گرادیان بزرگی. تابع گرادیان

از درس ریاضیات مدرسه می دانیم که بردار در یک صفحه یک قطعه جهت دار است. ابتدا و انتهای آن دو مختصات دارد. مختصات برداری با کم کردن مختصات شروع از مختصات پایانی محاسبه می شود.

مفهوم بردار را می توان به فضای n بعدی گسترش داد (به جای دو مختصات، n مختصات وجود خواهد داشت).

شیب gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) بردار مشتقات جزئی تابع در یک نقطه است. بردار با مختصات

می توان ثابت کرد که گرادیان یک تابع جهت سریع ترین رشد سطح یک تابع را در یک نقطه مشخص می کند.

به عنوان مثال، برای تابع z = 2x 1 + x 2 (شکل 5.8 را ببینید)، گرادیان در هر نقطه دارای مختصات (2؛ 1) خواهد بود. شما می توانید آن را در یک صفحه به روش های مختلف بسازید و هر نقطه ای را به عنوان ابتدای بردار در نظر بگیرید. به عنوان مثال، می توانید نقطه (0؛ 0) را به نقطه (2؛ 1) یا نقطه (1؛ 0) را به نقطه (3؛ 1) یا نقطه (0؛ 3) را به نقطه (2؛ 4) وصل کنید. یا غیره. .P. (شکل 5.8 را ببینید). همه بردارهای ساخته شده به این روش دارای مختصات (2 – 0؛ 1 – 0) = = (3 – 1؛ 1 – 0) = (2 – 0؛ 4 – 3) = (2؛ 1) خواهند بود.

از شکل 5.8 به وضوح مشاهده می شود که سطح تابع در جهت گرادیان افزایش می یابد، زیرا خطوط سطح ساخته شده با مقادیر سطح 4 > 3 > 2 مطابقت دارند.

شکل 5.8 - گرادیان تابع z= 2x 1 + x 2

بیایید مثال دیگری را در نظر بگیریم - تابع z = 1/(x 1 x 2). گرادیان این تابع دیگر همیشه در نقاط مختلف یکسان نخواهد بود، زیرا مختصات آن با فرمول های (-1/(x 1 2 x 2)؛ -1/(x 1 x 2 2) تعیین می شود.

شکل 5.9 خطوط سطح تابع z = 1/(x1 x 2) را برای سطوح 2 و 10 نشان می دهد (خط مستقیم 1/(x1 x 2) = 2 با یک خط نقطه چین نشان داده شده است و خط مستقیم 1/( x 1 x 2) = 10 خط ثابت است).

شکل 5.9 - گرادیان های تابع z= 1/(x 1 x 2) در نقاط مختلف

برای مثال، نقطه (0.5؛ 1) را در نظر بگیرید و گرادیان را در این نقطه محاسبه کنید: (-1/(0.5 2 *1)؛ -1/(0.5*1 2)) = (-4; - 2). توجه داشته باشید که نقطه (0.5; 1) روی خط تراز 1/(x 1 x 2) = 2 قرار دارد، زیرا z=f(0.5; 1) = 1/(0.5*1) = 2. برای رسم بردار ( -4؛ -2) در شکل 5.9، نقطه (0.5؛ 1) را با نقطه (-3.5؛ -1) وصل کنید، زیرا (-3.5 – 0.5؛ -1 - 1) = (-4؛ -2).

بیایید نقطه دیگری را در همان خط تراز در نظر بگیریم، برای مثال، نقطه (1; 0.5) (z=f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). بیایید گرادیان را در این نقطه محاسبه کنیم (-1/(1 2 *0.5)؛ -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). برای نشان دادن آن در شکل 5.9، نقطه (1؛ 0.5) را با نقطه (-1؛ -3.5) وصل می کنیم، زیرا (-1 - 1؛ -3.5 - 0.5) = (-2؛ - 4).

بیایید نقطه دیگری را در همان خط تراز بگیریم، اما فقط اکنون در یک چهارم مختصات غیر مثبت. به عنوان مثال، نقطه (-0.5; -1) (z=f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2). گرادیان در این نقطه برابر با (-1/((-0.5) 2 *(-1))؛ -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4؛ 2) خواهد بود. بیایید آن را در شکل 5.9 با اتصال نقطه (-0.5؛ -1) با نقطه (3.5; 1) به تصویر بکشیم، زیرا (3.5 – (0.5-؛ 1 – (-1)) = (4؛ 2).

لازم به ذکر است که در هر سه مورد در نظر گرفته شده، گرادیان جهت رشد سطح تابع را نشان می دهد (به سمت خط تراز 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

می توان ثابت کرد که شیب همیشه عمود بر خط تراز (سطح تراز) است که از یک نقطه معین می گذرد.

مادون تابع چند متغیر

بیایید مفهوم را تعریف کنیم نقاط بحرانیبرای تابعی از متغیرهای زیادی

تابعی از متغیرهای زیادی که f(X) در نقطه X دارد (0) حداکثر (حداقل)اگر همسایگی این نقطه وجود داشته باشد به طوری که برای تمام نقاط X از این همسایگی نابرابری های f(X)f(X (0)) () ارضا شود.

اگر این نابرابری‌ها به‌عنوان سخت‌گیر برآورده شوند، افراط نامیده می‌شود قوی، و اگر نه، پس ضعیف.

توجه داشته باشید که اکستریم تعریف شده به این صورت است محلیشخصیت، از آنجایی که این نابرابری‌ها فقط برای یک همسایگی خاص از نقطه افراطی برآورده می‌شوند.

یک شرط ضروری برای یک انتها محلی از یک تابع متمایز z=f(x 1، . . .، x n) در یک نقطه، برابری صفر همه مشتقات جزئی مرتبه اول در این نقطه است:
.

نقاطی که این برابری ها در آنها برقرار است نامیده می شوند ثابت.

به روشی دیگر، شرط لازم برای یک اکستروم را می توان به صورت زیر فرموله کرد: در نقطه اکستریموم، گرادیان صفر است. یک گزاره کلی تر را نیز می توان اثبات کرد: در نقطه انتهایی، مشتقات تابع در همه جهات ناپدید می شوند.

نقاط ثابت باید تحت تحقیقات اضافی قرار گیرند تا مشخص شود که آیا شرایط کافی برای وجود یک اکستروم موضعی وجود دارد یا خیر. برای این کار علامت دیفرانسیل مرتبه دوم را مشخص کنید. اگر برای هر یک، نه به طور همزمان برابر با صفر، همیشه منفی (مثبت) باشد، در این صورت تابع دارای حداکثر (حداقل) است. اگر نه تنها با افزایش صفر می تواند به صفر برود، در این صورت مسئله افراط باز می ماند. اگر بتواند هم مقادیر مثبت و هم مقادیر منفی را بگیرد، در یک نقطه ثابت هیچ افراطی وجود ندارد.

در حالت کلی، تعیین علامت دیفرانسیل یک مشکل نسبتاً پیچیده است که ما در اینجا آن را بررسی نمی کنیم. برای تابعی از دو متغیر می توان ثابت کرد که اگر در یک نقطه ثابت باشد
، سپس اکستروم موجود است. در این حالت علامت دیفرانسیل دوم با علامت منطبق است
، یعنی اگر
، پس این حداکثر است و اگر
، پس این حداقل است. اگر
، در این مرحله هیچ افراطی وجود ندارد و اگر
، پس مسئله افراط باز می ماند.

مثال 1. منتهی الیه تابع را پیدا کنید
.

بیایید مشتقات جزئی را با استفاده از روش تمایز لگاریتمی پیدا کنیم.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) - ln (1 + x 2) - ln (1 + y 2)

به همین ترتیب
.

بیایید نقاط ثابت را از سیستم معادلات پیدا کنیم:

بنابراین، چهار نقطه ثابت پیدا شده است (1؛ 1)، (1؛ -1)، (-1؛ 1) و (-1؛ -1).

بیایید مشتقات جزئی مرتبه دوم را پیدا کنیم:

ln (z x`) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

به همین ترتیب
;
.

زیرا
، علامت بیان
فقط به
. توجه داشته باشید که در هر دوی این مشتق‌ها مخرج همیشه مثبت است، بنابراین فقط می‌توانید علامت صورت یا حتی علامت عبارات x(x 2 – 3) و y(y 2 – 3) را در نظر بگیرید. اجازه دهید آن را در هر نقطه بحرانی تعریف کنیم و بررسی کنیم که شرایط کافی برای اکسترمم برآورده شده است.

برای نقطه (1؛ 1) 1*(1 2 – 3) = -2 بدست می آوریم< 0. Т.к. произведение двух اعداد منفی
> 0 و
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

برای نقطه (1; -1) 1*(1 2 – 3) = -2 بدست می آوریم< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. زیرا حاصل ضرب این اعداد
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

برای نقطه (-1; -1) (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0 می گیریم. حاصل ضرب دو عدد مثبت
> 0 و
> 0، در نقطه (-1; -1) حداقل را می توان یافت. برابر است با 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

پیدا کردن جهانی استحداکثر یا حداقل (بزرگترین یا کوچکترین مقدار یک تابع) تا حدودی پیچیده تر از یک اکسترمم محلی است، زیرا این مقادیر را می توان نه تنها در نقاط ثابت، بلکه در مرز دامنه تعریف نیز به دست آورد. مطالعه رفتار یک تابع در مرز این منطقه همیشه آسان نیست.

برخی از مفاهیم و اصطلاحات در چارچوبی کاملا محدود به کار می روند. به عنوان مثال، مفهوم "gradient" توسط یک فیزیکدان، یک ریاضیدان و یک متخصص مانیکور یا فتوشاپ استفاده می شود. گرادیان به عنوان یک مفهوم چیست؟ بیایید آن را بفهمیم.

دیکشنری ها چه می گویند؟

چه چیزی " گرادیان " خاص است لغت نامه های موضوعیدر رابطه با مشخصات آنها تفسیر می شود. ترجمه شده از زبان لاتیناین کلمه به معنای "آن که می رود، رشد می کند." و ویکی پدیا این مفهوم را به عنوان "بردار نشان دهنده جهت افزایش در یک کمیت" تعریف می کند. که در لغت نامه های توضیحیما معنای این کلمه را "تغییر در هر کمیت با یک مقدار" می بینیم. یک مفهوم می تواند هم معنای کمی و هم کیفی داشته باشد.

به طور خلاصه، این یک انتقال آرام و تدریجی از هر مقدار به یک مقدار است، یک تغییر تدریجی و پیوسته در کمیت یا جهت. بردار توسط ریاضیدانان و هواشناسان محاسبه می شود. این مفهوم در نجوم، پزشکی، هنر و گرافیک کامپیوتری استفاده می شود. یک اصطلاح مشابه انواع کاملاً متفاوتی از فعالیت ها را تعریف می کند.

توابع ریاضی

گرادیان یک تابع در ریاضیات چقدر است؟ این نشان دهنده جهت رشد یک تابع در یک میدان اسکالر از یک مقدار به مقدار دیگر است. بزرگی گرادیان با استفاده از مشتقات جزئی محاسبه می شود. برای تعیین سریعترین جهت رشد یک تابع، دو نقطه در نمودار انتخاب می شود. آنها ابتدا و انتهای بردار را مشخص می کنند. سرعت رشد یک مقدار از یک نقطه به نقطه دیگر، بزرگی گرادیان است. توابع ریاضیبر اساس محاسبات این اندیکاتور در گرافیک برداری کامپیوتری استفاده می شود که اشیاء آن تصاویر گرافیکی اشیاء ریاضی هستند.

گرادیان در فیزیک چیست؟

مفهوم گرادیان در بسیاری از شاخه‌های فیزیک رایج است: گرادیان اپتیک، دما، سرعت، فشار و غیره. در این شاخه، این مفهوم بیانگر میزان افزایش یا کاهش یک مقدار است. با محاسبات به عنوان تفاوت بین دو شاخص محاسبه می شود. بیایید به برخی از مقادیر با جزئیات بیشتری نگاه کنیم.

گرادیان بالقوه چیست؟ هنگام کار با یک میدان الکترواستاتیک، دو ویژگی تعیین می شود: کشش (نیروی) و پتانسیل (انرژی). این مقادیر مختلف به محیط مربوط می شود. و اگرچه آنها ویژگی های متفاوتی را تعریف می کنند، اما همچنان با یکدیگر ارتباط دارند.

برای تعیین قدرت میدان نیرو، از گرادیان پتانسیل استفاده می شود - مقداری که میزان تغییر پتانسیل را در جهت خط نیرو تعیین می کند. چگونه محاسبه کنیم؟ اختلاف پتانسیل بین دو نقطه میدان الکتریکیاز یک ولتاژ شناخته شده با استفاده از بردار ولتاژ، که برابر با گرادیان پتانسیل است، محاسبه می شود.

شرایط هواشناسان و جغرافیدانان

برای اولین بار، مفهوم گرادیان توسط هواشناسان برای تعیین تغییرات در بزرگی و جهت شاخص های مختلف هواشناسی استفاده شد: دما، فشار، سرعت و قدرت باد. اندازه گیری تغییرات کمی در مقادیر مختلف است. ماکسول خیلی دیرتر این اصطلاح را وارد ریاضیات کرد. در تعیین شرایط آب و هوایی، مفاهیم شیب عمودی و افقی وجود دارد. بیایید نگاهی دقیق تر به آنها بیندازیم.

گرادیان دما عمودی چیست؟ این مقداری است که تغییر شاخص ها را نشان می دهد که در ارتفاع 100 متر محاسبه می شود. برخلاف افقی که همیشه مثبت است، می تواند مثبت یا منفی باشد.

گرادیان بزرگی یا زاویه شیب روی زمین را نشان می دهد. به عنوان نسبت ارتفاع به طول طرح مسیر در یک مقطع مشخص محاسبه می شود. به صورت درصد بیان می شود.

شاخص های پزشکی

تعریف "شیب دما" را می توان در میان اصطلاحات پزشکی نیز یافت. این تفاوت در شاخص های مربوطه را نشان می دهد اعضای داخلیو سطوح بدن در زیست شناسی، یک گرادیان فیزیولوژیکی تغییرات فیزیولوژی هر اندام یا ارگانیسم را به عنوان یک کل در هر مرحله از رشد آن ثبت می کند. در پزشکی، شاخص متابولیک، شدت متابولیسم است.

نه تنها فیزیکدانان، بلکه پزشکان نیز از این اصطلاح در کار خود استفاده می کنند. گرادیان فشار در قلب و عروق چیست؟ این مفهوم تفاوت فشار خون را در هر قسمت به هم پیوسته سیستم قلبی عروقی تعریف می کند.

شیب کاهشی خودکار بودن نشانگر کاهش فرکانس تحریکات قلب در جهت از قاعده آن به بالا است که به طور خودکار رخ می دهد. علاوه بر این، متخصصان قلب با نظارت بر تفاوت در دامنه امواج سیستولیک، محل آسیب شریانی و درجه آن را شناسایی می کنند. به عبارت دیگر، با استفاده از گرادیان دامنه پالس.

گرادیان سرعت چیست؟

وقتی از سرعت تغییر یک کمیت خاص صحبت می کنند، منظورشان سرعت تغییر در زمان و مکان است. به عبارت دیگر، گرادیان سرعت، تغییر مختصات مکانی را در رابطه با شاخص های زمانی تعیین می کند. این شاخص توسط هواشناسان، ستاره شناسان و شیمیدانان محاسبه می شود. شیب نرخ برش لایه های مایع در صنعت نفت و گاز برای محاسبه میزان افزایش مایع از طریق لوله تعیین می شود. این شاخص حرکات زمین ساختی، حوزه محاسبات زلزله شناسان است.

کارکردهای اقتصادی

اقتصاددانان به طور گسترده ای از مفهوم گرادیان برای اثبات نتایج نظری مهم استفاده می کنند. هنگام حل مشکلات مصرف کننده، از یک تابع سودمند برای کمک به نمایش ترجیحات از مجموعه ای از گزینه ها استفاده می شود. "تابع محدودیت بودجه" اصطلاحی است که برای اشاره به مجموعه ای از بسته های مصرف استفاده می شود. برای محاسبه مصرف بهینه از گرادیان در این ناحیه استفاده می شود.

گرادیان رنگ

اصطلاح "gradient" برای افراد خلاق آشناست. هر چند با علوم دقیق فاصله دارند. گرادیان برای یک طراح چیست؟ از آنجایی که در علوم دقیق یک افزایش تدریجی در ارزش است، بنابراین در رنگ، این نشانگر انتقال صاف و گسترده سایه‌های هم رنگ از روشن‌تر به تیره‌تر یا بالعکس را نشان می‌دهد. هنرمندان این فرآیند را "کشش" می نامند. همچنین می توان به رنگ های مختلف همراه در یک محدوده تغییر داد.

امتداد شیب سایه‌ها در اتاق‌های نقاشی جایگاهی قوی در میان تکنیک‌های طراحی به خود اختصاص داده‌اند. سبک ombre جدید - یک جریان صاف سایه از روشن به تاریک، از روشن به رنگ پریده - به طور موثر هر اتاق در خانه یا دفتر را تغییر می دهد.

بینایی‌شناسان از لنزهای مخصوص در عینک آفتابی استفاده می‌کنند. گرادیان در عینک چیست؟ این ساخت لنز است به شکلی خاص، هنگامی که از بالا به پایین رنگ از تیره تر به سایه روشن تر تغییر می کند. محصولات ساخته شده با استفاده از این فناوری از چشم ها در برابر تابش خورشید محافظت می کند و به شما امکان می دهد اشیا را حتی در نور بسیار روشن مشاهده کنید.

رنگ در طراحی وب

کسانی که در زمینه طراحی وب و گرافیک کامپیوتری فعالیت می کنند، به خوبی از ابزار جهانی "gradient" آگاه هستند، که می تواند برای ایجاد طیف گسترده ای از افکت ها استفاده شود. تغییر رنگ ها به هایلایت، پس زمینه عجیب و غریب و سه بعدی تبدیل می شوند. دستکاری سایه ها و ایجاد نور و سایه به اجسام بردار حجم می دهد. برای این اهداف، چندین نوع گرادیان استفاده می شود:

• خطی.
• شعاعی.
• مخروطی شکل.
• آینه.
• الماسی شکل.
• گرادیان نویز.

زیبایی گرادیان

برای بازدیدکنندگان سالن های زیبایی، این سوال که گرادیان چیست، تعجب آور نخواهد بود. درست است، حتی در این مورد، دانش قوانین ریاضی و مبانی فیزیک ضروری نیست. ما هنوز در مورد انتقال رنگ صحبت می کنیم. اشیاء شیب مو و ناخن هستند. تکنیک ombre که در زبان فرانسوی به معنای "تن" است، از طرفداران ورزش موج سواری و سایر فعالیت های ساحلی به مد آمد. موهایی که به طور طبیعی سفید شده و دوباره رشد کرده اند، به یک محبوبیت تبدیل شده اند. مدگراها شروع به رنگ کردن موهای خود با تغییر سایه های به سختی قابل توجه کردند.

تکنیک ombre از سالن های ناخن عبور نکرده است. یک گرادیان روی ناخن با روشن شدن تدریجی صفحه از ریشه تا لبه، رنگی را ایجاد می کند. استادان افقی، عمودی، با انتقال و انواع دیگر را ارائه می دهند.

سوزن دوزی

سوزنزنان از یک طرف دیگر با مفهوم " گرادیان " آشنا هستند. تکنیک مشابهی برای ایجاد وسایل دست ساز در سبک دکوپاژ استفاده می شود. به این ترتیب، چیزهای عتیقه جدید ایجاد می شود یا موارد قدیمی بازسازی می شوند: صندوق، صندلی، صندوق و غیره. دکوپاژ شامل اعمال یک الگو با استفاده از یک شابلون است که اساس آن یک گرادیان رنگ به عنوان پس‌زمینه است.

هنرمندان پارچه این روش رنگرزی را برای مدل های جدید اتخاذ کرده اند. لباس‌هایی با رنگ‌های گرادیان کت واک‌ها را تسخیر کرده‌اند. مد توسط زنان سوزن زن - بافندگی انتخاب شد. اقلام بافتنی با انتقال رنگ صاف محبوب هستند.

برای خلاصه کردن تعریف "gradient"، می‌توانیم در مورد حوزه بسیار گسترده‌ای از فعالیت‌های انسانی بگوییم که این اصطلاح در آن جای دارد. جایگزینی با مترادف "بردار" همیشه مناسب نیست، زیرا یک بردار هنوز یک مفهوم کاربردی و فضایی است. آنچه کلیت این مفهوم را تعریف می کند، تغییر تدریجی در یک کمیت، ماده، پارامتر فیزیکی معین توسط یک نفر در یک دوره معین است. در رنگ آن یک انتقال صاف از تن است.

او گفت که دست ها کارت ویزیت یک دختر است. و کاملا حق با او بود. شما نمی توانید بدون مانیکور مناسب شیک و دیدنی باشید، به خصوص در زمان ما. مجلات زیبایی زنانه مملو از نوآوری ها هستند و از محصولات جدید خود لذت می برند. همه مدگراها می دانند که گرادیان چیست. آخرین روندها قوانین خود را در طرح های رنگی دیکته می کنند. رنگ های روشن و انواع تعابیر بیشتر و بیشتر در مانیکور خانم ها وجود دارد.

مفهوم مانیکور گرادیان

می توانید بگویید این انتقال از یک رنگ به رنگ دیگر است - شیب روی ناخن ها همین است. تکنیک اختلاط به شما امکان می دهد به رنگ آمیزی باورنکردنی برسید. با اجرای صاف و دقیق، قسمت تقسیم کننده تار سایه تازه تشکیل شده به وضوح قابل مشاهده است. گویی سایه ای ظاهر شده است (ombre در فرانسوی، نام دوم گرادیان). زیبا و غیر معمول است. گاهی اوقات انتخاب رنگ لاک ناخن متناسب با سبک لباس انتخابی شما دشوار است. تکنیک استفاده از لاک روی صفحه ناخن به سبک گرادیان راه حل خوبی برای این موضوع است. این منحصر به فرد است که می توانید با پالت رنگ در تضاد بازی کنید.

انواع اصلی گرادیان

با داشتن ایده ای از اینکه گرادیان چیست، باید روی انواع آن تمرکز کنید. تعداد زیادی از آنها وجود دارد و هر روز موارد جدیدی ظاهر می شوند. اصلی ترین ها:

طراحی شیب مدرن

به خلاقیت استاد، نه تنها باید توانایی ترکیب سایه های رنگی مختلف، بلکه همچنین اعمال طرح خاصی را روی ناخن ها اضافه کرد. گرادیان فرصتی عالی برای نشان دادن تخیل شماست. باید اعتدال را رعایت کنید و از آخرین نوآوری ها در هنر مانیکور آگاه باشید. روند طراحی مد از رنگ های پاستلی استقبال می کند. این یک گزینه برد-برد است که برای همه موارد مناسب است. با هر سبک لباسی هماهنگ به نظر می رسد.

در عمل نیز کارشناسان از وسایل و روش های مختلفی برای دکوراسیون استفاده می کنند. کشیدن طرح روی یک یا همه ناخن ها همیشه مرتبط است. استفاده از بدلیجات و درخشش ها جلوه ای وقار و ظرافت می بخشد.

صنعتگران باتجربه می دانند که شیب در یک تعبیر شیک چیست. به لطف این روش، زنان فردی و منحصر به فرد هستند. شیب مدرن را می توان نه تنها در سالن ها، بلکه در خانه نیز انجام داد. میل به زیبا بودن حد و مرزی نمی شناسد.