انتظارات ریاضی جدول توزیع ویژگی های انتظار ریاضی. تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته

همانطور که قبلاً شناخته شده است، قانون توزیع به طور کامل یک متغیر تصادفی را مشخص می کند. با این حال، اغلب قانون توزیع ناشناخته است و فرد باید خود را به اطلاعات کمتر محدود کند. گاهی اوقات استفاده از اعدادی که متغیر تصادفی را در کل توصیف می کنند سودآورتر است. چنین اعدادی نامیده می شوند ویژگی های عددی متغیر تصادفی .

یکی از ویژگی های عددی مهم، انتظار ریاضی است.

ارزش مورد انتظارتقریباً برابر با میانگین مقدار متغیر تصادفی است.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسستهمجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن و احتمالات آنها است.

اگر یک متغیر تصادفی با یک سری توزیع محدود مشخص شود:

ایکس	x 1	x 2	x 3	…	x n
آر	ص 1	ص 2	ص 3	…	r p

سپس انتظارات ریاضی M(X)با فرمول تعیین می شود:

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته با برابری تعیین می شود:

چگالی احتمال متغیر تصادفی کجاست ایکس.

مثال 4.7.انتظار ریاضی تعداد نقاطی که هنگام پرتاب تاس ظاهر می شود را بیابید.

راه حل:

مقدار تصادفی ایکسمقادیر 1، 2، 3، 4، 5، 6 را می گیرد. بیایید قانون توزیع آن را ایجاد کنیم:

ایکس
آر

سپس انتظار ریاضی این است:

ویژگی های انتظار ریاضی:

1. انتظار ریاضی یک مقدار ثابت برابر است با خود ثابت:

M (S) = S.

2. عامل ثابت را می توان از علامت انتظار ریاضی خارج کرد:

M (CX) = CM (X).

3. انتظارات ریاضی حاصلضرب دو متغیر تصادفی مستقل برابر است با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها:

M(XY) = M(X)M(Y).

مثال 4.8. متغیرهای تصادفی مستقل ایکسو Yتوسط قوانین توزیع زیر ارائه می شود:

ایکس					Y
آر	0,6	0,1	0,3		آر	0,8	0,2

انتظارات ریاضی متغیر تصادفی XY را پیدا کنید.

راه حل.

بیایید انتظارات ریاضی هر یک از این کمیت ها را پیدا کنیم:

متغیرهای تصادفی ایکسو Yمستقل، بنابراین انتظارات ریاضی مورد نیاز عبارتند از:

M(XY) = M(X)M(Y)=

نتیجه.انتظارات ریاضی حاصلضرب چندین متغیر تصادفی مستقل از یکدیگر برابر است با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها.

4. انتظارات ریاضی از مجموع دو متغیر تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی عبارت‌ها:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

نتیجه.انتظار ریاضی از مجموع چندین متغیر تصادفی با مجموع انتظارات ریاضی عبارت ها برابر است.

مثال 4.9. 3 شلیک با احتمال اصابت به هدف برابر است ص 1 = 0,4; p2= 0.3 و ص 3= 0.6. انتظارات ریاضی تعداد کل بازدیدها را بیابید.

راه حل.

تعداد ضربه ها در اولین ضربه یک متغیر تصادفی است X 1، که فقط می تواند دو مقدار بگیرد: 1 (hit) با احتمال ص 1= 0.4 و 0 (از دست دادن) با احتمال q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

انتظار ریاضی تعداد ضربه در اولین ضربه برابر با احتمال ضربه است:

به طور مشابه، انتظارات ریاضی تعداد ضربه‌های شلیک دوم و سوم را می‌یابیم:

M(X 2)= 0.3 و M(X 3)= 0,6.

تعداد کل ضربه ها نیز یک متغیر تصادفی است که از مجموع ضربات در هر یک از سه ضربه تشکیل شده است:

X = X 1 + X 2 + X 3.

انتظارات ریاضی مورد نیاز ایکسما آن را با استفاده از قضیه در مورد انتظار ریاضی از مجموع می یابیم.

اندازه

ویژگی های عددی پایه تصادفی

قانون توزیع چگالی یک متغیر تصادفی را مشخص می کند. اما اغلب ناشناخته است و فرد باید خود را به اطلاعات کمتر محدود کند. گاهی اوقات استفاده از اعدادی که در مجموع یک متغیر تصادفی را توصیف می کنند سودآورتر است. چنین اعدادی نامیده می شوند ویژگی های عددیمتغیر تصادفی بیایید به موارد اصلی نگاه کنیم.

تعریف:انتظار ریاضی M(X) از یک متغیر تصادفی گسسته، مجموع حاصل از همه مقادیر ممکن این کمیت و احتمالات آنها است:

اگر یک متغیر تصادفی گسسته ایکسپس از آن، مقادیر بسیار زیادی ممکن را می گیرد

علاوه بر این، اگر این سری کاملاً همگرا باشد، انتظار ریاضی وجود دارد.

از تعریف بر می آید که M(X)یک متغیر تصادفی گسسته یک متغیر غیر تصادفی (ثابت) است.

مثال:اجازه دهید ایکس- تعداد وقوع رویداد آدر یک آزمون، P(A) = p. ما باید انتظارات ریاضی را پیدا کنیم ایکس.

راه حل:بیایید یک قانون توزیع جدولی ایجاد کنیم ایکس:

ایکس	0	1
پ	1 - ص	پ

بیایید انتظار ریاضی را پیدا کنیم:

بدین ترتیب، انتظار ریاضی تعداد وقوع یک رویداد در یک آزمایش برابر با احتمال این رویداد است..

منشاء اصطلاح ارزش مورد انتظارمربوط به دوره اولیه ظهور نظریه احتمال (قرن XVI-XVII)، زمانی که دامنه کاربرد آن محدود به قمار بود. بازیکن به میانگین مقدار برد مورد انتظار علاقه داشت، یعنی. انتظارات ریاضی برنده شدن

در نظر بگیریم معنای احتمالی انتظار ریاضی.

بذار تولید بشه nآزمون هایی که در آن متغیر تصادفی است ایکسپذیرفته شده متر 1برابر ارزش x 1, متر 2برابر ارزش x 2و غیره و بالاخره قبول کرد m kبرابر ارزش x k، و m 1 + m 2 +…+ + m k = n.

سپس مجموع تمام مقادیر گرفته شده توسط متغیر تصادفی ایکس، برابر است x 1 m 1 + x 2 m 2 +…+x k m k.

میانگین حسابی همه مقادیر گرفته شده توسط یک متغیر تصادفی ایکس، برابر است با:

زیرا فرکانس نسبی یک مقدار برای هر مقدار است i = 1، …، k.

همانطور که مشخص است، اگر تعداد آزمایشات nبه اندازه کافی بزرگ است، پس فرکانس نسبی تقریبا برابر با احتمال وقوع رویداد است، بنابراین،

بدین ترتیب، .

نتیجه:انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته تقریباً برابر است (هر چه دقیق تر، تعداد تست ها بیشتر باشد) با میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده متغیر تصادفی.

بیایید ویژگی های اساسی انتظارات ریاضی را در نظر بگیریم.

خاصیت 1:انتظار ریاضی از یک مقدار ثابت برابر است با خود مقدار ثابت:

M(C) = C.

اثبات:ثابت بارا می توان در نظر گرفت که یک معنی احتمالی دارد باو با احتمال آن را می پذیرد p = 1.از این رو، M(C) =C 1 = S.

بیایید تعریف کنیم حاصلضرب یک متغیر ثابت C و یک متغیر تصادفی گسسته Xبه عنوان یک متغیر تصادفی گسسته CX، که مقادیر ممکن آن برابر با حاصلضرب ثابت است بابه مقادیر ممکن ایکس CXبرابر با احتمالات مقادیر ممکن مربوطه است ایکس:

CX	سی	سی	…	سی
ایکس			…
آر			…

خاصیت 2:عامل ثابت را می توان از علامت انتظار ریاضی خارج کرد:

M(CX) = CM(X).

اثبات:اجازه دهید متغیر تصادفی ایکستوسط قانون توزیع احتمال داده می شود:

ایکس			…
پ			…

بیایید قانون توزیع احتمال یک متغیر تصادفی را بنویسیم CX:

CX	سی	سی	…	سی
پ			…

M(CX) = سی +سی =سی + ) = سی M(X).

تعریف:دو متغیر تصادفی مستقل نامیده می شوند اگر قانون توزیع یکی از آنها به مقادیر ممکن متغیر دیگر بستگی نداشته باشد. در غیر این صورت، متغیرهای تصادفی وابسته هستند.

تعریف:گفته می‌شود که چندین متغیر تصادفی از یکدیگر مستقل هستند، اگر قوانین توزیع هر یک از آنها به مقادیر ممکنی که متغیرهای باقی‌مانده گرفته‌اند بستگی نداشته باشد.

بیایید تعریف کنیم حاصل ضرب متغیرهای تصادفی گسسته مستقل X و Yبه عنوان یک متغیر تصادفی گسسته XY، که مقادیر ممکن آن برابر با محصولات هر مقدار ممکن است ایکسبرای هر مقدار ممکن Y. احتمالات مقادیر ممکن XYبرابر است با حاصل ضرب احتمالات مقادیر ممکن عوامل.

اجازه دهید توزیع متغیرهای تصادفی داده شود ایکسو Y:

ایکس			…
پ			…

Y			…
جی			…

سپس توزیع متغیر تصادفی XYدارای فرم:

XY			…
پ			…

برخی از آثار ممکن است برابر باشند. در این حالت، احتمال یک مقدار ممکن از محصول برابر است با مجموع احتمالات مربوطه. به عنوان مثال، اگر =، پس احتمال مقدار است

خاصیت 3:انتظارات ریاضی حاصلضرب دو متغیر تصادفی مستقل برابر است با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها:

M(XY) = M(X) M (Y).

اثبات:اجازه دهید متغیرهای تصادفی مستقل ایکسو Yتوسط قوانین توزیع احتمال خود مشخص می شوند:

ایکس
پ

Y
جی

برای ساده کردن محاسبات، خود را به تعداد کمی از مقادیر ممکن محدود می کنیم. در حالت کلی، اثبات مشابه است.

بیایید یک قانون توزیع یک متغیر تصادفی ایجاد کنیم XY:

XY
پ

M(XY) =

M(X) M (Y).

نتیجه:انتظارات ریاضی حاصلضرب چندین متغیر تصادفی مستقل از یکدیگر برابر است با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها.

اثبات:اجازه دهید سه متغیر تصادفی مستقل را ثابت کنیم ایکس,Y,ز. متغیرهای تصادفی XYو زمستقل، سپس دریافت می کنیم:

M(XYZ) = M(XY Z) = M (XY) M(Z) = M(X) M(Y) M(Z).

برای تعداد دلخواه متغیرهای تصادفی مستقل متقابل، اثبات با روش استقرای ریاضی انجام می شود.

مثال:متغیرهای تصادفی مستقل ایکسو Y

ایکس	5	2
پ	0,6	0,1	0,3

Y	7	9
جی	0,8	0,2

نیاز به پیدا کردن M(XY).

راه حل:از آنجایی که متغیرهای تصادفی ایکسو Yپس مستقل هستند M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.

بیایید تعریف کنیم مجموع متغیرهای تصادفی گسسته X و Yبه عنوان یک متغیر تصادفی گسسته X+Yکه مقادیر ممکن آن برابر با مجموع هر مقدار ممکن است ایکسبا هر مقدار ممکن Y. احتمالات مقادیر ممکن X+Yبرای متغیرهای تصادفی مستقل ایکسو Yبرابر است با حاصل ضرب احتمالات عبارات و برای متغیرهای تصادفی وابسته - با حاصلضرب احتمال یک جمله با احتمال شرطی دوم.

اگر = و احتمالات این مقادیر به ترتیب برابر باشند، احتمال (همان ) برابر است با .

خاصیت 4:انتظارات ریاضی از مجموع دو متغیر تصادفی (وابسته یا مستقل) برابر است با مجموع انتظارات ریاضی عبارت‌ها:

M(X+Y) = M(X) + M(Y).

اثبات:اجازه دهید دو متغیر تصادفی ایکسو Yتوسط قوانین توزیع زیر ارائه می شود:

ایکس
پ

Y
جی

برای ساده کردن نتیجه، خود را به دو مقدار ممکن از هر کمیت محدود می کنیم. در حالت کلی، اثبات مشابه است.

بیایید تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی را بسازیم X+Y(برای سادگی فرض کنید که این مقادیر متفاوت هستند، اگر نه، پس اثبات مشابه است):

X+Y
پ

بیایید انتظار ریاضی این مقدار را پیدا کنیم.

م(X+Y) = + + + +

بیایید ثابت کنیم که + = .

رویداد X = (احتمال آن P(X = ) مستلزم این رویداد است که متغیر تصادفی X+Yمقدار یا (احتمال این رویداد، با توجه به قضیه جمع، برابر است با ) و بالعکس را خواهد گرفت. سپس = .

برابری = = = به روشی مشابه ثابت می شود

با جایگزین کردن سمت راست این برابری ها به فرمول حاصل برای انتظار ریاضی، به دست می آوریم:

M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).

نتیجه:انتظار ریاضی از مجموع چندین متغیر تصادفی با مجموع انتظارات ریاضی عبارت ها برابر است.

اثبات:اجازه دهید سه متغیر تصادفی را ثابت کنیم ایکس,Y,ز. بیایید انتظار ریاضی متغیرهای تصادفی را پیدا کنیم X+Yو ز:

M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)

برای تعداد دلخواه متغیرهای تصادفی، اثبات با روش استقرای ریاضی انجام می شود.

مثال:میانگین مجموع تعداد امتیازهایی را که می توان با پرتاب دو تاس به دست آورد را بیابید.

راه حل:اجازه دهید ایکس- تعداد نقاطی که می تواند در اولین قالب ظاهر شود، Y- در مورد دوم بدیهی است که متغیرهای تصادفی ایکسو Yتوزیع های یکسانی دارند. بیایید داده های توزیع را یادداشت کنیم ایکسو Yدر یک جدول:

ایکس	1	2	3	4	5	6
Y	1	2	3	4	5	6
پ	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =

M(X + Y) = 7.

بنابراین، مقدار میانگین مجموع تعداد امتیازهایی که می تواند هنگام پرتاب دو تاس ظاهر شود، است 7 .

قضیه:انتظار ریاضی M(X) از تعداد وقوع رویداد A در n آزمایش مستقل برابر است با حاصل ضرب تعداد آزمایش و احتمال وقوع رویداد در هر آزمایش: M(X) = np.

اثبات:اجازه دهید ایکس- تعداد وقوع رویداد آ V nتست های مستقل به طور مشخص، تعداد کل ایکسوقوع رویداد آدر این کارآزمایی ها مجموع تعداد وقوع رویداد در آزمایشات فردی است. سپس، اگر تعداد وقوع یک رویداد در آزمایش اول، در آزمایش دوم، و غیره، در نهایت، تعداد وقوع رویداد در nآزمون -ام، سپس تعداد کل وقوع رویداد با فرمول محاسبه می شود:

توسط ویژگی 4 انتظارات ریاضیما داریم:

M(X) = M( ) + … + M( ).

از آنجایی که انتظار ریاضی تعداد وقوع یک رویداد در یک آزمایش برابر با احتمال آن رویداد است، پس

M( ) = M( )= … = M( ) = ص.

از این رو، M(X) = np.

مثال:احتمال اصابت به هدف هنگام شلیک از تفنگ است p = 0.6. در صورت ایجاد میانگین تعداد بازدیدها را بیابید 10 عکس ها

راه حل:ضربه برای هر ضربه به نتایج ضربات دیگر بستگی ندارد، بنابراین رویدادهای مورد بررسی مستقل هستند و بنابراین، انتظارات ریاضی مورد نیاز برابر است با:

M(X) = np = 10 0,6 = 6.

بنابراین میانگین تعداد بازدیدها 6 است.

حال انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی پیوسته را در نظر بگیرید.

تعریف:انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی پیوسته X که مقادیر ممکن آن به بازه تعلق دارد,تماس گرفت انتگرال معین:

که در آن f(x) چگالی توزیع احتمال است.

اگر مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی پیوسته X متعلق به کل محور Ox باشد، پس

فرض بر این است که این انتگرال نامناسبکاملاً همگرا می شود، یعنی انتگرال همگرا می شود اگر این شرط برآورده نمی شد، آنگاه مقدار انتگرال به نرخی بستگی دارد که (به طور جداگانه) حد پایین به -∞ و حد بالایی به +∞ تمایل دارد.

می توان ثابت کرد که تمام خصوصیات انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی گسسته برای یک متغیر تصادفی پیوسته حفظ می شود.. اثبات بر اساس ویژگی های انتگرال معین و نادرست است.

بدیهی است که انتظارات ریاضی M(X)بزرگتر از کوچکترین و کمتر از بزرگترین مقدار ممکن متغیر تصادفی ایکس. آن ها در محور اعداد، مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی در سمت چپ و سمت راست انتظارات ریاضی آن قرار دارد. در این معنا، انتظار ریاضی M(X)مکان توزیع را مشخص می کند و بنابراین اغلب نامیده می شود مرکز توزیع.

1. انتظار ریاضی یک مقدار ثابت با خود ثابت برابر است M(S)=C .
2. عامل ثابت را می توان از علامت انتظار ریاضی خارج کرد: M(CX)=CM(X)
3. انتظار ریاضی حاصلضرب دو متغیر تصادفی مستقل با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها برابر است: M(XY)=M(X) M(Y).
4. انتظار ریاضی از مجموع دو متغیر تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی عبارات: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

قضیه. انتظار ریاضی M(x) از تعداد وقوع رویدادهای A در n کارآزمایی مستقل برابر است با حاصلضرب این آزمایشات با احتمال وقوع رویدادها در هر آزمایش: M(x) = np.

اجازه دهید ایکس - متغیر تصادفی و M(X) - انتظارات ریاضی آن اجازه دهید به عنوان یک متغیر تصادفی جدید تفاوت را در نظر بگیریم X - M(X).

انحراف تفاوت بین یک متغیر تصادفی و انتظارات ریاضی آن است.

انحراف دارای قانون توزیع زیر است:

راه حل: بیایید انتظار ریاضی را پیدا کنیم:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

بیایید قانون توزیع انحراف مجذور را بنویسیم:

راه حل: بیایید انتظار ریاضی M(x) را پیدا کنیم: M(x)=2 0.1+3 0.6+5 0.3=3.5

بیایید قانون توزیع متغیر تصادفی X 2 را بنویسیم

X 2
پ	0.1	0.6	0.3

بیایید انتظارات ریاضی را پیدا کنیم M(x 2):M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

واریانس مورد نیاز D(x)=M(x2)- 2 =13.3-(3.5) 2 =1.05 است

خواص پراکندگی:

1. واریانس یک مقدار ثابت با برابر با صفر: D(C)=0
2. ضریب ثابت را می توان با مربع کردن آن از علامت پراکندگی خارج کرد. D(Cx)=C 2 D(x)
3. واریانس مجموع متغیرهای تصادفی مستقل با مجموع واریانس این متغیرها برابر است. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. واریانس توزیع دو جمله ایبرابر حاصل ضرب تعداد آزمایش و احتمال وقوع و عدم وقوع یک رویداد در یک آزمایش D(X)=npq

برای تخمین پراکندگی مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی حول مقدار میانگین آن، علاوه بر پراکندگی، از برخی ویژگی های دیگر نیز استفاده می شود. اینها شامل انحراف معیار است.

انحراف معیار یک متغیر تصادفی ایکسجذر واریانس نامیده می شود:

σ(X) = √D(X) (4)

مثال. متغیر تصادفی X توسط قانون توزیع داده می شود

ایکس
پ	0.1	0.4	0.5

انحراف معیار σ(x) را پیدا کنید

راه حل: بیایید انتظار ریاضی X را پیدا کنیم: M(x)=2 0.1+3 0.4+10 0.5=6.4
بیایید انتظار ریاضی X 2 را پیدا کنیم: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
بیایید واریانس را پیدا کنیم: D(x)=M(x2)=M(x2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
انحراف استاندارد مورد نیاز σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

قضیه. انحراف معیار مجموع تعداد محدودی از متغیرهای تصادفی مستقل از یکدیگر برابر است با ریشه دوماز مجموع مجذور انحراف معیار این مقادیر:

مثال. در یک قفسه 6 کتاب، 3 کتاب ریاضی و 3 کتاب فیزیک. سه کتاب به صورت تصادفی انتخاب شده است. قانون توزیع تعداد کتاب های ریاضی را در بین کتاب های انتخاب شده بیابید. انتظارات ریاضی و واریانس این متغیر تصادفی را بیابید.

D(X) = M(X 2) - M(X) 2 = 2.7 - 1.5 2 = 0.45

راه حل:

6.1.2 ویژگی های انتظار ریاضی

1. انتظار ریاضی یک مقدار ثابت با خود ثابت برابر است.

2. عامل ثابت را می توان به عنوان نشانه ای از انتظار ریاضی خارج کرد.

3. انتظار ریاضی حاصل ضرب دو متغیر تصادفی مستقل با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها برابر است.

این ویژگی برای تعداد دلخواه متغیرهای تصادفی صادق است.

4. انتظار ریاضی از مجموع دو متغیر تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی اصطلاحات.

این ویژگی برای تعداد دلخواه متغیرهای تصادفی نیز صادق است.

مثال: M(X) = 5, M(Y)= 2. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را بیابید ز، به کار بردن خواص انتظار ریاضی، در صورتی که معلوم باشد که Z=2X+3Y.

راه حل: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) انتظار ریاضی از مجموع برابر است با مجموع انتظارات ریاضی

2) عامل ثابت را می توان از علامت انتظار ریاضی خارج کرد

اجازه دهید n آزمایش مستقل انجام شود، احتمال وقوع رویداد A که در آن برابر با p است. سپس قضیه زیر برقرار است:

قضیه. انتظار ریاضی M(X) از تعداد وقوع رویداد A در n آزمایش مستقل برابر است با حاصل ضرب تعداد آزمایش و احتمال وقوع رویداد در هر آزمایش.

6.1.3 پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته

انتظارات ریاضی نمی تواند به طور کامل یک فرآیند تصادفی را مشخص کند. علاوه بر انتظار ریاضی، لازم است مقداری وارد شود که انحراف مقادیر متغیر تصادفی از انتظار ریاضی را مشخص کند.

این انحراف برابر است با تفاوت بین متغیر تصادفی و انتظار ریاضی آن. در این حالت، انتظار ریاضی انحراف صفر است. این با این واقعیت توضیح داده می شود که برخی از انحرافات احتمالی مثبت هستند، برخی دیگر منفی هستند و در نتیجه لغو متقابل آنها صفر به دست می آید.

پراکندگی (پراکندگی)یک متغیر تصادفی گسسته، انتظار ریاضی انحراف مجذور متغیر تصادفی از انتظار ریاضی آن است.

در عمل، این روش محاسبه واریانس ناخوشایند است، زیرا منجر به محاسبات دست و پا گیر برای تعداد زیادی از مقادیر متغیر تصادفی می شود.

بنابراین از روش دیگری استفاده می شود.

قضیه. واریانس برابر است با تفاوت بین انتظار ریاضی مربع متغیر تصادفی X و مربع انتظار ریاضی آن.

اثبات با در نظر گرفتن این واقعیت که انتظار ریاضی M(X) و مربع انتظار ریاضی M2(X) کمیت های ثابت هستند، می توان نوشت:

مثال. واریانس یک متغیر تصادفی گسسته که توسط قانون توزیع داده شده است را بیابید.

ایکس
X 2
آر	0.2	0.3	0.1	0.4

راه حل: .

6.1.4 خواص پراکندگی

1. واریانس یک مقدار ثابت صفر است. .

2. ضریب ثابت را می توان با مربع کردن آن از علامت پراکندگی خارج کرد. .

3. واریانس مجموع دو متغیر تصادفی مستقل با مجموع واریانس این متغیرها برابر است. .

4. واریانس تفاوت بین دو متغیر تصادفی مستقل برابر است با مجموع واریانس این متغیرها. .

قضیه. واریانس تعداد وقوع رویداد A در n کارآزمایی مستقل که در هر یک از آنها احتمال p وقوع رویداد ثابت است، برابر است با حاصل ضرب تعداد آزمایش‌ها با احتمال وقوع و غیر. وقوع رویداد در هر آزمایش

مثال: واریانس DSV X - تعداد وقوع رویداد A را در 2 کارآزمایی مستقل بیابید، در صورتی که احتمال وقوع رویداد در این کارآزمایی ها یکسان است و معلوم است که M(X) = 1.2.

بیایید قضیه از بخش 6.1.2 را اعمال کنیم:

M(X) = np

M(X) = 1,2; n= 2. بیایید پیدا کنیم پ:

1,2 = 2∙پ

پ = 1,2/2

q = 1 – پ = 1 – 0,6 = 0,4

بیایید واریانس را با استفاده از فرمول پیدا کنیم:

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی گسسته

انحراف معیارمتغیر تصادفی X را جذر واریانس می گویند.

(25)

قضیه. انحراف معیار مجموع تعداد محدودی از متغیرهای تصادفی مستقل متقابل برابر است با جذر مجذور مجذور انحراف معیار این متغیرها.

6.1.6 حالت و میانه یک متغیر تصادفی گسسته

مد M o DSVمحتمل ترین مقدار یک متغیر تصادفی نامیده می شود (یعنی مقداری که بیشترین احتمال را دارد)

میانه M e DSVمقدار یک متغیر تصادفی است که سری توزیع را به نصف تقسیم می کند. اگر تعداد مقادیر یک متغیر تصادفی زوج باشد، میانه به عنوان میانگین حسابی دو مقدار متوسط پیدا می شود.

مثال: حالت و میانه DSV را پیدا کنید ایکس:

ایکس
پ	0.2	0.3	0.1	0.4

ام ای = = 5,5

پیش رفتن

1. با بخش نظری این اثر (سخنرانی، کتاب درسی) آشنا شوید.

2. کار را مطابق نسخه خود کامل کنید.

3. از کار گزارشی تهیه کنید.

4. از شغل خود محافظت کنید.

2. هدف کار.

3. پیشرفت کار.

4. حل گزینه خود.

6.4 گزینه های وظیفه برای کار مستقل

انتخاب 1

1. انتظار ریاضی، پراکندگی، انحراف معیار، حالت و میانه DSV X را که توسط قانون توزیع ارائه شده است، بیابید.

ایکس
پ	0.1	0.6	0.2	0.1

2. در صورتی که انتظارات ریاضی X و Y مشخص باشد، انتظار ریاضی متغیر تصادفی Z را بیابید: M(X)=6، M(Y)=4، Z=5X+3Y.

3. واریانس DSV X - تعداد وقوع رویداد A را در دو کارآزمایی مستقل بیابید، در صورتی که احتمال وقوع رویدادها در این آزمایش ها یکسان باشد و مشخص شود که M (X) = 1.

4. فهرستی از مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی گسسته داده شده است ایکس: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3= 5، و انتظارات ریاضی این مقدار و مربع آن نیز شناخته شده است: , . احتمالات،،،، مربوط به مقادیر ممکن، را پیدا کنید و قانون توزیع DSV را ترسیم کنید.

گزینه شماره 2

ایکس
پ	0.3	0.1	0.2	0.4

2. اگر انتظارات ریاضی X و Y مشخص باشد، انتظار ریاضی متغیر تصادفی Z را بیابید: M(X)=5، M(Y)=8، Z=6X+2Y.

3. واریانس DSV X - تعداد وقوع رویداد A را در سه آزمایش مستقل بیابید، در صورتی که احتمال وقوع رویدادها در این آزمایش ها یکسان است و معلوم است که M (X) = 0.9.

4. لیستی از مقادیر ممکن متغیر تصادفی گسسته X داده شده است: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4= 10، و انتظارات ریاضی این مقدار و مربع آن نیز مشخص است: , . احتمالات،،،، مربوط به مقادیر ممکن، را پیدا کنید و قانون توزیع DSV را ترسیم کنید.

گزینه شماره 3

1. انتظار ریاضی، پراکندگی و انحراف معیار DSV X را که توسط قانون توزیع ارائه شده است، بیابید.

ایکس
پ	0.5	0.1	0.2	0.3

2. اگر انتظارات ریاضی X و Y مشخص باشد، انتظار ریاضی متغیر تصادفی Z را بیابید: M(X)=3، M(Y)=4، Z=4X+2Y.

3. واریانس DSV X - تعداد وقوع رویداد A را در چهار آزمایش مستقل بیابید، در صورتی که احتمال وقوع رویدادها در این آزمایش ها یکسان است و مشخص است که M (x) = 1.2.

مفهوم انتظار ریاضی را می توان با استفاده از مثال پرتاب قالب در نظر گرفت. با هر پرتاب، امتیازات حذف شده ثبت می شود. برای بیان آنها از مقادیر طبیعی در محدوده 1 تا 6 استفاده می شود.

پس از تعداد مشخصی پرتاب، با استفاده از محاسبات ساده، می توانید میانگین حسابی نقاط نورد شده را پیدا کنید.

درست مانند وقوع هر یک از مقادیر در محدوده، این مقدار نیز تصادفی خواهد بود.

اگر تعداد پرتاب ها را چندین بار افزایش دهید چه؟ با تعداد پرتاب زیاد، میانگین حسابی نقاط به عدد خاصی نزدیک می شود که در تئوری احتمال به آن انتظار ریاضی می گویند.

بنابراین، منظور از انتظار ریاضی، مقدار متوسط یک متغیر تصادفی است. این شاخص همچنین می تواند به عنوان مجموع وزنی مقادیر مقادیر احتمالی ارائه شود.

این مفهوم چندین مترادف دارد:

مقدار متوسط؛
مقدار متوسط;
شاخص گرایش مرکزی؛
اولین لحظه

به عبارت دیگر، چیزی بیش از یک عدد نیست که مقادیر یک متغیر تصادفی حول آن توزیع می شود.

در حوزه های مختلف فعالیت انسانی، رویکردهای درک انتظارات ریاضی تا حدودی متفاوت خواهد بود.

می توان آن را این گونه در نظر گرفت:

میانگین سود حاصل از تصمیم گیری، زمانی که چنین تصمیمی از دیدگاه نظریه اعداد بزرگ در نظر گرفته شود.
مقدار احتمالی برد یا باخت (نظریه قمار) که به طور میانگین برای هر شرط محاسبه می شود. در زبان عامیانه، آنها مانند "مزیت بازیکن" (مثبت برای بازیکن) یا "مزیت کازینو" (منفی برای بازیکن) به نظر می رسند.
درصد سود دریافتی از برنده شدن

انتظار برای مطلقاً همه متغیرهای تصادفی اجباری نیست. برای کسانی که در مجموع یا انتگرال مربوطه اختلاف دارند وجود ندارد.

ویژگی های انتظار ریاضی

مانند هر پارامتر آماری، انتظارات ریاضی دارای ویژگی های زیر است:

فرمول های اساسی برای انتظارات ریاضی

محاسبه انتظارات ریاضی را می توان هم برای متغیرهای تصادفی که با هم پیوستگی (فرمول A) و هم گسستگی (فرمول B) مشخص می شوند، انجام داد:

M(X)=∑i=1nxi⋅pi، که در آن xi مقادیر متغیر تصادفی است، pi احتمالات:
M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx، که در آن f(x) چگالی احتمال داده شده است.

نمونه هایی از محاسبه انتظارات ریاضی

مثال الف.

آیا می توان میانگین قد کوتوله ها را در افسانه سفید برفی فهمید؟ مشخص است که هر یک از 7 کوتوله دارای ارتفاع مشخصی بودند: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 و 0.81 متر.

الگوریتم محاسبه بسیار ساده است:

مجموع تمام مقادیر شاخص رشد (متغیر تصادفی) را پیدا می کنیم:
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
مقدار حاصل را بر تعداد گنوم ها تقسیم کنید:
6,31:7=0,90.

بنابراین میانگین قد کوتوله ها در یک افسانه 90 سانتی متر است به عبارت دیگر این انتظار ریاضی رشد آدمک ها است.

فرمول کاری - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

اجرای عملی انتظارات ریاضی

محاسبه شاخص آماری انتظارات ریاضی در زمینه های مختلف فعالیت عملی مورد استفاده قرار می گیرد. اول از همه، ما در مورد حوزه تجاری صحبت می کنیم. از این گذشته ، معرفی این شاخص توسط هویگنز با تعیین شانس هایی مرتبط است که می تواند برای برخی رویدادها مطلوب یا برعکس نامطلوب باشد.

این پارامتر به طور گسترده ای برای ارزیابی ریسک ها، به ویژه زمانی که صحبت از سرمایه گذاری های مالی می شود، استفاده می شود.
بنابراین، در تجارت، محاسبه انتظارات ریاضی به عنوان روشی برای ارزیابی ریسک هنگام محاسبه قیمت ها عمل می کند.

این شاخص همچنین می تواند برای محاسبه اثربخشی اقدامات خاص، به عنوان مثال، حفاظت از کار استفاده شود. به لطف آن، می توانید احتمال وقوع یک رویداد را محاسبه کنید.

حوزه دیگر کاربرد این پارامتر مدیریت است. همچنین می توان آن را در طول کنترل کیفیت محصول محاسبه کرد. به عنوان مثال، استفاده از حصیر. انتظارات، شما می توانید تعداد احتمالی قطعات معیوب تولید شده را محاسبه کنید.

انتظارات ریاضی نیز هنگام انجام پردازش آماری نتایج به دست آمده در طی تحقیق علمینتایج. این به شما امکان می دهد احتمال یک نتیجه مطلوب یا نامطلوب یک آزمایش یا مطالعه را بسته به سطح دستیابی به هدف محاسبه کنید. به هر حال، دستاورد آن می تواند با سود و منفعت همراه باشد و شکست آن می تواند با ضرر یا زیان همراه باشد.

استفاده از انتظارات ریاضی در فارکس

استفاده عملیاین پارامتر آماری هنگام انجام عملیات در بازار ارز امکان پذیر است. با کمک آن می توانید موفقیت معاملات تجاری را تجزیه و تحلیل کنید. علاوه بر این، افزایش در ارزش انتظارات نشان دهنده افزایش موفقیت آنها است.

همچنین مهم است که به یاد داشته باشید که انتظارات ریاضی نباید به عنوان تنها پارامتر آماری مورد استفاده برای تجزیه و تحلیل عملکرد یک معامله گر در نظر گرفته شود. استفاده از چندین پارامتر آماری به همراه مقدار متوسط، دقت تحلیل را به میزان قابل توجهی افزایش می دهد.

این پارامتر به خوبی خود را در نظارت بر مشاهدات حساب های تجاری ثابت کرده است. به لطف آن، ارزیابی سریع از کار انجام شده در حساب سپرده انجام می شود. در مواردی که فعالیت معامله گر موفقیت آمیز باشد و از ضرر و زیان جلوگیری کند، استفاده از محاسبه انتظارات ریاضی منحصراً توصیه نمی شود. در این موارد ریسک ها در نظر گرفته نمی شود که باعث کاهش اثربخشی تحلیل می شود.

مطالعات انجام شده در مورد تاکتیک های معامله گران نشان می دهد که:

موثرترین تاکتیک ها آنهایی هستند که مبتنی بر ورود تصادفی هستند.
کمترین اثربخشی، تاکتیک‌های مبتنی بر ورودی‌های ساختاریافته است.

در دستیابی به نتایج مثبت، اهمیت کمتری ندارند:

تاکتیک های مدیریت پول؛
استراتژی های خروج

با استفاده از شاخصی مانند انتظارات ریاضی، می توانید پیش بینی کنید که هنگام سرمایه گذاری 1 دلار سود یا زیان چقدر خواهد بود. مشخص است که این شاخص، محاسبه شده برای تمام بازی های انجام شده در کازینو، به نفع تاسیس است. این چیزی است که به شما امکان می دهد پول دربیاورید. در مورد یک سری بازی طولانی، احتمال از دست دادن پول مشتری به طور قابل توجهی افزایش می یابد.

بازی هایی که توسط بازیکنان حرفه ای انجام می شود محدود به مدت زمان کوتاهی است که احتمال برد را افزایش می دهد و خطر باخت را کاهش می دهد. در هنگام انجام عملیات سرمایه گذاری نیز همین الگو مشاهده می شود.

یک سرمایه گذار با داشتن انتظارات مثبت و انجام تعداد زیادی تراکنش در مدت زمان کوتاه می تواند درآمد قابل توجهی داشته باشد.

انتظار را می توان به عنوان تفاوت بین درصد سود (PW) ضرب در سود متوسط (AW) و احتمال ضرر (PL) ضرب در ضرر متوسط (AL) در نظر گرفت.

به عنوان مثال می توان موارد زیر را در نظر گرفت: موقعیت - 12.5 هزار دلار، پرتفوی - 100 هزار دلار، ریسک سپرده - 1٪. سودآوری معاملات 40 درصد موارد با میانگین سود 20 درصد است. در صورت ضرر، میانگین ضرر 5 درصد است. محاسبه انتظارات ریاضی برای معامله، ارزش 625 دلار را به دست می‌دهد.