استخراج ریشه یک عدد مختلط استخراج ریشه یک عدد مختلط چگونه تمام مقادیر ریشه را پیدا کنیم

استخراج بدون ابهام ریشه غیرممکن است عدد مختلط، زیرا دارای تعدادی مقادیر برابر درجه آن است.

اعداد مختلط به توان فرم مثلثاتی می رسند که فرمول مویوارد برای آن معتبر است:

\(\ z^(k)=r^(k)(\cos k \varphi+i \sin k \varphi)، \forall k \in N \)

به طور مشابه، از این فرمول برای محاسبه ریشه k ام یک عدد مختلط (نه برابر صفر) استفاده می شود:

\(\ z^(\frac(1)(k))=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n)))^(\frac( 1)(k))=r^(\frac(1)(k))\left(\cos \frac(\varphi+2 \pi n)(k)+i \sin \frac(\varphi+2 \ pi n)(k)\right)، \forall k>1، \forall n \in N \)

اگر عدد مختلط صفر نباشد، ریشه‌های درجه k همیشه وجود دارند و می‌توان آنها را در صفحه مختلط نشان داد: آنها رئوس یک k-gon هستند که در دایره‌ای با مرکز مبدا و شعاع \(\r) محاط می‌شوند. ^(\frac(1) (k))\)

نمونه هایی از حل مسئله

وظیفه

ریشه سوم عدد \(\z=-1\) را پیدا کنید.

راه حل.

ابتدا عدد \(\z=-1\) را در بیان می کنیم فرم مثلثاتی. قسمت واقعی عدد \(\ z=-1 \) عدد \(\ z=-1 \)، قسمت خیالی \(\ y=\operatorname(lm) \), \(\ z= است. 0 \). برای پیدا کردن شکل مثلثاتی یک عدد مختلط، باید مدول و آرگومان آن را پیدا کنید.

مدول یک عدد مختلط \(\z\) عدد زیر است:

\(\ r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt((-1)^(2)+0^(2))=\sqrt(1+0)=1 \ )

آرگومان با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

\(\ \varphi=\arg z=\operatorname(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(0)(-1)=\operatorname(arctg) 0=\pi \)

بنابراین، شکل مثلثاتی یک عدد مختلط این است: \(\z=1(\cos \pi+i \sin \pi)\)

سپس ریشه سوم به صورت زیر است:

\(\ =\cos \frac(\pi+2 \pi n)(3)+i \sin \frac(\pi+2 \pi n)(3) \), \(\ n=0.1, 2\ )

\(\ \omega_(1)=\cos \frac(\pi)(3)+i \sin \frac(\pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt( 3))(2)\)

برای \(\n=1\) دریافت می کنیم:

\(\ \omega_(2)=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1 \)

برای \(\n=2\) دریافت می کنیم:

\(\ \omega_(3)=\cos \frac(5 \pi)(3)+i \sin \frac(5 \pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(- \sqrt(3))(2)=\frac(1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)

پاسخ دهید

\(\ \omega_(1)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)، \omega_(2)=-1، \omega_(3)=\frac( 1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)

وظیفه

برای استخراج ریشه دوم یک عدد \(\z=1-\sqrt(3)i\)

راه حل.

برای شروع، یک عدد مختلط را به صورت مثلثاتی بیان می کنیم.

قسمت واقعی یک عدد مختلط \(\ z=1-\sqrt(3) i \) عدد \(\ x=\operatorname(Re) z=1 \) است، قسمت خیالی \(\ y=\ نام اپراتور(Im) z =-\sqrt(3) \) . برای پیدا کردن شکل مثلثاتی یک عدد مختلط، باید مدول و آرگومان آن را پیدا کنید.

مدول یک عدد مختلط \(\r\) عدد زیر است:

\(\r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt(1^(2)+(-\sqrt(3))^(2))=\sqrt(1+3 )=2\)

استدلال:

\(\ \varphi=\arg z=\operatorname(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(-\sqrt(3))(1)=\operatorname(arctg)(- \sqrt(3))=\frac(2 \pi)(3) \)

بنابراین، شکل مثلثاتی یک عدد مختلط به صورت زیر است:

\(\ z=2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\راست) \)

با اعمال فرمول استخراج ریشه درجه 2، به دست می آوریم:

\(\ z^(\frac(1)(2))=\left(2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\ راست)\راست)^(\frac(1)(2))=2^(\frac(1)(2))\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac (2 \pi)(3)\راست)^(\frac(1)(2))= \)

\(\ =\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi n\right)+i \sin \left(\frac(\pi)(3)+ \pi n\راست)\راست)، n=0,1 \)

برای \(\ \mathrm(n)=0 \) دریافت می کنیم:

\(\ \omega_(1)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+0\right)+i \sin \left(\frac(\pi)( 3)+0\right)\right)=\sqrt(2)\left(\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=\frac(\sqrt (2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

برای \(\ \mathrm(n)=1 \) دریافت می کنیم:

\(\ \omega_(2)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi\right)+i \sin \left(\frac(\pi) (3)+\pi\right)\right)=\sqrt(2)\left(-\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=-\ frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

پاسخ دهید

\(\ \omega_(1)=\frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) ; \omega_(2)=-\frac(\sqrt(2 ))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

اعداد به صورت مثلثاتی

فرمول مویور

بگذارید z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) و z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

شکل مثلثاتی نوشتن یک عدد مختلط برای انجام عملیات ضرب، تقسیم، افزایش به یک عدد صحیح و استخراج ریشه درجه n مناسب است.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

هنگام ضرب دو عدد مختلطدر شکل مثلثاتی، ماژول های آنها ضرب شده و آرگومان های آنها اضافه می شود. هنگام تقسیمماژول های آنها تقسیم شده و آرگومان های آنها کم می شود.

نتیجه قانون ضرب عدد مختلط، قاعده افزایش عدد مختلط به توان است.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

این نسبت نامیده می شود فرمول مویور

مثال 8.1 حاصلضرب و ضریب اعداد را بیابید:

راه حل

z 1 ∙ z 2
∙

=

;

مثال 8.2 یک عدد را به صورت مثلثاتی بنویسید

∙
-i) 7.

راه حل

بیایید نشان دهیم
و z 2 =
- من

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; ;

 1 = arg z 1 = آرکتان
;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctan
;

z 2 = 2
) 5
z 1 5 = (

;
z 2 7 = 2 7
=

2 9

z = (

) 5 · 2 7§ 9 استخراج ریشه یک عدد مختلطتعریف. ریشه n
توان یک عدد مختلط
= 0.

z (نشان دهید

) یک عدد مختلط w است به طوری که w n = z. اگر z = 0، پس

بگذارید z  0، z = r(cos + isin). اجازه دهید w =  (cos + sin) را نشان دهیم، سپس معادله w n = z را به شکل زیر می نویسیم.

 =

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).
·
.

بنابراین  n = r،

بنابراین wk =

در بین این مقادیر دقیقاً n عدد مختلف وجود دارد.
بنابراین k = 0، 1، 2، …، n – 1.

در صفحه مختلط، این نقاط رئوس یک n-گون منظم هستند که در یک دایره با شعاع محاط شده اند.

با مرکز در نقطه O (شکل 12).شکل 12
.

راه حل.

مثال 9.1

همه مقادیر را پیدا کنید
بیایید این عدد را به صورت مثلثاتی نشان دهیم. بیایید مدول و آرگومان آن را پیدا کنیم.

w k =
.

، که در آن k = 0، 1، 2، 3.
.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
w 3 =

در صفحه مختلط، این نقاط رئوس مربعی هستند که در دایره ای به شعاع محاط شده اند

با مرکز در مبدا (شکل 13).شکل 12
.

راه حل.

شکل 13 شکل 14

همه مقادیر را پیدا کنید
مثال 9.2

w k =
z = – 64 = 64 (cos +isin);
;

w 0 =
، که در آن k = 0، 1، 2، 3، 4، 5 است.

;
w 1 =
.

w 3 =

w 4 =

;

بیایید نشان دهیم
w 5 =
در صفحه مختلط، این نقاط رئوس یک شش ضلعی منتظم هستند که در دایره ای به شعاع 2 با مرکز در نقطه O (0؛ 0) محاط شده است - شکل 14. § 10 شکل نمایی یک عدد مختلط. .