ماتریس ها، طبقه بندی آنها، عملیات حسابی روی ماتریس ها. ماتریس ها تعاریف اساسی و انواع ماتریس ها. اقدامات روی ماتریس ها مفهوم رتبه ماتریسی. عملیات روی ماتریس ها مفهوم و پیدا کردن یک ماتریس معکوس انواع خاصی از ماتریس ها

ماتریس یک شی خاص در ریاضیات است. به شکل جدولی مستطیلی یا مربعی که از تعداد مشخصی سطر و ستون تشکیل شده است به تصویر کشیده شده است. در ریاضیات انواع مختلفی از ماتریس ها وجود دارد که از نظر اندازه یا محتوا متفاوت هستند. به اعداد سطرها و ستون های آن، دستور می گویند. از این اشیاء در ریاضیات برای سازماندهی ضبط سیستم ها استفاده می شود معادلات خطیو جستجوی راحت برای نتایج آنها. معادلات با استفاده از ماتریس با استفاده از روش کارل گاوس، گابریل کرامر، جزئی ها و جمع های جبری و همچنین بسیاری از روش های دیگر حل می شوند. مهارت اساسی در هنگام کار با ماتریس ها کاهش به با این حال، ابتدا بیایید بفهمیم که چه نوع ماتریس هایی توسط ریاضیدانان متمایز می شوند.

نوع پوچ

تمام اجزای این نوع ماتریس صفر هستند. در ضمن تعداد سطرها و ستون های آن کاملا متفاوت است.

نوع مربعی

تعداد ستون ها و ردیف های این نوع ماتریس یکسان است. به عبارت دیگر، یک میز مربع شکل است. تعداد ستون‌ها (یا ردیف‌های) آن را ترتیب می‌گویند. موارد خاص وجود ماتریس مرتبه دوم (ماتریس 2x2)، مرتبه چهارم (4x4)، مرتبه دهم (10x10)، مرتبه هفدهم (17x17) و غیره در نظر گرفته می شود.

وکتور ستون

این یکی از ساده ترین انواع ماتریس ها است که فقط شامل یک ستون است که شامل سه مقدار عددی است. نشان دهنده تعدادی عبارت آزاد (اعداد مستقل از متغیرها) در سیستم های معادلات خطی است.

نمای مشابه قبلی متشکل از سه عنصر عددی است که به نوبه خود در یک خط سازماندهی شده است.

نوع مورب

مقادیر عددی در شکل مورب ماتریس فقط اجزای مورب اصلی را می گیرند (که با رنگ سبز مشخص شده است). مورب اصلی به ترتیب با عنصر واقع در گوشه سمت چپ بالا شروع می شود و به ترتیب با عنصر در سمت راست پایین پایان می یابد. اجزای باقی مانده برابر با صفر هستند. نوع مورب فقط یک ماتریس مربع با مرتبه ای است. در بین ماتریس های مورب می توان ماتریس اسکالر را تشخیص داد. همه اجزای آن مقادیر یکسانی دارند.

زیرگروهی از ماتریس مورب. همه او مقادیر عددیواحد هستند. با استفاده از یک نوع جدول ماتریسی، تبدیل‌های اولیه آن انجام می‌شود یا ماتریسی معکوس نسبت به اصلی پیدا می‌کند.

نوع متعارف

شکل متعارف ماتریس یکی از اصلی ترین آنها در نظر گرفته می شود. کاهش به آن اغلب برای کار ضروری است. تعداد سطرها و ستون ها در یک ماتریس متعارف متفاوت است و لزوماً به نوع مربع تعلق ندارد. تا حدودی شبیه به ماتریس هویت است، اما در مورد آن همه اجزای مورب اصلی مقداری برابر با یک نمی گیرند. می تواند دو یا چهار واحد مورب اصلی وجود داشته باشد (همه به طول و عرض ماتریس بستگی دارد). یا ممکن است اصلا واحدی وجود نداشته باشد (پس صفر در نظر گرفته می شود). اجزای باقی مانده از نوع متعارف و همچنین عناصر مورب و واحد برابر با صفر هستند.

نوع مثلثی

یکی از مهم ترین انواع ماتریس است که هنگام جستجوی تعیین کننده آن و هنگام انجام عملیات ساده استفاده می شود. نوع مثلثی از نوع مورب می آید، بنابراین ماتریس نیز مربع است. نوع مثلثی ماتریس به سه گوش بالا و مثلث پایین تقسیم می شود.

در یک ماتریس مثلثی بالایی (شکل 1)، فقط عناصری که بالای مورب اصلی هستند، مقداری برابر با صفر دارند. اجزای خود مورب و بخشی از ماتریس واقع در زیر آن حاوی مقادیر عددی هستند.

در ماتریس مثلثی پایینی (شکل 2)، برعکس، عناصر واقع در قسمت پایین ماتریس برابر با صفر هستند.

نوع برای یافتن رتبه یک ماتریس و همچنین برای عملیات ابتدایی روی آنها (همراه با نوع مثلثی) ضروری است. ماتریس گام به این دلیل نامگذاری شده است که حاوی "مراحل" مشخصه صفر است (همانطور که در شکل نشان داده شده است). در نوع گام، مورب صفرها تشکیل می شود (الزاماً اصلی نیست) و همه عناصر زیر این قطر نیز مقادیری برابر با صفر دارند. یک پیش نیاز به شرح زیر است: اگر یک ردیف صفر در ماتریس گام وجود داشته باشد، سطرهای باقی مانده زیر آن نیز حاوی مقادیر عددی نیستند.

بنابراین، ما مهم ترین انواع ماتریس های لازم برای کار با آنها را بررسی کردیم. حال به مشکل تبدیل ماتریس به فرم مورد نیاز می پردازیم.

کاهش به شکل مثلثی

چگونه یک ماتریس را به شکل مثلثی برسانیم؟ اغلب در کارها باید یک ماتریس را به شکل مثلثی تبدیل کنید تا تعیین کننده آن را پیدا کنید که در غیر این صورت تعیین کننده نامیده می شود. هنگام انجام این روش، "حفظ" مورب اصلی ماتریس بسیار مهم است، زیرا تعیین کننده یک ماتریس مثلثی برابر با حاصلضرب اجزای مورب اصلی آن است. اجازه دهید روش های جایگزین برای یافتن تعیین کننده را نیز یادآوری کنم. تعیین کننده نوع مربع با استفاده از فرمول های خاص یافت می شود. برای مثال می توانید از روش مثلث استفاده کنید. برای سایر ماتریس ها از روش تجزیه به وسیله سطر، ستون یا عناصر آنها استفاده می شود. می توانید از روش مینورها و ماتریس های جبری نیز استفاده کنید.

اجازه دهید روند کاهش یک ماتریس به شکل مثلثی را با استفاده از مثال هایی از برخی کارها با جزئیات تجزیه و تحلیل کنیم.

تمرین 1

لازم است تعیین کننده ماتریس ارائه شده را با استفاده از روش کاهش آن به شکل مثلثی پیدا کنید.

ماتریسی که به ما داده شده یک ماتریس مربع مرتبه سوم است. بنابراین، برای تبدیل آن به شکل مثلثی، باید دو جزء ستون اول و یک جزء از ستون دوم را صفر کنیم.

برای آوردن آن به شکل مثلثی، تبدیل را از گوشه پایین سمت چپ ماتریس شروع می کنیم - از عدد 6. برای تبدیل آن به صفر، ردیف اول را در سه ضرب کرده و آن را از ردیف آخر کم کنید.

مهم! ردیف بالا تغییر نمی کند، اما مانند ماتریس اصلی باقی می ماند. نیازی به نوشتن رشته ای چهار برابر بزرگتر از رشته اصلی نیست. اما مقادیر رشته هایی که اجزای آنها باید روی صفر تنظیم شوند دائما در حال تغییر هستند.

فقط آخرین مقدار باقی می ماند - عنصر ردیف سوم ستون دوم. این عدد (-1) است. برای تبدیل آن به صفر، دومی را از خط اول کم کنید.

بیایید بررسی کنیم:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

یعنی جواب تکلیف 22- است.

وظیفه 2

لازم است تعیین کننده ماتریس را با تقلیل آن به شکل مثلثی پیدا کنیم.

ماتریس ارائه شده متعلق به نوع مربع و ماتریس مرتبه چهارم است. یعنی لازم است سه جزء ستون اول، دو جزء ستون دوم و یک جزء ستون سوم صفر شود.

بیایید شروع کنیم به کاهش آن با عنصر واقع در گوشه پایین سمت چپ - با عدد 4. باید این عدد را به صفر تبدیل کنیم. ساده ترین راه برای انجام این کار این است که خط بالایی را در چهار ضرب کنید و سپس آن را از خط چهارم کم کنید. بیایید نتیجه مرحله اول تبدیل را بنویسیم.

بنابراین جزء ردیف چهارم روی صفر تنظیم می شود. بیایید به اولین عنصر خط سوم یعنی عدد 3 برویم. عملیات مشابهی را انجام می دهیم. خط اول را در سه ضرب می کنیم و از خط سوم کم می کنیم و نتیجه را می نویسیم.

ما موفق شدیم تمام اجزای ستون اول این ماتریس مربع را به صفر تبدیل کنیم، به استثنای عدد 1 - عنصری از مورب اصلی که نیازی به تبدیل ندارد. اکنون مهم است که صفرهای حاصل را حفظ کنیم، بنابراین تبدیل ها را با سطرها انجام می دهیم نه با ستون. بیایید به ستون دوم ماتریس ارائه شده برویم.

بیایید دوباره از پایین شروع کنیم - با عنصر ستون دوم آخرین ردیف. این عدد (7-) است. با این حال، در در این موردراحت تر است که با عدد (-1) شروع کنید - عنصر ستون دوم ردیف سوم. برای تبدیل آن به صفر، دوم را از خط سوم کم کنید. سپس خط دوم را در هفت ضرب کرده و از خط چهارم کم می کنیم. به جای عنصری که در ردیف چهارم ستون دوم قرار دارد، صفر دریافت کردیم. حال به ستون سوم می رویم.

در این ستون، ما باید فقط یک عدد را به صفر تبدیل کنیم - 4. انجام این کار دشوار نیست: ما به سادگی یک سوم را به خط آخر اضافه می کنیم و صفر مورد نیاز خود را می بینیم.

پس از تمام تبدیل های انجام شده، ماتریس پیشنهادی را به شکل مثلثی در آوردیم. اکنون، برای یافتن تعیین کننده آن، فقط باید عناصر حاصل از مورب اصلی را ضرب کنید. ما گرفتیم: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160.بنابراین راه حل 160 است.

بنابراین، اکنون مسئله کاهش ماتریس به شکل مثلثی شما را آزار نخواهد داد.

کاهش به شکل پلکانی

برای عملیات ابتدایی روی ماتریس‌ها، شکل پله‌ای نسبت به مثلثی کمتر «مطلوب» است. اغلب برای یافتن رتبه یک ماتریس (یعنی تعداد ردیف های غیر صفر آن) یا برای تعیین ردیف های وابسته و مستقل خطی استفاده می شود. با این حال، نوع پلکانی ماتریس جهانی تر است، زیرا نه تنها برای نوع مربع، بلکه برای سایرین نیز مناسب است.

برای کاهش یک ماتریس به شکل گام به گام، ابتدا باید تعیین کننده آن را پیدا کنید. روش های فوق برای این کار مناسب هستند. هدف از یافتن تعیین کننده این است که بفهمیم آیا می توان آن را به یک ماتریس گام تبدیل کرد یا خیر. اگر تعیین کننده بزرگتر یا کمتر از صفر باشد، می توانید با خیال راحت به کار ادامه دهید. اگر برابر با صفر باشد، نمی توان ماتریس را به صورت گام به گام کاهش داد. در این مورد، باید بررسی کنید که آیا در ضبط یا تبدیلات ماتریس خطایی وجود دارد یا خیر. اگر چنین نادرستی وجود نداشته باشد، کار قابل حل نیست.

بیایید نحوه کاهش یک ماتریس را به شکل گام به گام با استفاده از مثال هایی از چندین کار بررسی کنیم.

تمرین 1.رتبه جدول ماتریسی داده شده را پیدا کنید.

قبل از ما یک ماتریس مربع مرتبه سوم (3x3) قرار دارد. می دانیم که برای یافتن رتبه لازم است که آن را به صورت مرحله ای کاهش دهیم. بنابراین، ابتدا باید تعیین کننده ماتریس را پیدا کنیم. بیایید از روش مثلث استفاده کنیم: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

تعیین کننده = 12. بزرگتر از صفر است، به این معنی که ماتریس را می توان به شکل گام به گام کاهش داد. بیایید تبدیل آن را شروع کنیم.

بیایید آن را با عنصر ستون سمت چپ خط سوم شروع کنیم - عدد 2. خط بالایی را در دو ضرب کنید و آن را از سوم کم کنید. به لطف این عملیات، هم عنصر مورد نیاز ما و هم عدد 4 - عنصر ستون دوم ردیف سوم - به صفر تبدیل شد.

می بینیم که در نتیجه کاهش، یک ماتریس مثلثی شکل گرفت. در مورد ما، ما نمی توانیم تبدیل را ادامه دهیم، زیرا اجزای باقی مانده را نمی توان به صفر کاهش داد.

این به این معنی است که نتیجه می گیریم که تعداد ردیف های حاوی مقادیر عددی در این ماتریس (یا رتبه آن) 3 است. پاسخ کار: 3.

وظیفه 2.تعداد سطرهای مستقل خطی این ماتریس را تعیین کنید.

ما باید رشته هایی را پیدا کنیم که با هیچ تبدیلی نتوان آنها را به صفر تبدیل کرد. در واقع باید تعداد ردیف های غیر صفر یا رتبه ماتریس ارائه شده را پیدا کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید آن را ساده کنیم.

ماتریسی می بینیم که به نوع مربع تعلق ندارد. ابعادش 3*4 است. بیایید کاهش را نیز با عنصر گوشه سمت چپ پایین - عدد (-1) شروع کنیم.

تحولات بعدی آن غیرممکن است. یعنی نتیجه می گیریم که تعداد خطوط مستقل خطی در آن و جواب تکلیف 3 است.

اکنون کاهش ماتریس به شکل پلکانی برای شما کار غیرممکنی نیست.

با استفاده از مثال هایی از این وظایف، کاهش یک ماتریس را به یک فرم مثلثی و یک فرم پله ای بررسی کردیم. برای صفر کردن مقادیر دلخواه جداول ماتریسی، در برخی موارد باید از تخیل خود استفاده کنید و ستون ها یا ردیف های آنها را به درستی تبدیل کنید. موفق باشید در ریاضیات و در کار با ماتریس!

مفهوم/تعریف ماتریس. انواع ماتریس ها

تعریف ماتریس ماتریس یک جدول مستطیلی از اعداد است که شامل تعداد مشخصی m ردیف و تعداد معینی n ستون است.

مفاهیم اولیه ماتریس:اعداد m و n را مرتبه های ماتریس می گویند. اگر m=n، ماتریس نامیده می شود مربعو عدد m=n ترتیب آن است.

در موارد زیر، از نماد برای نوشتن ماتریس استفاده می شود: اگرچه گاهی اوقات نماد در ادبیات یافت می شود: با این حال، برای نشان دادن اجمالی یک ماتریس، اغلب از یک حرف بزرگ از الفبای لاتین استفاده می شود (مثلا A)، یا نماد ||aij||، و گاهی اوقات با توضیح: A=||aij||=(aij) ) (i=1, 2,…,m؛ j=1,2,…n)

اعداد aij موجود در این ماتریس را عناصر آن می نامند. در مدخل aij، شاخص اول i شماره ردیف و شاخص دوم j شماره ستون است.

به عنوان مثال، ماتریس این ماتریسی از مرتبه 2×3 است، عناصر آن a11=1، a12=x، a13=3، a21=-2y، ...

بنابراین، ما تعریف ماتریس را معرفی کرده ایم. اجازه دهید انواع ماتریس ها را در نظر بگیریم و تعاریف مربوطه را ارائه دهیم.

انواع ماتریس ها

اجازه دهید مفهوم ماتریس ها را معرفی کنیم: مربع، مورب، واحد و صفر.

تعریف ماتریس مربع: ماتریس مربعیک ماتریس مرتبه n، ماتریس n×n نامیده می شود.

در مورد ماتریس مربع مفهوم قطرهای اصلی و فرعی معرفی شده است. مورب اصلی ماتریسقطری نامیده می شود که از گوشه سمت چپ بالای ماتریس به گوشه سمت راست پایین آن می رود. مورب جانبیاز همان ماتریس، مورب از گوشه پایین سمت چپ به گوشه بالا سمت راست نامیده می شود. مفهوم ماتریس مورب: موربیک ماتریس مربع است که در آن تمام عناصر خارج از قطر اصلی برابر با صفر هستند. مفهوم ماتریس هویت: تنها(گاهی با E نشان داده می شود) یک ماتریس مورب نامیده می شود که ماتریس هایی روی قطر اصلی قرار دارند. مفهوم ماتریس صفر: خالیماتریسی است که همه عناصر آن صفر هستند. دو ماتریس A و B اگر اندازه یکسانی داشته باشند (یعنی تعداد سطرهای یکسان و تعداد ستونهای یکسان داشته باشند و عناصر متناظر آنها مساوی باشند) برابر (A=B) گفته می شود. بنابراین، اگر سپس A=B، اگر a11=b11، a12=b12، a21=b21، a22=b22

این مطالب از سایت گرفته شده است Highermath.ru

موسسه آموزش عالی بودجه ایالتی فدرال

"دانشگاه کشاورزی دولتی اورنبورگ"

بخش "علوم کامپیوتر و ریاضیات کاربردی»

دستورالعمل های روش شناسی برای دانش آموزان

در مورد تسلط بر نظم و انضباط

ریاضیات

جهت آموزش (تخصص): 040400 مددکاری اجتماعی (مقطع کارشناسی)

مشخصات برنامه آموزشیکار اجتماعی

فرم مطالعه:مکاتبات

اورنبورگ 2016

1. یادداشت های سخنرانی……………………………………………………...

1.1 سخنرانی شماره 1……………………....................................

1.2 سخنرانی شماره 2…………………………………….

1.3 سخنرانی شماره 3………………………………………

1.4 سخنرانی شماره 4………………………………………………….

1.5 سخنرانی شماره 5……………………

1.6 سخنرانی شماره 6………………………………………..

1.7 سخنرانی شماره 7 ……………………………………………………………………..….

1.8 سخنرانی شماره 8.……………………...…………………………….

سخنرانی شماره 9

2. رهنمودهابرای آموزش عملی………

2.1 درس عملی شماره PZ -1………………….

2.2 درس عملی شماره PZ -2 ……………………

2.3 درس عملی شماره PZ -3……………………...

2.4 درس عملی شماره PZ -4……………………...

2.5 درس عملی شماره PZ -5……………………..

2.6 درس عملی شماره PZ -6 ………………………………………………….

2.7 درس عملی شماره PZ -7…………………………………………………….

2.8 درس عملی شماره PZ -8…………………………………………………...

2.9 درس عملی شماره PZ -9……………………………………………………...

2.10 درس عملی شماره PZ -10…………………..

2.11 درس عملی شماره PZ -11……………………..

2.12 درس عملی شماره PZ -12………………………………………………..

2.13 درس عملی شماره PZ -13………………………………………………….

2.14 درس عملی شماره PZ -14-15………………………………………………

2.15 درس عملی شماره PZ - 16………………

2.16 درس عملی شماره PZ - 17………………

2.17 درس عملی شماره PZ - 18 ………………

یادداشت های سخنرانی

1.1 سخنرانی 1(2 ساعت)

موضوع: عناصر نظریه ماتریس ها و تعیین کننده ها. عناصر جبر خطی عناصر هندسه تحلیلی

1.1.1 سوالات سخنرانی:

1. ماتریس ها، طبقه بندی آنها، عملیات حسابی روی ماتریس ها.

2. تعیین کننده های مرتبه 2 و 3، روش های محاسبه.

3. سیستم های معادلات خطی، روش های حل.

4. معادله یک خط مستقیم در یک صفحه، روش های تعریف خط مستقیم در یک صفحه.

1.1.2. خلاصه سوالات:

ماتریس ها، طبقه بندی آنها، عملیات حسابی روی ماتریس ها.

ماتریسجدولی متشکل از n ردیف و m ستون است. عناصر ماتریس می توانند اعداد یا دیگر اشیاء ریاضی باشند.

A= B= C=

میز مستطیلی شامل تیخطوط پستون های اعداد حقیقی نامیده می شوند ماتریس عددی

و m'n =
.

به اعداد a ij که ماتریس را می سازند، آن می گویند عناصر، جایی که i=1,2,…m شماره ردیف است، j=1,2,…n شماره ستون است.

ماتریس ها با حروف بزرگ الفبای لاتین A, B, C... و عناصر با حروف کوچک نشان داده می شوند.

اگر تعداد سطرها و ستون‌های یک ماتریس با تعداد سطرها و ستون‌های یک ماتریس دیگر برابر باشد، آن‌ها نامیده می‌شوند. ماتریس های یک بعدی

ماتریسی که تعداد سطرهای آن برابر با تعداد ستون ها باشد نامیده می شود ماتریس مربع. ماتریس مربعی با اندازه n´n ماتریس نامیده می شود مرتبه نهم.

A 2 ´ 2 = - ماتریس مربع از مرتبه 2

عناصر 11 و 22 مورب اصلی

a 12، a 21 عنصر مورب ثانویه

A 3 ´ 3 = ماتریس مربع از مرتبه 3

11، 22 و 33 عناصر قطر اصلی هستند

عناصر 13، 22، 31 قطر ثانویه

ماتریس مربعی که در آن تمام عناصر بالای (زیر) مورب اصلی برابر با صفر هستند نامیده می شود ماتریس مثلثی

ماتریس مربعی که در آن همه عناصر به جز عناصر روی قطر اصلی برابر با صفر هستند نامیده می شود ماتریس مورب

یک ماتریس مورب که در آن همه عناصر غیر صفر برابر هستند نامیده می شود ماتریس اسکالر

یک ماتریس مورب که همه عناصر غیر صفر آن 1 هستند نامیده می شود ماتریس واحد

E= ماتریس هویت مرتبه سوم

ماتریسی که همه عناصر آن صفر هستند نامیده می شود ماتریس صفر (0).

A= ; B=

یک ماتریس به اندازه 1´1، متشکل از یک عدد، با این عدد مشخص می شود، یعنی (5) 1 ´ 1 برابر با 5 است.

ماتریس های تک بعدی برابر یکدیگر، اگر همه عناصر متناظر این ماتریس ها برابر باشند.

ماتریس مربع A -1 نامیده می شود معکوسدر رابطه با ماتریس A. اگر و فقط اگر A*A -1 =A -1 *A=E

در این مبحث به مفهوم ماتریس و همچنین انواع ماتریس ها خواهیم پرداخت. از آنجایی که در این تاپیک اصطلاحات زیادی وجود دارد، اضافه می کنم خلاصهتا پیمایش در مطالب آسان تر شود.

تعریف ماتریس و عنصر آن نشانه گذاری.

ماتریسجدولی از $m$ ردیف و $n$ ستون است. عناصر یک ماتریس می توانند اشیایی با ماهیت کاملاً متفاوت باشند: اعداد، متغیرها یا، برای مثال، ماتریس های دیگر. به عنوان مثال، ماتریس $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ حاوی 3 سطر و 2 ستون است. عناصر آن اعداد صحیح هستند. ماتریس $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ شامل 2 سطر و 4 ستون

روش های مختلف برای نوشتن ماتریس: نمایش/پنهان کردن

ماتریس را می توان نه تنها به صورت گرد، بلکه در براکت های مربع یا دوتایی مستقیم نوشت. در زیر همان ماتریس در اشکال مختلف نمادگذاری وجود دارد:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(آرایه) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end (آرایه) \راست \ Vert $$

محصول $m\times n$ نامیده می شود اندازه ماتریس. به عنوان مثال، اگر یک ماتریس شامل 5 سطر و 3 ستون باشد، آنگاه از ماتریسی به اندازه $5\ برابر 3 $ صحبت می کنیم. ماتریس $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ دارای اندازه $3 \ برابر 2 $ است.

به طور معمول، ماتریس ها با حروف بزرگ الفبای لاتین نشان داده می شوند: $A$، $B$، $C$ و غیره. به عنوان مثال، $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. شماره گذاری خطوط از بالا به پایین می رود. ستون ها - از چپ به راست. به عنوان مثال، ردیف اول ماتریس $B$ شامل عناصر 5 و 3 و ستون دوم شامل عناصر 3، -87، 0 است.

عناصر ماتریس معمولا با حروف کوچک نشان داده می شوند. برای مثال، عناصر ماتریس $A$ با $a_(ij)$ نشان داده می شوند. شاخص دوگانه $ij$ حاوی اطلاعاتی در مورد موقعیت عنصر در ماتریس است. عدد $i$ عدد سطر و عدد $j$ عدد ستون است که در محل تقاطع آن عنصر $a_(ij)$ قرار دارد. به عنوان مثال، در تقاطع ردیف دوم و ستون پنجم ماتریس $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(آرایه) \راست)$ عنصر $a_(25) = 59 دلار:

به همین ترتیب در محل تقاطع سطر اول و ستون اول عنصر $a_(11)=51$ را داریم. در تقاطع ردیف سوم و ستون دوم - عنصر $a_(32)=-15$ و غیره. توجه داشته باشید که ورودی $a_(32)$ به معنای "a three two" است، اما نه "a_32".

برای مخفف کردن ماتریس $A$ که اندازه آن $m\times n$ است، از علامت $A_(m\times n)$ استفاده می شود. نماد زیر اغلب استفاده می شود:

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

در اینجا $(a_(ij))$ نشان دهنده تعیین عناصر ماتریس $A$ است، یعنی. می گوید که عناصر ماتریس $A$ با $a_(ij)$ نشان داده می شوند. به شکل توسعه یافته، ماتریس $A_(m\times n)=(a_(ij))$ را می توان به صورت زیر نوشت:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end (آرایه) \راست) $$

بیایید یک اصطلاح دیگر را معرفی کنیم - ماتریس های مساوی.

دو ماتریس با اندازه یکسان $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و $B_(m\times n)=(b_(ij))$ فراخوانی می شوند. برابر، اگر عناصر متناظر آنها برابر باشد، یعنی. $a_(ij)=b_(ij)$ برای همه $i=\overline(1,m)$ و $j=\overline(1,n)$.

توضیح برای ورودی $i=\overline(1,m)$: show\hide

علامت "$i=\overline(1,m)$" به این معنی است که پارامتر $i$ از 1 تا m متغیر است. به عنوان مثال، علامت $i=\overline(1,5)$ نشان می دهد که پارامتر $i$ مقادیر 1، 2، 3، 4، 5 را می گیرد.

بنابراین، برای مساوی بودن ماتریس ها، باید دو شرط وجود داشته باشد: همزمانی اندازه ها و برابری عناصر مربوطه. به عنوان مثال، ماتریس $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ با ماتریس برابر نیست. $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ زیرا ماتریس $A$ دارای اندازه $3\ برابر 2$ و ماتریس $B$ است دارای سایز $2\ برابر $2 است. همچنین، ماتریس $A$ با ماتریس $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ برابر نیست. ، از $a_( 21)\neq c_(21)$ (یعنی $0\neq 98$). اما برای ماتریس $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ می توانیم با خیال راحت $A= بنویسیم F$ زیرا هر دو اندازه و عناصر مربوط به ماتریس های $A$ و $F$ بر هم منطبق هستند.

مثال شماره 1

اندازه ماتریس $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & را تعیین کنید -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \پایان(آرایه) \راست)$. مشخص کنید که عناصر $a_(12)$، $a_(33)$، $a_(43)$ برابر هستند.

این ماتریس شامل 5 سطر و 3 ستون است، بنابراین اندازه آن 5 دلار \ برابر 3 دلار است. همچنین می توانید از علامت $A_(5\times 3)$ برای این ماتریس استفاده کنید.

عنصر $a_(12)$ در محل تقاطع سطر اول و ستون دوم قرار دارد، بنابراین $a_(12)=-2$. عنصر $a_(33)$ در تقاطع ردیف سوم و ستون سوم قرار دارد، بنابراین $a_(33)=23$. عنصر $a_(43)$ در محل تقاطع سطر چهارم و ستون سوم قرار دارد، بنابراین $a_(43)=-5$.

پاسخ: $a_(12)=-2$، $a_(33)=23$، $a_(43)=-5$.

انواع ماتریس ها بسته به اندازه آنها. قطرهای اصلی و فرعی. ردیابی ماتریسی.

اجازه دهید یک ماتریس خاص $A_(m\times n)$ داده شود. اگر $m=1$ (ماتریس از یک ردیف تشکیل شده باشد)، ماتریس داده شده نامیده می شود. ردیف ماتریس. اگر $n=1$ (ماتریس از یک ستون تشکیل شده باشد)، چنین ماتریسی نامیده می شود ماتریس-ستون. به عنوان مثال، $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ یک ماتریس ردیف است و $\left(\begin(آرایه ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ یک ماتریس ستونی است.

اگر ماتریس $A_(m\times n)$ شرط $m\neq n$ را برآورده کند (یعنی تعداد سطرها با تعداد ستون ها برابر نیست)، اغلب گفته می شود که $A$ یک مستطیل است. ماتریس به عنوان مثال، ماتریس $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ دارای اندازه $2 \ برابر 4 است. دلار، آن ها شامل 2 سطر و 4 ستون از آنجایی که تعداد سطرها با تعداد ستون ها برابر نیست، این ماتریس مستطیلی است.

اگر ماتریس $A_(m\times n)$ شرط $m=n$ را برآورده کند (یعنی تعداد سطرها برابر با تعداد ستون ها باشد)، آنگاه گفته می شود که $A$ یک ماتریس مربع از مرتبه $ است. n$. برای مثال، $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ یک ماتریس مربع مرتبه دوم است. $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ یک ماتریس مربع مرتبه سوم است. به طور کلی، ماتریس مربع $A_(n\times n)$ را می توان به صورت زیر نوشت:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end (آرایه) \راست) $$

گفته می شود عناصر $a_(11)$، $a_(22)$، $\ldots$، $a_(nn)$ روشن هستند مورب اصلیماتریس $A_(n\times n)$. این عناصر نامیده می شوند عناصر مورب اصلی(یا فقط عناصر مورب). عناصر $a_(1n)$، $a_(2 \; n-1)$، $\ldots$، $a_(n1)$ روشن هستند مورب جانبی (کوچک).; آنها نامیده می شوند عناصر مورب جانبی. به عنوان مثال، برای ماتریس $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1&0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( آرایه) \right)$ داریم:

عناصر $c_(11)=2$، $c_(22)=9$، $c_(33)=4$، $c_(44)=6$ عناصر مورب اصلی هستند. عناصر $c_(14)=1$، $c_(23)=8$، $c_(32)=0$، $c_(41)=-4$ عناصر مورب جانبی هستند.

مجموع عناصر مورب اصلی نامیده می شود به دنبال ماتریسو با $\Tr A$ (یا $\Sp A$) نشان داده می شود:

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

به عنوان مثال، برای ماتریس $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 و -9 و 5 و 6 \end(array)\right)$ داریم:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

مفهوم عناصر مورب نیز برای ماتریس های غیر مربعی استفاده می شود. به عنوان مثال، برای ماتریس $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ عناصر مورب اصلی $b_(11)=2$، $b_(22)=-9$، $b_(33)=4$ خواهند بود.

انواع ماتریس ها بسته به مقادیر عناصر آنها.

اگر همه عناصر ماتریس $A_(m\times n)$ برابر با صفر باشند، چنین ماتریسی نامیده می شود. خالیو معمولا با حرف $O$ نشان داده می شود. برای مثال، $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 و 0 و 0 \\ 0 و 0 و 0 \\ 0 و 0 و 0 \end(آرایه) \راست)$ - ماتریس صفر.

بیایید چند ردیف غیر صفر از ماتریس $A$ را در نظر بگیریم، یعنی. رشته ای که شامل حداقل یک عنصر غیر از صفر باشد. عنصر پیشرویک رشته غیر صفر را اولین عنصر غیر صفر آن (با شمارش از چپ به راست) می نامیم. به عنوان مثال، ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

$$W=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(array)\right)$ $

در خط دوم عنصر پیشرو عنصر چهارم خواهد بود، یعنی. $w_(24)=12$، و در خط سوم عنصر اصلی عنصر دوم خواهد بود، یعنی. $w_(32)=-9$.

ماتریس $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ فراخوانی می شود پا گذاشت، اگر دو شرط را داشته باشد:

سطرهای تهی، در صورت وجود، در زیر تمام سطرهای غیر تهی قرار دارند.
تعداد عناصر اصلی ردیف های غیرصفر یک دنباله به شدت افزایشی را تشکیل می دهند، یعنی. اگر $a_(1k_1)$، $a_(2k_2)$، ...، $a_(rk_r)$ عناصر اصلی ردیف های غیر صفر ماتریس $A$ باشند، آنگاه $k_1\lt(k_2)\ lt\ldots\lt(k_r)$.

نمونه هایی از ماتریس های گام:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(array)\ right). $$

برای مقایسه: ماتریس $Q=\left(\begin(array)(cccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$ یک ماتریس گام نیست، زیرا شرط دوم در تعریف ماتریس گام نقض شده است. عناصر پیشرو در ردیف دوم و سوم $q_(24)=7$ و $q_(32)=10$ دارای اعداد $k_2=4$ و $k_3=2$ هستند. برای یک ماتریس گام، شرط $k_2\lt(k_3)$ باید برآورده شود که در این حالت نقض می شود. اجازه دهید توجه داشته باشم که اگر ردیف های دوم و سوم را عوض کنیم، یک ماتریس گام به گام دریافت می کنیم: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 و 6 \\ 0 و 0 و 0 و 7 و 9\end(آرایه)\راست)$.

یک ماتریس مرحله نامیده می شود ذوزنقه اییا ذوزنقه ای، اگر عناصر اصلی $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ شرایط را برآورده کنند $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r = r$، یعنی عناصر پیشرو، عناصر مورب هستند. به طور کلی، یک ماتریس ذوزنقه ای را می توان به صورت زیر نوشت:

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \lddots & 0 \end(array)\right) $$

نمونه هایی از ماتریس های ذوزنقه ای:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(array)\ right). $$

بیایید چند تعریف دیگر برای ماتریس های مربعی ارائه کنیم. اگر تمام عناصر یک ماتریس مربع واقع در زیر قطر اصلی برابر با صفر باشند، چنین ماتریسی نامیده می شود. ماتریس مثلثی بالایی. برای مثال، $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ یک ماتریس مثلثی بالایی است. توجه داشته باشید که تعریف یک ماتریس مثلثی بالایی چیزی در مورد مقادیر عناصر واقع در بالای مورب اصلی یا روی مورب اصلی نمی گوید. آنها می توانند صفر باشند یا نه - مهم نیست. برای مثال، $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ نیز یک ماتریس مثلثی بالایی است.

اگر تمام عناصر یک ماتریس مربعی که بالای قطر اصلی قرار دارند برابر با صفر باشند، چنین ماتریسی نامیده می شود. ماتریس مثلثی پایین. برای مثال، $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - ماتریس مثلثی پایین. توجه داشته باشید که تعریف یک ماتریس مثلثی پایین چیزی در مورد مقادیر عناصر واقع در زیر یا روی مورب اصلی نمی گوید. آنها ممکن است صفر باشند یا نه - مهم نیست. به عنوان مثال، $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ and $\left(\ شروع (آرایه) (cc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ نیز ماتریس های مثلثی پایینی هستند.

ماتریس مربع نامیده می شود مورب، اگر تمام عناصر این ماتریس که روی قطر اصلی قرار ندارند برابر با صفر باشند. مثال: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ end(array)\right)$. عناصر روی مورب اصلی می توانند هر چیزی باشند (برابر با صفر یا نه) - مهم نیست.

ماتریس مورب نامیده می شود تنها، اگر همه عناصر این ماتریس واقع در مورب اصلی برابر با 1 باشند. برای مثال، $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - ماتریس هویت مرتبه چهارم. $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ ماتریس هویت مرتبه دوم است.

توجه داشته باشید که عناصر ماتریس می توانند نه تنها اعداد باشند. بیایید تصور کنیم که در حال توصیف کتاب هایی هستید که در قفسه کتاب شما هستند. بگذارید قفسه شما مرتب باشد و همه کتاب ها در مکان های کاملاً مشخص قرار بگیرند. جدولی که حاوی توضیحاتی در مورد کتابخانه شما (بر اساس قفسه ها و ترتیب کتاب های موجود در قفسه) است، نیز یک ماتریس خواهد بود. اما چنین ماتریسی عددی نخواهد بود. مثالی دیگر. به جای اعداد، توابع مختلفی وجود دارد که با برخی وابستگی متحد می شوند. جدول به دست آمده نیز ماتریس نامیده می شود. به عبارت دیگر، ماتریس هر جدول مستطیلی است که از آن تشکیل شده باشد همگنعناصر. در اینجا و بیشتر در مورد ماتریس های ساخته شده از اعداد صحبت خواهیم کرد.

به جای پرانتز، از براکت های مربع یا خطوط عمودی دوتایی مستقیم برای نوشتن ماتریس ها استفاده می شود

(2.1*)

تعریف 2. اگر در بیان(1) m = n، سپس در مورد آن صحبت می کنند ماتریس مربع, و اگر , سپس اوه مستطیل شکل.

بسته به مقادیر m و n، انواع خاصی از ماتریس ها متمایز می شوند:

مهمترین ویژگی مربعماتریس اوست تعیین کنندهیا تعیین کننده، که از عناصر ماتریسی تشکیل شده و نشان داده می شود

بدیهی است که D E = 1; .

تعریف 3. اگر , سپس ماتریسآ تماس گرفت غیر منحط یا خاص نیست.

تعریف 4. اگر detA = 0، سپس ماتریسآ تماس گرفت منحط یا خاص.

تعریف 5. دو ماتریسآ وب نامیده می شوند برابر و بنویسالف = ب اگر ابعاد یکسانی داشته باشند و عناصر متناظر آنها مساوی باشد، یعنی..

به عنوان مثال، ماتریس ها و برابر هستند، زیرا اندازه آنها برابر است و هر عنصر یک ماتریس با عنصر مربوطه ماتریس دیگر برابر است. اما ماتریس ها را نمی توان برابر نامید، اگرچه تعیین کننده های هر دو ماتریس برابر هستند و اندازه ماتریس ها یکسان است، اما همه عناصر واقع در مکان های یکسان برابر نیستند. ماتریس ها متفاوت هستند زیرا اندازه های متفاوتی دارند. اندازه ماتریس اول 2x3 و دومی 3x2 است. اگرچه تعداد عناصر یکسان است - 6 و خود عناصر نیز 1، 2، 3، 4، 5، 6 هستند، اما آنها در مکان های مختلف در هر ماتریس قرار دارند. اما طبق تعریف 5 ماتریس ها برابر هستند.

تعریف 6. اگر تعداد مشخصی از ستون های ماتریس را ثابت کنیدآ و به همان تعداد سطر، سپس عناصر در تقاطع ستون ها و ردیف های نشان داده شده یک ماتریس مربع تشکیل می دهند. n- مرتبه که تعیین کننده آن است تماس گرفت جزئی k – ماتریس مرتبه امآ.

مثال. سه مینور مرتبه دوم ماتریس را بنویسید