ریاضیدان فرانسوی مشکل کاشی کاری هواپیما را حل کرد. نمونه هایی از مسائل غیرقابل حل: مسئله کاشی کاری پس از آن کل حجم سه بعدی با این صفحات پر می شود، همانطور که کتاب ها یک جعبه بسته بندی مکعبی را پر می کنند. این روش روش کمک نامیده می شود.

به راحتی می توان هواپیما را با پارکت ساخته شده از مثلث، مربع یا شش ضلعی منظم (زیر کاشی کاریما این ترتیب را درک می کنیم که در آن رئوس هر شکل فقط به رئوس شکل های همسایه اعمال می شود و هیچ موقعیتی وجود ندارد که یک راس به طرف اعمال شود). نمونه هایی از این گونه کاشی کاری ها در شکل نشان داده شده است. 1.

دیگر درست نیست n-پوشاندن یک صفحه با زاویه بدون شکاف و همپوشانی امکان پذیر نخواهد بود. در اینجا نحوه توضیح آن است. همانطور که مشخص است، مجموع زوایای داخلی هر کدام n-gon برابر است با ( n- 2) 180 درجه. چون همه زوایا راست است n-گون ها یکسان هستند، سپس درجه درجه هر زاویه برابر است. اگر بتوان صفحه را با چنین ارقامی کاشی کرد، در هر رأس همگرا می شود کچند ضلعی ها (برای برخی ک). مجموع زوایای این راس باید 360 درجه باشد، بنابراین . پس از چند تبدیل ساده، این برابری به این تبدیل می شود: . اما همانطور که بررسی آن آسان است، آخرین معادله فقط سه جفت راه حل دارد، اگر فرض کنیم که nو ک اعداد طبیعی: ک = 3, n = 6; ک = 4, n= 4 یا ک = 6, n= 3. این جفت اعداد دقیقاً مطابق با آنهایی هستند که در شکل. 1 کاشی کاری.

از چه چند ضلعی های دیگری می توان برای کاشی کاری صفحه بدون شکاف یا همپوشانی استفاده کرد؟

وظیفه

الف) ثابت کنید که از هر مثلثی می توان برای کاشی کاری یک هواپیما استفاده کرد.

ب) ثابت کنید که از هر چهارضلعی (اعم از محدب و غیر محدب) می توان برای کاشی کاری یک صفحه استفاده کرد.

ج) مثالی از پنج ضلعی بزنید که می توان از آن برای کاشی کاری هواپیما استفاده کرد.

د) شش ضلعی را مثال بزنید که نمی توان از آن برای کاشی کاری هواپیما استفاده کرد.

ه) مثال بزنید nمربع برای هر n> 6 که می توان از آن برای سنگ فرش کردن هواپیما استفاده کرد.

نکته 1

در نقاط الف)، ج)، ه) می توانید سعی کنید "راه راه" را از شکل های یکسان بسازید، که سپس به راحتی می توان از آنها برای هموار کردن کل صفحه استفاده کرد.

مرحله ب): دو چهار ضلعی یکسان را به صورت شش ضلعی که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی هستند تا کنید. کاشی کاری هواپیما با این شش ضلعی ها بسیار آسان است.

نقطه د): از این واقعیت استفاده کنید که مجموع زوایای هر راس باید برابر با 360 درجه باشد.

نکته 2

در نقطه e) می توانید سعی کنید متفاوت عمل کنید: ارقام موجود را کمی تغییر دهید تا تسلسل های جدید به دست آید.

راه حل

نمونه هایی از پاسخ ها در تصاویر نشان داده شده است.

ج) یک پنج ضلعی به شکل خانه انجام می دهد:

د) امکان هموار کردن هواپیما با چنین شش ضلعی وجود نخواهد داشت: به سادگی هیچ بخشی از چنین شش ضلعی به طور کامل در گوشه "برش داده شده" قرار نمی گیرد. این به وضوح در سلول ها قابل مشاهده است:

می‌توانید شش ضلعی‌های دیگر را بیابید که نمی‌توان از آنها برای کاشی‌کاری هواپیما استفاده کرد.

ه) در اینجا نمونه ای از دوازده ضلعی است که می توان از آن برای کاشی کاری هواپیما استفاده کرد. این روش کاشی کاری به عنوان اصلاحی از شبکه معمولی مربع به دست آمد (شکل 1 را ببینید، iiاز شرط):

پس گفتار

مشکل کاشی کاری یک هواپیما با شکل های یکسان بدون شکاف یا همپوشانی از زمان های قدیم شناخته شده است. یکی از موارد خاص آن این است که پارکت ها چه چیزی می توانند باشند (یعنی کاشی کاری هواپیما چند ضلعی های منظم، و نه لزوماً یکسان) و به طور خاص، کف پارکت را درست کنید. پارکت صحیح دارای ویژگی های زیر است: با کمک انتقال های موازی (تغییر بدون چرخش) که پارکت را به درون خود منتقل می کند، می توانید یک گره از پیش انتخاب شده را با هر گره پارکت دیگری ترکیب کنید. در شکل 1 از شرایط دقیقاً کفپوش های پارکت مناسب را نشان می دهد.

اثبات اینکه تنها 11 نوع مختلف کفپوش پارکت معمولی وجود دارد چندان دشوار نیست (به فهرست کاشی کاری های یکنواخت مراجعه کنید). این تقریباً به همان روشی ثابت می شود که در بیان مسئله ثابت کردیم که فقط سه نوع پارکت از چند ضلعی های منظم یکسان وجود دارد - اندازه گیری درجه زوایای هر چند ضلعی منظم مشخص است، فقط باید آنها را انتخاب کنید تا مجموع 360 درجه است، و این به سادگی با تعداد کمی از گزینه ها انجام می شود. موزاییک های باستانی زیادی بر اساس این کفپوش های پارکت ساخته شده است.

موزاییک های ساخته شده از خاک رس، سنگ و شیشه (و کف پارکت ساخته شده از چوب و کاشی) معروف ترین و قابل درک ترین کاربرد این نظریه در زندگی است. بسیاری از ما می‌توانیم این موضوع را با رفتن به آشپزخانه یا حمام خود تأیید کنیم. طراحان آینده به طور خاص پارکت های ریاضی را مطالعه می کنند، زیرا آنها و انواع آنها اغلب در معماری و دکوراسیون استفاده می شوند.

Tessellations نیز در طبیعت رخ می دهد. علاوه بر لانه زنبوری معروف، بارزترین نمونه ها هستند تشکیلات زمین شناسیدر کیپ استولبچاتی (جزیره کوناشیر، خط الراس بزرگ جزایر کوریل) و "مسیر غول" در ایرلند شمالی.

تعمیم مشکل ما - کاشی کاری فضایی - یک شاخه مهم مدرن از کریستالوگرافی است که نقش مهمی در اپتیک یکپارچه و فیزیک لیزر ایفا می کند.

به اندازه کافی عجیب، تا زمان های نسبتاً اخیر، فقط تسلسل های دوره ای (که پس از تغییر و تکرارهای آن کاملاً با خودشان سازگار هستند) شناخته شده بودند. با این حال، در سال 1974، دانشمند انگلیسی راجر پنروز، کاشی کاری های غیر دوره ای را ارائه کرد که امروزه به نام او کاشی کاری پنروز نامیده می شود. بعدها (در سال 1984) ساختارهای غیر تناوبی مشابهی در آن کشف شد

فکر کردن به چیزهای غیرقابل تصور و متقاعد شدن به اینکه هنوز قابل فکر است، یک پدیده هندسه است.

A.D.Alexandrov

کلاس: 8-9

اهداف:

• شکل گیری و توسعه ایده های دانش آموزان در مورد اشیاء ریاضی جدید و مفاهیم ریاضی.
• توسعه علاقه خلاقبه ریاضیات
• گسترش افق های ریاضی دانش آموزان.
• تقویت حسن نیت و کمک متقابل هنگام کار با یکدیگر.

اهداف فعالیت های فوق برنامه:

• کاربرد عملی دانش ریاضی در مطالعه اشیاء جدید ریاضی.
• توسعه تفکر منطقیو مهارت های تحقیق
• مقدمه ای بر کاربرد دانش اکتسابی جدید در علم مدرن.
• طرح سوالات برای مطالعه بیشتر موضوع.

آماده سازی:به صورت گروهی کار کنید، هر گروه مدل هایی از چند ضلعی های منظم و همچنین کپی هایی از مثلث ها و چهارضلعی های دلخواه را تهیه می کند.

اشکال سازماندهی کار دانشجویی:جلویی، گروهی

اشکال سازماندهی کار معلم:رهبری، سازمانی، هماهنگی.

مشخصات:دفتر چند رسانه ای

تجهیزات مورد استفاده:کامپیوتر، پروژکتور، صفحه نمایش، سی دی.

ارائه "پارکت - کاشی کاری یک هواپیما با چند ضلعی."

پیشرفت درس.

پارکت ها از قدیم الایام توجه مردم را به خود جلب کرده اند. آنها کف را می پوشاندند، دیوارهای اتاق ها را می پوشاندند، نمای ساختمان ها را تزئین می کردند و در هنرهای تزئینی و کاربردی استفاده می شدند.
اگرچه مطالعه پارکت در برنامه درسی ریاضیات مدرسه گنجانده نشده است، اما علاقه به این موضوع پس از حل یک مسئله ساده مدرسه ایجاد شد: "ثابت کنید که از کاشی های یکسان به شکل ذوزنقه متساوی الساقین، می توان پارکتی ساخت که کاملاً پوشانده شود. هر قسمت از هواپیما.» از چه چند ضلعی های دیگری می توان برای کاشی کاری یک هواپیما استفاده کرد؟

کف پارکت صحیح

پارکتبه این کار کاشی کاری صفحه ای با چند ضلعی گفته می شود که در آن کل صفحه توسط این چند ضلعی ها پوشانده شده است و هر دو چند ضلعی یا یک ضلع مشترک دارند یا یک راس مشترک دارند یا نقاط مشترکی ندارند.

پارکت نامیده می شود درست است، اگر از چند ضلعی های منتظم مساوی تشکیل شده باشد.
نمونه هایی از کفپوش پارکت صحیح برای فیثاغورثی ها شناخته شده بود. آنها صفحه را با: مربع، مثلث متساوی الاضلاع، شش ضلعی منظم پر می کنند.

تکلیف برای دانش آموزان:از مدل های موجود چند ضلعی معمولی، کف پارکت معمولی بسازید.

اجازه دهید مطمئن شویم که هیچ چندضلعی منظم دیگری پارکت را تشکیل نمی دهد. و در اینجا به فرمول مجموع زوایای یک چندضلعی نیاز داریم. اگر پارکت از n-گون ها، سپس در هر رأس پارکت همگرایی k = 360 درجه/ الف n چند ضلعی ها، که در آن الف n – زاویه درست n-گون پیدا کردن آن آسان است الف 3 = 60 درجه، الف 4 = 90 درجه، الف 5 = 108 درجه، الف 6 = 120 درجه و 120 درجه<الف n < 180° при n > 7. بنابراین، 360 درجه به طور مساوی بر تقسیم می شود الف n تنها زمانی که n = 3; 4; 6.
جالب است که در بین مثلث منظم مربع و شش ضلعی منظمبا توجه به محیط، شش ضلعی بیشترین مساحت را دارد. این شرایط در طبیعت منجر به این واقعیت می شود که لانه زنبور عسل به شکل شش ضلعی منظم است ، زیرا زنبورها هنگام ساخت لانه زنبوری به طور غریزی سعی می کنند تا حد امکان آنها را بزرگ کنند و در عین حال از موم کمتری استفاده می کنند.

کف پارکت نیمه منظم.

اجازه دهید روش‌های ساخت پارکت‌ها از چند ضلعی‌های منظم را گسترش دهیم، و اجازه استفاده از چند ضلعی‌های منظم با تعداد اضلاع متفاوت را می‌دهیم، اما به‌گونه‌ای که در اطراف هر رأس، چند ضلعی‌های منتظم به یک ترتیب چیده شوند. به این گونه پارکت ها می گویند نیمه منظم.

تکلیف دانش آموز: از مدل های موجود چند ضلعی های منظم برای ایجاد کفپوش های پارکت نیمه منظم استفاده کنید.

برای پی بردن به تعداد پارکت های نیمه منظم، لازم است موارد احتمالی چیدمان چند ضلعی های منظم حول یک راس مشترک مورد تجزیه و تحلیل قرار گیرد. برای انجام این کار، اجازه دهید با علامت گذاری کنیم الف 1 ، الف 2 ... زوایای چند ضلعی های منتظم هستند که دارای یک راس مشترک هستند. بیایید آنها را به ترتیب صعودی مرتب کنیم الف 1 < a 2 < … با توجه به اینکه مجموع تمام این زوایای باید برابر با 360 درجه باشد، جدولی شامل مجموعه‌های احتمالی زاویه تشکیل می‌دهیم و پارکت‌های مربوطه را نشان می‌دهیم.
بنابراین در مجموع 11 پارکت معمولی و نیمه منظم وجود دارد.

Planigons

بیایید تعمیم دیگری را در نظر بگیریم - پارکت های ساخته شده از کپی های یک چند ضلعی دلخواه، درست "در امتداد لبه ها" (یعنی که هر کاشی داده شده را به هر کاشی دیگری تبدیل می کند). به چند ضلعی هایی که می توانند در این پارکت ها کاشی باشند گفته می شود پلانگون ها.
واضح است که یک صفحه را می توان با کپی هایی از یک مثلث دلخواه ترسیم کرد، اما کمتر آشکار است که یک چهارضلعی دلخواه یک صفحه ضلعی باشد. همین امر برای هر شش ضلعی که اضلاع مقابل آن مساوی و موازی است صادق است.

تکلیف دانش آموز: از کپی های موجود مثلث و چهارگوش دلخواه پارکت بسازید.

تمام پارکت‌هایی که در بالا مورد بحث قرار گرفت دوره‌ای هستند، یعنی در هر یک از آنها می‌توان ناحیه‌ای متشکل از چندین کاشی را انتخاب کرد (و حتی از جهات مختلف) که کل پارکت با جابجایی موازی از آن به دست می‌آید.
علاقه دانشمندان به چنین ساختارهایی با این واقعیت توضیح داده می شود که کاشی کاری های دوره ای، به ویژه کاشی کاری های فضایی، ساختارهای کریستالی را مدل می کنند.

سوال برای آینده:آیا کاشی کاری های غیر دوره ای وجود دارد؟

به جای نتیجه گیری

ایجاد کفپوش های پارکت شخصی شما بسیار جالب است - برای مثال، با استفاده از تقارن محوری و ترجمه موازی، هواپیما را با شکل های یکسان (عناصر پارکت) پر کنید. نکته اصلی این است که ساخت و ساز بر اساس یک چند ضلعی است که اندازه آن برابر با عنصر پارکت است.

مشق شب.با استفاده از هر وسیله ای پارکت مورد علاقه خود را ایجاد کنید: از کاغذ رنگی گرفته تا فناوری کامپیوتری.

فهرست ادبیات مورد استفاده:

1. آتاناسیان ال.اس.و دیگران، 7-9 - آموزش و پرورش، 2010.
2. آتاناسیان ال.اس.و غیره هندسه: اضافه کنید. فصل برای مدرسه کتاب درسی پایه هشتم: کتاب درسی. راهنما برای دانش آموزان مدرسه و cl. با عمق مطالعه کرد ریاضیات - م.: آموزش و پرورش، 1375.
3. آتاناسیان ال.اس.و غیره هندسه: اضافه کنید. فصل برای مدرسه کتاب درسی پایه نهم: کتاب درسی. راهنما برای دانش آموزان مدرسه و cl. با عمق مطالعه کرد ریاضیات - م.: آموزش و پرورش، 1376.
4. کولموگروف A.N.پارکت های ساخته شده از چند ضلعی های منظم.//Kvant، 1970، شماره 3.
5. اسمیرنوف V.A.کامپیوتر به هندسه کمک می کند //ریاضیات: هفتگی آموزشی و روش شناختی. به گاز "اول سپتامبر." – 2003، شماره 21.
6. سورتکوف پی.آی.و دیگران پارکت هندسی روی صفحه کامپیوتر.//انفورماتیک و آموزش، 1379، شماره 9.
7. دایره المعارف برای کودکان. T.11.Mathematics/سریراستار. M.D.Aksenova. - M.: آوانتا +، 2008.

در مورد کاشی کاری هواپیما صحبت خواهیم کرد. Tessellation پوشش کل یک صفحه با اشکال غیر همپوشانی است. احتمالاً علاقه به سنگفرش ابتدا در ارتباط با ساخت موزاییک، زیور آلات و سایر نقش ها به وجود آمد. تزیینات بسیاری شناخته شده است که از نقوش تکراری تشکیل شده است. یکی از ساده ترین کاشی کاری ها در شکل 1 نشان داده شده است.

صفحه با متوازی الاضلاع پوشیده شده است و همه متوازی الاضلاع یکسان هستند. هر متوازی الاضلاع این کاشی کاری را می توان از متوازی الاضلاع صورتی با جابجایی دومی توسط یک بردار به دست آورد (بردارها و با لبه های متوازی الاضلاع انتخاب شده تعیین می شوند، n و m اعداد صحیح هستند). لازم به ذکر است که کل کاشی کاری به عنوان یک کل در هنگام جابجایی توسط یک بردار (یا) به خود تبدیل می شود. این ویژگی را می توان به عنوان یک تعریف در نظر گرفت: یعنی، کاشی کاری دوره ای با دوره، کاشی کاری است که با جابجایی توسط یک بردار و یک بردار به خود تبدیل می شود. کاشی کاری های دوره ای می تواند کاملاً پیچیده باشد، برخی از آنها بسیار زیبا هستند.

کاشی کاری های شبه تناوبی هواپیما

تصاویر جالب و غیر دوره ای از هواپیما وجود دارد. در سال 1974 راجر پنروز، ریاضیدان انگلیسی، کاشی کاری های شبه تناوبی هواپیما را کشف کرد. خواص این کاشی کاری ها به طور طبیعی خواص کاشی های دوره ای را تعمیم می دهد. نمونه ای از چنین کاشی کاری در شکل 2 نشان داده شده است.

کل هواپیما با لوزی پوشیده شده است. هیچ شکافی بین الماس ها وجود ندارد. هر تسسل لوزی را می توان تنها با استفاده از دو رگه با استفاده از جابجایی و چرخش به دست آورد. این یک لوزی باریک (36 0, 144 0) و یک لوزی پهن (72 0, 108 0) است که در شکل 3 نشان داده شده است. طول اضلاع هر یک از لوزی ها 1 است. این کاشی کاری دوره ای نیست - واضح است. تحت هیچ تغییری به خود تبدیل نمی شود. با این حال، دارای ویژگی های مهمی است که آن را به کاشی کاری های دوره ای نزدیک می کند و آن را مجبور می کند که آن را شبه تناوبی نامید. نکته این است که هر بخش محدودی از یک کاشی کاری شبه دوره ای بارها در کل کاشی کاری اتفاق می افتد. این کاشی کاری دارای محور تقارن درجه 5 است در حالی که چنین محورهایی برای کاشی کاری های دوره ای وجود ندارد.

یکی دیگر از کاشی کاری های شبه تناوبی هواپیما، ساخته شده توسط Penrose، در شکل 4 نشان داده شده است. کل صفحه با چهار چند ضلعی از نوع خاص پوشیده شده است. این یک ستاره، یک لوزی، یک پنج ضلعی منظم است.

الف) تبدیل تورم و کاهش تورم

هر یک از سه نمونه کاشی کاری شبه تناوبی نشان داده شده در بالا، پوششی از یک صفحه با استفاده از ترجمه و چرخش تعداد محدودی از اشکال است. این پوشش تحت هیچ گونه جابجایی به خود تبدیل نمی شود، هر قسمت محدودی از پوشش در کل پوشش بارها رخ می دهد، علاوه بر این، اغلب به همان اندازه در کل صفحه رخ می دهد. کاشی کاری هایی که در بالا توضیح داده شد دارای خاصیت خاصی هستند که پنروز آن را تورم نامید. مطالعه این ویژگی به ما امکان می دهد ساختار این پوشش ها را درک کنیم. علاوه بر این، از تورم می توان برای ساخت الگوهای پنروز استفاده کرد. تورم را می توان با استفاده از مثال مثلث های رابینسون به وضوح نشان داد. مثلث های رابینسون دو مثلث متساوی الساقین P، Q با زوایای (36 0، 72 0، 72 0) و (108 0، 36 0، 36 0) و طول ضلع هستند، مانند شکل 6. در اینجا φ نسبت طلایی است:

این مثلث ها را می توان به صورت کوچکتر برش داد تا هر یک از مثلث های جدید (کوچکتر) شبیه یکی از مثلث های اصلی باشد. برش در شکل 7 نشان داده شده است: خط مستقیم ac نیمساز زاویه dab است و قطعات ae، ab و ac برابر هستند. به راحتی می توان دید که مثلث acb و آس با مثلث P همخوان و شبیه هستند و مثلث cde شبیه مثلث Q است. مثلث Q به این صورت برش داده می شود. طول پاره gh برابر طول پاره ih است (و برابر 1 است). مثلث igh شبیه مثلث P و مثلث igf شبیه مثلث Q است. ابعاد خطی مثلث های جدید t برابر کوچکتر از مثلث های اصلی است. به این برش، باد زدایی می گویند.

تبدیل معکوس - چسباندن - تورم نامیده می شود.

شکل به ما نشان می دهد که از دو مثلث P و یک مثلث Q می توانیم یک مثلث P و از مثلث P و Q می توانیم یک مثلث Q بچسبانیم. مثلث های جدید (چسب شده) دارای ابعاد خطی t برابر بزرگتر از مثلث های اصلی هستند.

بنابراین، ما مفهوم تحولات تورم و تورم را معرفی کرده ایم. بدیهی است که تغییر تورم می تواند تکرار شود. این منجر به یک جفت مثلث می شود که ابعاد آنها t 2 برابر بزرگتر از مثلث های اصلی است. با اعمال متوالی تبدیل‌های تورمی، می‌توانید یک جفت مثلث را به صورت دلخواه بدست آورید اندازه بزرگ. به این ترتیب می توانید کل هواپیما را هموار کنید.

می توان نشان داد که کاشی کاری که در بالا توسط مثلث های رابینسون توضیح داده شد دوره ای نیست

اثبات

بیایید دلیل این گفته را بیان کنیم. بیایید با تناقض بحث کنیم. فرض کنید کاشی کاری صفحه با مثلث های رابینسون تناوبی با دوره های u و w باشد. بیایید صفحه را با شبکه ای از متوازی الاضلاع با ضلع های u، w بپوشانیم. بیایید عدد q را به روشی مشابه تعریف کنیم. (مثلث های p+q انتخابی، ناحیه به اصطلاح بنیادی یک کاشی کاری دوره ای معین را تشکیل می دهند.) دایره ای با شعاع R با مرکز O در نظر بگیرید. اجازه دهید تعداد مثلث های P را با PR (در واقع QR) نشان دهیم (به ترتیب Q-). مثلث ها) در داخل این دایره قرار دارند.

این را ثابت کنیم

1) در واقع، تعداد مثلث هایی که دایره ای به شعاع R را قطع می کنند با R متناسب است، در حالی که تعداد مثلث های داخل دایره ای به شعاع R متناسب با R2 است. بنابراین، در حد، نسبت تعداد مثلث های P - به تعداد مثلث های Q - در یک دایره با این نسبت در ناحیه بنیادی برابر است.

حالا بیایید تسلیت خود را بگیریم و تبدیل‌های کاهش قیمت را انجام دهیم. سپس در ناحیه بنیادی اصلی، مثلث های pґ = 2p + q کوچکتر P - و qґ = p + q کوچکتر Q - مثلث وجود خواهد داشت. اجازه دهید با pґR و qґR تعداد مثلث های کوچکتر را در دایره ای به شعاع R نشان دهیم. اکنون به راحتی می توان یک تضاد به دست آورد. در واقع،

= = = = (قانون L'Hopital)

از کجا، حل معادله

p/q=(2p+q)/(p+q)،

در حالی که p و q اعداد صحیح هستند! تناقض نشان می دهد که کاشی کاری با مثلث های رابینسون دوره ای نیست.

به نظر می رسد که این پوشش توسط مثلث های رابینسون تنها یکی نیست. بی‌نهایت پوشش‌های شبه تناوبی مختلف هواپیما توسط مثلث‌های رابینسون وجود دارد. به طور کلی، دلیل این پدیده در این واقعیت نهفته است که در هنگام کاهش قیمت، نیمساز در شکل 7 را می توان از راس b ترسیم کرد، نه از راس a. با استفاده از این خودسری می توان به این نتیجه رسید که مثلاً پوشش مثلثی به پوشش مثلث با لوزی تبدیل شود.

ب) دگرگونی دوگانگی

روش ساخت کاشی‌کاری‌های شبه دوره‌ای که در بالا ارائه شد، شبیه یک حدس است. با این حال، روشی منظم برای ساخت پوشش های شبه دوره ای وجود دارد. این یک روش تبدیل دوگانه است که ایده آن متعلق به ریاضیدان هلندی دی براون است.

اجازه دهید این روش را با استفاده از مثال ساختن جایگزینی یک صفحه با لوزی توضیح دهیم (شکل 3 را ببینید). ابتدا، بیایید یک شبکه G بسازیم. برای این کار، یک پنج ضلعی معمولی بردارید و اضلاع آن را شماره گذاری کنید (j = 1،2،3،4،5؛ شکل 10). بیایید به سمت شماره j نگاه کنیم. بیایید یک مجموعه بی نهایت از خطوط موازی با این طرف بسازیم، به طوری که فاصله بین دو نزدیکترین خط برابر با 1 باشد.

بیایید یک ساختار مشابه برای هر یک از اضلاع پنج ضلعی انجام دهیم. خطوط مستقیم را طوری ترسیم می کنیم که فقط به صورت جفت یکدیگر را قطع کنند. نتیجه مجموعه ای از خطوط است که تناوبی نیست (شکل 9) خطوط در این مجموعه با حروف l نشان داده می شوند. بیایید خطوط را با دو شاخص دوباره شماره گذاری کنیم: l j (n). در اینجا j جهت خط را نشان می دهد (با کدام سمت پنج ضلعی موازی است). عدد صحیح n خطوط موازی متفاوتی را نشان می دهد و از تمام مقادیر صحیح (هم مثبت و هم منفی) عبور می کند. این مجموعه خطوط، صفحه را به مجموعه ای بی نهایت از چندضلعی ها تقسیم می کند. به این چند ضلعی ها وجه های مش می گویند. اضلاع چند ضلعی ها را لبه های مش و رئوس چند ضلعی ها را رئوس مش می نامیم. (به طور مشابه برای پوشش شبه تناوبی Q: لوزی ها وجه های Q، اضلاع لوزی ها لبه های Q، رئوس لوزی ها رئوس Q هستند)

بنابراین، شبکه G ساخته می شود. اجازه دهید اکنون تبدیل دوگانگی را انجام دهیم. هر وجه از مش G با راس یک پوشش شبه تناوبی Q (راس یک لوزی) قابل مقایسه است. رئوس را با حروف نشان می دهیم (اینها بردار هستند). ابتدا هر وجه M مش را با پنج عدد صحیح n j = (M), j - 1,2, ....5 مطابق قانون زیر مرتبط می کنیم. نقاط داخلی M بین یک خط l j (n) و یک خط موازی با آن l j (n+1) قرار دارد.

با این عدد صحیح n وجه های M را مطابقت خواهیم داد. از آنجایی که مش دارای خطوط مستقیم در پنج جهت است، به این ترتیب پنج عدد صحیح n j (M) از هر M مش G را مطابقت خواهیم داد. راس پوشش شبه تناوبی Q، مربوط به یک وجه معین M از مش G، به صورت زیر ساخته می شود:

(M) = n 1 (M) + + … +

در اینجا یک بردار واحد طول است که از مرکز یک پنج ضلعی منظم به وسط ضلع شماره j هدایت شده است. بنابراین، ما یک راس پوششی را با هر وجه مش مرتبط کردیم. به این ترتیب می توانیم تمام رئوس Q را بسازیم.

حالا بیایید چند رئوس را با پاره های خط مستقیم به هم وصل کنیم. اینها لبه های پوشش Q (دو طرف لوزی ها) خواهند بود. برای این کار، یک جفت وجه M1 و M2 را در نظر بگیرید که دارای یک لبه مشترک هستند. ما رئوس پوشش مربوط به این وجوه و با سگمنت ها را به هم وصل می کنیم.

سپس معلوم می شود که تفاوت

شاید برابر با یک بردار از ده بردار باشد.

بنابراین، هر لبه مش با یک وجه پوشش Q همراه است. اجازه دهید چهار راس پوشش (M R) مربوط به آنها را در نظر بگیریم. از خاصیت تفاوت (2) نتیجه می شود که لبه های پوششی که از این رئوس عبور می کنند، مرز لوزی را تشکیل می دهند. یک پوشش شبه تناوبی از هواپیما با لوزی ساخته شده است.

ما روش تبدیل دوگانگی را نشان داده ایم. این روش کلیساخت روشی از پوشش های شبه تناوبی. در این ساختار، پنج ضلعی منظم را می توان با هر چندضلعی منتظم جایگزین کرد. نتیجه یک پوشش شبه دوره ای جدید خواهد بود. روش تبدیل دوگانگی برای ساخت سازه های شبه تناوبی در فضا نیز قابل استفاده است.

ب) پرکردن شبه تناوبی فضای سه بعدی

یک تعمیم سه بعدی از الگوهای پنروز وجود دارد. فضای سه بعدی را می توان با موازی پاها از نوع خاصی پر کرد. موازی پاها نقاط داخلی مشترکی ندارند و هیچ شکافی بین آنها وجود ندارد. هر متوازی الاضلاع از این پر شدن را می توان تنها از دو متوازی الاضلاع با استفاده از جابجایی و چرخش به دست آورد. اینها به اصطلاح موازی‌پایه‌های امان-مکی هستند. برای تعریف متوازی الاضلاع کافی است که سه یال بیرون آمده از یک راس را مشخص کنیم. برای اولین متوازی الاضلاع آمان-مکی، این بردارها به شکل زیر هستند:

= (0؛ 1؛ φ)، = (-φ؛ 0؛ -1)

و برای متوازی الاضلاع دوم:

= (0; -1;f)، = (f; 0;1)، = (0;1; f)

پر شدن با این متوازی الاضلاع تحت هیچ جابجایی به خود تبدیل نمی شود، با این حال، هر قسمت محدودی از آن در کل پر شدن بارها رخ می دهد. پر شدن فضا با این متوازی الاضلاع با تقارن های ایکو وجهی همراه است. ایکوساهدر یک جامد افلاطونی است. هر یک از وجوه آن یک مثلث منظم است. ایکوساهدر 12 رأس، 20 وجه و 30 لبه دارد

کاربرد

مشخص شد که مذاب آلومینیوم- منگنز که به سرعت سرد می شود (کشف شده در سال 1984) دقیقاً این تقارن ها را دارد بنابراین، الگوهای پنروز به درک ساختار ماده تازه کشف شده کمک کردند. و نه تنها این ماده، شبه بلورهای واقعی دیگر، آزمایشی آنها و مطالعه نظریدر خط مقدم علم مدرن قرار دارد.

حسی در دنیای ریاضیات. نوع جدیدی از پنج ضلعی ها کشف شده است که بدون شکستگی و بدون همپوشانی هواپیما را می پوشانند.

این تنها پانزدهمین نوع از چنین پنج ضلعی و اولین مورد کشف شده در 30 سال گذشته است.

این هواپیما با مثلث ها و چهار گوش ها به هر شکلی پوشیده شده است، اما با پنج ضلعی همه چیز بسیار پیچیده تر و جالب تر است. پنج ضلعی های منظم نمی توانند یک هواپیما را بپوشانند، اما برخی از پنج ضلعی های نامنظم می توانند. جستجوی چنین ارقامی یکی از جالب‌ترین جستجوهای صد ساله بوده است. مسائل ریاضی. این جستجو در سال 1918 آغاز شد، زمانی که ریاضیدان کارل راینهارد اولین پنج رقم مناسب را کشف کرد.

برای مدت طولانی اعتقاد بر این بود که راینهارد تمام فرمول های ممکن را محاسبه کرده است و دیگر چنین پنج ضلعی وجود ندارد، اما در سال 1968 ریاضیدان R.B. Kershner سه مورد دیگر را یافت و ریچارد جیمز در سال 1975 تعداد آنها را به 9 رساند. در همان سال، مارجوری رایس، خانه‌دار آمریکایی و علاقه‌مند به ریاضیات 50 ساله، روش نمادگذاری خود را توسعه داد و در عرض چند سال چهار پنج ضلعی دیگر را کشف کرد. سرانجام، در سال 1985، رولف استاین تعداد ارقام را به چهارده افزایش داد.

پنتاگون تنها رقمی است که ابهام و رمز و راز در مورد آن باقی مانده است. در سال 1963 ثابت شد که تنها سه نوع شش ضلعی وجود دارد که هواپیما را می پوشاند. چنین مثلث هایی در بین هفت ضلعی، هشت ضلعی و غیره محدب وجود ندارد. اما در مورد پنتاگون ها، هنوز همه چیز کاملاً مشخص نیست.

تا به امروز، تنها 14 نوع از این پنج ضلعی شناخته شده بود. آنها در تصویر نشان داده شده اند. فرمول هر یک از آنها در لینک آورده شده است.

به مدت 30 سال هیچ کس نتوانست چیز جدیدی بیابد و در نهایت کشف مورد انتظار! این توسط گروهی از دانشمندان دانشگاه واشنگتن ساخته شده است: کیسی مان، جنیفر مک لود و دیوید فون دراو. این پسر خوش تیپ کوچولو به نظر می رسد.

کیسی مان می‌گوید: «ما این شکل را با جستجوی رایانه‌ای از میان تعداد زیادی اما محدود از تغییرات کشف کردیم. "البته، ما از اینکه توانستیم نوع جدیدی از پنج ضلعی را کشف کنیم، بسیار هیجان زده و کمی متعجب هستیم."

این کشف کاملاً انتزاعی به نظر می رسد، اما در واقع می تواند پیدا کند کاربرد عملی. به عنوان مثال، در تولید کاشی های تکمیلی.

جستجو برای پنج ضلعی های جدید که هواپیما را می پوشانند قطعا ادامه خواهد داشت.

چرا برخی از اندام های انسان به صورت جفت (به عنوان مثال، ریه ها، کلیه ها) و برخی دیگر - در یک نسخه وجود دارند؟

کاستیک ها سطوح نوری و منحنی های همه جا حاضر هستند که توسط بازتاب و شکست نور ایجاد می شوند. کاستیک ها را می توان به عنوان خطوط یا سطوحی توصیف کرد که پرتوهای نور در امتداد آنها متمرکز می شوند.

شبات جی.بی.

ما اکنون در مورد ساختار کیهان به همان میزانی می دانیم که مردم باستان از سطح زمین می دانستند. به‌طور دقیق‌تر، می‌دانیم که بخش کوچکی از کیهان که برای مشاهدات ما قابل دسترسی است، به همان شکل ساختار بخش کوچکی از فضای سه‌بعدی اقلیدسی است. به عبارت دیگر، ما روی یک منیفولد سه بعدی (3 منیفولد) زندگی می کنیم.

ویکتور لاوروس

شخص اشیاء اطراف خود را از روی شکل آنها تشخیص می دهد. علاقه به شکل یک شی می تواند به دلیل ضرورت حیاتی باشد یا می تواند ناشی از زیبایی شکل باشد. فرمی که ساخت آن بر اساس ترکیبی از تقارن و نسبت طلایی است، به بهترین ادراک بصری و نمایان شدن احساس زیبایی و هماهنگی کمک می کند. کل همیشه از اجزا تشکیل شده است، اجزایی با اندازه های مختلف با یکدیگر و با کل رابطه خاصی دارند. اصل نسبت طلایی بالاترین تجلی کمال ساختاری و عملکردی کل و اجزای آن در هنر، علم، فناوری و طبیعت است.

مستند «ابعاد» دو ساعت ریاضی است که به تدریج شما را وارد بعد چهارم می کند.

سرگئی استافف

دانش فشرده ترین وظیفه مردمان باستان جهت گیری در مکان و زمان بود. برای این منظور، از زمان های بسیار قدیم، بشر سازه های مگالیتیک متعددی را بنا کرده است - کروملک، دروموس، دولمن و منهیر. دستگاه های فوق العاده مبتکرانه ای اختراع شد که شمارش زمان را با دقت دقیقه یا تجسم جهت ها با خطای بیش از نیم درجه امکان پذیر می کرد. ما نشان خواهیم داد که چگونه در تمام قاره ها مردم برای پرتوهای خورشید تله ایجاد کردند، معابدی ساختند که گویی در جهت های نجومی "بند" شده بودند، تونل های شیب دار را برای رصد ستارگان در روز حفر کردند یا ابلیسک های گنومون برپا کردند. به طور باورنکردنی، اجداد دور ما، به عنوان مثال، موفق شدند نه تنها سایه های خورشیدی یا قمری، بلکه حتی سایه زهره را نیز دنبال کنند.