دارای ارتعاشات هارمونیک ج. حرکت نوسانی. ارتعاشات هارمونیک اگر نوسان با قانون کسینوس توصیف شود

این یک نوسان تناوبی است که در آن مختصات، سرعت، شتابی که حرکت را مشخص می کند، طبق قانون سینوس یا کسینوس تغییر می کند. معادله نوسانات هارمونیک وابستگی مختصات بدنه به زمان را تعیین می کند

نمودار کسینوس در لحظه اولیه دارای حداکثر مقدار و نمودار سینوسی در لحظه اولیه دارای مقدار صفر است. اگر از موقعیت تعادل شروع به بررسی نوسان کنیم، نوسان یک سینوسی را تکرار می کند. اگر شروع به در نظر گرفتن نوسان از موقعیت حداکثر انحراف کنیم، آنگاه نوسان توسط کسینوس توصیف می شود. یا چنین نوسانی را می توان با فرمول سینوسی با فاز اولیه توصیف کرد.

آونگ ریاضی

معادله حالت یک گاز ایده آل. قوانین گاز

تعداد درجات آزادی: تعداد متغیرهای مستقل (مختصات) است که به طور کامل موقعیت سیستم را در فضا تعیین می کند. در برخی مسائل، یک مولکول گاز تک اتمی (شکل 1، a) به عنوان یک نقطه مادی در نظر گرفته می شود که به آن سه درجه آزادی حرکت انتقال داده می شود. در این حالت انرژی حرکت چرخشی در نظر گرفته نمی شود. در مکانیک، یک مولکول گاز دو اتمی، در اولین تقریب، مجموعه ای از دو نقطه مادی در نظر گرفته می شود که به طور صلب توسط یک پیوند غیرقابل تغییر شکل به هم متصل شده اند (شکل 1، b). این سیستم علاوه بر سه درجه آزادی حرکت انتقالی، دو درجه آزادی حرکت چرخشی دیگر نیز دارد. چرخش حول محور سومی که از هر دو اتم می گذرد بی معنی است. این بدان معنی است که یک گاز دو اتمی دارای پنج درجه آزادی است ( من= 5). یک مولکول غیرخطی سه اتمی (شکل 1c) و چند اتمی شش درجه آزادی دارد: سه انتقالی و سه چرخشی. طبیعی است که فرض کنیم هیچ ارتباط صلب بین اتم ها وجود ندارد. بنابراین، برای مولکول‌های واقعی، درجات آزادی حرکت ارتعاشی نیز لازم است.

برای هر تعداد درجه آزادی یک مولکول معین، سه درجه آزادی همیشه انتقالی هستند. هیچ یک از درجات آزادی انتقالی مزیتی نسبت به سایرین ندارند، به این معنی که هر یک از آنها به طور متوسط ​​انرژی یکسانی برابر با 1/3 مقدار دارند.<ε 0 >(انرژی حرکت انتقالی مولکول ها): در فیزیک آماری مشتق شده است قانون بولتزمن در مورد توزیع یکنواخت انرژی بر روی درجات آزادی مولکولها: برای یک سیستم آماری که در حالت تعادل ترمودینامیکی است، هر درجه آزادی انتقالی و چرخشی دارای انرژی جنبشی متوسط ​​برابر kT/2 و هر درجه آزادی ارتعاشی دارای انرژی متوسط ​​برابر با kT است. درجه ارتعاش دو برابر انرژی دارد، زیرا هم انرژی جنبشی (مانند حرکات انتقالی و چرخشی) و هم پتانسیل را در نظر می گیرد و میانگین مقادیر انرژی پتانسیل و جنبشی یکسان است. این بدان معناست که انرژی متوسط ​​یک مولکول جایی که من- مجموع تعداد درجات آزادی انتقالی، تعداد چرخشی و دو برابر تعداد درجات آزادی ارتعاشی مولکول: من=منپست + منچرخش +2 منارتعاشات در تئوری کلاسیک، مولکول هایی با پیوندهای صلب بین اتم ها در نظر گرفته می شوند. برای آنها منبا تعداد درجات آزادی مولکول منطبق است. از آنجایی که در یک گاز ایده آل انرژی پتانسیل متقابل برهمکنش بین مولکول ها صفر است (مولکول ها با یکدیگر برهمکنش ندارند)، انرژی درونی یک مول گاز برابر با مجموع انرژی های جنبشی N A مولکول ها خواهد بود: ) انرژی داخلی برای جرم دلخواه m گاز. جایی که M جرم مولی است، ν - مقدار ماده

نوساناتحرکات یا فرآیندهایی که با تکرارپذیری خاصی در طول زمان مشخص می شوند نامیده می شوند. نوسانات در دنیای اطراف گسترده هستند و می توانند ماهیت بسیار متفاوتی داشته باشند. این ارتعاشات می توانند مکانیکی (آونگ)، الکترومغناطیسی (مدار نوسانی) و انواع دیگر ارتعاشات باشند.
رایگان، یا خودنوسانات به نوساناتی گفته می شود که در یک سیستم به حال خود رها شده و پس از خارج شدن از تعادل توسط یک تأثیر خارجی رخ می دهد. به عنوان مثال می توان به نوسان یک توپ معلق روی یک رشته اشاره کرد.

نقش ویژهدر فرآیندهای نوسانی ساده ترین شکل نوسانات را دارد - ارتعاشات هارمونیکنوسانات هارمونیک اساس یک رویکرد یکپارچه برای مطالعه نوسانات با طبیعت های مختلف را تشکیل می دهند، زیرا نوسانات موجود در طبیعت و فناوری اغلب به هارمونیک نزدیک هستند و فرآیندهای تناوبی با شکل متفاوت را می توان به عنوان برهم نهی نوسانات هارمونیک نشان داد.

ارتعاشات هارمونیک به نوساناتی گفته می شود که در آن کمیت نوسانی طبق قانون با گذشت زمان تغییر می کند سینوسییا کسینوس.

معادله هارمونیکدارای فرم:

جایی که A - دامنه ارتعاش (بزرگی بیشترین انحراف سیستم از موقعیت تعادل); -فرکانس دایره ای (چرخه ای). آرگومان متناوب متغیر کسینوس نامیده می شود فاز نوسان . فاز نوسان جابجایی کمیت نوسانی را از موقعیت تعادل در زمان معین t تعیین می کند. ثابت φ نشان دهنده مقدار فاز در زمان t = 0 است و فراخوانی می شود فاز اولیه نوسان . مقدار فاز اولیه با انتخاب نقطه مرجع تعیین می شود. مقدار x می تواند مقادیری از -A تا +A داشته باشد.

بازه زمانی T که در آن حالت های خاصی از سیستم نوسانی تکرار می شود، دوره نوسان نامیده می شود . کسینوس یک تابع تناوبی با دوره 2π است، بنابراین در طول دوره زمانی T که پس از آن فاز نوسان افزایشی برابر با 2π دریافت می کند، وضعیت سیستمی که نوسانات هارمونیک را انجام می دهد تکرار می شود. این بازه زمانی T دوره نوسانات هارمونیک نامیده می شود.

دوره نوسانات هارمونیک برابر است با : T = 2π/ .

تعداد نوسانات در واحد زمان نامیده می شود فرکانس ارتعاش ν.
فرکانس هارمونیک برابر است با: ν = 1/T. واحد فرکانس هرتز(هرتز) - یک نوسان در ثانیه.

فرکانس دایره ای = 2π/T = 2πν، تعداد نوسانات را در 2π ثانیه نشان می دهد.

از نظر گرافیکی، نوسانات هارمونیک را می توان به صورت وابستگی x به t نشان داد (شکل 1.1.A)، و روش دامنه چرخشی (روش نمودار برداری)(شکل 1.1.B) .

روش دامنه چرخشی به شما امکان می دهد تمام پارامترهای موجود در معادله ارتعاش هارمونیک را تجسم کنید. در واقع، اگر بردار دامنه آدر زاویه φ نسبت به محور x قرار دارد (شکل 1.1. B را ببینید)، سپس طرح ریزی آن بر روی محور x برابر است با: x = Acos(φ). زاویه φ فاز اولیه است. اگر بردار آبا سرعت زاویه‌ای برابر با فرکانس دایره‌ای نوسانات به چرخش در می‌آیند، سپس برآمدگی انتهای بردار در امتداد محور x حرکت می‌کند و مقادیری از -A تا +A را می‌گیرد و مختصات این برجستگی خواهد بود. تغییر در طول زمان طبق قانون:
.

بنابراین، طول بردار برابر با دامنه نوسان هارمونیک است، جهت بردار در لحظه اولیه زاویه ای با محور x برابر با فاز اولیه نوسانات φ و تغییر زاویه جهت تشکیل می دهد. با زمان برابر است با فاز نوسانات هارمونیک. زمانی که در طی آن بردار دامنه یک دور کامل می کند برابر با دوره T نوسانات هارمونیک است. تعداد دورهای برداری در ثانیه برابر با فرکانس نوسان ν است.

ارتعاشات هارمونیک

نمودارهای تابع f(ایکس) = گناه( ایکس) و g(ایکس) = cos( ایکس) در هواپیمای دکارتی.

نوسان هارمونیک- نوساناتی که در آن یک کمیت فیزیکی (یا هر دیگری) در طول زمان بر اساس قانون سینوسی یا کسینوسی تغییر می کند. معادله سینماتیکی نوسانات هارمونیک شکل دارد

جایی که ایکس- جابجایی (انحراف) نقطه نوسان از موقعیت تعادل در زمان t. آ- دامنه نوسانات، این مقداری است که حداکثر انحراف نقطه نوسان را از موقعیت تعادل تعیین می کند. ω - فرکانس چرخه ای، مقداری که نشان دهنده تعداد نوسانات کامل رخ داده در 2π ثانیه است - فاز کامل نوسانات، - فاز اولیه نوسانات.

نوسان هارمونیک تعمیم یافته به شکل دیفرانسیل

(هر راه حل غیر بی اهمیت برای این معادله دیفرانسیل یک نوسان هارمونیک با فرکانس چرخه ای است)

انواع ارتعاشات

تکامل زمانی جابجایی، سرعت و شتاب در حرکت هارمونیک

• ارتعاشات رایگانتحت تأثیر نیروهای داخلی سیستم پس از خارج شدن سیستم از وضعیت تعادل خود انجام می شوند. برای هارمونیک بودن نوسانات آزاد، لازم است که سیستم نوسانی خطی باشد (که با معادلات حرکتی خطی توصیف می شود) و هیچ اتلاف انرژی در آن وجود نداشته باشد (این دومی باعث میرایی می شود).
• ارتعاشات اجباریتحت تأثیر یک نیروی تناوبی خارجی انجام می شود. برای هارمونیک بودن آنها کافی است که سیستم نوسانی خطی باشد (که با معادلات حرکتی خطی توصیف می شود) و خود نیروی خارجی در طول زمان به صورت یک نوسان هارمونیک تغییر می کند (یعنی وابستگی زمانی این نیرو سینوسی است). .

کاربرد

ارتعاشات هارمونیک به دلایل زیر از سایر انواع ارتعاشات متمایز است:

همچنین ببینید

یادداشت

ادبیات

• فیزیک. کتاب درسی فیزیک ابتدایی / ویرایش. G. S. Lansberg. - ویرایش سوم - M.، 1962. - T. 3.
• Khaikin S.E.مبانی فیزیکی مکانیک. - م.، 1963.
• A. M. Afonin.مبانی فیزیکی مکانیک. - اد. MSTU im. باومن، 2006.
• گورلیک جی اس.نوسانات و امواج. مقدمه ای بر آکوستیک، رادیوفیزیک و اپتیک. - م.: فیزمتلیت، 1959. - 572 ص.

بنیاد ویکی مدیا 2010.

ببینید "نوسانات هارمونیک" در فرهنگ های دیگر چیست:

دایره المعارف مدرن

ارتعاشات هارمونیک- ارتعاشات هارمونیک، تغییرات دوره ای در یک کمیت فیزیکی که طبق قانون سینوسی رخ می دهد. از نظر گرافیکی، نوسانات هارمونیک با یک منحنی سینوسی نشان داده می شود. نوسانات هارمونیک ساده ترین نوع حرکات تناوبی هستند که با... فرهنگ لغت دایره المعارف مصور

نوساناتی که در آن یک کمیت فیزیکی در طول زمان بر اساس قانون سینوس یا کسینوس تغییر می کند. از نظر گرافیکی، GK ها با یک موج سینوسی منحنی یا موج کسینوس نشان داده می شوند (شکل را ببینید). آنها را می توان به این شکل نوشت: x = Asin (ωt + φ) یا x ... دایره المعارف بزرگ شوروی

ارتعاشات هارمونیک، حرکت تناوبی مانند حرکت آونگ، ارتعاشات اتمی یا نوسانات در یک مدار الکتریکی. یک جسم وقتی در امتداد یک خط نوسان می کند، نوسانات هارمونیک بدون میرا انجام می دهد و همان حرکت را انجام می دهد... ... فرهنگ دانشنامه علمی و فنی

نوسانات، که با آن فیزیکی کمیت (یا هر دیگری) در طول زمان طبق یک قانون سینوسی تغییر می کند: x=Asin(wt+j)، که در آن x مقدار کمیت در حال نوسان در یک زمان معین است. لحظه زمان t (برای G.K مکانیکی، به عنوان مثال، جابجایی یا سرعت، برای ... ... دایره المعارف فیزیکی

ارتعاشات هارمونیک- نوسانات مکانیکی، که در آن مختصات تعمیم یافته و (یا) سرعت تعمیم یافته متناسب با سینوس با آرگومان به طور خطی وابسته به زمان تغییر می کند. [مجموعه اصطلاحات توصیه شده. مسأله 106. ارتعاشات مکانیکی. فرهنگستان علوم… راهنمای مترجم فنی

نوسانات، که با آن فیزیکی (یا هر دیگری) کمیت در طول زمان طبق یک قانون سینوسی تغییر می کند، که در آن x مقدار کمیت نوسانی در زمان t است (برای سیستم های هیدرولیک مکانیکی، به عنوان مثال، جابجایی و سرعت، برای ولتاژ الکتریکی و قدرت جریان) ... دایره المعارف فیزیکی

ارتعاشات هارمونیک- (نگاه کنید به)، در کدام فیزیکی. یک کمیت در طول زمان مطابق قانون سینوس یا کسینوس تغییر می کند (به عنوان مثال، تغییرات (نگاه کنید به) و سرعت در حین نوسان (نگاه کنید به) یا تغییر (نگاه کنید به) و قدرت جریان در طول مدارهای الکتریکی) ... دایره المعارف بزرگ پلی تکنیک

آنها با تغییر مقدار نوسان x (به عنوان مثال، انحراف آونگ از موقعیت تعادل، ولتاژ در مدار جریان متناوب و غیره) در زمان t مطابق قانون مشخص می شوند: x = Asin (?t) + ?)، که در آن A دامنه نوسانات هارمونیک است،؟ گوشه... ... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

ارتعاشات هارمونیک- 19. نوسانات هارمونیک نوساناتی که در آنها مقادیر کمیت نوسانی طبق قانون در طول زمان تغییر می کند منبع ... فرهنگ لغت - کتاب مرجع شرایط اسناد هنجاری و فنی

تناوبی نوسانات، که در آن تغییرات در زمان فیزیکی. کمیت ها بر اساس قانون سینوس یا کسینوس رخ می دهند (شکل را ببینید): s = Аsin(wt+ф0)، که در آن s انحراف کمیت نوسانی از میانگین آن است. مقدار (تعادل)، A= دامنه ثابت، w= دایره ای ثابت... فرهنگ لغت بزرگ دایره المعارفی پلی تکنیک

نوسانات هارمونیک نوساناتی هستند که طبق قوانین سینوس و کسینوس انجام می شوند. در شکل زیر نموداری از تغییرات مختصات یک نقطه در طول زمان بر اساس قانون کسینوس نشان داده شده است.

تصویر

دامنه نوسان

دامنه ارتعاش هارمونیک بزرگترین مقدار جابجایی یک جسم از موقعیت تعادل آن است. دامنه می تواند مقادیر مختلفی به خود بگیرد. این بستگی به این دارد که چقدر بدن را در لحظه اولیه زمان از وضعیت تعادل جابجا کنیم.

دامنه توسط شرایط اولیه تعیین می شود، یعنی انرژی داده شده به بدن در لحظه اولیه زمان. از آنجایی که سینوس و کسینوس می توانند مقادیری در محدوده 1- تا 1 داشته باشند، معادله باید حاوی یک عامل Xm باشد که دامنه نوسانات را بیان می کند. معادله حرکت برای ارتعاشات هارمونیک:

x = Xm*cos(ω0*t).

دوره نوسان

دوره نوسان زمانی است که برای تکمیل یک نوسان کامل طول می کشد. دوره نوسان با حرف T مشخص می شود. واحدهای اندازه گیری دوره با واحدهای زمان مطابقت دارند. یعنی در SI اینها ثانیه هستند.

فرکانس نوسان تعداد نوسانات انجام شده در واحد زمان است. فرکانس نوسان با حرف ν مشخص می شود. فرکانس نوسان را می توان بر حسب دوره نوسان بیان کرد.

ν = 1/T.

واحدهای فرکانس بر حسب SI 1/sc هستند. این واحد اندازه گیری هرتز نامیده می شود. تعداد نوسانات در زمان 2*pi ثانیه برابر با:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

فرکانس نوسان

این کمیت فرکانس چرخه ای نوسانات نامیده می شود. در برخی ادبیات نام فرکانس دایره ای ظاهر می شود. فرکانس طبیعی یک سیستم نوسانی فرکانس نوسانات آزاد است.

فرکانس نوسانات طبیعی با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

فرکانس ارتعاشات طبیعی به خواص مواد و جرم بار بستگی دارد. هرچه سفتی فنر بیشتر باشد، فرکانس ارتعاشات خود آن بیشتر است. هر چه جرم بار بیشتر باشد، فرکانس نوسانات طبیعی کمتر می شود.

این دو نتیجه بدیهی است. هرچه فنر سفت‌تر باشد، شتاب بیشتری به بدنه می‌دهد که سیستم از تعادل خارج شود. هر چه جرم یک جسم بیشتر باشد سرعت این جسم کندتر تغییر می کند.

دوره نوسان آزاد:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

قابل توجه است که در زوایای انحراف کوچک دوره نوسان بدنه روی فنر و دوره نوسان آونگ به دامنه نوسانات بستگی نخواهد داشت.

بیایید فرمول های دوره و فرکانس نوسانات آزاد را برای یک آونگ ریاضی بنویسیم.

سپس دوره برابر خواهد شد

T = 2*pi*√(l/g).

این فرمول فقط برای زوایای انحراف کوچک معتبر خواهد بود. از فرمول می بینیم که دوره نوسان با افزایش طول نخ آونگ افزایش می یابد. هر چه طول بیشتر باشد، بدن آهسته تر می لرزد.

دوره نوسان اصلاً به جرم بار بستگی ندارد. اما بستگی به شتاب سقوط آزاد دارد. با کاهش g، دوره نوسان افزایش می یابد. این ویژگی به طور گسترده در عمل استفاده می شود. به عنوان مثال، برای اندازه گیری مقدار دقیق شتاب آزاد.

حرکاتی که درجات مختلفی از تکرار دارند نامیده می شوند نوسانات

اگر مقادیر کمیت های فیزیکی که در حین حرکت تغییر می کنند در فواصل زمانی مساوی تکرار شوند، چنین حرکتی نامیده می شود. تناوبی. بسته به ماهیت فیزیکی فرآیند نوسانی، نوسانات مکانیکی و الکترومغناطیسی متمایز می شوند. با توجه به روش تحریک، ارتعاشات به موارد زیر تقسیم می شوند: رایگان(خود)، در سیستمی که پس از چند ضربه اولیه به خود نزدیک موقعیت تعادلی ارائه می شود، رخ می دهد. مجبور شد- تحت تأثیر دوره ای خارجی رخ می دهد.

شرایط برای وقوع نوسانات آزاد: الف) هنگامی که جسمی از وضعیت تعادل خارج می شود، باید نیرویی در سیستم ایجاد شود که تمایل دارد آن را به وضعیت تعادل بازگرداند. ب) نیروهای اصطکاک در سیستم باید به اندازه کافی کم باشد.

آ دامنه A مدول حداکثر انحراف نقطه نوسان از موقعیت تعادل است.

نوسانات یک نقطه که با دامنه ثابت رخ می دهد نامیده می شود نمناک، و نوسانات با دامنه کم کم – محو شدن

زمانی که در طی آن یک نوسان کامل رخ می دهد نامیده می شود دوره زمانی(T).

فرکانس نوسانات دوره ای تعداد نوسانات کامل انجام شده در واحد زمان است:

واحد فرکانس ارتعاش - هرتز(هرتز). هرتز فرکانس نوساناتی است که دوره آن برابر است 1 ثانیه: 1 هرتز = 1 ثانیه -1.

چرخه اییا فرکانس دایره اینوسانات دوره ای تعداد نوسانات کامل انجام شده در طول زمان است 2p با: . =راد/ثانیه

هارمونیک- اینها نوساناتی هستند که توسط یک قانون تناوبی توصیف می شوند:

یا (1)

جایی که یک کمیت در حال تغییر است (جابجایی، سرعت، نیرو و غیره)، A دامنه است.

سیستمی که قانون حرکت آن شکل (1) دارد نامیده می شود نوسان ساز هارمونیک . برهان سینوس یا کسینوس تماس گرفت فاز نوسانفاز نوسان جابجایی را در زمان t تعیین می کند. فاز اولیه جابجایی بدن را در لحظه شروع زمان بندی تعیین می کند.

افست را در نظر بگیرید ایکسیک جسم در حال نوسان نسبت به موقعیت تعادلش. معادله ارتعاش هارمونیک:

اولین مشتق زمان بیانگر سرعت حرکت بدن است: ; (2)

سرعت در زمانی که به حداکثر مقدار خود می رسد =1: . جابجایی نقطه در این لحظه زودتر از صفر = 0 است (شکل 17.1، ب).

شتاب نیز با توجه به قانون هارمونیک با زمان تغییر می کند:

حداکثر مقدار شتاب کجاست علامت منفی به این معنی است که شتاب در جهت مخالف جابجایی است، یعنی. تغییر شتاب و جابجایی در آنتی فاز (شکل 17.1 V). مشاهده می شود که زمانی که نقطه نوسان از موقعیت تعادل عبور می کند سرعت به حداکثر مقدار خود می رسد. در این لحظه جابجایی و شتاب صفر است.