انتگرال برای آدمک ها: نحوه حل، قوانین محاسبه، توضیح. ویژگی های اساسی انتگرال نامعین ویژگی های انتگرال نامعین ضرب

در این مقاله ویژگی های اصلی انتگرال معین را فهرست می کنیم. اکثر این ویژگی ها بر اساس مفاهیم انتگرال معین ریمان و داربوکس اثبات شده اند.

محاسبه انتگرال معین اغلب با استفاده از پنج ویژگی اول انجام می شود، بنابراین در صورت لزوم به آنها اشاره خواهیم کرد. خواص باقی مانده از انتگرال معین عمدتاً برای ارزیابی عبارات مختلف استفاده می شود.

قبل از حرکت ویژگی های اساسی انتگرال معین، اجازه دهید توافق کنیم که a از b تجاوز نمی کند.

برای تابع y = f(x) تعریف شده در x = a، برابری درست است.

یعنی مقدار یک انتگرال معین با همان حدود انتگرال برابر با صفر است. این ویژگی نتیجه تعریف انتگرال ریمان است، زیرا در این مورد هر مجموع انتگرال برای هر تقسیم بازه و هر انتخاب نقطه برابر با صفر است، زیرا، بنابراین، حد مجموع انتگرال صفر است.

برای یک تابع قابل ادغام در یک بازه، .

به عبارت دیگر، زمانی که حدود بالا و پایین ادغام جای خود را تغییر می دهد، مقدار انتگرال معین به عکس تغییر می کند. این ویژگی یک انتگرال معین نیز از مفهوم انتگرال ریمان ناشی می شود، فقط شماره گذاری پارتیشن قطعه باید از نقطه x = b شروع شود.

برای توابع قابل ادغام در بازه y = f(x) و y = g(x).

اثبات

بیایید مجموع انتگرال تابع را یادداشت کنیم برای یک پارتیشن معین از یک بخش و انتخاب معینی از نقاط:

که در آن و به ترتیب مجموع انتگرال توابع y = f(x) و y = g(x) برای یک پارتیشن معین از بخش هستند.

رفتن به حد در ما به دست می آوریم که، با تعریف انتگرال ریمان، معادل بیانیه خاصیت اثبات شده است.

عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال معین خارج کرد. یعنی برای یک تابع y = f(x) قابل انتگرال در یک بازه و یک عدد دلخواه k، تساوی زیر برقرار است: .

اثبات این خاصیت انتگرال معین کاملاً مشابه مورد قبلی است:


اجازه دهید تابع y = f(x) در بازه X قابل انتگرال باشد و و سپس .

این ویژگی برای هر دو، و یا صادق است.

اثبات را می توان بر اساس ویژگی های قبلی انتگرال معین انجام داد.

اگر یک تابع در یک بازه قابل ادغام باشد، در هر بازه داخلی قابل ادغام است.

اثبات بر اساس ویژگی مجموع Darboux است: اگر نقاط جدیدی به یک پارتیشن موجود از یک قطعه اضافه شود، مجموع Darboux پایین کاهش نمی‌یابد و مقدار بالایی افزایش نمی‌یابد.

اگر تابع y = f(x) در بازه و برای هر مقدار آرگومان انتگرال پذیر باشد، پس .

این ویژگی از طریق تعریف انتگرال ریمان اثبات می شود: هر مجموع انتگرالی برای هر انتخابی از نقاط تقسیم بخش و نقاط در غیر منفی (نه مثبت) خواهد بود.

نتیجه.

برای توابع y = f(x) و y = g(x) قابل انتگرال در یک بازه، نابرابری های زیر برقرار است:


این بیان به این معنی است که ادغام نابرابری ها مجاز است. ما از این نتیجه برای اثبات خواص زیر استفاده خواهیم کرد.

اجازه دهید تابع y = f(x) در بازه انتگرال پذیر باشد، سپس نابرابری برقرار است .

اثبات

بدیهی است که . در ویژگی قبلی متوجه شدیم که نابرابری را می توان ترم به ترم ادغام کرد، بنابراین درست است. . این نابرابری مضاعف را می توان به صورت زیر نوشت .

اجازه دهید توابع y = f(x) و y = g(x) در بازه و برای هر مقدار آرگومان انتگرال پذیر باشند، سپس ، جایی که و .

اثبات به همین ترتیب انجام می شود. از آنجایی که m و M کوچکترین و بالاترین ارزشتابع y = f(x) در قطعه، سپس . ضرب نابرابری مضاعف در یک تابع غیر منفی y = g(x) ما را به نتیجه زیر می رساند. نابرابری مضاعف. با ادغام آن در بازه، به عبارت در حال اثبات می رسیم.

نتیجه.

اگر g(x) = 1 را بگیریم، نابرابری شکل می گیرد .

فرمول میانگین اول

اجازه دهید تابع y = f(x) در بازه انتگرال پذیر باشد، و ، سپس یک عدد وجود دارد که .

نتیجه.

اگر تابع y = f(x) در بازه ممتد باشد، عددی وجود دارد که .

اولین فرمول مقدار میانگین به صورت تعمیم یافته.

اجازه دهید توابع y = f(x) و y = g(x) در بازه انتگرال پذیر باشند، و و g(x) > 0 برای هر مقدار آرگومان . سپس یک عدد وجود دارد به گونه ای که .

فرمول میانگین دوم

اگر در یک بازه تابع y = f(x) انتگرال پذیر باشد و y = g(x) یکنواخت باشد، عددی وجود دارد که برابری .

وظیفه اصلی حساب دیفرانسیلیافتن مشتق است f'(ایکس)یا دیفرانسیل df=f'(ایکس)dxکارکرد f(ایکس).در حساب انتگرال مسئله معکوس حل می شود. توسط عملکرد داده شده f(ایکس) باید چنین تابعی را پیدا کنید F(ایکس)،چی F'(x)=f(ایکس)یا dF(x) =F'(ایکس)dx=f(ایکس)dx

بدین ترتیب، وظیفه اصلی حساب انتگرالبازیابی عملکرد است F(ایکس)توسط مشتق شناخته شده (دیفرانسیل) این تابع. حساب انتگرال کاربردهای متعددی در هندسه، مکانیک، فیزیک و فناوری دارد. یک روش کلی برای یافتن مناطق، حجم ها، مراکز ثقل و غیره ارائه می دهد.

تعریف. تابعF(x)، ضد مشتق تابع نامیده می شودf(x) در مجموعه X اگر برای هر و قابل تمایز باشدF'(x) =f(x) یاdF(x) =f(ایکس)dx

قضیه. هر خط ممتد در بازه [آ؛ب] عملکردf(x) دارای یک پاد مشتق در این بخش استF(x).

قضیه. اگرF 1 (x) وF 2 (x) - دو ضد مشتق مختلف از یک تابعf(x) در مجموعه x، سپس آنها با یک جمله ثابت با یکدیگر تفاوت دارند، یعنی.F 2 (x) =F 1x)+C، جایی که C یک ثابت است.

نه انتگرال معین، خواص آن

تعریف. کلیتF(x)+از همه توابع ضد مشتقf(x) در مجموعه X یک انتگرال نامعین نامیده می شود و نشان داده می شود:

- (1)

در فرمول (1) f(ایکس)dxتماس گرفت بیان یکپارچه،f(x) – تابع انتگرال، x – متغیر ادغام،آ ج - ثابت ادغام.

بیایید به خواص نگاه کنیم انتگرال نامعین، ناشی از تعریف آن است.

1. مشتق انتگرال نامعین برابر با انتگرال است، دیفرانسیل انتگرال نامعین برابر با انتگرال است:

و .

2. انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع برابر با مجموعاین تابع و یک ثابت دلخواه:

3. عامل ثابت a (a≠0) را می توان به عنوان علامت انتگرال نامعین خارج کرد:

4. انتگرال نامعین مجموع جبری تعداد محدودی از توابع برابر است با مجموع جبری انتگرال های این توابع:

5. اگرF(x) - ضد مشتق تابعf(x)، سپس:

6 (عدم تغییر فرمول های ادغام). هر فرمول یکپارچه سازی شکل خود را حفظ می کند اگر متغیر ادغام با هر تابع متمایزپذیر این متغیر جایگزین شود:

جایی کهu یک تابع قابل تمایز است.

جدول انتگرال های نامعین

بدهیم قوانین اساسی برای یکپارچه سازی توابع

بدهیم جدول انتگرال های نامعین اساسی(توجه داشته باشید که در اینجا، مانند حساب دیفرانسیل، حرف تورا می توان به عنوان یک متغیر مستقل تعیین کرد (u=ایکس)و تابعی از متغیر مستقل است (u=u(ایکس)).)

(n≠-1). (a > 0، a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(| u|< |a|).

انتگرال های 1 تا 17 نامیده می شوند جدولی

برخی از فرمول های فوق در جدول انتگرال ها که در جدول مشتقات مشابهی ندارند، با تفکیک ضلع های سمت راست آنها تأیید می شوند.

تغییر متغیر و ادغام توسط قطعات در انتگرال نامعین.

ادغام با جایگزینی (جایگزینی متغیر). اجازه دهید محاسبه انتگرال ضروری باشد

، که جدولی نیست. ماهیت روش جایگزینی این است که در انتگرال متغیر است ایکسبا یک متغیر جایگزین کنید تیطبق فرمول x=φ(ت)جایی که dx=φ’(ت)dt.

قضیه. اجازه دهید تابعx=φ(t) بر روی یک مجموعه خاص T تعریف شده و قابل تمایز است و اجازه دهید X مجموعه مقادیر این تابع باشد که تابع بر روی آن تعریف شده است.f(ایکس). سپس اگر در مجموعه X تابعf(

ضد مشتق و انتگرال نامعین.

پاد مشتق تابع f(x) در بازه (a; b) تابع F(x) است به طوری که برابری برای هر x از بازه داده شده برقرار است.

اگر این واقعیت را در نظر بگیریم که مشتق ثابت C برابر با صفر است، برابری درست است. . بنابراین، تابع f(x) دارای مجموعه ای از ضد مشتقات F(x)+C برای یک ثابت دلخواه C است، و این پاد مشتق ها با یک مقدار ثابت دلخواه با یکدیگر متفاوت هستند.

کل مجموعه پاد مشتق های تابع f(x) انتگرال نامعین این تابع نامیده می شود و نشان داده می شود. .

عبارت انتگرال نامیده می شود و f(x) انتگرال نامیده می شود. انتگرال نشان دهنده دیفرانسیل تابع f(x) است.

عمل یافتن یک تابع مجهول با توجه به دیفرانسیل آن، انتگرال گیری نامعین نامیده می شود، زیرا نتیجه یکپارچه سازی یک تابع F(x) نیست، بلکه مجموعه ای از ضد مشتقات آن F(x)+C است.

انتگرال های جدول

ساده ترین خواص انتگرال ها

1. مشتق حاصل انتگرال گیری برابر با انتگرال است.

2. انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع برابر است با مجموع خود تابع و یک ثابت دلخواه.

3. ضریب را می توان از علامت انتگرال نامعین خارج کرد.

4. انتگرال نامعین مجموع / تفاضل توابع برابر است با مجموع / تفاضل انتگرال های نامعین توابع.

تساوی میانی خواص اول و دوم انتگرال نامعین برای روشن شدن آورده شده است.

برای اثبات ویژگی های سوم و چهارم کافی است مشتقات سمت راست تساوی ها را بیابید:

این مشتقات برابر با انتگرال هستند که به دلیل خاصیت اول دلیلی است. همچنین در آخرین انتقال ها استفاده می شود.

بنابراین، مشکل ادغام معکوس مشکل تمایز است و ارتباط بسیار نزدیکی بین این مشکلات وجود دارد:

ویژگی اول به شخص اجازه می دهد تا یکپارچگی را بررسی کند. برای بررسی صحت ادغام انجام شده کافی است مشتق نتیجه به دست آمده را محاسبه کنید. اگر تابعی که در نتیجه تمایز به دست می آید برابر با انتگرال باشد، به این معنی است که ادغام به درستی انجام شده است.

خاصیت دوم انتگرال نامعین به فرد اجازه می دهد که پاد مشتق آن را از یک دیفرانسیل شناخته شده یک تابع پیدا کند. محاسبه مستقیم انتگرال های نامعین بر اساس این ویژگی است.

1.4. تغییر ناپذیری اشکال ادغام.

انتگرال گیری ثابت نوعی ادغام برای توابعی است که آرگومان های آن عناصر یک گروه یا نقاط یک فضای همگن هستند (هر نقطه ای در چنین فضایی می تواند توسط یک عمل معین از گروه به دیگری منتقل شود).

تابع f(x) به محاسبه انتگرال شکل دیفرانسیل f.w، که در آن

یک فرمول صریح برای r(x) در زیر آورده شده است. شرط توافق فرم دارد .

در اینجا Tg به معنای عملگر شیفت روی X با استفاده از gОG است: Tgf(x)=f(g-1x). اجازه دهید X=G یک توپولوژی باشد، گروهی که با شیفت های چپ روی خودش عمل می کند. من و. وجود دارد اگر و فقط اگر G به صورت محلی فشرده باشد (به ویژه، در گروه های بینهایت بعدی I.I وجود ندارد). برای زیر مجموعه ای از I. و. تابع مشخصه cA (برابر 1 در A و 0 در خارج A) اندازه سمت چپ Xaar m(A) را مشخص می کند. ویژگی تعیین کننده این اندازه گیری، تغییر ناپذیری آن تحت شیفت های چپ است: m(g-1A)=m(A) برای همه gОG. اندازه گیری هار سمت چپ در یک گروه به طور منحصر به فرد تا یک عامل اسکالر مثبت تعریف می شود. اگر اندازه هار m شناخته شود، I. و. تابع f با فرمول داده می شود . اندازه گیری درست هار خواص مشابهی دارد. یک هممورفیسم پیوسته (نقشه حفظ ویژگی گروه) DG از گروه G در موقعیت گروه (با توجه به ضرب) وجود دارد. اعدادی که برای آنها

که در آن dmr و dmi اندازه های راست و چپ هار هستند. تابع DG(g) فراخوانی می شود ماژول گروه G. اگر، گروه G فراخوانی می شود. تک مدولار در این مورد، اندازه های راست و چپ هار منطبق هستند. گروه های فشرده، نیمه ساده و بدون نیرو (به ویژه، جابجایی) تک مدولار هستند. اگر G یک گروه Lie n بعدی باشد و q1،...،qn مبنایی در فضای شکل‌های 1 نامتغیر چپ روی G باشد، آنگاه اندازه Haar سمت چپ روی G با شکل n به دست می‌آید. در مختصات محلی برای محاسبه

از qi تشکیل می دهد، می توانید از هر تحقق ماتریسی گروه G استفاده کنید: ماتریس 1-شکل g-1dg ثابت می ماند و ضریب آن. فرمهای 1 اسکالر نامتغیر چپ هستند که مبنای مورد نیاز از بین آنها انتخاب می شود. به عنوان مثال، گروه ماتریس کامل GL(n, R) تک مدولار است و اندازه Haar روی آن با فرم داده می شود. اجازه دهید X=G/H فضایی همگن است که گروه فشرده محلی G یک گروه تبدیل است و زیرگروه بسته H تثبیت کننده یک نقطه خاص است. برای اینکه یک i.i روی X وجود داشته باشد، لازم و کافی است که برای همه hOH برابری DG(h)=DH(h) برقرار باشد. به ویژه، این در موردی صادق است که H فشرده یا نیمه ساده باشد. تئوری کامل I. و. در منیفولدهای بینهایت بعدی وجود ندارد.

جایگزینی متغیرها

این ویژگی ها برای انجام تبدیل انتگرال به منظور کاهش آن به یکی از انتگرال های ابتدایی و محاسبه بیشتر استفاده می شود.

1. مشتق انتگرال نامعین برابر است با انتگرال:

2. دیفرانسیل انتگرال نامعین برابر است با انتگرال:

3. انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع معین برابر است با مجموع این تابع و یک ثابت دلخواه:

4. عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد:

علاوه بر این، یک ≠ 0

5. انتگرال مجموع (تفاوت) برابر است با مجموع (تفاوت) انتگرالها:

6. اموال ترکیبی از خواص 4 و 5 است:

علاوه بر این، a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. خاصیت تغییرناپذیری انتگرال نامعین:

اگر پس از آن

8. اموال:

اگر پس از آن

در واقع این ویژگی یک مورد خاص از ادغام با استفاده از روش تغییر متغیر است که در قسمت بعدی به طور مفصل به آن پرداخته می شود.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

ابتدا خاصیت 5 و سپس خاصیت 4 را اعمال کردیم و سپس از جدول آنتی مشتق ها استفاده کردیم و به نتیجه رسیدیم.

الگوریتم ماشین حساب انتگرال آنلاین ما از تمام ویژگی های ذکر شده در بالا پشتیبانی می کند و می تواند به راحتی پیدا کند راه حل دقیقبرای انتگرال شما

حل انتگرال ها کار آسانی است، اما فقط برای تعداد معدودی. این مقاله برای کسانی است که می خواهند یاد بگیرند که انتگرال ها را بفهمند، اما چیزی یا تقریباً هیچ چیز در مورد آنها نمی دانند. انتگرال ... چرا مورد نیاز است؟ چگونه آن را محاسبه کنیم؟ انتگرال معین و نامعین چیست؟

اگر تنها استفاده ای که از یک انتگرال می شناسید استفاده از قلاب قلاب بافی به شکل نماد یکپارچه برای به دست آوردن چیزهای مفید از مکان های صعب العبور است، پس خوش آمدید! دریابید که چگونه ساده ترین و سایر انتگرال ها را حل کنید و چرا نمی توانید بدون آن در ریاضیات کار کنید.

ما مفهوم را مطالعه می کنیم « انتگرال »

ادغام در گذشته شناخته شده بود مصر باستان. البته نه به شکل امروزی اش، اما همچنان. از آن زمان، ریاضیدانان کتاب های زیادی در این زمینه نوشته اند. به خصوص خود را متمایز کردند نیوتن و لایب نیتس ، اما ماهیت چیزها تغییر نکرده است.

چگونه انتگرال ها را از ابتدا بفهمیم؟ به هیچ وجه! برای درک این موضوع همچنان به درک اولیه از اصول نیاز دارید. تجزیه و تحلیل ریاضی. ما قبلاً اطلاعاتی درباره محدودیت ها و مشتقات لازم برای درک انتگرال ها در وبلاگ خود داریم.

انتگرال نامعین

اجازه دهید عملکردی داشته باشیم f(x) .

تابع انتگرال نامعین f(x) این تابع نامیده می شود F(x) ، که مشتق آن برابر با تابع است f(x) .

به عبارت دیگر، انتگرال مشتق معکوس یا ضد مشتق است. به هر حال، مقاله ما را در مورد نحوه محاسبه مشتقات بخوانید.

ضد مشتق برای همه وجود دارد توابع پیوسته. همچنین، اغلب یک علامت ثابت به ضد مشتق اضافه می شود، زیرا مشتقات توابعی که با یک ثابت متفاوت هستند، مطابقت دارند. فرآیند یافتن انتگرال را انتگرال می گویند.

مثال ساده:

برای اینکه دائماً ضد مشتقات محاسبه نشود توابع ابتدایی، به راحتی می توان آنها را در یک جدول خلاصه کرد و از مقادیر آماده استفاده کرد.

جدول کامل انتگرال ها برای دانش آموزان

انتگرال معین

وقتی با مفهوم انتگرال سروکار داریم، با کمیت های بی نهایت کوچک سروکار داریم. انتگرال به محاسبه مساحت یک شکل، جرم یک جسم غیریکنواخت، مسافت طی شده در هنگام حرکت ناهموار و موارد دیگر کمک می کند. باید به خاطر داشت که انتگرال مجموع تعداد بی نهایت زیادی از جمله های بی نهایت کوچک است.

به عنوان مثال، نموداری از یک تابع را تصور کنید.

چگونه مساحت شکل محدود شده با نمودار یک تابع را پیدا کنیم؟ استفاده از انتگرال! اجازه دهید ذوزنقه منحنی را که توسط محورهای مختصات و نمودار تابع محدود شده است، به بخش های بی نهایت کوچک تقسیم کنیم. به این ترتیب شکل به ستون های نازک تقسیم می شود. مجموع مساحت ستون ها مساحت ذوزنقه خواهد بود. اما به یاد داشته باشید که چنین محاسبه ای نتیجه تقریبی خواهد داشت. با این حال، هرچه قطعات کوچکتر و باریکتر باشند، محاسبه دقیق تر خواهد بود. اگر آنها را به حدی کاهش دهیم که طول به صفر برسد، مجموع مساحت قطعات به مساحت شکل متمایل می شود. این یک انتگرال معین است که به صورت زیر نوشته شده است:

نقاط a و b حد ادغام نامیده می شود.

« انتگرال »

راستی! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است هر نوع کاری

قوانین محاسبه انتگرال برای آدمک ها

خواص انتگرال نامعین

چگونه یک انتگرال نامعین را حل کنیم؟ در اینجا به ویژگی های انتگرال نامعین می پردازیم که در حل مثال ها مفید خواهد بود.

• مشتق انتگرال برابر با انتگرال است:

• ثابت را می توان از زیر علامت انتگرال خارج کرد:

• انتگرال مجموع برابر است با مجموع انتگرال ها. این در مورد تفاوت نیز صادق است:

ویژگی های یک انتگرال معین

• خطی بودن:

• علامت انتگرال در صورت تعویض حدود یکپارچه تغییر می کند:

• در هرنکته ها آ, بو با:

قبلاً فهمیدیم که انتگرال معین حد یک جمع است. اما چگونه می توان یک مقدار خاص را هنگام حل یک مثال به دست آورد؟ برای این کار فرمول نیوتن-لایب نیتس وجود دارد:

نمونه هایی از حل انتگرال ها

در زیر انتگرال نامعین و مثال هایی را با حل در نظر خواهیم گرفت. ما به شما پیشنهاد می کنیم پیچیدگی های راه حل را خودتان بفهمید و اگر چیزی نامشخص است، سوالات خود را در نظرات بپرسید.

برای تقویت مطالب، ویدئویی در مورد چگونگی حل انتگرال ها در عمل تماشا کنید. اگر فوراً انتگرال داده نشد، ناامید نشوید. با یک سرویس حرفه ای برای دانش آموزان تماس بگیرید، و هر انتگرال سه گانه یا منحنی روی یک سطح بسته در توان شما خواهد بود.