مختصات جغرافیایی شکل و اندازه زمین. دستگاه های مختصات. ارتفاعات

سیستم مختصات قطبی با تعیین یک نقطه مشخص تعیین می شود O، قطب نامیده می شود که از این نقطه پرتو سرچشمه می گیرد O.A.(همچنین نشان داده شده است گاو نرمحور قطبی نامیده می شود و مقیاسی برای تغییر طول. علاوه بر این، هنگام تعیین یک سیستم مختصات قطبی، باید مشخص شود که چه چرخشی حول نقطه می چرخد Oمثبت در نظر گرفته می شوند (در نقاشی ها، چرخش های خلاف جهت عقربه های ساعت معمولا مثبت در نظر گرفته می شوند).

بنابراین، بیایید نقطه خاصی را در صفحه انتخاب کنیم (شکل بالا) O(قطب) و مقداری پرتو از آن خارج می شود گاو نر. علاوه بر این، واحد مقیاس را نشان می دهیم. مختصات قطبی یک نقطه مدو عدد ρ و φ نامیده می شوند که عدد اول (شعاع قطبی ρ) برابر با فاصله نقطه است. ماز قطب Oو دومی (زاویه قطبی φ، که دامنه نیز نامیده می شود) زاویه ای است که پرتو باید در خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخد. گاو نرقبل از تراز شدن با پرتو OM.

توقف کامل مبا مختصات قطبی ρ و φ با نماد مشخص می شوند م(ρ, φ) .

رابطه بین مختصات قطبی و مختصات دکارتی

نصب کنیم رابطه بین مختصات قطبی یک نقطه و مختصات دکارتی آن . فرض می کنیم که مبدأ سیستم مختصات مستطیلی دکارتی در قطب است و نیم محور مثبت آبسیسا با محور قطبی منطبق است. بگذارید نکته ممختصات دکارتی دارد ایکسو yو مختصات قطبی ρ و φ. سپس

ایکس= ρ cos φ)

y= ρ sin φ).

مختصات قطبی ρ و φ یک نقطه متوسط مختصات دکارتی آن به شرح زیر تعیین می شود:

برای پیدا کردن مقدار زاویه φ، باید از علائم استفاده کنید ایکسو y، ربعی که نقطه در آن قرار دارد را تعیین کنید م، و علاوه بر این، از این واقعیت استفاده کنید که مماس زاویه φ برابر است.

فرمول های فوق فرمول های انتقال از مختصات دکارتی به قطبی نامیده می شوند.

مشکلات در مورد نقاط در سیستم مختصات قطبی

مثال 1.

آ(3; π /4) ;

ب(2; -π /2) ;

سی(3; -π /3) .

مختصات قطبی نقاط متقارن با این نقاط حول محور قطبی را بیابید.

راه حل. با تقارن، طول تیر تغییر نمی کند. در نتیجه، اولین مختصات - طول پرتو - برای یک نقطه متقارن نسبت به محور قطبی مانند نقطه داده شده خواهد بود. همانطور که از شکل ابتدای درس مشخص است، هنگام ساختن یک نقطه متقارن نسبت به محور قطبی، این نقطه باید با همان زاویه φ به دور محور قطبی بچرخد. در نتیجه، در سیستم مختصات قطبی، دومین مختصات نقطه متقارن، زاویه نقطه اصلی خواهد بود که با علامت مخالف، یعنی -φ، گرفته می شود. بنابراین مختصات قطبی یک نقطه متقارن با نقطه داده شده نسبت به محور قطبی فقط در مختصات دوم متفاوت خواهد بود و این مختصات علامت مخالف خواهد داشت. مختصات قطبی نقاط متقارن مورد نیاز به صورت زیر خواهد بود:

آ"(3; -π /4) ;

ب"(2; π /2) ;

ج"(3; π /3) .

مثال 2.در سیستم مختصات قطبی، نقاط روی صفحه داده می شود

آ(1; π /4) ;

ب(5; π /2) ;

سی(2; -π /3) .

مختصات قطبی نقاط متقارن با این نقاط را نسبت به قطب پیدا کنید.

راه حل. با تقارن، طول تیر تغییر نمی کند. در نتیجه، مختصات اول - طول پرتو - برای یک نقطه متقارن نسبت به قطب مانند نقطه داده شده خواهد بود. یک نقطه متقارن نسبت به قطب با چرخش نقطه شروع 180 درجه در خلاف جهت عقربه های ساعت، یعنی با زاویه به دست می آید. π . در نتیجه، مختصات دوم یک نقطه متقارن با نقطه داده شده نسبت به قطب به صورت محاسبه می شود. φ + π (اگر نتیجه یک عدد بزرگتر از مخرج باشد، یک دور کامل از عدد حاصل کم کنید، یعنی 2 π ). مختصات زیر را از نقاط متقارن با داده ها نسبت به قطب بدست می آوریم:

آ"(1; 3π /4) ;

ب"(5; -π /2) ;

ج"(2; 2π /3) .

مثال 3.قطب سیستم مختصات قطبی با مبدأ مختصات مستطیلی دکارتی منطبق است و محور قطبی با نیم محور مثبت آبسیسا منطبق است. نقاط در سیستم مختصات قطبی داده شده است

آ(6; π /2) ;

ب(5; 0) ;

سی(2; π /4) .

مختصات دکارتی این نقاط را بیابید.

راه حل. ما از فرمول هایی برای انتقال از مختصات قطبی به دکارتی استفاده می کنیم:

ایکس= ρ cos φ)

y= ρ sin φ).

مختصات دکارتی زیر این نقاط را بدست می آوریم:

آ(0; 6) ;

ب(5; 0) ;

ج"(√2; √2) .

مثال 4.قطب سیستم مختصات قطبی با مبدأ مختصات مستطیلی دکارتی منطبق است و محور قطبی با نیم محور مثبت آبسیسا منطبق است. نقاط در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی داده شده است

آ(0; 5) ;

ب(-3; 0) ;

سی(√3; 1) .

مختصات قطبی این نقاط را پیدا کنید.

سیستم های مختصات مورد استفاده در توپوگرافی: مختصات جغرافیایی، مستطیلی مسطح، قطبی و دوقطبی، ماهیت و کاربرد آنها

مختصاتکمیت های زاویه ای و خطی (اعداد) نامیده می شوند که موقعیت یک نقطه را در هر سطح یا در فضا تعیین می کنند.

در توپوگرافی از سیستم های مختصاتی استفاده می شود که به سادگی و بدون ابهام موقعیت نقاط روی سطح زمین را هم از نتایج اندازه گیری های مستقیم روی زمین و هم با استفاده از نقشه ها تعیین می کند. چنین سیستم هایی شامل مختصات جغرافیایی، مستطیلی مسطح، قطبی و دوقطبی است.

مختصات جغرافیایی(عکس. 1) - مقادیر زاویه ای: عرض جغرافیایی (Y) و طول جغرافیایی (L) که موقعیت یک جسم را در سطح زمین نسبت به مبدأ مختصات تعیین می کند - نقطه تقاطع نصف النهار اول (گرینویچ) با خط استوا. در یک نقشه، شبکه جغرافیایی با یک مقیاس در تمام طرف های قاب نقشه نشان داده می شود. ضلع غربی و شرقی قاب نصف النهار و ضلع شمالی و جنوبی به صورت موازی هستند. در گوشه های شیت نقشه مختصات جغرافیایی نقاط تقاطع اضلاع کادر نوشته شده است.

برنج. 1. سیستم مختصات جغرافیایی در سطح زمین

در سیستم مختصات جغرافیایی، موقعیت هر نقطه از سطح زمین نسبت به مبدأ مختصات به صورت زاویه ای تعیین می شود. در کشور ما و در اکثر کشورهای دیگر نقطه تلاقی نصف النهار اول (گرینویچ) با خط استوا به عنوان آغاز در نظر گرفته شده است. بنابراین، سیستم مختصات جغرافیایی برای کل سیاره ما یکنواخت است و برای حل مسائل با تعیین مناسب است. موقعیت متقابلاجسامی که در فواصل قابل توجهی از یکدیگر قرار دارند.

بنابراین، در امور نظامی از این سیستم عمدتاً برای انجام محاسبات مربوط به استفاده از سلاح های جنگی استفاده می شود. دوربردبه عنوان مثال، موشک های بالستیک، هوانوردی و غیره.

مختصات مستطیلی صفحه(شکل 2) - مقادیر خطی که موقعیت یک جسم را در یک صفحه نسبت به مبدأ پذیرفته شده مختصات تعیین می کند - تقاطع دو خط متقابل عمود بر هم ( محورهای مختصات X و Y).

در توپوگرافی، هر منطقه 6 درجه دارای سیستم مختصات مستطیلی خود است. محور X نصف النهار محوری منطقه، محور Y خط استوا و نقطه تلاقی نصف النهار محوری با استوا مبدأ مختصات است.

برنج. 2. سیستم مختصات مستطیلی مسطح روی نقشه ها

سیستم مختصات مستطیلی صفحه منطقه ای است. برای هر منطقه شش درجه ای که سطح زمین هنگام نمایش آن بر روی نقشه ها در طرح گاوسی به آن تقسیم می شود، ایجاد می شود و در نظر گرفته شده است که موقعیت تصاویر نقاط سطح زمین را در یک صفحه (نقشه) در این طرح نشان دهد. .

مبدأ مختصات در یک منطقه، نقطه تقاطع نصف النهار محوری با استوا است که موقعیت سایر نقاط منطقه به صورت خطی نسبت به آن تعیین می شود. مبدا منطقه و محورهای مختصات آن موقعیت کاملاً مشخصی را در سطح زمین اشغال می کند. بنابراین، سیستم مختصات مستطیلی مسطح هر زون هم با سیستم مختصات همه زون های دیگر و هم با سیستم مختصات جغرافیایی مرتبط است.

استفاده از مقادیر خطی برای تعیین موقعیت نقاط، سیستم مختصات مستطیلی مسطح را برای انجام محاسبات هم هنگام کار بر روی زمین و هم بر روی نقشه بسیار راحت می کند. بنابراین این سیستم بیشترین کاربرد را در بین نیروها دارد. مختصات مستطیلی موقعیت نقاط زمین، تشکیلات نبرد و اهداف آنها را نشان می دهد و با کمک آنها موقعیت نسبی اشیاء را در یک منطقه مختصات یا در مناطق مجاور دو منطقه تعیین می کند.

سیستم مختصات قطبی و دوقطبیسیستم های محلی هستند. در عمل نظامی، از آنها برای تعیین موقعیت برخی نقاط نسبت به نقاط دیگر در مناطق نسبتاً کوچک زمین استفاده می شود، به عنوان مثال هنگام تعیین اهداف، علامت گذاری نقاط عطف و اهداف، ترسیم نمودارهای زمین و غیره. این سیستم ها می توانند با سیستم مختصات مستطیلی و جغرافیایی

اگر یک سیستم مختصات را در یک صفحه یا در فضای سه بعدی معرفی کنیم، می توانیم توصیف کنیم. اشکال هندسیو خواص آنها با استفاده از معادلات و نامساوی ها، یعنی قادر به استفاده از روش های جبر خواهیم بود. بنابراین مفهوم سیستم مختصات بسیار مهم است.

در این مقاله نشان خواهیم داد که چگونه یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در یک صفحه و در فضای سه بعدی تعریف می شود و چگونگی تعیین مختصات نقاط را دریابیم. برای وضوح، ما تصاویر گرافیکی را ارائه می دهیم.

پیمایش صفحه.

سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در یک هواپیما.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی را در هواپیما معرفی کنیم.

برای انجام این کار، دو خط عمود بر روی صفحه بکشید و روی هر یک از آنها را انتخاب کنید جهت مثبترا با یک فلش نشان می دهد و روی هر یک از آنها را انتخاب کنید مقیاس(واحد طول). نقطه تلاقی این خطوط را با حرف O نشان می دهیم و آن را در نظر می گیریم نقطه شروع. پس گرفتیم سیستم مختصات مستطیلیروی سطح

هر یک از خطوط مستقیم با مبدا انتخابی O، جهت و مقیاس نامیده می شود خط مختصاتیا محور مختصات.

یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه معمولاً با Oxy نشان داده می شود که در آن Ox و Oy محورهای مختصات آن هستند. محور Ox نامیده می شود محور xو محور Oy – محور y.

حالا بیایید در مورد تصویر یک سیستم مختصات مستطیلی در یک هواپیما به توافق برسیم.

به طور معمول، واحد اندازه گیری طول در محورهای Ox و Oy یکسان انتخاب می شود و از مبدأ در هر محور مختصات در جهت مثبت رسم می شود (با یک خط تیره روی محورهای مختصات مشخص شده و واحد در کنار آن نوشته می شود. آن)، محور آبسیسا به سمت راست، و محور ترتیبی به سمت بالا هدایت می شود. تمام گزینه های دیگر برای جهت محورهای مختصات با چرخاندن سیستم مختصات در یک زاویه خاص نسبت به مبدا و نگاه کردن به آن از طرف دیگر به سمت صدا کاهش می یابد (محور Ox - به سمت راست، محور Oy - به بالا) هواپیما (در صورت لزوم).

سیستم مختصات مستطیلی اغلب دکارتی نامیده می شود، زیرا اولین بار توسط رنه دکارت در هواپیما معرفی شد. حتی رایج‌تر، یک سیستم مختصات مستطیلی را سیستم مختصات دکارتی مستطیلی می‌نامند و همه آن‌ها را کنار هم می‌گذارند.

سیستم مختصات مستطیلی در فضای سه بعدی.

سیستم مختصات مستطیلی Oxyz به روشی مشابه در فضای اقلیدسی سه بعدی تنظیم شده است، فقط نه دو، بلکه سه خط متقابل عمود بر هم گرفته شده است. به عبارت دیگر یک محور مختصات Oz به محورهای مختصات Ox و Oy اضافه می شود که به آن می گویند. محور اعمال می شود.

بسته به جهت محورهای مختصات، سیستم مختصات مستطیلی راست و چپ در فضای سه بعدی متمایز می شوند.

اگر از جهت مثبت محور Oz مشاهده شود و کوتاه ترین چرخش از جهت مثبت محور Ox به جهت مثبت محور Oy در خلاف جهت عقربه های ساعت رخ دهد، سیستم مختصات نامیده می شود. درست.

اگر از جهت مثبت محور Oz مشاهده شود و کوتاه ترین چرخش از جهت مثبت محور Ox به جهت مثبت محور Oy در جهت عقربه های ساعت رخ دهد، آنگاه سیستم مختصات نامیده می شود. ترک کرد.

مختصات یک نقطه در سیستم مختصات دکارتی در یک صفحه.

ابتدا خط مختصات Ox را در نظر بگیرید و یک نقطه M روی آن بگیرید.

هر عدد واقعی مربوط به یک نقطه M در این خط مختصات است. به عنوان مثال، نقطه ای که روی یک خط مختصات در فاصله ای از مبدأ در جهت مثبت قرار دارد، با عدد و عدد -3 مربوط به نقطه ای است که در فاصله 3 از مبدا در جهت منفی قرار دارد. عدد 0 مربوط به نقطه شروع است.

از طرف دیگر، هر نقطه M در خط مختصات Ox مربوط به یک عدد واقعی است. اگر نقطه M با مبدأ (نقطه O) منطبق باشد، این عدد واقعی صفر است. اگر نقطه M در جهت مثبت از مبدا حذف شود، این عدد واقعی مثبت و برابر با طول قطعه OM در یک مقیاس معین است. اگر نقطه M در جهت منفی از مبدا حذف شود، این عدد واقعی منفی و برابر با طول قطعه OM با علامت منفی است.

شماره تماس گرفته می شود هماهنگ كردننقاط M روی خط مختصات.

اکنون صفحه ای را با سیستم مختصات دکارتی مستطیل شکل معرفی شده در نظر بگیرید. اجازه دهید یک نقطه دلخواه M را در این صفحه علامت گذاری کنیم.

اجازه دهید طرح نقطه M بر روی خط Ox باشد، و اجازه دهید طرح نقطه M بر روی خط مختصات Oy باشد (در صورت لزوم، مقاله را ببینید). یعنی اگر از طریق نقطه M خطوطی عمود بر محورهای مختصات Ox و Oy رسم کنیم، نقاط تلاقی این خطوط با خطوط Ox و Oy به ترتیب نقطه و.

بگذارید عدد با یک نقطه در محور مختصات Ox و عدد با یک نقطه در محور Oy مطابقت داشته باشد.

هر نقطه M از صفحه در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی به یک جفت مرتب شده منحصر به فرد از اعداد حقیقی مربوط می شود که به نام مختصات نقطه Mروی سطح مختصات نامیده می شود آبسیسا نقطه M، آ - دستور نقطه م.

گزاره معکوس نیز درست است: هر جفت مرتب شده از اعداد حقیقی مربوط به یک نقطه M در صفحه در یک سیستم مختصات معین است.

مختصات یک نقطه در یک سیستم مختصات مستطیلی در فضای سه بعدی.

اجازه دهید نشان دهیم که چگونه مختصات نقطه M در یک سیستم مختصات مستطیلی تعریف شده در فضای سه بعدی تعیین می شود.

فرض کنید و به ترتیب پیش بینی های نقطه M بر روی محورهای مختصات Ox، Oy و Oz باشد. بگذارید این نقاط روی محورهای مختصات Ox، Oy و Oz با اعداد واقعی مطابقت داشته باشند.

پیش بینی نقطه M بر روی محورهای مختصات را نیز می توان با ساختن صفحات عمود بر خطوط Ox، Oy و Oz و عبور از نقطه M بدست آورد. این هواپیماها خطوط مختصات Ox، Oy و Oz را به ترتیب در نقاط و به ترتیب قطع خواهند کرد.

هر نقطه در فضای سه‌بعدی در یک سیستم مختصات دکارتی معین مربوط به یک سه گانه مرتب از اعداد حقیقی است که به نام مختصات نقطه M، اعداد نامیده می شوند اوکیسا, ترتیبو اعمال کنیدامتیاز M به ترتیب گزاره معکوس نیز درست است: هر سه مرتبه از اعداد حقیقی در یک سیستم مختصات مستطیلی معین با یک نقطه M در فضای سه بعدی مطابقت دارد.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• Atanasyan L.S.، Butuzov V.F.، Kadomtsev S.B.، Poznyak E.G.، Yudina I.I. هندسه. پایه های 7 تا 9: کتاب درسی برای موسسات آموزش عمومی.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G.. هندسه. کتاب درسی 10 تا 11 دوره متوسطه.
• موردکوویچ A.G. جبر. درجه 7 ام. بخش اول: کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی.

تعیین موقعیت یک نقطه در فضا

بنابراین، موقعیت یک نقطه در فضا را فقط می توان در رابطه با برخی نقاط دیگر تعیین کرد. نقطه ای که موقعیت سایر نقاط نسبت به آن در نظر گرفته می شود نامیده می شود نقطه مرجع . ما همچنین از نام دیگری برای نقطه مرجع استفاده خواهیم کرد - نقطه مشاهده . معمولاً یک نقطه مرجع (یا یک نقطه مشاهده) با برخی همراه است دستگاه مختصات ، که نامیده می شود سیستم مرجع در سیستم مرجع انتخاب شده، موقعیت هر نقطه با سه مختصات تعیین می شود.

سیستم مختصات دکارتی (یا مستطیلی) سمت راست

این سیستم مختصات متشکل از سه خط مستقیم عمود بر یکدیگر است که به آنها نیز گفته می شود محورهای مختصات ، تقاطع در یک نقطه (منبع). نقطه مبدا معمولا با حرف O نشان داده می شود.

محورهای مختصات نامگذاری شده اند:

1. محور آبسیسا - تعیین شده به عنوان OX.

2. محور Y - با علامت OY مشخص می شود.

3. محور اعمال - تعیین شده به عنوان OZ

حال بیایید توضیح دهیم که چرا این سیستم مختصات را راست دست می نامند. بیایید به صفحه XOY از جهت مثبت محور OZ نگاه کنیم، برای مثال از نقطه A، همانطور که در شکل نشان داده شده است.

بیایید فرض کنیم که ما شروع به چرخش محور OX حول نقطه O می کنیم. بنابراین - سیستم مختصات مناسب چنین خاصیتی دارد که اگر از هر نقطه ای در نیمه محور مثبت OZ به صفحه XOY نگاه کنید (برای ما این نقطه A است) ، سپس، هنگام چرخش محور OX 90 در خلاف جهت عقربه های ساعت، جهت مثبت آن با جهت مثبت محور OY منطبق خواهد شد.

این تصمیم در دنیای علمی، فقط باید آن را همانطور که هست بپذیریم.

بنابراین، پس از تصمیم گیری در مورد سیستم مرجع (در مورد ما، سیستم مختصات دکارتی سمت راست)، موقعیت هر نقطه از طریق مقادیر مختصات آن یا به عبارت دیگر، از طریق مقادیر توصیف می شود. از پیش بینی های این نقطه بر روی محورهای مختصات.

به این صورت نوشته می شود: A(x، y، z)، که x، y، z مختصات نقطه A هستند.

یک سیستم مختصات مستطیلی را می توان به عنوان خطوط تقاطع سه صفحه متقابل عمود بر هم در نظر گرفت.

لازم به ذکر است که می توانید یک سیستم مختصات مستطیلی را در فضا به هر شکلی که دوست دارید جهت دهید و فقط یک شرط باید رعایت شود - مبدا مختصات باید با مرکز مرجع (یا نقطه مشاهده) منطبق باشد.

سیستم مختصات کروی

موقعیت یک نقطه در فضا را می توان به شکل دیگری توصیف کرد. فرض کنید منطقه ای از فضا را انتخاب کرده ایم که نقطه مرجع O (یا نقطه مشاهده) در آن قرار دارد و همچنین فاصله نقطه مرجع تا نقطه خاصی A را می دانیم. بیایید این دو نقطه را با یک خط مستقیم OA به هم وصل کنیم. . این خط نامیده می شود بردار شعاع و به عنوان نشان داده می شود r. تمام نقاطی که مقدار بردار شعاع یکسانی دارند روی کره ای قرار دارند که مرکز آن در نقطه مرجع (یا نقطه مشاهده) قرار دارد و شعاع این کره به ترتیب برابر با بردار شعاع است.

بنابراین، برای ما آشکار می شود که دانستن مقدار بردار شعاع، پاسخ روشنی در مورد موقعیت نقطه مورد نظر به ما نمی دهد. شما به دو مختصات دیگر نیاز دارید، زیرا برای تعیین بدون ابهام محل یک نقطه، تعداد مختصات باید سه باشد.

در مرحله بعد ، ما به شرح زیر عمل می کنیم - دو صفحه متقابل عمود بر هم می سازیم که به طور طبیعی یک خط تقاطع ایجاد می کند و این خط بی نهایت خواهد بود ، زیرا خود هواپیماها با هیچ چیز محدود نمی شوند. بیایید یک نقطه روی این خط قرار دهیم و آن را به عنوان مثال نقطه O1 تعیین کنیم. حالا بیایید این نقطه O1 را با مرکز کره - نقطه O ترکیب کنیم و ببینیم چه اتفاقی می افتد؟

و یک عکس بسیار جالب به نظر می رسد:

· هر دو هواپیما و هواپیماهای دیگر خواهند بود مرکزی هواپیماها

· محل تلاقی این صفحات با سطح کره با نشان داده می شود بزرگ حلقه ها

· یکی از این حلقه ها - خودسرانه، ما تماس خواهیم گرفت استوا، سپس دایره دیگر فراخوانی می شود نصف النهار اصلی.

· خط تقاطع دو صفحه به طور منحصر به فرد جهت را تعیین می کند خطوط نصف النهار اصلی.

نقاط تلاقی خط نصف النهار اصلی با سطح کره را به صورت M1 و M2 نشان می دهیم.

از طریق مرکز کره، نقطه O در صفحه نصف النهار اصلی، یک خط مستقیم عمود بر خط نصف النهار اصلی رسم می کنیم. این خط مستقیم نامیده می شود محور قطبی .

محور قطبی سطح کره را در دو نقطه به نام قطع می کند قطب های کره.بیایید این نقاط را به عنوان P1 و P2 تعیین کنیم.

تعیین مختصات یک نقطه در فضا

اکنون فرآیند تعیین مختصات یک نقطه در فضا را در نظر می گیریم و همچنین نام این مختصات را می گوییم. برای تکمیل تصویر، هنگام تعیین موقعیت یک نقطه، جهات اصلی را که مختصات از آن شمارش می شوند و همچنین جهت مثبت هنگام شمارش را نشان می دهیم.

1. موقعیت را در فضای نقطه مرجع (یا نقطه مشاهده) تنظیم کنید. بیایید این نقطه را با حرف O نشان دهیم.

2. کره ای بسازید که شعاع آن برابر طول بردار شعاع نقطه A باشد (بردار شعاع نقطه A فاصله بین نقاط O و A است). مرکز کره در نقطه مرجع O قرار دارد.

3. ما موقعیت را در فضای صفحه EQUATOR و بر این اساس صفحه MERIDIAN اصلی را تنظیم می کنیم. لازم به یادآوری است که این صفحات بر یکدیگر عمود هستند و مرکزی هستند.

4. تلاقی این صفحات با سطح کره، موقعیت دایره استوا، دایره نصف النهار اصلی و همچنین جهت خط نصف النهار اصلی و محور قطبی را برای ما تعیین می کند.

5. موقعیت قطب های محور قطبی و قطب های خط نصف النهار اصلی را تعیین کنید. (قطبهای محور قطبی نقاط تلاقی محور قطبی با سطح کره هستند. قطبهای خط نصف النهار اصلی نقاط تلاقی خط نصف النهار اصلی با سطح کره هستند. ).

6. از طریق نقطه A و محور قطبی صفحه ای می سازیم که آن را صفحه نصف النهار نقطه A می نامیم. هنگامی که این صفحه با سطح کره تقاطع پیدا می کند، دایره بزرگی به دست می آید که به آن می گوییم: نصف النهار نقطه A.

7. نصف النهار نقطه A دایره استوا را در نقطه ای قطع می کند که آن را به عنوان E1 تعیین می کنیم.

8. موقعیت نقطه E1 روی دایره استوایی با طول قوس محصور بین نقاط M1 و E1 تعیین می شود. شمارش معکوس در خلاف جهت عقربه های ساعت است. قوس دایره استوایی محصور بین نقاط M1 و E1 طول نقطه A نامیده می شود. طول با حرف نشان داده می شود.  .

بیایید نتایج میانی را جمع بندی کنیم. در حال حاضر، ما دو تا از سه مختصات را می شناسیم که موقعیت نقطه A را در فضا توصیف می کنند - این بردار شعاع (r) و طول جغرافیایی () است. حالا مختصات سوم را مشخص می کنیم. این مختصات با موقعیت نقطه A در نصف النهار آن تعیین می شود. اما موقعیت نقطه شروعی که شمارش از آنجا انجام می شود به طور واضح تعریف نشده است: می توانیم شمارش را هم از قطب کره (نقطه P1) و هم از نقطه E1، یعنی از نقطه تلاقی خطوط نصف النهار شروع کنیم. از نقطه A و استوا (یا به عبارت دیگر - از خط استوا).

در حالت اول، موقعیت نقطه A بر روی نصف النهار را POLAR DISTANCE می نامند. آر) و با طول قوس محصور بین نقطه P1 (یا نقطه قطب کره) و نقطه A تعیین می شود. شمارش در امتداد خط نصف النهار از نقطه P1 تا نقطه A انجام می شود.

در حالت دوم، زمانی که شمارش معکوس از خط استوا باشد، موقعیت نقطه A روی خط نصف النهار را LATITUDE می نامند.   و با طول قوس محصور بین نقطه E1 و نقطه A تعیین می شود.

حال در نهایت می توان گفت که موقعیت نقطه A در یک سیستم مختصات کروی به صورت زیر تعیین می شود:

· طول شعاع کره (r)،

طول قوس طول جغرافیایی ()،

طول قوس فاصله قطبی (p)

در این صورت مختصات نقطه A به صورت زیر نوشته می شود: A(r, , p)

اگر از یک سیستم مرجع متفاوت استفاده کنیم، موقعیت نقطه A در سیستم مختصات کروی از طریق زیر تعیین می شود:

· طول شعاع کره (r)،

طول قوس طول جغرافیایی ()،

· طول قوس عرض جغرافیایی ()

در این صورت مختصات نقطه A به صورت زیر نوشته می شود: A(r, , )

روش های اندازه گیری قوس ها

این سوال مطرح می شود - چگونه این قوس ها را اندازه گیری کنیم؟ ساده ترین و طبیعی ترین راه اندازه گیری مستقیم طول قوس ها با خط کش انعطاف پذیر است و این در صورتی امکان پذیر است که اندازه کره با اندازه یک فرد قابل مقایسه باشد. اما در صورت عدم رعایت این شرط چه باید کرد؟

در این صورت به اندازه گیری طول قوس نسبی متوسل می شویم. ما محیط را به عنوان یک استاندارد در نظر می گیریم، بخش که همان کمانی است که ما به آن علاقه مندیم. چطور می توانم آن را انجام بدهم؟

دستگاه مختصات- راهی برای تعیین نقاط در فضا با استفاده از اعداد. تعداد اعداد مورد نیاز برای تعیین منحصر به فرد هر نقطه در فضا، ابعاد آن را تعیین می کند. یک عنصر اجباری سیستم مختصات است اصل و نسب- نقطه ای که از آن فاصله شمارش می شود. یکی دیگر از عناصر مورد نیاز واحد طول است که به شما امکان می دهد فاصله ها را اندازه گیری کنید. تمام نقاط فضای یک بعدی را می توان با یک مبدا انتخاب شده با استفاده از یک عدد مشخص کرد. برای فضای دو بعدی، دو عدد، برای فضای سه بعدی، سه عدد مورد نیاز است. این اعداد نامیده می شوند مختصات

1. تاریخچه

توسعه سیستم های مختصات در تاریخ بشر با مسائل ریاضی و مسائل عملی در هنر ناوبری بر اساس نقشه برداری و نجوم همراه است. سیستم شناخته شدهمختصات، مستطیلی، توسط رنه دکارت در سال پیشنهاد شد. مفهوم سیستم مختصات قطبی در ریاضیات اروپایی در همین زمان ها توسعه یافت، اما اولین ایده ها در مورد آن در یونان باستان در ریاضیدانان عرب قرون وسطی وجود داشت که روش هایی را برای محاسبه جهت کعبه توسعه دادند.

ظهور مفهوم سیستم های مختصات منجر به توسعه بخش های جدیدی از هندسه شد: تحلیلی، تصویری، توصیفی.

2. دستگاه مختصات دکارتی

رایج ترین سیستم مختصات در ریاضیات، سیستم مختصات دکارتی است که به نام رنه دکارت نامگذاری شده است. سیستم مختصات دکارتی با مبدا و سه بردار مشخص می شود که جهت محورهای مختصات را تعیین می کنند. هر نقطه در فضا با اعدادی مشخص می شود که مربوط به فاصله این نقطه تا است هواپیماهای مختصات.

مختصات سیستم دکارتی روی یک توخالی معمولاً با In space نشان داده می شود.

سیستم‌های مختصات دکارتی مختلف با تبدیل‌های افینی به هم مرتبط هستند: جابجایی و چرخش.

3. سیستم مختصات منحنی

بر اساس سیستم مختصات دکارتی، می توان یک سیستم مختصات منحنی را تعریف کرد، به عنوان مثال، برای یک فضای سه بعدی از اعداد مرتبط با مختصات دکارتی:

که در آن همه توابع تک مقداری هستند و به طور پیوسته متمایز می شوند و ژاکوبین عبارت است از:

نمونه ای از سیستم مختصات منحنی در یک صفحه، سیستم مختصات قطبی است که در آن موقعیت یک نقطه با دو عدد مشخص می شود: فاصله بین نقطه و مبدأ، و زاویه بین پرتوی که مبدا را به منشا متصل می کند. نقطه و محور انتخاب شده مختصات دکارتی و قطبی یک نقطه با فرمول های زیر به یکدیگر مرتبط می شوند:

برای فضای سه بعدی، سیستم های مختصات استوانه ای و کروی محبوب هستند. بنابراین، موقعیت یک هواپیما در فضا را می توان با سه عدد مشخص کرد: ارتفاع، فاصله تا نقطه ای از سطح زمین که بر فراز آن پرواز می کند، و زاویه بین جهت به سمت هواپیما و جهت به سمت شمال. این وظیفه مربوط به یک سیستم مختصات استوانه ای است.به طور متناوب، موقعیت هواپیما را می توان با فاصله تا آن و دو زاویه مشخص کرد: قطبی و ازیموتال. این وظیفه مربوط به یک سیستم مختصات کروی است.

تنوع سیستم های مختصات به موارد ذکر شده محدود نمی شود. بسیاری از سیستم های مختصات منحنی وجود دارند که برای حل یک یا دیگری مناسب هستند مسئله ریاضی.

3.1. خواص

هر کدام از معادلات مشخص می کند هواپیمای مختصاتتقاطع دو صفحه مختصات با متفاوت منمجموعه ها خط مختصاتهر نقطه در فضا با تقاطع سه صفحه مختصات تعریف می شود.

ویژگی های مهم سیستم های مختصات منحنی طول عنصر قوس و عنصر حجم در آنها است. این مقادیر در یکپارچه سازی استفاده می شود. طول عنصر قوس به صورت درجه دوم داده می شود:

آنها اجزای تانسور متریک هستند.

عنصر حجم در سیستم مختصات منحنی برابر است

مربع ژاکوبین برابر با تعیین کننده تانسور متریک است:

سیستم مختصات نامیده می شود درست،اگر خطوط مختصات را لمس کنند، در جهت رشد مختصات مربوطه هدایت شوند، یک سه بردار سمت راست را تشکیل می دهند.

هنگام توصیف بردارها در یک سیستم مختصات منحنی، استفاده از یک مبنای محلی تعریف شده در هر نقطه راحت است.

4. در جغرافیا

6. در فیزیک

برای توصیف حرکت اجسام فیزیکی، فیزیک از این مفهوم استفاده می کند