نام دیگری برای عدد پی چیست؟ عدد PI چیست و به چه معناست؟ تاریخچه مختصری از محاسبات π

معرفی

مقاله حاوی فرمول های ریاضی است، پس برای مطالعه به سایت مراجعه کنید تا به درستی نمایش داده شود.عدد \(\pi\) تاریخچه غنی دارد. این ثابت نشان دهنده نسبت محیط دایره به قطر آن است.

در علم، عدد \(\pi \) در هر محاسباتی که شامل دایره‌ها می‌شود استفاده می‌شود. از حجم یک قوطی نوشابه گرفته تا مدار ماهواره ها. و نه فقط دایره ها. در واقع، در مطالعه خطوط منحنی، عدد \(\pi \) به درک سیستم های تناوبی و نوسانی کمک می کند. مثلا امواج الکترومغناطیسی و حتی موسیقی.

در سال 1706، در کتاب مقدمه ای جدید بر ریاضیات توسط دانشمند بریتانیایی ویلیام جونز (1675-1749)، برای اولین بار از حرف الفبای یونانی \(\pi\) برای نشان دادن عدد 3.141592 استفاده شد. این نام از حرف اولیه کلمات یونانی περιφερεια - دایره، پیرامون و περιµετρoς - محیط می آید. این نام پس از کار لئونارد اویلر در سال 1737 به طور کلی پذیرفته شد.

دوره هندسی

ثابت بودن نسبت طول هر دایره به قطر آن برای مدت طولانی مورد توجه بوده است. ساکنان بین النهرین از تقریب نسبتاً تقریبی عدد \(\pi\) استفاده می کردند. همانطور که از مسائل باستانی بر می آید، آنها از مقدار \(\pi ≈ 3\) در محاسبات خود استفاده می کنند.

مقدار دقیق تری برای \(\pi\) توسط مصریان باستان استفاده می شد. در لندن و نیویورک دو قطعه پاپیروس مصر باستان نگهداری می شود که به آنها "پاپیروس ریندا" می گویند. این پاپیروس توسط کاتب آرمز بین سال‌های 2000 تا 1700 جمع‌آوری شد. قبل از میلاد آرمز در پاپیروس خود نوشت که مساحت دایره ای با شعاع \(r\) برابر است با مساحت مربعی که ضلع آن برابر با \(\frac(8)(9) \) است. قطر دایره \(\frac(8)(9) \cdot 2r \)، یعنی \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). بنابراین \(\pi = 3.16\).

ارشمیدس ریاضیدان یونان باستان (287-212 قبل از میلاد) اولین کسی بود که مسئله اندازه گیری یک دایره را بر مبنای علمی مطرح کرد. او امتیاز \(3\frac(10)(71) را دریافت کرد< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

روش بسیار ساده است، اما در صورت عدم وجود جداول آماده از توابع مثلثاتی، استخراج ریشه ها مورد نیاز خواهد بود. علاوه بر این، تقریب بسیار آهسته به \(\pi \) همگرا می شود: با هر تکرار خطا فقط چهار برابر کاهش می یابد.

دوره تحلیلی

با وجود این، تا اواسط قرن هفدهم، تمام تلاش‌های دانشمندان اروپایی برای محاسبه عدد \(\pi\) به افزایش اضلاع چندضلعی ختم شد. برای مثال، ریاضیدان هلندی لودولف ون زایلن (1540-1610) مقدار تقریبی عدد \(\pi\) را با دقت 20 رقم اعشاری محاسبه کرد.

10 سال طول کشید تا او محاسبه کند. با دوبرابر کردن تعداد اضلاع چند ضلعی های محاط شده و محاط شده به روش ارشمیدس، او به \(60 \cdot 2^(29) \) رسید - مثلثی برای محاسبه \(\pi \) با 20 رقم اعشار.

پس از مرگ او، 15 رقم دقیق دیگر از عدد \(\pi\) در دست نوشته های او کشف شد. لودولف وصیت کرد که نشانه هایی که پیدا کرد روی سنگ قبرش حک شود. به افتخار او، عدد \(\pi\) را گاهی "عدد لودولف" یا "ثابت لودولف" می نامیدند.

یکی از اولین کسانی که روشی متفاوت از روش ارشمیدس معرفی کرد، فرانسوا ویته (1540-1603) بود. او به این نتیجه رسید که دایره ای که قطر آن برابر با یک است مساحت دارد:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1 )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]

از طرف دیگر، منطقه \(\frac(\pi)(4)\) است. با جایگزینی و ساده کردن عبارت، می‌توانیم فرمول حاصل بی‌نهایت زیر را برای محاسبه مقدار تقریبی \(\frac(\pi)(2)\ بدست آوریم:

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2 )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

فرمول حاصل اولین عبارت تحلیلی دقیق برای عدد \(\pi\) است. علاوه بر این فرمول، ویت با استفاده از روش ارشمیدس، با استفاده از چند ضلعی های محاطی و محاطی، که با یک ضلعی 6 شروع می شود و با چند ضلعی با اضلاع \(2^(16) \cdot 6 \) ختم می شود، یک تقریب ارائه کرد. از عدد \(\pi \) با 9 با علائم سمت راست.

ریاضیدان انگلیسی ویلیام برونکر (1620-1684)، با استفاده از کسر ادامه یافته، نتایج زیر را برای محاسبه \(\frac(\pi)(4)\ به دست آورد:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2 ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots))))))) \]

این روش برای محاسبه تقریب عدد \(\frac(4)(\pi)\) به محاسبات بسیار زیادی برای بدست آوردن یک تقریب کوچک نیاز دارد.

مقادیر به دست آمده در نتیجه جایگزینی یا بزرگتر یا کوچکتر از عدد \(\pi\) هستند و هر بار به مقدار واقعی نزدیکتر می شوند، اما برای به دست آوردن مقدار 3.141592 باید بسیار بزرگ انجام شود. محاسبات

یکی دیگر از ریاضیدانان انگلیسی جان ماچین (1686-1751) در سال 1706، برای محاسبه عدد \(\pi\) با 100 رقم اعشار، از فرمول استخراج شده توسط لایبنیتس در سال 1673 استفاده کرد و آن را به صورت زیر به کار برد:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

این سری به سرعت همگرا می شود و با کمک آن می توانید عدد \(\pi \) را با دقت زیادی محاسبه کنید. از این نوع فرمول ها برای ثبت چندین رکورد در دوران کامپیوتر استفاده شده است.

در قرن هفدهم با شروع دوره ریاضیات با مقدار متغیر، مرحله جدیدی در محاسبه \(\pi\) آغاز شد. ریاضیدان آلمانی گوتفرید ویلهلم لایبنیتس (1646-1716) در سال 1673 تجزیه عدد \(\pi\) را پیدا کرد، به طور کلی می توان آن را به صورت سری نامتناهی زیر نوشت:

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

این سری با جایگزین کردن x = 1 به \(arctg x = x – \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + به دست می‌آید. \frac (x^9)(9) – \cdots\)

لئونارد اویلر ایده لایب نیتس را در آثارش در مورد استفاده از سری برای آرکتان x در محاسبه عدد \(\pi\) توسعه داد. رساله "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (درباره روشهای مختلف بیان مربع کردن دایره با اعداد تقریبی) که در سال 1738 نوشته شده است، روشهایی را برای بهبود محاسبات با استفاده از فرمول لایبنیتس مورد بحث قرار می دهد.

اویلر می نویسد که اگر آرگومان به سمت صفر گرایش پیدا کند، سری برای متقاطع سریعتر همگرا می شود. برای \(x = 1\)، همگرایی سری بسیار آهسته است: برای محاسبه با دقت 100 رقم، باید عبارت \(10^(50)\) سری را اضافه کرد. با کاهش مقدار آرگومان می توانید محاسبات را سرعت بخشید. اگر \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\ را بگیریم، سری را بدست می آوریم

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 – \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

به گفته اویلر، اگر 210 عبارت از این سری را بگیریم، 100 رقم صحیح از عدد بدست می آید. سری حاصل ناخوشایند است زیرا لازم است مقدار نسبتاً دقیقی از عدد غیر منطقی \(\sqrt(3)\) دانست. اویلر همچنین در محاسبات خود از بسط رگه های قطبی به مجموع آرکتنژانت های آرگومان های کوچکتر استفاده کرد:

\[جایی که x = n + \frac(n^2-1)(m-n)، y = m + p، z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

همه فرمول‌های محاسبه \(\pi\) که اویلر در دفترچه‌هایش استفاده می‌کرد منتشر نشد. او در مقالات و دفترهای منتشر شده، 3 سری مختلف را برای محاسبه تانژانت در نظر گرفت و همچنین اظهارات زیادی در مورد تعداد عبارت های قابل جمع مورد نیاز برای به دست آوردن مقدار تقریبی \(\pi\) با دقت داده شده بیان کرد.

در سال‌های بعد، اصلاحات در مقدار عدد \(\pi\) سریع‌تر و سریع‌تر اتفاق افتاد. به عنوان مثال، در سال 1794، گئورگ وگا (1754-1802) قبلاً 140 علامت را شناسایی کرده بود که تنها 136 علامت صحیح بود.

دوره محاسباتی

قرن بیستم با مرحله کاملاً جدیدی در محاسبه عدد \(\pi\) مشخص شد. ریاضی دان هندی سرینیواسا رامانوجان (1887-1920) فرمول های جدیدی برای \(\pi\) کشف کرد. در سال 1910، او فرمولی برای محاسبه \(\pi\) از طریق انبساط قطبی در یک سری تیلور به دست آورد:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

در k=100، دقت 600 رقم صحیح عدد \(\pi\) بدست می آید.

ظهور رایانه ها باعث شد تا دقت مقادیر به دست آمده در مدت زمان کوتاه تری به میزان قابل توجهی افزایش یابد. در سال 1949، تنها در 70 ساعت، با استفاده از ENIAC، گروهی از دانشمندان به رهبری جان فون نویمان (1903-1957) 2037 رقم اعشار برای عدد \(\pi\) بدست آوردند. در سال 1987، دیوید و گریگوری چادنوفسکی فرمولی را به دست آوردند که با آن توانستند چندین رکورد در محاسبه \(\pi\) ثبت کنند:

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

هر عضو سری 14 رقم می دهد. در سال 1989، 1,011,196,691 رقم اعشار به دست آمد. این فرمول برای محاسبه \(\pi \) در رایانه های شخصی مناسب است. در حال حاضر، این برادران استاد مؤسسه پلی تکنیک دانشگاه نیویورک هستند.

یک پیشرفت مهم اخیر، کشف فرمول در سال 1997 توسط سایمون پلوف بود. این به شما امکان می دهد هر رقم هگزادسیمال عدد \(\pi\) را بدون محاسبه رقم های قبلی استخراج کنید. این فرمول به افتخار نویسندگان مقاله ای که فرمول برای اولین بار در آن منتشر شد، "فرمول بیلی-بوروین-پلوف" نامیده می شود. به نظر می رسد این است:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) – \frac(2)(8k+4 ) – \frac(1)(8k+5) – \frac(1)(8k+6)) .\]

در سال 2006، Simon با استفاده از PSLQ، فرمول های خوبی برای محاسبه \(\pi\) ارائه کرد. مثلا،

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1))، \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) – 1) – \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1))، \]

جایی که \(q = e^(\pi)\). در سال 2009، دانشمندان ژاپنی با استفاده از ابررایانه T2K Tsukuba System، عدد \(\pi\) را با 2,576,980,377,524 رقم اعشار به دست آوردند. محاسبات 73 ساعت و 36 دقیقه طول کشید. این کامپیوتر به 640 پردازنده چهار هسته ای AMD Opteron مجهز بود که عملکرد 95 تریلیون عملیات در ثانیه را ارائه می کرد.

دستاورد بعدی در محاسبه \(\pi\) متعلق به برنامه نویس فرانسوی Fabrice Bellard است که در پایان سال 2009 در رایانه شخصی خود که فدورا 10 را اجرا می کرد، با محاسبه 2,699,999,990,000 رقم اعشار عدد \(\pi\) رکوردی را ثبت کرد. ). طی 14 سال گذشته، این اولین رکورد جهانی است که بدون استفاده از ابر رایانه به ثبت رسیده است. برای عملکرد بالا، فابریس از فرمول برادران چادنوفسکی استفاده کرد. در مجموع، محاسبه 131 روز طول کشید (103 روز محاسبات و 13 روز تأیید نتیجه). دستاورد Bellar نشان داد که چنین محاسباتی نیازی به ابر رایانه ندارد.

تنها شش ماه بعد، رکورد فرانسوا توسط مهندسان الکساندر یی و سینگر کوندو شکسته شد. برای ثبت رکورد 5 تریلیون رقم اعشار \(\pi\)، یک رایانه شخصی نیز استفاده شد، اما با ویژگی های چشمگیرتر: دو پردازنده Intel Xeon X5680 با فرکانس 3.33 گیگاهرتز، 96 گیگابایت رم، 38 ترابایت حافظه دیسک و سیستم عامل Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. الکساندر و سینگر برای محاسبات از فرمول برادران چادنوفسکی استفاده کردند. فرآیند محاسبه 90 روز و 22 ترابایت فضای دیسک طول کشید. در سال 2011، آنها با محاسبه 10 تریلیون رقم اعشار برای عدد \(\pi\) رکورد دیگری را ثبت کردند. محاسبات روی همان کامپیوتری انجام شد که رکورد قبلی آنها در آن ثبت شده بود و در مجموع 371 روز طول کشید. در پایان سال 2013، الکساندر و سینگرو رکورد را به 12.1 تریلیون رقم از عدد \(\pi\) ارتقا دادند که محاسبه آن تنها 94 روز طول کشید. این بهبود عملکرد با بهینه سازی عملکرد نرم افزار، افزایش تعداد هسته های پردازنده و بهبود قابل توجه تحمل خطای نرم افزار به دست می آید.

رکورد فعلی الکساندر یی و سینگر کوندو است که 12.1 تریلیون رقم اعشار \(\pi\) است.

بنابراین، روش‌های محاسبه عدد \(\pi\) که در زمان‌های قدیم استفاده می‌شد، روش‌های تحلیلی و همچنین روش‌ها و سوابق مدرن برای محاسبه عدد \(\pi\) در رایانه‌ها را بررسی کردیم.

فهرست منابع

1. ژوکوف A.V. شماره همه جا حاضر Pi - M.: انتشارات LKI، 2007 - 216 p.
2. F.Rudio. در مورد تربیع دایره، با استفاده از تاریخچه موضوع که توسط F. Rudio گردآوری شده است. / Rudio F. – M.: ONTI NKTP USSR, 1936. – 235c.
3. Arndt، J. Pi Unleashed / J. Arndt، C. Haenel. – Springer, 2001. – 270p.
4. شوخمان، ای.وی. محاسبه تقریبی پی با استفاده از سری برای arctan x در آثار منتشر شده و منتشر نشده Leonhard Euler / E.V. شوخمان. – تاریخ علم و فناوری، ۱۳۸۷ – شماره ۴. – ص 2-17.
5. اویلر، L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 – ج.9 – 222-236 ص.
6. شومیخین، اس. شماره پی. تاریخ 4000 ساله / S. Shumikhin, A. Shumikhina. – M.: Eksmo, 2011. – 192 p.
7. بوروین، جی.ام. رامانوجان و عدد پی. / Borwein, J.M., Borwein P.B. در دنیای علم. 1988 – شماره 4. – صص 58-66.
8. الکس یی. دنیای اعداد حالت دسترسی: numberworld.org

دوست داشت؟

بگو

پی یکی از محبوب ترین مفاهیم ریاضی است. درباره او عکس نوشته می شود، فیلم ساخته می شود، با آلات موسیقی نواخته می شود، اشعار و اعیاد به او تقدیم می شود، در متون مقدس جستجو و یافت می شود.

چه کسی پی را کشف کرد؟

چه کسی و چه زمانی برای اولین بار عدد π را کشف کرد هنوز یک راز باقی مانده است. مشخص است که سازندگان بابل باستان قبلاً از آن در طراحی خود استفاده کامل کرده بودند. لوح های میخی که هزاران سال قدمت دارند حتی مشکلاتی را که پیشنهاد شده بود با استفاده از π حل شوند حفظ می کنند. درست است، پس اعتقاد بر این بود که π برابر با سه است. این را لوحی که در شهر شوش در دویست کیلومتری بابل یافت شد، نشان می دهد که عدد π 3 1/8 نشان داده شده است.

در فرآیند محاسبه π، بابلی ها دریافتند که شعاع دایره به صورت وتر شش بار وارد آن می شود و دایره را به 360 درجه تقسیم کردند. و در عین حال با مدار خورشید هم همین کار را کردند. بنابراین، آنها تصمیم گرفتند در نظر بگیرند که 360 روز در سال وجود دارد.

در مصر باستان، π برابر با 3.16 بود.
در هند باستان - 3088.
در ایتالیا در آغاز عصر، اعتقاد بر این بود که π برابر با 3.125 است.

در دوران باستان، اولین ذکری از π به مسئله معروف مربع کردن دایره اشاره دارد، یعنی عدم امکان استفاده از قطب نما و خط کش برای ساخت مربعی که مساحت آن برابر با مساحت یک دایره خاص است. ارشمیدس π را با کسری 22/7 برابر دانست.

نزدیکترین افراد به مقدار دقیق π در چین آمده اند. در قرن پنجم میلادی محاسبه شد. ه. ستاره شناس معروف چینی تزو چون ژی. π کاملاً ساده محاسبه شد. لازم بود اعداد فرد را دو بار بنویسید: 11 33 55 و سپس با تقسیم آنها به دو نیم، اولی را در مخرج کسر و دومی را در صورتگر قرار دهید: 355/113. نتیجه با محاسبات مدرن π تا رقم هفتم مطابقت دارد.

چرا π – π؟

اکنون حتی دانش آموزان مدرسه نیز می دانند که عدد π یک ثابت ریاضی است برابر با نسبت محیط یک دایره به طول قطر آن و برابر است با π 3.1415926535 ... و سپس بعد از نقطه اعشار - به بی نهایت.

این عدد نام π را به روشی پیچیده به دست آورد: ابتدا، در سال 1647، ریاضیدان اوترید از این حرف یونانی برای توصیف طول یک دایره استفاده کرد. او حرف اول کلمه یونانی περιφέρεια - "پیرامون" را گرفت. در سال 1706 ، معلم انگلیسی ویلیام جونز در کار خود "بررسی دستاوردهای ریاضیات" قبلاً نسبت محیط دایره به قطر آن را با حرف π نامید. و این نام توسط ریاضیدان قرن هجدهم، لئونارد اویلر، تثبیت شد، که در برابر قدرت او بقیه سر خود را خم کردند. بنابراین π تبدیل به π شد.

منحصر به فرد بودن عدد

Pi یک عدد واقعا منحصر به فرد است.

1. دانشمندان معتقدند که تعداد ارقام عدد π بی نهایت است. دنباله آنها تکرار نمی شود. علاوه بر این، هیچ کس هرگز نمی تواند تکرارها را پیدا کند. از آنجایی که عدد بی نهایت است، می تواند مطلقاً شامل همه چیز باشد، حتی سمفونی راخمانینوف، عهد عتیق، شماره تلفن شما و سالی که آخرالزمان در آن رخ می دهد.

2. π با نظریه آشوب مرتبط است. دانشمندان پس از ایجاد برنامه کامپیوتری بیلی به این نتیجه رسیدند که نشان داد دنباله اعداد در π کاملا تصادفی است که با این نظریه مطابقت دارد.

3. تقریباً غیرممکن است که عدد را به طور کامل محاسبه کنید - زمان زیادی می برد.

4. π یک عدد غیر منطقی است، یعنی مقدار آن را نمی توان به صورت کسری بیان کرد.

5. π – عدد ماورایی. با انجام هیچ گونه عملیات جبری روی اعداد صحیح نمی توان آن را به دست آورد.

6. سی و نه رقم اعشار در عدد π برای محاسبه طول دایره ای که اجرام کیهانی شناخته شده در کیهان را احاطه کرده است، با خطای شعاع اتم هیدروژن کافی است.

7. عدد π با مفهوم "نسبت طلایی" مرتبط است. در فرآیند اندازه گیری هرم بزرگ جیزه، باستان شناسان دریافتند که ارتفاع آن با طول قاعده آن مرتبط است، همانطور که شعاع یک دایره با طول آن مرتبط است.

سوابق مربوط به π

در سال 2010، ریاضیدان یاهو، نیکلاس ژ، توانست دو کوادریلیون رقم اعشار (2x10) را در عدد π محاسبه کند. 23 روز طول کشید و این ریاضیدان به دستیاران زیادی نیاز داشت که روی هزاران رایانه کار می کردند و با استفاده از فناوری محاسبات توزیع شده متحد می شدند. این روش انجام محاسبات را با چنین سرعت خارق العاده ای امکان پذیر کرد. محاسبه یک چیز مشابه روی یک کامپیوتر بیش از 500 سال طول می کشد.

برای اینکه بتوانید همه اینها را به سادگی روی کاغذ بنویسید، به یک نوار کاغذی بیش از دو میلیارد کیلومتر نیاز دارید. اگر چنین رکوردی را گسترش دهید، پایان آن فراتر از منظومه شمسی خواهد رفت.

لیو چائو چینی رکورد به خاطر سپردن دنباله ارقام عدد π را ثبت کرد. در عرض 24 ساعت و 4 دقیقه، لیو چائو 67890 رقم اعشار را بدون یک اشتباه گفت.

π طرفداران زیادی دارد. روی آلات موسیقی نواخته می شود و معلوم می شود که عالی به نظر می رسد. آنها آن را به خاطر می آورند و تکنیک های مختلفی برای این کار ارائه می کنند. برای سرگرمی، آن را در رایانه خود دانلود می کنند و به یکدیگر مباهات می کنند که چه کسی بیشتر دانلود کرده است. یادبودهایی برای او ساخته می شود. به عنوان مثال، چنین بنای تاریخی در سیاتل وجود دارد. روی پله های روبروی موزه هنر واقع شده است.

π در دکوراسیون و طراحی داخلی استفاده می شود. اشعاری به او تقدیم شده است، او را در کتب مقدس و در حفاری ها جستجو می کنند. حتی یک "باشگاه π" وجود دارد.
در بهترین سنت های π، نه یک، بلکه دو روز کامل در سال به عدد اختصاص داده شده است! اولین باری که روز π جشن گرفته می شود 14 مارس است. شما باید دقیقاً در 1 ساعت و 59 دقیقه و 26 ثانیه به یکدیگر تبریک بگویید. بنابراین، تاریخ و زمان مطابق با اولین ارقام شماره - 3.1415926 است.

برای دومین بار، تعطیلات π در 22 ژوئیه جشن گرفته می شود. این روز با به اصطلاح "π تقریبی" مرتبط است که ارشمیدس آن را به صورت کسری یادداشت کرد.
معمولاً در این روز دانش آموزان، دانش آموزان مدرسه و دانشمندان فلش ماب ها و اقدامات خنده دار ترتیب می دهند. ریاضیدانان در حال تفریح ​​از π برای محاسبه قوانین ساندویچ در حال سقوط استفاده می کنند و به یکدیگر جوایز طنز می دهند.
و به هر حال، π را می توان در کتب مقدس یافت. مثلاً در کتاب مقدس. و در آنجا عدد π برابر است با ... سه.

پی برابر با چیست؟ما از مدرسه می دانیم و به یاد داریم. برابر است با 3.1415926 و... کافی است یک فرد عادی بداند که این عدد از تقسیم محیط یک دایره بر قطر آن به دست می آید. اما بسیاری از مردم می دانند که عدد پی نه تنها در زمینه های غیرمنتظره ریاضیات و هندسه، بلکه در فیزیک نیز ظاهر می شود. خوب، اگر به جزئیات ماهیت این عدد بپردازید، در میان سری های بی پایان اعداد، چیزهای شگفت انگیز زیادی را متوجه خواهید شد. آیا ممکن است پی عمیق ترین اسرار جهان را پنهان کند؟

تعداد بی نهایت

خود عدد پی در دنیای ما به عنوان طول دایره ای ظاهر می شود که قطر آن برابر با یک است. اما علیرغم اینکه قطعه مساوی Pi کاملا متناهی است، عدد Pi با 3.1415926 شروع می شود و در ردیف هایی از اعداد که هرگز تکرار نمی شوند تا بی نهایت می رود. اولین واقعیت شگفت انگیز این است که این عدد را که در هندسه استفاده می شود، نمی توان به صورت کسری از اعداد کامل بیان کرد. به عبارت دیگر، شما نمی توانید آن را به عنوان نسبت دو عدد a/b بنویسید. علاوه بر این، عدد پی ماورایی است. این بدان معنی است که هیچ معادله ای (چند جمله ای) با ضرایب صحیح وجود ندارد که حل آن عدد Pi باشد.

این حقیقت که عدد پی ماورایی است در سال 1882 توسط ریاضیدان آلمانی فون لیندمان ثابت شد. این اثبات بود که پاسخی به این سؤال شد که آیا می توان با استفاده از قطب نما و خط کش مربعی را رسم کرد که مساحت آن برابر با مساحت یک دایره معین است؟ این مشکل به عنوان جستجو برای مربع کردن یک دایره شناخته می شود که از زمان های قدیم بشر را نگران کرده است. به نظر می رسید که این مشکل راه حل ساده ای دارد و در شرف حل شدن است. اما دقیقاً ویژگی غیرقابل درک عدد Pi بود که نشان داد هیچ راه حلی برای مشکل مربع کردن دایره وجود ندارد.

برای حداقل چهار و نیم هزاره، بشریت در تلاش بوده است تا ارزشی دقیق‌تر برای پی بدست آورد. برای مثال، در کتاب مقدس در کتاب سوم پادشاهان (7:23)، عدد پی 3 در نظر گرفته شده است.

مقدار پی با دقت قابل توجه را می توان در اهرام جیزه یافت: نسبت محیط و ارتفاع اهرام 22/7 است. این کسری مقدار تقریبی پی را برابر با 3.142 می دهد ... البته مگر اینکه مصری ها این نسبت را تصادفی تنظیم کنند. همین مقدار قبلاً در رابطه با محاسبه عدد پی در قرن 3 قبل از میلاد توسط ارشمیدس بزرگ بدست آمده بود.

در پاپیروس آهمس، کتاب درسی ریاضیات مصر باستان که قدمت آن به 1650 سال قبل از میلاد برمی گردد، پی به صورت 3.160493827 محاسبه شده است.

در متون باستانی هند در حدود قرن نهم قبل از میلاد، دقیق ترین مقدار را عدد 339/108 بیان کرده اند که برابر با 3.1388...

تقریباً دو هزار سال پس از ارشمیدس، مردم سعی کردند راه هایی برای محاسبه پی بیابند. در میان آنها ریاضیدانان معروف و ناشناخته بودند. به عنوان مثال، معمار رومی مارکوس ویترویوس پولیو، ستاره شناس مصری کلودیوس بطلمیوس، ریاضیدان چینی لیو هوی، حکیم هندی آریابهاتا، ریاضیدان قرون وسطایی لئوناردو از پیزا، معروف به فیبوناچی، دانشمند عرب الخوارزمی، که از نام او نام برده شده است. "الگوریتم" ظاهر شد. همه آنها و بسیاری از افراد دیگر به دنبال دقیق ترین روش ها برای محاسبه پی بودند، اما تا قرن پانزدهم به دلیل پیچیدگی محاسبات، هرگز بیش از 10 رقم اعشار به دست نیاوردند.

سرانجام در سال 1400 ریاضیدان هندی مادهاوا از سانگاماگرام پی را با دقت 13 رقم محاسبه کرد (البته او هنوز در دو رقم آخر اشتباه می کرد).

تعداد نشانه ها

در قرن هفدهم، لایب‌نیتس و نیوتن تجزیه و تحلیل کمیت‌های بی‌نهایت کوچک را کشف کردند، که امکان محاسبه پی را به صورت تدریجی - از طریق سری‌های توانی و انتگرال‌ها فراهم کرد. خود نیوتن 16 رقم اعشار را محاسبه کرد، اما در کتاب های خود به آن اشاره نکرد - این پس از مرگ او شناخته شد. نیوتن ادعا کرد که پی را صرفاً از روی بی حوصلگی محاسبه کرده است.

تقریباً در همان زمان، ریاضیدانان کمتر شناخته شده دیگری نیز مطرح شدند و فرمول های جدیدی را برای محاسبه عدد Pi از طریق توابع مثلثاتی پیشنهاد کردند.

به عنوان مثال، این فرمولی است که برای محاسبه پی توسط معلم نجوم جان ماچین در سال 1706 استفاده می شود: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). ماچین با استفاده از روش های تحلیلی، عدد پی را تا صد رقم اعشار از این فرمول به دست آورد.

به هر حال، در همان سال 1706، شماره پی یک نام رسمی به شکل یک حرف یونانی دریافت کرد: ویلیام جونز از آن در کار خود در ریاضیات استفاده کرد و حرف اول کلمه یونانی "perifery" را به معنای "دایره" گرفت. " لئونارد اویلر بزرگ، متولد 1707، این نام را رایج کرد، که اکنون برای هر دانش آموزی شناخته شده است.

قبل از عصر رایانه، ریاضیدانان بر محاسبه هر چه بیشتر علائم تمرکز داشتند. در این زمینه گاهی اوقات چیزهای خنده داری پیش می آمد. دبلیو شانکس، ریاضیدان آماتور، 707 رقم پی را در سال 1875 محاسبه کرد. این هفتصد تابلو در سال 1937 بر روی دیوار کاخ کشفیات پاریس جاودانه شد. با این حال، نه سال بعد، ریاضیدانان ناظر دریافتند که تنها 527 کاراکتر اول به درستی محاسبه شده است. موزه مجبور شد هزینه های قابل توجهی را برای اصلاح خطا متحمل شود - اکنون همه ارقام درست هستند.

هنگامی که رایانه ها ظاهر شدند، تعداد ارقام Pi شروع به محاسبه به ترتیب کاملاً غیرقابل تصور کرد.

یکی از اولین کامپیوترهای الکترونیکی، ENIAC، که در سال 1946 ساخته شد، از نظر اندازه بسیار زیاد بود و گرمای زیادی تولید می کرد که اتاق تا 50 درجه سانتیگراد گرم می شد، اولین رقم 2037 پی را محاسبه کرد. این محاسبه 70 ساعت طول کشید.

با پیشرفت کامپیوترها، دانش ما از Pi بیشتر و بیشتر به سمت بی نهایت حرکت کرد. در سال 1958، 10 هزار رقم از عدد محاسبه شد. در سال 1987 ژاپنی ها 10013395 کاراکتر را محاسبه کردند. در سال 2011، محقق ژاپنی شیگرو هوندو از مرز 10 تریلیون شخصیت فراتر رفت.

کجا دیگری می توانید پی را ملاقات کنید؟

بنابراین، اغلب دانش ما در مورد عدد Pi در سطح مدرسه باقی می ماند و ما با اطمینان می دانیم که این عدد در درجه اول در هندسه غیر قابل تعویض است.

علاوه بر فرمول‌های طول و مساحت یک دایره، از عدد Pi در فرمول‌های بیضی، کره، مخروط، استوانه، بیضی و غیره استفاده می‌شود: در برخی مکان‌ها فرمول‌ها ساده و به‌خوبی قابل یادآوری هستند، اما در برخی دیگر حاوی انتگرال های بسیار پیچیده هستند.

سپس می توانیم عدد Pi را در فرمول های ریاضی ملاقات کنیم، جایی که در نگاه اول، هندسه قابل مشاهده نیست. برای مثال، انتگرال نامعین 1/(1-x^2) برابر با Pi است.

Pi اغلب در تحلیل سری استفاده می شود. به عنوان مثال، در اینجا یک سری ساده است که به Pi همگرا می شود:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

در میان سری ها، Pi به طور غیرمنتظره ای در تابع زتای معروف ریمان ظاهر می شود. غیرممکن است که به طور خلاصه در مورد آن صحبت کنیم، بگذارید فقط بگوییم که روزی عدد Pi به یافتن فرمولی برای محاسبه اعداد اول کمک خواهد کرد.

و کاملاً شگفت‌انگیز است: پی در دو تا از زیباترین فرمول‌های "سلطنتی" ریاضیات ظاهر می‌شود - فرمول استرلینگ (که به یافتن مقدار تقریبی تابع فاکتوریل و گاما کمک می‌کند) و فرمول اویلر (که پنج عدد ثابت ریاضی را به هم متصل می‌کند).

با این حال، غیر منتظره ترین کشف در انتظار ریاضیدانان نظریه احتمال بود. عدد پی نیز وجود دارد.

برای مثال، احتمال اینکه دو عدد نسبتا اول باشند 6/PI^2 است.

پی در مسئله پرتاب سوزن بوفون، که در قرن هجدهم فرموله شد، ظاهر می شود: احتمال اینکه سوزنی که روی یک کاغذ خط دار انداخته می شود، از یکی از خطوط عبور کند، چقدر است. اگر طول سوزن L و فاصله بین خطوط L و r > L باشد، می توانیم مقدار Pi را با استفاده از فرمول احتمال 2L/rPI تقریبا محاسبه کنیم. فقط تصور کنید - ما می توانیم Pi را از رویدادهای تصادفی دریافت کنیم. و به هر حال، Pi در توزیع احتمال نرمال وجود دارد، در معادله منحنی معروف گاوسی ظاهر می شود. آیا این بدان معناست که Pi حتی از نسبت محیط به قطر ساده‌تر است؟

ما همچنین می توانیم پی را در فیزیک ملاقات کنیم. پی در قانون کولن که نیروی برهمکنش بین دو بار را توصیف می کند، در قانون سوم کپلر که دوره چرخش یک سیاره به دور خورشید را نشان می دهد و حتی در آرایش اوربیتال های الکترونی اتم هیدروژن ظاهر می شود. و چیزی که دوباره باورنکردنی است این است که عدد پی در فرمول اصل عدم قطعیت هایزنبرگ - قانون اساسی فیزیک کوانتومی - پنهان شده است.

اسرار پی

در رمان تماس کارل سیگان، که فیلمی به همین نام بر اساس آن ساخته شده است، بیگانگان به قهرمان می گویند که در میان نشانه های پی پیامی مخفی از جانب خدا وجود دارد. از یک موقعیت خاص، اعداد موجود در عدد تصادفی نیستند و رمزی را نشان می دهند که تمام اسرار جهان در آن نوشته شده است.

این رمان در واقع معمایی را منعکس می کند که ذهن ریاضیدانان سراسر جهان را به خود مشغول کرده است: آیا پی یک عدد عادی است که ارقام آن با فرکانس مساوی پراکنده شده اند یا این عدد مشکلی دارد؟ و اگرچه دانشمندان به گزینه اول تمایل دارند (اما نمی توانند آن را ثابت کنند)، عدد Pi بسیار مرموز به نظر می رسد. یک مرد ژاپنی یک بار محاسبه کرد که اعداد 0 تا 9 در اولین تریلیون رقم پی چند برابر است. و دیدم که اعداد 2 و 4 و 8 بیشتر از بقیه هستند. این ممکن است یکی از نکاتی باشد که Pi کاملاً عادی نیست و اعداد موجود در آن در واقع تصادفی نیستند.

بیایید همه چیزهایی را که در بالا خواندیم به یاد بیاوریم و از خود بپرسیم که کدام عدد غیر منطقی و ماورایی دیگر در دنیای واقعی اغلب یافت می شود؟

و چیزهای عجیب و غریب بیشتری در فروشگاه وجود دارد. به عنوان مثال، مجموع بیست رقم اول پی 20 است و مجموع 144 رقم اول برابر با "تعداد وحش" 666 است.

شخصیت اصلی سریال آمریکایی "مظنون"، پروفسور فینچ، به دانش آموزان گفت که به دلیل بی نهایت بودن عدد پی، هر ترکیبی از اعداد را می توان در آن یافت، از اعداد تاریخ تولد شما تا اعداد پیچیده تر. . به عنوان مثال، در موقعیت 762 دنباله ای از شش نه وجود دارد. این موقعیت به نام فیزیکدان معروفی که متوجه این ترکیب جالب شده، نقطه فاینمن نامیده می شود.

همچنین می دانیم که عدد Pi حاوی دنباله 0123456789 است، اما در رقم 17,387,594,880 قرار دارد.

همه اینها بدان معنی است که در بی نهایت عدد پی نه تنها می توان ترکیب جالبی از اعداد، بلکه متن رمزگذاری شده "جنگ و صلح"، کتاب مقدس و حتی راز اصلی جهان را نیز در صورت وجود یافت.

به هر حال، در مورد کتاب مقدس. مارتین گاردنر، محبوب کننده معروف ریاضیات، در سال 1966 اظهار داشت که رقم میلیونی پی (در آن زمان هنوز ناشناخته است) عدد 5 خواهد بود. او محاسبات خود را با این واقعیت توضیح داد که در نسخه انگلیسی کتاب مقدس، در 3th. کتاب، فصل چهاردهم، 16 آیه (3-14-16) کلمه هفتم شامل پنج حرف است. هشت سال بعد به رقم میلیونی رسید. شماره پنج بود.

آیا ارزش دارد که بعد از این ادعا کنیم که عدد Pi تصادفی است؟

برای محاسبه تعداد زیادی از علائم پی، روش قبلی دیگر مناسب نیست. اما تعداد زیادی دنباله وجود دارد که خیلی سریعتر به Pi همگرا می شوند. برای مثال از فرمول گاوس استفاده می کنیم:

اثبات این فرمول دشوار نیست، بنابراین آن را حذف می کنیم.

کد منبع برنامه شامل "حساب طولانی"

این برنامه NbDigits از اولین ارقام Pi را محاسبه می کند. تابع محاسبه آرکتان arccot ​​نامیده می شود، زیرا arctan(1/p) = arccot(p)، اما محاسبه طبق فرمول Taylor به طور خاص برای arctangent، یعنی arctan(x) = x - x 3 /3 انجام می شود. + x 5 /5 - .. x=1/p، که به معنی arccot(x) = 1/p - 1 / p 3 / 3 + ... محاسبات به صورت بازگشتی رخ می دهند: عنصر قبلی مجموع تقسیم می شود و به دست می آید. بعدی.