ادغام - MT1205: تجزیه و تحلیل ریاضی برای اقتصاددانان - انفورماتیک تجاری. ادغام برخی کسرها روش ها و تکنیک های حل قواعد ادغام کسری

کسر نامیده می شود درست است، اگر بالاترین درجه صورت از بالاترین درجه مخرج کمتر باشد. انتگرال یک کسر گویا به شکل زیر است:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

فرمول ادغام کسرهای گویا به ریشه های چند جمله ای در مخرج بستگی دارد. اگر چند جمله‌ای $ax^2+bx+c $ دارای:

1. فقط ریشه های پیچیده، سپس باید یک مربع کامل از آن انتخاب کنید: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^2 \pm a^2) $$
2. ریشه های واقعی مختلف $ x_1 $ و $ x_2 $، سپس باید انتگرال را گسترش دهید و ضرایب نامشخص $ A $ و $ B $ را پیدا کنید: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. یک ریشه چندگانه $ x_1 $، سپس انتگرال را گسترش می دهیم و ضرایب نامشخص $ A $ و $ B $ را برای فرمول زیر پیدا می کنیم: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

اگر کسر باشد اشتباه، یعنی بالاترین درجه در صورت بزرگتر یا مساوی با بالاترین درجه مخرج است، سپس ابتدا باید آن را به کاهش داد. درست استبا تقسیم چند جمله ای از صورت بر چند جمله ای از مخرج تشکیل دهید. در در این موردفرمول یکپارچه سازی کسر گویا به شکل زیر است:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

نمونه هایی از راه حل ها

مطالب ارائه شده در این مبحث بر اساس اطلاعات ارائه شده در مبحث "کسرهای گویا. تجزیه کسرهای گویا به کسرهای ابتدایی (ساده)" است. اکیداً توصیه می‌کنم قبل از رفتن به مطالعه، حداقل این موضوع را مرور کنید. از این مواد. علاوه بر این، به جدولی از انتگرال های نامعین نیاز خواهیم داشت.

بگذارید چند اصطلاح را به شما یادآوری کنم. آنها در موضوع مربوطه مورد بحث قرار گرفتند، بنابراین در اینجا به یک فرمول مختصر محدود می شوم.

نسبت دو چند جمله ای $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ را تابع گویا یا کسر گویا می نامند. کسر گویا نامیده می شود درست است، اگر $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется اشتباه.

کسرهای گویا ابتدایی (ساده) کسرهای گویا از چهار نوع هستند:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

نکته (مطلوب برای درک کاملتر متن): show\hide

چرا شرط $p^2-4q مورد نیاز است؟< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

به عنوان مثال، برای عبارت $x^2+5x+10$ دریافت می کنیم: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. از آنجایی که $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

ضمناً برای این بررسی اصلاً لازم نیست که ضریب $x^2$ برابر با 1 باشد. مثلاً برای $5x^2+7x-3=0$ دریافت می کنیم: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. از $D > 0$، عبارت $5x^2+7x-3$ قابل فاکتورسازی است.

نمونه‌هایی از کسرهای گویا (مناسب و نامناسب)، و همچنین نمونه‌هایی از تجزیه کسر گویا به کسرهای ابتدایی را می‌توان یافت. در اینجا ما فقط به سؤالات ادغام آنها علاقه مند خواهیم شد. بیایید با ادغام کسرهای ابتدایی شروع کنیم. بنابراین، ادغام هر یک از چهار نوع کسر ابتدایی بالا با استفاده از فرمول های زیر آسان است. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که هنگام ادغام کسری از انواع (2) و (4)، $n=2،3،4،\ldots$ فرض می شود. فرمول های (3) و (4) مستلزم تحقق شرط $p^2-4q هستند< 0$.

\ابتدا(معادله) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \پایان(معادله) \شروع(معادله) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \پایان(معادله) \شروع(معادله) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(معادله)

برای $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ جایگزینی $t=x+\frac(p)(2)$ انجام می‌شود، پس از آن بازه به دست آمده به دو تقسیم شده است. اولی با وارد کردن زیر علامت دیفرانسیل محاسبه می شود و دومی به شکل $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ خواهد بود. این انتگرال با استفاده از رابطه عود گرفته شده است

\begin(معادله) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2) I_n،\; n\in N\end (معادله)

محاسبه چنین انتگرالی در مثال شماره 7 مورد بحث قرار گرفته است (به بخش سوم مراجعه کنید).

طرحی برای محاسبه انتگرال توابع گویا (کسری گویا):

1. اگر انتگرال ابتدایی است، فرمول های (1)-(4) را اعمال کنید.
2. اگر انتگرال ابتدایی نیست، آن را به صورت مجموع کسرهای ابتدایی نشان دهید و سپس با استفاده از فرمول های (1)-(4) ادغام کنید.

الگوریتم فوق برای ادغام کسرهای گویا یک مزیت غیرقابل انکار دارد - جهانی است. آن ها با استفاده از این الگوریتم می توانید ادغام کنید هرکسر گویا به همین دلیل است که تقریباً تمام تغییرات متغیرها در یک انتگرال نامعین (اولر، چبیشف، جایگزینی مثلثاتی جهانی) به گونه ای انجام می شود که پس از این تغییر یک کسری گویا در زیر بازه به دست می آوریم. و سپس الگوریتم را روی آن اعمال کنید. پس از یادداشتی کوچک، کاربرد مستقیم این الگوریتم را با استفاده از مثال ها تحلیل خواهیم کرد.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

در اصل، این انتگرال بدون کاربرد مکانیکی فرمول به راحتی بدست می آید. اگر ثابت $7$ را از علامت انتگرال خارج کنیم و در نظر بگیریم که $dx=d(x+9)$، به دست می آید:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

برای اطلاعات دقیق، توصیه می کنم به موضوع نگاه کنید. به طور مفصل توضیح می دهد که چگونه چنین انتگرال هایی حل می شوند. به هر حال، فرمول با همان تبدیل هایی که در این پاراگراف هنگام حل آن به صورت "دستی" اعمال شد، ثابت می شود.

2) باز هم دو راه وجود دارد: از فرمول آماده استفاده کنید یا بدون آن انجام دهید. اگر فرمول را اعمال کنید، باید در نظر داشته باشید که ضریب مقابل $x$ (شماره 4) باید حذف شود. برای انجام این کار، اجازه دهید به سادگی این چهار را از پرانتز خارج کنیم:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\راست)\راست)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

اکنون زمان اعمال فرمول است:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \راست)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \راست )^7)+C. $$

شما می توانید بدون استفاده از فرمول انجام دهید. و حتی بدون خارج کردن 4 دلار ثابت از پرانتز. اگر $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ را در نظر بگیریم، به دست می‌آییم:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

توضیحات مفصل برای یافتن چنین انتگرالهایی در مبحث "ادغام با جایگزینی (جایگزینی تحت علامت دیفرانسیل)" ارائه شده است.

3) ما باید کسر $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ را ادغام کنیم. این کسر دارای ساختار $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ است که در آن $M=4$، $N=7$، $p=10$، $q=34$. با این حال، برای اطمینان از اینکه این واقعاً یک کسر ابتدایی از نوع سوم است، باید بررسی کنید که شرط p^2-4q $ برآورده شده است.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

بیایید همان مثال را حل کنیم، اما بدون استفاده از فرمول آماده. بیایید سعی کنیم مشتق مخرج را در صورت جدا کنیم. این به چه معناست؟ می دانیم که $(x^2+10x+34)"=2x+10$. این عبارت $2x+10$ است که باید آن را در صورتگر جدا کنیم. اما بیایید تبدیل زیر را به صورتگر اعمال کنیم.

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

اکنون عبارت مورد نیاز $2x+10$ در صورت حساب ظاهر می شود. و انتگرال ما را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

بیایید انتگرال را به دو قسمت تقسیم کنیم. خوب، و بر این اساس، خود انتگرال نیز "دوشاخه" است:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \راست)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

بیایید ابتدا در مورد انتگرال اول صحبت کنیم، i.e. حدود $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. از آنجایی که $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$، پس صورت‌گر انتگرال حاوی دیفرانسیل مخرج است. به طور خلاصه، در عوض از عبارت $( 2x+10)dx$ می نویسیم $d(x^2+10x+34)$.

حال اجازه دهید چند کلمه در مورد انتگرال دوم بگوییم. بیایید یک مربع کامل در مخرج انتخاب کنیم: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. علاوه بر این، $dx=d(x+5)$ را نیز در نظر می گیریم. اکنون مجموع انتگرال هایی که قبلاً به دست آوردیم را می توان به شکل کمی متفاوت بازنویسی کرد:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

اگر در انتگرال اول، $u=x^2+10x+34$ را جایگزین کنیم، به شکل $\int\frac(du)(u)$ می‌آید و با استفاده از فرمول دوم به سادگی می‌توان آن را به دست آورد. . در مورد انتگرال دوم، تغییر $u=x+5$ برای آن امکان پذیر است، پس از آن به شکل $\int\frac(du)(u^2+9)$ خواهد بود. این خالص ترین فرمول یازدهم از جدول انتگرال های نامعین است. بنابراین، با بازگشت به مجموع انتگرال ها، داریم:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

ما همان پاسخی را دریافت کردیم که هنگام استفاده از فرمول، که به طور دقیق، تعجب آور نیست. به طور کلی، فرمول با همان روش هایی که برای یافتن این انتگرال استفاده کردیم ثابت می شود. من معتقدم که خواننده ی توجه ممکن است در اینجا یک سوال داشته باشد، بنابراین آن را فرموله می کنم:

سوال شماره 1

اگر فرمول دوم را از جدول انتگرال های نامشخص به انتگرال $\int \frac(d(x^2+10x+34)) (x^2+10x+34)$ اعمال کنیم، نتیجه زیر را بدست می آوریم:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

چرا هیچ ماژولی در راه حل وجود نداشت؟

پاسخ به سوال شماره 1

سوال کاملا طبیعی است. ماژول تنها به این دلیل وجود نداشت که عبارت $x^2+10x+34$ برای هر $x\in R$ بزرگتر از صفر است. نشان دادن این امر از چند جهت بسیار آسان است. برای مثال، از آنجایی که $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ و $(x+5)^2 ≥ 0$، سپس $(x+5)^2+9 > 0$ . شما می توانید متفاوت فکر کنید، بدون استفاده از انتخاب یک مربع کامل. از 10^2-4$\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ برای هر $x\in R$ (اگر این زنجیره منطقی تعجب آور است، به شما توصیه می کنم به روش گرافیکی برای حل نابرابری های درجه دوم نگاه کنید). در هر صورت، از $x^2+10x+34 > 0$، سپس $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$، یعنی. به جای ماژول، می توانید از براکت های معمولی استفاده کنید.

تمام نکات مثال شماره 1 حل شد، فقط باید پاسخ را یادداشت کرد.

پاسخ دهید:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + C$.

مثال شماره 2

انتگرال $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ را بیابید.

در نگاه اول، کسر انتگرال $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ بسیار شبیه یک کسر ابتدایی از نوع سوم است، یعنی. توسط $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. به نظر می رسد که تنها تفاوت ضریب 3$ در مقابل $x^2$ است، اما برداشتن ضریب (آن را خارج از پرانتز) طولی نمی کشد. با این حال، این شباهت آشکار است. برای کسری $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ شرط $p^2-4q اجباری است< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

ضریب ما قبل از $x^2$ برابر با یک نیست، بنابراین شرط $p^2-4q را بررسی کنید< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$، بنابراین عبارت $3x^2-5x-2$ را می توان فاکتور گرفت. این بدان معناست که کسر $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ یک کسر عنصری از نوع سوم نیست و $\int\frac(7x+12)(3x^2- را اعمال کنید. ) به فرمول انتگرال 5x-2)dx$ امکان پذیر نیست.

خوب، اگر کسر گویا یک کسری ابتدایی نباشد، باید به صورت مجموع کسرهای ابتدایی نمایش داده شود و سپس ادغام شود. به طور خلاصه، از مسیر استفاده کنید. نحوه تجزیه کسری گویا به کسری ابتدایی به تفصیل نوشته شده است. بیایید با فاکتورگیری مخرج شروع کنیم:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(تراز شده) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(تراز شده)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

ما کسری فرعی را به این شکل ارائه می کنیم:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\راست)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

حالا بیایید کسری $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ را به موارد ابتدایی تجزیه کنیم:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\راست))(\چپ(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\راست). $$

برای یافتن ضرایب $A$ و $B$ دو راه استاندارد وجود دارد: روش ضرایب نامشخصو روش جایگزینی مقدار جزئی. بیایید روش جایگزینی مقدار جزئی را اعمال کنیم و $x=2$ و سپس $x=-\frac(1)(3)$ را جایگزین کنیم:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\راست)+B\چپ (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

از آنجایی که ضرایب پیدا شده اند، تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن بسط نهایی است:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

در اصل، شما می توانید این ورودی را ترک کنید، اما من یک گزینه دقیق تر را دوست دارم:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

با بازگشت به انتگرال اصلی، بسط حاصل را در آن جایگزین می کنیم. سپس انتگرال را به دو قسمت تقسیم می کنیم و فرمول را برای هر کدام اعمال می کنیم. ترجیح می دهم بلافاصله ثابت ها را خارج از علامت انتگرال قرار دهم:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\راست)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\راست)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

پاسخ دهید: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

مثال شماره 3

انتگرال $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ را بیابید.

ما باید کسر $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ را ادغام کنیم. صورت شامل چند جمله ای درجه دوم و مخرج شامل چند جمله ای درجه سوم است. از آنجایی که درجه چند جمله ای در صورت از درجه چند جمله ای در مخرج کمتر است، یعنی. 2 دلار< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

تنها کاری که باید انجام دهیم این است که انتگرال داده شده را به سه تقسیم کرده و فرمول را برای هر کدام اعمال کنیم. ترجیح می دهم بلافاصله ثابت ها را خارج از علامت انتگرال قرار دهم:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

پاسخ دهید: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

ادامه تحلیل نمونه هایی از این مبحث در قسمت دوم قرار دارد.

این را به شما یادآوری کنیم کسری-عقلانیتوابعی به شکل $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)) نامیده می شوند، $$ در حالت کلی نسبت دو چند جمله ای %%P_n(x)%% و % است. %Q_m(x)% %.

اگر %%m > n \geq 0%%، آنگاه کسر گویا فراخوانی می شود درست است، در غیر این صورت - نادرست است. با استفاده از قانون تقسیم چندجمله‌ای، یک کسر گویا نامناسب را می‌توان به صورت مجموع چند جمله‌ای %%P_(n - m)%% از درجه %%n - m%% و مقداری کسر مناسب نشان داد. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x))، $$ که در آن درجه %%l%% چند جمله‌ای %%P_l(x)%% کمتر از درجه %%n%% چند جمله‌ای %%Q_n(x)%% است.

بنابراین، انتگرال نامعینیک تابع گویا را می توان به صورت مجموع انتگرال های نامعین یک چند جمله ای و یک کسر گویا مناسب نشان داد.

انتگرال از کسرهای گویا ساده

در میان کسرهای گویا، چهار نوع وجود دارد که به عنوان دسته بندی می شوند کسرهای گویا ساده:

1. %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%
2. %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%
3. %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%
4. %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%

که در آن %%k > 1%% یک عدد صحیح است و %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. معادلات درجه دومریشه واقعی ندارند

محاسبه انتگرال نامعین کسرهای دو نوع اول

محاسبه انتگرال نامعین کسرهای دو نوع اول مشکلی ایجاد نمی کند: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac (\mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C، \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(آرایه) $$

محاسبه انتگرال نامعین کسرهای نوع سوم

ابتدا نوع سوم کسر را با برجسته کردن مربع کامل در مخرج تبدیل می کنیم: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2 )^2 + q - p^2/4)، $$ از %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0٪٪، که ما به عنوان %%a^2% نشان می دهیم. همچنین به جای %%t = x + p/2، \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%، مخرج را تبدیل می کنیم و انتگرال کسر نوع سوم را به شکل $$ \begin(آرایه می نویسیم. )(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d)t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(آرایه) $$

با استفاده از خطی بودن انتگرال نامعین، آخرین انتگرال را به صورت مجموع دو نشان می دهیم و در اولی آنها %%t%% را زیر علامت دیفرانسیل معرفی می کنیم: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (در + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\راست))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(آرایه) $$

با بازگشت به متغیر اصلی %%x%%، در نتیجه، برای کسری از نوع سوم، $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x به دست می‌آوریم. = \frac(A)(2) \ln \left| x^2 + px + q\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C، $$ که %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% ٪.

محاسبه انتگرال نوع 4 دشوار است و بنابراین در این دوره پوشش داده نمی شود.

قبل از شروع ادغام کسرهای ساده برای یافتن انتگرال نامعین یک تابع منطقی کسری، توصیه می‌شود بخش «تجزیه کسرها به کسرهای ساده» را بررسی کنید.

مثال 1

بیایید انتگرال نامعین ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x را پیدا کنیم.

راه حل

اجازه دهید کل قسمت را با تقسیم چند جمله ای بر چند جمله ای با یک ستون انتخاب کنیم، با در نظر گرفتن این واقعیت که درجه صورت انتگرال برابر با درجه مخرج است:

بنابراین 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x. ما کسر گویا صحیح را به دست آورده ایم - 2 x + 3 x 3 + x، که اکنون آن را به کسرهای ساده تجزیه می کنیم - 2 x + 3 x 3 + x = 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. از این رو،

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

ما انتگرال ساده ترین کسر نوع سوم را به دست آورده ایم. با قرار دادن آن در زیر علامت دیفرانسیل می توانید آن را بگیرید.

از آنجایی که d x 2 + 1 = 2 x d x، پس 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1. به همین دلیل است
🔻 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 l x n + 1 + 2 a r c t g x + C 1

از این رو،
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C ، جایی که C = - C 1

اجازه دهید روش‌هایی را برای ادغام کسرهای ساده هر یک از چهار نوع توضیح دهیم.

ادغام کسرهای ساده از نوع اول A x - a

برای حل این مشکل از روش ادغام مستقیم استفاده می کنیم:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

مثال 2

مجموعه پاد مشتق های تابع y = 3 2 x - 1 را بیابید.

راه حل

با استفاده از قانون ادغام، خواص پاد مشتق و جدول ضد مشتقات، انتگرال نامعین ∫ 3 d x 2 x - 1 را پیدا می کنیم: ∫ f k · x + b d x = 1 k · F k · x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

پاسخ: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

ادغام کسرهای ساده از نوع دوم A x - a n

روش ادغام مستقیم در اینجا نیز قابل استفاده است: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

مثال 3

یافتن انتگرال نامعین ∫ d x 2 x - 3 7 ضروری است.

راه حل

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 · - 6 · x - 3 2 6 + C = = 1 2 · - 6 · 2 6 · x - 3 2 6 + C = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

پاسخ:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

ادغام ساده ترین کسرهای نوع سوم M x + N x 2 + p x + q، D = p 2 - 4 q< 0

اولین مرحله ارائه انتگرال نامعین ∫ M x + N x 2 + p x + q به صورت مجموع است:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

برای گرفتن انتگرال اول از روش جمع کردن علامت دیفرانسیل استفاده می کنیم:

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x d x = M 2 d x 2 + p x + p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

به همین دلیل،
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

ما انتگرال ∫ d x x 2 + p x + q را دریافت کردیم. بیایید مخرج آن را تبدیل کنیم:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

از این رو،

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 · 2 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

فرمول ادغام کسرهای ساده از نوع سوم به شکل زیر است:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

مثال 4

یافتن انتگرال نامعین ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x ضروری است.

راه حل

بیایید فرمول را اعمال کنیم:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2، N = 1، p = 2، q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

راه حل دوم به این صورت است:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = = مقدار قابل تبدیل = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

پاسخ: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

ادغام ساده ترین کسرهای نوع چهارم M x + N (x 2 + p x + q) n، D = p 2 - 4 q< 0

اول از همه، ما تفریق علامت دیفرانسیل را انجام می دهیم:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q) ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ‎d x x 2 + p x + q) n

سپس یک انتگرالی از شکل J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n را با استفاده از فرمول های بازگشتی پیدا می کنیم. اطلاعات مربوط به فرمول‌های تکراری را می‌توانید در مبحث «ادغام با استفاده از فرمول‌های تکراری» پیدا کنید.

برای حل مشکل ما، یک فرمول تکراری به شکل J n = 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q مناسب است - p 2 · J n - 1 .

مثال 5

یافتن انتگرال نامعین ∫ d x x 5 x 2 - 1 ضروری است.

راه حل

∫ d x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

برای این نوع انتگرال از روش جایگزینی استفاده خواهیم کرد. بیایید یک متغیر جدید x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x معرفی کنیم

دریافت می کنیم:

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3

به یافتن انتگرال کسری از نوع چهارم رسیدیم. در مورد ما ضرایب داریم M = 0، p = 0، q = 1، N = 1و n = 3. ما فرمول تکراری را اعمال می کنیم:

J 3 = ∫ d z (z 2 + 1) 3 = 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 · 1 - 0 · ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) · (4 · 1 - 0) · (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) +C

پس از تعویض معکوس z = x 2 - 1 نتیجه را می گیریم:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

پاسخ:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

همانطور که قبلاً اشاره کردم، در حساب انتگرال هیچ فرمول مناسبی برای ادغام کسری وجود ندارد. و بنابراین، روند غم انگیزی وجود دارد: هرچه کسری پیچیده تر باشد، یافتن انتگرال آن دشوارتر است. در این زمینه باید به ترفندهای مختلفی متوسل شوید که اکنون به شما خواهم گفت. خوانندگان آماده بلافاصله می توانند از مزایای آن استفاده کنند فهرست مطالب:

• روش قرار دادن علامت دیفرانسیل برای کسرهای ساده

روش تبدیل شمارش مصنوعی

مثال 1

به هر حال، انتگرال در نظر گرفته شده را نیز می توان با تغییر متد متغیر، نشان داد، حل کرد، اما نوشتن راه حل بسیار طولانی تر خواهد بود.

مثال 2

انتگرال نامعین را پیدا کنید. بررسی را انجام دهید.

این یک مثال برای تصمیم مستقل. لازم به ذکر است که روش جایگزینی متغیر دیگر در اینجا کار نخواهد کرد.

توجه، مهم! مثال های شماره 1، 2 معمولی هستند و اغلب رخ می دهند. به طور خاص، چنین انتگرال هایی اغلب در حین حل انتگرال های دیگر، به ویژه هنگام ادغام توابع غیر منطقی (ریشه ها) بوجود می آیند.

تکنیک در نظر گرفته شده نیز در مورد کار می کند اگر بالاترین درجه صورت از بالاترین درجه مخرج بزرگتر باشد.

مثال 3

انتگرال نامعین را پیدا کنید. بررسی را انجام دهید.

ما شروع به انتخاب شمارنده می کنیم.

الگوریتم انتخاب کسر چیزی شبیه به این است:

1) در صورتگر باید سازماندهی کنم، اما وجود دارد. چه باید کرد؟ داخل پرانتز می گذارم و ضرب می کنم در: .

2) حالا سعی می کنم این براکت ها را باز کنم، چه اتفاقی می افتد؟ . هوم... این بهتر است، اما در ابتدا دو عدد در عدد وجود ندارد. چه باید کرد؟ باید ضرب کنید در:

3) دوباره پرانتزها را باز می کنم: . و این اولین موفقیت است! درست معلوم شد! اما مشکل این است که یک اصطلاح اضافی ظاهر شده است. چه باید کرد؟ برای جلوگیری از تغییر عبارت، باید همان را به ساختار خود اضافه کنم:
. زندگی راحت تر شده است. آیا امکان سازماندهی مجدد در صورتگر وجود دارد؟

4) امکان پذیر است. بیایید سعی کنیم: . پرانتز ترم دوم را باز کنید:
. متاسفم، اما در مرحله قبل من واقعاً نداشتم، نه. چه باید کرد؟ شما باید جمله دوم را ضرب کنید:

5) دوباره برای بررسی، پرانتزها را در ترم دوم باز می کنم:
. حالا طبیعی است: برگرفته از ساخت نهایی نقطه 3! اما دوباره یک "اما" کوچک وجود دارد، یک اصطلاح اضافی ظاهر شده است، به این معنی که باید به عبارت خود اضافه کنم:

اگر همه چیز به درستی انجام شود، وقتی همه براکت ها را باز می کنیم باید شماره اصلی انتگرال را بدست آوریم. بررسی می کنیم:
هود.

بدین ترتیب:

آماده است. در ترم آخر از روش قرار دادن تابع تحت دیفرانسیل استفاده کردم.

اگر مشتق پاسخ را پیدا کنیم و عبارت را به مخرج مشترک تقلیل دهیم، دقیقاً تابع انتگرال اولیه را به دست خواهیم آورد. روش در نظر گرفته شده برای تجزیه به یک مجموع چیزی نیست جز عمل معکوس آوردن یک عبارت به یک مخرج مشترک.

الگوریتم انتخاب شماره‌گذار در چنین مثال‌هایی بهتر است به صورت پیش‌نویس انجام شود. با برخی مهارت ها از نظر ذهنی کار خواهد کرد. من یک مورد رکوردشکنی را به یاد می آورم که در حال اجرای یک انتخاب برای توان یازدهم بودم و بسط شمارنده تقریباً دو خط ورد را اشغال کرد.

مثال 4

انتگرال نامعین را پیدا کنید. بررسی را انجام دهید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید.

روش قرار دادن علامت دیفرانسیل برای کسرهای ساده

بیایید به بررسی نوع بعدی کسرها ادامه دهیم.
, , , (ضرایب و برابر با صفر نیستند).

در واقع چند مورد با آرکسین و آرکتانژانت قبلاً در درس ذکر شده است روش تغییر متغیر در انتگرال نامعین. چنین مثال هایی با قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل و ادغام بیشتر با استفاده از جدول حل می شوند. در اینجا نمونه های معمولی تر با لگاریتم های طولانی و بالا آورده شده است:

مثال 5

مثال 6

در اینجا توصیه می شود جدولی از انتگرال ها را بردارید و ببینید چه فرمول هایی و چگونهتحول صورت می گیرد. لطفا توجه داشته باشید چگونه و چرامربع های این نمونه ها برجسته شده اند. به طور خاص، در مثال 6 ابتدا باید مخرج را در شکل نشان دهیم ، سپس آن را زیر علامت دیفرانسیل قرار دهید. و همه اینها برای استفاده از فرمول استاندارد جدولی باید انجام شود .

چرا نگاه کنید، سعی کنید مثال های شماره 7 و 8 را خودتان حل کنید، به خصوص که آنها کاملاً کوتاه هستند:

مثال 7

مثال 8

انتگرال نامعین را پیدا کنید:

اگر شما نیز موفق به بررسی این نمونه‌ها می‌شوید، احترام زیادی دارید - مهارت‌های تمایز شما عالی است.

روش انتخاب مربع کامل

انتگرال های فرم (ضرایب و برابر با صفر نیستند) حل می شوند روش استخراج مربع کامل، که قبلاً در درس ظاهر شده است تبدیل هندسی نمودارها.

در واقع، چنین انتگرال هایی به یکی از چهار انتگرال جدولی که اکنون به آنها نگاه کردیم کاهش می یابد. و این با استفاده از فرمول های ضرب مختصر آشنا به دست می آید:

فرمول ها دقیقاً در این جهت اعمال می شوند ، یعنی ایده روش این است که عبارات را به طور مصنوعی در مخرج سازماندهی کرده و سپس آنها را بر اساس آن به هر کدام تبدیل کنید.

مثال 9

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این ساده ترین مثال، که در آن با عبارت – ضریب واحد(نه یک عدد یا منهای).

بیایید به مخرج نگاه کنیم، در اینجا کل موضوع به وضوح به شانس می رسد. بیایید تبدیل مخرج را شروع کنیم:

بدیهی است که باید 4 را اضافه کنید. و برای اینکه عبارت تغییر نکند، همان چهار را کم کنید:

اکنون می توانید فرمول را اعمال کنید:

پس از اتمام تبدیل همیشهتوصیه می شود حرکت معکوس را انجام دهید: همه چیز خوب است، هیچ خطایی وجود ندارد.

طرح نهایی نمونه مورد نظر باید چیزی شبیه به این باشد:

آماده است. خلاصه کردن "رایگان" تابع پیچیدهتحت علامت دیفرانسیل: اصولاً می توان نادیده گرفت

مثال 10

انتگرال نامعین را پیدا کنید:

این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید، پاسخ آن در انتهای درس است

مثال 11

انتگرال نامعین را پیدا کنید:

وقتی منهای جلو وجود دارد چه باید کرد؟ در این صورت باید منهای را از داخل پرانتز خارج کنیم و عبارت ها را به ترتیبی که نیاز داریم مرتب کنیم: . ثابت(«دو» در این مورد) دست نزن

حالا یکی را در پرانتز اضافه می کنیم. با تجزیه و تحلیل عبارت، به این نتیجه می رسیم که باید یکی را خارج از پرانتز اضافه کنیم:

در اینجا ما فرمول را دریافت می کنیم، اعمال می کنیم:

همیشهما پیش نویس را بررسی می کنیم:
، چیزی بود که باید بررسی می شد.

مثال تمیز چیزی شبیه به این است:

سخت تر کردن کار

مثال 12

انتگرال نامعین را پیدا کنید:

در اینجا این عبارت دیگر یک ضریب واحد نیست، بلکه یک "پنج" است.

(1) اگر یک ثابت در وجود داشته باشد، بلافاصله آن را از براکت خارج می کنیم.

(2) به طور کلی، همیشه بهتر است این ثابت به خارج از انتگرال منتقل شود تا مانعی برای آن نشود.

(3) بدیهی است که همه چیز به فرمول خواهد رسید. ما باید اصطلاح را درک کنیم، یعنی "دو" را بدست آوریم

(4) بله، . یعنی به عبارت اضافه می کنیم و همان کسر را کم می کنیم.

(5) حالا یک مربع کامل انتخاب کنید. در حالت کلی، ما نیز باید محاسبه کنیم، اما در اینجا فرمول لگاریتم طولانی را داریم ، و انجام عمل هیچ فایده ای ندارد.

(6) در واقع، ما می توانیم فرمول را اعمال کنیم ، فقط به جای "X" داریم که اعتبار انتگرال جدول را نفی نمی کند. به طور دقیق، یک مرحله از دست رفت - قبل از ادغام، تابع باید تحت علامت دیفرانسیل قرار می گرفت: ، اما، همانطور که بارها اشاره کرده ام، این اغلب نادیده گرفته می شود.

(7) در پاسخ زیر ریشه، توصیه می شود همه براکت ها را به عقب باز کنید:

سخته؟ این سخت ترین بخش حساب انتگرال نیست. اگرچه، مثال‌های مورد بررسی چندان پیچیده نیستند زیرا به تکنیک‌های محاسباتی خوب نیاز دارند.

مثال 13

انتگرال نامعین را پیدا کنید:

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. پاسخ در پایان درس است.

انتگرال هایی با ریشه در مخرج وجود دارد که با استفاده از یک جایگزین، به انتگرال هایی از نوع در نظر گرفته شده کاهش می یابد انتگرال های مختلط، اما برای دانش آموزان بسیار آماده طراحی شده است.

قرار دادن عدد در زیر علامت دیفرانسیل

این قسمت پایانی درس است، با این حال، انتگرال های این نوع بسیار رایج هستند! اگر خسته هستید، شاید بهتر باشد فردا بخوانید؟ ;)

انتگرال هایی که در نظر خواهیم گرفت مشابه انتگرال های پاراگراف قبل هستند، شکل: یا دارند (ضرایب و برابر با صفر نیستند).

یعنی در صورتگر ما داریم تابع خطی. چگونه می توان چنین انتگرال هایی را حل کرد؟