نحوه بررسی برابری یک تابع توابع زوج و فرد. حتی نمونه های تابع
- موارد مثبت را در تابع جایگزین کنید مقادیر عددی x (\displaystyle x)و مقادیر عددی منفی مربوطه. به عنوان مثال، با توجه به تابع f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). مقادیر زیر را جایگزین آن کنید x (\displaystyle x):
بررسی کنید که آیا نمودار تابع نسبت به محور Y متقارن است یا خیر.تقارن به معنای تصویر آینه ای از نمودار نسبت به محور ارتین است. اگر بخشی از نمودار در سمت راست محور Y (مقادیر مثبت متغیر مستقل) با قسمت نمودار سمت چپ محور Y (مقادیر منفی متغیر مستقل) یکسان باشد. ) نمودار نسبت به محور Y متقارن است اگر تابع نسبت به محور y متقارن باشد، تابع زوج است.
بررسی کنید که آیا نمودار تابع نسبت به مبدا متقارن است یا خیر.مبدا نقطه با مختصات (0,0) است. تقارن در مورد مبدا به این معنی است که یک مقدار مثبت است y (\displaystyle y)(با ارزش مثبت x (\displaystyle x)) مربوط به یک مقدار منفی است y (\displaystyle y)(با مقدار منفی x (\displaystyle x)) و بالعکس. توابع فرد دارای تقارن با مبدا هستند.
بررسی کنید که آیا نمودار تابع دارای تقارن است یا خیر.آخرین نوع تابع تابعی است که نمودار آن تقارن ندارد، یعنی هم نسبت به محور ارتین و هم نسبت به مبدا تصویر آینه ای وجود ندارد. به عنوان مثال، با توجه به تابع .
- چندین مقدار مثبت و منفی متناظر را در تابع جایگزین کنید x (\displaystyle x):
- با توجه به نتایج به دست آمده، هیچ تقارنی وجود ندارد. ارزش ها y (\displaystyle y)برای مقادیر مخالف x (\displaystyle x)منطبق نیستند و مخالف نیستند. بنابراین تابع نه زوج است و نه فرد.
- لطفا توجه داشته باشید که تابع f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1)می توان اینگونه نوشت: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). وقتی به این شکل نوشته می شود، تابع حتی به دلیل وجود یک توان زوج ظاهر می شود. اما این مثال ثابت می کند که اگر متغیر مستقل در داخل پرانتز قرار گیرد، نمی توان نوع تابع را به سرعت تعیین کرد. در این صورت باید براکت ها را باز کنید و توان های به دست آمده را تجزیه و تحلیل کنید.
که تا حدودی برای شما آشنا بودند. همچنین در آنجا ذکر شد که موجودی ویژگی های تابع به تدریج دوباره پر می شود. دو ویژگی جدید در این بخش مورد بحث قرار خواهد گرفت.
تعریف 1.
تابع y = f(x)، x є X، فراخوانی می شود حتی اگر برای هر مقدار x از مجموعه X برابری f (-x) = f (x) برقرار باشد.
تعریف 2.
تابع y = f(x)، x є X، فرد نامیده می شود اگر برای هر مقدار x از مجموعه X برابری f (-x) = -f (x) برقرار باشد.
ثابت کنید که y = x 4 یک تابع زوج است.
راه حل. داریم: f(x) = x 4، f(-x) = (-x) 4. اما (-x) 4 = x 4. این بدان معناست که برای هر x برابری f(-x) = f(x) برقرار است، یعنی. عملکرد یکنواخت است
به طور مشابه، می توان ثابت کرد که توابع y - x 2، y = x 6، y - x 8 زوج هستند.
ثابت کنید که y = x 3 ~ یک تابع فرد است.
راه حل. داریم: f(x) = x 3، f(-x) = (-x) 3. اما (-x) 3 = -x 3. این بدان معنی است که برای هر x برابری f (-x) = -f (x) برقرار است، یعنی. تابع فرد است
به همین ترتیب، می توان ثابت کرد که توابع y = x، y = x 5، y = x 7 فرد هستند.
ما قبلاً بیش از یک بار دیده ایم که اصطلاحات جدید در ریاضیات اغلب منشأ "زمینی" دارند، یعنی. می توان آنها را به نوعی توضیح داد. این مورد در هر دو توابع زوج و فرد صادق است. ببینید: y - x 3، y = x 5، y = x 7 توابع فرد هستند، در حالی که y = x 2، y = x 4، y = x 6 توابع زوج هستند. و به طور کلی، برای هر تابعی از شکل y = x" (در زیر به طور خاص این توابع را مطالعه خواهیم کرد)، که در آن n یک عدد طبیعی است، می‌توان نتیجه گرفت: اگر n یک عدد فرد باشد، تابع y = x" است. عجیب و غریب اگر n یک عدد زوج باشد، تابع y = xn زوج است.
همچنین توابعی وجود دارند که نه زوج هستند و نه فرد. به عنوان مثال، تابع y = 2x + 3 است. در واقع، f(1) = 5، و f (-1) = 1. همانطور که می بینید، در اینجا، بنابراین، نه هویت f(-x) = f (x)، و نه هویت f(-x) = -f(x).
بنابراین، یک تابع می تواند زوج، فرد یا هیچکدام باشد.
مطالعه این سوال که آیا عملکرد داده شدهزوج یا فرد معمولاً مطالعه یک تابع برای برابری نامیده می شود.
تعاریف 1 و 2 به مقادیر تابع در نقاط x و -x اشاره دارد. این فرض را بر این می گذارد که تابع در هر دو نقطه x و نقطه -x تعریف شده است. این بدان معنی است که نقطه -x به دامنه تعریف تابع به طور همزمان با نقطه x تعلق دارد. اگر یک مجموعه عددی X، همراه با هر یک از عناصر آن x، حاوی عنصر مقابل -x نیز باشد، X یک مجموعه متقارن نامیده می شود. فرض کنید، (-2، 2)، [-5، 5]، (-oo، +oo) مجموعه های متقارن هستند، در حالی که \).
از آنجایی که \(x^2\geqslant 0\) است، پس سمت چپ معادله (*) بزرگتر یا مساوی \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) است.
بنابراین، تساوی (*) تنها زمانی می تواند صادق باشد که هر دو طرف معادله برابر با \(\mathrm(tg)^2\,1\) باشد. و این به این معنی است \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftright arrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftright arrow\quad x=0\]بنابراین، مقدار \(a=-\mathrm(tg)\,1\) برای ما مناسب است.
پاسخ:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
وظیفه 2 #3923
سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی
تمام مقادیر پارامتر \(a\) را پیدا کنید که برای هر کدام نمودار تابع است \
متقارن در مورد مبدا
اگر نمودار یک تابع نسبت به مبدا متقارن باشد، چنین تابعی فرد است، یعنی \(f(-x)=-f(x)\) برای هر \(x\) از دامنه برقرار است. تعریف تابع بنابراین، لازم است آن مقادیر پارامتر را پیدا کنید که برای آنها \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(تراز شده) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(تراز شده)\]
آخرین معادله باید برای همه \(x\) از دامنه \(f(x)\) برآورده شود، بنابراین، \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
پاسخ:
\(\dfrac n2، n\in\mathbb(Z)\)
وظیفه 3 #3069
سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی
تمام مقادیر پارامتر \(a\) را بیابید که برای هر کدام معادله \ 4 راه حل دارد که \(f\) یک تابع تناوبی زوج با دوره \(T=\dfrac(16)3\) است. در کل خط اعداد و \(f(x)=ax^2\) برای \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(تکلیف از مشترکین)
از آنجایی که \(f(x)\) یک تابع زوج است، نمودار آن با توجه به محور ارتین متقارن است، بنابراین، وقتی \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . بنابراین، زمانی که \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\)، و این قطعه ای از طول \(\dfrac(16)3\) ، تابع \(f(x)=ax^2\) است.
1) اجازه دهید \(a>0\) . سپس نمودار تابع \(f(x)\) به شکل زیر خواهد بود: 
سپس برای اینکه معادله 4 جواب داشته باشد، لازم است نمودار \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) از نقطه \(A\) عبور کند: 
از این رو، \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftright arrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\پایان(تراز شده)\پایان(جمع آوری شده)\راست. \quad\فلش راست چپ\چهار \چپ[\شروع(جمع شده)\شروع(تراز شده) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(تراز شده) \end( جمع شد)\درست.\]از آنجایی که \(a>0\) ، پس \(a=\dfrac(18)(23)\) مناسب است.
2) اجازه دهید \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
لازم است که نمودار \(g(x)\) از نقطه \(B\) عبور کند: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(تراز شده) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(تراز شده) \end(جمع آوری شده)\راست.\]از آنجایی که \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) موردی که \(a=0\) مناسب نیست، زیرا \(f(x)=0\) برای همه \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) و معادله فقط 1 ریشه خواهد داشت.
پاسخ:
\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)
وظیفه 4 #3072
سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی
تمام مقادیر \(a\) را پیدا کنید که برای هر یک از آنها معادله است \
حداقل یک ریشه دارد.
(تکلیف از مشترکین)
اجازه دهید معادله را به شکل بازنویسی کنیم \
و دو تابع را در نظر بگیرید: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) و \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
تابع \(g(x)\) زوج است و دارای حداقل نقطه \(x=0\) (و \(g(0)=49\)) است.
تابع \(f(x)\) برای \(x>0\) در حال کاهش است و برای \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
در واقع، وقتی \(x>0\) ماژول دوم مثبت باز می شود (\(|x|=x\))، بنابراین، صرف نظر از نحوه باز شدن ماژول اول، \(f(x)\) برابر خواهد بود. به \( kx+A\)، که در آن \(A\) عبارت \(a\) است و \(k\) برابر با \(-9\) یا \(-3\) است. وقتی \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
بیایید مقدار \(f\) را در حداکثر نقطه پیدا کنیم: \ 
برای اینکه معادله حداقل یک جواب داشته باشد، لازم است نمودارهای توابع \(f\) و \(g\) حداقل یک نقطه تقاطع داشته باشند. بنابراین، شما نیاز دارید: \ \\]
پاسخ:
\(a\in \(-7\)\فنجان\)
وظیفه 5 #3912
سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی
تمام مقادیر پارامتر \(a\) را پیدا کنید که برای هر یک از آنها معادله است \
دارای شش راه حل مختلف
بیایید جایگزین \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) را ایجاد کنیم. سپس معادله شکل خواهد گرفت \
ما به تدریج شرایطی را می نویسیم که در آن معادله اصلی شش راه حل خواهد داشت.
توجه داشته باشید که معادله درجه دوم \((*)\) می تواند حداکثر دو جواب داشته باشد. هر معادله مکعبی \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) نمی تواند بیش از سه راه حل داشته باشد. بنابراین، اگر معادله \((*)\) دو راه حل متفاوت داشته باشد (مثبت!، از آنجایی که \(t\) باید بزرگتر از صفر باشد) \(t_1\) و \(t_2\)، با انجام معکوس جایگزینی، دریافت می کنیم: \[\سمت چپ[\begin(جمع شد)\begin(تراز شده) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(تراز شده)\end(جمع آوری)\راست.\]از آنجایی که هر عدد مثبت را می توان تا حدی به صورت \(\sqrt2\) نشان داد، برای مثال، \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\)، سپس اولین معادله مجموعه در فرم بازنویسی می شود \
همانطور که قبلاً گفتیم، هر معادله مکعبی بیش از سه راه حل ندارد، بنابراین هر معادله در مجموعه بیش از سه راه حل نخواهد داشت. این بدان معنی است که کل مجموعه بیش از شش راه حل نخواهد داشت.
این بدان معناست که برای اینکه معادله اصلی شش راه حل داشته باشد، معادله درجه دوم \((*)\) باید دو جواب متفاوت داشته باشد و هر معادله مکعبی حاصل (از مجموعه) باید سه جواب متفاوت داشته باشد (و نه یک جواب واحد). یک معادله باید با هر معادله منطبق باشد - با تصمیم دوم!)
بدیهی است که اگر معادله درجه دوم \((*)\) یک راه حل داشته باشد، برای معادله اصلی شش جواب نخواهیم داشت.
بنابراین، طرح راه حل روشن می شود. شرایطی را که باید رعایت شود را نقطه به نقطه بنویسیم.
1) برای اینکه معادله \((*)\) دو جواب متفاوت داشته باشد، ممیز آن باید مثبت باشد: \
2) همچنین لازم است که هر دو ریشه مثبت باشند (از آنجا که \(t>0\) ). اگر حاصل ضرب دو ریشه مثبت و مجموع آنها مثبت باشد، خود ریشه ها مثبت خواهند بود. بنابراین، شما نیاز دارید: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
بنابراین، ما قبلاً دو ریشه مثبت مختلف \(t_1\) و \(t_2\) را برای خود فراهم کرده ایم.
3)
بیایید به این معادله نگاه کنیم \
برای چه \(t\) سه راه حل مختلف خواهد داشت؟ بنابراین، ما تعیین کردیم که هر دو ریشه معادله \((*)\) باید در بازه \((1;4)\) قرار گیرند. چگونه این شرط را بنویسیم؟ دارای چهار ریشه مختلف، متفاوت از صفر، که همراه با \(x=0\)، یک پیشرفت حسابی را نشان می‌دهد. توجه داشته باشید که تابع \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) زوج است، به این معنی که اگر \(x_0\) ریشه معادله \( (*)\ ) ، سپس \(-x_0\) نیز ریشه آن خواهد بود. سپس لازم است که ریشه های این معادله اعدادی باشد که به ترتیب صعودی مرتب شده اند: \(-2d, -d, d, 2d\) (سپس \(d>0\)). پس از آن است که این پنج عدد یک تصاعد حسابی (با اختلاف \(d\)) تشکیل می دهند. برای اینکه این ریشه ها اعداد \(-2d، -d، d، 2d\) باشند، لازم است که اعداد \(d^(\,2)، 4d^(\,2)\) ریشه های باشند. معادله \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . سپس طبق قضیه ویتا: اجازه دهید معادله را به شکل بازنویسی کنیم \
و دو تابع را در نظر بگیرید: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) و \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . برای اینکه معادله حداقل یک جواب داشته باشد، لازم است نمودارهای توابع \(f\) و \(g\) حداقل یک نقطه تقاطع داشته باشند. بنابراین، شما نیاز دارید: \
با حل این مجموعه از سیستم ها، به جواب می رسیم: \\]
پاسخ: \(a\in \(-2\)\فنجان\) - ( ریاضی اگر f (x) = f (x)، تابع f (x) فرد نامیده می شود. به عنوان مثال، y = cosx، y = x2... ... F(x) = x مثالی از یک تابع فرد است. f(x) = x2 مثالی از یک تابع زوج است. f(x) = x3 ... ویکی پدیا تابعی که برابری f (x) = f (x) را برآورده می کند. مشاهده توابع زوج و فرد... دایره المعارف بزرگ شوروی F(x) = x مثالی از یک تابع فرد است. f(x) = x2 مثالی از یک تابع زوج است. f(x) = x3 ... ویکی پدیا F(x) = x مثالی از یک تابع فرد است. f(x) = x2 مثالی از یک تابع زوج است. f(x) = x3 ... ویکی پدیا F(x) = x مثالی از یک تابع فرد است. f(x) = x2 مثالی از یک تابع زوج است. f(x) = x3 ... ویکی پدیا F(x) = x مثالی از یک تابع فرد است. f(x) = x2 مثالی از یک تابع زوج است. f(x) = x3 ... ویکی پدیا توابع ویژه ای که توسط ریاضیدان فرانسوی E. Mathieu در سال 1868 هنگام حل مسائل مربوط به نوسان یک غشای بیضوی معرفی شد. M. F. همچنین در مطالعه انتشار امواج الکترومغناطیسی در یک استوانه بیضوی ... دایره المعارف بزرگ شوروی درخواست "گناه" به اینجا هدایت می شود. معانی دیگر را نیز ببینید درخواست "sec" به اینجا هدایت می شود. معانی دیگر را نیز ببینید درخواست "Sine" به اینجا هدایت می شود. معانی دیگر را نیز ببینید... ویکی پدیا تابع صفرها صفرها نقاط تقاطع نمودار تابع با محور هستند اوه
برابری تابع تابع برابری فرد افزایش عملکرد تابع نزولی فواصل یکنواختی را با استفاده از سرویس بازه های تابع افزایش و کاهش پیدا کنید حداکثر محلی حداقل محلی فرکانس تابع فواصل پایداری علامت تداوم عملکرد نقاط شکست مثال:تابع را کاوش کرده و آن را رسم کنید: y = x 3 – 3x
تابع \(f(x)=x^3-3x^2+4\) را در نظر بگیرید.
می توان فاکتورسازی کرد: \
بنابراین، صفرهای آن عبارتند از: \(x=-1;2\) .
اگر مشتق \(f"(x)=3x^2-6x\) را پیدا کنیم، آنگاه دو نقطه افراطی \(x_(max)=0، x_(min)=2\) بدست می آوریم.
بنابراین، نمودار به شکل زیر است: 
می بینیم که هر خط افقی \(y=k\) ، جایی که \(0
بنابراین، شما نیاز دارید: \[\شروع (موارد) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
بیایید بلافاصله توجه داشته باشیم که اگر اعداد \(t_1\) و \(t_2\) متفاوت باشند، اعداد \(\log_(\sqrt2)t_1\) و \(\log_(\sqrt2)t_2\) خواهند بود. متفاوت است که به معنای معادلات است \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)و \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)ریشه های متفاوتی خواهد داشت.
سیستم \((**)\) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: \[\شروع (موارد) 1
ما ریشه ها را به صراحت نمی نویسیم.
تابع \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) را در نظر بگیرید. نمودار آن سهمی با شاخه های رو به بالا است که دارای دو نقطه تقاطع با محور x است (این شرط را در بند 1 یادداشت کردیم). نمودار آن چگونه باید باشد تا نقاط تقاطع با محور x در بازه \((1;4)\) باشد؟ بنابراین: 
اولاً مقادیر \(g(1)\) و \(g(4)\) تابع در نقاط \(1\) و \(4\) باید مثبت باشد و ثانیاً راس سهمی \(t_0\ ) نیز باید در بازه \((1;4)\) باشد. بنابراین، می توانیم سیستم را بنویسیم: \[\begin(موارد) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
تابع \(g(x)\) دارای حداکثر نقطه \(x=0\) است (و \(g_(\text(بالا))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). مشتق صفر: \(x=0\) . وقتی \(x<0\)
имеем: \(g">0\) ، برای \(x>0\) : \(g"<0\)
.
تابع \(f(x)\) برای \(x>0\) در حال افزایش است و برای \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
در واقع، وقتی \(x>0\) اولین ماژول مثبت باز می شود (\(|x|=x\))، بنابراین، صرف نظر از نحوه باز شدن ماژول دوم، \(f(x)\) برابر خواهد بود. به \( kx+A\) ، که \(A\) عبارت \(a\) است و \(k\) برابر است با \(13-10=3\) یا \(13+10 =23\). وقتی \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
بیایید مقدار \(f\) را در حداقل نقطه پیدا کنیم: \
صفر یک تابع مقدار است X، که در آن تابع به 0 تبدیل می شود، یعنی f(x)=0.
یک تابع حتی اگر برای هر کدام فراخوانی شود Xاز دامنه تعریف برابری f(-x) = f(x) برقرار است 
تابع زوج نسبت به محور متقارن است اوه
یک تابع اگر برای هر یک فرد نامیده می شود Xاز دامنه تعریف برابری f(-x) = -f(x) برقرار است. 
یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است.
تابعی که نه زوج باشد و نه فرد، تابع کلی نامیده می شود. 
به یک تابع f(x) گفته می‌شود که اگر مقدار بزرگ‌تری از آرگومان با مقدار بزرگ‌تری از تابع مطابقت داشته باشد، افزایش می‌یابد. x 2 > x 1 → f(x 2)> f(x 1) 
تابع f(x) نزولی نامیده می شود که مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار کوچکتری از تابع مطابقت داشته باشد، یعنی. x 2 > x 1 → f(x 2) 
فواصل زمانی که تابع یا فقط کاهش می یابد یا فقط افزایش می یابد نامیده می شوند فواصل یکنواختی. تابع f(x) دارای 3 بازه یکنواختی است:
(-∞ x 1)، (x 1، x 2)، (x 3 ; +∞) 
نقطه x 0در صورت وجود، حداکثر نقطه محلی نامیده می شود Xاز مجاورت یک نقطه x 0نابرابری زیر برقرار است: f(x 0) > f(x) 
نقطه x 0در صورت وجود، حداقل نقطه محلی نامیده می شود Xاز مجاورت یک نقطه x 0نابرابری برقرار است: f(x 0)< f(x).
نقاط ماکزیمم محلی و نقاط مینیمم محلی را نقاط انتهایی محلی می نامند. 
x 1، x 2 - نقاط انتهایی موضعی.
تابع f(x) را تناوبی و دارای نقطه می نامند تی، در صورت وجود Xبرابری f(x+T) = f(x) برقرار است. 
بازه هایی که تابع آنها یا فقط مثبت یا فقط منفی است، بازه های علامت ثابت نامیده می شوند. 
f(x)> 0 برای x∈(x 1، x 2)∪(x 2، +∞)، f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)
تابع f(x) در یک نقطه x 0 پیوسته نامیده می شود اگر حد تابع به صورت x → x 0 برابر با مقدار تابع در این نقطه باشد، یعنی. 
.
نقاطی که شرط تداوم در آنها نقض می شود، نقاط شکست تابع نامیده می شوند. 
x 0- نقطه شکستطرح کلی برای رسم توابع
1. دامنه تعریف تابع D(y) را بیابید.
2. نقاط تقاطع نمودار توابع را با محورهای مختصات بیابید.
3. تابع را برای زوج یا فرد بررسی کنید.
4. تابع را برای تناوب بررسی کنید.
5. فواصل یکنواختی و نقاط انتهایی تابع را بیابید.
6. فواصل تحدب و نقاط عطف تابع را بیابید.
7. مجانب تابع را بیابید.
8. بر اساس نتایج تحقیق، نمودار بسازید.
8) بر اساس نتایج مطالعه، تابع را ترسیم می کنیم: 
در حال بارگیری...