نحوه صحیح حل مثال با کسری عبارات پیچیده با کسری. رویه ضرب کسرهای مختلط

دانش آموزان در کلاس پنجم با کسرها آشنا می شوند. قبلاً افرادی که می دانستند چگونه عملیات با کسری را انجام دهند بسیار باهوش در نظر گرفته می شدند. کسر اول 1/2 بود، یعنی نصف، سپس 1/3 ظاهر شد و غیره. برای چندین قرن این نمونه ها بسیار پیچیده تلقی می شدند. اکنون قوانین دقیقی برای تبدیل کسرها، جمع، ضرب و سایر عملیات ایجاد شده است. کافی است مطالب را کمی درک کنید و راه حل آسان خواهد بود.

یک کسر معمولی که کسر نامیده می شود، به صورت تقسیم دو عدد نوشته می شود: m و n.

M سود تقسیمی است، یعنی صورت کسر، و مقسوم علیه n را مخرج می گویند.

کسرهای مناسب (m< n) а также неправильные (m >n).

کسر مناسب کمتر از یک است (مثلاً 5/6 - این بدان معنی است که 5 قسمت از یک گرفته می شود؛ 2/8 - 2 قسمت از یک گرفته می شود). کسر نامناسب برابر یا بزرگتر از 1 است (8/7 - واحد 7/7 است و یک قسمت بیشتر به عنوان مثبت در نظر گرفته می شود).

بنابراین، یکی زمانی است که صورت و مخرج بر هم منطبق باشند (3/3، 12/12، 100/100 و دیگران).

عملیات با کسرهای معمولی، درجه 6

با کسرهای ساده می توانید کارهای زیر را انجام دهید:

• کسری را بسط دهید. اگر قسمت های بالایی و پایینی کسر را در هر عدد یکسانی ضرب کنید (فقط در صفر نیست)، آنگاه مقدار کسری تغییر نخواهد کرد (3/5 = 6/10 (به سادگی در 2 ضرب می شود).
• کسر کسرها شبیه به انبساط است، اما در اینجا آنها بر یک عدد تقسیم می شوند.
• مقایسه کنید. اگر دو کسر دارای اعداد یکسانی باشند، کسری با مخرج کوچکتر بزرگتر خواهد بود. اگر مخرج ها یکسان باشند، کسری با بزرگترین صورت بزرگتر خواهد بود.
• جمع و تفریق را انجام دهید. با مخرج های یکسان، انجام این کار آسان است (قسمت های بالایی را خلاصه می کنیم، اما قسمت پایینی تغییر نمی کند). اگر آنها متفاوت هستند، باید یک مخرج مشترک و عوامل اضافی پیدا کنید.
• کسرها را ضرب و تقسیم کنید.

بیایید به نمونه هایی از عملیات با کسری در زیر نگاه کنیم.

کسرهای کاهش یافته درجه 6

کاهش یعنی تقسیم بالا و پایین یک کسر بر تعدادی مساوی.

شکل نمونه های ساده ای از کاهش را نشان می دهد. در گزینه اول بلافاصله می توانید حدس بزنید که صورت و مخرج بر 2 بخش پذیر هستند.

توجه داشته باشید! اگر عدد زوج باشد، به هر نحوی بر 2 بخش پذیر است اعداد زوج 2، 4، 6...32 هستند 8 (با عدد زوج به پایان می رسد) و غیره.

در حالت دوم، هنگام تقسیم 6 بر 18، بلافاصله مشخص می شود که اعداد بر 2 بخش پذیر هستند. با تقسیم، 3/9 به دست می آید. این کسر بیشتر بر 3 تقسیم می شود. سپس پاسخ 1/3 است. اگر هر دو مقسوم علیه را ضرب کنید: 2 در 3، 6 به دست می آید. معلوم می شود که کسر بر شش تقسیم شده است. این تقسیم تدریجی نامیده می شود کاهش پی در پی کسرها توسط مقسوم علیه های مشترک.

برخی از افراد بلافاصله بر 6 تقسیم می شوند، برخی دیگر باید بر قطعات تقسیم شوند. نکته اصلی این است که در پایان کسری باقی می ماند که به هیچ وجه نمی توان آن را کاهش داد.

توجه داشته باشید که اگر یک عدد از ارقام تشکیل شده باشد که جمع آنها عددی را بر 3 بخش پذیر می کند، عدد اصلی را نیز می توان به 3 کاهش داد. مثال: عدد 341. اعداد را اضافه کنید: 3 + 4 + 1 = 8 (8) بر 3 بخش پذیر نیست، این بدان معناست که عدد 341 را نمی توان بدون باقی مانده به 3 کاهش داد. مثال دیگر: 264. اضافه کنید: 2 + 6 + 4 = 12 (قابل تقسیم بر 3). دریافت می کنیم: 264: 3 = 88. این کار کاهش اعداد بزرگ را آسان تر می کند.

علاوه بر روش کاهش متوالی کسرها توسط مقسوم‌گیرنده‌های مشترک، روش‌های دیگری نیز وجود دارد.

GCD بیشترین است مقسوم علیه بزرگبرای شماره با یافتن gcd برای مخرج و صورت، می توانید بلافاصله کسر را کاهش دهید عدد مناسب. جستجو با تقسیم تدریجی هر عدد انجام می شود. در مرحله بعد ، آنها به این می نگرند که اگر چندین مورد از آنها وجود داشته باشد (مانند تصویر زیر) ، باید ضرب کنید.

کسرهای مختلط درجه 6

تمام کسرهای نامناسب را می توان با جدا کردن کل قسمت از آنها به کسرهای مخلوط تبدیل کرد. عدد کامل در سمت چپ نوشته شده است.

اغلب باید از کسری نامناسب درست کنید عدد مختلط. فرآیند تبدیل در مثال زیر نشان داده شده است: 22/4 = 22 تقسیم بر 4، ما 5 عدد صحیح (5 * 4 = 20) دریافت می کنیم. 22 - 20 = 2. 5 عدد صحیح و 2/4 می گیریم (مخرج تغییر نمی کند). از آنجایی که کسر قابل کاهش است، قسمت های بالایی و پایینی را بر 2 تقسیم می کنیم.

تبدیل یک عدد مختلط به کسر نامناسب آسان است (این در هنگام تقسیم و ضرب کسرها ضروری است). برای انجام این کار: عدد صحیح را در قسمت پایین کسر ضرب کرده و عدد را به آن اضافه کنید. آماده است. مخرج تغییر نمی کند.

محاسبات با کسری کلاس ششم

اعداد ترکیبی را می توان اضافه کرد. اگر مخرج ها یکسان باشند، انجام این کار آسان است: اجزاء صحیح و اعداد را اضافه کنید، مخرج در جای خود باقی می ماند.

هنگام جمع کردن اعداد با مخرج های مختلف، فرآیند پیچیده تر می شود. ابتدا اعداد را به کوچکترین مخرج (LSD) کاهش می دهیم.

در مثال زیر برای اعداد 9 و 6 مخرج 18 خواهد بود. پس از این به فاکتورهای اضافی نیاز است. برای پیدا کردن آنها، باید 18 را بر 9 تقسیم کنید، به این ترتیب عدد اضافی - 2 را پیدا می کنید. آن را در عدد 4 ضرب می کنیم تا کسری 8/18 به دست آید. آنها همین کار را با کسر دوم انجام می دهند. ما قبلاً کسرهای تبدیل شده را اضافه می کنیم (اعداد صحیح و اعداد جداگانه، مخرج را تغییر نمی دهیم). در مثال، پاسخ باید به کسری مناسب تبدیل می شد (در ابتدا صورت بزرگتر از مخرج بود).

لطفاً توجه داشته باشید که وقتی کسرها متفاوت هستند، الگوریتم اقدامات یکسان است.

هنگام ضرب کسرها، مهم است که هر دو را زیر یک خط قرار دهید. اگر عدد مخلوط شد، آن را تبدیل می کنیم کسر ساده. سپس قسمت های بالا و پایین را ضرب کرده و جواب را یادداشت کنید. اگر مشخص است که کسرها قابل کاهش هستند، بلافاصله آنها را کاهش می دهیم.

در مثال بالا، لازم نیست چیزی را برش دهید، فقط پاسخ را یادداشت کرده و کل قسمت را برجسته کرده اید.

در این مثال، ما مجبور شدیم اعداد را زیر یک خط کاهش دهیم. اگرچه می توانید پاسخ آماده را کوتاه کنید.

هنگام تقسیم، الگوریتم تقریباً یکسان است. ابتدا کسر مختلط را به کسر نامناسب تبدیل می کنیم سپس اعداد را زیر یک خط می نویسیم و تقسیم را با ضرب جایگزین می کنیم. فراموش نکنید که قسمت های بالا و پایین کسر دوم را با هم عوض کنید (این قانون برای تقسیم کسرها است).

در صورت لزوم، اعداد را کاهش می دهیم (در مثال زیر آنها را پنج و دو کاهش دادیم). کسر نامناسب را با برجسته کردن کل قسمت تبدیل می کنیم.

مسائل کسری پایه ششم

این ویدیو چند کار دیگر را نشان می دهد. برای وضوح، از تصاویر گرافیکی راه حل ها برای کمک به تجسم کسری استفاده می شود.

نمونه هایی از ضرب کسر درجه 6 با توضیحات

ضرب کسرها زیر یک خط نوشته می شود. سپس با تقسیم بر همان اعداد کاهش می یابد (مثلاً 15 در مخرج و 5 در صورت را می توان بر پنج تقسیم کرد).

مقایسه کسری درجه 6

برای مقایسه کسرها، باید دو قانون ساده را به خاطر بسپارید.

قانون 1. اگر مخرج ها متفاوت باشند

قانون 2. هنگامی که مخرج ها یکسان هستند

برای مثال، کسرهای 7/12 و 2/3 را با هم مقایسه کنید.

1. ما به مخرج ها نگاه می کنیم، آنها مطابقت ندارند. بنابراین باید یک مورد مشترک پیدا کنید.
2. برای کسرها، مخرج مشترک 12 است.
3. ابتدا 12 را بر قسمت پایین کسر اول تقسیم می کنیم: 12: 12 = 1 (این یک عامل اضافی برای کسر 1 است).
4. حالا 12 را بر 3 تقسیم می کنیم، 4 - اضافی می گیریم. ضریب کسر 2
5. برای تبدیل کسرها، اعداد حاصل را در اعداد ضرب می کنیم: 1 x 7 = 7 (کسر اول: 7/12). 4 x 2 = 8 (کسر دوم: 8/12).
6. اکنون می توانیم مقایسه کنیم: 7/12 و 8/12. معلوم شد: 7/12< 8/12.

برای نمایش بهتر کسری ها، می توانید از تصاویر برای وضوح استفاده کنید که در آن یک شی به قسمت هایی تقسیم شده است (مثلاً یک کیک). اگر می خواهید 4/7 و 2/3 را با هم مقایسه کنید، در حالت اول کیک به 7 قسمت تقسیم می شود و 4 مورد از آنها انتخاب می شود. در قسمت دوم به 3 قسمت تقسیم می شوند و 2 می گیرند. با چشم غیر مسلح مشخص می شود که 2/3 بزرگتر از 4/7 خواهد بود.

نمونه هایی با کسری درجه 6 برای آموزش

می توانید کارهای زیر را به عنوان تمرین انجام دهید.

• کسرها را با هم مقایسه کنید

• ضرب را انجام دهد

نکته: اگر یافتن کمترین مخرج مشترک برای کسرها دشوار است (به خصوص اگر مقادیر آنها کوچک باشد)، می توانید مخرج کسر اول و دوم را ضرب کنید. مثال: 2/8 و 5/9. پیدا کردن مخرج آنها ساده است: 8 را در 9 ضرب کنید، 72 به دست می آید.

حل معادلات با کسری کلاس ششم

حل معادلات مستلزم به خاطر سپردن عملیات با کسری است: ضرب، تقسیم، تفریق و جمع. اگر یکی از عوامل ناشناخته باشد، حاصلضرب (کل) بر عامل شناخته شده تقسیم می شود، یعنی کسرها ضرب می شوند (دومی برگردانده می شود).

اگر سود تقسیمی مجهول باشد، مخرج در تقسیم‌کننده ضرب می‌شود و برای یافتن تقسیم‌کننده باید تقسیم را بر ضریب تقسیم کنید.

بیایید تصور کنیم مثال های سادهحل معادلات:

در اینجا فقط باید تفاوت کسرها را تولید کنید، بدون اینکه به مخرج مشترکی منجر شود.

پاسخ به صورت کسری نامناسب بیرون آمد. می توان آن را به 1 کل و 3/5 تبدیل کرد.

در روش دوم، به جای برگرداندن مخرج، صورت و مخرج در 4 ضرب شدند تا قسمت پایینی حذف شود.

یکی از مهمترین علومی که کاربرد آن را در رشته هایی مانند شیمی، فیزیک و حتی زیست شناسی می توان دید، ریاضیات است. مطالعه این علم به شما این امکان را می دهد که برخی از ویژگی های ذهنی خود را توسعه دهید و توانایی تمرکز خود را بهبود بخشید. یکی از مباحثی که در درس ریاضی جای توجه ویژه دارد، جمع و تفریق کسرها است. بسیاری از دانش‌آموزان درس خواندن را دشوار می‌دانند. شاید مقاله ما به شما در درک بهتر این موضوع کمک کند.

نحوه تفریق کسری که مخرج آنها یکسان است

کسرها همان اعدادی هستند که می توانید با آنها تولید کنید اقدامات مختلف. تفاوت آنها با اعداد کامل در حضور یک مخرج است. به همین دلیل است که هنگام انجام عملیات با کسرها، باید برخی از ویژگی ها و قوانین آنها را مطالعه کنید. ساده ترین حالت تفریق کسری معمولی است که مخرج آنها به صورت یک عدد نمایش داده می شود. اگر یک قانون ساده را بدانید، انجام این عمل دشوار نخواهد بود:

• برای تفریق یک ثانیه از یک کسر، لازم است که کسر کسر را از کسر در حال کاهش کم کنیم. این عدد را در صورت‌دهنده تفاضل می‌نویسیم و مخرج را یکسان می‌گذاریم: k/m - b/m = (k-b)/m.

نمونه هایی از تفریق کسری که مخرج آنها یکسان است

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

از صورت‌دهنده کسری «7»، صورت‌گر کسری «3» را کم می‌کنیم، «4» به دست می‌آید. ما این عدد را در صورتگر پاسخ می نویسیم و در مخرج همان عددی را که در مخرج کسرهای اول و دوم بود - "19" قرار می دهیم.

تصویر زیر چندین نمونه مشابه دیگر را نشان می دهد.

بیایید مثال پیچیده‌تری را در نظر بگیریم که در آن کسری با مخرج مشابه کم می‌شود:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

از شمار کسر "29" که با تفریق به نوبه خود اعداد کسرهای بعدی - "3"، "8"، "2"، "7" کاهش می یابد. در نتیجه ، نتیجه "9" را به دست می آوریم که در صورتگر پاسخ می نویسیم و در مخرج عددی را که در مخرج همه این کسرها است - "47" می نویسیم.

جمع کسری که مخرج یکسان دارند

جمع و تفریق کسرهای معمولی از همین اصل پیروی می کند.

• برای اضافه کردن کسرهایی که مخرج آنها یکسان است، باید اعداد را جمع کنید. عدد حاصل، صورت‌گر مجموع است و مخرج ثابت خواهد ماند: k/m + b/m = (k + b)/m.

بیایید با استفاده از یک مثال ببینیم که این چگونه به نظر می رسد:

1/4 + 2/4 = 3/4.

به شماره‌گذار اولین جمله کسری - "1" - شمارنده جمله دوم کسری - "2" را اضافه کنید. نتیجه - "3" - در صورت مجموع نوشته می شود و مخرج همان چیزی است که در کسرها - "4" وجود دارد.

کسری با مخرج های مختلف و تفریق آنها

ما قبلاً عملیات را با کسری که مخرج یکسانی دارند در نظر گرفته ایم. همانطور که می بینید، دانستن قوانین ساده، حل چنین مثال هایی بسیار آسان است. اما اگر لازم باشد عملیاتی را با کسری انجام دهید که مخرج متفاوتی دارد؟ بسیاری از دانش آموزان دبیرستانی با چنین مثال هایی گیج می شوند. اما حتی در اینجا، اگر اصل راه حل را بدانید، دیگر مثال ها برای شما دشوار نخواهد بود. در اینجا قانونی نیز وجود دارد که بدون آن حل چنین کسری به سادگی غیرممکن است.

برای تفریق کسری با مخرج متفاوت، باید آنها را به کوچکترین مخرج یکسان تقلیل داد.



در مورد نحوه انجام این کار با جزئیات بیشتری صحبت خواهیم کرد.

خاصیت کسری

برای اینکه چند کسر را به یک مخرج بیاورید، باید از ویژگی اصلی یک کسر در حل استفاده کنید: پس از تقسیم یا ضرب صورت و مخرج در یک عدد، کسری برابر با عدد داده شده به دست می آید.

به عنوان مثال، کسر 2/3 می تواند دارای مخرج هایی مانند "6"، "9"، "12" و غیره باشد، یعنی می تواند شکل هر عددی را داشته باشد که مضرب "3" باشد. پس از ضرب کردن صورت و مخرج در "2"، کسری 4/6 را بدست می آوریم. بعد از ضرب کردن صورت و مخرج کسر اصلی در "3" به 9/6 می رسد و اگر عمل مشابهی را با عدد "4" انجام دهیم، 8/12 به دست می آید. یک برابری را می توان به صورت زیر نوشت:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

نحوه تبدیل کسرهای متعدد به مخرج یکسان

بیایید ببینیم چگونه کسرهای متعدد را به مخرج یکسان کاهش دهیم. به عنوان مثال، کسری که در تصویر زیر نشان داده شده است را در نظر بگیرید. ابتدا باید تعیین کنید که کدام عدد می تواند مخرج همه آنها شود. برای آسان‌تر کردن کار، بیایید مخرج‌های موجود را فاکتورسازی کنیم.

مخرج کسری 1/2 و کسری 2/3 را نمی توان فاکتور گرفت. مخرج 7/9 دارای دو عامل 7/9 = 7/(3 x 3)، مخرج کسری 5/6 = 5/(2 x 3) است. اکنون باید تعیین کنیم که کدام فاکتور برای هر چهار کسر کوچکترین خواهد بود. از آنجایی که کسر اول در مخرج عدد "2" دارد، به این معنی است که باید در کسر 7/9 دو ثلاث وجود داشته باشد، یعنی هر دوی آنها باید در مخرج نیز باشند. با در نظر گرفتن موارد فوق، تعیین می کنیم که مخرج از سه عامل 3، 2، 3 تشکیل شده و برابر با 3 x 2 x 3 = 18 است.



بیایید کسر اول را در نظر بگیریم - 1/2. در مخرج آن یک "2" وجود دارد، اما یک رقم "3" وجود ندارد، بلکه باید دو رقم باشد. برای این کار، مخرج را در دو ثلاث ضرب می کنیم، اما با توجه به خاصیت کسری، باید صورت را در دو سه برابر ضرب کنیم:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

همین کار را با کسرهای باقی مانده انجام می دهیم.

• 2/3 - یک سه و یک دو در مخرج وجود ندارد:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 یا 7/(3 x 3) - مخرج یک دو را از دست داده است:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 یا 5/(2 x 3) - مخرج سه مورد را ندارد:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

همه با هم به این شکل به نظر می رسد:



نحوه تفریق و جمع کسری که مخرج متفاوتی دارند

همانطور که در بالا ذکر شد، برای جمع یا تفریق کسری که مخرج متفاوتی دارند، باید آنها را به یک مخرج تقلیل داد و سپس از قوانین تفریق کسرهایی که مخرج یکسان دارند استفاده کرد که قبلاً در مورد آن صحبت شد.

بیایید به عنوان مثال به این نگاه کنیم: 4/18 - 3/15.

پیدا کردن مضرب اعداد 18 و 15:

• عدد 18 از 3*2*3 تشکیل شده است.
• عدد 15 از 5*3 ساخته شده است.
• مضرب مشترک عوامل زیر خواهد بود: 5 x 3 x 2 = 90.

پس از یافتن مخرج، لازم است عاملی را محاسبه کنیم که برای هر کسری متفاوت است، یعنی عددی که در آن لازم است نه تنها مخرج، بلکه صورت نیز ضرب شود. برای انجام این کار، عددی را که یافتیم (مضرب مشترک) بر مخرج کسری که باید فاکتورهای اضافی برای آن تعیین شود، تقسیم کنیم.

• 90 تقسیم بر 15. عدد حاصل "6" ضریب 3/15 خواهد بود.
• 90 تقسیم بر 18. عدد حاصل "5" ضریب 4/18 خواهد بود.

مرحله بعدی حل ما این است که هر کسری را به مخرج "90" کاهش دهیم.

قبلاً در مورد نحوه انجام این کار صحبت کرده ایم. بیایید ببینیم که چگونه این در یک مثال نوشته شده است:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

اگر کسرها دارای اعداد کوچک هستند، می توانید مخرج مشترک را تعیین کنید، همانطور که در تصویر زیر نشان داده شده است.



همین امر در مورد کسانی که مخرج های متفاوتی دارند نیز صادق است.

تفریق و داشتن اجزای صحیح

قبلاً در مورد تفریق کسرها و جمع آنها به تفصیل بحث کرده ایم. اما اگر کسری داشته باشد چگونه می توان تفریق کرد کل بخش? باز هم از چند قانون استفاده می کنیم:

• تمام کسری که دارای یک جزء صحیح است را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید. صحبت کردن به زبان ساده، کل قسمت را بردارید. برای این کار، عدد عدد صحیح را در مخرج کسر ضرب کرده و حاصل ضرب را به صورت‌گر اضافه کنید. عددی که بعد از این اعمال بیرون می آید، عدد کسر نامناسب است. مخرج بدون تغییر باقی می ماند.
• اگر کسرها مخرج های متفاوتی داشته باشند، باید به یک مخرج تقلیل داده شوند.
• جمع یا تفریق را با مخرج های یکسان انجام دهید.
• هنگام دریافت کسر نامناسب، کل قسمت را انتخاب کنید.



روش دیگری نیز وجود دارد که در آن می توانید کسری را با اجزای کامل جمع و تفریق کنید. برای انجام این کار، اقدامات به طور جداگانه با قطعات کامل و اقدامات با کسرها به طور جداگانه انجام می شود و نتایج با هم ثبت می شوند.



مثال ارائه شده شامل کسری است که مخرج یکسانی دارند. در مواردی که مخرج ها متفاوت هستند، باید آنها را به یک مقدار رساند و سپس اعمال را همانطور که در مثال نشان داده شده است انجام داد.

کم کردن کسرها از اعداد صحیح

نوع دیگری از عملیات با کسری، موردی است که یک کسری باید از آن کم شود، در نگاه اول، حل چنین مثالی دشوار به نظر می رسد. با این حال، همه چیز در اینجا بسیار ساده است. برای حل آن باید عدد صحیح را به کسری و با مخرجی که در کسر تفریق شده است تبدیل کنید. بعد، ما یک تفریق مشابه تفریق با مخرج های یکسان انجام می دهیم. در یک مثال به این صورت است:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

تفریق کسری (درجه 6) ارائه شده در این مقاله مبنایی برای حل بیشتر است نمونه های پیچیده، که در کلاس های بعدی مورد بحث قرار می گیرد. دانش این موضوع متعاقباً برای حل توابع، مشتقات و غیره استفاده می شود. بنابراین، درک و درک عملیات با کسری که در بالا مورد بحث قرار گرفت بسیار مهم است.

تقریباً هر دانش آموز کلاس پنجمی پس از اولین آشنایی خود با کسری های معمولی کمی شوکه می شود. نه تنها باید ماهیت کسرها را درک کنید، بلکه باید با آنها کار کنید عملیات حسابی. پس از این، دانش آموزان کوچک به طور سیستماتیک معلم خود را بازجویی می کنند تا بفهمند این کسرها چه زمانی تمام می شوند.

برای جلوگیری از چنین موقعیت هایی، کافی است این موضوع دشوار را به ساده ترین شکل ممکن و بهتر از آن برای کودکان توضیح دهید. فرم بازی.

جوهر کسری

قبل از یادگیری کسری، کودک باید با این مفهوم آشنا شود به اشتراک بگذارید . روش تداعی در اینجا به بهترین وجه مناسب است.

یک کیک کامل را تصور کنید که به چند قسمت مساوی تقسیم شده است، مثلاً چهار. سپس هر تکه از کیک را می توان سهم نامید. اگر یکی از چهار تکه کیک را بردارید، یک چهارم می شود.

سهام متفاوت است، زیرا کل را می توان به تعداد قطعات کاملاً متفاوتی تقسیم کرد. به طور کلی هر چه سهام بیشتر باشد، کوچکتر هستند و بالعکس.

برای اینکه بتوان سهام ها را مشخص کرد، آنها به چنین مفهومی ریاضی رسیدند کسر مشترک. کسری به ما امکان می دهد هر تعداد سهم را که لازم است بنویسیم.

اجزای یک کسر، صورت و مخرج هستند که با یک خط کسری یا یک اسلش از هم جدا می شوند. بسیاری از کودکان معنای آنها را درک نمی کنند و بنابراین ماهیت کسری برای آنها روشن نیست. خط کسری نشان دهنده تقسیم است، در اینجا هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد.

مرسوم است که مخرج را در زیر، زیر خط کسری یا سمت راست خط جلو بنویسید. تعداد اجزای یک کل را نشان می دهد. شمارنده، بالای خط کسری یا سمت چپ خط جلو نوشته شده است، به عنوان مثال، کسری 4/7 را تعیین می کند. در در این مورد 7 مخرج است، نشان می دهد که تنها 7 سهم وجود دارد و عدد 4 نشان می دهد که چهار سهم از هفت سهم گرفته شده است.

سهام اصلی و نوشتن آنها به کسری:

علاوه بر کسر معمولی، یک کسر اعشاری نیز وجود دارد.

عملیات با کسری کلاس پنجم

در کلاس پنجم آنها یاد می گیرند که تمام عملیات حسابی را با کسر انجام دهند.

تمام عملیات با کسری طبق قوانین انجام می شود و نباید امیدوار باشید که بدون یادگیری قانون همه چیز خود به خود درست می شود. بنابراین از قسمت دهانی غافل نشوید مشق شبدر ریاضیات

قبلاً فهمیدیم که نماد اعشاری و کسری معمولی متفاوت است ، بنابراین عملیات حسابی متفاوت انجام می شود. اعمال با کسرهای معمولی به اعدادی بستگی دارد که در مخرج و در اعشار - پس از نقطه اعشار به سمت راست هستند.

برای کسری که مخرج یکسانی دارند، الگوریتم جمع و تفریق بسیار ساده است. ما اقدامات را فقط با شمارنده انجام می دهیم.

برای کسری با مخرج های مختلف باید پیدا کنید حداقل مخرج مشترک (LCD). این عددی است که بر همه مخرج ها بدون باقیمانده بخش پذیر خواهد بود و در صورت وجود چند عدد از این اعداد کوچکترین خواهد بود.

برای جمع یا تفریق کسرهای اعشاری، باید آنها را در یک ستون، با کاما در زیر کاما بنویسید و در صورت لزوم تعداد ارقام اعشار را برابر کنید.

برای ضرب کسرهای معمولی کافی است حاصل ضرب اعداد و مخرج ها را بیابید. یک قانون بسیار ساده

تقسیم بندی بر اساس الگوریتم زیر انجام می شود:

1. سود سهام را بدون تغییر بنویسید
2. تقسیم را به ضرب تبدیل کنید
3. مقسوم علیه برعکس (کسری متقابل را به مقسوم علیه بنویسید)
4. ضرب را انجام دهید

جمع کسرها، توضیح

بیایید نگاهی دقیق تر به نحوه جمع کردن کسری و اعشاری بیندازیم.

همانطور که در تصویر بالا مشاهده می کنید، کسری یک سوم و دو سوم دارای مخرج مشترک سه است. این بدان معنی است که شما فقط باید اعداد یک و دو را اضافه کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید. نتیجه حاصل جمع سه سوم است. این پاسخ، زمانی که صورت و مخرج کسر برابر باشد، می تواند به صورت 1 نوشته شود، زیرا 3:3 = 1 است.

باید مجموع کسرهای دو سوم و دو نهم را پیدا کنید. در این مورد، مخرج ها متفاوت هستند، 3 و 9. برای انجام جمع، باید یک مشترک پیدا کنید. یک راه بسیار ساده وجود دارد. ما بزرگترین مخرج را انتخاب می کنیم، آن 9 است. بررسی می کنیم که آیا بر 3 بخش پذیر است یا خیر. از آنجایی که 9:3 = 3 بدون باقی مانده، بنابراین 9 به عنوان مخرج مشترک مناسب است.

مرحله بعدی یافتن فاکتورهای اضافی برای هر شمارنده است. برای انجام این کار، مخرج مشترک 9 را به نوبه خود بر مخرج هر کسر تقسیم می کنیم، اعداد به دست آمده اضافی خواهند بود. جمع برای کسر اول: 9:3 = 3، 3 را به کسر کسر اول اضافه کنید: برای کسر دوم: 9:9 = 1، شما مجبور نیستید یک را جمع کنید، زیرا وقتی در آن ضرب می شود یکسان می شود. شماره

حالا شمارنده ها را در فاکتورهای اضافی آنها ضرب می کنیم و نتایج را اضافه می کنیم. مقدار حاصل کسری از هشت نهم است.

جمع اعشار از همان قانون جمع اعداد طبیعی پیروی می کند. در یک ستون، رقم زیر رقم نوشته می شود. تنها تفاوت این است که در کسرهای اعشاری باید کاما صحیح را در نتیجه قرار دهید. برای این کار کسرها با کاما زیر کاما نوشته می شوند و در کل فقط باید کاما را به پایین ببرید.

بیایید مجموع کسرهای 38، 251 و 1، 56 را پیدا کنیم. برای سهولت در انجام اعمال، تعداد ارقام اعشاری سمت راست را با جمع 0 برابر کردیم.

کسری را بدون توجه به کاما اضافه کنید. و در مقدار حاصل ما به سادگی کاما را پایین می آوریم. جواب: 39، 811.

تفریق کسرها، توضیح

برای پیدا کردن تفاوت بین کسرهای دو سوم و یک سوم، باید تفاوت اعداد 2-1 = 1 را محاسبه کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید. پاسخ یک سوم اختلاف می دهد.

بیایید تفاوت کسرهای پنج ششم و هفت دهم را پیدا کنیم. یافتن مخرج مشترک. ما از روش انتخاب استفاده می کنیم، از 6 و 10 بزرگترین آن 10 است. بررسی می کنیم: 10: 6 بدون باقیمانده قابل تقسیم نیست. 10 تا دیگر اضافه می کنیم، 20:6 می شود، که بدون باقی مانده نیز قابل تقسیم نیست. دوباره 10 افزایش می دهیم، 30:6 = 5 می گیریم. مخرج مشترک 30 است. همچنین، NOZ را می توان با استفاده از جدول ضرب پیدا کرد.

یافتن عوامل اضافی 30:6 = 5 - برای کسر اول. 30:10 = 3 - برای دوم. شمارنده ها و ضرب اضافی آنها را ضرب می کنیم. مینیوند 25/30 و تفریق 21/30 بدست می آید. بعد، اعداد را کم می کنیم و مخرج را بدون تغییر می گذاریم.

نتیجه اختلاف 4/30 بود. کسر قابل تقلیل است. آن را بر 2 تقسیم کنید. جواب 2/15 است.

تقسیم اعشار درجه 5

این موضوع دو گزینه را مورد بحث قرار می دهد:

ضرب اعشار درجه 5

به یاد داشته باشید که چگونه اعداد طبیعی را ضرب می کنید، دقیقاً به همان روشی که حاصل ضرب کسرهای اعشاری را پیدا می کنید. ابتدا بیایید نحوه ضرب یک کسر اعشاری را در آن بیابیم عدد طبیعی. برای انجام این کار:

وقتی یک کسر اعشاری را در یک اعشار ضرب می کنیم، دقیقاً به همین ترتیب عمل می کنیم.

کسرهای مختلط درجه 5

دانش آموزان کلاس پنجمی دوست دارند چنین کسری را مختلط بخوانند، اما<<смешные>> احتمالاً به خاطر سپردن این روش آسان تر است. کسرهای مختلط به این دلیل نامیده می شوند که از ترکیب یک عدد طبیعی کامل و یک کسر معمولی ساخته می شوند.

کسر مختلط از یک عدد صحیح و یک جزء کسری تشکیل شده است.

هنگام خواندن چنین کسرهایی ابتدا کل جزء را نام می برند سپس جزء کسری: یک کامل دو سوم، دو کامل یک پنجم، سه کامل دو پنجم، چهار نقطه سه چهارم.

چگونه به دست می آیند، این کسرهای مخلوط؟ این کاملا ساده است. وقتی کسر نامناسبی در پاسخ دریافت می کنیم (کسری که صورت آن بزرگتر از مخرج است)، همیشه باید آن را به کسری مختلط تبدیل کنیم. کافی است صورت را بر مخرج تقسیم کنیم. این عمل انتخاب یک قسمت کامل نامیده می شود:

تبدیل کسر مختلط به کسر نامناسب نیز آسان است:

مثال هایی با کسرهای اعشاری درجه 5 با توضیح

نمونه هایی از چندین عمل سوالات بسیاری را در کودکان ایجاد می کند. بیایید به چند نمونه از این دست نگاه کنیم.

(0.4 8.25 - 2.025) : 0.5 =

اولین قدم این است که حاصل ضرب اعداد 8.25 و 0.4 را پیدا کنید. ضرب را طبق قانون انجام می دهیم. در جواب سه رقم از راست به چپ بشمارید و کاما بگذارید.

عمل دوم در داخل پرانتز است، این تفاوت است. از 3300 عدد 2025 را کم می کنیم. عمل را در یک ستون با کاما در زیر کاما ضبط می کنیم.

عمل سوم تقسیم است. اختلاف حاصل در مرحله دوم بر 0.5 تقسیم می شود. کاما یک جا منتقل می شود. نتیجه 2.55.

جواب: 2.55.

(0, 93 + 0, 07) : (0, 93 — 0, 805) =

مرحله اول مقدار داخل پرانتز است، آن را در یک ستون اضافه کنید، به یاد داشته باشید که کاما زیر کاما است. ما پاسخ 1.00 را دریافت می کنیم.

عمل دوم تفاوت با براکت دوم است. از آنجایی که اعشار اعشار کمتر از اعشار است، عدد گم شده را اضافه می کنیم. نتیجه تفریق 0.125 است.

مرحله سوم این است که حاصل را بر تفاضل تقسیم کنیم. کاما سه جا جابجا می شود. حاصل تقسیم 1000 بر 125 است.

جواب: 8.

مثال هایی با کسرهای معمولی با مخرج های مختلف درجه 5 با توضیح

در اولیدر این مثال مجموع کسرهای 5/8 و 3/7 را پیدا می کنیم. مخرج مشترک عدد 56 خواهد بود. عوامل اضافی را پیدا کنید، 56:8 = 7 و 56:7 = 8 را تقسیم کنید. آنها را به ترتیب به کسرهای اول و دوم اضافه کنید. اعداد و ضرایب آنها را ضرب می کنیم، مجموع کسرهای 35/56 و 24/56 به دست می آید. نتیجه 59/56 بود. کسر نامناسب است، ما آن را به یک عدد مختلط تبدیل می کنیم.

نمونه هایی با کسری درجه 5 برای آموزش

برای راحتی، کسرهای مخلوط را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید و عملیات را انجام دهید.

چگونه با استفاده از لگو به کودک خود بیاموزیم کسرها را به راحتی حل کند

با کمک چنین سازنده ای، نه تنها می توانید تخیل کودک را توسعه دهید، بلکه می توانید به وضوح به شیوه ای بازیگوش توضیح دهید که سهم و کسری چیست.

تصویر زیر نشان می دهد که یک قسمت با هشت دایره یک کل است. این به این معنی است که اگر یک پازل با چهار دایره بردارید، نصف یا 1/2 به دست می آید. اگر دایره های روی قطعات را بشمارید، تصویر به وضوح نحوه حل مثال ها را با لگو نشان می دهد.

می توانید از تعداد معینی قسمت برج بسازید و مانند تصویر زیر به هر کدام از آنها برچسب بزنید. به عنوان مثال، یک برجک هفت تکه را در نظر بگیرید. هر قطعه از مجموعه ساختمان سبز 1/7 خواهد بود. اگر دو قسمت دیگر را به یکی از این قسمت ها اضافه کنید، 3/7 به دست می آید. توضیح تصویری مثال 1/7+2/7 = 3/7.

برای به دست آوردن نمره A در ریاضی، یادگیری قوانین و تمرین آنها را فراموش نکنید.

برای بیان یک جزء به عنوان کسری از کل، باید جزء را به کل تقسیم کنید.

وظیفه 1. 30 دانش آموز در کلاس هستند که چهار نفر غایب هستند. چه نسبتی از دانش آموزان غایب هستند؟

راه حل:

پاسخ:هیچ دانش آموزی در کلاس وجود ندارد.

یافتن کسری از یک عدد

برای حل مسائلی که در آنها باید بخشی از یک کل را پیدا کنید، قانون زیر اعمال می شود:

اگر بخشی از یک کل به صورت کسری بیان شود، برای یافتن این جزء، می توان کل را بر مخرج کسر تقسیم کرد و حاصل را در صورت آن ضرب کرد.

وظیفه 1. 600 روبل بود، این مبلغ خرج شد. چقدر پول خرج کردی؟

راه حل:برای پیدا کردن 600 روبل یا بیشتر، باید این مقدار را به 4 قسمت تقسیم کنیم، به این ترتیب متوجه خواهیم شد که یک چهارم چقدر پول است:

600: 4 = 150 (r.)

پاسخ: 150 روبل خرج کرد.

وظیفه 2. 1000 روبل بود، این مبلغ خرج شد. چقدر پول خرج شد؟

راه حل:از بیانیه مشکل می دانیم که 1000 روبل از پنج قسمت مساوی تشکیل شده است. ابتدا، بیایید ببینیم چند روبل یک پنجم 1000 است، و سپس خواهیم فهمید که چند روبل دو پنجم است:

1) 1000: 5 = 200 (r.) - یک پنجم.

2) 200 · 2 = 400 (r.) - دو پنجم.

این دو عمل را می توان ترکیب کرد: 1000: 5 · 2 = 400 (r.).

پاسخ: 400 روبل خرج شد.

راه دوم برای یافتن بخشی از یک کل:

برای یافتن بخشی از یک کل، می توان کل را در کسری که آن قسمت از کل را بیان می کند ضرب کرد.

وظیفه 3.طبق اساسنامه تعاونی برای معتبر بودن جلسه گزارش دهی حداقل اعضای سازمان باید حضور داشته باشند. این تعاونی 120 عضو دارد. یک جلسه گزارش با چه ترکیبی می تواند برگزار شود؟

راه حل:

پاسخ:در صورت وجود 80 عضو سازمان، جلسه گزارش می تواند برگزار شود.

پیدا کردن یک عدد با کسر آن

برای حل مسائلی که باید یک کل را از قسمت آن پیدا کنید، قانون زیر اعمال می شود:

اگر بخشی از کل مورد نظر به صورت کسری بیان می شود، برای یافتن این کل، می توانید این قسمت را بر صورت کسری تقسیم کرده و حاصل را در مخرج آن ضرب کنید.

وظیفه 1.ما 50 روبل خرج کردیم که کمتر از مبلغ اولیه بود. مقدار اصلی پول را پیدا کنید.

راه حل:از شرح مشکل می بینیم که 50 روبل 6 برابر کمتر از مقدار اصلی است، یعنی مبلغ اصلی 6 برابر بیشتر از 50 روبل است. برای بدست آوردن این مقدار باید 50 را در 6 ضرب کنید:

50 · 6 = 300 (r.)

پاسخ:مبلغ اولیه 300 روبل است.

وظیفه 2.ما 600 روبل خرج کردیم که کمتر از مقدار اولیه پول بود. مقدار اصلی را پیدا کنید.

راه حل:ما فرض می کنیم که تعداد مورد نیاز از سه سوم تشکیل شده است. طبق شرط، دو سوم عدد برابر با 600 روبل است. ابتدا بیایید یک سوم مبلغ اصلی را پیدا کنیم و سپس چند روبل سه سوم است (مبلغ اصلی):

1) 600: 2 3 = 900 (r.)

پاسخ:مبلغ اولیه 900 روبل است.

راه دوم برای یافتن کل از قسمت آن:

برای یافتن یک کل با مقداری که جزء آن را بیان می کند، می توانید این مقدار را بر کسری که این قسمت را بیان می کند تقسیم کنید.

وظیفه 3.بخش ABبرابر با 42 سانتی متر طول قطعه است سی دی. طول قطعه را پیدا کنید سی دی.

راه حل:

پاسخ:طول قطعه سی دی 70 سانتی متر.

وظیفه 4.هندوانه به فروشگاه آورده شد. قبل از ناهار، فروشگاه هندوانه هایی را که آورده بود، بعد از ناهار فروخت و 80 عدد هندوانه برای فروش باقی مانده بود. چند هندوانه به فروشگاه آورده اید؟

راه حل:ابتدا بیایید بفهمیم چه قسمتی از هندوانه های آورده شده عدد 80 است. برای این کار، بیایید تعداد کل هندوانه های آورده شده را یک عدد در نظر بگیریم و تعداد هندوانه های فروخته شده (فروخته) را از آن کم کنیم:

و بنابراین، ما فهمیدیم که 80 هندوانه تعداد کل هندوانه های آورده شده را تشکیل می دهد. حالا متوجه می شویم که از کل مقدار چند هندوانه و سپس چند هندوانه (تعداد هندوانه های آورده شده) تشکیل می شود:

2) 80: 4 15 = 300 (هندوانه)

پاسخ:در مجموع 300 هندوانه به فروشگاه آورده شد.

) و مخرج به مخرج (مخرج حاصل را می گیریم).

فرمول ضرب کسر:

به عنوان مثال:

قبل از شروع ضرب اعداد و مخرج، باید بررسی کنید که آیا کسر قابل کاهش است یا خیر. اگر بتوانید کسر را کاهش دهید، انجام محاسبات بیشتر برای شما آسان تر خواهد بود.

تقسیم کسر مشترک بر کسری.

تقسیم کسری که شامل اعداد طبیعی است.

آنقدرها هم که به نظر می رسد ترسناک نیست. همانطور که در مورد جمع، عدد صحیح را به کسری با یک در مخرج تبدیل می کنیم. به عنوان مثال:

ضرب کسرهای مختلط

قوانین ضرب کسر (مخلوط):

• تبدیل کسرهای مختلط به کسرهای نامناسب.
• ضرب در صورت و مخرج کسرها؛
• کسر را کاهش دهید؛
• اگر کسری نامناسب بدست آورید، کسر نامناسب را به کسر مختلط تبدیل می کنیم.

توجه کن!برای ضرب یک کسر مختلط در کسر مختلط دیگر، ابتدا باید آنها را به شکل کسرهای نامناسب تبدیل کنید و سپس طبق قانون ضرب کسرهای معمولی ضرب کنید.

روش دوم برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی.

ممکن است استفاده از روش دوم ضرب کسر مشترک در عدد راحت تر باشد.

توجه کن!برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی، باید مخرج کسر را بر این عدد تقسیم کنید و صورت را بدون تغییر رها کنید.

از مثال بالا، واضح است که استفاده از این گزینه زمانی راحت تر است که مخرج کسری بدون باقیمانده بر یک عدد طبیعی تقسیم شود.

کسرهای چند طبقه

در دبیرستان اغلب با کسرهای سه طبقه (یا بیشتر) مواجه می‌شویم. مثال:

برای آوردن چنین کسری به شکل معمول خود، از تقسیم از طریق 2 نقطه استفاده کنید:

توجه کن!هنگام تقسیم کسرها، ترتیب تقسیم بسیار مهم است. مراقب باشید، اینجا به راحتی گیج می شود.

لطفا توجه داشته باشید به عنوان مثال:

هنگام تقسیم یک بر هر کسری، نتیجه همان کسر خواهد بود، فقط معکوس:

نکات کاربردی برای ضرب و تقسیم کسر:

1. مهمترین چیز هنگام کار با عبارات کسری دقت و توجه است. تمام محاسبات را با دقت و دقیق، متمرکز و واضح انجام دهید. بهتر است چند خط اضافی در پیش نویس خود بنویسید تا اینکه در محاسبات ذهنی گم شوید.

2. در وظایف با انواع مختلفکسری - به شکل کسرهای معمولی بروید.

3. همه کسرها را کم می کنیم تا زمانی که دیگر امکان کاهش وجود نداشته باشد.

4. عبارات کسری چند سطحی را با استفاده از تقسیم از طریق 2 نقطه به عبارات معمولی تبدیل می کنیم.

5. یک واحد را بر کسری در سر خود تقسیم کنید، به سادگی کسر را برگردانید.