ساده ترین نوع توزیع گاما، توزیع با چگالی است

جایی که - پارامتر شیفت، - تابع گاما، یعنی.

(2)

هر توزیع را می توان به یک خانواده تغییر مقیاس "بسط" داد. در واقع، برای یک متغیر تصادفی که تابع توزیع دارد، یک خانواده از متغیرهای تصادفی را در نظر بگیرید ، که در آن پارامتر مقیاس است، و پارامتر شیفت است. سپس تابع توزیع است .

با احتساب هر توزیع با چگالی شکل (1) در خانواده scale-shift، توزیع گامای پذیرفته شده در پارامترسازی خانواده را به دست می آوریم:

اینجا - پارامتر شکل، - پارامتر مقیاس، - پارامتر شیفت، تابع گاما با فرمول (2) داده می شود.

پارامترهای دیگری در ادبیات وجود دارد. بنابراین، به جای یک پارامتر، اغلب از پارامتر استفاده می شود . گاهی اوقات یک خانواده دو پارامتری در نظر گرفته می شود، که پارامتر تغییر را حذف می کند، اما پارامتر مقیاس یا آنالوگ آن - پارامتر را حفظ می کند. . برای برخی از مشکلات کاربردی (به عنوان مثال، هنگام مطالعه قابلیت اطمینان دستگاه های فنی)، این قابل توجیه است، زیرا از ملاحظات اساسی طبیعی به نظر می رسد که بپذیریم چگالی توزیع احتمال برای مقادیر مثبت استدلال و فقط برای آنها مثبت است. این فرض با یک بحث بلندمدت در دهه 80 در مورد "شاخص های قابلیت اطمینان تجویز شده" مرتبط است که ما در مورد آن صحبت نمی کنیم.

موارد خاص توزیع گاما برای مقادیر پارامترهای خاص دارای نام های خاصی هستند. وقتی توزیع نمایی داریم. توزیع گامای طبیعی یک توزیع ارلنگ است که به ویژه در تئوری استفاده می شود در صف. اگر یک متغیر تصادفی دارای توزیع گاما با پارامتر شکل باشد به طوری که - عدد صحیح و، دارای توزیع کای دو درجه آزادی است.

کاربردهای توزیع گاما

توزیع گاما کاربردهای گسترده ای در زمینه های مختلف دارد علوم فنی(به ویژه، در قابلیت اطمینان و تئوری آزمون)، در هواشناسی، پزشکی، اقتصاد. به طور خاص، توزیع گاما می تواند تابع طول عمر کل محصول، طول زنجیره ذرات گرد و غبار رسانا، زمانی که محصول به حالت حدی در هنگام خوردگی می رسد، زمان تا خرابی k و غیره باشد. . امید به زندگی بیماران مبتلا به بیماری های مزمن و زمان رسیدن به اثر معین در طول درمان در برخی موارد دارای توزیع گاما می باشد. مشخص شد که این توزیع برای توصیف تقاضا در تعدادی از مدل‌های اقتصادی و ریاضی مدیریت موجودی مناسب‌ترین است.

امکان استفاده از توزیع گاما در تعدادی از مسائل کاربردی را می توان گاهی با خاصیت تکرارپذیری توجیه کرد: مجموع متغیرهای تصادفی مستقل به صورت نمایی توزیع شده با پارامتر یکسان دارای توزیع گاما با پارامترهای شکل و مقیاس است. و تغییر دهید. بنابراین، توزیع گاما اغلب در مناطق کاربردی که از توزیع نمایی استفاده می کنند استفاده می شود.

صدها نشریه به سؤالات مختلف تئوری آماری مربوط به توزیع گاما اختصاص یافته است (به خلاصه ها مراجعه کنید). این مقاله که ادعای جامعی ندارد، تنها به بررسی برخی مسائل ریاضی و آماری مرتبط با تدوین استاندارد دولتی می پردازد.

بیایید توزیع گاما را در نظر بگیریم، انتظارات ریاضی، پراکندگی و حالت آن را محاسبه کنیم. با استفاده از تابع MS EXCEL GAMMA.DIST()، نمودارهایی از تابع توزیع و چگالی احتمال می سازیم. بیایید یک آرایه از اعداد تصادفی ایجاد کنیم و پارامترهای توزیع را تخمین بزنیم.

توزیع گاما(انگلیسی) گاماتوزیع) به 2 پارامتر بستگی دارد: r(شکل توزیع را تعیین می کند) و λ (مقیاس را تعیین می کند). این توزیع با فرمول زیر ارائه می شود:

که در آن Г(r) تابع گاما است:

اگر r یک عدد صحیح مثبت باشد، Г(r)=(r-1)!

فرم ورودی بالا چگالی توزیعبه وضوح ارتباط خود را با. وقتی r=1 توزیع گاماپایین می آید به توزیع نماییبا پارامتر λ.

اگر پارامتر λ یک عدد صحیح باشد، پس توزیع گاماجمع است rمستقل و به طور یکسان توزیع شده است قانون نماییبا پارامتر λ از متغیرهای تصادفی ایکس. بنابراین، متغیر تصادفی y= ایکس 1 + ایکس 2 +… x rاین دارد توزیع گامابا پارامترها rو λ.

به نوبه خود، ارتباط نزدیکی با گسسته دارد. اگر توزیع پواسونتعداد رویدادهای تصادفی را که در یک بازه زمانی معین رخ داده اند، توصیف می کند توزیع نمایی،در این مورد، طول فاصله زمانی بین دو رویداد متوالی را توصیف می کند.

از این نتیجه می شود که مثلاً اگر زمان قبل از وقوع اولین رویداد توصیف شود توزیع نماییبا پارامتر λ، سپس زمان قبل از شروع رویداد دوم توضیح داده می شود توزیع گامابا r = 2 و همان پارامتر λ.

توزیع گاما در MS EXCEL

MS EXCEL یک فرم ضبط معادل، اما متفاوت در پارامترها را اتخاذ می کند تراکم توزیع گاما.

پارامتر α ( آلفا) معادل پارامتر است r، و پارامتر ب (بتا) - پارامتر 1/λ. در زیر دقیقاً به این نماد پایبند خواهیم بود، زیرا این کار نوشتن فرمول ها را آسان تر می کند.

در MS EXCEL، از نسخه 2010، برای توزیع گامایک تابع (GAMMA.DIST) وجود دارد، نام انگلیسی آن GAMMA.DIST () است که به شما امکان می دهد محاسبه کنید چگالی احتمالی(به فرمول بالا مراجعه کنید) و (احتمال داشتن متغیر تصادفی X توزیع گاما، مقداری کمتر یا مساوی x خواهد گرفت).

توجه داشته باشید: قبل از MS EXCEL 2010، EXCEL دارای تابع GAMMADIST() بود که به شما امکان محاسبه تابع توزیع تجمعیو چگالی احتمالی. GAMMADIST () در MS EXCEL 2010 برای سازگاری باقی مانده است.

نمودارهای تابع

فایل مثال حاوی نمودارها است توزیع چگالی احتمالو تابع توزیع تجمعی.

توزیع گامادارای نام گاما است (آلفا؛ بتا).

توجه داشته باشید: برای سهولت در نوشتن فرمول ها در فایل مثال برای پارامترهای توزیع آلفا و بتامربوطه ایجاد شده است.

توجه داشته باشید: وابستگی به 2 پارامتر امکان ساخت توزیع هایی از اشکال مختلف را فراهم می کند که کاربرد این توزیع را گسترش می دهد. توزیع گاما، همچنین توزیع نماییاغلب برای محاسبه زمان انتظار بین رویدادهای تصادفی استفاده می شود. علاوه بر این، می توان از این توزیع برای مدل سازی سطوح بارندگی و هنگام طراحی جاده ها استفاده کرد.

همانطور که در بالا نشان داده شده است، اگر پارامتر آلفا= 1، سپس تابع GAMMA.DIST() با پارامتر برمی گردد 1/بتا. اگر پارامتر بتا= 1، تابع GAMMA.DIST() استاندارد را برمی گرداند توزیع گاما.

توجه داشته باشید: زیرا یک مورد خاص است توزیع گاما، سپس فرمول =GAMMA.DIST(x;n/2;2;TRUE) برای عدد صحیح مثبت n همان نتیجه فرمول را برمی گرداند =CHI2.DIST(x;n; TRUE)یا =1-CHI2.DIST.PH(x;n) . و فرمول =GAMMA.DIST(x;n/2;2;FALSE)همان نتیجه فرمول را برمی گرداند =CHI2.DIST(x;n؛ FALSE)، یعنی چگالی احتمالی توزیع CH2

که در فایل نمونه در برگه نمودارهامحاسبه داده شده است توزیع گامابرابر آلفا*بتاو

یک متغیر تصادفی غیر منفی دارد توزیع گاما، اگر چگالی توزیع آن با فرمول بیان شود

کجا و، تابع گاما است:

بدین ترتیب، توزیع گامایک توزیع دو پارامتری است که جایگاه مهمی را در آن اشغال می کند آمار ریاضیو نظریه های قابلیت اطمینان این توزیع از یک طرف دارای محدودیت است.

اگر پارامتر شکل منحنی توزیع یک عدد صحیح باشد، توزیع گاما زمان لازم برای وقوع رویدادها (شکست ها) را توصیف می کند، مشروط بر اینکه مستقل باشند و با شدت ثابت رخ دهند.

در بیشتر موارد، این توزیع زمان عملکرد سیستم را با افزونگی برای خرابی عناصر قدیمی، زمان بازیابی سیستم با افزونگی برای خرابی عناصر قدیمی، زمان بازیابی سیستم و غیره را برای مقادیر کمی متفاوت توصیف می کند. از میان پارامترها، توزیع گاما شکل‌های متنوعی به خود می‌گیرد که کاربرد گسترده آن را توضیح می‌دهد.

چگالی احتمال توزیع گاما با برابری if تعیین می شود

تابع توزیع (9)

توجه داشته باشید که تابع قابلیت اطمینان با فرمول بیان می شود:

تابع گاما دارای ویژگی های زیر است: , , (11)

از آنجا نتیجه می شود که اگر یک عدد صحیح غیر منفی است، پس

علاوه بر این، متعاقباً به یک ویژگی دیگر از تابع گاما نیاز خواهیم داشت: ; . (13)

مثال.بازسازی تجهیزات الکترونیکی از قانون توزیع گاما با پارامترها و . احتمال بازیابی تجهیزات را در یک ساعت تعیین کنید.

راه حل. برای تعیین احتمال بهبودی از فرمول (9) استفاده می کنیم.

برای اعداد صحیح مثبت توابع و در .

اگر به سراغ متغیرهای جدیدی برویم که مقادیر آنها بیان می شود. ، سپس جدول انتگرال را دریافت می کنیم:

در این عبارت، جواب انتگرال سمت راست را می توان با استفاده از همان فرمول تعیین کرد:

و چه زمانی وجود خواهد داشت

وقتی و متغیرهای جدید برابر با و خواهند بود و خود انتگرال برابر با

مقدار تابع برابر خواهد بود

بیایید ویژگی های عددی یک متغیر تصادفی را با توجه به توزیع گاما پیدا کنیم

مطابق با برابری (13)، ما به دست می آوریم. (14)

با استفاده از فرمول دومین لحظه اولیه را پیدا می کنیم

جایی که . (15)

توجه داشته باشید که در , نرخ شکست به طور یکنواخت کاهش می یابد که با دوره کارکرد محصول مطابقت دارد. هنگامی که میزان شکست افزایش می یابد، که دوره سایش و پیری عناصر را مشخص می کند.

وقتی توزیع گاما با توزیع نمایی منطبق است، وقتی توزیع گاما به قانون عادی نزدیک می شود. اگر مقادیر اعداد صحیح دلخواه را می گیرد اعداد مثبت، سپس چنین توزیع گامایی نامیده می شود سفارش توزیع ارلنگ:

در اینجا فقط به این نکته بسنده می شود که قانون ارلنگ مجموع متغیرهای تصادفی مستقل تابع مرتبه هفتم است که هر کدام بر اساس یک قانون نمایی با یک پارامتر توزیع می‌شوند. قانون ارلنگ مرتبه ام ارتباط نزدیکی با جریان ثابت پواسون (ساده ترین) با شدت دارد.

در واقع، اجازه دهید چنین جریانی از رویدادها در زمان وجود داشته باشد (شکل 6).

برنج. 6. نمایش گرافیکی جریان پواسون از رویدادها در طول زمان

یک بازه زمانی متشکل از مجموع را در نظر بگیرید فواصل بین رویدادها در چنین جریانی. می توان ثابت کرد که متغیر تصادفی از قانون ارلنگ تبعیت می کند - مرتبه

چگالی توزیع یک متغیر تصادفی بر اساس قانون ارلنگ توزیع شده است مرتبه ام را می توان از طریق تابع توزیع پواسون جدولی بیان کرد:

اگر ارزش مضربی از و است، سپس توزیع گاما با توزیع کای دو منطبق است.

توجه داشته باشید که تابع توزیع یک متغیر تصادفی با استفاده از آن قابل محاسبه است فرمول زیر:

که با عبارات (12) و (13) تعیین می شوند.

در نتیجه، ما برابری هایی داریم که بعداً برای ما مفید خواهد بود:

مثال.جریان محصولات تولید شده روی نوار نقاله با پارامتر ساده ترین است. تمام محصولات تولید شده کنترل می شوند، محصولات معیوب در یک جعبه مخصوص قرار می گیرند که بیشتر از محصولات، احتمال نقص برابر است با . قانون توزیع زمان پر کردن جعبه با محصولات معیوب و مقدار آن را تعیین کنید ، بر اساس این واقعیت که بعید است جعبه در طول شیفت سرریز شود.

راه حل. شدت ساده ترین جریان محصولات معیوب خواهد بود. بدیهی است که زمان پر کردن جعبه با محصولات معیوب طبق قانون ارلنگ توزیع می شود.

با پارامترها و :

از این رو (18) و (19): ; .

تعداد محصولات معیوب در طول زمان طبق قانون پواسون با پارامتر توزیع می شود. بنابراین تعداد مورد نیاز باید از شرط پیدا شود . (20)

به عنوان مثال، در [product/h]؛ ; [h]

از معادله در

یک متغیر تصادفی با توزیع Erlang دارای ویژگی های عددی زیر است (جدول 6).

جدول 6

توجه داشته باشید که یک متغیر تصادفی با توزیع ارلنگ نرمال شده از مرتبه هفتم دارای ویژگی های عددی زیر است (جدول 7).

جدول 7

توزیع یکنواخت ارزش مستمر X به طور مساوی توزیع می شوددر فاصله زمانی ( آ, باگر تمام مقادیر ممکن آن در این بازه باشد و چگالی توزیع احتمال ثابت باشد:

برای یک متغیر تصادفی ایکس، به طور یکنواخت در فاصله ( آ, ب) (شکل 4)، احتمال افتادن در هر بازه ای ( ایکس 1 , ایکس 2)، دراز کشیدن در داخل فاصله ( آ, ب)، برابر است با:

(30)


برنج. 4. نمودار چگالی توزیع یکنواخت

نمونه هایی از کمیت های توزیع شده یکنواخت خطاهای گرد کردن هستند. بنابراین، اگر همه مقادیر جدولی یک تابع خاص به یک رقم گرد شوند، سپس یک مقدار جدولی را به طور تصادفی انتخاب می کنیم، در نظر می گیریم که خطای گرد کردن عدد انتخاب شده یک متغیر تصادفی است که به طور یکنواخت در بازه توزیع شده است.

توزیع نمایی متغیر تصادفی پیوسته ایکساین دارد توزیع نمایی

(31)

نمودار چگالی احتمال (31) در شکل نشان داده شده است. 5.

برنج. 5. نمودار چگالی توزیع نمایی

زمان تیعملکرد بدون خرابی یک سیستم کامپیوتری یک متغیر تصادفی با توزیع نمایی با پارامتر است λ که معنای فیزیکی آن میانگین تعداد خرابی در واحد زمان بدون احتساب زمان خرابی سیستم برای تعمیرات است.

توزیع نرمال (گاوسی). مقدار تصادفی ایکساین دارد طبیعی توزیع (گاوسی).، اگر چگالی توزیع احتمال آن توسط وابستگی تعیین شود:

(32)

جایی که متر = م(ایکس) , .

در توزیع نرمال نامیده می شود استاندارد.

نمودار چگالی توزیع نرمال (32) در شکل 1 ارائه شده است. 6.

برنج. 6. نمودار چگالی توزیع نرمال

توزیع نرمال رایج ترین توزیع در پدیده های مختلف تصادفی طبیعی است. بنابراین، خطا در اجرای دستورات توسط یک دستگاه خودکار، خطا در پرتاب یک فضاپیما به نقطه داده شدهفضا، خطا در پارامترهای سیستم کامپیوتری و غیره در اکثر موارد آنها طبیعی یا نزدیک به توزیع نرمال. علاوه بر این، متغیرهای تصادفی که از جمع تعداد زیادی از عبارت‌های تصادفی تشکیل می‌شوند، تقریباً طبق یک قانون عادی توزیع می‌شوند.

توزیع گاما مقدار تصادفی ایکساین دارد توزیع گاما، اگر چگالی توزیع احتمال آن با فرمول بیان شود:

(33)

جایی که - تابع گامای اویلر

توزیع گاما

توزیع گاما یک توزیع دو پارامتری است. جایگاه نسبتاً مهمی در تئوری و عمل پایایی دارد. چگالی توزیع در یک طرف محدود است (). اگر پارامتر a از شکل منحنی توزیع یک مقدار صحیح بگیرد، این نشان دهنده احتمال وقوع همان تعداد رویداد است (مثلاً خرابی ها)

به شرطی که مستقل باشند و با شدت λ ثابت ظاهر شوند (شکل 4.4 را ببینید).

توزیع گاما به طور گسترده ای برای توصیف وقوع خرابی عناصر قدیمی، زمان بازیابی و زمان بین خرابی سیستم های اضافی استفاده می شود. برای پارامترهای مختلف، توزیع گاما اشکال مختلفی به خود می گیرد که کاربرد گسترده آن را توضیح می دهد.

چگالی احتمال توزیع گاما با برابری تعیین می شود

جایی که λ > 0، α > 0.

منحنی های چگالی توزیع در شکل نشان داده شده است. 4.5.

برنج. 4.5.

تابع توزیع

انتظار و واریانس به ترتیب برابر هستند

در α< 1 интенсивность отказов монотонно убывает, что соответствует периоду приработки изделия, при α >1- افزایش می یابد که برای دوره سایش و پیری عناصر معمول است.

در α = 1، توزیع گاما با توزیع نمایی منطبق است، در α> 10، توزیع گاما به قانون نرمال نزدیک می شود. اگر a مقادیر اعداد صحیح مثبت دلخواه را بگیرد، چنین توزیع گامایی نامیده می شود توزیع ارلنگاگر λ = 1/2، و مقدار a مضربی از 1/2 باشد، توزیع گاما با توزیع χ2 منطبق است ( مربع کای).

ایجاد تابع توزیع شاخص های قابلیت اطمینان بر اساس نتایج پردازش داده های اطلاعات آماری

کاملترین مشخصه قابلیت اطمینان یک سیستم پیچیده است قانون توزیع،بیان شده است تابع توزیع، چگالی توزیعیا توابع قابلیت اطمینان

شکل تابع توزیع نظری را می توان با تابع توزیع تجربی قضاوت کرد (شکل 4.6)، که از رابطه تعیین می شود.

جایی که تی، -تعداد خرابی ها در بازه زمانی t; ن -محدوده آزمایش؛ تیمن < t < t i+1 – فاصله زمانی که تابع تجربی تعیین می شود.

برنج. 4.6.

تابع تجربی با جمع کردن افزایش های به دست آمده در هر بازه زمانی ساخته می شود:

جایی که k –تعداد فواصل

تابع پایایی تجربی مخالف تابع توزیع است. با فرمول تعیین می شود

تخمین چگالی احتمال از هیستوگرام یافت می شود. ساخت هیستوگرام به موارد زیر می رسد. کل محدوده زمانی تیبه فواصل تقسیم می شود تی 1، تی 2, ..., تی i و برای هر یک از آنها چگالی احتمال با استفاده از فرمول تخمین زده می شود

جایی که تیمن – تعداد خرابی در هر من-مین فاصله، من = 1, 2,..., k; (تی i+1 – تیط) - دوره زمانی من-مین فاصله؛ ن- دامنه آزمایشات؛ ک- تعداد فواصل

نمونه ای از هیستوگرام در شکل نشان داده شده است. 4.7.

برنج. 4.7.

هموار کردن هیستوگرام پله ای به یک منحنی صاف، اما ظاهر آن را می توان در مورد قانون توزیع یک متغیر تصادفی قضاوت کرد. در عمل برای صاف کردن منحنی مثلاً اغلب از روش استفاده می کنند کمترین مربعات. برای تعیین دقیق تر قانون توزیع، لازم است که تعداد بازه ها حداقل پنج و تعداد تحقق های مربوط به هر بازه حداقل ده باشد.

اختلاف در درک اصطلاحات قابلیت اطمینان

مشکل اصطلاحات در زمینه های مختلف علم و به طور کلی فعالیت های انسانی بسیار پیچیده است. مشخص است که اختلافات در مورد شرایط قرن ها ادامه داشته است. اگر به ترجمه اشعار نگاهی بیندازید، تأیید واضحی بر این ایده خواهید دید. به عنوان مثال، ترجمه های شاهکاری مشهور جهانی مانند "هملت" توسط B.L. Pasternak و P. P. Gnedich بسیار متفاوت هستند. در اولی، معنای تراژدی بر خلاف دومی بر موسیقی بیت برتری دارد. و درک اصلی "هملت" که به زبان قرن شانزدهم نوشته شده است، برای افراد غیر انگلیسی و همچنین برای انگلیسی ها دشوار است، زیرا خود این زبان در طی چندین قرن بسیار تکامل یافته است، در واقع، مانند هر زبان دیگری. زبان مطابق با قانون همزمانی-ناهمزمانی.

تصویر مشابهی در ادیان جهانی مشاهده می شود. ترجمه کتاب مقدس از اسلاو کلیسا به روسی، که 25 سال به طول انجامید، سنت فیلارت مسکو (دروزدوف) و بزرگترین نویسنده کلیسا - سنت تئوفان منزوی (انتشار) را "طلاق" کرد (تا جایی که ترجمه متوقف شد). از آثار جمع آوری شده وی در 42 جلد در آینده نزدیک برنامه ریزی شده است). ترجمه‌ها و توضیح‌های «کتاب کتاب» کتاب مقدس، مردم را به اردوگاه‌های دشمنان آشتی‌ناپذیر زندگی در دنیای ما «انتقال» می‌دهد. فرقه ها، بدعت گذاران و قهرمانان به دنیا می آیند، حتی گاهی خون هم ریخته می شود. و ترجمه های متعدد به روسی از کار بنیادی امانوئل کانت در زمینه فلسفه "نقد عقل محض" تنها اعتبار تز ما را در مورد پیچیدگی مسئله اصطلاحات (نظام فوق بزرگ) در زمینه های مختلف علم و فعالیت های انسانی تقویت می کند. به طور کلی

پدیده های ضدنومی در حوزه علم و فناوری اتفاق می افتد. یکی از راه حل های مشکل حصول اطمینان از درستی و کفایت اصطلاحات توسط G. Leibniz بیان شد. او از نظر توسعه علم و فناوری در قرن هفدهم است. پیشنهاد برای پایان دادن به اختلافات با تعریف اصطلاحات با استفاده از یک زبان جهانی در فرم دیجیتال (0011...).

توجه داشته باشید که در علم قابلیت اطمینان، نحوه تعریف اصطلاحات به طور سنتی در سطح ایالت با استفاده از تصمیم گیری می شود استانداردهای دولتی(GOST). با این حال، ظهور سیستم‌های فنی با هوشمندی فزاینده، تعامل و نزدیک شدن اجسام زنده و بی‌جانی که در آن‌ها کار می‌کنند، وظایف جدید و بسیار دشواری را برای آموزش در علوم تربیتی و روان‌شناسی ایجاد می‌کند و ما را مجبور می‌کند به دنبال راه‌حل‌های سازش خلاقانه باشیم.

برای کسی که بالغ است و در یک کار خاص کار کرده است زمینه علمیو به ویژه در زمینه قابلیت اطمینان کارکنان، مرتبط بودن موضوعات اصطلاحات بدون شک است. همانطور که گوتفرید ویلهلم لایب نیتس (در کار خود در مورد ایجاد یک زبان جهانی) نوشت، اگر این اصطلاحات تعریف می شدند، اختلاف نظر کمتری وجود داشت.

ما سعی خواهیم کرد با نظرات زیر اختلافات در درک اصطلاحات قابلیت اطمینان را برطرف کنیم.

ما می گوییم "عملکرد توزیع" (DF)، و کلمه "عملیات" یا "شکست" را حذف می کنیم. زمان عملیاتی اغلب به عنوان یک مقوله از زمان درک می شود. برای سیستم های غیر قابل تعمیر، صحیح تر است که بگوییم - زمان FR انتگرال تا خرابی، و برای سیستم های قابل بازیافت - زمان تا خرابی. و از آنجایی که زمان عملیات اغلب به عنوان یک متغیر تصادفی درک می شود، شناسایی احتمال عملیات بدون خرابی (FBO) و (1 – FR)، که در این مورد تابع قابلیت اطمینان (RF) نامیده می شود، استفاده می شود. یکپارچگی این رویکرد از طریق یک گروه کامل از رویدادها به دست می آید. سپس

FBG = FN = 1 - FR.

همین امر در مورد چگالی توزیع (DP)، که اولین مشتق از DF است، به ویژه با توجه به زمان، صادق است، و به بیان مجازی، "نرخ" وقوع خرابی ها را مشخص می کند.

کامل بودن توصیف قابلیت اطمینان یک محصول (به ویژه برای محصولات یکبار مصرف)، از جمله پویایی پایداری رفتار، با نرخ شکست از طریق نسبت PR به FBG مشخص می شود و از نظر فیزیکی به عنوان تغییر در درک می شود. وضعیت محصول، و از نظر ریاضی در تئوری صف از طریق مفهوم جریان شکست و تعدادی پیش فرض در رابطه با خود خرابی ها (ایستایی، معمولی و غیره) معرفی می شود.

علاقه مندان به این موضوعات که هنگام انتخاب شاخص های قابلیت اطمینان در مرحله طراحی محصول به وجود می آیند می توانند به آثار نویسندگان برجسته ای مانند A. M. Polovko، B. V. Gnedenko، B. R. Levin - بومیان آزمایشگاه قابلیت اطمینان در دانشگاه مسکو، به رهبری A. N. Kolmogorov مراجعه کنند. و همچنین A. Ya. Khinchin، E. S. Ventsel، I. A. Ushakova، G. V. Druzhinina، A. D. Solovyova، F. Bayhelt، F. Proshan - بنیانگذاران نظریه آماری قابلیت اطمینان.

• سانتی متر.: کولموگروف A.N.مفاهیم اساسی نظریه احتمال. م.: میر، 1974.