انتگرال ها و خواص آنها ویژگی های اساسی انتگرال نامعین ویژگی های اساسی انتگرال معین

اجازه دهید تابع y = f(ایکس) در بازه [ آ, ب ], آ < ب. بیایید عملیات زیر را انجام دهیم:

1) بیایید تقسیم کنیم [ آ, ب] نقطه ها آ = ایکس 0 < ایکس 1 < ... < ایکس من- 1 < ایکس من < ... < ایکس n = ب بر nبخش های جزئی [ ایکس 0 , ایکس 1 ], [ایکس 1 , ایکس 2 ], ..., [ایکس من- 1 , ایکس من ], ..., [ایکس n- 1 , ایکس n ];

2) در هر یک از بخش های جزئی [ ایکس من- 1 , ایکس من ], من = 1, 2, ... n، یک نقطه دلخواه انتخاب کنید و مقدار تابع را در این نقطه محاسبه کنید: f(z i ) ;

3) آثار را پیدا کنید f(z i ) · Δ ایکس من ، طول بخش جزئی کجاست [ ایکس من- 1 , ایکس من ], من = 1, 2, ... n;

4) بیایید جبران کنیم جمع انتگرالکارکرد y = f(ایکس) در بخش [ آ, ب ]:

با نقطه هندسیاز منظر بصری، این مجموع σ مجموع مساحت مستطیل هایی است که پایه های آنها پاره های جزئی هستند [ ایکس 0 , ایکس 1 ], [ایکس 1 , ایکس 2 ], ..., [ایکس من- 1 , ایکس من ], ..., [ایکس n- 1 , ایکس n ] و ارتفاعات برابر است f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) بر این اساس (شکل 1). اجازه دهید با نشان دادن λ طول طولانی ترین بخش جزئی:

5) حد مجموع انتگرال را پیدا کنید λ → 0.

تعریف.اگر حد محدودی از مجموع انتگرال (1) وجود داشته باشد و به روش پارتیشن بندی قطعه بستگی نداشته باشد [ آ, ب] به بخش های جزئی و نه از انتخاب نقاط z iدر آنها، سپس این حد نامیده می شود انتگرال معیناز تابع y = f(ایکس) در بخش [ آ, ب] و نشان داده می شود

بدین ترتیب،

در این مورد تابع f(ایکس) نامیده میشود قابل ادغامبر [ آ, ب]. شماره آو ببه ترتیب حد پایین و بالای ادغام نامیده می شوند. f(ایکس) - تابع یکپارچه، f(ایکس ) dx- بیان یکپارچه، ایکس- متغیر ادغام؛ پاره خط [ آ, ب] فاصله ادغام نامیده می شود.

قضیه 1.اگر تابع y = f(ایکس) در بازه [ آ, ب]، سپس در این بازه قابل ادغام است.

انتگرال معین با همان حدود ادغام برابر با صفر است:

اگر آ > ب، پس با تعریف، فرض می کنیم

2. معنای هندسی انتگرال معین

اجازه دهید در بخش [ آ, ب] یک تابع غیر منفی پیوسته مشخص شده است y = f(ایکس ) . ذوزنقه منحنیشکلی است که در بالا با نمودار یک تابع محدود شده است y = f(ایکس، از پایین - در امتداد محور Ox، به سمت چپ و راست - خطوط مستقیم x = aو x = b(شکل 2).

انتگرال معین یک تابع غیر منفی y = f(ایکس) از دیدگاه هندسی برابر مساحتذوزنقه منحنی که در بالا با نمودار تابع محدود شده است y = f(ایکس) ، پاره خط چپ و راست x = aو x = b، از پایین - بخشی از محور Ox.

3. ویژگی های اساسی انتگرال معین

1. معنی انتگرال معینبه تعیین متغیر ادغام بستگی ندارد:

2. عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال معین خارج کرد:

3. انتگرال معین مجموع جبری دو تابع برابر است با مجموع جبری انتگرال های معین این توابع:

4. اگر عملکرد y = f(ایکس) قابل ادغام در [ آ, ب] و آ < ب < ج، آن

5. (قضیه مقدار میانگین). اگر تابع y = f(ایکس) در بازه [ آ, ب]، سپس در این بخش نقطه ای وجود دارد که

4. فرمول نیوتن-لایب نیتس

قضیه 2.اگر تابع y = f(ایکس) در بازه [ آ, ب] و اف(ایکس) هر یک از ضد مشتقات آن در این بخش است، پس فرمول زیر معتبر است:

که نامیده می شود فرمول نیوتن – لایب نیتستفاوت اف(ب) - اف(آ) معمولاً به صورت زیر نوشته می شود:

که در آن نماد یک عام دوگانه نامیده می شود.

بنابراین فرمول (2) را می توان به صورت زیر نوشت:

مثال 1.انتگرال را محاسبه کنید

راه حل. برای انتگرال f(ایکس ) = ایکس 2 یک ضد مشتق دلخواه شکل دارد

از آنجایی که هر پاد مشتق را می توان در فرمول نیوتن-لایبنیتس استفاده کرد، برای محاسبه انتگرال، پاد مشتق را می گیریم که ساده ترین شکل را دارد:

5. تغییر متغیر در یک انتگرال معین

قضیه 3.اجازه دهید تابع y = f(ایکس) در بازه [ آ, ب]. اگر:

1) عملکرد ایکس = φ ( تی) و مشتق آن φ "( تی) پیوسته هستند برای ;

2) مجموعه ای از مقادیر تابع ایکس = φ ( تی) برای قطعه [ آ, ب ];

3) φ ( آ) = آ, φ ( ب) = ب، پس فرمول معتبر است

که نامیده می شود فرمول تغییر یک متغیر در یک انتگرال معین .

بر خلاف انتگرال نامعین، V در این مورد لازم نیستبرای بازگشت به متغیر ادغام اولیه - کافی است محدودیت های جدید ادغام α و β را پیدا کنید (برای این باید متغیر را حل کنید تیمعادلات φ ( تی) = آو φ ( تی) = ب).

به جای تعویض ایکس = φ ( تی) می توانید از جایگزینی استفاده کنید تی = g(ایکس) . در این مورد، یافتن محدودیت های جدید ادغام بر روی یک متغیر تیساده می کند: α = g(آ) , β = g(ب) .

مثال 2. انتگرال را محاسبه کنید

راه حل. بیایید با استفاده از فرمول یک متغیر جدید معرفی کنیم. با مجذور دو طرف تساوی، 1 + به دست می آید x = تی 2 ، جایی که x = تی 2 - 1, dx = (تی 2 - 1)"dt= 2tdt. ما محدودیت های جدیدی برای ادغام پیدا می کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید محدودیت های قدیمی را در فرمول جایگزین کنیم x = 3 و x = 8. می گیریم: , از کجا تی= 2 و α = 2; ، جایی که تی= 3 و β = 3. بنابراین،

مثال 3.محاسبه

راه حل. اجازه دهید تو= ورود ایکس، سپس ، v = ایکس. طبق فرمول (4)

ضد مشتق و انتگرال نامعین.

پاد مشتق تابع f(x) در بازه (a; b) تابع F(x) است به طوری که برابری برای هر x از بازه داده شده برقرار است.

اگر این واقعیت را در نظر بگیریم که مشتق ثابت C برابر با صفر است، برابری درست است. . بنابراین، تابع f(x) دارای مجموعه ای از ضد مشتقات F(x)+C برای یک ثابت دلخواه C است، و این پاد مشتق ها با یک مقدار ثابت دلخواه با یکدیگر متفاوت هستند.

کل مجموعه پاد مشتق های تابع f(x) انتگرال نامعین این تابع نامیده می شود و نشان داده می شود. .

عبارت انتگرال نامیده می شود و f(x) انتگرال نامیده می شود. انتگرال نشان دهنده دیفرانسیل تابع f(x) است.

عمل یافتن یک تابع مجهول با توجه به دیفرانسیل آن، انتگرال گیری نامعین نامیده می شود، زیرا نتیجه یکپارچه سازی یک تابع F(x) نیست، بلکه مجموعه ای از ضد مشتقات آن F(x)+C است.

انتگرال های جدول

ساده ترین خواص انتگرال ها

1. مشتق حاصل انتگرال گیری برابر با انتگرال است.

2. انتگرال نامعین تابع دیفرانسیل برابر با مجموعخود تابع و یک ثابت دلخواه.

3. ضریب را می توان از علامت انتگرال نامعین خارج کرد.

4. انتگرال نامعین مجموع / تفاضل توابع برابر است با مجموع / تفاضل انتگرال های نامعین توابع.

تساوی میانی خواص اول و دوم انتگرال نامعین برای روشن شدن آورده شده است.

برای اثبات ویژگی های سوم و چهارم کافی است مشتقات سمت راست تساوی ها را بیابید:

این مشتقات برابر با انتگرال هستند که به دلیل خاصیت اول دلیلی است. همچنین در آخرین انتقال ها استفاده می شود.

بنابراین، مشکل ادغام معکوس مشکل تمایز است و ارتباط بسیار نزدیکی بین این مشکلات وجود دارد:

ویژگی اول به شخص اجازه می دهد تا یکپارچگی را بررسی کند. برای بررسی صحت ادغام انجام شده کافی است مشتق نتیجه به دست آمده را محاسبه کنید. اگر تابعی که در نتیجه تمایز به دست می آید برابر با انتگرال باشد، به این معنی است که ادغام به درستی انجام شده است.

خاصیت دوم انتگرال نامعین به فرد اجازه می دهد که پاد مشتق آن را از یک دیفرانسیل شناخته شده یک تابع پیدا کند. محاسبه مستقیم انتگرال های نامعین بر اساس این ویژگی است.

1.4. تغییر ناپذیری اشکال ادغام.

انتگرال گیری ثابت نوعی ادغام برای توابعی است که آرگومان های آن عناصر یک گروه یا نقاط یک فضای همگن هستند (هر نقطه ای در چنین فضایی می تواند توسط یک عمل معین از گروه به دیگری منتقل شود).

تابع f(x) به محاسبه انتگرال شکل دیفرانسیل f.w، که در آن

یک فرمول صریح برای r(x) در زیر آورده شده است. شرط توافق فرم دارد .

در اینجا Tg به معنای عملگر شیفت روی X با استفاده از gОG است: Tgf(x)=f(g-1x). اجازه دهید X=G یک توپولوژی باشد، گروهی که با شیفت های چپ روی خودش عمل می کند. من و. وجود دارد اگر و فقط اگر G به صورت محلی فشرده باشد (به ویژه، در گروه های بینهایت بعدی I.I وجود ندارد). برای زیر مجموعه ای از I. و. تابع مشخصه cA (برابر 1 در A و 0 در خارج A) اندازه سمت چپ Xaar m(A) را مشخص می کند. ویژگی تعیین کننده این اندازه گیری، تغییر ناپذیری آن تحت شیفت های چپ است: m(g-1A)=m(A) برای همه gОG. اندازه گیری هار سمت چپ در یک گروه به طور منحصر به فرد تا یک عامل اسکالر مثبت تعریف می شود. اگر اندازه هار m شناخته شود، I. و. تابع f با فرمول داده می شود . اندازه گیری درست هار خواص مشابهی دارد. یک هممورفیسم پیوسته (نقشه حفظ ویژگی گروه) DG از گروه G در موقعیت گروه (با توجه به ضرب) وجود دارد. اعدادی که برای آنها

که در آن dmr و dmi اندازه های راست و چپ هار هستند. تابع DG(g) فراخوانی می شود ماژول گروه G. اگر، گروه G فراخوانی می شود. تک مدولار در این مورد، اندازه های راست و چپ هار منطبق هستند. گروه های فشرده، نیمه ساده و بدون نیرو (به ویژه، جابجایی) تک مدولار هستند. اگر G یک گروه Lie n بعدی باشد و q1،...،qn مبنایی در فضای شکل‌های 1 نامتغیر چپ روی G باشد، آنگاه اندازه Haar سمت چپ روی G با شکل n به دست می‌آید. در مختصات محلی برای محاسبه

از qi تشکیل می دهد، می توانید از هر تحقق ماتریسی گروه G استفاده کنید: ماتریس 1-شکل g-1dg ثابت می ماند و ضریب آن. فرمهای 1 اسکالر نامتغیر چپ هستند که مبنای مورد نیاز از بین آنها انتخاب می شود. به عنوان مثال، گروه ماتریس کامل GL(n, R) تک مدولار است و اندازه Haar روی آن با فرم داده می شود. اجازه دهید X=G/H فضایی همگن است که گروه فشرده محلی G یک گروه تبدیل است و زیرگروه بسته H تثبیت کننده یک نقطه خاص است. برای اینکه یک i.i روی X وجود داشته باشد، لازم و کافی است که برای همه hOH برابری DG(h)=DH(h) برقرار باشد. به ویژه، این در موردی صادق است که H فشرده یا نیمه ساده باشد. تئوری کامل I. و. در منیفولدهای بینهایت بعدی وجود ندارد.

جایگزینی متغیرها

حل انتگرال ها کار آسانی است، اما فقط برای تعداد معدودی. این مقاله برای کسانی است که می خواهند یاد بگیرند که انتگرال ها را بفهمند، اما چیزی یا تقریباً هیچ چیز در مورد آنها نمی دانند. انتگرال ... چرا مورد نیاز است؟ چگونه آن را محاسبه کنیم؟ انتگرال معین و نامعین چیست؟

اگر تنها استفاده ای که از یک انتگرال می شناسید استفاده از قلاب قلاب بافی به شکل نماد یکپارچه برای به دست آوردن چیزهای مفید از مکان های صعب العبور است، پس خوش آمدید! دریابید که چگونه ساده ترین و سایر انتگرال ها را حل کنید و چرا نمی توانید بدون آن در ریاضیات کار کنید.

ما مفهوم را مطالعه می کنیم « انتگرال »

ادغام در گذشته شناخته شده بود مصر باستان. البته نه به شکل امروزی اش، اما همچنان. از آن زمان، ریاضیدانان کتاب های زیادی در این زمینه نوشته اند. به خصوص خود را متمایز کردند نیوتن و لایب نیتس ، اما ماهیت چیزها تغییر نکرده است.

چگونه انتگرال ها را از ابتدا بفهمیم؟ به هیچ وجه! برای درک این موضوع همچنان به درک اولیه از اصول نیاز دارید. تجزیه و تحلیل ریاضی. ما قبلاً اطلاعاتی در مورد، لازم برای درک انتگرال ها در وبلاگ خود داریم.

انتگرال نامعین

اجازه دهید عملکردی داشته باشیم f(x) .

تابع انتگرال نامعین f(x) این تابع نامیده می شود F(x) ، که مشتق آن برابر با تابع است f(x) .

به عبارت دیگر، انتگرال مشتق معکوس یا ضد مشتق است. به هر حال، در مورد چگونگی در مقاله ما بخوانید.

یک پاد مشتق برای همه توابع پیوسته وجود دارد. همچنین، اغلب یک علامت ثابت به ضد مشتق اضافه می شود، زیرا مشتقات توابعی که با یک ثابت متفاوت هستند، مطابقت دارند. فرآیند یافتن انتگرال را انتگرال می گویند.

مثال ساده:

برای اینکه دائماً ضد مشتقات محاسبه نشود توابع ابتدایی، به راحتی می توان آنها را در یک جدول خلاصه کرد و از مقادیر آماده استفاده کرد.

جدول کامل انتگرال ها برای دانش آموزان

انتگرال معین

وقتی با مفهوم انتگرال سروکار داریم، با کمیت های بی نهایت کوچک سروکار داریم. انتگرال به محاسبه مساحت یک شکل، جرم یک جسم غیریکنواخت، مسافت طی شده در هنگام حرکت ناهموار و موارد دیگر کمک می کند. باید به خاطر داشت که انتگرال مجموع تعداد بی نهایت زیادی از جمله های بی نهایت کوچک است.

به عنوان مثال، نموداری از یک تابع را تصور کنید.

چگونه مساحت شکل محدود شده با نمودار یک تابع را پیدا کنیم؟ استفاده از انتگرال! اجازه دهید ذوزنقه منحنی را که توسط محورهای مختصات و نمودار تابع محدود شده است، به بخش های بی نهایت کوچک تقسیم کنیم. به این ترتیب شکل به ستون های نازک تقسیم می شود. مجموع مساحت ستون ها مساحت ذوزنقه خواهد بود. اما به یاد داشته باشید که چنین محاسبه ای نتیجه تقریبی خواهد داشت. با این حال، هرچه قطعات کوچکتر و باریکتر باشند، محاسبه دقیق تر خواهد بود. اگر آنها را به حدی کاهش دهیم که طول به صفر برسد، مجموع مساحت قطعات به مساحت شکل متمایل می شود. این یک انتگرال معین است که به صورت زیر نوشته شده است:

نقاط a و b حد ادغام نامیده می شود.

« انتگرال »

راستی! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است

قوانین محاسبه انتگرال برای آدمک ها

خواص انتگرال نامعین

چگونه یک انتگرال نامعین را حل کنیم؟ در اینجا به ویژگی های انتگرال نامعین می پردازیم که در حل مثال ها مفید خواهد بود.

• مشتق انتگرال برابر با انتگرال است:

• ثابت را می توان از زیر علامت انتگرال خارج کرد:

• انتگرال مجموع برابر است با مجموع انتگرال ها. این در مورد تفاوت نیز صادق است:

ویژگی های یک انتگرال معین

• خطی بودن:

• علامت انتگرال در صورت تعویض حدود یکپارچه تغییر می کند:

• در هرنکته ها آ, بو با:

قبلاً فهمیدیم که انتگرال معین حد یک جمع است. اما چگونه می توان یک مقدار خاص را هنگام حل یک مثال به دست آورد؟ برای این کار فرمول نیوتن-لایب نیتس وجود دارد:

نمونه هایی از حل انتگرال ها

در زیر انتگرال نامعین و مثال هایی را با حل در نظر خواهیم گرفت. ما به شما پیشنهاد می کنیم پیچیدگی های راه حل را خودتان بفهمید و اگر چیزی نامشخص است، سوالات خود را در نظرات بپرسید.

برای تقویت مطالب، ویدئویی در مورد چگونگی حل انتگرال ها در عمل تماشا کنید. اگر فوراً انتگرال داده نشد، ناامید نشوید. با یک سرویس حرفه ای برای دانش آموزان تماس بگیرید، و هر انتگرال سه گانه یا منحنی روی یک سطح بسته در توان شما خواهد بود.

این مقاله به طور مفصل در مورد ویژگی های اصلی انتگرال معین صحبت می کند. آنها با استفاده از مفهوم انتگرال ریمان و داربوکس ثابت می شوند. محاسبه یک انتگرال معین به لطف 5 ویژگی انجام می شود. بقیه برای ارزیابی عبارات مختلف استفاده می شود.

قبل از اینکه به ویژگی های اصلی انتگرال معین برویم، باید مطمئن شویم که a از b تجاوز نمی کند.

ویژگی های اساسی انتگرال معین

تابع y = f (x) تعریف شده در x = a شبیه برابری منصفانه ∫ a a f (x) d x = 0 است.

شواهد 1

از اینجا می بینیم که مقدار انتگرال با حدهای منطبق برابر با صفر است. این نتیجه انتگرال ریمان است، زیرا هر مجموع انتگرال σ برای هر پارتیشن در بازه [a; a ] و هر انتخابی از نقاط ζ i برابر با صفر است، زیرا x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . ، n، یعنی متوجه می شویم که حد توابع انتگرال صفر است.

تعریف 2

برای تابعی که در بازه [a; b ]، شرط ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x برآورده می شود.

شواهد 2

به عبارت دیگر، اگر حد بالا و پایین ادغام را عوض کنید، مقدار انتگرال به مقدار مخالف تغییر می کند. این ویژگی از انتگرال ریمان گرفته شده است. با این حال، شماره گذاری پارتیشن قطعه از نقطه x = b شروع می شود.

تعریف 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x برای توابع قابل انتگرال گیری از نوع y = f (x) و y = g (x) تعریف شده در بازه [ a ; ب ] .

شواهد 3

مجموع انتگرال تابع y = f (x) ± g (x) را برای تقسیم به قطعات با انتخاب معینی از نقاط ζ i بنویسید: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

جایی که σ f و σ g مجموع انتگرال توابع y = f (x) و y = g (x) برای پارتیشن بندی قطعه هستند. پس از عبور از حد در λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 بدست می آوریم که lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

از تعریف ریمان، این عبارت معادل است.

تعریف 4

گسترش عامل ثابت به فراتر از علامت انتگرال معین. تابع یکپارچه از بازه [a; b ] با مقدار دلخواه k دارای نابرابری منصفانه ای به شکل ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x است.

اثبات 4

اثبات خاصیت انتگرال قطعی مشابه مورد قبلی است:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

تعریف 5

اگر تابعی از شکل y = f (x) در بازه x با ∈ x، b ∈ x قابل انتگرال باشد، به دست می آوریم که ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d ایکس.

شواهد 5

این ویژگی برای c ∈ a معتبر در نظر گرفته می شود. b، برای c ≤ a و c ≥ b. اثبات مشابه خواص قبلی است.

تعریف 6

هنگامی که یک تابع می تواند از بخش [a; b ]، پس این برای هر بخش داخلی c امکان پذیر است. d ∈ a ; ب

اثبات 6

اثبات بر اساس ویژگی Darboux است: اگر نقاط به یک پارتیشن موجود از یک بخش اضافه شود، مجموع Darboux پایین کاهش نمی‌یابد و مقدار بالایی افزایش نمی‌یابد.

تعریف 7

وقتی یک تابع در [a; b ] از f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 برای هر مقدار x ∈ a ; b، سپس دریافت می کنیم که ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

این ویژگی را می توان با استفاده از تعریف انتگرال ریمان اثبات کرد: هر جمع انتگرالی برای هر انتخابی از نقاط تقسیم قطعه و نقاط ζ i با این شرط که f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 غیر منفی باشد. .

شواهد 7

اگر توابع y = f (x) و y = g (x) در بازه [a ; b ]، سپس نابرابری های زیر معتبر در نظر گرفته می شوند:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; ب

با تشکر از بیانیه، ما می دانیم که ادغام مجاز است. این نتیجه در اثبات خواص دیگر استفاده خواهد شد.

تعریف 8

برای یک تابع قابل انتگرال y = f (x) از بازه [a; b ] یک نابرابری نسبتاً به شکل ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x داریم.

اثبات 8

داریم که - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . از خاصیت قبلی دریافتیم که نابرابری را می توان ترم به ترم ادغام کرد و با نابرابری به شکل - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x مطابقت دارد. این نابرابری مضاعف را می توان به شکل دیگری نوشت: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

تعریف 9

وقتی توابع y = f (x) و y = g (x) از بازه [a ; b ] برای g (x) ≥ 0 برای هر x ∈ a ; b، نابرابری از شکل m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x، که در آن m = m i n x ∈ a ; b f (x) و M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

شواهد 9

اثبات به روشی مشابه انجام می شود. M و m بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع y = f (x) تعریف شده از بخش [a; b ]، سپس m ≤ f (x) ≤ M . لازم است نابرابری مضاعف را در تابع y = g (x) ضرب کنیم، که مقدار را به دست می دهد. نابرابری مضاعفاز شکل m · g (x) ≤ f (x) · g (x) ≤ M · g (x) . لازم است آن را در بازه [a; b ]، سپس عبارتی را می گیریم که باید اثبات شود.

نتیجه: برای g (x) = 1، نابرابری شکل m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) را به خود می گیرد.

فرمول میانگین اول

برای y = f (x) قابل ادغام در بازه [a; b ] با m = m i n x ∈ a ; b f (x) و M = m a x x ∈ a ; b f (x) یک عدد μ ∈ m وجود دارد. M که با ∫ a b f (x) d x = μ · b - a مطابقت دارد.

نتیجه: وقتی تابع y = f (x) از بازه [ a ; b ]، سپس یک عدد c ∈ a وجود دارد. b، که برابری ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a را برآورده می کند.

فرمول میانگین اول به صورت تعمیم یافته

وقتی توابع y = f (x) و y = g (x) از بازه [a ; b ] با m = m i n x ∈ a ; b f (x) و M = m a x x ∈ a ; b f (x) و g (x) > 0 برای هر مقدار x ∈ a ; ب از اینجا داریم که یک عدد μ ∈ m وجود دارد. M که برابری ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x را برآورده می کند.

فرمول میانگین دوم

وقتی تابع y = f (x) از بازه [a ; b ]، و y = g (x) یکنواخت است، سپس عددی وجود دارد که c ∈ a; b ، که در آن برابری منصفانه ای از شکل ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

در حساب دیفرانسیل مشکل حل می شود: تحت این تابع ƒ(x) مشتق آن را پیدا کنید(یا دیفرانسیل). حساب انتگرال مسئله معکوس را حل می کند: تابع F(x) را پیدا کنید، با دانستن مشتق آن F "(x)=ƒ(x) (یا دیفرانسیل). تابع جستجو شده F(x) ضد مشتق تابع ƒ(x) نامیده می شود. ).

تابع F(x) فراخوانی می شود ضد مشتقتابع ƒ(x) در بازه (a; b)، اگر برای هر x є (a; b) برابری

F "(x)=ƒ(x) (یا dF(x)=ƒ(x)dx).

مثلا، ضد مشتق تابع y = x 2، x є R، تابع است، زیرا

بدیهی است که هر تابعی نیز ضد مشتق خواهد بود

که در آن C یک ثابت است، زیرا

قضیه 29. 1. اگر تابع F(x) پاد مشتق تابع ƒ(x) روی (a;b) باشد، مجموعه تمام پاد مشتق ها برای ƒ(x) با فرمول F(x)+ به دست می آید. C، که در آن C یک عدد ثابت است.

▲ تابع F(x)+C پاد مشتق ƒ(x) است.

در واقع، (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).

فرض کنید Ф(х) پاد مشتق دیگری از تابع ƒ(x)، متفاوت از F(x) باشد، یعنی Ф "(x)=ƒ(х). سپس برای هر x є (а; b) داریم.

و این بدان معنی است (به نتیجه 25.1 مراجعه کنید) که

که در آن C یک عدد ثابت است. بنابراین، Ф(x)=F(x)+С.▼

مجموعه تمام توابع ضد مشتق F(x)+С برای ƒ(x) نامیده می شود انتگرال نامعین تابع ƒ(x)و با نماد ∫ ƒ(x) dx نشان داده می شود.

بنابراین، طبق تعریف

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

در اینجا ƒ(x) فراخوانی می شود تابع انتگرال، ƒ(x)dx — بیان یکپارچه،ایکس - متغیر ادغام, ∫ -علامت انتگرال نامعین.

عملیات یافتن انتگرال نامعین یک تابع را یکپارچه سازی این تابع می گویند.

از نظر هندسی، انتگرال نامعین خانواده ای از منحنی های "موازی" y=F(x)+C است (هر مقدار عددی C مربوط به منحنی خاصی از خانواده است) (شکل 166 را ببینید). نمودار هر پاد مشتق (منحنی) نامیده می شود منحنی انتگرال.

آیا هر تابعی یک انتگرال نامعین دارد؟

قضیه ای وجود دارد که می گوید: «هر تابع پیوسته روی (a;b) یک پاد مشتق در این بازه دارد» و در نتیجه یک انتگرال نامعین.

اجازه دهید تعدادی از خصوصیات انتگرال نامعین را که از تعریف آن ناشی می شود، یادداشت کنیم.

1. دیفرانسیل انتگرال نامعین برابر با انتگرال و مشتق انتگرال نامعین برابر با انتگرال است:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

در واقع، d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F "(x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

به لطف این ویژگی، صحت ادغام با تمایز بررسی می شود. مثلاً برابری

∫(3x 2 + 4) dx=х ز +4х+С

درست است، زیرا (x3 +4x+C)"=3x2 +4.

2. انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع معین برابر است با مجموع این تابع و یک ثابت دلخواه:

∫dF(x)= F(x)+C.

واقعا،

3. عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد:

α ≠ 0 یک ثابت است.

واقعا،

(C 1 / a = C را قرار دهید.)

4. انتگرال نامعین مجموع جبری تعداد محدودی از توابع پیوسته برابر است با مجموع جبری انتگرال های مجموع توابع:

اجازه دهید F"(x)=ƒ(x) و G"(x)=g(x). سپس

که در آن C 1 ± C 2 = C.

5. (عدم تغییر فرمول یکپارچه سازی).

اگر ، که در آن u=φ(x) یک تابع دلخواه با مشتق پیوسته است.

▲ اجازه دهید x یک متغیر مستقل باشد، ƒ(x) - عملکرد پیوستهو F(x) آنتی ژن آن است. سپس

اجازه دهید u=φ(x) را تنظیم کنیم، جایی که φ(x) تابعی است که به طور پیوسته قابل تمایز است. تابع مختلط F(u)=F(φ(x)) را در نظر بگیرید. با توجه به عدم تغییر شکل اولین دیفرانسیل تابع (نگاه کنید به ص 160)، ما داریم

از اینجا ▼

بنابراین، فرمول انتگرال نامعین صرف نظر از اینکه متغیر انتگرال، متغیر مستقل باشد یا هر تابعی از آن که مشتق پیوسته دارد، معتبر باقی می ماند.

بنابراین، از فرمول با جایگزینی x با u (u=φ(x)) دریافت می کنیم

به خصوص،

مثال 29.1.انتگرال را پیدا کنید

که در آن C=C1+C2+C3+C4.

مثال 29.2.راه حل انتگرال را پیدا کنید:

• 29.3. جدول انتگرال های نامعین اساسی

با بهره گیری از این واقعیت که یکپارچگی عمل معکوس تمایز است، می توان با معکوس کردن فرمول های مربوط به حساب دیفرانسیل (جدول دیفرانسیل) و با استفاده از ویژگی های انتگرال نامعین، جدولی از انتگرال های پایه به دست آورد.

مثلا، زیرا

d(sin u)=cos u . دو

هنگام در نظر گرفتن روشهای اساسی ادغام، استخراج تعدادی از فرمولها در جدول ارائه خواهد شد.

انتگرال های جدول زیر را جدولی می نامند. آنها را باید از قلب شناخت. در حساب انتگرال قوانین ساده و جهانی برای یافتن پاد مشتق توابع ابتدایی، مانند حساب دیفرانسیل وجود ندارد. روش‌های یافتن آنتی‌مشتق‌ها (یعنی ادغام یک تابع) به تکنیک‌هایی کاهش می‌یابد که یک انتگرال (جستجو) را به یک جدولی می‌آورند. بنابراین لازم است انتگرال های جدول را بشناسیم و بتوانیم آنها را تشخیص دهیم.

توجه داشته باشید که در جدول انتگرال های پایه، متغیر انتگرال می تواند هم متغیر مستقل و هم تابعی از متغیر مستقل را نشان دهد (با توجه به ویژگی عدم تغییر فرمول انتگرال گیری).

صحت فرمول های زیر را می توان با گرفتن دیفرانسیل سمت راست که برابر با انتگرال سمت چپ فرمول است، تأیید کرد.

اجازه دهید برای مثال اعتبار فرمول 2 را ثابت کنیم. تابع 1/u برای همه مقادیر و غیر از صفر تعریف شده و پیوسته است.

اگر u > 0، ln|u|=lnu، آنگاه از همین رو

اگر شما<0, то ln|u|=ln(-u). Ноبه معنای

بنابراین، فرمول 2 صحیح است. به طور مشابه، بیایید فرمول 15 را بررسی کنیم:

جدول انتگرال های اصلی

دوستان! شما را به بحث دعوت می کنیم. اگر نظر خود را دارید در نظرات برای ما بنویسید.