نحوه تعیین علامت برآمدگی بر روی یک محور. فرمول های اصلی برای یافتن فواصل با استفاده از طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور. حاصلضرب برداری بردارهای واحد مختصات

§ 3. پیش بینی یک بردار بر روی محورهای مختصات

1. یافتن برجستگی ها به صورت هندسی.

بردار
- طرح بردار بر روی محور گاو نر
- طرح بردار بر روی محور OY

تعریف 1. طرح ریزی برداری در هر محور مختصات، عددی است که با علامت مثبت یا منفی گرفته می‌شود، که مربوط به طول پاره‌ای است که بین پایه‌های عمود بردار از ابتدا و انتهای بردار تا محور مختصات کاهش یافته است.

علامت پروجکشن به صورت زیر تعریف می شود. اگر هنگام حرکت در امتداد محور مختصات، حرکتی از نقطه برجستگی ابتدای بردار به نقطه برجستگی انتهای بردار در جهت مثبت محور وجود داشته باشد، در این صورت برآمدگی بردار مثبت در نظر گرفته می شود. . اگر مخالف محور باشد، برآمدگی منفی در نظر گرفته می شود.

شکل نشان می دهد که اگر بردار به نحوی مخالف محور مختصات باشد، پس طرح آن بر روی این محور منفی است. اگر بردار به نحوی در جهت مثبت محور مختصات جهت گیری شود، پس طرح آن بر روی این محور مثبت است.

اگر یک بردار عمود بر محور مختصات باشد، پس طرح آن بر روی این محور صفر است.
اگر یک بردار با یک محور هم جهت باشد، پس طرح آن بر روی این محور برابر با قدر مطلق بردار است.
اگر یک بردار مخالف محور مختصات باشد، پس طرح آن بر روی این محور از نظر قدر مطلق برابر است با قدر مطلق بردار که با علامت منفی گرفته شده است.

2. بیشتر تعریف کلیطرح ها.

از مثلث قائم الزاویه ABD: .

تعریف 2. طرح ریزی برداری در هر محور مختصات عددی برابر با حاصل ضرب مدول بردار و کسینوس زاویه ای است که بردار با جهت مثبت محور مختصات تشکیل می دهد.

علامت برآمدگی با علامت کسینوس زاویه تشکیل شده توسط بردار با جهت محور مثبت تعیین می شود.
اگر زاویه تند باشد، کسینوس علامت مثبت دارد و برآمدگی ها مثبت است. برای زوایای مبهم، کسینوس علامت منفی دارد، بنابراین در چنین مواردی برآمدگی روی محور منفی است.
- بنابراین، برای بردارهای عمود بر محور، طرح ریزی صفر است.

در فیزیک برای کلاس 9 (I.K.Kikoin، A.K.Kikoin، 1999)،
وظیفه №5
به فصل " فصل 1. اطلاعات عمومی در مورد ترافیک».

1. برآمدگی بردار بر روی محور مختصات چه نامیده می شود؟

1. طرح بردار a بر روی محور مختصات، طول پاره بین برآمدگی های ابتدا و انتهای بردار a (عمودهای افتاده از این نقاط روی محور) روی این محور مختصات است.

2-بردار جابجایی جسم با مختصات آن چگونه ارتباط دارد؟

2. پیش بینی های بردار جابجایی s روی محورهای مختصات برابر با تغییر مختصات بدنه مربوطه است.

3. اگر مختصات یک نقطه با گذشت زمان افزایش یابد، پس برآمدگی بردار جابجایی بر روی محور مختصات چه علامتی دارد؟ اگه کم بشه چی؟

3. اگر مختصات یک نقطه در طول زمان افزایش یابد، آنگاه طرح بردار جابجایی بر روی محور مختصات مثبت خواهد بود، زیرا در این حالت از برجستگی ابتدا به برجستگی انتهای بردار در جهت خود محور خواهیم رفت.

اگر مختصات یک نقطه در طول زمان کاهش یابد، آنگاه طرح بردار جابجایی بر روی محور مختصات منفی خواهد بود، زیرا در این حالت از برجستگی ابتدا به برجستگی انتهای بردار در برابر راهنمای خود محور خواهیم رفت.

4. اگر بردار جابجایی با محور X موازی باشد، مدول برآمدگی بردار بر روی این محور چقدر است؟ و در مورد مدول طرح ریزی همان بردار بر روی محور Y چطور؟

4. اگر بردار جابجایی موازی با محور X باشد، مدول برآمدگی بردار بر روی این محور برابر مدول خود بردار است و برآمدگی آن بر روی محور Y صفر است.

5. علائم برآمدگی ها را بر روی محور X بردارهای جابجایی نشان داده شده در شکل 22 تعیین کنید. مختصات جسم در طول این جابجایی ها چگونه تغییر می کند؟

5. در تمام موارد زیر مختصات Y جسم تغییر نمی کند و مختصات X جسم به صورت زیر تغییر می کند:

الف) s 1;

طرح ریزی بردار s 1 بر روی محور X منفی است و از نظر قدر مطلق برابر با طول بردار s 1 است. با چنین حرکتی، مختصات X جسم به اندازه طول بردار s 1 کاهش می یابد.

ب) s 2 ;

طرح ریزی بردار s 2 بر روی محور X مثبت و از نظر قدر با طول بردار s 1 برابر است. با چنین حرکتی، مختصات X جسم به اندازه طول بردار s 2 افزایش می یابد.

ج) s 3 ;

طرح ریزی بردار s 3 بر روی محور X منفی و از نظر قدر با طول بردار s 3 برابر است. با چنین حرکتی، مختصات X جسم به اندازه طول بردار s 3 کاهش می یابد.

d)s 4;

طرح ریزی بردار s 4 بر روی محور X مثبت و از نظر قدر با طول بردار s 4 برابر است. با چنین حرکتی، مختصات X جسم به اندازه طول بردار s 4 افزایش می یابد.

ث) s 5;

طرح ریزی بردار s 5 روی محور X منفی و از نظر قدر با طول بردار s 5 برابر است. با چنین حرکتی، مختصات X جسم به اندازه طول بردار s 5 کاهش می یابد.

6. اگر مقدار مسافت طی شده زیاد باشد، آیا ماژول جابجایی می تواند کوچک باشد؟

6. شاید. این به این دلیل است که جابجایی (بردار جابجایی) یک کمیت برداری است، یعنی. یک قطعه خط مستقیم جهت دار است که موقعیت اولیه بدن را با موقعیت های بعدی آن متصل می کند. و موقعیت نهایی بدن (صرف نظر از مسافت طی شده) می تواند به اندازه دلخواه به موقعیت اولیه بدن نزدیک شود. اگر موقعیت های نهایی و اولیه بدنه منطبق باشند، ماژول جابجایی برابر با صفر خواهد بود.

7. چرا بردار حرکت جسم در مکانیک مهمتر از مسیری است که طی کرده است؟

7. وظیفه اصلی مکانیک تعیین موقعیت بدن در هر زمان است. با دانستن بردار حرکت بدن، می توانیم مختصات بدن را تعیین کنیم، i.e. موقعیت بدن در هر لحظه از زمان و تنها با دانستن مسافت طی شده، نمی توانیم مختصات بدن را تعیین کنیم، زیرا ما هیچ اطلاعاتی در مورد جهت حرکت نداریم، اما فقط می توانیم در مورد طول مسیر طی شده در یک زمان معین قضاوت کنیم.

محور جهت است. این بدان معنی است که طرح ریزی بر روی یک محور یا روی یک خط هدایت شده یکسان در نظر گرفته می شود. فرافکنی می تواند جبری یا هندسی باشد. در اصطلاح هندسی، طرح یک بردار بر روی یک محور به عنوان یک بردار و در اصطلاح جبری به عنوان یک عدد درک می شود. یعنی از مفاهیم طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور و طرح عددی یک بردار بر روی یک محور استفاده می شود.

اگر یک محور L و یک بردار غیر صفر A B → داشته باشیم، می‌توانیم یک بردار A 1 B 1 ⇀ بسازیم که نمایانگر نقاط A 1 و B 1 آن است.

A 1 B → 1 نمایانگر بردار A B → بر روی L خواهد بود.

تعریف 1

طرح ریزی بردار بر روی محوربرداري است كه ابتدا و پايان آن پيش بيني هاي ابتدا و انتهاي يك بردار معين است. n p L A B → → مرسوم است که برآمدگی A B → بر روی L نشان داده شود. برای ساختن یک برآمدگی روی L، عمود بر روی L انداخته می شود.

مثال 1

نمونه ای از طرح برداری برداری بر روی یک محور.

بر هواپیمای مختصاتحدود x y نقطه M 1 (x 1 , y 1) مشخص شده است. برای تصویر برداری از بردار شعاع نقطه M 1 باید بر روی Ox و Oy برجستگی ایجاد کرد. مختصات بردارهای (x 1, 0) و (0, y 1) را بدست می آوریم.

اگر در مورد برآمدگی a → روی یک b غیر صفر → یا برآمدگی a → بر روی جهت b → صحبت می کنیم، منظور ما برآمدگی a → بر روی محوری است که جهت b → با آن منطبق است. برآمدگی a → روی خطی که با b → تعریف شده است n p b → a → → مشخص می شود. مشخص است که وقتی زاویه بین a → و b → ، n p b → a → → و b → را می توان هم جهت در نظر گرفت. در موردی که زاویه منفرد است، n p b → a → → و b → در جهت مخالف هستند. در وضعیت عمود بردار a → و b → و a → صفر است، طرح → a در جهت b → بردار صفر است.

مشخصه عددی طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور، پیش بینی عددی یک بردار بر روی یک محور معین است.

تعریف 2

طرح عددی بردار بر روی محورعددی است که برابر است با حاصل ضرب طول یک بردار معین و کسینوس زاویه بین بردار داده شده و بردار تعیین کننده جهت محور.

طرح عددی A B → روی L با n p L A B → و a → روی b → - n p b → a → نشان داده می شود.

بر اساس فرمول n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ به دست می آوریم که از آنجا a → طول بردار a → , a ⇀ , b → ^ زاویه بین بردارهای a → است. و ب → .

فرمول محاسبه پیش بینی عددی را به دست می آوریم: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . این برای طول های شناخته شده a → و b → و زاویه بین آنها قابل استفاده است. این فرمول برای مختصات شناخته شده a → و b → قابل استفاده است، اما یک شکل ساده شده وجود دارد.

مثال 2

طرح عددی a → بر روی یک خط مستقیم در جهت b → با طول a → برابر با 8 و زاویه بین آنها 60 درجه را پیدا کنید. با شرط یک ⇀ = 8، a ⇀، b → ^ = 60 درجه داریم. بنابراین، بیایید جایگزین کنیم مقادیر عددیبه فرمول n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

پاسخ: 4.

با cos شناخته شده (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → b → → a → , b → به عنوان حاصل ضرب اسکالر a → و b → داریم. با پیروی از فرمول n p b → a → = a → · cos a ⇀ ، b → ^ ، می توانیم طرح عددی a → را در امتداد بردار b → پیدا کنیم و n p b → a → = a → ، b → b → بدست آوریم. فرمول معادل تعریفی است که در ابتدای پاراگراف ارائه شده است.

تعریف 3

طرح عددی بردار a → بر روی محوری منطبق بر جهت b → نسبت حاصلضرب اسکالر بردارهای a → و b → به طول b → است. فرمول n p b → a → = a → , b → b → برای یافتن پیش بینی عددی a → بر روی خطی که در جهت با b → → با مختصات a → و b → شناخته شده است، قابل استفاده است.

مثال 3

با توجه به b → = (- 3، 4) . طرح عددی a → = (1، 7) را روی L پیدا کنید.

راه حل

در صفحه مختصات n p b → a → = a → , b → b → دارای شکل n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 با a → = (a x , a y ) و b → = b x، b y. برای یافتن پیش بینی عددی بردار a → بر روی محور L، شما نیاز دارید: n p L a → = n p b → a → = a →، b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

پاسخ: 5.

مثال 4

برآمدگی a → بر روی L را پیدا کنید، منطبق با جهت b →، جایی که a → = - 2، 3، 1 و b → = (3، - 2، 6) وجود دارد. فضای سه بعدی مشخص شده است.

راه حل

با توجه به a → = a x، a y، a z و b → = b x، b y، b z، حاصل ضرب اسکالر را محاسبه می کنیم: a ⇀، b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z. طول b → با استفاده از فرمول b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 یافت می شود. بنابراین فرمول تعیین طرح عددی a → خواهد بود: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

مقادیر عددی را جایگزین کنید: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

پاسخ: - 6 7.

بیایید به ارتباط بین a → روی L و طول برآمدگی a → روی L نگاه کنیم. بیایید یک محور L رسم کنیم و یک → و b → را از نقطه ای روی L اضافه کنیم، پس از آن یک خط عمود از انتهای a → به L رسم می کنیم و یک برآمدگی روی L می کشیم. 5 نوع تصویر وجود دارد:

اولینمورد با a → = n p b → a → → به معنی a → = n p b → a → → n p b → a → = a → · cos (a, → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

دومینمورد دلالت بر استفاده از n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → است که به معنی n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

سوممورد توضیح می دهد که وقتی n p b → a → → = 0 → n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 ، سپس n p b → a → → = 0 به دست می آوریم. و n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

چهارممورد n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) ، به دنبال n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

پنجممورد یک → = n p b → a → → را نشان می دهد که به معنی a → = n p b → a → → → است، از این رو ما n p b → a → = a → · cos a →، b → ^ = a → · cos 180 ° = - داریم. a → = - n p b → a → .

تعریف 4

طرح عددی بردار a → بر روی محور L که به همان ترتیب b → هدایت می شود دارای مقدار زیر است:

طول طرح بردار a → بر روی L، مشروط بر اینکه زاویه بین a → و b → کمتر از 90 درجه یا مساوی 0 باشد: n p b → a → = n p b → a → → با شرط 0 ≤ (a → ، ب →) ^< 90 ° ;
صفر به شرطی که a → و b → عمود باشند: n p b → a → = 0، زمانی که (a → , b → ^) = 90 درجه.
طول برجستگی a → بر روی L، ضرب در -1، زمانی که بردارهای a → و b زاویه منفرد یا مستقیم وجود دارد →: n p b → a → = - n p b → a → → با شرط 90 درجه< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

مثال 5

با توجه به طول برآمدگی a → روی L، برابر با 2. طرح عددی a → را به شرطی که زاویه 5 π 6 رادیان باشد، بیابید.

راه حل

از شرط مشخص است که این زاویه منفرد است: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

پاسخ: - 2.

مثال 6

صفحه O x y z با طول برداری a → برابر با 6 3، b → (- 2، 1، 2) با زاویه 30 درجه در نظر گرفته می شود. مختصات طرح ریزی a → را روی محور L پیدا کنید.

راه حل

ابتدا طرح عددی بردار a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 را محاسبه می کنیم. .

بر اساس شرط، زاویه تند است، سپس طرح عددی a → = طول طرح بردار a →: n p L a → = n p L a → → = 9. این موردنشان می دهد که بردارهای n p L a → → و b → هم جهت هستند، به این معنی که یک عدد t وجود دارد که برابری برای آن صادق است: n p L a → → = t · b → . از اینجا می بینیم که n p L a → → = t · b → ، یعنی می توانیم مقدار پارامتر t را پیدا کنیم: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

سپس n p L a → → = 3 · b → با مختصات طرح بردار a → بر روی محور L برابر b → = (- 2 , 1 , 2) ، جایی که لازم است مقادیر را در 3. n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) داریم. پاسخ: (- 6، 3، 6).

لازم است اطلاعات آموخته شده قبلی در مورد شرایط همخطی بودن بردارها تکرار شود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

طرح جبری یک برداردر هر محوری برابر است با حاصل ضرب طول بردار و کسینوس زاویه بین محور و بردار:

Pr a b = |b|cos(a,b) or

در جایی که a b حاصل ضرب اسکالر بردارها است، |a| - مدول بردار a.

دستورالعمل ها. برای یافتن طرح بردار Pr a b به صورت آنلاین، باید مختصات بردارهای a و b را مشخص کنید. در این حالت می توان بردار را در صفحه (دو مختصات) و در فضا (سه مختصات) مشخص کرد. راه حل به دست آمده در یک فایل Word ذخیره می شود. اگر بردارها از طریق مختصات نقاط مشخص شده اند، باید از این ماشین حساب استفاده کنید.

طبقه بندی پیش بینی های برداری

انواع پیش بینی ها بر اساس تعریف طرح ریزی برداری

طرح هندسی بردار AB بر روی محور (بردار) را بردار A"B" می نامند که ابتدای آن A' برآمدگی شروع A بر روی محور (بردار) و انتهای B' برآمدگی است. از انتهای B بر روی همان محور.
طرح جبری بردار AB بر روی محور (بردار) طول بردار A"B" نامیده می شود که با علامت + یا - گرفته می شود، بسته به اینکه آیا بردار A"B" همان جهت محور را داشته باشد. بردار).

انواع پیش بینی ها بر اساس سیستم مختصات

ویژگی های بردار پروجکشن

برآمدگی هندسی یک بردار بردار است (جهت دارد).
طرح جبری یک بردار یک عدد است.

قضایای طرح برداری برداری

قضیه 1. طرح مجموع بردارها بر روی هر محوری برابر است با طرح مجموع بردارها بر روی همان محور.

AC" =AB" +B"C"

قضیه 2. طرح جبری یک بردار بر روی هر محوری برابر است با حاصل ضرب طول بردار و کسینوس زاویه بین محور و بردار:

Pr a b = |b|·cos(a,b)

انواع پیش بینی های برداری

طرح ریزی بر روی محور OX.
طرح ریزی بر روی محور OY.
طرح ریزی بر روی یک بردار

طرح ریزی بر روی محور OX	طرح ریزی بر روی محور OY	فرافکنی به بردار
اگر جهت بردار A’B’ با جهت محور OX منطبق باشد، طرح بردار A’B’ علامت مثبت دارد.	اگر جهت بردار A’B’ با جهت محور OY منطبق باشد، طرح بردار A’B’ دارای علامت مثبت است.	اگر جهت بردار A’B’ با جهت بردار NM منطبق باشد، طرح بردار A’B’ دارای علامت مثبت است.
اگر جهت بردار مخالف جهت محور OX باشد، برآمدگی بردار A’B’ دارای علامت منفی است.	اگر جهت بردار A’B’ مخالف جهت محور OY باشد، طرح بردار A’B’ دارای علامت منفی است.	اگر جهت بردار A’B’ مخالف جهت بردار NM باشد، طرح بردار A’B’ دارای علامت منفی است.
اگر بردار AB موازی با محور OX باشد، طرح بردار A'B برابر با قدر مطلق بردار AB است.	اگر بردار AB موازی با محور OY باشد، طرح بردار A'B برابر با قدر مطلق بردار AB است.	اگر بردار AB موازی با بردار NM باشد، طرح بردار A'B برابر با قدر مطلق بردار AB است.
اگر بردار AB بر محور OX عمود باشد، آنگاه طرح A’B برابر با صفر است (بردار تهی).	اگر بردار AB بر محور OY عمود باشد، آنگاه طرح A’B برابر با صفر است (بردار تهی).	اگر بردار AB بر بردار NM عمود باشد، آنگاه طرح A'B برابر با صفر است (بردار تهی).

1. سوال: آیا طرح یک بردار می تواند علامت منفی داشته باشد؟ پاسخ: بله، بردار طرح ریزی می تواند یک مقدار منفی باشد. در این حالت، بردار جهت مخالف دارد (نگاه کنید که محور OX و بردار AB چگونه جهت می‌شوند)
2. سوال: آیا طرح یک بردار می تواند با قدر مطلق بردار منطبق باشد؟ پاسخ: بله، می تواند. در این حالت، بردارها موازی هستند (یا روی یک خط قرار دارند).
3. سوال: آیا طرح یک بردار می تواند برابر با صفر باشد (بردار تهی). پاسخ: بله، می تواند. در این حالت بردار بر محور (بردار) مربوطه عمود است.

مثال 1. بردار (شکل 1) با محور OX زاویه 60 درجه تشکیل می دهد (با بردار a مشخص شده است). اگر OE یک واحد مقیاس است، پس |b|=4، بنابراین .

در واقع، طول بردار ( طرح ریزی هندسیب) برابر 2 است و جهت آن با جهت محور OX منطبق است.

مثال 2. بردار (شکل 2) یک زاویه (a,b) = 120 o با محور OX (با بردار a) تشکیل می دهد. طول |b| بردار b برابر با 4 است، بنابراین pr a b=4·cos120 o = -2.

در واقع، طول بردار 2 است و جهت مخالف جهت محور است.

فرافکنیبردار روی محور برداری است که از ضرب برجستگی یک بردار بر روی این محور و بردار واحد این محور به دست می آید. به عنوان مثال، اگر x- طرح ریزی اسکالربردار آبه محور X، سپس x من- طرح برداری برداری آن بر روی این محور.

بیایید نشان دهیم طرح برداری برداریهمانند خود بردار، اما با شاخص محوری که بردار روی آن تابیده می شود. بنابراین، طرح برداری برداری از بردار آدر محور X که نشان می دهیم آایکس ( چربیحرفی که بردار و زیرنویس نام محور را نشان می دهد) یا (حرفی غیر پررنگ که نشان دهنده بردار است، اما با فلش در بالا (!) و زیرنویس نام محور).

طرح ریزی اسکالربردار در هر محور نامیده می شود عدد، که قدر مطلق آن برابر است با طول قطعه محور (در مقیاس انتخاب شده) محصور بین پیش بینی های نقطه شروع و نقطه پایان بردار. معمولا به جای بیان طرح ریزی اسکالرآنها به سادگی می گویند - طرح ریزی. طرح ریزی با همان حرف بردار پیش بینی شده (در نوشتار معمولی و غیر پررنگ) با شاخص پایین تر (به عنوان یک قاعده) از نام محوری که این بردار روی آن پیش بینی می شود نشان داده می شود. به عنوان مثال، اگر بردار بر روی محور X پیش بینی شود آ،سپس طرح آن با x نشان داده می شود. هنگامی که همان بردار را بر روی یک محور دیگر پرتاب می کنیم، اگر محور Y باشد، برآمدگی آن با y نشان داده می شود.

برای محاسبه پیش بینی برداردر یک محور (مثلاً محور X) باید مختصات نقطه شروع را از مختصات نقطه پایانی آن کم کرد، یعنی
a x = x k − x n.
طرح ریزی یک بردار روی یک محور یک عدد است.علاوه بر این، اگر مقدار x k بزرگتر از مقدار x n باشد، پیش بینی می تواند مثبت باشد.

اگر مقدار x k کمتر از مقدار x n باشد منفی است

و برابر صفر اگر x k برابر x n باشد.

با دانستن مدول بردار و زاویه ای که با این محور ایجاد می کند، می توان طرح یک بردار را بر روی یک محور نیز یافت.

از شکل مشخص است که a x = a Cos α

یعنی طرح بردار بر روی محور برابر است با حاصل ضرب مدول بردار و کسینوس زاویه بین جهت محور و جهت برداری. اگر زاویه حاد است، پس
Cos α > 0 و a x > 0، و اگر منفرد باشد، کسینوس زاویه منفذ منفی است و بردار بر روی محور نیز منفی خواهد بود.

زوایای اندازه گیری شده از محور در خلاف جهت عقربه های ساعت مثبت و زوایای اندازه گیری شده در امتداد محور منفی در نظر گرفته می شوند. با این حال، از آنجایی که کسینوس یک تابع زوج است، یعنی Cos α = Cos (-α)، هنگام محاسبه پیش بینی ها، زاویه ها را می توان هم در جهت عقربه های ساعت و هم در خلاف جهت عقربه های ساعت شمارش کرد.

برای یافتن طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور، مدول این بردار باید در کسینوس زاویه بین جهت محور و جهت بردار ضرب شود.

مختصات برداری- ضرایب تنها ترکیب خطی ممکن از بردارهای پایه در سیستم مختصات انتخاب شده، برابر با بردار داده شده.

مختصات بردار کجاست.

حاصلضرب عددیبردارها

حاصل ضرب اسکالر بردارها[- در ابعاد محدود فضای برداریبه عنوان مجموع حاصل ضرب اجزای یکسان تعریف می شود بردارها.

برای مثال S.p.v. آ = (آ 1 , ..., a n) و ب = (ب 1 , ..., b n):

(آ , ب ) = آ 1 ب 1 + آ 2 ب 2 + ... + a n b n