میانه آمار ریاضی. ویژگی های ساختاری سری توزیع تغییرات

میانه منآنها مقدار صفتی را که در وسط سری رتبه بندی شده قرار می گیرد نامیده و آن را به دو قسمت مساوی از نظر تعداد واحد تقسیم می کنند. بنابراین، در ردیف رتبه بندی شده توزیع، نیمی از ردیف دارای مقادیر مشخصه بیش از میانه است، نیمی دیگر کمتر از میانه است.

زمانی که گزینه‌های افراطی سری رتبه‌بندی‌شده (کوچک‌ترین و بزرگترین) در مقایسه با بقیه، بیش از حد بزرگ یا بیش از حد کوچک باشند، از میانه به جای میانگین حسابی استفاده می‌شود.

که در گسستهدر یک سری تغییرات حاوی تعداد فرد واحد، میانه برابر با متغیر مشخصه ای است که دارای عدد زیر است:
,
که در آن N تعداد واحدهای جمعیت است.
در یک سری گسسته متشکل از تعداد زوج واحد جمعیت، میانه به عنوان میانگین گزینه هایی که دارای اعداد و موارد زیر هستند تعریف می شود:
.
در توزیع کارگران بر اساس طول خدمت، میانه برابر است با میانگین گزینه های دارای اعداد 10 در سری رتبه بندی شده: 2 = 5 و 10: 2 + 1 = 6. گزینه های ویژگی های پنجم و ششم برابر هستند. تا 4 سال، بنابراین
از سال
هنگام محاسبه میانه در فاصلهردیف اول پیدا کنید فاصله متوسط، (یعنی حاوی میانه)، که برای آن از فرکانس ها یا فرکانس های انباشته استفاده می شود. میانه بازه ای است که بسامد انباشته آن برابر یا بیشتر از نیمی از حجم کل جامعه است. سپس مقدار میانه با استفاده از فرمول محاسبه می شود:
,
حد پایینی فاصله میانه کجاست.
- عرض فاصله میانی؛
- فراوانی انباشته فاصله قبل از میانه؛
- فرکانس بازه میانه.
بیایید میانه توزیع کارگران را بر اساس حقوق محاسبه کنیم (به سخنرانی "خلاصه و گروه بندی داده های آماری" مراجعه کنید).
میانه بازه دستمزد 800-900 UAH است، زیرا فراوانی تجمعی آن 17 است، که بیش از نیمی از مجموع همه فرکانس ها است (). سپس
Me=800+100 UAH.
مقدار به دست آمده نشان می دهد که نیمی از کارگران دستمزد زیر 875 UAH دارند، اما این بالاتر از میانگین است.
برای تعیین میانه، می توانید از فرکانس های تجمعی به جای فرکانس های تجمعی استفاده کنید.
میانه، مانند حالت، به مقادیر شدید نوع بستگی ندارد، بنابراین برای مشخص کردن مرکز در سری های توزیع با مرزهای نامشخص نیز استفاده می شود.
دارایی میانه : مجموع مقادیر مطلق انحرافات از میانه کمتر از هر مقدار دیگری است (از جمله از میانگین حسابی):

این خاصیت میانه در حمل و نقل هنگام طراحی مکان ایستگاه های تراموا و واگن برقی، پمپ بنزین ها، نقاط مونتاژ و غیره کاربرد دارد.
مثال. 10 گاراژ در طول 100 کیلومتر بزرگراه وجود دارد. برای طراحی ساخت یک پمپ بنزین، داده هایی در مورد تعداد سفرهای مورد انتظار به پمپ بنزین برای هر گاراژ جمع آوری شد.
جدول 2 - داده های تعداد سفر به پمپ بنزین برای هر گاراژ.

نصب پمپ بنزین به گونه ای ضروری است که کل مسافت پیموده شده وسایل نقلیه برای سوخت گیری حداقل باشد.
انتخاب 1.اگر پمپ بنزین در وسط بزرگراه، یعنی در 50 کیلومتری (مرکز دامنه تغییرات ویژگی) قرار گیرد، مسافت پیموده شده با در نظر گرفتن تعداد سفرها، خواهد بود:
الف) در یک جهت:
;
ب) در مقابل:
;
ج) مجموع مسافت پیموده شده در هر دو جهت: .

گزینه 2.اگر یک پمپ بنزین در قسمت میانی بزرگراه قرار داده شود که با فرمول میانگین حسابی تعیین می شود و تعداد سفرها را در نظر می گیرد:

میانه را می توان به صورت گرافیکی با استفاده از انباشت تعیین کرد (به سخنرانی "خلاصه و گروه بندی داده های آماری" مراجعه کنید). برای این، آخرین دستور، برابر با مقدارتمام فرکانس ها یا فرکانس ها به نصف تقسیم می شوند. از نقطه به دست آمده، یک عمود برگردانده می شود تا زمانی که با تجمع تلاقی کند. آبسیسا نقطه تقاطع مقدار میانه را می دهد.

تست

با موضوع: "حالت. میانه. روشهای محاسبه آنها"

معرفی

مقادیر متوسط ​​و شاخص های تغییرات مرتبط نقش بسیار مهمی در آمار ایفا می کنند که به دلیل موضوع مطالعه آن است. از همین رو این موضوعیکی از محورهای این دوره است.

میانگین یک معیار خلاصه بسیار رایج در آمار است. این با این واقعیت توضیح داده می شود که فقط با کمک میانگین می توان یک جمعیت را با یک ویژگی کمی متفاوت مشخص کرد. اندازه متوسطدر آمار، یک ویژگی تعمیم دهنده مجموعه ای از پدیده های مشابه با توجه به برخی از ویژگی های کمی متفاوت نامیده می شود. میانگین سطح این ویژگی را در واحد جمعیت نشان می دهد.

هنگام مطالعه پدیده های اجتماعی و تلاش برای شناسایی ویژگی ها و ویژگی های معمول آنها در شرایط خاص مکان و زمان، آماردانان به طور گسترده از مقادیر متوسط ​​استفاده می کنند. با استفاده از میانگین ها، می توانید جمعیت های مختلف را با توجه به ویژگی های مختلف با یکدیگر مقایسه کنید.

میانگین های مورد استفاده در آمار متعلق به کلاس میانگین های توان است. از میانگین های توان، میانگین حسابی بیشتر استفاده می شود، کمتر از میانگین هارمونیک. میانگین هارمونیک فقط هنگام محاسبه میانگین نرخ های دینامیک استفاده می شود و مجذور میانگین فقط هنگام محاسبه شاخص های تغییرات استفاده می شود.

میانگین حسابی ضریب تقسیم مجموع متغیرها بر تعداد آنهاست. در مواردی استفاده می شود که حجم یک مشخصه متغیر برای کل جمعیت به عنوان مجموع مقادیر مشخصه واحدهای جداگانه آن تشکیل می شود. میانگین حسابی رایج ترین نوع میانگین است، زیرا با ماهیت پدیده های اجتماعی مطابقت دارد، جایی که حجم ویژگی های مختلف در مجموع اغلب دقیقاً به عنوان مجموع مقادیر مشخصه واحدهای فردی جمعیت تشکیل می شود. .

با توجه به ویژگی تعیین کننده آن، میانگین هارمونیک زمانی باید استفاده شود که حجم کل صفت به عنوان مجموع مقادیر معکوس متغیر تشکیل شود. زمانی استفاده می شود که بسته به ماده، وزن ها نباید ضرب شوند، بلکه باید به گزینه ها تقسیم شوند یا همان چیزی است که در مقدار متقابل آنها ضرب شود. میانگین هارمونیک در این موارد، متقابل میانگین حسابی مقادیر متقابل مشخصه است.

در مواردی که نه از واحدهای جمعیت - حامل مشخصه - به عنوان وزن، بلکه از محصولات این واحدها بر اساس مقدار مشخصه استفاده می شود، باید از میانگین هارمونیک استفاده کرد.

1. تعریف حالت و میانه در آمار

میانگین‌های حسابی و هارمونیک ویژگی‌های تعمیم‌دهنده جمعیت با توجه به یک یا آن ویژگی متفاوت هستند. ویژگی های توصیفی کمکی توزیع یک مشخصه متغیر حالت و میانه است.

در آمار، یک حالت مقدار یک مشخصه (نوعی) است که اغلب در یک جمعیت مشخص یافت می شود. در یک سری تغییرات، این گزینه با بالاترین فرکانس خواهد بود.

در آمار، میانه گزینه ای است که در وسط قرار دارد سری تغییرات. میانه سریال را به نصف تقسیم می کند؛ در دو طرف آن (بالا و پایین) تعداد واحدهای جمعیتی یکسان وجود دارد.

حالت و میانه، بر خلاف ابزار قدرت، ویژگی های خاصی هستند؛ معنای آنها به هر گزینه خاصی در سری تغییرات اختصاص داده می شود.

حالت در مواردی استفاده می شود که لازم است بیشترین مقدار یک مشخصه مشخص شود. اگر لازم باشد، برای مثال، متداول ترین نرخ دستمزد در یک شرکت، قیمت در بازاری که بیشترین تعداد کالاها در آن فروخته شده است، اندازه کفشی که بیشترین تقاضا را در بین مصرف کنندگان دارد و غیره، در در این موارد به مد متوسل می شوند.

میانه از این جهت جالب است که حد کمی مقدار یک مشخصه متغیر را نشان می دهد که نیمی از اعضای جامعه به آن رسیده اند. بگذارید میانگین حقوق کارمندان بانک 650000 روبل باشد. هر ماه. این ویژگی را می توان تکمیل کرد اگر بگوییم نیمی از کارگران 700000 روبل حقوق دریافت کردند. و بالاتر، یعنی بیایید میانه را بدهیم. حالت و میانه مشخصه های معمولی در مواردی هستند که جمعیت ها همگن و از نظر تعداد زیاد هستند.

2. یافتن حالت و میانه در یک سری تغییرات گسسته

یافتن حالت و میانه در یک سری تغییرات، که در آن مقادیر یک مشخصه با اعداد خاصی داده می شود، چندان دشوار نیست. بیایید به جدول 1 با توزیع خانواده ها بر اساس تعداد فرزندان نگاه کنیم.

جدول 1. توزیع خانواده ها بر اساس تعداد فرزندان

بدیهی است که در این مثال، مد یک خانواده با دو فرزند خواهد بود، زیرا این مقدار با آن مطابقت دارد بزرگترین عددخانواده ها. ممکن است توزیع هایی وجود داشته باشد که در آن همه گزینه ها به طور مساوی اتفاق بیفتند، در این صورت حالتی وجود ندارد، یا به عبارت دیگر می توان گفت که همه گزینه ها به یک اندازه مدال هستند. در موارد دیگر، نه یک، بلکه دو گزینه ممکن است بیشترین فرکانس را داشته باشند. سپس دو حالت وجود خواهد داشت، توزیع دووجهی خواهد بود. توزیع های دووجهی ممکن است نشان دهنده ناهمگنی کیفی جمعیت با توجه به ویژگی مورد مطالعه باشد.

برای یافتن میانه در یک سری تغییرات گسسته، باید مجموع فرکانس ها را به نصف تقسیم کنید و ½ به نتیجه اضافه کنید. بنابراین، در توزیع 185 خانواده بر اساس تعداد فرزندان، میانه خواهد بود: 185/2 + ½ = 93، یعنی. گزینه 93 که ردیف سفارش داده شده را به نصف تقسیم می کند. منظور از گزینه 93 چیست؟ برای اینکه بفهمید، باید فرکانس ها را جمع آوری کنید، از کوچکترین گزینه ها شروع کنید. مجموع فرکانس های گزینه 1 و 2 40 می باشد.معلوم است که اینجا 93 گزینه وجود ندارد. اگر فراوانی گزینه 3 را به 40 اضافه کنیم، حاصل جمعی برابر با 40 + 75 = 115 است. بنابراین، گزینه 93 مطابق با مقدار سوم مشخصه متغیر است و میانه یک خانواده با دو فرزند خواهد بود.

حالت و میانه در این مثال با هم مطابقت داشتند. اگر مجموع فرکانس‌ها زوج بود (مثلاً 184)، سپس با استفاده از فرمول بالا، تعداد گزینه‌ی میانه، 184/2 + ½ = 92.5 را به دست می‌آوریم. از آنجایی که هیچ گزینه کسری وجود ندارد، نتیجه نشان می دهد که میانه بین گزینه های 92 و 93 در میانه راه است.

3. محاسبه مد و میانه در سری تغییرات بازه ای

ماهیت توصیفی مد و میانه به این دلیل است که انحرافات فردی را جبران نمی کنند. آنها همیشه با یک گزینه خاص مطابقت دارند. بنابراین، مد و میانه نیازی به محاسبات ندارند تا مشخص شود که آیا تمام مقادیر مشخصه مشخص است یا خیر. با این حال، در یک سری تغییرات بازه ای، از محاسبات برای یافتن مقدار تقریبی حالت و میانه در یک بازه زمانی خاص استفاده می شود.

برای محاسبه مقدار معینی از مقدار معین یک مشخصه موجود در یک بازه، از فرمول استفاده کنید:

M o = X Mo + i Mo *(f Mo – f Mo-1)/((f Mo – f Mo-1) + (f Mo – f Mo+1))،

جایی که XMo حداقل مرز بازه مودال است.

i Mo - مقدار فاصله معین.

f Mo - فرکانس بازه مودال.

f Mo-1 - فرکانس بازه قبل از مودال.

f Mo+1 – فرکانس بازه بعد از یک حالت معین.

اجازه دهید محاسبه حالت را با استفاده از مثال داده شده در جدول 2 نشان دهیم.

جدول 2. توزیع کارگران شرکت با رعایت استانداردهای تولید

برای یافتن حالت، ابتدا فاصله مودال این سری را تعیین می کنیم. مثال نشان می دهد که بالاترین فرکانس مربوط به بازه ای است که در آن متغیرها در محدوده 100 تا 105 قرار دارند. این بازه مودال است. مقدار فاصله مودال 5 است.

با جایگزینی مقادیر عددی جدول 2 به فرمول فوق، دریافت می کنیم:

M o = 100 + 5 * (104 -12)/((104 - 12) + (104 - 98)) = 108.8

معنای این فرمول به شرح زیر است: مقدار آن قسمت از بازه مودال که باید به حداقل مرز آن اضافه شود بسته به بزرگی فرکانس بازه های قبلی و بعدی تعیین می شود. که در در این موردبه 100 8.8 اضافه می کنیم، یعنی. بیش از نیم فاصله، زیرا فرکانس بازه قبلی کمتر از فرکانس بازه بعدی است.

اکنون میانه را محاسبه می کنیم. برای یافتن میانه در یک سری تغییرات بازه ای، ابتدا بازه ای را که در آن قرار دارد تعیین می کنیم (فاصله میانه). چنین بازه ای خواهد بود که فرکانس تجمعی آن برابر یا بیشتر از نصف مجموع فرکانس ها باشد. فرکانس‌های تجمعی با جمع تدریجی فرکانس‌ها، از بازه‌ای با کمترین مقدار مشخصه شروع می‌شوند. نیمی از مجموع فرکانس ها 250 است (500:2). بنابراین، طبق جدول 3، فاصله متوسط، فاصله زمانی با ارزش حقوق 350000 روبل خواهد بود. تا 400000 روبل.

جدول 3. محاسبه میانه در سری تغییرات بازه

قبل از این فاصله، مجموع فرکانس های انباشته شده 160 بود. بنابراین برای به دست آوردن مقدار میانه، لازم است 90 واحد دیگر (250 – 160) اضافه شود.

حالت و میانه- نوع خاصی از میانگین ها که برای مطالعه ساختار سری تغییرات استفاده می شود. برخلاف میانگین‌های توانی که قبلاً مطرح شد، آنها را گاهی میانگین‌های ساختاری می‌نامند.

روش- این مقدار یک مشخصه (نوعی) است که اغلب در یک جمعیت مشخص یافت می شود، یعنی. بیشترین فرکانس را دارد.

مد کاربرد عملی زیادی دارد و در برخی موارد فقط مد می تواند پدیده های اجتماعی را مشخص کند.

میانه- این یک نوع است که در وسط یک سری تغییرات سفارشی قرار دارد.

میانه حد کمی مقدار یک مشخصه متغیر را نشان می دهد که نیمی از واحدهای جمعیت به آن رسیده اند. استفاده از میانه همراه با میانگین یا به جای آن در صورت وجود بازه های باز در سری تغییرات توصیه می شود، زیرا برای محاسبه میانه، تعیین مشروط مرزهای فواصل باز مورد نیاز نیست، و بنابراین فقدان اطلاعات در مورد آنها بر دقت محاسبه میانه تأثیر نمی گذارد.

میانه همچنین زمانی استفاده می شود که شاخص های مورد استفاده به عنوان وزن ناشناخته باشند. در روش های آماری کنترل کیفیت محصول از میانه به جای میانگین حسابی استفاده می شود. مجموع انحراف مطلق گزینه ها از میانه کمتر از هر عدد دیگری است.

بیایید محاسبه مد و میانه را در یک سری تغییرات گسسته در نظر بگیریم :

حالت و میانه را تعیین کنید.

مد مو = 4 سال، زیرا این مقدار مربوط به بالاترین فرکانس f = 5 است.

آن ها بیشترین تعداد کارگران 4 سال سابقه کار دارند.

برای محاسبه میانه، ابتدا نصف مجموع فرکانس ها را پیدا می کنیم. اگر مجموع فرکانس ها یک عدد فرد باشد، ابتدا یک به این مجموع اضافه می کنیم و سپس به نصف تقسیم می کنیم:

میانه گزینه هشتم خواهد بود.

برای اینکه بفهمیم کدام گزینه از نظر عدد هشتم خواهد بود، فرکانس‌ها را جمع می‌کنیم تا مجموع فرکانس‌ها مساوی یا بیشتر از نصف مجموع فرکانس‌ها باشد. گزینه مربوطه میانه خواهد بود.

مه = 4 سال

آن ها نیمی از کارگران کمتر از چهار سال تجربه دارند، نیمی بیشتر.

اگر مجموع فرکانس های انباشته شده در برابر یک گزینه برابر با نصف مجموع فرکانس ها باشد، میانه به عنوان میانگین حسابی این گزینه و گزینه بعدی تعریف می شود.

محاسبه مد و میانه در سری تغییرات بازه ای

حالت در سری تغییرات بازه ای با فرمول محاسبه می شود

جایی که ایکس M0- مرز اولیه فاصله مودال،

ساعتمتر 0 - مقدار فاصله مودال،

fمتر 0 , fمتر 0-1 , fمتر 0+1 - فراوانی فاصله مودال قبل و بعد از فاصله مدال به ترتیب.

معینفاصله ای که بیشترین فرکانس مربوط به آن است نامیده می شود.

مثال 1

حالت و میانه را تعیین کنید.

فاصله مودال، زیرا با بالاترین فرکانس f = 35 مطابقت دارد. سپس:

هوم 0 =6, fm 0 =35

تابع MEDIAN در اکسل برای تجزیه و تحلیل یک محدوده استفاده می شود مقادیر عددیو عددی را برمی گرداند که وسط مجموعه مورد بررسی است (میانگین). یعنی این تابع به طور مشروط مجموعه ای از اعداد را به دو زیرمجموعه تقسیم می کند که اولی شامل اعداد کمتر از میانه و دومی - بیشتر است. میانه یکی از چندین روش برای تعیین گرایش مرکزی طیفی از علاقه است.

نمونه هایی از استفاده از تابع MEDIAN در اکسل

هنگام مطالعه گروه های سنی دانشجویان، از داده های گروهی از دانشجویان که به طور تصادفی انتخاب شده بودند در یک دانشگاه استفاده شد. وظیفه تعیین میانگین سنی دانش آموزان است.

اطلاعات اولیه:

فرمول محاسبه:

شرح استدلال:

• B3:B15 - محدوده سنی مورد مطالعه.

نتیجه:

یعنی در گروه دانش آموزانی هستند که سن آنها کمتر از 21 سال و بیشتر از این مقدار باشد.

مقایسه توابع MEDIAN و AVERAGE برای محاسبه مقدار میانگین

در طول دورهای عصر در بیمارستان، دمای بدن هر بیمار اندازه گیری شد. نشان دادن سودمندی استفاده از پارامتر میانه به جای مقدار میانگین برای بررسی محدوده ای از مقادیر به دست آمده.

اطلاعات اولیه:

فرمول برای یافتن میانگین:

فرمول برای یافتن میانه:

همانطور که از مقدار متوسط ​​مشخص است، به طور متوسط ​​دمای بیماران بالاتر از حد نرمال است، اما این درست نیست. میانه نشان می دهد که حداقل نیمی از بیماران دمای بدن طبیعی دارند که از 36.6 تجاوز نمی کند.

توجه! روش دیگر برای تعیین گرایش مرکزی حالت است (متداول ترین مقدار در محدوده مورد مطالعه). برای تعیین گرایش مرکزی در اکسل، باید از تابع MODE استفاده کنید. لطفاً توجه داشته باشید که در این مثال مقادیر میانه و مد یکسان هستند:

یعنی مقدار میانه ای که یک مجموعه را به زیرمجموعه هایی با مقادیر کوچکتر و بزرگتر تقسیم می کند نیز بیشترین مقدار در مجموعه است. همانطور که می بینید اکثر بیماران دارای دمای 36.6 هستند.

نمونه ای از محاسبه میانه در تجزیه و تحلیل آماری در اکسل

مثال 3. در یک فروشگاه 3 فروشنده مشغول به کار هستند. بر اساس نتایج 10 روز گذشته، باید کارمندی که پاداش به او تعلق می گیرد مشخص شود. هنگام انتخاب بهترین کارمند، میزان کارایی کار او در نظر گرفته می شود و نه تعداد کالاهای فروخته شده.

جدول داده های اصلی:

برای مشخص کردن کارایی، از سه شاخص به طور همزمان استفاده خواهیم کرد: مقدار میانگین، میانه و حالت. بیایید آنها را برای هر کارمند با استفاده از فرمول های AVERAGE، MEDIAN و MODE به ترتیب تعیین کنیم:

برای تعیین درجه پراکندگی داده ها، از مقداری استفاده می کنیم که به ترتیب مقدار کل مدول اختلاف بین مقدار میانگین و حالت، مقدار میانگین و میانه است. یعنی ضریب x=|av-med|+|av-mod|، که در آن:

• av - مقدار متوسط؛
• med – میانه؛
• مد - مد.

بیایید مقدار ضریب x را برای اولین فروشنده محاسبه کنیم:

ما محاسبات مشابهی را برای سایر فروشندگان انجام خواهیم داد. نتایج:

بیایید فروشنده ای را تعیین کنیم که پاداش به او داده می شود:

نکته: تابع SMALL اولین مقدار حداقل را از محدوده در نظر گرفته شده مقادیر ضریب x برمی گرداند.

ضریب x یک مشخصه کمی مشخص از ثبات کار فروشندگان است که توسط اقتصاددان فروشگاهی معرفی شده است. با کمک آن می توان محدوده را با کوچکترین انحرافات در مقادیر تعیین کرد. این روش نشان می دهد که چگونه می توان از سه روش برای تعیین گرایش مرکزی به طور همزمان برای به دست آوردن مطمئن ترین نتایج استفاده کرد.

ویژگی های استفاده از تابع MEDIAN در اکسل

تابع دارای نحو زیر است:

MEDIAN(شماره1؛ [شماره2]؛...)

شرح ادله:

• number1 یک آرگومان ضروری است که اولین مقدار عددی موجود در محدوده مورد مطالعه را مشخص می کند.
• [شماره2] - دوم اختیاری (و آرگومان های بعدی، تا 255 آرگومان در مجموع)، مشخص کننده مقادیر دوم و بعدی محدوده مورد مطالعه.

یادداشت 1:

1. هنگام انجام محاسبات، راحت تر است که به جای وارد کردن متوالی آرگومان ها، کل محدوده مقادیر مورد مطالعه را به یکباره منتقل کنید.
2. آرگومان های پذیرفته شده داده های عددی، نام های حاوی اعداد، داده های نوع مرجع و آرایه ها هستند (به عنوان مثال =MEDIAN((1,2,3,5,7,10))).
3. هنگام محاسبه میانه، سلول های حاوی مقادیر خالی یا TRUE، FALSE منطقی در نظر گرفته می شوند که به ترتیب به عنوان مقادیر عددی 1 و 0 تفسیر می شوند. به عنوان مثال، نتیجه اجرای یک تابع با مقادیر منطقی در آرگومان ها (TRUE; FALSE) معادل نتیجه اجرای آن با آرگومان ها (1;0) و برابر با 0.5 است.
4. اگر یک یا چند آرگومان تابع، مقادیر متنی را بپذیرد که قابل تبدیل به مقادیر عددی نباشد، یا حاوی کدهای خطا باشد، تابع کد خطای #VALUE! را برمی‌گرداند.
5. سایر توابع اکسل را می توان برای تعیین میانه نمونه استفاده کرد: PERCENTILE.IN، QUARTILE.IN، MAX نمونه هایی از استفاده:

• =PERCENTILE.IN(A1:A10,0.5)، زیرا طبق تعریف، میانه صدک 50 است.
• =QUARTILE.ON(A1:A10;2)، زیرا میانه چارک دوم است.
• =HIGH(A1:A9,COUNT(A1:A9)/2)، اما فقط در صورتی که تعداد اعداد در محدوده یک عدد فرد باشد.

یادداشت 2:

1. اگر در محدوده مورد مطالعه همه اعداد به طور متقارن حول میانگین توزیع شوند، میانگین حسابی و میانه برای این محدوده معادل خواهد بود.
2. با انحرافات زیاد داده ها در محدوده ("پراکندگی" مقادیر)، میانه روند توزیع مقادیر را بهتر از میانگین حسابی منعکس می کند. یک مثال عالی استفاده از میانه برای تعیین سطح واقعی حقوق در میان جمعیت ایالتی است که در آن مقامات بالاتر از شهروندان عادی درآمد دارند.
3. محدوده مقادیر مورد مطالعه ممکن است شامل موارد زیر باشد:

• تعداد فرد اعداد. در این صورت میانه خواهد بود مفرد، تقسیم محدوده به دو زیر مجموعه از مقادیر بزرگتر و کوچکتر، به ترتیب.
• تعداد زوج اعداد سپس میانه به عنوان میانگین حسابی دو مقدار عددی محاسبه می شود که مجموعه را به دو زیر مجموعه نشان داده شده در بالا تقسیم می کند.

برای محاسبه میانه در MS EXCEL، یک تابع خاص MEDIAN() وجود دارد. در این مقاله ما میانه را تعریف می کنیم و نحوه محاسبه آن را برای یک نمونه و برای یک قانون توزیع مشخص می آموزیم متغیر تصادفی.

بیا شروع کنیم با میانه هابرای نمونه ها(یعنی برای مجموعه ای ثابت از مقادیر).

میانه نمونه

میانه(میانگین) عددی است که وسط یک مجموعه اعداد است: نیمی از اعداد مجموعه بزرگتر از میانه، و نیمی از اعداد کمتر از میانه.

برای محاسبه میانه هاابتدا لازم است (مقادیر در نمونه). مثلا، میانهبرای نمونه (2; 3; 3; 4 ; 5 7; 10) 4 خواهد بود. زیرا فقط در نمونه 7 مقدار، سه مورد از آنها کمتر از 4 هستند (یعنی 2؛ 3؛ 3)، و سه مقدار بزرگتر هستند (یعنی 5؛ 7؛ 10).

اگر مجموعه شامل تعداد زوج باشد، برای دو عدد وسط مجموعه محاسبه می شود. مثلا، میانهبرای نمونه (2; 3; 3 ; 6 ; 7; 10) 4.5 خواهد بود، زیرا (3+6)/2=4.5.

برای تعیین میانه هادر MS EXCEL تابعی به همین نام MEDIAN() وجود دارد، نسخه انگلیسی MEDIAN().

میانهلزوماً با . تطابق تنها زمانی رخ می دهد که مقادیر موجود در نمونه به طور متقارن نسبت به توزیع شده باشند میانگین. به عنوان مثال، برای نمونه ها (1; 2; 3 ; 4 ; 5; 6) میانهو میانگینبرابر با 3.5.

اگر شناخته شود تابع توزیع F(x) یا تابع چگالی احتمال پ(ایکس)، آن میانهمی توان از معادله پیدا کرد:

به عنوان مثال، با حل تحلیلی این معادله برای توزیع Lognormal lnN(μ; σ2)، به دست می آوریم که میانهبا استفاده از فرمول =EXP(μ) محاسبه می شود. وقتی μ=0، میانه 1 است.

به نکته توجه کنید توابع توزیع، برای کدام اف(x)=0.5(تصویر بالا را ببینید) . آبسیسا این نقطه برابر با 1 است. این مقدار میانه است که طبیعتاً با مقدار محاسبه شده قبلی با استفاده از فرمول em مطابقت دارد.

در MS EXCEL میانهبرای توزیع لگ نرمال LnN(0;1) را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد =LOGNORM.REV(0.5،0،1).

توجه داشته باشید: به یاد بیاورید که انتگرال از در کل دامنه تعیین متغیر تصادفی برابر با یک است.

بنابراین خط میانه (x=Median) مساحت زیر نمودار را تقسیم می کند توابع چگالی احتمالبه دو قسمت مساوی