نحوه حل معادلات با استفاده از روش جایگزینی حل سیستم معادلات روش های ساده و پیچیده برای حل سیستم معادلات

2. روش جمع جبری.
3. روش معرفی متغیر جدید (روش جایگزینی متغیر).

تعریف:سیستم معادلات به چندین معادله برای یک یا چند متغیر اشاره دارد که باید به طور همزمان اجرا شوند، یعنی. با مقادیر یکسان متغیرها برای همه معادلات. معادلات در سیستم با یک علامت سیستم ترکیب می شوند - یک بریس مجعد.
مثال 1:

- سیستمی از دو معادله با دو متغیر ایکسو y.
راه حل سیستم ریشه است. هنگامی که این مقادیر جایگزین می شوند، معادلات به هویت های واقعی تبدیل می شوند:

حل سیستم معادلات خطی.

رایج ترین روش برای حل یک سیستم، روش جایگزینی است.

روش تعویض.

روش جایگزینی برای حل سیستم معادلات این است که یک متغیر از یک معادله سیستم را بر حسب معادلات دیگر بیان کنیم و این عبارت را به جای متغیر بیان شده در معادلات باقیمانده سیستم جایگزین کنیم.
مثال 2:
حل سیستم معادلات:

راه حل:
یک سیستم معادلات داده شده است و باید با استفاده از روش جایگزینی حل شود.
بیایید متغیر را بیان کنیم yاز معادله دوم سیستم
اظهار نظر:"بیان یک متغیر" به معنای تبدیل برابری است به طوری که این متغیر در سمت چپ علامت مساوی با ضریب 1 باقی می ماند و سایر عبارت ها به سمت راست برابری حرکت می کنند.
معادله دوم سیستم:

بگذارید فقط سمت چپ را ترک کنیم y:

و بیایید (از اینجا نام روش آمده است) را به جای معادله اول جایگزین کنیم درعبارتی که با آن برابر است، i.e. .
معادله اول:

بیایید جایگزین کنیم:

بیایید این معادله درجه دوم پیش پا افتاده را حل کنیم. برای کسانی که فراموش کرده اند چگونه این کار را انجام دهند، مقاله حل معادلات درجه دوم وجود دارد. .

بنابراین مقادیر متغیر ایکسیافت.
بیایید این مقادیر را در عبارت متغیر جایگزین کنیم y. در اینجا دو معنا وجود دارد ایکس، یعنی برای هر یک از آنها باید یک مقدار پیدا کنید y .
1) اجازه دهید
ما آن را به عبارت جایگزین می کنیم.

2) اجازه دهید
ما آن را به عبارت جایگزین می کنیم.

همه چیز را می توان پاسخ داد:
اظهار نظر:در این صورت باید جواب را دوتایی نوشت تا اشتباه نشود که کدام مقدار از متغیر y با کدام مقدار از متغیر x مطابقت دارد.
پاسخ:
اظهار نظر:در مثال 1، تنها یک جفت به عنوان راه حل برای سیستم نشان داده شده است، یعنی. این جفت یک راه حل برای سیستم است، اما یک راه حل کامل نیست. بنابراین نحوه حل یک معادله یا سیستم به معنای نشان دادن جواب و نشان دادن این است که هیچ راه حل دیگری وجود ندارد. و این هم یک زوج دیگر.

بیایید راه حل این سیستم را به سبک مدرسه رسمی کنیم:

اظهار نظر:علامت "" به معنای "معادل" است، یعنی. سیستم یا عبارت بعدی معادل سیستم قبلی است.

اجازه دهید دو نوع راه حل برای سیستم های معادلات را تجزیه و تحلیل کنیم:

1. حل سیستم با استفاده از روش جایگزینی.
2. حل سیستم با جمع (تفریق) ترم به ترم معادلات سیستم.

به منظور حل سیستم معادلات با روش جایگزینیشما باید یک الگوریتم ساده را دنبال کنید:
1. بیان کنید. از هر معادله ای یک متغیر را بیان می کنیم.
2. جایگزین. مقدار حاصل را به جای متغیر بیان شده در معادله دیگری جایگزین می کنیم.
3. معادله به دست آمده را با یک متغیر حل کنید. ما راه حلی برای سیستم پیدا می کنیم.

برطرف كردن سیستم با روش جمع (تفریق) ترم به ترمنیاز به:
1. متغیری را انتخاب کنید که برای آن ضرایب یکسان ایجاد کنیم.
2. معادلات را جمع یا تفریق می کنیم و در نتیجه معادله ای با یک متغیر به دست می آید.
3. معادله خطی حاصل را حل کنید. ما راه حلی برای سیستم پیدا می کنیم.

راه حل سیستم، نقاط تقاطع نمودارهای تابع است.

اجازه دهید راه حل سیستم ها را با استفاده از مثال ها با جزئیات در نظر بگیریم.

مثال شماره 1:

بیایید با روش جایگزینی حل کنیم

حل یک سیستم معادلات با استفاده از روش جایگزینی

2x+5y=1 (1 معادله)
x-10y=3 (معادله دوم)

1. بیان کنید
مشاهده می شود که در معادله دوم یک متغیر x با ضریب 1 وجود دارد که به این معنی است که بیان متغیر x از معادله دوم ساده ترین است.
x=3+10y

2. پس از بیان آن، 3+10y را به جای متغیر x در معادله اول جایگزین می کنیم.
2(3+10y)+5y=1

3. معادله به دست آمده را با یک متغیر حل کنید.
2(3+10y)+5y=1 (پرانتزها را باز کنید)
6 + 20 سال + 5 سال = 1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

راه حل سیستم معادلات، نقاط تلاقی نمودارها است، بنابراین باید x و y را پیدا کنیم، زیرا نقطه تقاطع از x و y تشکیل شده است، بیایید x را پیدا کنیم، در اولین نقطه ای که آن را بیان کردیم، y را جایگزین می کنیم.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

مرسوم است که نقطه ها را در وهله اول متغیر x می نویسیم و در مرحله دوم متغیر y.
پاسخ: (1؛ -0.2)

مثال شماره 2:

بیایید با استفاده از روش جمع (تفریق) ترم به ترم حل کنیم.

حل یک سیستم معادلات با استفاده از روش جمع

3x-2y=1 (1 معادله)
2x-3y=-10 (معادله دوم)

1. یک متغیر را انتخاب می کنیم، فرض کنید x را انتخاب می کنیم. در معادله اول، متغیر x دارای ضریب 3 است، در دومی - 2. ما باید ضرایب را یکسان کنیم، برای این ما حق داریم معادلات را ضرب کنیم یا بر هر عددی تقسیم کنیم. معادله اول را در 2 و دومی را در 3 ضرب می کنیم و ضریب کل 6 به دست می آید.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. دومی را از معادله اول کم کنید تا از شر متغیر x خلاص شوید. معادله خطی را حل کنید.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x را پیدا کنید. y یافت شده را با هر یک از معادلات جایگزین می کنیم، فرض کنید در معادله اول.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

نقطه تقاطع x=4.6 خواهد بود. y=6.4
پاسخ: (4.6؛ 6.4)

آیا می خواهید برای امتحانات به صورت رایگان آماده شوید؟ معلم آنلاین رایگان. شوخی نکن.

در این حالت، راحت است که x را بر حسب y از معادله دوم سیستم بیان کنیم و عبارت حاصل را به جای x در معادله اول جایگزین کنیم:

اولین معادله معادله ای با یک متغیر y است. حلش کنیم:

5 (7-3y)-2y = -16

مقدار y حاصل را با عبارت x جایگزین می کنیم:

پاسخ: (-2؛ 3).

در این سیستم، بیان y بر حسب x از معادله اول آسانتر است و عبارت حاصل به جای y در معادله دوم جایگزین می شود:

معادله دوم معادله ای با یک متغیر x است. حلش کنیم:

3x-4(-1.5-3.5x)=23

در عبارت y به جای x x=1 را جایگزین می کنیم و y را پیدا می کنیم:

پاسخ: (1؛ -5).

در اینجا راحت تر است که y را بر حسب x از معادله دوم بیان کنیم (زیرا تقسیم بر 10 ساده تر از تقسیم بر 4، -9 یا 3 است):

بیایید معادله اول را حل کنیم:

4x-9(1.6-0.3x)= -1

4x-14.4+2.7x= -1

x=2 را جایگزین کنید و y را پیدا کنید:

پاسخ: (2؛ 1).

قبل از اعمال روش جایگزینی، این سیستم باید ساده شود. هر دو طرف معادله اول را می توان در کمترین مخرج مشترک ضرب کرد، در معادله دوم پرانتزها را باز می کنیم و عبارت های مشابه را ارائه می دهیم:

ما یک سیستم معادلات خطی با دو متغیر به دست آوردیم. حالا بیایید جایگزینی را اعمال کنیم. بیان a تا b از معادله دوم راحت است:

معادله اول سیستم را حل می کنیم:

3 (21.5 + 2.5b) - 7b = 63

باقی مانده است که مقدار a را پیدا کنیم:

با توجه به قوانین قالب بندی، پاسخ را در پرانتز که با نقطه ویرگول از هم جدا شده اند، به ترتیب حروف الفبا می نویسیم.

جواب: (14؛ -3).

هنگام بیان یک متغیر از طریق متغیر دیگر، گاهی اوقات راحت تر است که آن را با یک ضریب خاص رها کنیم.

معمولاً معادلات سیستم در یک ستون زیر همدیگر نوشته می شود و با یک مهاربند ترکیب می شود.

سیستمی از معادلات از این نوع، که در آن الف، ب، ج- اعداد، و x، y- متغیرها نامیده می شوند سیستم معادلات خطی.

هنگام حل یک سیستم معادلات، از خواصی استفاده می شود که برای حل معادلات معتبر هستند.

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جایگزینی

بیایید به یک مثال نگاه کنیم

1) متغیر را در یکی از معادلات بیان کنید. مثلا بیان کنیم yدر معادله اول، سیستم را بدست می آوریم:

2) به جای معادله دوم سیستم جایگزین کنید yاصطلاح 3x-7:

3) معادله دوم حاصل را حل کنید:

4) حل به دست آمده را در معادله اول سیستم جایگزین می کنیم:

یک سیستم معادلات یک راه حل منحصر به فرد دارد: یک جفت اعداد x=1، y=-4. پاسخ: (1; -4) ، در پرانتز نوشته شده است، در موقعیت اول مقدار ایکس، در مورد دوم - y.

حل سیستم معادلات خطی با جمع

بیایید سیستم معادلات مثال قبل را حل کنیم روش اضافه کردن

1) سیستم را طوری تبدیل کنید که ضرایب یکی از متغیرها مخالف شود. بیایید معادله اول سیستم را در "3" ضرب کنیم.

2) معادلات سیستم را ترم به ترم اضافه کنید. معادله دوم سیستم (هر کدام) را بدون تغییر بازنویسی می کنیم.

3) حل به دست آمده را در معادله اول سیستم جایگزین می کنیم:

حل یک سیستم معادلات خطی به صورت گرافیکی

حل گرافیکی یک سیستم معادلات با دو متغیر به یافتن مختصات نقاط مشترک نمودارهای معادلات می رسد.

نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است. دو خط در یک صفحه می توانند در یک نقطه قطع شوند، موازی باشند یا منطبق باشند. بر این اساس، یک سیستم معادلات می تواند: الف) یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد. ب) راه حلی نداشته باشد. ج) بی نهایت راه حل داشته باشد.

2) راه حل سیستم معادلات نقطه (اگر معادلات خطی باشند) نقطه تلاقی نمودارها است.

راه حل گرافیکی سیستم

روشی برای معرفی متغیرهای جدید

تغییر متغیرها می تواند منجر به حل یک سیستم معادلات ساده تر از سیستم اصلی شود.

راه حل سیستم را در نظر بگیرید

پس بیایید جایگزین را معرفی کنیم

بیایید به سراغ متغیرهای اولیه برویم

موارد خاص

بدون حل یک سیستم معادلات خطی، می توانید تعداد جواب های آن را از ضرایب متغیرهای مربوطه تعیین کنید.

سیستم معادلات خطی با دو مجهول، دو یا چند معادله خطی است که برای یافتن تمام راه حل های مشترک آنها لازم است. ما سیستم های دو معادله خطی را در دو مجهول در نظر خواهیم گرفت. نمای کلی یک سیستم دو معادله خطی با دو مجهول در شکل زیر ارائه شده است:

(a1*x + b1*y = c1،
(a2*x + b2*y = c2

در اینجا x و y متغیرهای ناشناخته هستند، a1، a2، b1، b2، c1، c2 برخی از اعداد واقعی هستند. راه حل یک سیستم از دو معادله خطی در دو مجهول، یک جفت اعداد (x,y) است که اگر این اعداد را جایگزین معادلات سیستم کنیم، هر یک از معادلات سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می شود. یکی از راه های حل یک سیستم معادلات خطی، یعنی روش جایگزینی را در نظر بگیرید.

الگوریتم حل به روش جایگزینی

الگوریتم حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جایگزینی:

1. یک معادله را انتخاب کنید (بهتر است معادله ای را انتخاب کنید که اعداد کوچکتر هستند) و یک متغیر از آن را بر حسب دیگری بیان کنید، مثلا x را بر حسب y بیان کنید. (می توانید از y تا x نیز استفاده کنید).

2. عبارت حاصل را به جای متغیر مربوطه در معادله دیگری جایگزین کنید. بنابراین، یک معادله خطی با یک مجهول دریافت می کنیم.

3. معادله خطی به دست آمده را حل کنید و یک راه حل به دست آورید.

4. محلول به دست آمده را با عبارت بدست آمده در پاراگراف اول جایگزین می کنیم و مجهول دوم را از محلول بدست می آوریم.

5. محلول حاصل را بررسی کنید.

مثال

برای روشن شدن بیشتر، اجازه دهید یک مثال کوچک را حل کنیم.

مثال 1.حل سیستم معادلات:

(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18

راه حل:

1. از معادله اول این سیستم متغیر x را بیان می کنیم. x= (12 -2*y) داریم.

2. این عبارت را با معادله دوم جایگزین کنید، 2*x-3*y=-18 بدست می آوریم. 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. معادله خطی حاصل را حل کنید: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;

4. نتیجه به دست آمده را با عبارت به دست آمده در پاراگراف اول جایگزین کنید. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. راه حل به دست آمده را بررسی می کنیم؛ برای این کار، اعداد پیدا شده را جایگزین سیستم اصلی می کنیم.

(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

ما برابری های صحیح را بدست آوردیم، بنابراین راه حل را به درستی پیدا کردیم.