متغیر تصادفی دو بعدی متغیرهای تصادفی دو بعدی گسسته توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی را بیابید

اجازه دهید یک دو بعدی مقدار تصادفی$(X,Y)$.

تعریف 1

قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی $(X,Y)$ مجموعه ای از جفت های ممکن از اعداد $(x_i,\ y_j)$ است (که $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) و آنها احتمالات $p_(ij)$ .

اغلب، قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی به شکل جدول نوشته می شود (جدول 1).

شکل 1. قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی.

حالا یادمان باشد قضیه در مورد جمع احتمالات رویدادهای مستقل.

قضیه 1

احتمال مجموع تعداد محدودی از رویدادهای مستقل $(\A)_1$, $(\A)_2$, ... ,$\(\A)_n$ با فرمول محاسبه می شود:

با استفاده از این فرمول، می توانید قوانین توزیع را برای هر جزء از یک متغیر تصادفی دو بعدی بدست آورید، یعنی:

از این نتیجه حاصل می شود که مجموع همه احتمالات یک سیستم دو بعدی به شکل زیر است:

اجازه دهید به طور مفصل (گام به گام) مسئله مرتبط با مفهوم قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی را بررسی کنیم.

مثال 1

قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی در جدول زیر آورده شده است:

شکل 2.

قوانین توزیع متغیرهای تصادفی $X,\Y$, $X+Y$ را بیابید و در هر مورد بررسی کنید که مجموع احتمالات برابر با یک باشد.

1. اجازه دهید ابتدا توزیع متغیر تصادفی $X$ را پیدا کنیم. متغیر تصادفی $X$ می تواند مقادیر $x_1=2، $$x_2=3$، $x_3=5$ را بگیرد. برای یافتن توزیع از قضیه 1 استفاده می کنیم.

اجازه دهید ابتدا مجموع احتمالات $x_1$ را به صورت زیر پیدا کنیم:

شکل 3.

به طور مشابه، $P\left(x_2\right)$ و $P\left(x_3\right)$ را پیدا می کنیم:

\ \

شکل 4.

1. اجازه دهید اکنون توزیع متغیر تصادفی $Y$ را پیدا کنیم. متغیر تصادفی $Y$ می تواند مقادیر $x_1=1، $x_2=3$، $x_3=4$ را بگیرد. برای یافتن توزیع از قضیه 1 استفاده می کنیم.

اجازه دهید ابتدا مجموع احتمالات $y_1$ را به صورت زیر پیدا کنیم:

شکل 5.

به طور مشابه، $P\left(y_2\right)$ و $P\left(y_3\right)$ را پیدا می کنیم:

\ \

این بدان معنی است که قانون توزیع مقدار X$ به شکل زیر است:

شکل 6.

بیایید برابری مجموع احتمالات را بررسی کنیم:

1. باقی مانده است که قانون توزیع متغیر تصادفی $X+Y$ را پیدا کنیم.

برای راحتی، اجازه دهید آن را با $Z$ نشان دهیم: $Z=X+Y$.

ابتدا بیایید دریابیم که این کمیت چه مقادیری می تواند داشته باشد. برای انجام این کار، مقادیر $X$ و $Y$ را به صورت جفت اضافه می کنیم. ما مقادیر زیر را دریافت می کنیم: 3، 4، 6، 5، 6، 8، 6، 7، 9. اکنون، با صرف نظر از مقادیر مطابق، متوجه می شویم که متغیر تصادفی $X+Y$ می تواند مقادیر z_1$ را بگیرد. =3،\ z_2=4،\ z_3=5،\ z_4=6،\ z_5=7،\ z_6=8،\ z_7=9.\ $

اجازه دهید ابتدا $P(z_1)$ را پیدا کنیم. از آنجایی که مقدار $z_1$ یک است، به صورت زیر یافت می شود:

شکل 7.

همه احتمالات به جز $P(z_4)$ به طور مشابه یافت می شوند:

اکنون اجازه دهید $P(z_4)$ را به صورت زیر پیدا کنیم:

شکل 8.

این بدان معنی است که قانون توزیع مقدار $Z$ به شکل زیر است:

شکل 9.

بیایید برابری مجموع احتمالات را بررسی کنیم:

دو بعدی توزیع گسستهتصادفی

اغلب نتیجه یک آزمایش با چندین متغیر تصادفی توصیف می شود: . به عنوان مثال، آب و هوا در یک مکان معین در یک زمان معین از روز را می توان با متغیرهای تصادفی زیر مشخص کرد: ایکس 1 - دما ایکس 2- فشار ایکس 3-رطوبت هوا ایکس 4- سرعت باد

در این مورد، ما از یک متغیر تصادفی چند بعدی یا سیستمی از متغیرهای تصادفی صحبت می کنیم.

یک متغیر تصادفی دو بعدی را در نظر بگیرید که مقادیر احتمالی آن جفت اعداد است. از نظر هندسی، یک متغیر تصادفی دو بعدی را می توان به عنوان یک نقطه تصادفی در یک صفحه تفسیر کرد.

اگر اجزای ایکسو Yمتغیرهای تصادفی گسسته هستند، پس یک متغیر تصادفی دو بعدی گسسته است، و اگر ایکسو Yپیوسته هستند، سپس یک متغیر تصادفی دو بعدی پیوسته است.

قانون توزیع احتمال یک متغیر تصادفی دو بعدی مطابقت بین مقادیر ممکن و احتمالات آنها است.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته دو بعدی را می توان در قالب یک جدول با ورودی دوگانه مشخص کرد (جدول 6.1 را ببینید)، جایی که احتمال این که جزء ایکسمعنی به خود گرفت ایکس من، و جزء Y- معنی y j .

جدول 6.1.1.

	y 1	y 2		y j		y متر
ایکس 1	پ 11	پ 12		پ 1j		پ 1 متر
ایکس 2	پ 21	پ 22		پ 2j		پ 2 متر
ایکس من	پ i1	پ i2		پ ij		پ من هستم
ایکس n	پ n1	پ n2		پ nj		پ نانومتر

از آنجایی که رویدادها یک گروه کامل از رویدادهای ناسازگار زوجی را تشکیل می دهند، مجموع احتمالات برابر با 1 است، یعنی.

از جدول 6.1 می توانید قوانین توزیع اجزای یک بعدی را بیابید ایکسو Y.

مثال 6.1.1 . قوانین توزیع اجزا را بیابید ایکسو Y،اگر توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی در قالب جدول 6.1.2 آورده شده باشد.

جدول 6.1.2.

برای مثال، اگر مقدار یکی از آرگومان ها را ثابت کنیم، توزیع حاصل از مقدار ایکستوزیع شرطی نامیده می شود. توزیع شرطی نیز به طور مشابه تعریف شده است Y.

مثال 6.1.2 . با توجه به توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی ارائه شده در جدول. 6.1.2، پیدا کنید: الف) قانون توزیع شرطی جزء ایکسبا توجه به اینکه؛ ب) قانون توزیع مشروط Yبه شرطی که.

راه حل. احتمالات مشروط اجزاء ایکسو Yبا استفاده از فرمول ها محاسبه می شود

قانون توزیع مشروط ایکسبه شرطی که فرم داشته باشد

کنترل: .

قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی را می توان در فرم مشخص کرد توابع توزیع، که برای هر جفت اعداد احتمال آن را تعیین می کند ایکسمقدار کمتر از ایکس، و در کجا Yمقدار کمتر از y:

از نظر هندسی، تابع به معنای احتمال سقوط یک نقطه تصادفی به یک مربع نامتناهی با راس آن در نقطه است (شکل 6.1.1).

بیایید خواص را یادداشت کنیم.

• 1. محدوده مقادیر تابع است، یعنی. .
• 2. تابع - یک تابع غیر کاهشی برای هر آرگومان.
• 3. روابط محدود کننده ای وجود دارد:

زمانی که تابع توزیع سیستم با تابع توزیع جزء برابر شود ایکس، یعنی .

به همین ترتیب، .

با دانستن این موضوع، می توانید احتمال افتادن یک نقطه تصادفی در مستطیل ABCD را پیدا کنید.

برای مثال،

مثال 6.1.3. یک متغیر تصادفی گسسته دو بعدی توسط یک جدول توزیع مشخص می شود

تابع توزیع را پیدا کنید.

راه حل. ارزش در مورد اجزای گسسته ایکسو Yبا جمع کردن همه احتمالات با شاخص ها پیدا می شود منو j، برای کدام، . سپس، اگر و، پس (حوادث و غیر ممکن است). به طور مشابه دریافت می کنیم:

اگر و، پس؛

اگر و، پس؛

اگر و، پس؛

اگر و، پس؛

اگر و، پس؛

اگر و، پس؛

اگر و، پس؛

اگر و، پس؛

اگر و، پس

اجازه دهید نتایج به دست آمده را در قالب جدول (6.1.3) مقادیر ارائه کنیم:

برای پیوسته دو بعدیمتغیر تصادفی، مفهوم چگالی احتمال معرفی شده است

چگالی احتمال هندسی سطح توزیع در فضا است

چگالی احتمال دو بعدی دارای ویژگی های زیر است:

3. تابع توزیع را می توان از طریق فرمول بیان کرد

4. احتمال سقوط یک متغیر تصادفی پیوسته در منطقه برابر است با

5. مطابق با ویژگی (4) تابع، فرمول های زیر برقرار است:

مثال 6.1.4.تابع توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی داده شده است

تعریف.اگر دو متغیر تصادفی در فضای یکسانی از رویدادهای ابتدایی داده شوند ایکسو Y،بعد می گویند داده شده است متغیر تصادفی دو بعدی (X,Y) .

مثال.این دستگاه کاشی های فولادی را مهر می کند. طول کنترل شده ایکسو عرض Y. - SV دو بعدی.

NE ایکسو Yتوابع توزیع و سایر ویژگی های خود را دارند.

تعریف. تابع توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی (X,Y) تابع نامیده می شود.

تعریف. قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی گسسته (X, Y) جدول نامیده می شود

			…
…

برای یک SV گسسته دو بعدی.

خواص:

2) اگر، پس ; اگر پس از آن ;

4) - تابع توزیع ایکس;

- تابع توزیع Y.

احتمال افتادن مقادیر SV دو بعدی در یک مستطیل:

تعریف.متغیر تصادفی دو بعدی (X,Y)تماس گرفت مداوم ، اگر تابع توزیع آن باشد پیوسته است و در همه جا (به جز، شاید تعداد محدودی منحنی) مشتق جزئی مخلوط پیوسته مرتبه دوم دارد. .

تعریف. چگالی توزیع احتمال مشترک یک SV پیوسته دو بعدی تابع نامیده می شود.

سپس به وضوح .

مثال 1.یک SV پیوسته دو بعدی توسط تابع توزیع مشخص می شود

سپس چگالی توزیع شکل می گیرد

مثال 2.یک SV پیوسته دو بعدی با چگالی توزیع مشخص می شود

بیایید تابع توزیع آن را پیدا کنیم:

خواص:

3) برای هر منطقه.

بگذارید چگالی توزیع مشترک مشخص شود. سپس چگالی توزیع هر یک از اجزای SV دو بعدی به صورت زیر بدست می آید:

مثال 2 (ادامه دارد).

برخی از نویسندگان چگالی توزیع مولفه های SW دو بعدی را می نامند حاشیه ایچگالی توزیع احتمال .

قوانین شرطی توزیع اجزای یک سیستم SVهای گسسته.

احتمال شرطی، جایی که .

قانون توزیع شرطی جزء ایکسدر:

ایکس			…
آر			…

به طور مشابه برای ، جایی که .

بیایید یک قانون توزیع مشروط ایجاد کنیم ایکسدر Y= 2.

سپس قانون توزیع مشروط

ایکس	-1
آر

تعریف. چگالی توزیع شرطی جزء X در یک مقدار معین Y=yنامیده شد .

مشابه: .

تعریف. مشروط ریاضی در انتظار SV Y گسسته at نامیده می شود، جایی که − بالا را ببینید.

از این رو، .

برای مداوم NE Y .

بدیهی است که این تابع استدلال است ایکس. این تابع نامیده می شود تابع رگرسیون Y روی X .

به طور مشابه تعریف شده است تابع رگرسیون X روی Y : .

قضیه 5. (در مورد تابع توزیع SVهای مستقل)

NE ایکسو Y

نتیجه. SV پیوسته ایکسو Yمستقل هستند اگر و فقط اگر .

در مثال 1 در . بنابراین، SV ایکسو Yمستقل.

مشخصات عددی اجزای یک متغیر تصادفی دو بعدی

برای SV گسسته:

برای CB پیوسته: .

پراکندگی و انحراف استاندارد برای همه SV ها با استفاده از همان فرمول های شناخته شده برای ما تعیین می شود:

تعریف.نقطه نامیده می شود مرکز پراکندگی SV دو بعدی

تعریف. کوواریانس (لحظه همبستگی) SV نامیده می شود

برای SV گسسته: .

برای CB پیوسته: .

فرمول محاسبه: .

برای SV های مستقل

ناراحتی مشخصه بعد آن است (مربع واحد اندازه گیری اجزا). مقدار زیر فاقد این عیب است.

تعریف. ضریب همبستگی NE ایکسو Yتماس گرفت

برای SV های مستقل

برای هر جفت SV . مشخص است که اگر و فقط اگر، کی، کجا.

تعریف. NE ایکسو Yنامیده می شوند نامرتبط ، اگر .

رابطه بین همبستگی و وابستگی SV:

- اگر SV ایکسو Yمرتبط، یعنی , سپس آنها وابسته هستند. عکس آن درست نیست؛

- اگر SV ایکسو Yپس مستقل هستند ; برعکس آن درست نیست

یادداشت 1.اگر NE ایکسو Yطبق قانون عادی توزیع شده و ، سپس آنها مستقل هستند.

تبصره 2.اهمیت عملی به عنوان معیار وابستگی تنها زمانی توجیه می شود که توزیع مشترک جفت نرمال یا تقریباً نرمال باشد. برای SV دلخواه ایکسو Yشما می توانید به یک نتیجه اشتباه برسید، یعنی. شاید حتی وقتی که ایکسو Yبا وابستگی شدید عملکردی به هم متصل می شوند.

نکته 3.که در آمار ریاضیهمبستگی یک وابستگی احتمالی (آماری) بین کمیت ها است که به طور کلی ماهیت کاملاً عملکردی ندارد. وابستگی همبستگی زمانی اتفاق می‌افتد که یکی از کمیت‌ها نه تنها به کمیت دوم، بلکه به تعدادی از عوامل تصادفی وابسته باشد، یا زمانی که در میان شرایطی که یک یا آن کمیت به آن بستگی دارد، شرایط مشترک برای هر دوی آنها وجود دارد.

مثال 4.برای SV ایکسو Yاز مثال 3 پیدا کنید .

راه حل.

مثال 5.چگالی توزیع مشترک SV دو بعدی داده شده است.

مجموعه ای از متغیرهای تصادفی ایکس 1 ,ایکس 2 ,...,X p، در فرم های فضای احتمال () تعریف شده است پ-متغیر تصادفی ابعادی ( ایکس 1 ,ایکس 2 ,...,X p). اگر فرآیند اقتصادیبا استفاده از دو متغیر تصادفی توصیف شده است ایکس 1 و ایکس 2، سپس یک متغیر تصادفی دو بعدی تعیین می شود ( ایکس 1 ,ایکس 2)یا( ایکس,Y).

تابع توزیعسیستم های دو متغیر تصادفی ( ایکس,Y) به عنوان تابعی از متغیرها در نظر گرفته می شود احتمال وقوع یک رویداد نامیده می شود :

مقادیر تابع توزیع نابرابری را برآورده می کند

با نقطه هندسینمای تابع توزیع اف(ایکس,y) احتمال اینکه یک نقطه تصادفی ( ایکس,Y) به یک ربع نامتناهی می افتد که راس آن در نقطه ( ایکس,در، از آنجایی که نقطه ( ایکس,Y) در زیر و سمت چپ راس نشان داده شده خواهد بود (شکل 9.1).

ایکس,Y) در یک نیم نوار (شکل 9.2) یا در یک نیمه نوار (شکل 9.3) با فرمول های زیر بیان می شود:

به ترتیب. احتمال ضربه زدن به مقادیر ایکس,Y) به یک مستطیل (شکل 9.4) را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

Fig.9.2 Fig.9.3 Fig.9.4

گسستهکمیت دو بعدی نامیده می شود که اجزای آن گسسته هستند.

قانون توزیعمتغیر تصادفی گسسته دو بعدی ( ایکس,Y) مجموعه ای از تمام مقادیر ممکن است ( x i, y j), ، متغیرهای تصادفی گسسته ایکسو Yو احتمالات مربوط به آنها ، مشخص کردن احتمال اینکه جزء ایکسارزش را خواهد گرفت x iو در عین حال یک جزء Yارزش را خواهد گرفت y j، و

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته دو بعدی ( ایکس,Y) به صورت جدول آورده شده است. 9.1.

جدول 9.1

Ω ایکس Ω Y	ایکس 1	ایکس 2	…	x i	…
y 1	پ(ایکس 1 ,y 1)	پ(ایکس 2 ,y 1)	…	پ( x i,y 1)	…
y 2	پ(ایکس 1 ,y 2)	پ(ایکس 2 ,y 2)	…	پ( x i,y 2)	…
…	…	…	…	…	…
y من	پ(ایکس 1 ,y من)	پ(ایکس 2 ,y من)	…	پ( x i,y من)	…
…	…	…	…	…	…

مداومیک متغیر تصادفی دو بعدی نامیده می شود که اجزای آن پیوسته هستند. تابع آر(ایکس,در), برابر با حدنسبت احتمال برخورد با یک متغیر تصادفی دو بعدی ( ایکس,Y) به یک مستطیل با اضلاع و به مساحت این مستطیل، زمانی که هر دو ضلع مستطیل به سمت صفر میل می کنند، نامیده می شود. چگالی توزیع احتمال:

با دانستن چگالی توزیع، می توانید تابع توزیع را با استفاده از فرمول پیدا کنید:

در تمام نقاطی که مشتق مخلوط مرتبه دوم تابع توزیع وجود دارد چگالی توزیع احتمال را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

احتمال برخورد به یک نقطه تصادفی ( ایکس,در) به منطقه Dبا برابری تعیین می شود:

احتمال اینکه یک متغیر تصادفی باشد ایکسمعنی به خود گرفت ایکس<х به شرطی که متغیر تصادفی باشد Yمقدار ثابتی گرفت Y=y، با فرمول محاسبه می شود:

به همین ترتیب،

فرمول های محاسبه چگالی توزیع احتمال شرطی اجزاء ایکسو Y :

مجموعه احتمالات مشروط پ(ایکس 1 |y من), پ(ایکس 2 |y من), …, پ(x i |y i)، … برآورده شدن شرط Y=y i، توزیع شرطی جزء نامیده می شود ایکسدر Y=y iایکس,Y)، جایی که

به طور مشابه، توزیع شرطی جزء Yدر X=x iمتغیر تصادفی دو بعدی گسسته ( ایکس,Y) مجموعه ای از احتمالات شرطی است که شرط را برآورده می کند X=x i، جایی که

لحظه اولیه سفارشk+sمتغیر تصادفی دو بعدی ( ایکس,Y و، یعنی .

اگر ایکسو Y –متغیرهای تصادفی گسسته، سپس

اگر ایکسو Y –متغیرهای تصادفی پیوسته، سپس

لحظه مرکزیسفارش k+sمتغیر تصادفی دو بعدی ( ایکس,Y) انتظار ریاضی از محصولات نامیده می شود و ، آن ها

اگر مقادیر اجزا گسسته باشند، پس

اگر مقادیر اجزاء پیوسته باشند، پس

جایی که آر(ایکس,y) – چگالی توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی ( ایکس,Y).

انتظارات ریاضی مشروطY(ایکس) در X=x(در Y=y) عبارتی از شکل نامیده می شود:

- برای یک متغیر تصادفی گسسته Y(ایکس);

– برای یک متغیر تصادفی پیوسته Y(ایکس).

انتظارات ریاضی اجزاء ایکسو Yمتغیرهای تصادفی دو بعدی با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شوند:

لحظه همبستگیمتغیرهای تصادفی مستقل ایکسو Yشامل متغیر تصادفی دو بعدی ( ایکس,Y، انتظار ریاضی حاصل از انحرافات این کمیت ها نامیده می شود:

گشتاور همبستگی دو متغیر تصادفی مستقل ایکسایکس,Y) برابر با صفر است.

ضریب همبستگیمتغیرهای تصادفی ایکسو Y در متغیر تصادفی دوبعدی ( ایکس,Yنسبت گشتاور همبستگی به حاصل ضرب انحراف معیار این کمیت ها نامیده می شود:

ضریب همبستگی درجه (نزدیک) همبستگی خطی بین را مشخص می کند ایکسو Yمتغیرهای تصادفی که برای آنها، نامرتبط نامیده می شوند.

ضریب همبستگی ویژگی های زیر را برآورده می کند:

1. ضریب همبستگی به واحدهای اندازه گیری متغیرهای تصادفی بستگی ندارد.

2. مقدار مطلق ضریب همبستگی از یک تجاوز نمی کند:

3. اگر پس بین اجزا ایکسو Yمتغیر تصادفی ( ایکس، Y) یک رابطه عملکردی خطی وجود دارد:

4. اگر پس اجزا ایکسو Yمتغیرهای تصادفی دوبعدی همبستگی ندارند.

5. اگر پس اجزا ایکسو Yمتغیرهای تصادفی دو بعدی وابسته هستند.

معادلات م(X|Y=y)=φ( در) و م(Y|X=x)=ψ( ایکس) معادلات رگرسیون نامیده می شوند و خطوط تعیین شده توسط آنها خطوط رگرسیون نامیده می شوند.

وظایف

9.1. متغیر تصادفی گسسته دو بعدی (X, Y)توسط قانون توزیع آمده است:

جدول 9.2

Ω x Ω y
	0,2	0,15	0,08	0,05
	0,1	0,05	0,05	0,1
	0,05	0,07	0,08	0,02

پیدا کنید: الف) قوانین توزیع اجزا ایکسو Y;

ب) قانون مشروط توزیع ارزش Yدر ایکس =1;

ج) تابع توزیع

دریابید که آیا کمیت ها مستقل هستند یا خیر ایکسو Y. محاسبه احتمال و ویژگی های عددی پایه م(ایکس),م(Y),D(ایکس),D(Y),آر(ایکس,Y), .

راه حل.الف) متغیرهای تصادفی ایکسو Y بر روی مجموعه ای متشکل از نتایج ابتدایی تعریف می شوند که به شکل زیر است:

رویداد ( X= 1) مربوط به مجموعه ای از نتایج است که جزء اول آنها برابر با 1 است: (1;0)، (1;1)، (1;2). این نتایج ناسازگار هستند. احتمال اینکه ایکسارزش را خواهد گرفت x iطبق اصل 3 کلموگروف برابر است با:

به همین ترتیب

بنابراین، توزیع حاشیه ای جزء ایکسرا می توان به صورت جدول مشخص کرد. 9.3.

جدول 9.3

ب) مجموعه احتمالات شرطی آر(1;0), آر(1;1), آر(1;2) برآورده شدن شرط ایکس=1، توزیع شرطی جزء نامیده می شود Yدر ایکس=1. احتمال مقادیر ارزش Yدر ایکس=1 با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:

از آنجایی که با جایگزینی مقادیر احتمالات مربوطه، به دست می آوریم

بنابراین، توزیع شرطی جزء Yدر ایکس=1 به شکل زیر است:

جدول 9.5

y j
	0,48	0,30	0,22

از آنجایی که قوانین توزیع مشروط و بدون شرط مطابقت ندارند (جدول 9.4 و 9.5 را ببینید)، مقادیر ایکسو Yوابسته این نتیجه گیری با این واقعیت تأیید می شود که برابری

برای هر جفت مقدار ممکن ایکسو Y.

مثلا،

ج) تابع توزیع اف(ایکس,y) متغیر تصادفی دو بعدی (X,Y)دارای فرم:

که در آن جمع بر روی تمام نقاط () انجام می شود که نابرابری ها به طور همزمان برآورده می شوند. x i و y j . سپس برای یک قانون توزیع داده شده، به دست می آوریم:

ارائه نتیجه در قالب جدول 9.6 راحت تر است.

جدول 9.6

ایکس y
		0,20	0,35	0,43	0,48
		0,30	0,5	0,63	0,78
		0,35	0,62	0,83

بیایید از فرمول های لحظه های اولیه و نتایج جداول 9.3 و 9.4 استفاده کنیم و انتظارات ریاضی مولفه ها را محاسبه کنیم. ایکسو Y:

واریانس ها را با استفاده از دومین لحظه اولیه و نتایج جدول محاسبه می کنیم. 9.3 و 9.4:

برای محاسبه کوواریانس به(X، Y) از یک فرمول مشابه در لحظه اولیه استفاده می کنیم:

ضریب همبستگی با فرمول تعیین می شود:

احتمال مورد نیاز به عنوان احتمال سقوط به منطقه ای در صفحه تعریف شده توسط نابرابری مربوطه تعریف می شود:

9.2. کشتی پیام "SOS" را ارسال می کند که می تواند توسط دو ایستگاه رادیویی دریافت شود. این سیگنال می تواند توسط یک ایستگاه رادیویی مستقل از دیگری دریافت شود. احتمال دریافت سیگنال توسط اولین ایستگاه رادیویی 0.95 است. احتمال دریافت سیگنال توسط ایستگاه رادیویی دوم 0.85 است. قانون توزیع یک متغیر تصادفی دوبعدی را که دریافت سیگنال توسط دو ایستگاه رادیویی را مشخص می کند، پیدا کنید. تابع توزیع را بنویسید.

راه حل:اجازه دهید ایکس- رویدادی که شامل این واقعیت است که سیگنال توسط اولین ایستگاه رادیویی دریافت می شود. Y- رویداد این است که سیگنال توسط ایستگاه رادیویی دوم دریافت می شود.

معانی متعدد .

ایکس=1 - سیگنال دریافت شده توسط اولین ایستگاه رادیویی.

ایکس=0 - سیگنال توسط ایستگاه رادیویی اول دریافت نشد.

معانی متعدد .

Y=l - سیگنال دریافت شده توسط ایستگاه رادیویی دوم،

Y=0 - سیگنال توسط ایستگاه رادیویی دوم دریافت نمی شود.

احتمال عدم دریافت سیگنال توسط ایستگاه های رادیویی اول یا دوم عبارت است از:

احتمال دریافت سیگنال توسط ایستگاه رادیویی اول:

احتمال دریافت سیگنال توسط ایستگاه رادیویی دوم:

احتمال دریافت سیگنال توسط هر دو ایستگاه رادیویی اول و دوم برابر است با: .

سپس قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی برابر است با:

y ایکس
	0,007	0,142
	0,042	0,807

ایکس,y) معنی اف(ایکس,y) برابر است با مجموع احتمالات آن مقادیر ممکن متغیر تصادفی ( ایکس,Y) که در داخل مستطیل مشخص شده قرار می گیرند.

سپس تابع توزیع به صورت زیر خواهد بود:

9.3. دو شرکت محصولات یکسان تولید می کنند. هر کدام مستقل از دیگری می توانند تصمیم بگیرند که تولید را مدرن کنند. احتمال اینکه اولین شرکت چنین تصمیمی گرفته باشد 0.6 است. احتمال اتخاذ چنین تصمیمی توسط شرکت دوم 0.65 است. قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی را که مشخص کننده تصمیم نوسازی تولید دو شرکت است بنویسید. تابع توزیع را بنویسید.

پاسخ:قانون توزیع:

	0,14	0,21
	0,26	0,39

برای هر مقدار ثابت یک نقطه با مختصات ( ایکس,y) مقدار برابر است با مجموع احتمالات آن مقادیر ممکن که داخل مستطیل مشخص شده قرار می گیرند. .

9.4. رینگ های پیستون برای موتورهای خودرو بر روی ماشین تراش اتوماتیک ساخته می شوند. ضخامت حلقه اندازه گیری می شود (مقدار تصادفی ایکس) و قطر سوراخ (مقدار تصادفی Y). مشخص است که حدود 5٪ از تمام رینگ های پیستون معیوب هستند. علاوه بر این، 3٪ از عیوب ناشی از قطر سوراخ غیر استاندارد، 1٪ - به دلیل ضخامت غیر استاندارد، و 1٪ - به هر دو دلیل رد می شود. یافتن: توزیع مشترک یک متغیر تصادفی دو بعدی ( ایکس,Y) توزیع تک بعدی اجزاء ایکسو Yانتظارات ریاضی اجزاء ایکسو Y; لحظه همبستگی و ضریب همبستگی بین اجزا ایکسو Yمتغیر تصادفی دو بعدی ( ایکس,Y).

پاسخ:قانون توزیع:

	0,01	0,03
	0,01	0,95

; ; ; ; ; .

9.5. محصولات کارخانه به دلیل نقص معیوب هستند آ 4 درصد است و به دلیل نقص که در- 3.5٪. تولید استاندارد 96 درصد است. تعیین کنید چند درصد از همه محصولات دارای هر دو نوع نقص هستند.

9.6. مقدار تصادفی ( ایکس,Y)با چگالی ثابت توزیع می شود داخل میدان آرکه رئوس آن دارای مختصات (–2;0)، (0;2)، (2;0)، (0;–2) است. تعیین چگالی توزیع متغیر تصادفی ( ایکس,Y) و چگالی توزیع شرطی آر(ایکس\در)، آر(در\ایکس).

راه حل.بیایید در هواپیما بسازیم ایکس 0yمربع داده شده (شکل 9.5) و معادلات اضلاع مربع ABCD را با استفاده از معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد تعیین کنید: جایگزینی مختصات رئوس آو که درمعادله ضلع را به ترتیب به دست می آوریم AB: یا .

به همین ترتیب، معادله ضلع را پیدا می کنیم آفتاب: ؛ طرفین سی دی: و کناره ها D.A.: . : .D X , Y) نیمکره ای است که در مبدا شعاع قرار دارد آرچگالی توزیع احتمال را بیابید.

پاسخ:

9.10. با توجه به یک متغیر تصادفی دو بعدی گسسته:

	0,25	0,10
	0,15	0,05
	0,32	0,13

پیدا کنید: الف) قانون توزیع مشروط ایکس، به شرطی که y= 10;

ب) قانون توزیع مشروط Y، به شرطی که ایکس =10;

ج) انتظار ریاضی، پراکندگی، ضریب همبستگی.

9.11. متغیر تصادفی دو بعدی پیوسته ( ایکس,Y)به طور مساوی در داخل یک مثلث قائم الزاویه با رئوس توزیع شده است در باره(0;0), آ(0;8), که در(8,0).

پیدا کنید: الف) چگالی توزیع احتمال.