چگونه جذر یک عدد را به صورت دستی پیدا کنیم. جذر چیست؟ جذر صد چیست؟

هنگام حل مسائل مختلف از درس ریاضی و فیزیک، دانش آموزان و دانشجویان اغلب با نیاز به استخراج ریشه های درجه دوم، سوم یا n مواجه می شوند. البته در قرن فناوری اطلاعاتحل این مشکل با استفاده از ماشین حساب دشوار نخواهد بود. با این حال، موقعیت هایی پیش می آید که استفاده از دستیار الکترونیکی غیرممکن باشد.

به عنوان مثال، بسیاری از امتحانات به شما اجازه نمی دهد که الکترونیک بیاورید. علاوه بر این، ممکن است ماشین حساب در دست نداشته باشید. در چنین مواردی، دانستن حداقل چند روش برای محاسبه رادیکال ها به صورت دستی مفید است.

پیدا کردن ریشه های مربع با استفاده از جدول مربع

یکی از ساده ترین راه ها برای محاسبه ریشه ها این است که با استفاده از میز مخصوص. چیست و چگونه از آن به درستی استفاده کنیم؟

با استفاده از جدول، می توانید مربع هر عددی را از 10 تا 99 پیدا کنید. ردیف های جدول حاوی مقادیر ده ها و ستون ها حاوی مقادیر واحد هستند. سلول در تقاطع یک سطر و یک ستون شامل مربع یک عدد دو رقمی است. برای محاسبه مربع 63، باید یک ردیف با مقدار 6 و یک ستون با مقدار 3 پیدا کنید. در محل تقاطع، سلولی با شماره 3969 پیدا می کنیم.

از آنجایی که استخراج ریشه عمل معکوس مربع کردن است، برای انجام این عمل باید برعکس عمل کنید: ابتدا سلولی را با عددی که رادیکال آن را می خواهید محاسبه کنید پیدا کنید، سپس از مقادیر ستون و سطر برای تعیین پاسخ استفاده کنید. . به عنوان مثال، محاسبه را در نظر بگیرید ریشه دوم 169.

سلولی با این عدد در جدول پیدا می کنیم، به صورت افقی ده ها را تعیین می کنیم - 1، عمودی واحدها را - 3. پاسخ: √169 = 13.

به همین ترتیب، می توانید ریشه های مکعب و nام را با استفاده از جداول مناسب محاسبه کنید.

مزیت روش سادگی و عدم وجود محاسبات اضافی است. معایب آن واضح است: این روش فقط برای محدوده محدودی از اعداد قابل استفاده است (تعدادی که ریشه برای آن پیدا می شود باید در محدوده 100 تا 9801 باشد). علاوه بر این، اگر عدد داده شده در جدول نباشد، کار نخواهد کرد.

فاکتورسازی اولیه

اگر جدول مربع ها در دسترس نیست یا پیدا کردن ریشه با کمک آن غیرممکن است، می توانید امتحان کنید عدد زیر ریشه را به فاکتورهای اول تبدیل کنید. عوامل اول آنهایی هستند که می توانند به طور کامل (بدون باقیمانده) فقط بر خودشان یا بر یک تقسیم شوند. مثال ها می توانند 2، 3، 5، 7، 11، 13 و غیره باشند.

بیایید به عنوان مثال به محاسبه ریشه با استفاده از √576 نگاه کنیم. بیایید آن را به عوامل اصلی تقسیم کنیم. نتیجه زیر را دریافت می کنیم: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². با استفاده از ویژگی اصلی ریشه ها √a² = a، از ریشه ها و مربع ها خلاص می شویم و سپس پاسخ را محاسبه می کنیم: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

اگر هر یک از ضرب کننده ها جفت خودش را نداشته باشد چه باید کرد؟ به عنوان مثال، محاسبه √54 را در نظر بگیرید. پس از فاکتورگیری، نتیجه را به شکل زیر بدست می آوریم: √54 = √(2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. قسمت غیر قابل جابجایی را می توان زیر ریشه رها کرد. برای اکثر مسائل هندسه و جبر، این پاسخ به عنوان پاسخ نهایی محاسبه می شود. اما در صورت نیاز به محاسبه مقادیر تقریبی می توانید از روش هایی استفاده کنید که در ادامه به آنها پرداخته خواهد شد.

روش هرون

وقتی حداقل باید تقریباً بدانید که ریشه استخراج شده برابر است (در صورت غیرممکن بودن به دست آوردن یک عدد صحیح) چه باید کرد؟ یک نتیجه سریع و نسبتا دقیق با استفاده از روش هرون به دست می آید. ماهیت آن استفاده از یک فرمول تقریبی است:

√R = √a + (R - a) / 2√a،

که در آن R عددی است که ریشه آن باید محاسبه شود، a نزدیکترین عددی است که مقدار ریشه آن مشخص است.

بیایید به نحوه عملکرد این روش در عمل نگاه کنیم و میزان دقیق بودن آن را ارزیابی کنیم. بیایید محاسبه کنیم که √111 برابر است. نزدیکترین عدد به 111 که ریشه آن مشخص است 121 است. بنابراین، R = 111، a = 121. مقادیر را در فرمول جایگزین کنید:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

حال بیایید صحت روش را بررسی کنیم:

10.55² = 111.3025.

خطای روش تقریباً 0.3 بود. اگر دقت روش نیاز به بهبود داشته باشد، می توانید مراحل توضیح داده شده قبلی را تکرار کنید:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

بیایید صحت محاسبه را بررسی کنیم:

10.536² = 111.0073.

پس از اعمال مجدد فرمول، خطا کاملاً ناچیز شد.

محاسبه ریشه با تقسیم طولانی

این روش برای یافتن مقدار ریشه دوم کمی پیچیده تر از روش های قبلی است. با این حال، در بین سایر روش های محاسبه بدون ماشین حساب دقیق ترین است.

فرض کنید که باید جذر آن را تا 4 رقم اعشار دقیق پیدا کنید. بیایید الگوریتم محاسبه را با استفاده از مثال یک عدد دلخواه 1308.1912 تجزیه و تحلیل کنیم.

1. ورق کاغذ را با یک خط عمودی به 2 قسمت تقسیم کنید و سپس یک خط دیگر از آن به سمت راست و کمی زیر لبه بالایی بکشید. بیایید عدد را در سمت چپ بنویسیم، آن را به گروه های 2 رقمی تقسیم کنیم، به سمت راست حرکت کنیم و سمت چپاز کاما اولین رقم سمت چپ ممکن است بدون جفت باشد. اگر علامت در سمت راست عدد وجود نداشته باشد، باید 0 را اضافه کنید. در مورد ما، نتیجه 13 08.19 12 خواهد بود.
2. بیایید بهترین را انتخاب کنیم عدد بزرگکه مربع آن کوچکتر یا مساوی ارقام گروه اول خواهد بود. در مورد ما 3 است. بیایید آن را در بالا سمت راست بنویسیم. 3 اولین رقم نتیجه است. در سمت راست پایین 3×3 = 9 را نشان می دهیم. این برای محاسبات بعدی مورد نیاز خواهد بود. از 13 در ستون 9 را کم می کنیم، باقیمانده 4 به دست می آید.
3. بیایید جفت اعداد بعدی را به باقیمانده 4 اختصاص دهیم. ما 408 می گیریم.
4. عدد بالا سمت راست را در 2 ضرب کنید و آن را در پایین سمت راست یادداشت کنید و _ x _ = را به آن اضافه کنید. 6_ x _ = می گیریم.
5. به جای خط تیره، باید همان عدد را جایگزین کنید، کوچکتر یا مساوی 408. ما 66 × 6 = 396 می گیریم. ما 6 را از بالا سمت راست می نویسیم، زیرا این رقم دوم نتیجه است. با کم کردن 396 از 408، 12 به دست می آید.
6. بیایید مراحل 3-6 را تکرار کنیم. از آنجایی که ارقام به پایین منتقل شده در قسمت کسری عدد هستند، لازم است یک نقطه اعشار در بالا درست بعد از 6 قرار دهید. بیایید نتیجه دوگانه را با خط تیره یادداشت کنیم: 72_ x _ =. یک عدد مناسب 1 خواهد بود: 721×1 = 721. بیایید آن را به عنوان پاسخ یادداشت کنیم. بیایید 1219 - 721 = 498 کم کنیم.
7. بیایید دنباله اقدامات داده شده در پاراگراف قبل را سه بار دیگر انجام دهیم تا تعداد ارقام اعشاری مورد نیاز را بدست آوریم. اگر کاراکترهای کافی برای محاسبات بیشتر وجود ندارد، باید دو صفر به عدد فعلی در سمت چپ اضافه کنید.

در نتیجه، پاسخ را دریافت می کنیم: √1308.1912 ≈ 36.1689. اگر عمل را با استفاده از ماشین حساب بررسی کنید، می توانید مطمئن شوید که همه علائم به درستی شناسایی شده اند.

محاسبه ریشه مربع به صورت بیتی

روش بسیار دقیق است. علاوه بر این، کاملا قابل درک است و نیازی به حفظ فرمول ها یا الگوریتم پیچیده اقدامات ندارد، زیرا ماهیت روش انتخاب نتیجه صحیح است.

بیایید ریشه عدد 781 را استخراج کنیم. بیایید دنباله اعمال را با جزئیات بررسی کنیم.

1. بیایید دریابیم که کدام رقم از مقدار ریشه دوم مهم ترین خواهد بود. برای انجام این کار، 0، 10، 100، 1000 و غیره را مربع می کنیم و متوجه می شویم که عدد رادیکال بین کدام یک از آنها قرار دارد. ما آن 10 مربع را دریافت می کنیم< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. بیایید مقدار ده ها را انتخاب کنیم. برای انجام این کار، به نوبت به توان 10، 20، ...، 90 افزایش می دهیم تا زمانی که عددی بزرگتر از 781 به دست آوریم. مقدار نتیجه n در 20 خواهد بود< n <30.
3. همانند مرحله قبل، مقدار رقم واحد انتخاب می شود. بیایید 21.22، ...، 29 را یکی یکی مجذور کنیم: 21² = 441، 22² = 484، 23² = 529، 24² = 576، 25² = 625، 26² = 676، 27² = 729، 28² = 7.< n < 28.
4. هر رقم بعدی (دهم، صدم و غیره) به همان روشی که در بالا نشان داده شده محاسبه می شود. محاسبات تا رسیدن به دقت مورد نیاز انجام می شود.

ویدئو

این ویدیو به شما نشان می دهد که چگونه بدون استفاده از ماشین حساب، ریشه های مربع را پیدا کنید.

اغلب، هنگام حل مسائل، با اعداد زیادی مواجه می شویم که باید از آنها استخراج کنیم ریشه دوم. بسیاری از دانش آموزان تصمیم می گیرند که این یک اشتباه است و شروع به حل مجدد کل مثال می کنند. تحت هیچ شرایطی این کار را نکنید! دو دلیل برای این وجود دارد:

1. ریشه های اعداد زیاد در مشکلات ظاهر می شوند. به خصوص در متن ها؛
2. الگوریتمی وجود دارد که با آن این ریشه ها تقریباً شفاهی محاسبه می شوند.

ما امروز این الگوریتم را در نظر خواهیم گرفت. شاید برخی چیزها برای شما نامفهوم به نظر برسد. اما اگر به این درس توجه کنید، یک سلاح قدرتمند در برابر دریافت خواهید کرد ریشه های مربع.

بنابراین، الگوریتم:

1. ریشه مورد نیاز بالا و پایین را به اعدادی که مضرب 10 هستند محدود کنید. بنابراین، محدوده جستجو را به 10 عدد کاهش می دهیم.
2. از این 10 عدد، آنهایی را که قطعاً نمی توانند ریشه باشند، حذف کنید. در نتیجه، 1-2 عدد باقی می ماند.
3. این 1-2 اعداد را مربع کنید. آن که مربع آن برابر با عدد اصلی باشد، ریشه خواهد بود.

قبل از اجرای این الگوریتم، اجازه دهید به هر مرحله جداگانه نگاه کنیم.

محدودیت ریشه

اول از همه، باید بفهمیم که ریشه ما بین کدام اعداد قرار دارد. بسیار مطلوب است که اعداد مضرب ده باشند:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

یک سری اعداد بدست می آوریم:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

این اعداد به ما چه می گویند؟ ساده است: ما مرزها را می گیریم. به عنوان مثال عدد 1296 را در نظر بگیرید. بین 900 و 1600 قرار دارد. بنابراین ریشه آن نمی تواند کمتر از 30 و بزرگتر از 40 باشد.

[کپشن عکس]

همین مورد در مورد هر عدد دیگری که از آن می توانید جذر را پیدا کنید صدق می کند. به عنوان مثال، 3364:

[کپشن عکس]

بنابراین، به جای یک عدد نامفهوم، یک محدوده بسیار خاص دریافت می کنیم که ریشه اصلی در آن قرار دارد. برای محدود کردن بیشتر منطقه جستجو، به مرحله دوم بروید.

حذف اعداد آشکارا غیر ضروری

بنابراین، ما 10 عدد داریم - نامزد برای ریشه. ما آنها را خیلی سریع و بدون تفکر پیچیده و ضرب در یک ستون به دست آوردیم. وقت آن است که ادامه دهیم.

باور کنید یا نه، ما اکنون تعداد نامزدها را به دو نفر کاهش می دهیم - دوباره بدون هیچ محاسبات پیچیده! کافی است قاعده خاص را بدانید. ایناهاش:

آخرین رقم مربع فقط به رقم آخر بستگی دارد شماره اصلی.

به عبارت دیگر، فقط به آخرین رقم مربع نگاه کنید و بلافاصله متوجه می شویم که عدد اصلی به کجا ختم می شود.

تنها 10 رقم وجود دارد که می توانند در جایگاه آخر قرار گیرند. بیایید سعی کنیم دریابیم که وقتی مربع به چه چیزی تبدیل می شوند. به جدول نگاه کنید:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

این جدول گام دیگری برای محاسبه ریشه است. همانطور که می بینید، اعداد در خط دوم نسبت به پنج متقارن بودند. مثلا:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

همانطور که می بینید، رقم آخر در هر دو مورد یکسان است. یعنی مثلاً ریشه 3364 باید به 2 یا 8 ختم شود. از طرف دیگر محدودیت پاراگراف قبل را به خاطر می آوریم. ما گرفتیم:

[کپشن عکس]

مربع های قرمز نشان می دهد که ما هنوز این رقم را نمی دانیم. اما ریشه در محدوده 50 تا 60 قرار دارد که در آن فقط دو عدد به 2 و 8 ختم می شود:

[کپشن عکس]

همین! از بین همه ریشه های ممکن، ما فقط دو گزینه باقی گذاشتیم! و این در سخت ترین حالت است، زیرا رقم آخر می تواند 5 یا 0 باشد. و سپس تنها یک نامزد برای ریشه ها وجود خواهد داشت!

محاسبات نهایی

بنابراین، ما 2 شماره نامزد باقی مانده است. چگونه می دانید ریشه کدام یک است؟ پاسخ واضح است: هر دو عدد را مربع کنید. عددی که مجذور آن عدد اصلی را می دهد، ریشه خواهد بود.

به عنوان مثال، برای عدد 3364 دو عدد نامزد پیدا کردیم: 52 و 58. بیایید آنها را مربع کنیم:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

همین! معلوم شد که ریشه 58 است! در عین حال برای ساده کردن محاسبات از فرمول مجذورات مجموع و تفاضل استفاده کردم. با تشکر از این، من حتی مجبور نشدم اعداد را در یک ستون ضرب کنم! این یک سطح دیگر از بهینه سازی محاسبه است، اما، البته، کاملا اختیاری است :)

نمونه هایی از محاسبه ریشه ها

البته تئوری خوب است. اما بیایید آن را در عمل بررسی کنیم.

[کپشن عکس]

ابتدا بیایید دریابیم که عدد 576 بین کدام اعداد قرار دارد:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

حالا بیایید به آخرین عدد نگاه کنیم. برابر 6 است. چه زمانی این اتفاق می افتد؟ فقط اگر ریشه به 4 یا 6 ختم شود. دو عدد بدست می آوریم:

تنها چیزی که باقی می ماند این است که هر عدد را مربع کنید و آن را با عدد اصلی مقایسه کنید:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

عالی! مربع اول برابر با عدد اصلی بود. پس این ریشه است.

وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[کپشن عکس]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

بیایید به رقم آخر نگاه کنیم:

1369 → 9;
33; 37.

مربع آن:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

پاسخ این است: 37.

وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[کپشن عکس]

ما تعداد را محدود می کنیم:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

بیایید به رقم آخر نگاه کنیم:

2704 → 4;
52; 58.

مربع آن:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

پاسخ دریافت کردیم: 52. عدد دوم دیگر نیازی به مربع نخواهد داشت.

وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[کپشن عکس]

ما تعداد را محدود می کنیم:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

بیایید به رقم آخر نگاه کنیم:

4225 → 5;
65.

همانطور که می بینید بعد از مرحله دوم فقط یک گزینه باقی می ماند: 65. این ریشه مورد نظر است. اما بیایید همچنان آن را مربع کنیم و بررسی کنیم:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

همه چیز درست است. پاسخ را یادداشت می کنیم.

نتیجه

افسوس، بهتر نیست. بیایید به دلایل آن نگاه کنیم. دو تا از آنها موجود است:

• در هر امتحان معمولی ریاضی، چه آزمون دولتی یا یک آزمون دولتی واحد، استفاده از ماشین حساب ممنوع است. و اگر یک ماشین حساب به کلاس بیاورید، به راحتی می توانید از امتحان اخراج شوید.
• مثل آمریکایی های احمق نباشید. که مانند ریشه نیستند - نمی توانند دو عدد اول را اضافه کنند. و وقتی کسرها را می بینند، عموما هیستریک می شوند.

مسئله ریشه یابی در ریاضیات مسئله معکوس رساندن یک عدد به توان است. ریشه های مختلفی وجود دارد: ریشه های درجه دوم، ریشه های درجه سوم، ریشه های درجه چهارم و غیره. بستگی به این دارد که این عدد در ابتدا به چه قدرتی افزایش یافته است. ریشه با نماد نشان داده می شود: √ یک ریشه مربع است، یعنی ریشه درجه دوم؛ اگر درجه یک ریشه بزرگتر از درجه دوم باشد، درجه مربوطه در بالای علامت ریشه تعیین می شود. عددی که در زیر علامت ریشه قرار دارد یک عبارت رادیکال است. هنگام پیدا کردن ریشه، چندین قانون وجود دارد که به شما کمک می کند در یافتن ریشه اشتباه نکنید:

• یک ریشه زوج (اگر درجه 2، 4، 6، 8 و غیره باشد) یک عدد منفی وجود ندارد. اگر عبارت رادیکال منفی باشد، اما ریشه یک درجه فرد (3، 5، 7 و غیره) جستجو شود، نتیجه منفی خواهد بود.
• ریشه هر توان یک همیشه یک است: √1 = 1.
• ریشه صفر صفر است: √0 = 0.

چگونه ریشه 100 را پیدا کنیم

اگر مشکل نگوید که چه ریشه درجه ای باید پیدا شود، معمولاً به این معنی است که باید ریشه درجه دوم (مربع) را پیدا کرد.
بیایید √100 = ? باید عددی را پیدا کنیم که وقتی به توان دوم بلند شد، عدد 100 را به دست آورد. بدیهی است که چنین عددی عدد 10 است، زیرا: 10 2 = 100. بنابراین، √100 = 10: جذر 100 است. 10.

جذر چیست؟

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

این مفهوم بسیار ساده است. طبیعی است، من می گویم. ریاضیدانان سعی می کنند برای هر عملی واکنشی بیابند. جمع وجود دارد - تفریق نیز وجود دارد. ضرب وجود دارد - تقسیم نیز وجود دارد. مربع وجود دارد ... پس وجود دارد جذر گرفتن!همین. این اقدام ( ریشه دوم) در ریاضیات با این نماد نشان داده شده است:

خود نماد یک کلمه زیبا نامیده می شود " افراطی".

چگونه ریشه را استخراج کنیم؟بهتر است نگاه کنید مثال ها.

جذر 9 چقدر است؟ کدام عدد مربع به ما 9 می دهد؟ 3 مربع به ما 9 می دهد! آنهایی که:

اما جذر صفر چیست؟ مشکلی نیست! صفر چه عددی مربع را می سازد؟ بله صفر میده! به معنای:

فهمیدم، جذر چیست؟سپس در نظر می گیریم مثال ها:

پاسخ ها (به هم ریخته): 6; 1 4; 9; 5.

تصمیم گرفت؟ واقعا چقدر راحت تره؟!

اما... آدم وقتی فلان کار را با ریشه می بیند چه می کند؟

آدم شروع به غمگینی می کند... به سادگی و سبکی ریشه هایش اعتقادی ندارد. اگرچه به نظر می رسد که می داند جذر چیست...

به این دلیل که فرد هنگام مطالعه ریشه چندین نکته مهم را نادیده گرفته است. سپس این مدها انتقام بی رحمانه ای از آزمون ها و امتحانات می گیرند...

نقطه یک شما باید ریشه ها را از روی دید تشخیص دهید!

جذر 49 چقدر است؟ هفت؟ درست! از کجا فهمیدی ساعت هفت است؟ مربع هفت شد و 49 گرفت؟ درست! لطفا توجه داشته باشید که ریشه را استخراج کنیداز 49 ما باید عملیات معکوس را انجام می دادیم - مربع 7! و مطمئن باشید که از دست ندهیم. یا می توانستند از دست بدهند...

این سختی است استخراج ریشه. مربعشما می توانید از هر شماره ای بدون هیچ مشکلی استفاده کنید. یک عدد را در خودش با یک ستون ضرب کنید - همین. اما برای استخراج ریشهچنین فناوری ساده و ایمن وجود ندارد. ما باید سوار کردنپاسخ دهید و با مربع کردن صحیح بودن آن را بررسی کنید.

این فرآیند پیچیده خلاق - انتخاب پاسخ - بسیار ساده می شود اگر شما یاد آوردنمربع اعداد محبوب مثل جدول ضرب. مثلاً اگر باید 4 را در 6 ضرب کنید، چهار را 6 برابر نمی کنید، درست است؟ پاسخ 24 بلافاصله می آید. اگرچه همه آن را دریافت نمی کنند، بله ...

برای کار آزادانه و موفقیت آمیز با ریشه ها، کافی است مربع اعداد از 1 تا 20 را بدانید. آنجاو بازگشت.آن ها شما باید بتوانید به راحتی هر دو مثلاً 11 و جذر 121 را بخوانید. برای رسیدن به این حفظ، دو راه وجود دارد. اولین مورد یادگیری جدول مربع هاست. این کمک بزرگی در حل مثال ها خواهد بود. دوم حل مثال های بیشتر است. این به شما کمک زیادی می کند تا جدول مربع ها را به خاطر بسپارید.

و بدون ماشین حساب! فقط برای اهداف آزمایشی در غیر این صورت در طول امتحان بی رحمانه سرعت خود را کاهش می دهید ...

بنابراین، جذر چیستو چطور استخراج ریشه- فکر می کنم واضح است. حالا بیایید دریابیم که از چه چیزی می توانیم آنها را استخراج کنیم.

نقطه دو ریشه، من شما را نمی شناسم!

از چه اعدادی می توان جذر گرفت؟ بله، تقریباً هر کدام از آنها. راحت تر می توان فهمید که از چه چیزی است ممنوع استآنها را استخراج کنید

بیایید سعی کنیم این ریشه را محاسبه کنیم:

برای این کار باید عددی را انتخاب کنیم که مجذور آن -4 به ما بدهد. انتخاب می کنیم.

چیه، مناسب نیست؟ 2 2 +4 می دهد. (-2) 2 دوباره +4 می دهد! همین... هیچ عددی نیست که با مجذور شدن به ما عدد منفی بدهد! اگرچه من این اعداد را می دانم. اما من به شما نمی گویم). به دانشگاه بروید و خودتان متوجه خواهید شد.

با هر عدد منفی هم همین داستان اتفاق می افتد. از این رو نتیجه گیری:

عبارتی که در آن یک عدد منفی زیر علامت جذر وجود دارد - معنی ندارد! این یک عملیات ممنوع است. به اندازه تقسیم بر صفر حرام است. این واقعیت را محکم به خاطر بسپار!یا به عبارت دیگر:

شما نمی توانید از اعداد منفی جذر مربع استخراج کنید!

اما از بین همه موارد دیگر، ممکن است. به عنوان مثال، محاسبه کاملاً ممکن است

در نگاه اول، این بسیار دشوار است. انتخاب کسرها و مجذور کردن آنها... نگران نباشید. وقتی خواص ریشه ها را درک کنیم، چنین مثال هایی به همان جدول مربع ها کاهش می یابد. زندگی آسان تر خواهد شد!

خوب، کسری. اما هنوز با عباراتی مانند:

خوبه. همه یکسان. جذر دو عددی است که با مجذور شدن دو عدد به ما می دهد. فقط این عدد کاملاً ناهموار است ... اینجاست:

جالب اینجاست که این کسر هرگز تمام نمی شود... چنین اعدادی غیر منطقی نامیده می شوند. در ریشه های مربع این رایج ترین چیز است. به هر حال، به همین دلیل است که عبارات با ریشه نامیده می شوند غیر منطقی. واضح است که نوشتن چنین کسر نامتناهی همیشه ناخوشایند است. بنابراین به جای کسر نامتناهی آن را به این صورت رها می کنند:

اگر هنگام حل یک مثال، به چیزی رسیدید که قابل استخراج نیست، مانند:

سپس آن را همینطور رها می کنیم. این پاسخ خواهد بود.

شما باید به وضوح معنی نمادها را درک کنید

البته اگر ریشه عدد گرفته شود صاف، باید این کار را انجام دهید. جواب تکلیف مثلاً در فرم است

یک جواب کاملا کامل

و البته، شما باید مقادیر تقریبی را از حافظه بدانید:

این دانش تا حد زیادی به ارزیابی وضعیت در کارهای پیچیده کمک می کند.

نقطه سه حیله گر ترین.

سردرگمی اصلی در کار با ریشه ها از همین نقطه ایجاد می شود. اوست که به توانایی های خودش اطمینان می دهد... بیایید با این نکته درست برخورد کنیم!

ابتدا بیایید دوباره جذر چهار عدد از آنها را بگیریم. آیا قبلاً با این ریشه شما را اذیت کرده ام؟) مهم نیست، حالا جالب خواهد شد!

4 چه عددی را مربع می کند؟ خوب، دو، دو - من پاسخ های ناراضی می شنوم ...

درست. دو اما همچنین منهای دو 4 می دهد مجذور... در ضمن جواب

درست و جواب

اشتباه فاحش مثل این.

پس قضیه چیه؟

در واقع، (-2) 2 = 4. و تحت تعریف جذر چهار منهای دوکاملا مناسب... این هم جذر چهار است.

ولی! در درس ریاضی مدرسه مرسوم است که جذر را در نظر بگیرند فقط اعداد غیر منفی!یعنی صفر و همه مثبت هستند. حتی یک اصطلاح خاص اختراع شد: از شماره آ- این غیر منفیعددی که مربع آن است آ. نتایج منفی هنگام استخراج یک جذر حسابی به سادگی کنار گذاشته می شوند. در مدرسه، همه چیز ریشه مربع است - حسابی. اگر چه این مورد به طور خاص ذکر نشده است.

خوب، این قابل درک است. حتی بهتر است با نتایج منفی خود را خسته نکنید ... این هنوز سردرگمی نیست.

سردرگمی هنگام حل معادلات درجه دوم شروع می شود. برای مثال باید معادله زیر را حل کنید.

معادله ساده است، پاسخ را می نویسیم (همانطور که آموزش داده شد):

این پاسخ (البته کاملاً صحیح است) فقط یک نسخه اختصاری است دوپاسخ می دهد:

ایست ایست! درست بالا نوشتم که جذر یک عدد است همیشهغیر منفی! و این یکی از پاسخ ها است - منفی! اختلال. این اولین (اما نه آخرین) مشکلی است که باعث بی اعتمادی به ریشه ها می شود... بیایید این مشکل را حل کنیم. بیایید پاسخ ها را (فقط برای درک!) اینگونه بنویسیم:

پرانتز اصل پاسخ را تغییر نمی دهد. فقط با براکت جداش کردم نشانه هااز جانب ریشه. حالا به وضوح می بینید که خود ریشه (در پرانتز) هنوز یک عدد غیر منفی است! و نشانه ها هستند نتیجه حل معادله. از این گذشته، هنگام حل هر معادله ای باید بنویسیم همه X هایی که با جایگزین کردن آنها در معادله اصلی، نتیجه صحیح را به دست می دهند. ریشه پنج (مثبت!) با هر دو مثبت و منفی در معادله ما قرار می گیرد.

مثل این. اگر شما فقط جذر را بگیریداز هر چیزی، تو همیشهشما دریافت می کنید یکی غیر منفینتیجه مثلا:

زیرا آن - جذر حسابی.

اما اگر معادله درجه دوم را حل می کنید، مانند:

که همیشهمعلوم می شود دوپاسخ (با مثبت و منفی):

زیرا این راه حل معادله است.

امید، جذر چیستشما نکات خود را روشن کرده اید. اکنون باقی مانده است که بفهمیم با ریشه ها چه کاری می توان انجام داد، خواص آنها چیست. و چه نکات و مشکلاتی وجود دارد ... متاسفم، سنگ!)

همه اینها در درس های زیر است.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

در میان دانش فراوانی که نشانه سواد است، الفبا حرف اول را می زند. عنصر بعدی، به همان اندازه "علامت"، مهارت های جمع-ضرب و در مجاورت آنها، اما از نظر معنی مخالف، عملیات حسابی تفریق- تقسیم است. مهارت‌هایی که در دوران کودکی مدرسه‌های دور آموخته‌اند، شب و روز صادقانه خدمت می‌کنند: تلویزیون، روزنامه، پیامک، و هر جا که می‌خوانیم، می‌نویسیم، می‌شماریم، اضافه می‌کنیم، تفریق می‌کنیم، ضرب می‌کنیم. و، به من بگویید، آیا شما اغلب مجبور شده اید در زندگی خود ریشه بگیرید، مگر در ویلا؟ مثلا یه همچین مشکل سرگرم کننده ای مثل جذر عدد 12345... آیا هنوز تو فلاسک ها باروت هست؟ آیا می توانیم آن را مدیریت کنیم؟ هیچ چیز ساده تر از این نمی تواند باشد! ماشین حساب من کجاست... و بدون آن، مبارزه تن به تن ضعیف است؟

ابتدا بیایید روشن کنیم که چیست - جذر یک عدد. به طور کلی، "ریشه گرفتن یک عدد" به معنای انجام عملیات حسابی مخالف افزایش آن به توان است - در اینجا شما وحدت اضداد را در کاربرد زندگی دارید. فرض کنید یک مربع ضرب یک عدد در خودش است، یعنی همانطور که در مدرسه آموزش داده می شود، X * X = A یا در نماد دیگری X2 = A، و در کلمات - "X مربع برابر A است." سپس مسئله معکوس به این صورت به نظر می رسد: جذر عدد A عدد X است که وقتی مجذور شود برابر با A است.

گرفتن جذر

از دوره ریاضی مدرسه، روش های محاسبات "در یک ستون" شناخته شده است که به انجام هر گونه محاسبات با استفاده از چهار عملیات حسابی اول کمک می کند. افسوس... برای ریشه های مربع و نه تنها مربع، چنین الگوریتم هایی وجود ندارد. و در این صورت چگونه می توان جذر را بدون ماشین حساب استخراج کرد؟ بر اساس تعریف ریشه مربع، تنها یک نتیجه وجود دارد - لازم است مقدار نتیجه را با شمارش متوالی اعدادی که مربع آنها به مقدار عبارت رادیکال نزدیک می شود، انتخاب کنید. همین! قبل از گذشت یک یا دو ساعت، می توانید با استفاده از روش معروف ضرب در یک "ستون" هر ریشه مربعی را محاسبه کنید. اگر مهارت دارید، این فقط چند دقیقه طول می کشد. حتی یک کاربر نه چندان پیشرفته از یک ماشین حساب یا رایانه شخصی می تواند این کار را در یک لحظه انجام دهد - پیشرفت کند.

اما به طور جدی، محاسبه ریشه مربع اغلب با استفاده از تکنیک "چنگال توپخانه" انجام می شود: ابتدا عددی را بگیرید که مربع آن تقریباً با عبارت رادیکال مطابقت دارد. بهتر است "مربع ما" کمی کوچکتر از این عبارت باشد. بعد با توجه به مهارت و درک خودشان عدد را تنظیم می کنند، مثلاً در دو ضرب می کنند و ... دوباره آن را مربع می کنند. اگر نتیجه بیشتر از عدد زیر ریشه باشد، به طور متوالی عدد اصلی را تنظیم کنید، به تدریج به "همکار" خود در زیر ریشه نزدیک می شود. همانطور که می بینید - بدون ماشین حساب، فقط توانایی شمارش "در یک ستون". البته بسیاری از الگوریتم های اثبات شده و بهینه شده علمی برای محاسبه جذر وجود دارد، اما برای "مصرف خانگی" تکنیک فوق اطمینان 100٪ به نتیجه می دهد.

بله، تقریباً فراموش کردم، برای تأیید افزایش سوادمان، بیایید ریشه دوم عدد 12345 را که قبلاً نشان داده شده است محاسبه کنیم. ما این کار را مرحله به مرحله انجام می دهیم:

1. بیایید، صرفاً شهودی، X=100 را در نظر بگیریم. بیایید محاسبه کنیم: X * X = 10000. شهود در بهترین حالت خود است - نتیجه کمتر از 12345 است.

2. بیایید سعی کنیم، همچنین به طور کاملاً شهودی، X = 120. سپس: X * X = 14400. و دوباره، شهود درست است - نتیجه بیش از 12345 است.

3. در بالا یک "چنگال" 100 و 120 دریافت کردیم. بیایید اعداد جدیدی را انتخاب کنیم - 110 و 115. به ترتیب 12100 و 13225 دریافت می کنیم - چنگال باریک می شود.

4. بیایید "شاید" X=111 را امتحان کنیم. ما X * X = 12321 را دریافت می کنیم. این عدد در حال حاضر کاملاً نزدیک به 12345 است. مطابق با دقت مورد نیاز، "تناسب" را می توان در نتیجه به دست آمده ادامه داد یا متوقف کرد. همین. همانطور که وعده داده شده بود - همه چیز بسیار ساده و بدون ماشین حساب است.

فقط کمی تاریخ...

فیثاغورثی ها، شاگردان مکتب و پیروان فیثاغورث، 800 سال قبل از میلاد به ایده استفاده از ریشه مربع رسیدند. و سپس "به" اکتشافات جدید در زمینه اعداد برخورد کردیم. و این از کجا آمده است؟

1. حل مسئله با استخراج ریشه نتیجه را به صورت اعداد یک کلاس جدید می دهد. آنها را غیر منطقی، به عبارت دیگر، «غیر معقول» می نامیدند، زیرا. آنها به صورت یک عدد کامل نوشته نمی شوند. کلاسیک ترین نمونه از این نوع، جذر 2 است. این مورد مربوط به محاسبه قطر مربع با ضلع برابر 1 است - این تأثیر مکتب فیثاغورث است. معلوم شد که در مثلثی با اندازه واحد بسیار مشخص اضلاع، هیپوتنوس اندازه ای دارد که با عددی که "پایان ندارد" بیان می شود. اینگونه در ریاضیات ظاهر شدند

2. مشخص است که معلوم شد که این عملیات ریاضی شامل یک گیره دیگر است - هنگام استخراج ریشه، نمی دانیم که کدام عدد، مثبت یا منفی، مربع عبارت رادیکال است. این عدم قطعیت، نتیجه مضاعف یک عملیات، به این ترتیب ثبت می شود.

بررسی مسائل مربوط به این پدیده به جهتی در ریاضیات به نام نظریه متغیرهای مختلط تبدیل شده است که اهمیت عملی زیادی در فیزیک ریاضی دارد.

جالب است که همان I. Newton که در همه جا حاضر بود در "حساب جهانی" خود از نام ریشه - رادیکال - استفاده کرد و دقیقاً شکل مدرن نشانه گذاری ریشه از سال 1690 از کتاب رول فرانسوی "Manual" شناخته شده است. جبر».