را مواد روش شناختیفقط برای مرجع است و برای طیف گسترده ای از موضوعات کاربرد دارد. این مقاله مروری بر نمودارهای توابع ابتدایی اولیه ارائه می دهد و مهمترین موضوع را در نظر می گیرد - چگونه یک نمودار را به درستی و سریع بسازیم. در طول مطالعه ریاضیات بالاتربدون اطلاع از برنامه های اصلی توابع ابتداییسخت خواهد بود، بنابراین بسیار مهم است که به یاد داشته باشید نمودارهای سهمی، هذلولی، سینوس، کسینوس و غیره چگونه هستند و برخی از مقادیر تابع را به خاطر بسپارید. همچنین در مورد برخی از ویژگی های توابع اصلی صحبت خواهیم کرد.

من ادعای کامل بودن و دقیق بودن علمی مطالب را ندارم، اول از همه بر روی تمرین تأکید می شود - مواردی که با آنها انسان به معنای واقعی کلمه در هر مرحله، در هر مبحثی از ریاضیات عالی، با آن مواجه می شود. نمودار برای آدمک ها؟ یکی می تواند چنین بگوید.

به دلیل درخواست های متعدد خوانندگان فهرست مطالب قابل کلیک:

علاوه بر این، یک خلاصه فوق العاده کوتاه در مورد این موضوع وجود دارد
- با مطالعه شش صفحه بر 16 نوع نمودار مسلط شوید!

جدی، شش، حتی من تعجب کردم. این خلاصه شامل گرافیک بهبود یافته است و با هزینه اسمی در دسترس است؛ نسخه آزمایشی قابل مشاهده است. چاپ فایل راحت است تا نمودارها همیشه در دسترس باشند. با تشکر برای حمایت از پروژه!

و بیایید بلافاصله شروع کنیم:

چگونه محورهای مختصات را به درستی بسازیم؟

در عمل، آزمون ها تقریباً همیشه توسط دانش آموزان در دفترچه های جداگانه، که در یک مربع ردیف شده اند، تکمیل می شود. چرا به علامت های شطرنجی نیاز دارید؟ پس از همه، کار، در اصل، می تواند بر روی ورق های A4 انجام شود. و قفس فقط برای طراحی با کیفیت و دقیق نقشه ها ضروری است.

هر رسم نمودار تابع با شروع می شود محورهای مختصات .

نقاشی ها می توانند دو بعدی یا سه بعدی باشند.

بیایید ابتدا مورد دو بعدی را در نظر بگیریم سیستم مختصات مستطیلی دکارتی:

1) محورهای مختصات را رسم کنید. محور نامیده می شود محور x ، و محور است محور y . ما همیشه سعی می کنیم آنها را ترسیم کنیم مرتب و بدون کج بودن. همچنین پیکان ها نباید شبیه ریش پاپا کارلو باشند.

2) محورها را با حروف بزرگ "X" و "Y" امضا می کنیم. برچسب زدن محورها را فراموش نکنید.

3) مقیاس را در امتداد محورها تنظیم کنید: یک صفر و دو یک را رسم کنید. هنگام ایجاد یک نقاشی، راحت ترین و پرکاربردترین مقیاس این است: 1 واحد = 2 سلول (طراحی در سمت چپ) - در صورت امکان، به آن بچسبید. با این حال، هر از گاهی اتفاق می افتد که نقاشی روی برگه نوت بوک قرار نمی گیرد - سپس مقیاس را کاهش می دهیم: 1 واحد = 1 سلول (نقاشی در سمت راست). نادر است، اما اتفاق می افتد که مقیاس نقاشی باید حتی بیشتر کاهش یابد (یا افزایش یابد)

نیازی به "مسلسله" نیست …-5، -4، -3، -1، 0، 1، 2، 3، 4، 5، ….برای هواپیمای مختصاتیادبود دکارت نیست و دانش آموز کبوتر نیست. ما گذاشتیم صفرو دو واحد در امتداد محورها. گاهی بجایواحدها، "علامت گذاری" مقادیر دیگر، به عنوان مثال، "دو" در محور آبسیسا و "سه" در محور مختصات راحت است - و این سیستم (0، 2 و 3) همچنین شبکه مختصات را به طور منحصر به فرد تعریف می کند.

بهتر است قبل از ساخت نقشه، ابعاد تخمین زده شده را تخمین بزنید. بنابراین، برای مثال، اگر کار مستلزم ترسیم مثلث با رئوس، , , باشد، کاملاً واضح است که مقیاس محبوب 1 واحد = 2 سلول کار نخواهد کرد. چرا؟ بیایید به این نکته نگاه کنیم - در اینجا باید پانزده سانتی متر به پایین اندازه گیری کنید، و بدیهی است که نقاشی روی یک برگه نوت بوک قرار نمی گیرد (یا به سختی جا می شود). بنابراین، بلافاصله یک مقیاس کوچکتر را انتخاب می کنیم: 1 واحد = 1 سلول.

به هر حال، حدود سانتی متر و سلول های نوت بوک. آیا این درست است که 30 سلول نوت بوک حاوی 15 سانتی متر است؟ برای سرگرمی، 15 سانتی متر را در دفترچه یادداشت خود با خط کش اندازه بگیرید. در اتحاد جماهیر شوروی ممکن است این موضوع درست بوده باشد... جالب است بدانید که اگر همین سانتی متر ها را به صورت افقی و عمودی اندازه بگیرید، نتایج (در سلول ها) متفاوت می شود! به بیان دقیق، نوت بوک های مدرن شطرنجی نیستند، بلکه مستطیلی هستند. این ممکن است مزخرف به نظر برسد، اما کشیدن، به عنوان مثال، یک دایره با قطب نما در چنین شرایطی بسیار ناخوشایند است. صادقانه بگویم، در چنین لحظاتی شما شروع به فکر کردن به درستی رفیق استالین می کنید که برای کار هک در تولید به اردوگاه ها فرستاده شده بود، نه به صنعت خودروسازی داخلی، سقوط هواپیماها یا انفجار نیروگاه ها.

صحبت از کیفیت، یا یک توصیه کوتاه در مورد لوازم التحریر. امروزه، بیشتر نوت‌بوک‌هایی که به فروش می‌رسند، دست‌کم، کاملاً مزخرف هستند. به این دلیل که خیس می شوند و نه تنها از قلم های ژل، بلکه از قلم های توپی نیز! روی کاغذ پول پس انداز می کنند. برای ثبت نام تست هامن توصیه می کنم از نوت بوک های کارخانه خمیر و کاغذ آرخانگلسک (18 ورق، شبکه) یا "Pyaterochka" استفاده کنید، اگرچه گران تر است. بهتر است یک خودکار ژل انتخاب کنید؛ حتی ارزان‌ترین ژل پرکننده چینی بسیار بهتر از خودکار است که کاغذ را لکه می‌کند یا پاره می‌کند. تنها قلم توپ "رقابتی" که می توانم به خاطر بیاورم اریش کراوز است. او واضح، زیبا و پیوسته می نویسد – چه با هسته کامل و چه با هسته تقریباً خالی.

علاوه بر این: دید یک سیستم مختصات مستطیلی از نگاه هندسه تحلیلی در مقاله پوشش داده شده است. وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارها، اطلاعات دقیق در مورد یک چهارم مختصات را می توانید در پاراگراف دوم درس بیابید نابرابری های خطی.

کیس سه بعدی

اینجا هم تقریبا همینطوره

1) محورهای مختصات را رسم کنید. استاندارد: محور اعمال می شود - جهت به سمت بالا، محور - جهت به سمت راست، محور - جهت به سمت پایین به سمت چپ موکدادر زاویه 45 درجه

2) محورها را برچسب بزنید.

3) مقیاس را در امتداد محورها تنظیم کنید. مقیاس در امتداد محور دو برابر کوچکتر از مقیاس در امتداد محورهای دیگر است. همچنین توجه داشته باشید که در نقاشی سمت راست از یک "بریدگی" غیر استاندارد در امتداد محور استفاده کردم (این امکان قبلاً در بالا ذکر شد). از نظر من، این دقیق تر، سریع تر و از نظر زیبایی شناسی دلپذیرتر است - نیازی به جستجوی وسط سلول در زیر میکروسکوپ نیست و واحدی نزدیک به مبدأ مختصات "مجسمه سازی" است.

هنگام ساخت یک طراحی سه بعدی، مجدداً اولویت را به مقیاس بدهید
1 واحد = 2 سلول (طراحی در سمت چپ).

همه این قوانین برای چیست؟ قوانین برای شکستن ساخته شده است. این کاری است که من اکنون انجام خواهم داد. واقعیت این است که نقشه های بعدی مقاله توسط من در اکسل انجام می شود و محورهای مختصات از نظر نادرست به نظر می رسند. طراحی صحیح. من می‌توانم تمام نمودارها را با دست ترسیم کنم، اما ترسیم آنها واقعاً ترسناک است زیرا اکسل تمایلی به ترسیم دقیق‌تر آنها ندارد.

نمودارها و ویژگی های اساسی توابع ابتدایی

یک تابع خطی با معادله داده می شود. نمودار توابع خطی است مستقیم. برای ایجاد یک خط مستقیم، دانستن دو نقطه کافی است.

مثال 1

یک نمودار از تابع بسازید. بیایید دو نکته را پیدا کنیم. انتخاب صفر به عنوان یکی از نقاط سودمند است.

اگر پس از آن

نکته دیگری را در نظر بگیریم، مثلاً 1.

اگر پس از آن

هنگام تکمیل وظایف، مختصات نقاط معمولاً در یک جدول خلاصه می شود:

و مقادیر خود به صورت شفاهی یا بر روی پیش نویس، یک ماشین حساب محاسبه می شوند.

دو نکته پیدا شد، بیایید یک نقاشی بکشیم:

هنگام تهیه نقاشی، همیشه گرافیک را امضا می کنیم.

یادآوری موارد خاص یک تابع خطی مفید خواهد بود:

توجه کنید که چگونه امضاها را گذاشتم، هنگام مطالعه نقاشی، امضاها نباید مغایرت داشته باشند. که در در این موردقرار دادن یک امضا در کنار نقطه تلاقی خطوط یا در پایین سمت راست بین نمودارها بسیار نامطلوب بود.

1) تابع خطی شکل () تناسب مستقیم نامیده می شود. مثلا، . یک نمودار تناسب مستقیم همیشه از مبدا عبور می کند. بنابراین، ساخت یک خط مستقیم ساده شده است - کافی است فقط یک نقطه را پیدا کنید.

2) یک معادله شکل، یک خط مستقیم موازی با محور را مشخص می کند، به ویژه، خود محور توسط معادله داده می شود. نمودار تابع بلافاصله و بدون یافتن هیچ نقطه ای رسم می شود. یعنی ورودی باید به صورت زیر درک شود: "y همیشه برابر با -4 برای هر مقدار x است."

3) یک معادله شکل، یک خط مستقیم موازی با محور را مشخص می کند، به ویژه، خود محور توسط معادله داده می شود. نمودار تابع نیز بلافاصله رسم می شود. ورودی باید به صورت زیر درک شود: "x همیشه، برای هر مقدار y، برابر با 1 است."

برخی خواهند پرسید چرا کلاس ششم را به یاد می آوریم؟! همین‌طور است، شاید هم همین‌طور باشد، اما در طول سال‌ها تمرین، با ده‌ها دانش‌آموز آشنا شدم که از کار ساختن نموداری مانند یا گیج شده بودند.

ایجاد یک خط مستقیم رایج ترین اقدام در هنگام ساختن نقشه ها است.

خط مستقیم در درس هندسه تحلیلی به تفصیل مورد بحث قرار می گیرد و علاقه مندان می توانند به مقاله مراجعه کنند. معادله یک خط مستقیم در یک صفحه.

نمودار یک تابع درجه دوم، مکعب، نمودار یک چند جمله ای

سهمی. برنامه تابع درجه دوم () یک سهمی را نشان می دهد. مورد معروف را در نظر بگیرید:

بیایید برخی از ویژگی های تابع را به یاد بیاوریم.

بنابراین، حل معادله ما: - در این نقطه است که راس سهمی قرار دارد. چرایی این چنین است را می توان در مقاله نظری در مورد مشتق و درس در مورد مادون تابع یافت. در ضمن، بیایید مقدار "Y" مربوطه را محاسبه کنیم:

بنابراین، راس در نقطه است

اکنون نقاط دیگری را می یابیم، در حالی که گستاخانه از تقارن سهمی استفاده می کنیم. لازم به ذکر است که تابع – یکنواخت نیست، اما، با این وجود، هیچ کس تقارن سهمی را لغو نکرد.

فکر می کنم از جدول نهایی مشخص شود که به چه ترتیب امتیازهای باقی مانده را پیدا کنید:

این الگوریتم ساخت و ساز را می توان به طور مجازی یک "شاتل" یا اصل "پیش و عقب" با آنفیسا چخوا نامید.

بیایید نقاشی را انجام دهیم:

از نمودارهای بررسی شده، ویژگی مفید دیگری به ذهن متبادر می شود:

برای تابع درجه دوم () موارد زیر درست است:

اگر، آنگاه شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند.

اگر، آنگاه شاخه های سهمی به سمت پایین هدایت می شوند.

دانش عمیق در مورد منحنی را می توان در درس Hyperbola و Parabola بدست آورد.

سهمی مکعبی با تابع داده می شود. در اینجا یک نقاشی آشنا از مدرسه است:

اجازه دهید ویژگی های اصلی تابع را فهرست کنیم

نمودار یک تابع

نشان دهنده یکی از شاخه های سهمی است. بیایید نقاشی را انجام دهیم:

ویژگی های اصلی تابع:

در این مورد، محور است مجانب عمودی برای نمودار هذلولی در .

این یک اشتباه فاحش خواهد بود اگر هنگام ترسیم یک نقاشی، بی دقت اجازه دهید نمودار با مجانبی قطع شود.

همچنین محدودیت های یک طرفه به ما می گویند که هذلولی از بالا محدود نیستو از پایین محدود نیست.

بیایید تابع را در بی‌نهایت بررسی کنیم، یعنی اگر در امتداد محور به سمت چپ (یا راست) تا بی‌نهایت حرکت کنیم، «بازی‌ها» در یک مرحله منظم خواهند بود. بی نهایت نزدیکنزدیک به صفر، و بر این اساس، شاخه های هذلولی بی نهایت نزدیکبه محور نزدیک شوید

پس محور است مجانب افقی برای نمودار یک تابع، اگر "x" به مثبت یا منفی بی نهایت تمایل داشته باشد.

تابع است فرد، و بنابراین، هذلول نسبت به مبدا متقارن است. این واقعیت از نقاشی آشکار است، علاوه بر این، به راحتی به صورت تحلیلی تأیید می شود: .

نمودار تابعی از شکل () دو شاخه از هذلولی را نشان می دهد.

اگر، آنگاه هذلولی در ربع مختصات اول و سوم قرار دارد(تصویر بالا را ببینید).

اگر، هذلولی در ربع مختصات دوم و چهارم قرار دارد.

الگوی نشان‌داده‌شده سکونت هذلولی از دیدگاه تبدیل‌های هندسی نمودارها به راحتی قابل تحلیل است.

مثال 3

شاخه سمت راست هذلولی را بسازید

ما از روش ساخت نقطه‌ای استفاده می‌کنیم و انتخاب مقادیر به گونه‌ای مفید است که آنها بر یک کل تقسیم شوند:

بیایید نقاشی را انجام دهیم:

ساختن شاخه سمت چپ هذلولی دشوار نخواهد بود؛ عجیب بودن تابع در اینجا کمک خواهد کرد. به طور تقریبی در جدول ساخت نقطه ای به صورت ذهنی به هر عدد یک منهای اضافه می کنیم و نقاط مربوطه را قرار می دهیم و شاخه دوم را رسم می کنیم.

اطلاعات هندسی دقیق در مورد خط در نظر گرفته شده را می توان در مقاله Hyperbola and Parabola یافت.

نمودار یک تابع نمایی

که در این پاراگرافمن فوراً تابع نمایی را در نظر خواهم گرفت، زیرا در مسائل ریاضیات بالاتر در 95٪ موارد این نمایی است که ظاهر می شود.

به شما یادآوری کنم که این یک عدد غیر منطقی است: ، هنگام ساخت یک نمودار لازم است که در واقع بدون تشریفات آن را می سازم. سه نکته احتمالا کافی است:

بیایید فعلاً نمودار تابع را به حال خود رها کنیم و بعداً در مورد آن بیشتر توضیح خواهیم داد.

ویژگی های اصلی تابع:

نمودارهای تابع و غیره اساساً یکسان به نظر می رسند.

باید بگویم که مورد دوم در عمل کمتر اتفاق می افتد، اما اتفاق می افتد، بنابراین لازم دانستم آن را در این مقاله قرار دهم.

نمودار تابع لگاریتمی

تابعی را با لگاریتم طبیعی در نظر بگیرید.
بیایید یک نقاشی نقطه به نقطه انجام دهیم:

اگر فراموش کرده اید لگاریتم چیست، لطفاً به کتاب های درسی مدرسه خود مراجعه کنید.

ویژگی های اصلی تابع:

دامنه:

محدوده مقادیر: .

عملکرد از بالا محدود نمی شود: ، هرچند به کندی، اما شاخه لگاریتم تا بی نهایت بالا می رود.
اجازه دهید رفتار تابع نزدیک به صفر در سمت راست را بررسی کنیم: . پس محور است مجانب عمودی زیرا نمودار یک تابع به عنوان "x" از سمت راست به صفر میل می کند.

دانستن و به خاطر سپردن مقدار معمولی لگاریتم ضروری است: .

در اصل، نمودار لگاریتم به پایه یکسان است: , , (لگاریتم اعشاری به پایه 10) و غیره. علاوه بر این، هرچه پایه بزرگتر باشد، نمودار صاف تر خواهد بود.

ما این مورد را در نظر نخواهیم گرفت؛ آخرین باری که نموداری با چنین مبنایی ساختم را به خاطر نمی‌آورم. و لگاریتم به نظر می رسد مهمان بسیار نادری در مسائل ریاضیات عالی باشد.

در پایان این پاراگراف یک واقعیت دیگر را می گویم: تابع نمایی و تابع لگاریتمی- این دو تابع معکوس متقابل هستند. اگر به نمودار لگاریتم دقت کنید، می بینید که این همان توان است، فقط کمی متفاوت است.

نمودارهای توابع مثلثاتی

عذاب مثلثاتی در مدرسه از کجا شروع می شود؟ درست. از سینوس

بیایید تابع را رسم کنیم

این خط نامیده می شود سینوسی.

به شما یادآوری می کنم که "پی" یک عدد غیر منطقی است: و در مثلثات چشمان شما را خیره می کند.

ویژگی های اصلی تابع:

این تابع است تناوبیبا دوره . چه مفهومی داره؟ بیایید به بخش نگاه کنیم. در سمت چپ و راست آن، دقیقاً همان قطعه نمودار بی انتها تکرار می شود.

دامنه: یعنی برای هر مقدار "x" یک مقدار سینوسی وجود دارد.

محدوده مقادیر: . تابع است محدود: یعنی همه «بازی‌ها» به شدت در بخش قرار می‌گیرند.
این اتفاق نمی افتد: یا به عبارت دقیق تر، اتفاق می افتد، اما این معادلات راه حلی ندارند.

1. تابع خطی کسری و نمودار آن

تابعی به شکل y = P(x) / Q(x)، که در آن P(x) و Q(x) چند جمله ای هستند، تابع گویا کسری نامیده می شود.

احتمالاً از قبل با مفهوم اعداد گویا آشنا هستید. به همین ترتیب توابع منطقیتوابعی هستند که می توان آنها را به عنوان ضریب دو چند جمله ای نشان داد.

اگر یک تابع گویا کسری ضریب دو تابع خطی باشد - چند جمله ای درجه اول، یعنی. عملکرد فرم

y = (ax + b) / (cx + d)، سپس خطی کسری نامیده می شود.

توجه داشته باشید که در تابع y = (ax + b) / (cx + d)، c ≠ 0 (در غیر این صورت تابع خطی می شود y = ax/d + b/d) و a/c ≠ b/d (در غیر این صورت تابع تابع ثابت است). تابع کسری خطی برای همه اعداد واقعی به جز x = -d/c تعریف شده است. نمودارهای توابع خطی کسری از نظر شکل با نمودار y = 1/x که می دانید تفاوتی ندارند. منحنی که نمودار تابع y = 1/x است نامیده می شود هایپربولی. با افزایش نامحدود x در مقدار مطلق، تابع y = 1/x نامحدود در مقدار مطلق کاهش می‌یابد و هر دو شاخه نمودار به ابسیسا نزدیک می‌شوند: شاخه سمت راست از بالا و سمت چپ از پایین. خطوطی که شاخه های یک رویکرد هذلولی به آنها نامیده می شود مجانبی.

مثال 1.

y = (2x + 1) / (x - 3).

راه حل.

بیایید کل قسمت را انتخاب کنیم: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

اکنون به راحتی می توان دریافت که نمودار این تابع از نمودار تابع y = 1/x با تبدیل های زیر به دست می آید: جابجایی 3 واحدی به سمت راست، کشیده شدن در امتداد محور Oy 7 بار و جابجایی 2. بخش های واحد به سمت بالا

هر کسری y = (ax + b) / (cx + d) را می توان به روشی مشابه نوشت و "قسمت صحیح" را برجسته کرد. در نتیجه، نمودارهای تمام توابع خطی کسری هذلولی هستند که به طرق مختلف در امتداد محورهای مختصات جابجا شده و در امتداد محور Oy کشیده شده‌اند.

برای ساختن یک نمودار از هر تابع کسری-خطی دلخواه، تغییر کسری که این تابع را تعریف می کند، اصلاً ضروری نیست. از آنجایی که می دانیم که نمودار یک هذلولی است، کافی است خطوط مستقیمی را که شاخه های آن به آن نزدیک می شوند پیدا کنیم - مجانب هذلولی x = -d/c و y = a/c.

مثال 2.

مجانب نمودار تابع y = (3x + 5)/(2x + 2) را بیابید.

راه حل.

تابع در x = -1 تعریف نشده است. این بدان معنی است که خط مستقیم x = -1 به عنوان مجانبی عمودی عمل می کند. برای یافتن مجانب افقی، بیایید دریابیم که وقتی آرگومان x در مقدار مطلق افزایش می یابد، مقادیر تابع y(x) به چه چیزی نزدیک می شود.

برای این کار، صورت و مخرج کسر را بر x تقسیم کنید:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

به عنوان x → ∞ کسر به 3/2 تمایل خواهد داشت. این بدان معنی است که مجانب افقی خط مستقیم y = 3/2 است.

مثال 3.

تابع y = (2x + 1)/(x + 1) را رسم کنید.

راه حل.

بیایید "قسمت کامل" کسری را انتخاب کنیم:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 - 1 / (x + 1).

اکنون به راحتی می توان دریافت که نمودار این تابع از نمودار تابع y = 1/x با تبدیل های زیر به دست می آید: تغییر 1 واحد به چپ، نمایش متقارن نسبت به Ox و جابجایی با 2 واحد در امتداد محور Oy به سمت بالا تقسیم می شود.

دامنه D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

محدوده مقادیر E(y) = (-∞؛ 2)ᴗ(2; +∞).

نقاط تقاطع با محورها: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2؛ 0). تابع در هر بازه دامنه تعریف افزایش می یابد.

پاسخ: شکل 1.

2. تابع گویا کسری

یک تابع گویا کسری به شکل y = P(x) / Q(x) را در نظر بگیرید، که در آن P(x) و Q(x) چند جمله‌ای با درجه بالاتر از اول هستند.

نمونه هایی از این توابع منطقی:

y = (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) یا y = (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

اگر تابع y = P(x) / Q(x) نشان دهنده ضریب دو چندجمله ای با درجه بالاتر از اولین باشد، نمودار آن معمولاً پیچیده تر است و گاهی اوقات ساختن دقیق آن دشوار است. ، با تمام جزئیات با این حال، اغلب استفاده از تکنیک های مشابه با تکنیک هایی که قبلاً در بالا معرفی کردیم، کافی است.

بگذارید کسر یک کسر مناسب باشد (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

بدیهی است که نمودار یک تابع گویا کسری را می توان به عنوان مجموع نمودارهای کسرهای ابتدایی به دست آورد.

رسم نمودارهای توابع گویا کسری

بیایید چندین روش برای ساختن نمودارهای یک تابع گویا کسری در نظر بگیریم.

مثال 4.

نموداری از تابع y = 1/x 2 رسم کنید.

راه حل.

ما از نمودار تابع y = x 2 برای ساختن نمودار y = 1/x 2 استفاده می کنیم و از تکنیک "تقسیم" نمودارها استفاده می کنیم.

دامنه D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

محدوده مقادیر E(y) = (0؛ +∞).

هیچ نقطه تقاطعی با محورها وجود ندارد. عملکرد یکنواخت است. برای همه x از بازه (-∞؛ 0) افزایش می یابد، برای x از 0 به +∞ کاهش می یابد.

پاسخ: شکل 2.

مثال 5.

تابع y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) را رسم کنید.

راه حل.

دامنه D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) = (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) = -(x - 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

در اینجا از تکنیک فاکتورسازی، کاهش و کاهش به یک تابع خطی استفاده کردیم.

پاسخ: شکل 3.

مثال 6.

تابع y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) را رسم کنید.

راه حل.

دامنه تعریف D(y) = R است. از آنجایی که تابع زوج است، نمودار متقارن نسبت به مختصات است. قبل از ساختن یک نمودار، بیایید دوباره عبارت را تغییر دهیم و کل قسمت را برجسته کنیم:

y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) = 1 - 2 / (x 2 + 1).

توجه داشته باشید که جداسازی قسمت صحیح در فرمول یک تابع گویا کسری یکی از اصلی‌ترین موارد هنگام ساخت نمودار است.

اگر x → ±∞، آنگاه y → 1، یعنی. خط مستقیم y = 1 مجانبی افقی است.

پاسخ: شکل 4.

مثال 7.

بیایید تابع y = x/(x 2 + 1) را در نظر بگیریم و سعی کنیم به دقت بزرگترین مقدار آن را پیدا کنیم. بالاترین نقطه در نیمه سمت راست نمودار برای ساخت دقیق این نمودار، دانش امروزی کافی نیست. بدیهی است که منحنی ما نمی تواند بسیار بالا "بالا" شود، زیرا مخرج به سرعت شروع به "سبقت گرفتن" از صورت می کند. بیایید ببینیم که آیا مقدار تابع می تواند برابر با 1 باشد. برای این کار باید معادله x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 را حل کنیم. این معادله ریشه واقعی ندارد. این بدان معناست که فرض ما نادرست است. برای یافتن بزرگترین مقدار تابع، باید دریابید که معادله A = x/(x 2 + 1) در کدام A بزرگترین راه حل خواهد داشت. اجازه دهید معادله اصلی را با یک درجه دوم جایگزین کنیم: Ax 2 – x + A = 0. این معادله زمانی راه حل دارد که 1 – 4A 2 ≥ 0 باشد. از اینجا بزرگترین مقدار A = 1/2 را پیدا می کنیم.

پاسخ: شکل 5، حداکثر y(x) = ½.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه توابع را نمودار کنید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

یکی از معروف ترین توابع نمایی در ریاضیات، توان است. این عدد اویلر را به توان مشخص شده نشان می دهد. در اکسل یک عملگر جداگانه وجود دارد که به شما امکان محاسبه آن را می دهد. بیایید ببینیم چگونه می توان از آن در عمل استفاده کرد.

توان، عدد اویلر است که به توان داده شده افزایش می یابد. خود عدد اویلر تقریباً 2.718281828 است. گاهی اوقات به آن عدد ناپیر نیز می گویند. تابع توان به شکل زیر است:

که e عدد اویلر و n درجه افزایش است.

برای محاسبه این شاخص در اکسل، از یک عملگر جداگانه استفاده می شود - انقضا. علاوه بر این، این تابع می تواند به عنوان یک نمودار نمایش داده شود. در ادامه در مورد کار با این ابزارها صحبت خواهیم کرد.

روش 1: با وارد کردن دستی تابع، توان را محاسبه کنید

EXP (شماره)

یعنی این فرمول فقط یک آرگومان دارد. این دقیقا همان قدرتی است که عدد اویلر باید به آن افزایش یابد. این استدلال می تواند به شکلی باشد مقدار عددی، و به شکل ارجاع به یک سلول حاوی توان باشد.

روش 2: استفاده از Function Wizard

اگرچه نحو برای محاسبه توان بسیار ساده است، برخی از کاربران ترجیح می دهند از آن استفاده کنند Function Wizard. بیایید ببینیم که چگونه این کار با یک مثال انجام می شود.

اگر یک مرجع سلولی که حاوی یک توان است به عنوان آرگومان استفاده می شود، باید مکان نما را در فیلد قرار دهید. "عدد"و به سادگی آن سلول را در برگه انتخاب کنید. مختصات آن بلافاصله در فیلد نمایش داده می شود. پس از این، برای محاسبه نتیجه، بر روی دکمه کلیک کنید "خوب".

روش 3: ترسیم نقشه

علاوه بر این، در اکسل امکان ساخت نمودار با استفاده از نتایج به دست آمده از محاسبه توان به عنوان مبنا وجود دارد. برای ساخت یک نمودار، برگه باید قبلاً مقادیر محاسبه شده توان های مختلف را داشته باشد. آنها را می توان با استفاده از یکی از روش های شرح داده شده در بالا محاسبه کرد.

y (x) = e x، که مشتق آن برابر با خود تابع است.

توان به صورت , یا نشان داده می شود.

شماره e

مبنای درجه توان است شماره e. این یک عدد غیر منطقی است. تقریباً برابر است
ه ≈ 2,718281828459045...

عدد e از طریق حد دنباله تعیین می شود. این به اصطلاح است دومین محدودیت فوق العاده:
.

عدد e را می توان به صورت یک سری نیز نشان داد:
.

نمودار نمایی

نمودار نمایی، y = e x.

نمودار نمایی را نشان می دهد هتا یک درجه ایکس.
y (x) = e x
نمودار نشان می دهد که توان به طور یکنواخت افزایش می یابد.

فرمول ها

فرمول های اصلی مانند for هستند تابع نماییبا پایه برق e.

;
;
;

بیان یک تابع نمایی با پایه دلخواه درجه a از طریق نمایی:
.

ارزش های خصوصی

اجازه دهید y (x) = e x. سپس
.

ویژگی های توان

توان دارای ویژگی های تابع نمایی با پایه توان است ه > 1 .

دامنه، مجموعه ای از مقادیر

توان y (x) = e xبرای همه x تعریف شده است.
حوزه تعریف آن:
- ∞ < x + ∞ .
معانی متعدد آن:
0 < y < + ∞ .

افراط، افزایش، کاهش

تابع نمایی یک تابع افزایشی یکنواخت است، بنابراین هیچ مادونی ندارد. خواص اصلی آن در جدول ارائه شده است.

تابع معکوس

معکوس توان لگاریتم طبیعی است.
;
.

مشتق توان

مشتق هتا یک درجه ایکسمساوی با هتا یک درجه ایکس :
.
مشتق از مرتبه n:
.
استخراج فرمول ها > > >

انتگرال

اعداد مختلط

اقدامات با اعداد مختلطبا استفاده از فرمول های اویلر:
,
واحد خیالی کجاست:
.

عبارات از طریق توابع هذلولی

; ;
.

عبارات با استفاده از توابع مثلثاتی

; ;
;
.

گسترش سری پاور

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.