب از یک سیاره غیر چرخشی است که فضاپیما را در یک مسیر سهموی قرار می دهد. تکانه یک نقطه مادی حاصل ضرب جرم نقطه و سرعت آن است. ضربه یک سیستم از نقاط مادی یک کمیت افزایشی است که به عنوان مجموع تکانه های تمام نقاط سیستم تعریف می شود. انتگرال های حرکت مقادیری هستند که تحت شرایط خاصی حفظ می شوند و در نتیجه یکپارچگی واحد معادله دیفرانسیل پایه دینامیک - سیستمی از معادلات مرتبه دوم - به دست می آیند. انرژی جنبشی یک نقطه مادی، انرژی حرکتی است که برابر با کار لازم برای انتقال سرعت معین به یک نقطه معین است. انرژی جنبشی یک سیستم از نقاط مادی یک کمیت افزایشی است که به عنوان مجموع انرژی تمام نقاط سیستم تعریف می شود. اجزای کوواریانس یک بردار ضرایب بسط بردار به بردارهای مبنای متقابل هستند. ضرایب اتصال افین ضرایب بسط مشتقات بردارهای پایه با توجه به مختصات با توجه به بردارهای خود مبنا هستند. انحنای یک منحنی متقابل شعاع دایره لمسی است. مرکز لحظه ای سرعت ها نقطه ای است که سرعت آن در یک لحظه معین از زمان صفر باشد. 8 کار مکانیکی یک نیروی ثابت حاصل ضرب اسکالر نیرو و جابجایی است. حرکت مکانیکی تغییر موقعیت جسم در فضا نسبت به سایر اجسام در طول زمان است. مسئله معکوس دینامیک یافتن معادلات حرکت یک نقطه مادی با استفاده از نیروهای داده شده (توابع شناخته شده مختصات، زمان و سرعت) است. حرکت انتقالی حرکتی است که در آن هر خط مستقیمی که در جسم جامد مشخص می شود به موازات خودش حرکت می کند. انرژی پتانسیل یک نقطه مادی، انرژی برهمکنش میدانی اجسام یا بخش‌هایی از یک جسم است، که برابر با کار نیروهای میدانی برای انتقال یک نقطه مادی معین از یک نقطه معین در فضا به سطح پتانسیل صفر است که به طور دلخواه انتخاب شده است. جرم کاهش یافته جرم یک نقطه مادی فرضی است که حرکت آن در یک میدان متقارن مرکزی به مشکل دو جسم تقلیل می یابد. وظیفه مستقیم دینامیک تعیین نیروهای وارد بر یک نقطه مادی با استفاده از معادلات حرکت داده شده است. نمادهای کریستوفل ضرایب متقارن اتصال افین هستند. سیستم مرکز جرم (مرکز اینرسی) - سیستم مرجعی که در آن تکانه سیستم مکانیکی صفر است. سرعت یک کمیت برداری است که از نظر عددی برابر با جابجایی در واحد زمان است. دایره ارتعاشی دایره ای است که با یک منحنی تماس مرتبه دوم دارد، یعنی. تا بی نهایت های مرتبه دوم، معادلات یک منحنی و یک دایره نوسانی در همسایگی یک نقطه معین از یکدیگر قابل تشخیص نیستند. 9 سه ضلعی همراه - سه بردار واحد (بردارهای مماس، عادی و دونرمال) که برای معرفی یک سیستم مختصات دکارتی همراه با یک نقطه استفاده می شود. جسم صلب جسمی است که فاصله آن بین هر دو نقطه تغییر نمی کند. تانسور اینرسی یک تانسور متقارن در رتبه دوم است که اجزای آن خواص اینرسی جسم صلب را نسبت به حرکت دورانی تعیین می کند. خط سیر ردیابی یک نقطه متحرک در فضا است. معادلات حرکت معادلاتی هستند که موقعیت یک نقطه در فضا را در یک لحظه دلخواه از زمان تعیین می کنند. شتاب یک کمیت برداری است که از نظر عددی برابر با تغییر سرعت در واحد زمان است. شتاب معمولی شتابی است عمود بر سرعت، برابر شتاب مرکزگرا وقتی نقطه ای با سرعت معینی در امتداد دایره ای در تماس با مسیر حرکت می کند. میدان متقارن مرکزی میدانی است که در آن انرژی پتانسیل یک نقطه مادی فقط به فاصله r تا مرکز O بستگی دارد. انرژی توانایی بدن یا سیستمی از اجسام برای انجام کار است. 10 1. معادله دیفرانسیل پایه دینامیک (قانون دوم نیوتن) 1.1. ساختار بخش ردپاها "نما" مسائل مستقیم و معکوس دینامیک "نما" شرح حرکت یک نقطه مادی "ردها" "اثرها" "آثار" "نما" قانون بقای تکانه "نما" معادله طبیعی منحنی "ردپای" "نما" کار تست " ردپای" "نما" تست های کنترل نهایی "نما" قانون بقای انرژی "ردپای" "نما" "نما" جبر برداری "ردیابی" "ردپای" "نما" قانون بقا تکانه زاویه ای شکل 1 - عناصر اصلی بخش 1. 2. توصیف حرکت یک نقطه مادی حرکت مکانیکی به عنوان تغییر موقعیت جسم در فضا نسبت به سایر اجسام در طول زمان تعریف می شود. این تعریف دو وظیفه دارد: 1) انتخاب روشی که به وسیله آن بتوان یک نقطه در فضا را از نقطه دیگر تشخیص داد. 2) انتخاب جسمی که موقعیت اجسام دیگر نسبت به آن تعیین می شود. 11 1.2.1. سیستم مختصات دکارتی اولین کار مربوط به انتخاب یک سیستم مختصات است. در فضای سه بعدی، هر نقطه در فضا با سه عدد مرتبط است که مختصات نقطه نامیده می شود. بارزترین آنها مختصات متعامد مستطیلی هستند که معمولاً دکارتی نامیده می شوند (نام دانشمند فرانسوی رنه دکارت). رنه دکارت اولین کسی بود که مفهوم مقیاس را معرفی کرد که زیربنای ساخت سیستم مختصات دکارتی است. در نقطه معینی از فضای سه بعدی، سه بردار متعامد متقابل، یکسان از نظر قدر i، j، k ساخته می شود که در عین حال واحدهای مقیاس هستند، یعنی. طول آنها (مدول) طبق تعریف برابر با واحد اندازه گیری است. محورهای عددی در امتداد این بردارها هدایت می شوند، نقاطی که بر روی آنها با "طرح کردن" با نقاطی در فضا مطابقت دارند - همانطور که در شکل 1 نشان داده شده است، یک عمود از یک نقطه به یک محور عددی رسم می شود. عملیات طرح ریزی در مختصات دکارتی منجر به جمع بردارهای ix، ​​jy و kz در امتداد قانون متوازی الاضلاع، که در این مورد تبدیل به یک مستطیل می شود. در نتیجه، موقعیت یک نقطه در فضا را می توان با استفاده از بردار r = ix + jy + kz که "بردار شعاع" نامیده می شود، تعیین کرد. بر خلاف دیگر بردارها، مبدأ این بردار همیشه با مبدأ مختصات منطبق است. تغییر در موقعیت یک نقطه در فضا در طول زمان منجر به ظهور یک وابستگی زمانی مختصات نقطه x = x(t)، y = y (t)، z = z (t) می شود. 1 نام لاتین شده رنه دکارت کارتزیوس است، بنابراین در ادبیات می توانید نام "مختصات دکارتی" را پیدا کنید. 12 و بردار شعاع r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) . این روابط تابعی را معادلات حرکت در اشکال مختصات و برداری می نامند، به ترتیب z kz k r jy i y j ix x شکل 2 - سیستم مختصات دکارتی سرعت و شتاب یک نقطه به عنوان مشتق اول و دوم نسبت به زمان شعاع تعریف می شود. بردار v = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) W = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) همه جا در آنچه در زیر می آید، یک نقطه و یک نقطه دو برابر بالای تعیین کمیت معین، مشتق اول و دوم این کمیت را نسبت به زمان نشان می دهد. 1.2.2. روشی طبیعی برای توصیف حرکت یک نقطه. معادله r = r (t) معمولاً معادله یک منحنی در فرم پارامتریک نامیده می شود. در مورد معادلات حرکت، پارامتر زمان است. از آنجایی که هر حرکت 13 در امتداد یک منحنی مشخص به نام مسیر رخ می دهد، پس قطعه ای از مسیر (مسیر) t t s (t) = ∫ r dt = ∫ x 2 + y 2 + z 2 dt , 2 t0 t0 که یک تابع یکنواخت است. با این زمان حرکت همراه است. مسیر طی شده توسط بدن را می توان به عنوان یک پارامتر جدید در نظر گرفت که معمولاً پارامتر "طبیعی" یا "متعارف" نامیده می شود. معادله منحنی متناظر r = r(s) در پارامترسازی متعارف یا طبیعی معادله نامیده می شود. τ m n شکل 3 – بردار سه ضلعی همراه dr ds بردار مماس بر مسیر است (شکل 3) که طول آن برابر با یک است، زیرا dr = ds. از τ= 14 dτ عمود بر بردار τ، i.e. عادی به مسیر هدایت می شود. برای پی بردن به معنای فیزیکی (یا دقیق تر، همانطور که بعداً خواهیم دید، هندسی) این بردار، اجازه دهید با در نظر گرفتن زمان، به تمایز با توجه به پارامتر t برویم. d τ d ⎛ dr dt ⎞ dt d ⎛ dr 1 ⎞ 1 d 2 r 1 v d v ′ τ = = ⎜ − . ⎟ = ⎜ ⎟ = ds dt ⎝ dt ds ⎠ ds dt ⎝ dt v ⎠ v dt 2 v 2 v 3 dt آخرین این روابط را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: 1 τ′ = 2 (a - aτ) = n 2 = 1 نتیجه می شود که بردار τ′ = که در آن v aτ = τ v dv ; τ= dt v v d 2r – بردار dt کل شتاب دوم. از آنجایی که شتاب کل برابر است با مجموع شتاب های معمولی (مرکزی) و مماسی، بردار مورد نظر ما برابر است با بردار شتاب نرمال تقسیم بر مجذور سرعت. هنگام حرکت در یک دایره، شتاب نرمال برابر با شتاب مماسی است و بردار a = an = n v2، R که در آن n بردار نرمال به دایره است و R شعاع دایره است. نتیجه می شود که بردار τ' را می توان به شکل τ' = Kn نشان داد، که در آن K = انحنای منحنی است - متقابل شعاع دایره تماس. دایره ارتعاشی منحنی است که با یک منحنی معین 15 تماس مرتبه دوم دارد. این بدان معنی است که با محدود کردن خود در گسترش معادله یک منحنی به یک سری توانی در نقطه‌ای به عددهای بینهایت کوچک مرتبه دوم، نمی‌توانیم این منحنی را از یک دایره تشخیص دهیم. گاهی اوقات بردار n را بردار نرمال اصلی می نامند. از بردار مماس τ و بردار نرمال، می‌توانیم بردار دوطبیعی m = [τ, n] بسازیم. سه بردار τ، n و m یک سه ضلعی راست را تشکیل می دهند - یک سه وجهی همراه، که می توانید سیستم مختصات دکارتی را که نقطه را همراهی می کند، همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است مرتبط کنید. 1.3. مسائل مستقیم و معکوس دینامیک در سال 1632، گالیله گالیله قانونی را کشف کرد و سپس در سال 1687، آیزاک نیوتن قانونی را تدوین کرد که دیدگاه فیلسوفان را در مورد روش های توصیف حرکت تغییر داد: "هر جسمی حالت سکون یا حرکت یکنواخت و مستطیل را حفظ می کند تا زمانی که نیروهای اعمال شده آن را مجبور به تغییر می کنند.» این یک حالت است. 1 اهمیت این کشف را نمی توان دست بالا گرفت. قبل از گالیله، فیلسوفان معتقد بودند که مشخصه اصلی حرکت سرعت است و برای اینکه جسم با سرعت ثابت حرکت کند باید نیروی ثابتی اعمال شود. در واقع، به نظر می‌رسد تجربه دقیقاً این را نشان می‌دهد: اگر نیرو اعمال کنیم، بدن حرکت می‌کند؛ اگر اعمال آن را متوقف کنیم، بدن متوقف می‌شود. و فقط گالیله متوجه شد که با اعمال نیرو، ما در واقع فقط نیروی اصطکاکی را که در شرایط واقعی روی زمین عمل می کند، علاوه بر میل خود (و اغلب مشاهده) متعادل می کنیم. در نتیجه، نیرو برای ثابت نگه داشتن سرعت لازم نیست، بلکه برای تغییر آن، یعنی. گزارش شتاب 1 I. نیوتن. اصول ریاضی فلسفه طبیعی. درست است، در شرایط زمین، درک رصد جسمی که توسط اجسام دیگر تحت تأثیر قرار نمی‌گیرد غیرممکن است، بنابراین مکانیک مجبور است وجود سیستم‌های مرجع ویژه (اینرسی) را فرض کند که در آن نیوتن (گالیله) ) قانون اول باید اجرا شود. 1 فرمول ریاضی قانون اول نیوتن مستلزم افزودن بیانیه تناسب نیرو به شتاب با بیان موازی بودن آنها به عنوان کمیت های برداری است؟ = ≡r. Δt → 0 Δt dt dt dt W = lim تجربه به ما می گوید که یک ضریب اسکالر می تواند کمیتی باشد که معمولاً جرم بدن نامیده می شود. بنابراین، بیان ریاضی قانون اول نیوتن، با در نظر گرفتن اضافه کردن فرضیات جدید، شکل F = mW را به خود می گیرد، 1 اما چنین سیستم مرجعی با چه اجسام واقعی می تواند مرتبط باشد، هنوز مشخص نیست. فرضیه اتر (نگاه کنید به "نظریه نسبیت") می تواند این مشکل را حل کند، اما نتیجه منفی آزمایش مایکلسون این احتمال را رد کرد. با این وجود، مکانیک به چنین چارچوب های مرجعی نیاز دارد و وجود آنها را فرض می کند. 17 که به قانون دوم نیوتن معروف است. از آنجایی که شتاب برای یک جسم خاص مشخص می شود که می تواند توسط چندین نیرو بر روی آن اثر بگذارد، نوشتن قانون دوم نیوتن به شکل n mr = ∑ Fa = F (t، r (t)، r (t)) راحت است. . a =1 نیرو در حالت کلی تابعی از مختصات، سرعت و زمان در نظر گرفته می شود. این تابع هم به طور صریح و هم به طور ضمنی به زمان بستگی دارد. وابستگی ضمنی به زمان به این معنی است که نیرو می تواند به دلیل تغییر در مختصات (نیرو به مختصات) و سرعت (نیرو به سرعت بستگی دارد) یک جسم متحرک تغییر کند. وابستگی آشکار به زمان نشان می دهد که اگر جسمی در یک نقطه ثابت معین در فضا در حال سکون باشد، آنگاه نیرو همچنان در طول زمان تغییر می کند. از نقطه نظر ریاضیات، قانون دوم نیوتن دو مشکل مرتبط با دو عملیات ریاضی متقابل معکوس ایجاد می کند: تمایز و ادغام. 1. مسئله مستقیم دینامیک: با استفاده از معادلات داده شده حرکت r = r (t)، نیروهای وارد بر نقطه مادی را تعیین کنید. این مشکل یک مشکل فیزیک بنیادی است؛ راه حل آن با هدف یافتن قوانین و قوانین جدید است که تعامل اجسام را توصیف می کند. نمونه ای از حل یک مسئله مستقیم دینامیک، فرمول I. نیوتن از قانون گرانش جهانی بر اساس قوانین تجربی کپلر است که حرکت مشاهده شده سیارات منظومه شمسی را توصیف می کند (به بخش 2 مراجعه کنید). 2. مسئله معکوس دینامیک: نیروهای داده شده (توابع شناخته شده مختصات، زمان و سرعت) معادلات حرکت یک نقطه مادی را پیدا می کنند. این وظیفه فیزیک کاربردی است. از نقطه نظر این مسئله، قانون 18 دوم نیوتن سیستمی از معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه دوم d 2r m 2 = F (t، r (t)، r (t))، (1) است. 1) راه حل های dt که تابعی از زمان و ثابت های یکپارچه سازی هستند. x = x(t، C1، C2، C3، C4، C5، C6،)؛ y = y(t، C1، C2، C3، C4، C5، C6،); z = z(t، C1، C2، C3، C4، C5، C6،). برای انتخاب یک راه حل مربوط به یک حرکت خاص از مجموعه نامتناهی از راه حل ها، لازم است سیستم معادلات دیفرانسیل را با شرایط اولیه (مسئله کوشی) تکمیل کنید - در یک نقطه از زمان (t = 0) مقادیر را تنظیم کنید. از مختصات و سرعت های نقطه: ⎧ x0 = x(t = 0)، ⎪ r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨ y0 = y (t = 0)، ⎪ z = z (t = 0) . ⎩ 0 v0 ⎧v0 x = x(t = 0)، ⎪ = r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨v0 y = y (t = 0)، ⎪ ⎩v0 x = z (t = 0). نکته 1. در قوانین I. نیوتن، نیرو به عنوان کمیتی درک می شود که برهمکنش اجسام را مشخص می کند، در نتیجه اجسام تغییر شکل می دهند یا شتاب می گیرند. با این حال، اغلب راحت است که مسئله دینامیک را به مسئله استاتیک کاهش دهیم، همانطور که دالامبر در گفتار خود درباره علت عمومی بادها (1744) انجام داد، یک نیروی اینرسی برابر با حاصلضرب جرم بدنه و شتاب چارچوب مرجع، که در آن جسم داده شده در نظر گرفته می شود. به طور رسمی، به نظر می رسد که سمت راست قانون دوم I. New19 را به سمت چپ منتقل کرده و به این قسمت نام «نیروی اینرسی» اختصاص دهیم F + (- mW) = 0، یا F + Fin = 0. بدیهی است که نیروی اینرسی حاصل با تعریف نیرو که در بالا ارائه شد را برآورده نمی کند. در این رابطه، نیروهای اینرسی اغلب «نیروهای ساختگی» نامیده می‌شوند، با درک این که به عنوان نیرو تنها توسط یک ناظر غیر اینرسی مرتبط با یک چارچوب مرجع شتاب‌دهنده درک و اندازه‌گیری می‌شوند. با این حال، باید تأکید کرد که برای یک ناظر غیر اینرسی، نیروهای اینرسی در واقع بر روی تمام اجسام سیستم مرجع نیرو عمل می کنند. وجود این نیروها است که تعادل (بی وزنی) اجسام در یک ماهواره دائماً در حال سقوط سیاره و (تا حدی) وابستگی شتاب سقوط آزاد روی زمین به عرض جغرافیایی منطقه را "توضیح می دهد". نکته 2. قانون دوم نیوتن به عنوان یک سیستم معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم نیز با مشکل انتگرال گیری منفرد این معادلات همراه است. کمیت‌های به‌دست‌آمده از این طریق انتگرال حرکت نامیده می‌شوند و مهم‌ترین آن‌ها دو حالت مرتبط با آن‌ها است: 1) این کمیت‌ها افزایشی (افزودنی) هستند، یعنی. چنین مقداری برای یک سیستم مکانیکی مجموع مقادیر مربوط به قطعات جداگانه آن است. 2) تحت شرایط خاص فیزیکی قابل درک، این مقادیر تغییر نمی کنند، یعنی. حفظ می شوند و بدین وسیله قوانین بقای در مکانیک را بیان می کنند. 20 1.4. استخراج قانون بقای حرکت از معادله دیفرانسیل پایه دینامیک سیستمی از N نقطه مادی را در نظر بگیرید. بگذارید "a" عدد نقطه باشد. اجازه دهید برای هر نقطه "a" قانون دوم نیوتن را بنویسیم dv (1.2) ma a = Fa , dt که در آن Fa حاصل همه نیروهای وارد بر نقطه "a" است. با توجه به اینکه ma = const، ضرب در dt، جمع کردن تمام N معادله (1.2) و ادغام در داخل مرزهای t به t + Δt، N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = جایی که v a t +Δt N به دست می آید. ∫ ∑ F dt , t a = 1 a = ra (t) سرعت نقطه "a" در زمان t و ua = ra (t + Δt) سرعت نقطه "a" در زمان t + Δt است. اجازه دهید نیروهای وارد بر نقطه "a" را به عنوان مجموع نیروهای Faex خارجی (خارجی - خارجی) و Fain داخلی (داخلی - داخلی) تصور کنیم Fa = Fain + Faex. نیروهای برهمکنش نقطه "a" را با سایر نقاط موجود در سیستم داخلی و خارجی - با نقاطی که در سیستم گنجانده نشده اند می نامیم. اجازه دهید نشان دهیم که مجموع نیروهای داخلی به دلیل قانون سوم نیوتن ناپدید می شود: نیروهایی که با آنها دو جسم بر روی یکدیگر عمل می کنند از نظر بزرگی برابر و در جهت مخالف هستند اگر نقاط "a" و "b" متعلق به سیستم. در واقع نیروی وارد بر نقطه "a" از نقاط دیگر سیستم برابر با 21 N Fain = ∑ Fab است. b =1 سپس N N N N N N N N N ∑ Fain = ∑∑ Fab = ∑∑ Fba = ∑∑ Fba = −∑∑ Fab = 0 . a = 1 a = 1 b = 1 b = 1 a = 1 a = 1 b = 1 a = 1 b = 1 بنابراین، مجموع تمام نیروهای وارد بر سیستمی از نقاط مادی به مجموع نیروهای خارجی تبدیل می شود. در نتیجه، N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = t +Δt N ∫ ∑F t a =1 ex a dt به دست می آوریم. (1.3) - تغییر در حرکت یک سیستم از نقاط مادی برابر است با تکانه نیروهای خارجی وارد بر سیستم. یک سیستم بسته نامیده می شود که توسط نیروهای خارجی ∑F a = 1 = 0 به آن وارد نشود. در این حالت، تکانه ex a سیستم تغییر نمی کند (حفظ می شود) N N a =1 a =1 ∑ maua = ∑ ma va = const . (1.4) معمولاً این عبارت به عنوان قانون بقای تکانه تفسیر می شود. با این حال، در گفتار روزمره، منظور ما از حفظ چیزی، بیان تغییرناپذیری محتوای این چیزی در چیز دیگری نیست، بلکه درک این است که این چیز اصلی به چه چیزی تبدیل شده است. اگر پول برای خرید یک چیز مفید خرج شود، ناپدید نمی شود، بلکه به این چیز تبدیل می شود. اما اگر قدرت خرید آنها به دلیل تورم کاهش یافته باشد، ردیابی زنجیره تحولات بسیار دشوار است که احساس عدم حفظ را ایجاد می کند. نتیجه اندازه‌گیری یک ضربه، مانند هر کمیت سینماتیکی، به سیستم مرجعی که اندازه‌گیری‌ها در آن انجام می‌شود، بستگی دارد (ابزار فیزیکی که این کمیت را اندازه‌گیری می‌کنند قرار دارند). 22 مکانیک کلاسیک (غیر نسبیتی)، با مقایسه نتایج اندازه‌گیری‌های کمیت‌های سینماتیکی در سیستم‌های مرجع مختلف، به طور ضمنی از این فرض نشات می‌گیرد که مفهوم همزمانی رویدادها به سیستم مرجع بستگی ندارد. با توجه به این، رابطه بین مختصات، سرعت و شتاب یک نقطه، اندازه گیری شده توسط ناظر ثابت و متحرک، روابط هندسی است (شکل 4) dr du Velocity u = = r و شتاب W = = u، اندازه گیری شده توسط ناظر K. معمولاً به آنها سرعت و شتاب دكتر مطلق مي گويند. سرعت u′ = = r′ و شتاب dt du′ W ′ = = u ′، اندازه گیری شده توسط ناظر K′ – سرعت و شتاب نسبی. و سرعت V و شتاب A سیستم مرجع قابل حمل است. Mr′ r r = r′ + R u = u′ + V K′ K W =W′+ A R شکل 4 – مقایسه کمیت های اندازه گیری شده با استفاده از قانون تبدیل سرعت که اغلب قضیه جمع سرعت گالیله نامیده می شود، تکانه را بدست می آوریم. یک سیستم از نقاط مادی اندازه گیری شده در سیستم های مرجع K و K'N N N a =1 a =1 a =1 ∑ maua = ∑ maua' + V ∑ ma. سیستم مرجعی که در آن تکانه سیستم مکانیکی صفر است 23 N ∑ m u′ = 0 , a =1 a a سیستم مرکز جرم یا مرکز اینرسی نامیده می شود. بدیهی است که سرعت چنین قاب مرجعی برابر است با N Vc = ∑m u a =1 N a a ∑m . (1.5) a a =1 از آنجایی که در غیاب نیروهای خارجی، تکانه سیستم مکانیکی تغییر نمی کند، بنابراین سرعت سیستم مرکز جرم نیز تغییر نمی کند. با ادغام (1.5) در طول زمان، با بهره گیری از خودسری انتخاب مبدا مختصات (ثابت ادغام را برابر با صفر قرار می دهیم)، به تعیین مرکز جرم (مرکز اینرسی) سیستم مکانیکی می رسیم. N rc = ∑m r a =1 N a a . ∑m a =1 (1.6) a 1.5. استخراج قانون بقای انرژی از معادله دیفرانسیل پایه دینامیک سیستمی از N نقطه مادی را در نظر بگیرید. برای هر نقطه "a" قانون دوم نیوتن (1.2) را می نویسیم و dr را به صورت اسکالر در سرعت نقطه va = a dt ⎛ dv ⎞ dr ⎞ ⎛ ma ⎜ va , a ⎟ = Fa , va = ⎜ Fa ضرب می کنیم. , a ⎟ dt ⎠ dt ⎠ ⎝ ⎝ پس از تبدیل، ضرب هر دو طرف در dt، ادغام در داخل مرزهای t1 تا t2 و با فرض ra = ra (t1) , (Ra = ra (t2) ,) va = va (t1) ) ، ua = va (t2) ، 24 ma ua2 ma va2 − = 2 2 Ra ∫ (F , dr) بدست می آوریم. a a (1.7) ra بعد، اجازه دهید نیروی Fa را به عنوان مجموع نیروهای بالقوه و اتلاف کننده Fa = Fapot + Faad نشان دهیم. نیروهای اتلاف کننده آنهایی هستند که منجر به اتلاف انرژی مکانیکی می شوند، یعنی. تبدیل آن به انواع دیگر انرژی نیروهای بالقوه نیروهایی هستند که کار آنها در یک حلقه بسته صفر است. A = ∫ (Fapot، dra) = 0 . (1.8) L اجازه دهید نشان دهیم که میدان پتانسیل گرادیان است، یعنی. ⎛ ∂Π a ∂Π a ∂Π a ⎞ +j + k Fapot = − grad Π a (ra) = − ⎜ i ⎟ . (1.9) ∂ya ∂za ⎠ ⎝ ∂xa در واقع، مطابق با قضیه استوکس، می‌توانیم عرق عرق را بنویسیم ∫ (Fa، dra) = ∫∫ (rot Fa، ds)، L S که در آن S سطحی است که توسط کانتور L شکل 5. S L شکل 5 - قضیه کانتور و سطح استوکس به دلیل رابطه آشکار پوسیدگی به اثبات اعتبار (1.9) منجر می شود Fapot = ⎣⎡∇, Fapot ⎦⎤ = − [∇, ∇Π a ] = 0 , ∇ ∇Π 25 t یعنی اگر یک میدان برداری بر حسب گرادیان یک تابع اسکالر بیان شود، کار آن در امتداد یک کانتور بسته لزوماً صفر است. گزاره برعکس نیز درست است: اگر گردش یک میدان برداری در امتداد یک کانتور بسته صفر باشد، همیشه می توان میدان اسکالر مربوطه را پیدا کرد، که گرادیان آن میدان برداری داده شده است. با در نظر گرفتن (1.9)، رابطه (1.7) را می توان به صورت R ⎧ ma ua2 ⎫ ⎧ ma va2 ⎫ a D + Π a (Ra) ⎬ − ⎨ + Π a (ra) ⎬ = ∫ Fa، dra نمایش داد. ⎨ ⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭ ra () در مجموع N چنین معادله ای داریم. با جمع کردن همه این معادلات، قانون بقای انرژی در مکانیک کلاسیک 1 را به دست می آوریم: تغییر در انرژی مکانیکی کل سیستم برابر است با کار نیروهای اتلاف کننده ⎧ ma ua2 ⎫ N ⎧m v 2 ⎫ N a + Π a Ra بدون نیروهای اتلاف، انرژی کل (سینتیک به علاوه پتانسیل) سیستم مکانیکی تغییر نمی کند ("کنسرو") و سیستم محافظه کار نامیده می شود. 1.6. استخراج قانون بقای تکانه زاویه ای از معادله دیفرانسیل پایه دینامیک سیستمی از N نقطه مادی را در نظر بگیرید. برای هر نقطه "a" قانون دوم نیوتن (1.2) را می نویسیم و هر دو طرف سمت چپ را به صورت بردار در بردار شعاع نقطه ⎡ dv ⎤ ma ⎢ ra , a ⎥ = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ = K a ضرب می کنیم. . dt ⎦ ⎣ 1 این ایده تبدیل انرژی مکانیکی فقط تا زمانی که ما پدیده هایی را در نظر بگیریم که با تبدیل ماده مادی به ماده میدانی همراه نیستند و بالعکس برای واقعیت عینی کافی است. 26 کمیت K a = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ (1.11) گشتاور نیروی فا نسبت به مبدا نامیده می شود. با توجه به رابطه آشکار d ⎣⎡ ra, va ⎦⎤ ⎡ d va ⎤ ⎡ dra ⎤ ⎡ dv ⎤، va ⎥ = ⎢ ra، a ⎥ = ⎢ ra، +⎢ ⎢ ⎢ ⎥ d ⎥ ⎣ ⎣ د ⎡ ⎣ را، ما وا ⎤⎦ = کا. dt همانطور که قبلاً تعداد چنین معادلاتی N است و با جمع آنها dM =K، (1.12) dt به دست می آید که در آن مقدار افزایشی N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ , (1.13) a =1 نامیده می شود. تکانه زاویه ای سیستم مکانیکی اگر ممان نیروهای وارد بر سیستم صفر باشد، تکانه زاویه ای سیستم حفظ می شود N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ = const . (1.14) a = 1 1.7. انتگرال های حرکت کمیت های در نظر گرفته شده در پاراگراف های 1.4-1.6 که تحت شرایط خاصی حفظ می شوند: تکانه، انرژی و تکانه زاویه ای در نتیجه یک ادغام واحد از معادله دیفرانسیل پایه دینامیک - معادله حرکت، به دست می آیند. انتگرال اول معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم هستند. به همین دلیل، همه این کمیت های فیزیکی معمولاً انتگرال حرکت نامیده می شوند. بعداً در قسمتی که به بررسی معادلات لاگرانژ از نوع دوم اختصاص دارد (معادلاتی که قانون دوم فضای پیکربندی نیوتن به آن تبدیل می شود) نشان خواهیم داد که انتگرال های حرکت را می توان به عنوان پیامدهای ویژگی های فضا و زمان نیوتنی در نظر گرفت. . قانون بقای انرژی نتیجه همگنی مقیاس زمانی است. قانون بقای تکانه از همگنی فضا و قانون بقای تکانه زاویه ای از همسانگردی فضا ناشی می شود. 1.8. حرکت در سیستم های مرجع غیر اینرسی 1.9. تکلیف تست 1.9.1. مثالی از حل مسئله معادلات حرکت یک نقطه را تحت تأثیر نیروی جاذبه به مرکز C1 و نیروی دافعه در مورد مرکز C2 متناسب با فواصل تا مراکز پیدا کنید. ضرایب تناسب به ترتیب برابر با k1m و k2m هستند، که در آن m جرم نقطه M است. مختصات مراکز در یک لحظه دلخواه در زمان توسط روابط تعیین می شود: X1(t) = acoωt. Y1(t) = asinωt; Z1 = сhλt; X2 = Y2 = 0; Z2 = Z1. در لحظه اولیه زمان، نقطه دارای مختصات x = a بود. y = 0; z=0 و سرعت با مولفه های vx = vy = vz = 0. مشکل را با شرط k1 > k2 حل کنید. حرکت یک نقطه مادی تحت تأثیر دو نیروی F1 و F2 (شکل 5) توسط معادله دیفرانسیل پایه دینامیک - قانون دوم نیوتن تعیین می شود: mr = F1 + F2، که در آن دو نقطه بالای نماد به معنای تمایز مکرر در زمان است. . با توجه به شرایط مسئله، نیروهای F1 و F2 با روابط تعیین می شوند: 28 F1 = - k1mr1 ; F2 = k2 mr2. کمیت مورد نیاز بردار شعاع نقطه M است، بنابراین بردارهای r1 و r2 باید از طریق بردار شعاع و بردارهای شناخته شده R1 = iX 1 (t) + jY1 (t) + kZ1 (t) = ia cos ωt + ja sin بیان شوند. ωt + k cosh λt و R2 = iX 2 (t) + jY2 (t) + kZ 2 (t) = k cosh λt، که i، j، k بردارهای پایه سیستم مختصات دکارتی هستند. М r1 r r2 С1 R1 R2 О С2 «О» مبدأ مختصات است، R1 و R2 بردار شعاع مراکز جذب و دافعه، r بردار شعاع نقطه M، r1 و r2 بردارهایی هستند که موقعیت را تعیین می کنند. نقطه M نسبت به مراکز. شکل 6 – نقطه M در میدان دو مرکز از شکل 6 r1 = r − R1 را بدست می آوریم. r2 = r - R2. با جایگزینی همه این روابط به قانون دوم نیوتن، و تقسیم دو طرف معادله بر جرم m، یک معادله دیفرانسیل ناهمگن مرتبه دوم با ضرایب ثابت به دست می‌آوریم: r + (k1 - k2)r = k1a (i cos ωt + j sin. ωt) + k (k1 - k2) ch λt. از آنجایی که، با توجه به شرایط مسئله، k1 > k2، منطقی است که نماد را معرفی کنیم - مقدار مثبت k2 = k1 - k2. سپس معادله دیفرانسیل حاصل به شکل: r + k 2 r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k 2ch λt. راه حل این معادله را باید به صورت مجموع جواب کلی ro معادله همگن ro + k 2 ro = 0 و راه حل خاص rch معادله ناهمگن r = ro + rch جستجو کرد. برای ساختن یک راه حل کلی، معادله مشخصه λ2 + k2 = 0 را می سازیم که ریشه های آن خیالی هستند: λ1,2 = ± ik، که i = -1 است. به همین دلیل، جواب کلی معادله همگن باید به شکل r = A cos kt + B sin kt نوشته شود، جایی که A و B ثابت های یکپارچه سازی برداری هستند. با معرفی ضرایب نامشخص α1، α 2، α 3 rc = α1 cos ωt + α 2 sin ωt + α 3ch λt، rc = -ω2α1 cos ωt - ω2α، یک راه حل خاص را می توان با شکل سمت راست پیدا کرد. 2 sin ωt + λ 2α 3ch λt . با جایگزینی این راه حل به معادله ناهمگن، و برابر کردن ضرایب برای توابع زمانی یکسان در سمت چپ و راست معادلات، سیستمی از معادلات را به دست می آوریم که ضرایب نامشخص را تعیین می کند: α1 (k2 - ω2) = iak1 ; α 2 (k 2 - ω2) = jak1 ; α 3 (k 2 + λ 2 ) = ik 2. بنابراین، جواب کلی معادله ناهمگن به شکل 30 r = A cos kt + B sin kt + k1 k2 a i t j k cosh λt است. (cos ω + sin ω) + k 2 − ω2 k 2 + λ2 ثابت های یکپارچه سازی از شرایط اولیه تعیین می شوند که می توان آن را به صورت برداری نوشت: r (t = 0) = ia; r (t = 0) = 0 . برای تعیین ثابت های یکپارچه سازی، لازم است سرعت یک نقطه را در یک لحظه دلخواه از زمان بدانیم ωk r = −kA sin kt + kB cos kt + 2 1 2 a (−i sin ωt k−ω 2 λk + j cos ωt) + 2 k sinh λt. k + λ2 با جایگزینی شرایط اولیه به محلول یافت شده، (t = 0): k k k2 ia = A + 2 1 2 ia + 2 k ; 0 = kB + 2 1 2 j ωa. 2 k −ω k + λ k −ω اجازه دهید ثابت های انتگرال را از اینجا پیدا کنیم و آنها را در معادله در معادلات حرکت جایگزین کنیم. k r = ia cos kt + 2 1 2 + 2 k (ch λt - cos kt). ω k + λ2 این عبارت معادلات مورد نیاز حرکت را به صورت برداری نشان می دهد. این معادلات حرکت و همچنین کل فرآیند جستجوی آنها را می توان به صورت پیش بینی بر روی محورهای دستگاه مختصات دکارتی نوشت. + 1.9.2. انواع وظایف آزمون معادلات حرکت یک نقطه مادی را تحت تأثیر نیروی جاذبه به مرکز O1 و نیروی دافعه از مرکز O2 بیابید. نیروها متناسب با فواصل تا مراکز هستند، ضرایب تناسب به ترتیب برابر با k1m و k2m است که m جرم نقطه است. مختصات 31 مرکز، شرایط اولیه و شرایط تحمیل شده بر ضرایب در جدول آورده شده است. ستون اول شامل شماره گزینه است. در انواع فرد، k1 > k2، در انواع فرد، k2 > k1 را در نظر بگیرید. انواع وظایف کنترلی در جدول 1 آورده شده است. ستون های دوم و سوم مختصات مراکز جذب و دفع را در یک لحظه دلخواه از زمان t نشان می دهند. شش ستون آخر مختصات اولیه نقطه مادی و مولفه های سرعت اولیه آن را تعیین می کند که برای تعیین ثابت های ادغام ضروری است. جدول 1. گزینه های کار آزمایشی 1. کمیت های a، b، c، R، λ و ω کمیت های ثابت هستند گزینه 1 1 مختصات مرکز O1 2 X 1 = a + bt ; Y1 = e ; Z1 = 0. Z 2 = 0. X 1 = –t 3 + cosh λt ; X 2 = 0; Y1 = 0; 3 5 X 1 = a + bt ; X 2 = X 1 + achλt ; a 0 a b 0 0 Z 2 = 0. X 1 = 0; X 2 = 0; Y1 = bt ; Y2 = Y1 + R cos ωt ; a 0 a 0 b b Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 1 = a + bt ; X 2 = X 1 + ach λt ; 4 a a a 0 0 0 Y2 = Y1 + ashλt ; Z1 = R cos ωt. Z1 = 0. 4 0 0 a 0 0 b Z 2 = Z1 + R sin ωt. 4 Y1 = 0; x0 y0 z0 vx vy vz Y2 = R cos ωt ; Z1 = a + bt. Y1 = a; 4 3 X 2 = X 1 + R cos ωt ; مقادیر اولیه Y2 = Y1 + R sin ωt ; λt 2 مختصات مرکز O2 Y2 = Y1 + خاکستر λt ; Z 2 = 0. 32 a 0 a 0 0 0 ادامه جدول 1 1 6 7 2 X 1 = خاکستر λt ; 3 X 2 = Y1 + R cos ωt ; Y1 = ach λt ; Y2 = 0; Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 1 = ct; Y1 = 0; X 2 = 0; 4 9 0 0 a 0 0 b 0 0 a 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z 2 = R sin ωt. Z1 = ae λt . 8 4 X 1 = خاکستر λt ; X 2 = X 1 + RCosωt; Y1 = 0; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z 2 = Z1 + RSinωt. X 1 = a + bt; Y1 = a + bt; X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 0 0 a a 0 b b o Y2 = Y1 + R sin ωt ; Z 2 = e -λt. λt Z1 = ae . 10 X 1 = a + ct 3 ; Y1 = a + bt ; Z1 = aeλt. 11 X 1 = a + bt 2 ; Y1 = ach λt ; Z1 = خاکستر λt. X 2 = 0; a 0 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z 2 = R sin ωt. X2 = X1; a 0 0 0 0 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 2 = R sin ωt ; 12 X 1 = 0; Y1 = a + bt ; 4 Z1 = a + bt . 4 13 X 1 = خاکستر λt; Y1 = 0; Z1 = ach λt. 14 X 1 = ae−2λt ; Y1 = ae 2 λt ; Z1 = a + bt + ct 4 . 0 a a 0 b 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z2 = Z1. X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 b 0 Y2 = a + bt + ct ; 3 Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 2 = 0; 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z 2 = cos ωt. 33 انتهای جدول 1 1 2 15 X 1 = ae Y1 = ae -2 λt 2 λt 3 X 2 = 0; ; ; Y1 = خاکستر λt ; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z2 = Z1. X 1 = R cos ωt ; 21 X 2 = X 1 + a + bt 2 ; Y2 = Y1 ; Z1 = a + bt. Z1 = 0. Y1 = R cos ωt ; X 2 = X 1 + خاکستر λt ; Y1 = 0; Y2 = a + bt ; Z1 = R sin ωt. 20 a 0 0 b 0 0 Y1 = R sin ωt ; 2 19 Z 2 = cos ωt. X 2 = a sin ωt ; 16 X 1 = a + bt; 18 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z1 = a + bt + ct 4 . 17 4 0 a 0 0 0 b 2 Z 2 = Z1 + ach λt. X1 = X2; X 2 = a + bt ; Y1 = 0; Y2 = ashλt ; Z1 = 0. Z 2 = achλt. 0 0 a 0 b 0 X 1 = 0; X 2 = aSinωt ; Y1 = 0; Y2 = aCosωt ; Z1 = a + bt + ct 4 . Z 2 = 0. X 1 = ashλt; X 2 = 0; Y1 = achλt ; Y2 = a + bt + ct ; Z1 = 0. 0 0 a b 0 0 0 a a b 0 b 0 0 a 0 0 b 3 Z 2 = 0. ادبیات برای تست 1. Meshchersky I.V. مجموعه مسائل در مکانیک نظری. M., 1986. P. 202. (مسائل شماره 27.53 - 27.56، 27.62، 27.63). 2. اولخوفسکی I.I. دوره مکانیک نظری برای فیزیکدانان. M., 1974. S. 43 – 63. 34 1.10. تست های کنترل نهایی (امتحان) 1.10.1. فیلد A.1.1. معادله دیفرانسیل پایه برای دینامیک یک نقطه مادی به شکل ... الف.1.2. حل مسئله مستقیم دینامیک یعنی ... A1.3. حل مسئله معکوس دینامیک یعنی ... الف.1.5. مجموع نیروهای داخلی وارد بر سیستمی از نقاط مادی به دلیل... الف.1.6. تکانه نیرو ... الف.1.7. مرکز سیستم اینرسی یک سیستم مرجع است که در آن A.1.8. مرکز جرم ... A.1.9. مختصات مرکز جرم با فرمول A.1.10 تعیین می شود. سرعت سیستم مرکز اینرسی با فرمول ... الف.1.11. قانون بقای حرکت سیستمی از نقاط مادی در کلی ترین شکل آن به صورت ... الف.1.12 نوشته می شود. میدان نیروی پتانسیل با رابطه ... (تعریف اولیه) الف.1.13 تعیین می شود. میدان نیروی پتانسیل با رابطه ... (نتیجه تعریف اصلی) A.1.14 تعیین می شود. اگر میدان F پتانسیل باشد، آنگاه... الف.1.15. تکانه زاویه ای یک سیستم از نقاط مادی مقدار ... الف.1.16. گشتاور نیروهای وارد بر یک سیستم مکانیکی را می توان با رابطه ... الف.1.17 تعیین کرد. اگر ممان نیروهای وارد بر یک سیستم مکانیکی برابر با صفر باشد، آنگاه ... A.1.18 حفظ می شود. اگر مجموع نیروهای خارجی وارد بر یک سیستم مکانیکی برابر با صفر باشد، ... A.1.19 حفظ می شود. اگر نیروهای اتلاف کننده روی سیستم مکانیکی اثر نکنند، آنگاه ... A.1.20 باقی می ماند. یک سیستم مکانیکی بسته نامیده می شود اگر 35 1.10.2. فیلد B ua B.1.1. نتیجه محاسبه انتگرال ∑ ∫ d (m d v) a a a va عبارت ... B.1.2. تکانه سیستم مکانیکی در قاب مرجع K به حرکت قاب مرجع K′ نسبت به آن با سرعت V با رابطه ... B.1.3 مرتبط است. اگر F = −∇Π، آنگاه... B.1.4. کار انجام شده توسط نیروی F = -∇Π در امتداد یک حلقه بسته به دلیل … d va2 B1 ناپدید می شود. 5. مشتق زمانی برابر است با ... dt B.1.6. مشتق زمانی لحظه ضربه d برابر است با ... dt 1.10.3. فیلد ج C.1.1. اگر نقطه ای با جرم m طوری حرکت کند که در زمان t مختصات آن x = x(t)، y = y(t)، z = z (t) باشد، آنگاه نیروی F، جزء Fx (Fy) بر آن اثر می گذارد. ، Fz) که برابر است با ... ج.1.2. اگر نقطه ای تحت تأثیر نیروی kmr حرکت کند و اگر در t = 0 دارای مختصات (m) (x0, y0, z0) و سرعت (m/s) (Vx, Vy, Vz) باشد، در لحظه t = t1 s مختصات آن x برابر است با...(m) C.1.3. در رأس یک متوازی الاضلاع مستطیلی با اضلاع a، b و c جرم های نقطه ای m1، m2، m3 و m4 وجود دارد. مختصات (xc, yc, zc) مرکز اینرسی را پیدا کنید. 36 m3 m4 z m3 m4 c m1 y m2 b m1 m2 a x شکل 7 – برای کار C.1.3 C.1.4. چگالی یک میله با طول بر اساس قانون ρ = ρ(x) متفاوت است. مرکز جرم چنین میله ای از مبدأ در فاصله ... ج.1.5. نیروی F = (Fx، Fy، Fz) به نقطه ای با مختصات x = a، y = b، z = c اعمال می شود. پیش بینی ممان این نیرو نسبت به مبدأ مختصات برابر است با ... 37 2. حرکت در یک میدان متقارن مرکزی 2.1. ساختار بخش "کاربردها" سرعت و شتاب در مختصات منحنی تحلیل تانسور "ردیابی" "استفاده" انتگرال حرکت واحد کنترل "ردیابی" "استفاده" سرعت بخش محصول بردار "ردیابی" "استفاده" معادله مسیر انتگرال معین "ردیابی" ” ” استفاده ” ” استفاده ” ” فرمول رادرفورد استرادیان شکل 8 - ساختار بخش ” میدان متقارن مرکزی 38 2.2. مفهوم میدان متقارن مرکزی بیایید میدانی را متقارن مرکزی بنامیم که در آن انرژی پتانسیل یک نقطه مادی فقط به فاصله r تا مرکز O بستگی دارد. اگر مبدأ سیستم مختصات دکارتی در نقطه "O" قرار گیرد، این فاصله ماژول بردار شعاع نقطه خواهد بود، یعنی. P = P(r)، r = x 2 + y 2 + z 2. مطابق با تعریف میدان پتانسیل، نیروی ∂Π ∂Π ∂r ∂Π r ∂Π (2.1) F =− =− =− =− er روی یک نقطه عمل می کند. ∂r ∂r ∂r ∂r r ∂r در چنین میدانی، سطوح هم پتانسیل П(r) = const با سطوح مختصات r = const در مختصات کروی منطبق است. نیروی (2.1)، که در مختصات دکارتی دارای سه جزء غیر صفر است، در مختصات کروی فقط یک جزء غیر صفر دارد - طرح ریزی بر روی بردار پایه er. همه موارد فوق ما را وادار می کند که به مختصات کروی روی آوریم که تقارن آنها با تقارن میدان فیزیکی منطبق است. مختصات کروی حالت خاصی از مختصات منحنی متعامد است. 2.3. سرعت در مختصات منحنی xi (x1 = x، x2 = y، x3 = z،) مختصات دکارتی باشد و ξ = ξi(xk) مختصات منحنی باشد - توابع یک به یک مختصات دکارتی. طبق تعریف، بردار سرعت dr (ξi (t)) ∂r ∂ξi v= = i = ei ξi , (2.2) ∂ξ ∂t dt که در آن بردارهای ∂r ei = i (2.3) ∂ξ i 39 را تشکیل می دهند. به اصطلاح مختصات (هولونومیک یا ادغام پذیر). مربع بردار سرعت برابر است با v 2 = (ei, e j) ξi ξ j = gij ξi ξ j. کمیت‌ها ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ مولفه های کوواریانس تانسور متریک را نشان می دهد. انرژی جنبشی یک نقطه مادی در مختصات منحنی شکل mv 2 1 T= = mgij ξi ξ j است. (2.5) 2 2 2.4. شتاب در مختصات منحنی در مختصات منحنی، نه تنها مختصات یک نقطه متحرک به زمان بستگی دارد، بلکه بردارهای پایه که با آن حرکت می کنند، که ضرایب انبساط آن مولفه های اندازه گیری شده سرعت و شتاب هستند نیز بستگی دارد. به همین دلیل، در مختصات منحنی، نه تنها مختصات نقطه، بلکه بردارهای پایه dei (ξi (t)) d v dei ξi (t) i i نیز مشمول تمایز هستند. (2.6) W= = = ei ξ + ξ dt dt dt با قاعده تمایز تابع مختلط dei (ξi (t)) ∂ei d ξ j = j ∂ξ dt dt مشتق یک بردار با توجه به مختصات همچنین یک بردار∂ei torus است، بنابراین هر یک از 9 بردار را می توان ∂ξ j به بردارهای پایه ∂ei (2.7) = Γijk ek گسترش داد. j ∂ξ 40 ضرایب انبساط Γijk را ضرایب اتصال افین می نامند. به فضاهایی که ضرایب اتصال افین در آنها مشخص می شود، فضاهای اتصال افین می گویند. فضاهایی که ضرایب اتصال آفین در آنها برابر با صفر است، فضاهای آفین نامیده می شوند. در فضای افین، در کلی‌ترین حالت، فقط مختصات مایل مستطیلی با مقیاس‌های دلخواه در امتداد هر یک از محورها قابل معرفی هستند. بردارهای پایه در چنین فضایی در تمام نقاط آن یکسان هستند. اگر مبنای مختصات (2.3) انتخاب شود، ضرایب اتصال افین در زیرنویس ها متقارن می شوند و در این مورد آنها را نمادهای کریستوفل می نامند. نمادهای کریستوفل را می توان بر حسب اجزای تانسور متریک و مشتقات مختصات آنها ∂g jm ⎫ ⎧ ∂g ij ∂g 1 Γ ijk = g km ⎨− m + mij + (2.8) ⎬ بیان کرد. ∂ξ ∂ξi ⎭ 2 ⎩ ∂ξ کمیت‌های gij اجزای متضاد تانسور متریک هستند - عناصر ماتریس معکوس به gij. ضرایب انبساط بردار شتاب بر حسب بردارهای پایه اصلی Dξ k k k k i j W = ξ + Γij ξ ξ = . (2.9) dt مولفه های متناقض بردار شتاب را نشان می دهد. 2.5. سرعت و شتاب در مختصات کروی مختصات کروی ξ1 = r، ξ2 = θ، ξ3 = ϕ با روابط زیر به مختصات دکارتی x، y و z مرتبط هستند (شکل 9): x = rsinθcosφ، y = rsinθsinφ، z = rcosθ. . 41 z θ y r ϕ x x شکل 9 - رابطه بین مختصات دکارتی x، y، z با مختصات کروی r، θ، ϕ. ما اجزای تانسور متریک را با جایگزین کردن این روابط در عبارت (2.4) می‌یابیم. 1 + 1 1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1; ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ∂x ​​∂x ∂y ∂y ∂y ∂ 2 = 2 g 2 +2 z ξ ∂ ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎜ ; . 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = r 2 sin 2 θ. اجزای غیر قطری تانسور متریک برابر با صفر هستند، زیرا مختصات کروی مختصات منحنی متعامد هستند. این را می توان با محاسبات مستقیم یا با ساخت مماس بر خطوط مختصات بردارهای پایه تأیید کرد (شکل 10). er eφ θ eθ شکل 10 - خطوط مختصات و بردارهای پایه در مختصات کروی علاوه بر پایه های اصلی و متقابل، به اصطلاح پایه فیزیکی اغلب استفاده می شود - بردارهای واحد مماس بر خطوط مختصات. در این مبنا بعد فیزیکی اجزای برداری که معمولاً فیزیکی نیز نامیده می شوند، با بعد ماژول آن که نام پایه را تعیین می کند، منطبق است. با جایگزینی اجزای حاصل از تانسور متریک به (2.5)، بیانی برای انرژی جنبشی یک نقطه مادی در مختصات کروی 1 1 (2.10) T = mv 2 = mr 2 + r 2θ2 + r 2 sin 2 θφ2 به دست می آوریم. 2 2 از آنجایی که مختصات کروی تقارن یک میدان متقارن مرکزی را منعکس می کند، از عبارت (2.10) برای توصیف حرکت یک نقطه مادی در یک میدان متقارن مرکزی استفاده می شود. () 43 برای یافتن مولفه های متضاد شتاب با استفاده از فرمول (2.9)، ابتدا باید مولفه های متضاد تانسور متریک را به عنوان عناصر ماتریس پیدا کنید. ماتریس معکوس gij و سپس نمادهای کریستوفل طبق فرمول (2.8). از آنجایی که ماتریس gij در مختصات متعامد مورب است، عناصر ماتریس معکوس آن (همچنین مورب) به سادگی معکوس عناصر gij هستند: g11 = 1; g22 = r–2; g33 = r–2sin–2θ. اجازه دهید ابتدا بفهمیم کدام یک از نمادهای کریستوفل غیر صفر خواهد بود. برای انجام این کار، رابطه (2.8) را می نویسیم و بالانویس را برابر 1 ∂g j1 ⎫ ⎧ ∂gij ∂g 1 Γ1ij = g 11 ⎨− 1 + 1ji + i ⎬ قرار می دهیم. 2 ∂ξ ⎭ ⎩ ∂ξ ∂ξ از آنجایی که اجزای غیر قطری تانسور متریک برابر با صفر و مولفه g11 = 1 (ثابت است)، دو جمله آخر داخل پرانتز صفر می شود و جمله اول غیرقطعی خواهد بود. صفر برای i = j = 2 و i = j = 3. بنابراین، در بین نمادهای کریستوفل با شاخص 1 در بالا، تنها Γ122 و Γ133 غیر صفر خواهند بود. به طور مشابه، نمادهای غیر صفر کریستوفل را با شاخص های 2 و 3 در بالا می یابیم. در مجموع 6 نماد کریستوفل غیر صفر وجود دارد: Γ122 = -r ; Γ133 = - r sin 2 θ; 1 2 2 Γ12 = Γ 221 = ; Γ33 = - sin θ cos θ; r 1 3 Γ13 = Γ331 = ; Γ323 = Γ332 = ctgϑ. r (2.11) با جایگزینی این روابط در بیان (1.3)، مولفه های شتاب متناقض را در مختصات کروی به دست می آوریم: 44 W 1 = ξ1 + Γ122ξ 2 ξ2 + Γ133ξ3ξ3 = r - rθ2 - r sin 2 θφ2 ; 2 2 1 2 2 3 3 W 2 = ξ 2 + 2Γ12 ξ ξ + Γ33 ξ ξ = θ + r θ - sin θ cos θφ2 ; (2.12) r 2 3 1 3 W 3 = ξ3 + 2Γ13 ξξ + 2Γ323ξ2 ξ3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθφ. r 2.6. معادلات حرکت در یک میدان متقارن مرکزی در مختصات کروی، بردار نیرو فقط یک جزء غیر صفر دارد d Π (r) (2.13) Fr = - dr به همین دلیل، قانون دوم نیوتن برای یک نقطه مادی به شکل d Π (r) است. ) (2.14) mW 1 = mr - r θ2 - r sin 2 θφ2 = - dr 2 (2.15) W 2 = θ + rθ - sin θ cos θφ2 = 0 r 2 (2.16) W 3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθφ = 0 r معادله (2.15 ) دارای دو راه حل جزئی است ⎧0 ⎪ θ = ⎨π (2.17) ⎪⎩ 2 اولین مورد از این راه حل ها با شرط تحمیل شده بر مختصات منحنی تناقض دارد؛ در θ = 0، ژاکوبین تبدیل ها J = ناپدید می شود. g = r 2 sin θ = 0 ( ) θ = 0 با در نظر گرفتن راه حل دوم (2.17)، معادلات (2.14) و (2.16) به شکل d Π (r) (2.18) m (r - r φ2) = - dr 45 2 (2.19) ϕ + rϕ = 0 r معادله (2.19) اجازه می دهد تا متغیرهای d ϕ dr = r ϕ و اولین انتگرال r 2ϕ = C، (2.20) جدا شوند که در آن C ثابت ادغام است. در پاراگراف بعدی نشان داده خواهد شد که این ثابت دو برابر سرعت بخش را نشان می دهد، و بنابراین، خود انتگرال (2.20) قانون دوم یا انتگرال مساحت کپلر است. برای یافتن انتگرال اول معادله (2.18) را جایگزین (2) می کنیم. 18) رابطه (2.20) ⎛ C2 ⎞ d Π (r) m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ و متغیرهای dr 1 dr 2 C 2 1 d Π (r) را جدا کنید. = 3 − r= 2 dr dr r m dr در نتیجه ادغام، ⎛ mr 2 C 2 ⎞ + 2 ⎟ + Π (r) = const = E = T + Π (r) , (2.21) ⎜ r ⎠ به دست می آوریم. ⎝ 2 تن قانون بقای انرژی مکانیکی که با جایگزین کردن (2.17) و (2.20) به (2.10) آسان است. 2.7. سرعت بخش و شتاب بخش سرعت بخش - مقدار، عددی برابر مساحتجاروب شده توسط بردار شعاع نقطه در واحد زمان dS σ= . dt همانطور که از شکل 11 مشاهده می شود 46 1 1 [ r , r + dr ] = [ r , dr ] , 2 2 و سرعت بخش با رابطه 1 (2.22) σ = ⎡⎣ r , r ⎤⎦ تعیین می شود. 2 در مورد حرکت صفحه در مختصات استوانه ای r = ix + jy، x = r cos φ، y = r sin φ (2.22) به شکل i j k 1 1 1 σ = x y 0 = kr 2ϕ = C است. (2.23) 2 2 2 x y 0 dS = r dr r + dr dS شکل 11 - مساحت جاروب شده توسط بردار شعاع بنابراین، ثابت ادغام C دو برابر سرعت بخش است. با محاسبه مشتق زمانی بیان (2.22)، شتاب بخش 47 1 ⎡r , r ⎤ را به دست می آوریم. (2.24) 2⎣ ⎦ طبق قانون دوم نیوتن، عبارت (2.24) نشان دهنده نیمی از ممان نیرو تقسیم بر جرم است و تبدیل این گشتاور به صفر منجر به بقای تکانه زاویه ای می شود (به بخش 1.2 مراجعه کنید). سرعت بخش نصف تکانه زاویه ای تقسیم بر جرم است. به عبارت دیگر، اولین انتگرال های معادلات حرکت در یک میدان متقارن مرکزی را می توان بدون ادغام صریح معادلات دیفرانسیل حرکت نوشت، تنها بر اساس این واقعیت که 1) حرکت در غیاب نیروهای اتلاف کننده رخ می دهد. 2) گشتاور نیروها 1 K = ⎣⎡ r , F ⎦⎤ = ⎣⎡ r , r ⎦⎤ = 0 . (2.25) m صفر می شود. σ= 2.8. معادله حرکت یک نقطه مادی در میدان گرانش و میدان کولن 2.8.1. انرژی موثر متغیرهای رابطه (2.21) به راحتی drdt = , (2.26) 2 E ⎛ 2Π (r) C 2 ⎞ −⎜ + 2 ⎟ m ⎝ m r ⎠ به راحتی جدا می شوند و رابطه حاصل (2.26) قابل تحلیل است. در مورد کولن و میدان های گرانشی، انرژی پتانسیل با فاصله تا مرکز α ⎧α > 0 - نیروی جاذبه نسبت معکوس دارد. Π (r) = − ⎨ (2.27) r ⎩α< 0 − силы оталкивания. В случае силы притяжения выражение в скобках в формуле (2.26) принимает вид 48 2 ⎛ α mC 2 ⎞ ⎜− + ⎟. m ⎝ r 2r 2 ⎠ Оба слагаемых в скобках имеют размерность энергии. Второе слагаемое mC 2 (2.28) U цб = 2r 2 называют центробежной энергией. Вместе с потенциальной энергией она образует так называемую «эффективную энергию», которая имеет минимум, соответствующий устойчивому движению (рисунок 12) α mC 2 (2.29) U эф = − + 2 . r 2r Центробежная энергия r Эффективная энергия Потенциальная энергия Uэфmin Рисунок 12 – Эффективная энергия 2.8.2. Уравнение траектории Вернемся к выражению (2.26). Для вычисления интеграла введем новую переменную 1 dr (2.30) u = , du = − 2 r r и выберем координату ϕ в качестве новой независимой переменной. Это возможно, если ϕ(t) – монотонная функция времени. Монотонность же этой функции вытекает из отличия от нуля производной по времени 49 C r2 во всей области за исключением r → ∞. С учетом этих замен выражение (2.26) приводится к интегралу −du ϕ − ϕ0 = ∫ = α ⎞ 2E ⎛ 2 − ⎜u − 2 u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ = = ϕ= ∫ 2 2E ⎛ α ⎞ ⎛ α ⎞ +⎜ −⎜u − ⎟ 2 2 ⎟ mC ⎝ mC ⎠ ⎝ mC 2 ⎠ α u− mC 2 = arccos . 2E ⎛ α ⎞ +⎜ ⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ P ϕ= 2 2 π 2 Полюс Рисунок 13 – Геометрический смысл фокального параметра Возвращаясь к переменной r, получим уравнение траектории материальной точки в центрально-симметричном поле 50 r= p , 1 + ε cos(ϕ − ϕ0) (2.31) где mC 2 α – фокальный параметр орбиты; p= ε = 1+ 2mC 2 E α2 (2.32) (2.33) – эксцентриситет орбиты. Уравнение (2.31) представляет собой уравнение конического сечения. Геометрический смысл фокального параπ метра, которому радиус-вектор точки равен при ϕ − ϕ0 = 2 представлен на рисунке 13. 2.8.3. Зависимость формы траектории от полной энергии Вид конического сечения – траектории точки в центрально-симметричном поле – зависит от эксцентриситета, а тот согласно (2.33) зависит от полной энергии. 1. ε = 0. Траектория точки представляет собой окружность. انرژی کلنقطه واقع در سطح سیاره ای با جرم M و شعاع R با رابطه mv 2 GMm α2 - = - تعیین می شود. E= 2 R2 2mC 2 2. 0< ε <1. Траектория точки представляет собой эллипс. Полная энергия точки ограничена значениями α2 mv 2 GMm − < − < 0. 2 R2 2mC 2 3. ε = 1. Траектория точки представляет собой параболу. Полная энергия точки обращается в нуль 51 mv 2 GMm − =0. 2 R2 Соответствующая скорость v2 = 2 GM = 2v1 (2.34) R называется второй космической скоростью, а v1 = GM R – первой космической скоростью 4. ε > 1-مسیر یک نقطه هذلولی است. انرژی کل یک نقطه بزرگتر از صفر است. 2.9. تقلیل مشکل دو تنه به مشکل تک بدنی. جرم کاهش یافته اجازه دهید مشکل حرکت دو جسم را تحت تأثیر نیروی برهمکنش فقط با یکدیگر در نظر بگیریم (شکل 14) F12 m2 r r1 m1 r2 F21 O O - مبدا مختصات. m1 و m2 – جرم اجسام متقابل شکل 14 – مسئله دو جسمی اجازه دهید قانون دوم نیوتن را برای هر یک از اجسام بنویسیم 52 m1r1 = F12 = − F (r) ⎫⎪ ⎬ m2 r2 = F21 = F (r) ⎪⎭ ( 2.35) برای بردار r r = r2 - r1 داریم. (2.36) اجازه دهید مشکل بیان بردارهای r1 و r2 را از طریق بردار r مطرح کنیم. معادله (2.36) به تنهایی برای این کار کافی نیست. ابهام در تعریف این بردارها به دلیل خودسرانه بودن انتخاب مبدا مختصات است. بدون محدود کردن این انتخاب به هیچ وجه، بیان منحصر به فرد بردارهای r1 و r2 بر حسب بردار r غیرممکن است. از آنجایی که موقعیت مبدا مختصات باید فقط با موقعیت این دو جسم تعیین شود، منطقی است که آن را با مرکز جرم (مرکز اینرسی) سیستم ترکیب کنیم، یعنی. m1r1 + m2 r2 = 0 قرار دهید. (2.37) با بیان بردار r2 با استفاده از بردار r1 با استفاده از (2.37) و جایگزینی آن با (2.36)، m2 m1 r1 = - r ; r2 = r. m1 + m2 m1 + m2 با جایگزینی این روابط به (2.35) به جای دو معادله، یک mr = F (r) را به دست می آوریم، جایی که مقدار m معرفی می شود، به نام جرم کاهش یافته mm (2.38) m= 1 2. m1 + m2 بنابراین، مشکل حرکت دو جسم در یک میدان عمل متقابل بر روی یکدیگر به مسئله حرکت یک نقطه با جرم کاهش یافته در یک میدان متقارن مرکزی در مرکز سیستم اینرسی کاهش می یابد. 53 2.10. فرمول رادرفورد مطابق با نتایج پاراگراف قبل، مسئله برخورد دو ذره و حرکت بعدی آنها را می توان به حرکت یک ذره در میدان مرکزی یک مرکز ساکن تقلیل داد. این مسئله توسط E. Rutherford برای توضیح نتایج آزمایشی در مورد پراکندگی ذرات α توسط اتم های ماده در نظر گرفته شد (شکل 15). dχ dχ Vm dρ V∞ ρ شکل 15 – rm φ ϕ χ پراکندگی یک ذره α توسط یک اتم ساکن مسیر ذره ای که توسط اتم منحرف می شود باید متقارن نسبت به عمود بر مسیر باشد و از مرکز پراکندگی پایین بیاید. نیمساز زاویه تشکیل شده توسط مجانب). در این لحظه ذره در کمترین فاصله rm از مرکز قرار دارد. فاصله ای که منبع ذرات α در آن قرار دارد بسیار بیشتر از rm است، بنابراین می توانیم فرض کنیم که ذره از بی نهایت در حال حرکت است. سرعت این ذره در بی نهایت در شکل 15 با V∞ نشان داده شده است. فاصله ρ خط بردار سرعت V∞ از خطی موازی با آن که از مرکز پراکندگی می گذرد، فاصله ضربه نامیده می شود. زاویه χ تشکیل شده توسط مجانب مسیر ذرات پراکنده با خط مرکزی (در همان زمان محور قطبی 54 سیستم مختصات قطبی) زاویه پراکندگی نامیده می شود. ویژگی آزمایش این است که در اصل فاصله ضربه را نمی توان در طول آزمایش تعیین کرد. نتیجه اندازه‌گیری‌ها فقط می‌تواند تعداد dN ذراتی باشد که زوایای پراکندگی آنها به یک بازه مشخص [χ,χ + dχ] تعلق دارد. نه تعداد N ذرات N که در واحد زمان سقوط می کنند و نه چگالی شار آنها n = (S سطح مقطع پرتو فرودی است) را نمی توان تعیین کرد. به همین دلیل، سطح مقطع پراکندگی موثر dσ، که با فرمول (2.39) dN تعریف شده است، به عنوان یک مشخصه پراکندگی در نظر گرفته می شود. (2.39) dσ = n عبارت dN n/ 2πρd ρ = = 2πρd ρ dσ = n n/ به دست آمده در نتیجه یک محاسبه ساده به چگالی شار ذرات فرودی بستگی ندارد، اما همچنان به فاصله ضربه بستگی دارد. دیدن اینکه زاویه پراکندگی یک تابع یکنواخت (به طور یکنواخت کاهشی) از فاصله ضربه است دشوار نیست، که اجازه می دهد سطح مقطع پراکندگی موثر به صورت زیر بیان شود: dρ (2.40) d σ = 2πρ dχ . dχ dρ< 0 . Следует, однако, отВ этой формуле учтено, что dχ метить, что рассеиваемые частицы в ходе эксперимента регистрируются не внутри плоского угла dχ, а внутри телесного угла dΩ, заключенного между двумя бесконечно близкими конусами. На рисунке 16 представлен телесный 55 угол dΩ и второй бесконечно малый телесный угол dω, отнесенный к цилиндрической системе координат. Бесконечно малая поверхность ds на рисунке 16 представляет собой часть координатной поверхности – сферы – r = const. С этой поверхностью с точностью до бесконечно малых первого порядка совпадает бесконечно малый прямоугольник, построенный на векторах eθ d θ и eϕ d ϕ 5. Площадь этого прямоугольника равна ds = ⎡⎣ eθ , eϕ ⎤⎦ d θd ϕ = eθ eϕ d θd ϕ = rr sin θd θd ϕ . ds dΩ dω θ dθ r dϕ Рисунок 16 – К выводу связи плоского угла с телесным углом Соответствующий сферической поверхности, площадь которой с точностью до бесконечно малых второго порядка равна площади этого прямоугольника, телесный угол по определению равен ds d ω = 2 = sin θd θd ϕ . r Интегрируя этот угол по ϕ в границах от нуля до 2π, получим 5 Смотрите: часть первая раздел второй учебно-методического комплекса по теоретической механике и механике сплошной среды 56 d Ω = 2π sin θd θ . Очевидно, что угол рассеяния χ есть ни что иное, как сферическая координата θ. Заменяя в (2.40) плоский угол телесным, получим ρ dρ (2.41) dσ = dΩ . sin χ d χ Таким образом, для дальнейшего решения задачи необходимо найти функцию ρ(χ). С этой целью обратимся опять к уравнению (2.26), произведя в ней замену переменных в соответствии с (2.30) и перейдя к независимой переменной ϕ. α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ dϕ = . 2 2E α2 α ⎞ ⎛ + 2 4 −⎜u − ⎟ 2 mC mC ⎝ mC 2 ⎠ Левую часть этого соотношения проинтегрируем от 0 до ϕ, а правую – в соответствующих границах для переменной u: 1 от 0 до um = rm α α um − − 2 mC mC 2 ϕ = arccos − arccos . α2 α2 2E 2E + + mC 2 m 2C 4 mC 2 m 2C 4 В соответствии с законами сохранения энергии и момента импульса можно записать mV∞2 mVm2 α ⎫ = − ;⎪ E= 2 2 rm ⎬ ⎪ C = ρV∞ = rmVm . ⎭ Выразив из этих уравнений um, приходим к выводу, что отличным от нуля будет только второе слагаемое в выражении для ϕ, и, следовательно, имеем 57 ⎛ 2E α2 α2 ⎞ 2 = + ⎜ ⎟ cos ϕ . m 2C 4 ⎝ mC 2 m 2C 4 ⎠ Так как интеграл движения C зависит от ρ, то его следует также заменить в соответствии с законом сохранения момента импульса. Учитывая, что 2ϕ + χ = π, получим формулу Резерфорда 2 ⎛ α ⎞ 1 dσ = ⎜ dΩ . 2 ⎟ ⎝ 2mV∞ ⎠ sin 4 χ 2 2.11. Контрольная работа по теме: Скорость и ускорение в криволинейных координатах 2.11.1. Пример выполнения контрольной работы по теме скорость и ускорение в криволинейных координатах Примером выполнения контрольного задания по этой теме является изложенный в пункте 2.5. метод определения скорости и ускорения в сферических координатах. Используя предлагаемую в третьей колонке с вязь декартовых координат с криволинейными, найдите диагональные компоненты метрического тензора (недиагональные равны нулю, так как все заданные криволинейные координаты являются ортогональными). Полученные Вами результаты сравните с таблицей приложения 1. Используя полученные компоненты метрического тензора, найдите необходимые для вычисления указанных в таблице 2 контравариантных компонент ускорения. 58 2.11.2. Варианты контрольных заданий Найти кинетическую энергию материальной точки и контравариантные компоненты ускорения в криволинейных координатах, представленных в таблице 2. Таблица 2. Варианты заданий контрольных заданий (a, b, c, R, λ, и ω – постоянные величины) Вариант 1 1 Компоненты ускорения 2 Связь с декартовыми координатами 3 W1 ξ1=λ; ξ2=μ; ξ3=ν –общие эллипсоидальные координаты x2 = (a + λ)(a 2 + μ)(a 2 + ν) ; (a 2 − b 2)(a 2 − c 2) y2 = (b 2 + λ)(b 2 + μ)(b 2 + ν) ; (b 2 − a 2)(b 2 − c 2) z2 = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 W2 W3 W1 и W3; ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 ξ1 = u; ξ2 = v; ξ3 = w W2 W3 2 (c 2 + λ)(c 2 + μ)(c 2 + ν) . (c 2 − a 2)(c 2 − b 2) те же координаты те же координаты x2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)cos2ϕ; y2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. координаты вытянутого эллипсоида вращения Те же координаты вытянутого эллипсоида вращения x2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)cos2ϕ; координаты сплюснутого эллипсоида вращения конические координаты y2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. Те же координаты сплюснутого эллипсоида вращения u vw x= ; bc u 2 (v 2 − b 2)(w 2 − b 2) y2 = 2 ; b b2 − c2 u 2 (v 2 − c 2)(w 2 − c 2) z2 = 2 . c c2 − b2 Те же конические координаты Те же конические координаты 59 Окончание таблицы 2 1 11 2 3 параболоидальные координаты (A − λ)(A − μ)(A − v) x2 = ; (B − A) (B − λ)(B − μ)(B − v) y2 = ; (A − B) 1 z = (A + B − λ − μ − v). 2 Те же (параболоидальные) координаты Те же (параболоидальные) координаты W1 ξ1 = λ; ξ2 = μ; ξ3 = ν 12 W2 13 W3 14 W1 и W3; ξ1 = σ; параболические ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ 15 16 W2 и W3 W1, W2 координаты и W3 параболиче1 ξ = σ; ского ξ2 = τ; цилиндра ξ3 = z W1, W2 бицилинди W3 ξ1=σ; рические ξ2=τ; координаты ξ3=z W1 и W3; тороиξ1 = σ; дальные ξ2 = τ; коордиξ3 = ϕ наты Те же (параболические) координаты 19 20 W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; биполярные ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ Те же тороидальные координаты 21 W2 и W3 17 18 x = στ cos ϕ; y = στ sin ϕ; 1 z = (τ2 − σ 2) 2 x = στ; 1 y = (τ2 − σ 2); 2 z=z ash τ ; ch τ − cos σ a sin σ y= ; ch τ − cos σ z=z x= ash τ cos ϕ; ch τ − cos σ ash τ y= sin ϕ; ch τ − cos σ a sin σ z= ch τ − cos σ x= a sin τ cos ϕ; ch σ − cos τ a sin τ y= sin ϕ; ch σ − cos τ ash σ z= . ch σ − cos τ x= Те же биполярные координаты 60 2.12. Тесты итогового контроля (экзамена) 2.12.1. Поле A А.2.2. Приведенной массой в задаче двух тел называется величина … А.2.2. Скорость материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.3. Скорость материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.4. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.5. Квадрат скорости материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.6. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.7. Ускорение материальной точки в криволинейных координатах имеет вид … А.2.8. Кинетическая энергия точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.9. Момент импульса материальной точки, движущейся в центрально симметричном поле равен … А.2.10. Уравнение конического сечения имеет вид … А.2.11 Эксцентриситет орбиты в центрально симметричном гравитационном поле определяется … А.2.12. Площадь S сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол Ω, равна … S Ω А.2.13. Площадь сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол dω, если θ и ϕ сферические координаты, равна … 61 А.2.14. Момент импульса точки в центральном поле в процессе движения … А2.15. Момент силы, действующий на точку в центральном поле в процессе движения … A2.16. Второй закон Кеплера, известный как закон площадей при движении в плоскости xy имеет вид … 2.12.2. Поле B B.2.1. Если символы Кристоффеля в сферических координатах имеют вид … 1 2 2 Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; Γ12 = Γ 221 = ; Γ 33 = − sin θ cos θ; r 1 3 3 3 Γ13 = Γ31 = ; Γ 323 = Γ 32 = ctgϑ. r то компонента Wi ускорения точки в центральносимметричном поле равна … B.2.2. Частным решением уравнения 2 θ + rθ − sin θ cos θ ϕ2 = 0 , r удовлетворяющим требованиям, предъявляемым к криволинейным координатам, является … B.2.3. Первый интеграл дифференциального уравнения 2 ϕ + r ϕ = 0 имеет вид … r B.2.4. Первый интеграл дифференциального уравнения ⎛ C2 ⎞ dΠ – это … m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ B.2.5. Если в интеграле движений в центральном поле 1 E = m (r 2 + r 2 ϕ2) + Π (r) = const 2 учесть интеграл движений r 2 ϕ2 = C = const , то разделение переменных даст выражение … 62 B.2.6. Если в выражении dt = dr 2 E ⎛ C 2 2α ⎞ −⎜ − ⎟ m ⎝ r 2 mr ⎠ перейти к 1 новой переменной u = , то результатом будет выражение r B2.7. Если в выражении, описывающем движение в цен− r 2 du тральном поле dt = , перейти от пе2 E ⎛ 2 2 2α ⎞ u⎟ − ⎜C u − m ⎝ m ⎠ ременной t к новой переменной ϕ, то результатом будет … um −du B.2.8. Интеграл ∫ равен … 2 E ⎛ 2 2α ⎞ 0 −⎜u − u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ B.2.11. Зависимость прицельного расстояния ρ от угла расα χ сеяния χ определяется соотношением: ρ = ctg . От2 mV∞ 2 сюда эффективное сечение рассеяния d σ = 2πρ d ρ dΩ sin χ d χ будет равно … 2.12.3. Поле C C.2.1. Потенциальная энергия спутника Земли массой m кг, средняя высота орбиты которого h, равна … (МДж). Радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли принять равным 10 м/с2. C.2.2. Чтобы уравнения движения двух взаимодействующих тел заменить одним уравнением в центральном поле, необходимо вместо масс тел m1 и m2 использовать величину … 63 С.2.3. Кинетическая энергия спутника массой m, движущегося по эллиптической орбите эксцентриситетом ε и секторной скоростью σ, когда радиус-вектор образует с полярной осью угол ϕ, равна… С.2.4. Модуль секторной скорости точки, координаты которой изменяются по закону: x = asinωt, y = bcosωt, равен (км2/c)… 64 3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 3.1. Структура раздела Поступательное движение -полюс -End1 * Антиподы Вращательное движение -центрВращения -угловаяСкорость +векторноеУмножение(in УгловаяСкорость, in радиусВектор) End1 End3 End5 End2 векторнаяАлгебра -векторноеПроизведение -скалярноеПроизведение End4 тензорнаяАлгебра -законПреобразования -радиусВектор +приведение к диагональному виду() End6 линейнаяАлгебра -собственныеЗначения Рисунок 17 – Структура связей дисциплин 65 * -End2 3.2. Понятие твердого тела. Вращательное и поступательное движение Понятие твердого тела в механике не связано непосредственно с какими-либо представлениями о характере взаимодействия его точек друг с другом. Определение твердого тела включает в себя лишь геометрическую его характеристику: твердым называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется. В соответствии с рисунком 18 определению твердого тела соответствует выражение rab = rab2 = const . (3.1) а rab b ra rb Рисунок 18 – К понятию твердого тела Определение (3.1) позволяет разделить движение твердого тела на два вида – поступательное и вращательное. Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая, выделенная в твердом теле, перемещается параллельно самой себе. Из рисунка 18 следует, что при этом rab = ra − rb = const , (3.2) и, следовательно, ra = rb ; ra = rb , (3.3) т.е. скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы. Очевидно, что для описания поступательного дви66 жения твердого тела достаточно ограничиться описанием движения одной (любой) его точки. Эта избранная точка называется полюсом. Второй тип движения – это движение, при котором скорость хотя бы одной точки твердого тела равна нулю, называемое вращательным движением. Как видно из рисунка 19, модуль бесконечно малого вектора dr , совпадающий с длиной дуги, может быть выражен как dr = r sin αd ϕ = [ d ϕ, r ] , если ввести вектор угла поворота, совпадающего по направлению с осью вращения, т.е. прямой, скорости точек которой в данный момент времени равны нулю. dϕ dr r + dr dϕ Рисунок 19 – α r Вращательное движение твердого тела Если направление вектора определяется при этом по правилу буравчика, то последнее соотношение можно записать в векторной форме dr = [ d ϕ, r ] . Деля это соотношение на время dt, получим связь линейdr dϕ ной v = и угловой ω = скорости dt dt v = [ω, r ] . (3.4.) Из определения (3.1) вытекает, что относительная скорость двух точек твердого тела, всегда перпендикулярна соединяющему их отрезку прямой 67 drab2 = 2 rab , rab = 0, т.е. rab ⊥ rab . dt Это позволяет движение любой точки a твердого тела представить как движение полюса (любой точки O), соответствующего поступательному движению твердого тела, и вращению вокруг полюса с угловой скоростью ω (рисунок 20) dR va = vo + [ω, ra ] , va = a , ra = Ra − ro . (3.5) dt () а ra′ ra Ra Рисунок 20 – ro O′ О ro′ Абсолютное и относительное положение точки твердого тела Покажем, что угловая скорость не зависит от выбора полюса. Рассмотрим два полюса O и O′, и предположим, что вокруг них твердое тело вращается с разными угловыми скоростями ω и ω′ [ω, ro − ro′ ] = − [ω′, r0′ − r0 ] ⇒ [ω − ω′, ro − ro′ ] = 0 . Так как векторы ω − ω′ и ro − ro′ не параллельны, и последний из них не равен нулю, то равен нулю первый вектор, т.е. ω = ω′ . Таким образом, угловая скорость твердого тела не зависит от выбора полюса. Если твердое тело вращается с угловой скоростью ω вокруг некоторой своей точки, то с такой же угловой скоростью оно вращается и вокруг любой другой своей точки. 68 3.3. Кинетическая энергия твердого тела В силу аддитивности энергии выражение для кинетической энергии твердого тела можно записать в виде ma va2 mvo2 1 1 2 ∑ 2 = 2 + 2 ∑ ma (vo [ω, ra ]) + 2 ∑ ma [ω, ra ] .(3.6) a a a Первое слагаемое в правой части выражения (3.6) представляет собой кинетическую энергию материальной точки с массой, равной массе всего твердого тела, и скоростью полюса, что соответствует поступательному движению твердого тела. В силу этого первое слагаемое естественно назвать кинетической энергией поступательного движения твердого тела N mv 2 Tпост = o , m = ∑ ma . (3.7) 2 a =1 Последнее слагаемое в (3.6) остается единственным отличным от нуля, если положить скорость полюса равной нулю, что соответствует определению вращательного движения твердого тела. Поэтому это слагаемое естественно назвать кинетической энергией вращательного движения 1 2 Tвр = ∑ ma [ ω, ra ] . (3.8) 2 a Второе слагаемое в правой части (3.6) содержит характеристики как поступательного, так и вращательного движений. Это слагаемое можно обратить в нуль путем выбора в качестве полюса центра масс твердого тела ⎛ ⎞ ∑ ma (vo [ω, ra ]) = ∑ ma (ra [ vo , ω]) = ⎜ ∑ ma ra [ vo , ω] ⎟ . a a ⎝ a ⎠ Если положить ∑ ma ra ro = rc = a = 0, ∑ ma a 69 то кинетическую энергию твердого тела можно представить в виде двух слагаемых – кинетической энергии вращательного и поступательного движения твердого тела mv 2 1 2 T = o + ∑ ma [ ω, ra ] . 2 2 a Кинетическая энергия твердого тела будет совпадать с кинетической энергией его вращательного движения, если в качестве полюса выбрать мгновенный центр скоростей – точку, скорость которой равна нулю в данный момент времени. Существование такой точки для непоступательного движения можно легко доказать, рассмотрев скорости двух точек твердого тела (рисунок 19). а va vb b ra С Рисунок 21 – rb Мгновенный центр скоростей Проекции векторов скоростей точек a и b на направления, перпендикулярные этим векторам равны нулю, а значит должны быть равны нулю и проекции на эти направления скорости точки, находящейся на пресечении этих направлений. Если эти направления не параллельный друг другу (не поступательное движение), то скорость такой точки может быть равна только нулю. Таким образом, при вычислении кинетической энергии твердого тела в качестве полюса следует выбирать либо центр масс твердого тела, либо мгновенный центр скоростей. 70 3.4. Тензор инерции Кинетическая энергия твердого тела содержит сомножители, как одинаковые для всех точек твердого тела (вектор угловой скорости), так и требующие суммирования по всем точкам. При этом угловая скорость вычисляется в каждый момент времени, структура твердого тела остается неизменной, что заставляет искать пути раздельного вычисления этих величин – суммирования по точкам и компонент угловой скорости. Для такого разделения преобразуем квадрат векторного произведения [ω, ra ]2 = ([ω, ra ] , [ω, ra ]) = ω, ⎡⎣ra , [ω, ra ]⎤⎦ = () () = ω, ωra2 − ra (ω, ra) = ω2 ra2 − (ω, ra) . 2 В первом слагаемом квадрат скорости уже может быть вынесен за знак суммирования по точкам, но во втором это оказывается невозможно для вектора целиком или его модуля. Поэтому скалярное произведение приходится разбивать на отдельные слагаемые и выносить каждую компоненту угловой скорости. Для этого представим в декартовых координатах ω2 = δij ωi ω j ; (ω, ra) = ωi xi . Тогда выражение (3.8) приводится к виду 1 Tвр = I ij ωi ω j , 2 где симметричный тензор второго ранга N (I ij = I ji = ∑ ma δij ra2 − xia x aj a =1 (3.9)) (3.10) называют тензором инерции твердого тела. Выражение (3.10) определяет компоненты тензора инерции в том случае, когда точки твердого тела представляют собой счетное множество. В случае непрерывного распределения точек твердого тела – множества мощности континуум – массу одной точки следует заменить массой 71 бесконечно малого объема, а суммирование по точкам заменить интегрированием по объему I ij = ∫ ρ δij ra2 − xia x aj dV . (3.11) () V Замечание 1. Тензор инерции определяется через радиус-вектор и его компоненты. Так как сам радиус-вектор определен только в декартовых координатах (исключение составляют криволинейные координаты, позаимствовавшие у декартовых начало координат, называемое, как правило, полюсом), то и тензор инерции определен только в декартовых координатах. Это не значит, однако, что тензор инерции вообще нельзя записать в криволинейных координатах. Для перехода к криволинейным координатам нужно лишь в выражениях (3.10) или (3.11) использовать связь декартовых координат с криволинейными. Замечание 2. Так как компоненты радиус-вектора (декартовы координаты) ведут себя как компоненты тензора первого ранга только при поворотах осей декартовой системы координат вокруг ее начала, то и величины (3.10) и (3.11) являются компонентами тензора второго ранга только по отношению к поворотам осей декартовой системы координат. 3.5. Приведение тензора инерции к диагональному виду Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции можно привести к диагональному виду путем поворота осей декартовой системы координат. Такая задача носит название задачи на собственные значения линейного оператора. Некоторый оператор L называется линейным, если для любых двух чисел α и β и любых двух функций ϕ и ψ выполняется условие L(αϕ + β ψ) = αLϕ + βLψ. Если для некоторой функции ϕ выполняется условие 72 Lϕ = λϕ, где λ – некоторое число, то функция ϕ называется собственной функцией оператора L, а число λ – его собственным значением. Рассмотрим действие тензора инерции на векторы ei базиса декартовой системы координат как действие некоторого линейного оператора. Если при этом I ij e j = λ ei , то векторы ei следует назвать собственными векторами тензора инерции, а число λ – его собственным значением. Задача на собственные значения может быть записана в виде (3.12) (I ij − λδij)e j = 0 . Очевидным решением получившейся системы однородных линейных уравнений является решение λ 0 0 I ij = λδij ⇒ I ij = 0 λ 0 , 0 0 λ т.е. тензор инерции приводится к шаровому тензору с единственной независимой компонентой. Однако, как известно из линейной алгебры, система однородных линейных уравнений (3.12) допускает ненулевое решение и в случае, если определитель системы обращается в ноль (это условие является необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения). I11 − λ I12 I13 (3.13) I ij − λδij = I12 I 22 − λ I 23 = 0 . I13 I 23 I 33 − λ Уравнение (3.13) в общем случае имеет три независимых корня, называемых главными моментами инерции, I1 = I11 = λ1, I2 = I22 = λ2, I3 = I33 = λ3. 73 Приведение тензора инерции к диагональному виду эквивалентно приведению к каноническому виду уравнения эллипсоида (3.14) Iijxixj = I1X12 + I2X22 + I3X32 = 1, называемого эллипсоидом инерции. В зависимости от количества независимых главных моментов инерции, т.е. количества независимых корней уравнения (3.13), твердые тела классифицируются следующим образом. 1. Асимметричный волчок. Все три корня I1, I2, I3 отличны друг от друга и от нуля. 2. Симметричный волчок. Два главных момента инерции совпадают I1 = I2 ≠ I3. Частным случаем симметричного волчка является ротатор, один из главных моментов инерции которого равен нулю I3 = 0. Ротатор является достаточно адекватной моделью двухатомной молекулы, в которой один из характерных размеров в 105 раз меньше двух других. 3. Шаровой волчок. Все три главных момента инерции совпадают I1 = I2 = I3 = 0. 3.6. Физический смысл диагональных компонент тензора инерции Если тензор инерции приведен к диагональному виду (часто говорят: к главным осям), то в случае счетного множества точек он имеет вид ∑ ma (ya2 + za2) 0 0 0 ∑ ma (xa2 + za2) 0 0 ∑ ma (xa2 + ya2) a I ij = a 0 . a представляет собой квадрат расВеличина x + y = стояния точки a от оси z, как это видно из рисунка 20. Если 2 a 2 a 2 az 74 теперь ввести понятие момента инерции материальной точки относительно данной оси как произведение массы точки на квадрат расстояния до данной оси I ax = ma ya2 + za2 = 2ax ; I ay = ma xa2 + za2 = 2ay ; () (() I az = ma xa2 + ya2 = 2 az) , то можно ввести аддитивную величину – момент инерции твердого тела относительно данной оси, равную сумме моментов инерции всех точек твердого тела относительно данной оси. I x = ∑ ma ya2 + za2 ; I y = ∑ ma xa2 + za2 ; a () (a ()) I z = ∑ ma xa2 + ya2 . a (3.15) Таким образом, диагональные компоненты тензора инерции представляют собой моменты инерции твердого тела относительно координатных осей. za ra ya xa Рисунок 22 – za К интерпретации понятия момента инерции Замечание 1. Для описания движения одной материальной точки понятие момента ее инерции не играет ни75 какой роли. Это понятие необходимо лишь для того, чтобы показать, что момент инерции твердого тела есть величина аддитивная. Замечание 2. Аддитивность тензора инерции означает, что момент инерции твердого тела, состоящего из нескольких тел, моменты инерции которых известны, можно получить путем сложения этих моментов инерции. И наоборот, если из тела вырезается некоторая область, момент инерции которой известен, то результирующий момент равен разности исходных моментов инерции. 3.7. Теорема Штейнера для тензора инерции Компоненты тензора инерции, представляемые в таблицах, вычисляются, как правило, относительно главных осей тензора инерции, т.е. осей, проходящих через центр масс твердого тела. В то же время часто возникает необходимость вычислять кинетическую энергию твердого тела, вращающегося вокруг оси, не проходящей через центр масс, но параллельной одной из главных осей тензора инерции. Закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе координатных осей отличается от закона преобразования компонент тензора второго ранга, так как компоненты радиус-вектора – декартовы координаты – ведут себя как компоненты тензора только при поворотах координатных осей. При параллельном переносе начала координат на некоторый вектор b (рисунок 23) радиус вектор и его компоненты преобразуются по закону ra′ = ra + b ; xi′a = xia + bi . Подставляя эти соотношения в выражение (3.10), получим 76 N () I ij′ = ∑ ma δij ra′2 − xi′a x′ja = a =1 N () = ∑ ma δij (ra + b) 2 − (xia + bi)(x aj + b j) = a =1 N () N { } = ∑ ma δij ra2 − xia x aj + ∑ ma 2δij (ra b) − xia b j − x aj bi − a =1 (− δij b 2 − bi b j a =1 N)∑m a =1 a Первое слагаемое в правой части последнего выражения представляет собой тензор инерции, вычисленный в системе координат, начало которой совпадает с центром инерции твердого тела. По этой же причине обращается в ноль и следующее слагаемое. В итоге получаем закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе декартовых координат () I ij′ = I ij + m δij b 2 − bi b j , x′3 x3 N m = ∑ ma . (3.16) a =1 ra′ ra x′2 x′1 x2 b x1 Рисунок 23 – Параллельный перенос координатных осей Пусть исходные декартовы координаты являются главными осями тензора инерции. Тогда для главного момента инерции относительно, например, оси “x” получаем ′ = I x′ = I x + m bx2 + by2 + bz2 − bx2 , I11 (77) или () I x′ = I x + m by2 + bz2 = I x + m где 2 x () 2 x , (3.17) = by2 + bz2 – расстояние между осями “x” и “x′”. 3.8. Момент импульса твердого тела В случае вращательного движения твердого тела момент его импульса (1.13) также может быть выражен через компоненты тензора инерции. Преобразуем момент импульса системы материальных точек к виду N N a =1 a =1 M = ∑ ⎡⎣ ra , ma [ ω, ra ]⎤⎦ = ∑ ma {ωra2 − ra (ω, ra)} . Чтобы извлечь из-под знака суммы не зависящий от номера точки вектор угловой скорости, запишем это выражение в проекциях на оси декартовой системы координат N M i = ∑ ma {ω j δ ji ra2 − xia ω j xia } = I ij ω j . (3.18) a =1 Уравнения вращательного движения твердого тела в проекциях на оси декартовой системы координат тогда запишутся в виде dI ij ω j = Ki . (3.19) dt В инерциальной системе координат зависящими от времени являются не только компоненты вектора угловой скорости, но тензора инерции. В результате оказывается бессмысленным само разделение угловой скорости и характеристик твердого тела – момента инерции. Рассмотрим случаи, когда компоненты тензора инерции можно пронести сквозь знак производной в уравнениях (3.19). 1. Шаровой волчок. Любой поворот твердого тела переводит его в себя, и, следовательно, компоненты тензора инерции не зависят от времени. В этом случае момент импульса можно записать в виде 78 M = I ω, I x = I y = I z = I . (3.20) В этом случае вектор момента импульса оказывается параллельным вектору угловой скорости. 2. Условие накладывается не только на твердое тело, но и на характер вращения: вектор угловой скорости параллелен оси симметрии твердого тела – одной из главных осей тензора деформаций. В этом случае момент импульса также можно записать в виде (3.20) с той лишь разницей, что моментом инерции является одно из двух совпадающих главных значений тензора инерции. В обоих рассмотренных случаях уравнения вращательного движения (3.19) принимают вид dω I =K. (3.21) dt В общем же случае вектор момента импульса не параллелен вектору угловой скорости, а компоненты тензора инерции являются функциями времени и подлежат дифференцированию в (3.19). Чтобы избавиться от этого недостатка, уравнения (3.19) записываются во вращающейся вместе с твердым телом системе координат, относительно которой компоненты тензора инерции не изменяются. 3.9. Уравнения вращательного движения твердого тела во вращающейся системе координат Рассмотрим, как влияет на вектор переход во вращающуюся систему координат. Пусть система координат вращается так, как это показано на рисунке 24. Постоянный вектор A получает при этом приращение dA , определяемое его вращением в обратном направлении dA = − ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Тогда приращение dA вектора A в инерциальной системе координат связано с его приращением d ′A во вращающейся системе координат соотношением 79 dA = d ′A − dA = d ′A + ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Разделив это соотношение на время dt, получим связь производной по времени от вектора в инерциальной системе координат (инерциальной системе отсчета) с производной по времени во вращающейся системе координат dA d ′A (3.22) = + ⎡ ω, A⎤⎦ . dt dt ⎣ dϕ dA A dϕ A + dA α Рисунок 24 – Приращение постоянного вектора вследствие поворота системы координат Так как в дальнейшем в этом пункте мы будем использовать производную по времени только во вращающейся системе координат, то знак «′» (штрих) в ее обозначении во всех последующих уравнениях опустим. Тогда уравнения вращательного движения (3.12) можно записать в виде dM + ⎡ω, M ⎦⎤ = K . (3.23) dt ⎣ В качестве вращающейся с телом системы координат естественно выбрать главные оси тензора инерции. Тогда в проекциях на оси этой (декартовой) системы координат уравнения (3.23) примут вид 80 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2 ω3 = K1 ; dt d ω2 I2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = K 2 ; (3.24) dt d ω3 I3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = K 3 . dt Уравнения (3.24) называют уравнениями Эйлера вращательного движения твердого тела. Даже в случае свободного вращения произвольного твердого тела (асимметричного волчка) I1 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2ω3 = 0; dt d ω2 (3.25) + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; I2 dt d ω3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = 0. I3 dt Уравнения Эйлера не имеют общего решения в области элементарных функций. Решениями системы уравнений (3.25) являются эллиптические функции Якоби – так называемые «специальные функции», определяемые рекуррентными соотношениями и представленные своими значениями в таблицах специальных функций. Система (3.25) допускает решение в области элементарных функций в случае вращения симметричного волчка: I1 = I2 dω I1 1 + (I 3 − I1) ω2ω3 = 0; dt d ω2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; . I1 dt d ω3 = 0. dt I1 81 Последнее из этих уравнений дает решение ω3 = const. Введем постоянную величину I −I Ω = ω3 3 1 = const , (3.26) I1 имеющую размерность угловой скорости. Система оставшихся двух уравнений d ω1 ⎫ = −Ωω2 ⎪ ⎪ dt ⎬ d ω2 = Ωω1 ⎪ ⎪⎭ dt может быть решена либо путем сведения к двум независимым однородным معادلات خطی مرتبه دوم یا با استفاده از یک متغیر مختلط کمکی ω = ω1 + iω2. با ضرب دوم از این معادلات در i = -1 و جمع کردن با اولی برای مقدار مختلط ω، معادله dω = iΩω را به دست می آوریم، حل dt آن به شکل ω = AeiΩt است که A ثابت انتگرال گیری است. با معادل سازی قسمت های واقعی و خیالی، ω1 = AcosΩt، ω2 = AsinΩt به دست می آوریم. طرح ریزی بردار سرعت زاویه ای بر روی صفحه ای عمود بر محور تقارن بالا ω⊥ = ω12 + ω22 = ثابت، ثابت باقی می ماند در قدر، دایره ای را در اطراف محور x3 با سرعت زاویه ای (3.26) توصیف می کند که به آن زاویه می گویند. سرعت تقدم 3.10. زوایای اویلر قضیه اویلر: چرخش خودسرانه یک جسم صلب حول یک نقطه ثابت را می توان با سه چرخش متوالی حول سه محور که از نقطه ثابت عبور می کند، انجام داد. اثبات فرض کنید موقعیت نهایی بدن با موقعیت سیستم مختصات Oξηζ داده و تعیین می شود (شکل 25). خط مستقیم ON تقاطع صفحات Oxy و Oξηζ را در نظر بگیرید. این خط مستقیم را خط گره ها می نامند. اجازه دهید یک جهت مثبت روی خط گره‌ها ON انتخاب کنیم تا زمانی که از جهت مثبت خط گره‌ها مشاهده می‌شود، کوتاه‌ترین انتقال از محور Oz به محور Oζ در جهت مثبت (در خلاف جهت عقربه‌های ساعت) تعیین شود. z ζ ηθ N1 y″ k e2 n2 n1 e3 i ϕ x ψ n ψ y′ θ y ϕ e1 j ξ N شکل 25 – زوایای اویلر اولین چرخش بر اساس زاویه ϕ (زاویه بین جهات مثبت محور Ox و خط گره ON) حول محور Oz انجام می شود. پس از اولین چرخش، محور Oξ که در لحظه اولیه زمانی با محور Ox منطبق بود، با خط گره‌ها ON، محور Oη با خط مستقیم Oy منطبق خواهد شد. چرخش دوم با زاویه θ انجام می‌شود. در اطراف خط گره ها. پس از چرخش دوم، صفحه Oξη با موقعیت نهایی خود منطبق می شود. محور Oξ همچنان با خط گره های ON منطبق است، محور Oη با خط مستقیم 83 Oy منطبق می شود. محور Oζ. سومین (آخرین) چرخش حول محور Oζ با زاویه ψ انجام می شود. پس از چرخش سوم محور سیستم متحرک مختصات موقعیت نهایی و از پیش تعیین شده خود را خواهند گرفت. قضیه ثابت می شود. در بالا مشخص است که زوایای ϕ، θ و ψ موقعیت جسمی را که در اطراف یک نقطه ثابت حرکت می کند تعیین می کند. زمان منطبق بر موقعیت معینی از بدن و مقادیر معینی از زوایای اویلر است، در نتیجه زوایای اویلر تابعی از زمان هستند ϕ = ϕ(t)، θ = θ(t) و ψ = ψ(t) . این وابستگی های عملکردی معادلات حرکت یک جسم صلب در اطراف یک نقطه ثابت نامیده می شوند، زیرا آنها قانون حرکت آن را تعیین می کنند. برای اینکه بتوان هر بردار را در یک سیستم مختصات دوار نوشت، باید بردارهای پایه یک سیستم مختصات ثابت i, j, k را از طریق بردارهای e1, e2, e3 یک سیستم مختصات چرخان منجمد شده در یک جسم صلب بیان کرد. برای این منظور سه بردار کمکی را معرفی می کنیم. اجازه دهید بردار واحد خط گره ها را با n نشان دهیم. اجازه دهید دو سه وجهی مختصات کمکی بسازیم: n، n1، k و n، n2، k که به صورت سیستم مختصات سمت راست جهت‌گیری شده‌اند (شکل 22)، با بردار n1 در صفحه Oxy و بردار n2 در صفحه Oξη. اجازه دهید بردارهای واحد سیستم مختصات را در حالت سکون از طریق این بردارهای کمکی بیان کنیم. j = n sin ϕ + n1 cos ϕ; (3.27) k = e3 cos θ + n 2 sin θ. بردارهای کمکی به نوبه خود می توانند به راحتی از طریق بردارهای سیستم مختصات دوار n = e1 cos ψ - e2 sin ψ بیان شوند. n1 = n 2 cos θ - e3 sin θ; (3.28) n 2 = e1 sin ψ + e2 cos ψ. با جایگزینی (3.27) به (3.28)، ما ارتباط نهایی بین بردارهای پایه سیستم مختصات ثابت و بردارهای پایه سیستم مختصات دوار i = (e1 cos ψ - e2 sin ψ) cos φ - - - [(e1) را به دست می‌آوریم. sin ψ + e2 cos ψ) cos θ - e3 sin θ]sin ϕ = = e1 (cos ψ cos ϕ - sin ψ sin ϕ cos θ) - - e2 (sin ψ cos φ + e2 cos ψ sin ϕ cos θ) + e3 sin ϕ sin θ; j = (e1 cos ψ - e2 sin ψ) sin ϕ + +[(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ - e3 sin θ]cos ϕ = = e1 (cos ψ sin ϕ + cos ϕ sin ψ cos θ) + + e2 (- sin ψ sin ϕ + cos ϕ cos ψ cos θ) - e3 sin θ cos φ; k = e3 cos θ + (e1 sin ψ + e2 cos ψ) sin θ = = e1 sin ψ sin θ + e2 cos ψ sin θ + e3 cos θ. این تبدیل ها را می توان به شکل ماتریس نوشت: L11 L12 L13 i j k = e1 e2 e3 L21 L22 L23. L31 L32 L33 ماتریس چرخش توسط عناصر L11 = cosψcosϕ - sinψsinϕcosθ تعیین می شود. L12 = cosψsinϕ + sinψcosϕcosθ; 85 L13 = sinψsinθ; L21 = sinψcosφ + cosψsinϕcosθ; L22 = – sinψsinφ + cosψcosφcosθ; L23 = cosψsinθ; L31 = sinφsinθ; L32 = –sinθcosφ; L11 = cosθ. سپس مولفه‌های یک بردار دلخواه سرعت زاویه‌ای چرخش حول مبدا مشترک را می‌توان از طریق مولفه‌های سرعت زاویه‌ای در یک سیستم مختصات دوار منجمد شده در یک جسم صلب به صورت زیر بیان کرد: L11 L12 L13 Ωx Ωy Ω z = Ω1 Ω2 Ω3 L21 L22 L31 L32 L23 . وظیفه L33. تبدیل های معکوس، از یک سیستم مختصات ثابت به یک سیستم مختصات دوار را بنویسید. 3.11. حرکت در سیستم های مرجع غیر اینرسی در بند 1. 4. ما انتقال از یک سیستم مرجع (K) به سیستم دیگر (K´) را در نظر گرفتیم، که به صورت ترجمه ای نسبت به اولی حرکت می کند، بردارهای شعاع یک نقطه دلخواه "M" اندازه گیری شده در این سیستم های مرجع (توسط این ناظران) مرتبط هستند. توسط رابطه (شکل 4، ص 23) r = r' + R . اجازه دهید مانند پاراگراف 1.4 مشتق زمانی این عبارت dr dr ′ dR = + dt dt dt را محاسبه کنیم با فرض اینکه سیستم مرجع K´ و سیستم مختصات مرتبط با آن با سرعت زاویه ای معینی ω(t) می چرخند. . در مورد حرکت انتقالی، اولین عبارت در سمت راست آخرین عبارت، سرعت نقطه M بود که توسط ناظر K´ اندازه‌گیری شد. در مورد حرکت چرخشی، معلوم می شود که بردار r توسط ناظر K' اندازه گیری می شود، و مشتق زمانی توسط ناظر K محاسبه می شود. برای جداسازی سرعت نسبی نقطه M، از فرمول (3.22) استفاده می کنیم که تعیین می کند. ارتباط بین مشتق زمانی بردار در یک قاب مرجع متحرک انتقالی با مشتق در یک قاب مرجع چرخان dr ′ d ′r ′ = + [ ω, r ′] = u′ + [ ω, r ′]، dt dt که در آن d "r "u" = dt مشتق زمانی که توسط ناظر K" اندازه گیری می شود. بنابراین، با انتخاب به عنوان قطب مبدأ مختصات سیستم K´، که توسط بردار شعاع R تعیین می شود، قضیه را برای جمع سرعت ها برای یک سیستم مختصات دوار به دست می آوریم u = V + u' + [ω, r'] ، (3.29) که در آن نمادها با نمادهای بند 1.4 مطابقت دارند. محاسبه مشتق زمانی عبارت (3.29) du dV du′ ⎡ d ω ⎤ ⎡ dr ′ ⎤ = + + , r ′⎥ + ⎢ ω, ⎥ dt dt dt ⎢⎣ dt ⎦ ⎣ و تبدیل مشتق ⎦ u′ = + [ ω, u′] , dt dt ما ارتباط بین شتاب های du dV d ′u ′ = + + 2 [ ω, u′] + [ ε, r ′] + ⎡⎣ω, [ ω را بدست می آوریم , r ′ ]⎤⎦ dt dt dt عناوین رایج برای این شتاب ها با معنای فیزیکی آنها مطابقت دارد: du Wabs = – شتاب نقطه M، اندازه گیری شده توسط ناظر در حالت dt – شتاب مطلق. 87 dV - شتاب ناظر K نسبت به ناظر dt K - شتاب قابل حمل. d 'u' Wrel = - شتاب نقطه M، اندازه‌گیری شده توسط ناظر K´ - شتاب نسبی. WCor = 2 [ω, u'] - شتاب ناشی از حرکت Wper = حرکت نقطه M در یک قاب مرجع چرخان با سرعتی که با بردار سرعت زاویه‌ای موازی نیست، - شتاب کوریولیس. [ε, r ′] - شتاب ناشی از ناهمواری حرکت چرخشی قاب مرجع K'، یک نام پذیرفته شده عمومی ندارد. Wсс = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ – شتاب معمولی یا مرکزگرا، که معنای آن در مورد خاصی از یک دیسک در حال چرخش، زمانی که بردار ω عمود بر بردار r ′ باشد، آشکار می شود. در واقع، در این مورد Wtss = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ = ω (ω, r ′) − r ′ω2 = −r ′ω2 – بردار عمود بر سرعت خطی در امتداد (معمولاً) جهت می گیرد. شعاع به مرکز 3.12. تست

قوانین مکانیک گالیله-نیوتن

دینامیک مبتنی بر قوانین (بدیهیات) است که تعمیم فعالیت عملی انسان است. اصول مختلف مکانیک به طور منطقی از این قوانین ناشی می شود. این قوانین توسط گالیله و نیوتن تعمیم داده شد و در رابطه با یک نکته مادی فرموله شد.

قانون اول نیوتن(قانون اینرسی). نقطه مادی که توسط نیروها بر روی آن اثر نمی گذارد یا سیستم تعادلی نیروها بر آن اثر می گذارد، این توانایی را دارد که حالت سکون یا حرکت یکنواخت و خطی خود را حفظ کند.

در هر دو حالت اول و دوم شتاب نقطه صفر است این حالت سینماتیکی نقطه نامیده می شود. اینرسی.

تمام سیستم های مرجع که در رابطه با آنها قانون اینرسی برقرار است نامیده می شوند اینرسی.

قانون دوم نیوتن(قانون اساسی دینامیک). شتاب یک نقطه مادی نسبت به چارچوب مرجع اینرسی متناسب با نیروی وارد شده به نقطه است و در امتداد این نیرو هدایت می شود (شکل 1).

این قانون را می توان به شکل بیان کرد

(1)

جایی که مترضریب مثبتی که خواص اینرسی یک نقطه مادی را مشخص می کند جرم نقطه نامیده می شود. جرم در مکانیک کلاسیک یک کمیت ثابت در نظر گرفته می شود. واحد جرم SI کیلوگرم (کیلوگرم) است. - شتاب نقطه ای؛ - نیروی اعمال شده به یک نقطه

برنج. 1

برنج. 2

جرم معمولاً با نیروی گرانش و شتاب ناشی از گرانش در سطح زمین تعیین می شود. طبق (1) داریم

قانون سوم نیوتن(قانون برابری نیروهای کنش و واکنش). نیروهای برهمکنش بین دو نقطه مادی از نظر قدر مساوی و در جهت مخالف هستند (شکل 2).

قانون چهارم(قانون استقلال عمل نیروها). با عمل همزمان چند نیرو، یک نقطه مادی شتابی برابر با مجموع هندسی آن شتاب هایی می یابد که تحت تأثیر هر یک از این نیروها به طور جداگانه به دست می آورد. بنابراین، نیروهای وارد شده به یک نقطه مادی مستقل از یکدیگر بر روی آن عمل می کنند.

اجازه دهید سیستمی از نیروها به یک نقطه مادی اعمال شود سپس، طبق قانون دوم نیوتن، شتاب حاصل از عمل هر نیرو با عبارت (1) تعیین می شود:

شتاب با عمل همزمان همه نیروها

(3)

با جمع (2) و با استفاده از (3)، معادله اصلی دینامیک یک نقطه را به دست می آوریم:

اما نقطه تحت تأثیر یک نیرو شتاب یکسانی پیدا می کند

از آنجایی که نظام نیروها و نیرو شتاب یکسانی را به نقطه می دهد، آنگاه این سیستم نیروها و نیرو معادل هستند.

معادلات دیفرانسیل حرکت یک نقطه مادی

3.1.2.1. معادلات دیفرانسیل حرکت یک نقطه آزاد

برنج. 3

اجازه دهید یک نقطه مادی آزاد توسط سیستمی از نیروها که برآیند دارد، وارد شود، به شکل 2 مراجعه کنید. 3. سپس طبق قانون اساسی دینامیک،

(4)

شتاب یک نقطه را می توان به صورت نمایش داد بنابراین برابری (4) به شکل زیر است:

. (5)

معادله (5) معادله دیفرانسیل برداری حرکت یک نقطه مادی است. اگر آن را روی محورهای یک سیستم مختصات دکارتی بتابانیم، معادلات دیفرانسیل حرکت یک نقطه مادی را در برآمدگی روی این محورها به دست خواهیم آورد:

وقتی نقطه ای در یک صفحه حرکت می کند اکسیسیستم معادلات (6) به شکل زیر است:

وقتی نقطه ای در یک خط مستقیم در امتداد یک محور حرکت می کند گاو نرما یک معادله دیفرانسیل حرکت را بدست می آوریم:

با پیش بینی تساوی (5) بر روی محورهای مختصات طبیعی، معادلات دیفرانسیل حرکت یک نقطه را در پیش بینی ها بر روی محورهای مختصات طبیعی به دست می آوریم:

1.2.2. معادلات دیفرانسیل حرکت یک نقطه غیر آزاد

بر اساس اصل رهایی از اتصالات، یک نقطه غیرآزاد را می توان با جایگزینی عمل اتصالات با واکنش آنها به نقطه آزاد تبدیل کرد. بگذارید حاصل واکنش های پیوند باشد، سپس معادله اصلی دینامیک نقطه به شکل زیر در می آید:

(7)

با پیش بینی (7) بر روی محورهای سیستم مختصات دکارتی، معادلات دیفرانسیل حرکت یک نقطه غیرآزاد را در برآمدگی روی این محورها به دست می آوریم:

برای حل مسائل باید معادلات قید را به این معادلات اضافه کرد.

معادلات دیفرانسیل حرکت یک نقطه در پیش بینی ها بر روی محورهای مختصات طبیعی:

1.2.3. معادلات دیفرانسیل برای حرکت نسبی یک نقطه

معادله پایه دینامیک نقطه برای یک قاب مرجع اینرسی که در آن شتاب مطلق است معتبر است. طبق قضیه کوریولیس، شتاب مطلق

شتاب حرکت قابل حمل کجاست. - شتاب نسبی نقطه نسبت به سیستم مختصات متحرک؛ - شتاب کوریولیس

با جایگزینی عبارت برای شتاب مطلق به معادله پایه دینامیک یک نقطه، به دست می آوریم

اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم: - نیروی اینرسی قابل حمل؛ – نیروی اینرسی کوریولیس

سپس معادله (9) شکل می گیرد

(10)

برابری حاصل قضیه پویا کوریولیس را بیان می کند.

قضیه کوریولیس. حرکت نسبی یک نقطه مادی را می توان مطلق در نظر گرفت اگر نیروهای انتقال و اینرسی کوریولیس به نیروهای وارد بر نقطه اضافه شوند.

اجازه دهید حالت تعادل نسبی نقطه را در نظر بگیریم سپس شتاب کوریولیس با جایگزینی این مقادیر به معادله (10)، شرط تعادل نسبی یک نقطه را بدست می آوریم:

برای اینکه قانون اساسی دینامیک حرکت نسبی یک نقطه با قانون اساسی حرکت مطلق آن منطبق شود، باید شرایط زیر رعایت شود:

اگر سیستم مختصات متحرک به صورت ترجمه حرکت کند، این شرط برآورده می شود مستقیم و یکنواخت در رابطه با این سیستم های مرجع، و همچنین در رابطه با سیستم های ثابت، زمانی که قانون اینرسی محقق خواهد شد. بنابراین، تمام سیستم های مرجع که به صورت انتقالی، مستقیم و یکنواخت حرکت می کنند، و همچنین آنهایی که در حالت سکون هستند، هستند اینرسی.

از آنجایی که قوانین دینامیک در همه سیستم‌های مرجع اینرسی یکسان است، در همه این سیستم‌ها اگر همان رویداد به عنوان نقطه مرجع در نظر گرفته شود، پدیده‌های مکانیکی دقیقاً به همان شکل پیش می‌روند. این از اصل نسبیت مکانیک کلاسیک پیروی می کند.

اصل نسبیت مکانیک کلاسیک.هیچ آزمایش مکانیکی نمی تواند حرکت اینرسی سیستم مرجع را تشخیص دهد که با آن در این حرکت شرکت می کند.

ارتعاشات آزاد یک نقطه مادی. اثر نیروی ثابت بر نوسان آزاد

ارتعاشات رایگان(یا خودت نوسانات) - اینها نوسانات هستندسیستم نوسانی، تنها به دلیل انرژی ارسال شده اولیه (پتانسیل یا جنبشی) در غیاب تأثیرات خارجی انجام می شود.

معادله دیفرانسیل ارتعاشات آزاددر صورت عدم وجود مقاومت:

جواب کلی این معادله به شکل کجاست

در حالتی که نیروی موقعیتی وارد بر یک نقطه مادی تمایل به بازگرداندن آن به موقعیت اولیه خود داشته باشد، حرکت نقطه ماهیت نوسانی خواهد داشت. این نیرو معمولاً ترمیم کننده نامیده می شود.

تحت عمل یک نیروی ترمیم کننده، یک نقطه مادی طبق یک قانون سینوسی حرکت می کند، یعنی. حرکت نوسانی هارمونیک

یک نیروی ثابت P ماهیت نوسانات ایجاد شده توسط یک نقطه را تحت تأثیر نیروی بازگرداننده F تغییر نمی دهد، بلکه فقط مرکز این نوسانات را با مقدار انحراف ایستا به سمت عمل نیروی P تغییر می دهد.

حرکت یک نقطه مادی در شرایط تشدید

در صورتی که، یعنی. هنگامی که فرکانس نیروی مزاحم برابر با فرکانس نوسانات طبیعی باشد، به اصطلاح پدیده رزونانس رخ می دهد.

رزونانس افزایش شدید دامنه نوسانات اجباری است. زمانی اتفاق می افتد که فرکانس نوسانات طبیعی با فرکانس نیروی محرکه منطبق باشد

دامنه نوسانات اجباری در طول تشدید به طور نامحدود در طول زمان افزایش می یابد

نوسانات اجباری یک نقطه مادی با مقاومت متناسب با سرعت.

حرکت چرخشی

در این مورد . سپس

- انرژی جنبشی یک جسم در حین حرکت دورانی برابر است با نصف حاصلضرب ممان اینرسی جسم نسبت به محور چرخش و مجذور سرعت زاویه ای آن.

قضیه کونیگ

انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی انرژی حرکت مرکز جرم به اضافه انرژی حرکت نسبت به مرکز جرم است:

T=T0+Tr(\displaystyle (T\;=\;T_(0)+T_(r))\;,)

جایی که T - (\displaystyle T) TTTTTTtTTTTtt کل انرژی جنبشی سیستم است، (\displaystyle T_(0))T0 انرژی جنبشی حرکت مرکز جرم است، (\displaystyle T_(r))Tr است انرژی جنبشی نسبی سیستم

به عبارت دیگر، کل انرژی جنبشی یک جسم یا سیستم اجسام در حرکت پیچیده برابر است با مجموع انرژی سیستم در حرکت انتقالی و انرژی سیستم در حرکت کروی خود نسبت به مرکز جرم.

فرمول دقیق تر: کل انرژی جنبشی کل سیستم برابر است با مجموع انرژی جنبشی کل جرم سیستم که در مرکز جرم آن متمرکز شده و با سرعت مرکز جرم حرکت می کند، به اضافه جنبشی. انرژی همان سیستم در سیستم نسبی آن نسبت به مرکز جرم

شکل 1 - سقوط آزاد یک جسم.

از آنجایی که بار کوچک است، مقاومت هوا بسیار کم است و انرژی برای غلبه بر آن کم است و می توان از آن صرف نظر کرد. سرعت بدنه زیاد نیست و در فاصله کم به لحظه ای نمی رسد که با اصطکاک با هوا متعادل شود و شتاب متوقف شود.

در لحظه برخورد با زمین، انرژی جنبشی حداکثر است. از آنجایی که بدن حداکثر سرعت خود را دارد. و انرژی پتانسیل صفر است، زیرا جسم به سطح زمین رسیده و ارتفاع آن صفر است. یعنی اتفاقی که می افتد این است که حداکثر انرژی پتانسیل در نقطه بالایی، در حین حرکت، به انرژی جنبشی تبدیل می شود که به نوبه خود در نقطه پایین به حداکثر می رسد. اما مجموع تمام انرژی های سیستم در طول حرکت ثابت می ماند. با کاهش انرژی پتانسیل، انرژی جنبشی افزایش می یابد.

اتصالات ایده آل

هنگامی که یک نقطه در امتداد یک سطح یا در امتداد یک منحنی حرکت می کند، واکنش اتصال را می توان به اجزای عادی و مماسی تجزیه کرد. جزء مماسی واکنش نشان دهنده نیروی اصطکاک است. هر چه سطح یا منحنی صاف تر باشد، مولفه مماسی واکنش کوچکتر خواهد بود. اگر سطح یا منحنی کاملاً صاف باشد، واکنش نسبت به سطح طبیعی است

اتصالات ایده آلبه پیوندهای بدون اصطکاک می گویند که واکنش آنها دارای اجزای مماسی نیست

اصل رهایی از پیوندهاکه بر اساس آن اگر پیوندهای وارد بر آن را دور بریزیم و با نیروها - واکنش پیوندها جایگزین کنیم، جسم غیرآزاد را می توان آزاد در نظر گرفت.

واکنش ارتباطینیرویی که با آن یک اتصال معین بر بدن وارد می شود و از یک یا یکی دیگر از حرکات آن جلوگیری می کند، واکنش اتصال نامیده می شود. واکنش ارتباطیدر جهت مخالف جایی که اتصال از حرکت بدن جلوگیری می کند.

مهر و موم سخت

یافتن واکنش تعبیه سفت و سخت به تعیین اجزای آن ختم می شود X Aو Y Aجلوگیری از حرکت خطی پرتو در صفحه عمل نیروها و مقدار جبری لحظه m Aجلوگیری از چرخش تیر تحت تأثیر نیروهای وارده به آن.

شکل 4

راه حل.این مشکل را می توان با استفاده از روش های استاتیک شناخته شده با ترکیب معادلات تعادل حل کرد. اما در این حالت ابتدا باید نیروهای موجود در میله ها را پیدا کنید. اصل حرکات ممکن به ما امکان می دهد نیرو پیدا کنیم افساده تر، با استفاده از معادله عمومی استاتیک.

نیروهای فعال را نشان می دهیم و . با چرخاندن میله به سیستم امکان حرکت می دهیم JSCدر یک زاویه (شکل 66). از آنجایی که ناودان یک حرکت انتقالی ایجاد می کند، حرکات تمام نقاط آن یکسان خواهد بود:

جایی که آ=AO=BD.

معادله کار را ایجاد می کنیم: . گوشه .

بنابراین ما دریافت می کنیم. از اینجا.

معادله کلی دینامیک.

بر اساس اصل دالامبر، یک سیستم مادی که تحت تأثیر نیروهای معینی حرکت می کند، می تواند در حالت تعادل در نظر گرفته شود که نیروهای اینرسی آنها به تمام نقاط سیستم اعمال شود. این بدان معنی است که شما می توانید از اصل حرکات ممکن استفاده کنید.

معادله کار (1) همچنین شامل مجموع کار انجام شده توسط نیروهای اینرسی نقاط بر روی حرکات احتمالی آنها خواهد بود:

یا طبق اصل سرعت های ممکن (2):

این معادلات نامیده می شوند معادله کلی دینامیک . این به شما امکان می دهد تا کلاس بزرگی از مسائل مربوط به مطالعه حرکت سیستم های مواد نسبتاً پیچیده را حل کنید.

معادلات (3) و (4) نشان می دهد که در هر لحظه از زمان ثابت، مجموع آثار اولیه نیروهای فعال و نیروهای اینرسی بر روی هر جابجایی مجازی برابر با صفر است، مشروط بر اینکه اتصالات ایده آل و مهار کننده بر سیستم تحمیل شود.

شایان ذکر است که یکی دیگر از مزایای مهم این روش، معادله کلی دینامیک، - هنگام مطالعه حرکت سیستم، واکنش های اتصالات (ایده آل) حذف می شود.

گاهی اوقات می توان از این معادله برای بررسی حرکت سیستم های مکانیکی و در مواردی که همه اتصالات ایده آل نیستند، برای مثال، زمانی که اتصالات با اصطکاک وجود دارد، استفاده کرد. برای انجام این کار، لازم است آن دسته از اجزای واکنش ها را که در اثر وجود نیروهای اصطکاک ایجاد می شود، به نیروهای فعال اضافه کرد.

شکل 11

اگر به بدن در این موقعیت سرعت کم داده شود یا فاصله کمی جابجا شود و این انحرافات در آینده افزایش نیابد، تعادل پایدار در نظر گرفته می شود.

می توان ثابت کرد (قضیه لاگرانژ- دیریکله) که اگر در موقعیت تعادل یک سیستم محافظه کار انرژی پتانسیل آن حداقل باشد، این موقعیت تعادل پایدار است.

برای یک سیستم محافظه کار با یک درجه آزادی، شرط حداقل انرژی پتانسیل، و در نتیجه پایداری موقعیت تعادل، توسط مشتق دوم، مقدار آن در موقعیت تعادل تعیین می شود.

قوانین مکانیک کلاسیک معادله دیفرانسیل حرکت یک نقطه مادی.

چنین سیستم‌های مرجعی وجود دارند که اینرسی نامیده می‌شوند که نسبت به آن‌ها نقاط مادی، زمانی که هیچ نیرویی روی آن‌ها وارد نمی‌شود (یا نیروهای متقابل متوازن روی آن‌ها وارد می‌شوند)، در حالت سکون یا حرکت خطی یکنواخت هستند.

در یک قاب مرجع اینرسی، شتاب دریافتی توسط یک نقطه مادی با جرم ثابت، نسبت مستقیم با برآیند تمام نیروهای اعمال شده به آن و با جرم آن نسبت معکوس دارد.

نقاط مادی توسط نیروهایی با ماهیت یکسان که در امتداد خط مستقیمی که این نقاط را به هم وصل می کند، از نظر بزرگی مساوی و در جهت مخالف، با یکدیگر تعامل دارند.

ΣX = m(d 2 x/dt 2); ΣY = m(d 2 y/dt 2)،

که در آن ΣX و ΣY مجموع جبری پیش بینی نیروهای وارد بر یک نقطه بر روی نقطه مربوطه هستند. محورهای مختصات; x و y مختصات فعلی نقطه هستند.

با استفاده از وابستگی های دیفرانسیل به دست آمده، دو مسئله اصلی دینامیک حل می شود:

• بر اساس حرکت داده شده یک نقطه، نیروهای وارد بر آن تعیین می شوند.
• با شناخت نیروهای وارد بر یک نقطه، حرکت آن را تعیین می کنند.