تابع درجه دوم

تابع f(x)=ax2+bx2+c، جایی که الف، ب، ج- تعدادی اعداد واقعی ( آ 0) نامیده شد تابع درجه دوم. نمودار یک تابع درجه دوم نامیده می شود سهمی.

تابع درجه دوم را می توان به شکل کاهش داد

f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a, (1)

اصطلاح b2-4acتماس گرفت ممیزمثلث مربع نمایش تابع درجه دوم به شکل (1) انتخاب نامیده می شود مربع کامل.

ویژگی های تابع درجه دوم و نمودار آن

دامنه تعریف تابع درجه دوم کل خط اعداد است.

در بتابع 0 نه زوج است و نه فرد. در ب= 0 تابع درجه دوم - حتی.

یک تابع درجه دوم پیوسته و قابل تمایز در کل دامنه تعریف خود است.

تابع دارای یک نقطه بحرانی واحد است

x=-b/(2a). اگر آ> 0، سپس در نقطه x=-b/(2a)تابع دارای حداقل است. در ایکس<-b/(2a) تابع به طور یکنواخت کاهش می یابد، با x>-b/(2a)یکنواخت افزایش می یابد.

اگر آ<0, то в точке x=-b/(2a)تابع دارای حداکثر است. در ایکس<-b/(2a) تابع به طور یکنواخت افزایش می یابد، با x>-b/(2a)یکنواخت کاهش می یابد.

نمودار نقطه ای تابع درجه دوم با آبسیسا x=-b/(2a)و منصوب کنید y= -((b2-4ac)/4a)تماس گرفت راس سهمی.

ناحیه تغییر تابع: چه زمانی آ> 0 - مجموعه ای از مقادیر تابع [-((b2-4ac)/4a)؛ +); در آ<0 - множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)].

نمودار تابع درجه دوم محور را قطع می کند 0 سالدر نقطه y=c. اگر b2-4ac>0، نمودار یک تابع درجه دوم محور را قطع می کند 0xدر دو نقطه (ریشه های واقعی مختلف معادله درجه دوم)؛ اگر b2-4ac=0 (معادله درجه دومیک ریشه تعدد 2 دارد)، نمودار یک تابع درجه دوم محور را لمس می کند 0xدر نقطه x=-b/(2a); اگر b2-4ac<0 ، تقاطع با محور 0xخیر

از نمایش یک تابع درجه دوم به شکل (1) نیز نتیجه می شود که نمودار تابع نسبت به خط مستقیم متقارن است. x=-b/(2a)- تصویر محور ترتیبی در حین ترجمه موازی r=(-b/(2a)؛ 0).

نمودار یک تابع

f(x)=ax2+bx+c

• (یا f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a))می توان از نمودار یک تابع به دست آورد f(x)=x2 با تبدیل های زیر:
  • الف) انتقال موازی r=(-b/(2a)؛ 0);
  • ب) فشرده سازی (یا کشش) به محور x. c آیک بار؛
  • ج) انتقال موازی

r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).

تابع نمایی

تابع نماییتابع فرم نامیده می شود f(x)=ax، جایی که آ- تعدادی عدد واقعی مثبت نامیده می شود اساس مدرکدر a=1مقدار تابع نمایی برای هر مقدار آرگومان برابر با یک است و مورد آ=1 بیشتر در نظر گرفته نخواهد شد.

ویژگی های تابع نمایی.

دامنه تعریف یک تابع کل خط اعداد است.

دامنه یک تابع مجموعه ای از تمام اعداد مثبت است.

تابع در کل دامنه تعریف خود پیوسته و قابل تمایز است. مشتق تابع نمایی با استفاده از فرمول محاسبه می شود

(آ x) = آ xln آ

در آتابع 1 یکنواخت افزایش می یابد، با آ<1 монотонно убывает.

تابع نمایی دارای تابع معکوس به نام تابع لگاریتمی است.

نمودار هر تابع نمایی محور را قطع می کند 0 سالدر نقطه y=1.

نمودار یک تابع نمایی منحنی است که به صورت مقعر به سمت بالا هدایت می شود.

نمودار تابع نمایی در مقدار آ=2 در شکل نشان داده شده است. 5

تابع لگاریتمی

تابع معکوس تابع نمایی y= آ x نامیده می شود لگاریتمیو نشان دهند

y=لوگا x.

عدد آتماس گرفت اساستابع لگاریتمی تابع لگاریتمی با پایه 10 با نشان داده می شود

و یک تابع لگاریتمی با پایه همشخص کن

ویژگی های تابع لگاریتمی

دامنه تعریف تابع لگاریتمی بازه (0; +) است.

محدوده تابع لگاریتمی کل محدوده عددی است.

تابع لگاریتمی در سراسر دامنه تعریف خود پیوسته و قابل تمایز است. مشتق تابع لگاریتمی با استفاده از فرمول محاسبه می شود

(loga x) = 1/(x ln a).

یک تابع لگاریتمی یکنواخت افزایش می یابد اگر آ> 1. در 0<آ<1 логарифмическая функция с основанием آیکنواخت کاهش می یابد. به هر دلیلی آ>0, آ 1، برابری ها برقرار است

لوگا 1 = 0، لوگا = 1.

در آ> 1 نمودار یک تابع لگاریتمی - منحنی که به صورت مقعر به سمت پایین هدایت می شود. در 0<آ<1 - кривая, направленная вогнутостью вверх.

نمودار تابع لگاریتمی در آ=2 در شکل نشان داده شده است. 6.

هویت لگاریتمی پایه

تابع معکوس برای تابع نمایی y= آ x یک تابع لگاریتمی x =log خواهد بود آ y با توجه به خواص توابع معکوس متقابل f و f-I برای همه ایکساز دامنه تعریف تابع f-I(x). به طور خاص، برای یک تابع نمایی و لگاریتمی، برابری (1) شکل می گیرد

آورود به سیستم آ y=y.

تساوی (2) اغلب نامیده می شود هویت لگاریتمی پایه. برای هر مثبت x، yبرای تابع لگاریتمی برابری های زیر صادق است که می توان آن را به عنوان پیامدهای هویت لگاریتمی اصلی (2) و ویژگی های تابع نمایی به دست آورد:

لوگا (xy)=لوگا x+loga y;

لوگا (x/y)= لوگا x-loga y;

loga(x)= logax(- هر عدد واقعی)؛

لوگا=1;

لوگا x = (logb x/ logb a) (ب- عدد واقعی، b>0، ب 1).

به ویژه، از آخرین فرمول برای a=e، b=10 برابری را بدست می آوریم

ln x = (1/(ln ه))lg ایکس.(3)

شماره ال جی همدول انتقال از لگاریتم طبیعی به اعشاری نامیده می شود و با حرف M نشان داده می شود و فرمول (3) معمولاً به شکل نوشته می شود.

lg x = M ln x.

رابطه معکوس متناسب

متغیر yتماس گرفت نسبت معکوسمتغیر ایکس، در صورتی که مقادیر این متغیرها با برابری مرتبط باشند y = k/x، جایی که ک- تعدادی عدد واقعی متفاوت از صفر عدد کضریب تناسب معکوس نامیده می شود.

ویژگی های تابع y = k/x

دامنه یک تابع مجموعه ای از تمام اعداد واقعی به جز 0 است.

دامنه یک تابع مجموعه ای از تمام اعداد واقعی به جز 0 است.

تابع f(x) = k/x- عجیب و غریب، و نمودار آن متقارن در مورد مبدا است. تابع f(x) = k/xپیوسته و قابل تمایز در کل دامنه تعریف. f(x) = -k/x2.تابع هیچ نقطه بحرانی ندارد.

تابع f(x) = k/xبرای k>0 به طور یکنواخت در (-، 0) و (0، +)، و برای k کاهش می یابد<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.

نمودار یک تابع f(x) = k/xبرای k>0 در بازه (0، +) به صورت مقعر به سمت بالا و در بازه (-، 0) - مقعر به سمت پایین هدایت می شود. در k<0 промежуток вогнутости вверх (-, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +).

نمودار یک تابع f(x) = k/xبرای ارزش ک=1 در شکل نشان داده شده است. 7.

توابع مثلثاتی

توابع sin، cos، tg، ctgنامیده می شوند توابع مثلثاتیگوشه. علاوه بر توابع مثلثاتی اصلی sin، cos، tg، ctg، دو تابع مثلثاتی دیگر از زاویه وجود دارد - جدا کردنو متقابل، نشان داده شده است ثانیهو cosecبه ترتیب.

سینوسیشماره ایکسعددی برابر با سینوس زاویه بر حسب رادیان است.

ویژگی های تابع sin x.

تابع sin x فرد است: sin (-x)=- sin x.

تابع sin x تناوبی است. کوچکترین دوره مثبت 2 است:

sin (x+2)= گناه x.

صفرهای تابع: sin x=0 در x= n، nز.

فواصل ثابت را علامت بزنید:

sin x> 0 در x (2 n; +2n), nز،

گناه x<0 при x (+2n; 2+2n), nز.

تابع sin x پیوسته است و برای هر مقدار آرگومان مشتق دارد:

(سین x) =cos x.

تابع sin x با x ((-/2)+2 افزایش می یابد n(/2)+2n), n Z، و به صورت x ((/2)+2 کاهش می یابد n; ((3)/2)+ 2n),nز.

تابع sin x دارای حداقل مقادیر برابر با -1 در x=(-/2)+2 است n, n Z و حداکثر مقادیر برابر با 1 در x=(/2)+2 است n, nز.

نمودار تابع y=sin x در شکل نشان داده شده است. 8. نمودار تابع sin x نامیده می شود سینوسی.

ویژگی های تابع cos x

دامنه تعریف مجموعه ای از تمام اعداد واقعی است.

محدوده مقادیر بازه [-1؛ 1].

تابع cos x - زوج: cos (-x)=cos x.

تابع cos x تناوبی است. کوچکترین دوره مثبت 2 است:

cos (x+2)= cos x.

صفرهای تابع: cos x=0 در x=(/2)+2 n، nز.

فواصل ثابت را علامت بزنید:

cos x>0 در x ((-/2)+2 n(/2)+2n)), nز،

cos x<0 при x ((/2)+2n); ((3)/2)+ 2n)), nز.

تابع cos x برای هر مقدار آرگومان پیوسته و قابل تفکیک است:

(cos x) = -sin x.

تابع cos x با x (-+2) افزایش می یابد n 2n), nز،

و با x کاهش می یابد (2 n; + 2n),nز.

تابع cos x دارای حداقل مقادیر برابر با -1 در x=+2 است n, n Z و حداکثر مقادیر برابر با 1 در x=2 است n, nز.

نمودار تابع y=cos x در شکل نشان داده شده است. 9.

ویژگی های تابع tg x

دامنه یک تابع مجموعه ای از تمام اعداد واقعی به جز x=/2+ است n, nز.

تابع tg x - فرد: tg (-x)=- tg x.

تابع tg x تناوبی است. کوچکترین دوره مثبت تابع عبارت است از:

tg (x+) = tg x.

صفرهای تابع: tg x=0 در x= n، nز.

فواصل ثابت را علامت بزنید:

برنزه x>0 در x ( n; (/2)+n), nز،

tg x<0 при x ((-/2)+n; n), nز.

تابع tg x برای هر مقدار آرگومان از دامنه تعریف پیوسته و قابل تمایز است:

(tg x) =1/cos2 x.

تابع tg x در هر یک از بازه ها افزایش می یابد

((-/2)+n؛ (/2)+n)، n Z،

نمودار تابع y=tg x در شکل نشان داده شده است. 10. نمودار تابع tg x نامیده می شود مماس.

ویژگی های تابع сtg x.

n, nز.

محدوده مجموعه ای از تمام اعداد واقعی است.

تابع сtg x - فرد: сtg (-х)=- сtg x.

تابع сtg x تناوبی است. کوچکترین دوره مثبت تابع عبارت است از:

ctg (x+) = ctg x.

صفرهای تابع: ctg x=0 در x=(/2)+ n، nز.

فواصل ثابت را علامت بزنید:

تخت x>0 در x ( n; (/2)+n), nز،

ctg x<0 при x ((/2)+n; (n+1)), nز.

تابع ctg x برای هر مقدار آرگومان از دامنه تعریف پیوسته و قابل تمایز است:

(ctg x) =-(1/sin2 x).

تابع ctg x در هر یک از بازه ها کاهش می یابد ( n(n+1)), nز.

نمودار تابع y=сtg x در شکل نشان داده شده است. یازده

ویژگی های تابع sec x.

دامنه یک تابع مجموعه ای از تمام اعداد واقعی به جز اعداد فرم است

x=(/2)+ n, nز.

محدوده:

تابع sec x - even: sec (-x)= sec x.

تابع sec x تناوبی است. کوچکترین دوره مثبت تابع 2 است:

ثانیه (x+2)= ثانیه x.

تابع sec x برای هیچ مقدار آرگومان به صفر نمی رسد.

فواصل ثابت را علامت بزنید:

ثانیه x>0 در x ((-/2)+2n؛ (/2)+2n)، n Z،

ثانیه x<0 при x ((/2)+2n; (3/2)+2n), nز.

تابع sec x پیوسته و قابل تمایز برای هر مقدار آرگومان از دامنه تعریف تابع است:

(sec x) = sin x/cos2 x.

تابع sec x در فواصل زمانی افزایش می یابد

(2n(/2)+ 2n), ((/2)+ 2n; + 2n],nز،

و در این بین کاهش می یابد

[+ 2n; (3/2)+ 2n), ((3/2)+ 2n; 2(n+1)], nز.

نمودار تابع y=sec x در شکل نشان داده شده است. 12.

ویژگی های تابع cosec x

دامنه یک تابع مجموعه ای از تمام اعداد واقعی است، به جز اعدادی به شکل x= n, nز.

محدوده:

تابع cosec x - odd: cosec (-x)= -cosec x.

تابع cosec x تناوبی است. کوچکترین دوره مثبت تابع 2 است:

cosec (x+2)= cosec x.

تابع cosec x برای هیچ مقدار آرگومان به صفر نمی رسد.

فواصل ثابت را علامت بزنید:

cosec x> 0 در x (2 n; +2n), nز،

cosec x<0 при x (+2n; 2(n+1)), nز.

تابع cosec x پیوسته و قابل تمایز برای هر مقدار آرگومان از دامنه تابع است:

(cosec x) =-(cos x/sin2 x).

تابع cosec x در فواصل زمانی افزایش می یابد

[(/2)+ 2n+ 2n), (+ 2n; (3/2)+ 2n],nز،

و در این بین کاهش می یابد

(2n; (/2)+ 2n], ((3/2)+ 2n; 2+2n), nز.

نمودار تابع y=cosec x در شکل نشان داده شده است. 13.

تابعی به شکل y =a*x^2+b*x+c که a,b,c برخی از اعداد حقیقی و a غیر صفر و x,y متغیر هستند، تابع درجه دوم نامیده می شود. نمودار تابع درجه دوم y =a*x^2+b*x+c خطی است که در ریاضیات نامیده می شود. سهمی. نمای کلی سهمیدر شکل زیر ارائه شده است.

شایان ذکر است که اگر تابعی دارای ضریب a>0 باشد، سهمی با شاخه های آن به سمت بالا هدایت می شود و اگر a نمودار تابع درجه دوم نسبت به محور تقارن متقارن باشد. محور تقارن سهمی خط مستقیمی است که از نقطه x=(-b)/(2*a)، موازی با محور Oy کشیده شده است.

مختصات راس سهمی با فرمول های زیر تعیین می شود:

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

شکل زیر نمودار یک تابع درجه دوم دلخواه را نشان می دهد. رسم نمودار یک تابع درجه دوم. راس سهمی و محور تقارن نیز در شکل مشخص شده است.

بسته به مقدار ضریب a، قسمت بالای سهمی حداقل یا حداکثر مقدار تابع درجه دوم خواهد بود. وقتی a>0، راس حداقل مقدار تابع درجه دوم است و مقدار حداکثری وجود ندارد. وقتی a، محور تقارن از راس سهمی عبور می کند. دامنه تعریف تابع درجه دوم کل مجموعه اعداد حقیقی R است.

تابع درجه دوم y =a*x^2+b*x+c همیشه می تواند به شکل y=a*(x+k)^2+p تبدیل شود، که در آن k=b/(2*a)، p= (4* a*c-b^2)/(4*a). برای انجام این کار، باید یک مربع کامل را انتخاب کنید.

لطفاً توجه داشته باشید که نقطه با مختصات (-k;p) رأس سهمی خواهد بود. نمودار تابع درجه دوم y=a*(x+k)^2+p را می توان از نمودار تابع y=a*x^2 با استفاده از ترجمه موازی بدست آورد.

برای مطالعات خود به کمک نیاز دارید؟