این روش برای کمینه کردن توابع جبر منطقی از هر تعداد متغیر قابل استفاده است.

بیایید حالت سه متغیر را در نظر بگیریم. یک تابع بولی در DNF را می توان در قالب انواع اصطلاحات ربطی که می تواند در DNF گنجانده شود نشان داد:

که در آن kO(0,1) ضرایب هستند. این روش شامل انتخاب ضرایب به گونه ای است که DNF حاصل حداقل باشد.

اگر اکنون همه مقادیر ممکن متغیرها را از 000 تا 111 تنظیم کنیم، 2 n معادله (2 3 = 8) برای تعیین ضرایب بدست می آوریم. ک:

با توجه به مجموعه هایی که تابع برای آنها مقدار صفر می گیرد، ضرایبی را که برابر با 0 هستند تعیین کنید و آنها را از معادلاتی که سمت راست آنها دارای 1 است خط بزنید. ترکیب پایین ترین رتبه ضرایب باقیمانده برابر با 0 است. بنابراین، ضرایب واحد کحداقل فرم مناسب را تعیین کنید.

مثال. یک تابع داده شده را به حداقل برسانید

اگر مقادیر شناخته شده باشند:
;
;
;
;
;
;
;
.

راه حل.

پس از خط زدن ضرایب صفر به دست می آید:

=1;

=1;

=1;

=1.

اجازه دهید ضریب را با وحدت برابر کنیم مربوط به پیوند پایین ترین رتبه و تبدیل چهار معادله آخر به 1 و در معادله اول توصیه می شود ضریب را با 1 برابر کنید. . ضرایب باقیمانده روی 0 تنظیم می شود.

پاسخ: نوع عملکرد کمینه شده.

لازم به ذکر است که روش ضرایب نامشخص زمانی موثر است که تعداد متغیرها کم باشد و از 5-6 بیشتر نباشد.

مکعب چند بعدی

بیایید یک نمایش گرافیکی یک تابع را به شکل یک مکعب چند بعدی در نظر بگیریم. هر قله n-مکعب بعدی را می توان مطابق با اجزای تشکیل دهنده واحد قرار داد.

زیرمجموعه رئوس علامت گذاری شده یک نقشه برداری است n-مکعب بعدی تابع بولی از nمتغیرها در SDNF

برای نمایش عملکرد از nمتغیرهای ارائه شده در هر DNF، لازم است یک تناظر بین حداقل ترم ها و عناصر آن ایجاد شود n-مکعب بعدی

حداقل رتبه (n-1)ام
را می توان نتیجه چسباندن دو مینی ترم دانست nرتبه -ام، یعنی

=

بر nمکعب بعدی که مربوط به جایگزینی دو راس است که فقط در مقادیر مختصات متفاوت هستند. ایکس من، این رئوس را با یک یال به هم وصل می کند (به یک یال گفته می شود که رئوس برخورد با آن را می پوشاند).

بنابراین، مینی ترم ها ( nترتیب -1) مربوط به لبه های یک مکعب n بعدی است.

به طور مشابه، مطابقت مینی ترم ها ( n-2) چهره های مرتبه nمکعب بعدی که هر کدام چهار راس (و چهار لبه) را می پوشاند.

عناصر nمکعب بعدی، با مشخصه اساندازه گیری نامیده می شود اس-مکعبها

بنابراین رئوس 0-مکعب، یال ها 1-مکعب، وجوه 2-مکعب و غیره هستند.

به طور خلاصه، می توان گفت که مینی ترم ( n-S) رتبه در DNF برای تابع nمتغیرهای نمایش داده شده اس-یک مکعب، هر کدام اس-مکعب تمام آن مکعب هایی با ابعاد پایین تر را که فقط به رئوس آن متصل هستند را پوشش می دهد.

مثال. در شکل با توجه به نقشه برداری

در اینجا مینی ترم ها وجود دارد
و
مطابق با 1 مکعب ( اس=3-2=1) و کوتاه مدت ایکس 3 نمایش داده شده به 2 مکعب ( اس=3-1=2).

بنابراین، هر DNF به نقشه برداری می شود nمکعب بعدی در کل اس-مکعب هایی که تمام رئوس مربوط به واحدهای تشکیل دهنده را پوشش می دهند (0-مکعب).

اجزای تشکیل دهنده. برای متغیرها ایکس 1 ,ایکس 2 ,…ایکس nاصطلاح
جزء واحد نامیده می شود و
- جزء صفر ( یعنی یا ، یا ).

این جزء یک (صفر) تنها با یک مجموعه مقادیر متغیر متناظر به یک (صفر) تبدیل می شود که اگر همه متغیرها برابر یک (صفر) و نفی آنها برابر با صفر (یک) در نظر گرفته شوند به دست می آید.

به عنوان مثال: واحد تشکیل دهنده
با مجموعه (1011) مطابقت دارد و جزء صفر است
- مجموعه (1001).

از آنجایی که SD(K)NF یک تفکیک (پیوند) از اجزای یک (صفر) است، می توان استدلال کرد که تابع بولی که آن را نشان می دهد. f(ایکس 1 , ایکس 2 ,…, ایکس n) فقط برای مجموعه ای از مقادیر متغیر به یک (صفر) تبدیل می شود ایکس 1 , ایکس 2 ,…, ایکس n، مربوط به این جایگزین ها است. در مجموعه های دیگر این تابع به 0 (یک) تبدیل می شود.

گزاره مخالف نیز صادق است که بر آن استوار است روشی برای نمایش هر فرمول در قالب یک فرمولتابع بولی که توسط جدول مشخص شده است.

برای انجام این کار، لازم است که منفصلات (پیوندهای ربط) اجزای یک (صفر)، مربوط به مجموعه ای از مقادیر متغیرهایی که تابع مقداری برابر با یک (صفر) می گیرد، بنویسید.

به عنوان مثال، یک تابع داده شده توسط یک جدول

مطابقت

عبارات به دست آمده را می توان بر اساس ویژگی های جبر منطق به شکل دیگری تبدیل کرد.

عبارت معکوس نیز درست است: اگر برخی از مجموعه اس-cubes مجموعه تمام رئوس مربوط به مقادیر واحد تابع و سپس تفکیک مربوط به اینها را پوشش می دهد. اس-مکعب مینی ترم ها بیان این تابع در DNF است.

می گویند چنین مجموعه ای اس-مکعب ها (یا مینی ترم های مربوط به آنها) پوششی از تابع را تشکیل می دهند. میل به یک فرم حداقلی به طور شهودی به عنوان جستجو برای چنین پوششی، تعداد درک می شود اس- که مکعب های کمتری و ابعاد آنها وجود خواهد داشت اس- بیشتر. پوشش مربوط به فرم حداقل را حداقل پوشش می گویند.

به عنوان مثال، برای تابع در=
پوشش مربوط به شکل غیر حداقلی است:

برنج الف) در=,

پوشش برنج ب) در=
برنج ج) در=
حداقل

برنج. پوشش عملکرد در=:

الف) غیر حداقلی؛ ب) ج) حداقل.

نمایش یک تابع روشن است n-بعدی به وضوح و به سادگی با n3. یک مکعب چهار بعدی را می توان همانطور که در شکل نشان داده شده است، نشان داد که عملکرد چهار متغیر و حداقل پوشش آن مربوط به عبارت را نشان می دهد. در=

استفاده از این روش زمانی که n>4 به چنین تشکل های پیچیده ای نیاز دارد که تمام مزایای خود را از دست می دهد.

برابری (I) هویت است. با تقلیل آن به عدد صحیح، برابری 2 چند جمله ای را بدست می آوریم. اما چنین برابری همیشه فقط در صورتی برآورده می شود که این چندجمله ای ها به صورت ترم به ترم برابر باشند.

با معادل سازی ضرایب برای توان های یکسان x در سمت چپ و راست تساوی، سیستمی از معادلات خطی برای ضرایب مجهول به دست می آوریم که باید حل شوند.

از آنجایی که بسط (I) همیشه برای هر کسر منطقی مناسب وجود دارد، سیستم حاصل همیشه سازگار است.

این روش یافتن ضرایب را روش ضرایب نامعین (روشی برای مقایسه ضرایب) می نامند.

اجازه دهید مثالی از تجزیه یک تابع گویا به کسرهای ابتدایی بیاوریم.

مثال 6.6.27. کسرها را به کسرهای ابتدایی تقسیم کنید.

معادله آخر را با معادله دوم جایگزین کنید

بدین ترتیب،
.

x=2 ;

x=3 .

باید؛ .

روش مقدار جزئی به کار کمتری نیاز دارد و بنابراین در هنگام ادغام کسرهای گویا سزاوار توجه ویژه است.

اگر ریشه های مخرج فقط واقعی هستند، توصیه می شود از این روش برای تعیین ضرایب مجهول استفاده کنید.

در موارد دیگر، هر دو روش را می توان برای تعیین ضرایب مجهول ترکیب کرد.

اظهار نظر. روش مقادیر جزئی نیز در موارد دیگر استفاده می شود، اما در اینجا باید هویت را متمایز کرد.

بنابراین، برای ادغام کسرهای گویا مناسب کافی است که بتوانیم:

1) ادغام کسرهای ابتدایی.

2) کسرهای گویا را به کسرهای ابتدایی تجزیه کنید.

3. ادغام کسرهای گویا

طرحی برای ادغام کسرهای گویا:

برای ادغام کسرهای گویا ;

در جایی که P(x) و Q(x) چند جمله ای با ضرایب واقعی هستند، سه مرحله به صورت متوالی انجام می شود.

گام اول. اگر کسر نامناسب است، یعنی درجه صورت P(x) بزرگتر یا مساوی با درجه مخرج Q(x) است، با تقسیم صورت بر مخرج، تمام قسمت کسر گویا را جدا کنید. به قانون تقسیم یک چند جمله ای بر یک چند جمله ای. پس از این، کسر گویا را می توان به صورت مجموع نوشت:

1) بخش عدد صحیح انتخاب شده - چند جمله ای M(x)؛

2) کسر باقیمانده مناسب :

مرحله دوم.

کسر باقیمانده مناسب به کسری های بعدی تجزیه می شود.

برای انجام این کار، ریشه های معادله Q(x)=0 را پیدا کرده و مخرج Q(x) را به ضرایب درجه اول و دوم با ضرایب واقعی تجزیه کنید:

در این بسط مخرج، عوامل درجه 1 با ریشه های واقعی و عوامل درجه 2 با ریشه های مزدوج موازی مطابقت دارند.

ضریب درجه بزرگتر x در مخرج Q(x) را می توان برابر با 1 در نظر گرفت، زیرا همیشه می توان با تقسیم P(x) و Q(x) بر آن به دست آورد.

پس از این، کسر باقیمانده مناسب به ساده ترین کسری (بنیادی) تجزیه می شود.

مرحله سوم. انتگرال های قسمت صحیح انتخاب شده و همه کسرهای ابتدایی را (با استفاده از روش هایی که در بالا توضیح داده شد) پیدا کنید، که سپس اضافه می شوند.

مثال 6.6.28.

زیر علامت انتگرال یک کسری گویا نامناسب وجود دارد، زیرا درجه صورت برابر با درجه مخرج است، بنابراین قسمت صحیح را انتخاب می کنیم.

وزارت علوم و آموزش و پرورش جمهوری بشقورتو استان

کالج معماری و مهندسی عمران SAOU SPO باشقیر

خلیولین آسخات عادلزیانوویچ،

معلم ریاضیات در باشکیرسکی

دانشکده معماری و عمران

یوفا

2014

مقدمه _________________________________________________3

فصل من. جنبه های نظری استفاده از روش ضرایب نامعین_________________________________________________4

فصل II. جستجو برای حل مسائل با چند جمله ای ها با استفاده از روش ضرایب نامشخص_________________________________7

2.1. فاکتورگیری چند جمله ای _____________________ 7

2.2. مشکلات پارامترها_________________________________ 10

2.3. حل معادلات______________14

2.4. معادلات تابعی________________________________19

نتیجه ________________________________________________23

فهرست ادبیات استفاده شده_______________24

کاربرد ________________________________________________25

معرفی.

این اثر به جنبه های نظری و عملی معرفی روش ضرایب نامعین در درس ریاضی مدرسه اختصاص دارد. ارتباط این موضوع با شرایط زیر تعیین می شود.

هیچ کس استدلال نمی کند که ریاضیات به عنوان یک علم در یک مکان قرار نمی گیرد، دائما در حال تکامل است، وظایف جدیدی با پیچیدگی افزایش یافته ظاهر می شود، که اغلب باعث مشکلات خاصی می شود، زیرا این وظایف معمولاً با تحقیق همراه است. در سال های اخیر، چنین مسائلی در المپیادهای ریاضی مدرسه، ناحیه و جمهوری مطرح شده است و در نسخه های آزمون یکپارچه دولتی نیز موجود است. بنابراین، روش خاصی مورد نیاز بود که حداقل برخی از آنها را به سرعت، کارآمد و مقرون به صرفه‌تر حل کند. این اثر به وضوح محتوای روش ضرایب نامعین را ارائه می دهد که به طور گسترده در زمینه های مختلف ریاضیات از سؤالات موجود در دوره آموزش عمومی تا پیشرفته ترین بخش های آن استفاده می شود. به طور خاص، کاربرد روش ضرایب نامعین در حل مسائل با پارامترها، معادلات کسری گویا و تابعی بسیار جالب و مؤثر است. آنها به راحتی می توانند هر کسی را که به ریاضیات علاقه مند است علاقه مند کنند. هدف اصلی کار پیشنهادی و انتخاب مشکلات، فراهم کردن فرصت‌های فراوان برای تقویت و توسعه توانایی یافتن راه‌حل‌های کوتاه و غیر استاندارد است.

این اثر از دو فصل تشکیل شده است. اولی جنبه های نظری استفاده را مورد بحث قرار می دهد

روش ضرایب نامشخص و ثانیاً جنبه های عملی و روش شناختی چنین استفاده ای.

ضمیمه کار شرایطی را برای وظایف خاص برای حل مستقل فراهم می کند.

فصل من . جنبه های نظری استفادهروش ضرایب نامشخص

"انسان... به دنیا آمد تا استاد شود،

فرمانروا، پادشاه طبیعت، اما خرد،

که با آن باید حکومت کند به او داده نمی شود

از بدو تولد: با یادگیری به دست می آید.

N.I.Lobachevsky

راه‌ها و روش‌های مختلفی برای حل مسائل وجود دارد، اما یکی از راحت‌ترین، مؤثرترین، اصلی‌ترین، ظریف‌ترین و در عین حال بسیار ساده‌ترین و قابل فهم‌ترین روش‌ها برای همه، روش ضرایب نامشخص است. روش ضرایب نامشخص روشی است که در ریاضیات برای یافتن ضرایب عباراتی که شکل آنها از قبل مشخص است استفاده می شود.

قبل از بررسی کاربرد روش ضرایب نامعین برای حل انواع مسائل، تعدادی اطلاعات نظری ارائه می کنیم.

بگذارید به آنها داده شود

آ n (ایکس) = آ 0 ایکس n + آ 1 ایکس n-1 + آ 2 ایکس n-2 + ··· + آ n-1 ایکس + آ n

ب متر (ایکس ) = ب 0 ایکس متر + ب 1 ایکس متر -1 + ب 2 ایکس متر -2 + ··· + ب m-1 ایکس + ب متر ,

چند جمله ای نسبی ایکسبا هر شانسی

قضیه. دو چند جمله ای بسته به یک و همان آرگومان اگر و فقط اگر برابر هستندn = متر و ضرایب متناظر آنها برابر استآ 0 = ب 0 , آ 1 = ب 1 , آ 2 = ب 2 ,··· , آ n -1 = ب متر -1 , آ n = ب متر و تی. د.

بدیهی است که چند جمله ای های مساوی برای همه مقادیر می گیرند ایکسهمان مقادیر برعکس، اگر مقادیر دو چند جمله ای برای همه مقادیر برابر باشد ایکس، سپس چند جمله ای ها برابر هستند، یعنی ضرایب آنها در یک درجه استایکسمطابقت دادن

بنابراین ایده استفاده از روش ضرایب نامعین در حل مسائل به شرح زیر است.

اجازه دهید بدانیم که در نتیجه برخی از تبدیل ها یک عبارت از نوع خاصی به دست می آید و فقط ضرایب در این عبارت ناشناخته است. سپس این ضرایب با حروف مشخص شده و مجهول در نظر گرفته می شوند. سپس سیستمی از معادلات برای تعیین این مجهولات ساخته می شود.

به عنوان مثال، در مورد چند جمله ای ها، این معادلات از شرایطی ساخته می شوند که ضرایب برای توان های یکسان برابر باشند. ایکسبرای دو چند جمله ای مساوی

آنچه را که در بالا گفته شد با استفاده از مثال‌های خاص زیر نشان خواهیم داد و اجازه دهید با ساده‌ترین آنها شروع کنیم.

بنابراین، برای مثال، بر اساس ملاحظات نظری، کسری

را می توان به صورت مجموع نشان داد

، جایی که آ , ب و ج - ضرایبی که باید تعیین شود برای یافتن آنها، عبارت دوم را با عبارت اول برابر می کنیم:

=

و خودمان را از مخرج رها کنیم و اصطلاحات را با همان قدرت ها در سمت چپ جمع آوری کنیم ایکس، ما گرفتیم:

(آ + ب + ج )ایکس 2 + ( ب - ج )x - a = 2ایکس 2 – 5 ایکس– 1

از آنجایی که آخرین برابری باید برای همه ارزش ها صادق باشد ایکس، سپس ضرایب در همان درجهایکسراست و چپ باید یکسان باشند. بنابراین، سه معادله برای تعیین سه ضریب مجهول به دست می آید:

a+b+c = 2

ب - ج = - 5

آ= 1، از آنجا آ = 1 , ب = - 2 , ج = 3

از این رو،

=
,

صحت این برابری به راحتی قابل تأیید است.

فرض کنید شما همچنین باید یک کسری را نشان دهید

مانند آ + ب
+ ج
+ د
، جایی که آ , ب , ج و د- ضرایب ناشناخته منطقی. عبارت دوم را با عبارت اول برابر می کنیم:

آ + ب
+ ج
+ د
=
یا، با رهایی از مخرج، حذف، در صورت امکان، عوامل عقلی از زیر نشانه های ریشه و آوردن اصطلاحات مشابه در سمت چپ، به دست می آوریم:

(آ- 2 ب + 3 ج ) + (- a+b +3 د )
+ (a+c - 2 د )
+

+ (قبل از میلاد مسیح + د )
= 1 +
-
.

اما چنین برابری تنها در صورتی امکان پذیر است که عبارات عقلانی هر دو بخش و ضرایب رادیکال های یکسان برابر باشند. بنابراین چهار معادله برای یافتن ضرایب مجهول به دست می آید آ , ب , ج و د :

آ- 2b+ 3ج = 1

- a+b +3 د = 1

a+c - 2 د = - 1

ب - ج + د= 0، از آنجا آ = 0 ; ب = - ; ج = 0 ; د= یعنی
= -
+
.

فصل دوم. جستجو برای حل مسائل با چند جمله ای ها روش ضرایب نامشخص.

«هیچ چیز بهتر از این به تسلط بر یک موضوع کمک نمی کند

نحوه رفتار با او در موقعیت های مختلف"

آکادمیک B.V. Gnedenko

2. 1. فاکتورگیری چند جمله ای.

روش های فاکتورگیری چند جمله ای ها:

1) قرار دادن عامل مشترک خارج از پرانتز 2) روش گروه بندی. 3) استفاده از فرمول های ضرب پایه. 4) معرفی اصطلاحات کمکی 5) تبدیل اولیه یک چند جمله ای معین با استفاده از فرمول های خاص. 6) بسط با یافتن ریشه های یک چند جمله ای معین. 7) روش وارد کردن پارامتر؛ 8) روش ضرایب نامشخص.

مسئله 1. چند جمله ای را به عوامل واقعی تبدیل کنید ایکس 4 + ایکس 2 + 1 .

راه حل. هیچ ریشه ای در میان مقسوم علیه های عبارت آزاد این چند جمله ای وجود ندارد. ما نمی توانیم ریشه های چند جمله ای را با روش های ابتدایی دیگر پیدا کنیم. بنابراین نمی توان با یافتن ریشه های این چند جمله ای ابتدا بسط مورد نیاز را انجام داد. باقی مانده است که به دنبال راه حلی برای مشکل باشیم یا با معرفی اصطلاحات کمکی یا با روش ضرایب نامشخص. بدیهی است که ایکس 4 + ایکس 2 + 1 = ایکس 4 + ایکس 3 + ایکس 2 - ایکس 3 - ایکس 2 - ایکس + ایکس 2 + ایکس + 1 =

= ایکس 2 (ایکس 2 + ایکس + 1) - ایکس (ایکس 2 + ایکس + 1) + ایکس 2 + ایکس + 1 =

= (ایکس 2 + ایکس + 1)(ایکس 2 - ایکس + 1).

سه جمله های درجه دوم به دست آمده ریشه ندارند و بنابراین به عوامل خطی واقعی تجزیه نمی شوند.

روش توصیف شده از نظر فنی ساده است، اما به دلیل مصنوعی بودن آن دشوار است. در واقع، دستیابی به شرایط کمکی مورد نیاز بسیار دشوار است. فقط یک حدس به ما کمک کرد تا این تجزیه را پیدا کنیم. ولی

راه های مطمئن تری برای حل چنین مشکلاتی وجود دارد.

می توان به این صورت عمل کرد: فرض کنید که چند جمله ای داده شده به محصول تجزیه می شود

(ایکس 2 + آ ایکس + ب )(ایکس 2 + ج ایکس + د )

دو مثلث مربع با ضرایب صحیح.

بنابراین، ما آن را خواهیم داشت

ایکس 4 + ایکس 2 + 1 = (ایکس 2 + آ ایکس + ب )(ایکس 2 + ج ایکس + د )

تعیین ضرایب باقی مانده استآ , ب , ج و د .

با ضرب چند جمله ای های سمت راست آخرین تساوی، به دست می آید:ایکس 4 + ایکس 2 + 1 = ایکس 4 +

+ (a + c ) ایکس 3 + (ب + آ ج + د ) ایکس 2 + (آگهی + قبل از میلاد مسیح ) x + bd .

اما از آنجایی که ما به سمت راست این برابری نیاز داریم تا به همان چندجمله‌ای تبدیل شود که در سمت چپ است، باید شرایط زیر را برآورده کنیم:

a + c = 0

ب + آ ج + د = 1

آگهی + قبل از میلاد مسیح = 0

bd = 1 .

نتیجه یک سیستم چهار معادله با چهار مجهول استآ , ب , ج و د . یافتن ضرایب از این سیستم آسان استآ = 1 , ب = 1 , ج = -1 و د = 1.

حالا مشکل به طور کامل حل شده است. گرفتیم:

ایکس 4 + ایکس 2 + 1 = (ایکس 2 + ایکس + 1)(ایکس 2 - ایکس + 1).

مسئله 2. چند جمله ای را به عوامل واقعی تبدیل کنید ایکس 3 – 6 ایکس 2 + 14 ایکس – 15 .

راه حل. اجازه دهید این چند جمله ای را به شکل نمایش دهیم

ایکس 3 – 6 ایکس 2 + 14 ایکس – 15 = (ایکس + آ )(ایکس 2 + bx + ج) ، جایی که آ , ب و با - ضرایب هنوز تعیین نشده است. از آنجایی که دو چند جمله ای به طور یکسان برابر هستند اگر و فقط اگر ضرایب توان های یکسان باشندایکس بنابراین، ضرایب را به ترتیب برابر می کنندایکس 2 , ایکس و با عبارت های آزاد، سیستمی از سه معادله با سه مجهول به دست می آوریم:

a+b= - 6

ab + c = 14

ac = - 15 .

اگر در نظر بگیریم که عدد 3 (مقسوم کننده عبارت آزاد) ریشه این معادله است، راه حل این سیستم به طور قابل توجهی ساده می شود و بنابراین،آ = - 3 ,

ب = - 3 و با = 5 .

سپس ایکس 3 – 6 ایکس 2 + 14 ایکس – 15 = (ایکس – 3)(ایکس 2 – 3 ایکس + 5).

روش اعمال ضرایب نامعین، در مقایسه با روش فوق در معرفی اصطلاحات کمکی، حاوی هیچ چیز مصنوعی نیست، اما مستلزم اعمال بسیاری از اصول نظری است و با محاسبات نسبتاً بزرگی همراه است. برای چند جمله ای های درجه بالاتر، این روش ضرایب نامشخص منجر به سیستم های دست و پا گیر معادلات می شود.

2.2. وظایف و با پارامترها

در سال‌های اخیر، نسخه‌های آزمون دولتی واحد وظایفی را با پارامترها ارائه کرده‌اند. راه حل آنها اغلب باعث مشکلات خاصی می شود. هنگام حل مسائل با پارامترها، همراه با روش های دیگر، می توانید به طور موثر از روش ضرایب نامشخص استفاده کنید. این روش است که به شما امکان می دهد راه حل آنها را تا حد زیادی ساده کنید و به سرعت پاسخ بگیرید.

وظیفه 3. تعیین کنید که در چه مقادیری از پارامتر است آمعادله 2 ایکس 3 – 3 ایکس 2 – 36 ایکس + آ – 3 = 0 دقیقاً دو ریشه دارد.

راه حل. 1 راه. استفاده از مشتق

بیایید این معادله را در قالب دو تابع نشان دهیم

2×3 – 3 ایکس 2 – 36 ایکس – 3 = – آ .

f (ایکس) = 2x 3 - 3 ایکس 2 – 36 ایکس– 3 و φ( ایکس ) = – آ .

بیایید عملکرد را بررسی کنیمf (ایکس) = 2x 3 - 3 ایکس 2 – 36 ایکس - 3 با استفاده از مشتق و ساخت شماتیک نمودار آن (شکل 1.).

f( – ایکس )f (ایکس ) , f (– ایکس ) – f (ایکس ). تابع نه زوج است و نه فرد.

3. نقاط بحرانی تابع، فواصل افزایش و کاهش آن، اکسترم ها را پیدا کنیم. f / (ایکس ) = 6 ایکس 2 – 6 ایکس – 36. D (f / ) = آر بنابراین با حل معادله تمام نقاط بحرانی تابع را پیدا خواهیم کرد f / (ایکس ) = 0 .

6(ایکس 2 – ایکس– 6) = 0 ,

ایکس 2 – ایکس– 6 = 0 ,

ایکس 1 = 3 , ایکس 2 = - 2 با قضیه معکوس قضیه ویتا.

f / (ایکس ) = 6(ایکس – 3)(ایکس + 2).

+ حداکثر - دقیقه +

2 3 ایکس

f / (ایکس) > 0 برای همه ایکس< - 2 و ایکس > 3 و تابع در نقاط پیوسته استx =- 2 و ایکس = 3، بنابراین در هر یک از بازه ها افزایش می یابد (- ; - 2] و [3; ).

f / (ایکس ) < 0 در - 2 < ایکس< 3، بنابراین در بازه [-2] کاهش می یابد; 3 ].

ایکس = - 2 امتیاز حداکثر، زیرا در این مرحله علامت مشتق تغییر می کند"+" به "-".

f (– 2) = 2· (– 8) – 3·4 – 36·(– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 حداقل امتیاز، زیرا در این نقطه علامت مشتق تغییر می کند"-" به "+".

f (3) = 2·27 – 3·9 – 36·3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84.

نمودار تابع φ(ایکس ) = – آ یک خط مستقیم موازی با محور x است و از نقطه ای با مختصات (0; – آ ). نمودارها دو نقطه مشترک دارند:آ= 41، یعنی a =– 41 و – آ= - 84، یعنی. آ = 84 .

در

41φ( ایکس)

2 3 ایکس

3 f ( ایکس ) = 2×3 – 3 ایکس 2 – 36 ایکس – 3

روش 2. روش ضرایب نامشخص.

از آنجا که با توجه به شرایط مسئله، این معادله باید فقط دو ریشه داشته باشد، برابری آشکار است:

2ایکس 3 – 3 ایکس 2 – 36 ایکس + آ – 3 = (x + ب ) 2 (2 ایکس + ج ) ,

2ایکس 3 – 3 ایکس 2 – 36 ایکس + آ – 3 = 2 ایکس 3 + (4 ب + ج ) ایکس 2 + (2 ب 2 + +2 قبل از میلاد مسیح ) ایکس + ب 2 ج ,

حالا ضرایب را در همان درجه برابر کنید ایکس، یک سیستم معادلات به دست می آوریم

4 b + c = - 3

2ب 2 + 2قبل از میلاد = - 36

ب 2 ج = آ – 3 .

از دو معادله اول سیستم پیدا می کنیمب 2 + ب – 6 = 0، از این رو ب 1 = - 3 یا ب 2 = 2. مقادیر مربوطهبا 1 و با 2 به راحتی از معادله اول سیستم پیدا می شود:با 1 = 9 یا با 2 = - 11 . در نهایت، مقدار مورد نظر پارامتر را می توان از آخرین معادله سیستم تعیین کرد:

آ = ب 2 ج + 3 , آ 1 = - 41 یا آ 2 = 84.

پاسخ: این معادله دقیقاً دو تا متفاوت دارد

ریشه در آ= - 41 و آ= 84 .

وظیفه 4. بزرگترین مقدار پارامتر را بیابیدآ ، که برای آن معادلهایکس 3 + 5 ایکس 2 + اوه + ب = 0

با ضرایب صحیح دارای سه ریشه مختلف است که یکی از آنها برابر با 2 است.

راه حل. 1 راه. جایگزین کردن ایکس= - 2 به سمت چپ معادله، می گیریم

8 + 20 – 2 آ + ب= 0 یعنی ب = 2 آ – 12 .

از آنجایی که عدد - 2 یک ریشه است، می توانیم عامل مشترک را حذف کنیم ایکس + 2:

ایکس 3 + 5 ایکس 2 + اوه + ب = ایکس 3 + 2 ایکس 2 + 3 ایکس 2 + اوه + (2 آ – 12) =

= ایکس 2 (ایکس + 2) + 3 ایکس (ایکس + 2) – 6 ایکس + اوه + (2 آ – 12) =

= ایکس 2 (ایکس + 2) + 3 ایکس (ایکس + 2) + (آ – 6)(ایکس +2) - 2(آ – 6)+ (2 آ - 12) =

= (ایکس + 2)(ایکس 2 + 3 ایکس + (آ – 6) ) .

با شرط، دو ریشه دیگر از معادله وجود دارد. این بدان معناست که ممیز عامل دوم مثبت است.

D =3 2 - 4 (آ – 6) = 33 – 4 آ > 0 یعنی آ < 8,25 .

به نظر می رسد که پاسخ خواهد بود a = 8 . اما وقتی عدد 8 را در معادله اصلی جایگزین می کنیم، به دست می آید:

ایکس 3 + 5 ایکس 2 + اوه + ب = ایکس 3 + 5 ایکس 2 + 8 ایکس + 4 = (ایکس + 2)(ایکس 2 + 3 ایکس + 2 ) =

= (ایکس + 1) (ایکس + 2) 2 ,

یعنی معادله فقط دو ریشه متفاوت دارد. اما کی a = 7 در واقع سه ریشه مختلف تولید می کند.

روش 2. روش ضرایب نامشخص.

اگر معادله ایکس 3 + 5 ایکس 2 + اوه + ب = 0 ریشه دارد ایکس = - 2، سپس همیشه می توانید اعداد را انتخاب کنیدج و د به طوری که در مقابل همهایکس برابری درست بود

ایکس 3 + 5 ایکس 2 + اوه + ب = (ایکس + 2)(ایکس 2 + با ایکس + د ).

برای پیدا کردن اعدادج و د بیایید براکت های سمت راست را باز کنیم، اصطلاحات مشابه را اضافه کنیم و دریافت کنیم

ایکس 3 + 5 ایکس 2 + اوه + ب = ایکس 3 + (2 + با ) ایکس 2 +(2 s + د ) ایکس + 2 د

معادل سازی ضرایب در توان های مربوطه ایکسما یک سیستم داریم

2 + با = 5

2 با + د = آ

2 د = ب , جایی که c = 3 .

از این رو، ایکس 2 + 3 ایکس + د = 0 , D = 9 – 4 د > 0 یا

د < 2.25، بنابراین د (- ; 2 ].

شرایط مشکل با مقدار برآورده می شود د = 1 . مقدار نهایی مورد نظر پارامترآ = 7.

پاسخ: چه زمانی a = 7 این معادله سه ریشه متفاوت دارد.

2.3. حل معادلات.

«به یاد داشته باشید که با حل مشکلات کوچک شما

خود را برای مقابله با مشکلات بزرگ و دشوار آماده کنید

وظایف جدید.»

آکادمیک S.L. Sobolev

هنگام حل برخی از معادلات، می توانید و باید تدبیر و شوخ طبعی نشان دهید و از تکنیک های خاص استفاده کنید. تسلط بر انواع تکنیک های تبدیل و توانایی انجام استدلال منطقی از اهمیت زیادی در ریاضیات برخوردار است. یکی از این ترفندها جمع و تفریق تعدادی عبارت یا عددی است که به خوبی انتخاب شده است. البته خود واقعیت بیان شده برای همه شناخته شده است - مشکل اصلی دیدن در یک پیکربندی خاص آن تبدیل معادلات است که برای اعمال آن راحت و مصلحت است.

با استفاده از یک معادله جبری ساده، یک تکنیک غیر استاندارد برای حل معادلات را نشان خواهیم داد.

مسئله 5. معادله را حل کنید

=
.

راه حل. بیایید هر دو طرف این معادله را در 5 ضرب کرده و آن را به صورت زیر بازنویسی کنیم

= 0 ; ایکس 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 یا
= 0

اجازه دهید معادلات حاصل را با روش ضرایب نامشخص حل کنیم

ایکس 4 - ایکس 3 –7 ایکس – 3 = (ایکس 2 + آه + ب )(ایکس 2 + cx + د ) = 0

ایکس 4 - ایکس 3 –7 ایکس – 3 = ایکس 4 + (a + c ) ایکس 3 + (ب + آ ج + د ) ایکس 2 + (آگهی + قبل از میلاد مسیح ) x+ + bd

معادل سازی ضرایب در ایکس 3 , ایکس 2 , ایکسو شرایط رایگان، سیستم را دریافت می کنیم

a + c = -1

ب + آ ج + د = 0

آگهی + قبل از میلاد مسیح = -7

bd = -3، از جایی که پیدا می کنیم:آ = -2 ; ب = - 1 ;

با = 1 ; د = 3 .

بنابراین ایکس 4 - ایکس 3 –7ایکس– 3 = (ایکس 2 – 2 ایکس – 1)(ایکس 2 + ایکس + 3) = 0 ,

ایکس 2 – 2 ایکس- 1 = 0 یا ایکس 2 + ایکس + 3 = 0

ایکس 1,2 =
بدون ریشه

به همین ترتیب ما داریم

ایکس 4 – 12ایکس – 5 = (ایکس 2 – 2 ایکس – 1)(ایکس 2 + 2ایکس + 5) = 0 ,

جایی که ایکس 2 + 2 ایکس + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

پاسخ: ایکس 1,2 =

مسئله 6. معادله را حل کنید

= 10.

راه حل. برای حل این معادله باید اعداد را انتخاب کنیدآو ب به طوری که شمارنده های هر دو کسر یکسان باشد. بنابراین، ما این سیستم را داریم:

= 0 , ایکس 0; -1 ; -

= - 10

بنابراین وظیفه یافتن اعداد استآو ب , که برای آن برابری برقرار است

(یک + 6) ایکس 2 + آه - 5 = ایکس 2 + (5 + 2 ب ) ایکس + ب

حال با توجه به قضیه تساوی چند جمله ای ها لازم است سمت راست این تساوی به همان چند جمله ای تبدیل شود که در سمت چپ است.

به عبارت دیگر، روابط باید ارضا شود

یک + 6 = 1

آ = 5 + 2 ب

– 5 = ب ، از جایی که مقادیر را پیدا می کنیمآ = - 5 ;

ب = - 5 .

با این ارزش هاآو ب برابری آ + ب = - 10 نیز منصفانه است.

= 0 , ایکس 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(ایکس 2 – 5ایکس– 5)(ایکس 2 + 3ایکس + 1) = 0 ,

ایکس 2 – 5ایکس– 5 = 0 یا ایکس 2 + 3ایکس + 1 = 0 ,

ایکس 1,2 =
, ایکس 3,4 =

پاسخ: ایکس 1,2 =
, ایکس 3,4 =

مسئله 7. معادله را حل کنید

= 4

راه حل. این معادله پیچیده تر از معادلات قبلی است و بنابراین آن را به این صورت گروه بندی می کنیم: ایکس 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

از شرط تساوی دو چند جمله ای

اوه 2 + (یک + 6) ایکس + 12 = ایکس 2 + (ب + 11) ایکس – 3 ب ,

ما یک سیستم معادلات برای ضرایب مجهول به دست می آوریم و حل می کنیمآو ب :

آ = 1

یک + 6 = ب + 11

12 = – 3 ب ، جایی که a = 1 , ب = - 4 .

چند جمله ای ها - 3 - 6ایکس + cx 2 + 8 cxو ایکس 2 + 21 + 12 د – dx تنها زمانی که با یکدیگر برابر هستند

با = 1

8 با - 6 = - د

3 = 21 + 12 د , با = 1 , د = - 2 .

با ارزش هاa = 1 , ب = - 4 , با = 1 , د = - 2

برابری
= - 4 صحیح است.

در نتیجه، این معادله به شکل زیر است:

= 0 یا
= 0 یا
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

از مثال های در نظر گرفته شده مشخص می شود که چگونه استفاده ماهرانه از روش ضرایب نامشخص،

به ساده کردن حل یک معادله نسبتاً پیچیده و غیر معمول کمک می کند.

2.4. معادلات تابعی

«بالاترین هدف ریاضیات...

یافتن نظم پنهان در است

هرج و مرج که ما را احاطه کرده است"

N. Viner

معادلات تابعی یک کلاس بسیار کلی از معادلات هستند که در آنها تابع مجهول یک تابع معین است. معادله تابعی به معنای محدود کلمه معادلاتی است که در آن توابع مورد نظر با توابع شناخته شده یک یا چند متغیر با استفاده از عملیات تشکیل یک تابع پیچیده مرتبط هستند. یک معادله تابعی را همچنین می توان به عنوان بیانی از ویژگی مشخص کننده یک کلاس خاص از توابع در نظر گرفت

[به عنوان مثال، معادله تابعی f ( ایکس ) = f (- ایکس ) کلاس توابع زوج، معادله تابعی را مشخص می کندf (ایکس + 1) = f (ایکس ) - کلاس توابع دارای دوره 1 و غیره.].

یکی از ساده ترین معادلات تابعی معادله استf (ایکس + y ) = f (ایکس ) + f (y ). جواب های پیوسته این معادله تابعی شکل دارند

f (ایکس ) = سیایکس . اما در کلاس توابع ناپیوسته این معادله تابعی راه حل های دیگری نیز دارد. با معادله تابعی در نظر گرفته شده مرتبط هستند

f (ایکس + y ) = f (ایکس ) · f (y ), f (ایکس y ) = f (ایکس ) + f (y ), f (ایکس y ) = f (ایکس )· f (y ),

راه حل های پیوسته که به ترتیب دارای شکل هستند

ه cx ، بالوگاریتمایکس , ایکس α (ایکس > 0).

بنابراین، از این معادلات تابعی می توان برای تعریف توابع نمایی، لگاریتمی و توان استفاده کرد.

پرکاربردترین معادلات در توابع پیچیده هستند که توابع مورد نیاز توابع خارجی هستند. کاربردهای نظری و عملی

دقیقاً همین معادلات بود که ریاضیدانان برجسته را بر آن داشت تا آنها را مطالعه کنند.

مثلا، درهم ترازی

f 2 (ایکس) = f (ایکس - y)· f (ایکس + y)

N.I.Lobachevskyهنگام تعیین زاویه موازی در هندسه من استفاده می شود.

در سال های اخیر، مسائل مربوط به حل معادلات تابعی اغلب در المپیادهای ریاضی ارائه می شود. راه حل آنها به دانشی فراتر از محدوده برنامه درسی ریاضیات در مدارس متوسطه نیاز ندارد. با این حال، حل معادلات تابعی اغلب باعث مشکلات خاصی می شود.

یکی از راه های حل معادلات تابعی، روش ضرایب نامعین است. زمانی می توان از آن استفاده کرد که شکل کلی تابع مورد نظر را بتوان با شکل ظاهری معادله تعیین کرد. این، اول از همه، در مورد مواردی صدق می کند که راه حل های معادلات را باید در میان توابع گویا اعداد صحیح یا کسری جستجو کرد.

اجازه دهید ماهیت این تکنیک را با حل مسائل زیر بیان کنیم.

وظیفه 8. عملکردf (ایکس ) برای همه x واقعی تعریف شده و برای همه راضی استایکس آر وضعیت

3 f(ایکس) - 2 f(1- ایکس) = ایکس 2 .

پیدا کردنf (ایکس ).

راه حل. از آنجایی که در سمت چپ این معادله بر روی متغیر مستقل x و مقادیر تابعf فقط عملیات خطی انجام می شود و سمت راست معادله یک تابع درجه دوم است، پس طبیعی است که فرض کنیم تابع مورد نظر نیز درجه دوم است:

f (ایکس) = تبر 2 + bx + ج ، جایی کهآ, ب, ج - ضرایبی که باید تعیین شوند، یعنی ضرایب نامشخص.

با جایگزینی تابع به معادله، به هویت می رسیم:

3(تبر 2 + bx+ ج) – 2(آ(1 – ایکس) 2 + ب(1 – ایکس) + ج) = ایکس 2 .

تبر 2 + (5 ب + 4 آ) ایکس + (ج – 2 آ – 2 ب) = ایکس 2 .

دو چند جمله ای اگر مساوی باشند یکسان خواهند بود

ضرایب برای توان های یکسان متغیر:

آ = 1

5ب + 4آ = 0

ج– 2 آ – 2 ب = 0.

از این سیستم ضرایب را پیدا می کنیم

آ = 1 , ب = - ، ج = , همچنینراضی می کندبرابری

3 f (ایکس ) - 2 f (1- ایکس ) = ایکس 2 روی مجموعه همه اعداد واقعی در عین حال چنین وجود داردایکس 0 وظیفه 9. عملکردy =f(ایکس) برای همه x تعریف شده، پیوسته است و شرط را برآورده می کندf (f (ایکس)) – f(ایکس) = 1 + 2 ایکس . دو تابع از این قبیل را پیدا کنید.

راه حل. دو عمل بر روی تابع مورد نظر انجام می شود - عملیات ترکیب یک تابع پیچیده و

منها کردن. با توجه به اینکه سمت راست معادله یک تابع خطی است، طبیعی است که تابع مورد نظر را نیز خطی فرض کنیم:f(ایکس) = آه +ب ، جایی کهآ وب - ضرایب نامشخص جایگزینی این تابع درf (f ( (ایکس ) = - ایکس - 1 ;

f 2 (ایکس ) = 2 ایکس+ که راه حل های معادله تابعی هستندf (f (ایکس)) – f(ایکس) = 1 + 2 ایکس .

نتیجه.

در خاتمه، لازم به ذکر است که این کار مطمئناً به مطالعه بیشتر روشی بدیع و مؤثر برای حل انواع مسائل ریاضی کمک خواهد کرد، که مسائلی با دشواری فزاینده هستند و نیاز به دانش عمیق درس ریاضی مدرسه و منطق بالا دارند. هر کس که بخواهد به طور مستقل دانش خود را در مورد ریاضیات عمیق تر کند، این کار حاوی مطالبی برای تأمل و کارهای جالب است که راه حل آنها سود و رضایت را به همراه خواهد داشت.

این کار در چارچوب برنامه درسی موجود مدرسه و به شکلی که برای درک مؤثر در دسترس باشد، روش ضرایب نامشخص را تعیین می کند که به تعمیق دوره مدرسه در ریاضیات کمک می کند.

البته تمام قابلیت های روش ضرایب نامشخص را نمی توان در یک اثر نشان داد. در واقع این روش همچنان نیازمند مطالعه و تحقیق بیشتر است.

فهرست ادبیات استفاده شده

Glazer G.I.. تاریخچه ریاضیات در مدرسه.-M.: آموزش و پرورش، 1983.

گومونوف اس.ا. معادلات تابعی در یک دوره ریاضیات مدرسه // ریاضیات در مدرسه. – 2000. –№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.H.. کتابچه راهنمای ریاضیات - M.: Nauka، 1972.

Kurosh A.G. معادلات جبری درجات دلخواه - M.: Nauka، 1983.

لیختارنیکوف L.M.. مقدمه ای ابتدایی بر معادلات تابعی. - سنت پترزبورگ. : لان، 1997.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G.. فرهنگ لغت توضیحی اصطلاحات ریاضی - M.: آموزش و پرورش، 1971

Modenov V.P.. کتابچه راهنمای ریاضیات. قسمت 1.-M.: دانشگاه دولتی مسکو، 1977.

Modenov V.P.. مسائل مربوط به پارامترها - M.: امتحان، 2006.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I.. جبر و تجزیه و تحلیل توابع ابتدایی - M.: Nauka، 1980.

Khaliullin A.A.. می توانید آن را راحت تر حل کنید // ریاضیات در مدرسه. – 2003 . - №8 .

خلیولین.

4. چند جمله ای 2 را بسط دهیدایکس 4 – 5ایکس 3 + 9ایکس 2 – 5ایکس+ 3 برای ضرایب با ضرایب صحیح.

5. به چه ارزشی آ ایکس 3 + 6ایکس 2 + اوه+ 12 در هر ایکس+ 4 ?

6. در چه مقدار از پارامترآ معادلهایکس 3 +5 ایکس 2 + + اوه + ب = 0 با ضرایب صحیح دارای دو ریشه متفاوت است که یکی از آنها 1 است ?

7. از جمله ریشه های چند جمله ای ایکس 4 + ایکس 3 – 18ایکس 2 + اوه + ب با ضرایب صحیح سه عدد صحیح برابر وجود دارد. مقدار را پیدا کنید ب .

8. بزرگترین مقدار صحیح پارامتر را پیدا کنید آ،که در آن معادله ایکس 3 – 8ایکس 2 + آه +ب = 0 با ضرایب صحیح دارای سه ریشه مختلف است که یکی از آنها برابر با 2 است.

9. در چه مقادیری آو ب تقسیم بدون باقیمانده انجام می شود ایکس 4 + 3ایکس 3 – 2ایکس 2 + اوه + ب بر ایکس 2 – 3ایکس + 2 ?

10. چند جمله ای های عاملی:

آ)ایکس 4 + 2 ایکس 2 – ایکس + 2 V)ایکس 4 – 4ایکس 3 +9ایکس 2 –8ایکس + 5 د)ایکس 4 + 12ایکس – 5

ب)ایکس 4 + 3ایکس 2 + 2ایکس + 3 ز)ایکس 4 – 3ایکس –2 ه)ایکس 4 – 7ایکس 2 + 1 .

11. حل معادلات:

آ)
= 2 = 2 f (1 – ایکس ) = ایکس 2 .

پیدا کردن f (ایکس) .

13. عملکرد در= f (ایکس) جلوی همه ایکستعریف شده، مستمر است و شرایط را برآورده می کند f ( f (ایکس)) = f (ایکس) + ایکس.دو تابع از این قبیل را پیدا کنید.

با سلام خدمت همه دوستان عزیز

خوب، تبریک می گویم! ما با خیال راحت به ماده اصلی در ادغام کسرهای گویا رسیده ایم - روش ضرایب نامشخص. بزرگ و توانا.) عظمت و قدرت او چیست؟ و در همه کاره بودن آن نهفته است. منطقی است که آن را بررسی کنید، درست است؟ من به شما هشدار می دهم که چندین درس در مورد این موضوع وجود خواهد داشت. زیرا موضوع بسیار طولانی است و مطالب بسیار مهم است.)

فوراً می گویم که در درس امروز (و درس های بعدی) نه چندان با یکپارچگی، بلکه ... حل سیستم معادلات خطی!بله بله! بنابراین کسانی که با سیستم ها مشکل دارند، ماتریس ها، تعیین کننده ها و روش کرامر را تکرار کنند. و برای آن رفقای که با ماتریس ها مشکل دارند، از شما می خواهم در بدترین حالت، حافظه خود را از حداقل روش های "مدرسه ای" حل سیستم ها - روش جایگزینی و روش جمع/ تفریق ترم به ترم تازه کنید.

برای شروع آشنایی، فیلم را کمی به عقب برگردانیم. بیایید به طور خلاصه به درس های قبلی برگردیم و تمام آن کسری را که قبلاً ادغام کردیم، تجزیه و تحلیل کنیم. مستقیم و بدون هیچ روشی از ضرایب نامشخص! اینجا آنها هستند، این کسری ها. آنها را به سه گروه تقسیم کردم.

گروه 1

در مخرج - تابع خطییا به تنهایی یا تا یک درجه. در یک کلام، مخرج محصول است همسانبراکت های فرم (ها).

مثلا:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10) (x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5) (2x+5) (2x+5)

و غیره. به هر حال، اجازه ندهید پرانتز شما را گیج کند (4x+5)یا (2x+5) 3با ضریب کداخل. اینها هنوز، در هسته خود، پرانتزهای فرم هستند (ها). زیرا این بیشترین است کاز چنین براکت هایی همیشه می توانید آن را بیرون ببرید.

مثل این:

این همه است.) و مهم نیست که دقیقاً چه چیزی در عدد وجود دارد - فقط dxیا نوعی چند جمله ای ما همیشه شمارنده را در توان های براکت گسترش می دادیم (x-a)، کسر بزرگ را به مجموع کسرهای کوچک تبدیل کرده و (در صورت لزوم) یک پرانتز در زیر دیفرانسیل قرار داده و یکپارچه می کند.

گروه 2

این کسرها چه وجه اشتراکی دارند؟

و مشترک این است که در همه مخرج ها وجود دارد سه جمله ای درجه دومتبر 2 + bx+ ج. اما نه فقط، یعنی در یک نسخه. و در اینجا مهم نیست که ممیز او مثبت باشد یا منفی.

چنین کسرهایی همیشه به یکی از دو روش ادغام می‌شدند - یا با گسترش صورت به توان مخرج، یا با جدا کردن مربع کامل در مخرج و سپس جایگزینی متغیر. همه چیز به انتگرال خاص بستگی دارد.

گروه 3

اینها بدترین کسری برای ادغام بودند. مخرج شامل یک مثلث درجه دوم تجزیه ناپذیر و حتی به درجه است n. اما دوباره، در یک نسخه. زیرا به جز سه جمله ای، عامل دیگری در مخرج وجود ندارد. چنین کسری بیش از یکپارچه شد. یا مستقیماً، یا پس از جداسازی مربع کامل در مخرج و جایگزینی متعاقب متغیر به آن کاهش می یابد.

با این حال، متأسفانه، کل تنوع غنی کسرهای گویا فقط به این سه گروه در نظر گرفته محدود نمی شود.

اما اگر مخرج آن باشد ناهمسانبراکت؟ به عنوان مثال، چیزی شبیه به:

(x-1)(x+1)(x+2)

یا در عین حال پرانتز (ها)و یک مثلث درجه دوم، چیزی شبیه به (x-10) (x 2 -2x+17)? و در موارد مشابه دیگر؟ دقیقاً در چنین مواردی است که به کمک می آید روش ضرایب نامشخص!

فوراً می گویم: در حال حاضر فقط با آن کار خواهیم کرد درستدر کسری کسانی که درجه صورت آنها به شدت کمتر از درجه مخرج است. نحوه برخورد با کسرهای نامناسب به تفصیل در کسر توضیح داده شده است. انتخاب کل قسمت (چند جمله ای) ضروری است. با تقسیم صورت بر مخرج با یک گوشه یا با تجزیه صورت - به دلخواه. و حتی مثال مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد. و به نوعی چند جمله ای را ادغام خواهید کرد. در حال حاضر کوچک نیست.) اما ما همچنین نمونه هایی را برای کسرهای نامناسب حل خواهیم کرد!

و اکنون شروع به آشنایی می کنیم. برخلاف اکثر کتاب های درسی ریاضیات عالی، آشنایی خود را با یک نظریه خشک و سنگین درباره قضیه بنیادی جبر، قضیه بزوت، درباره تجزیه یک کسر گویا به مجموع ساده ترین ها (در ادامه در مورد این کسرها) و دیگر خسته کننده است، اما ما با یک مثال ساده شروع می کنیم.

برای مثال، باید انتگرال نامعین زیر را پیدا کنیم:

ابتدا به انتگرال نگاه کنید. مخرج حاصل ضرب سه براکت است:

(x-1)(x+3)(x+5)

و تمام براکت ها ناهمسان. بنابراین، فناوری قدیمی ما با بسط شمارنده به قدرت های مخرج این بار دیگر کار نمی کند: کدام پرانتز باید در صورتگر برجسته شود؟ (x-1)؟ (x+3)؟ مشخص نیست... انتخاب یک مربع کامل در مخرج نیز ایده خوبی نیست: یک چند جمله ای در آنجا وجود دارد سومدرجه (اگر تمام براکت ها را ضرب کنید). چه باید کرد؟

وقتی به کسری خود نگاه می کنیم، یک میل کاملاً طبیعی به وجود می آید ... کاملاً غیر قابل مقاومت! از کسر بزرگ ما که ناراحتادغام کنید، به نحوی سه مورد کوچک بسازید. حداقل اینجوری:

چرا باید به دنبال این گونه خاص باشید؟ و همه به این دلیل است که در این شکل کسر اولیه ما از قبل است راحتبرای ادغام! بیایید مخرج هر کسر کوچک را جمع کنیم و - به جلو.)

آیا حتی امکان دستیابی به چنین تجزیه ای وجود دارد؟ خبر خوب! قضیه مربوطه در ریاضیات بیان می کند - بله، تو میتونی! چنین تجزیه ای وجود دارد و منحصر به فرد است.

اما یک مشکل وجود دارد: ضرایب آ, که درو باما خدا حافظما نمی دانیم و اکنون وظیفه اصلی ما خواهد بود آنها را شناسایی کنید. دریابید که حروف ما با چه چیزی برابر است آ, که درو با. از این رو نام - روش نا معلومضرایب بیایید سفر افسانه ای خود را آغاز کنیم!

بنابراین، ما یک برابری داریم که ما را به رقص وادار می کند:

بیایید هر سه کسر سمت راست را به یک مخرج مشترک بیاوریم و اضافه کنیم:

اکنون می‌توانیم با خیال راحت مخرج‌ها را کنار بگذاریم (چون آنها یکسان هستند) و به سادگی اعداد را برابر کنیم. همه چیز طبق معمول است

گام بعدی همه پرانتزها را باز کنید(ضرایب آ, که درو با خدا حافظبهتر است آن را بیرون بگذارید):

و اکنون (مهم!) کل ساختار خود را در سمت راست ردیف می کنیم بر اساس ارشدیت مدرک: ابتدا تمام عبارت ها را با x 2 در یک شمع جمع می کنیم، سپس فقط با x و در نهایت، عبارت های رایگان را جمع می کنیم. در واقع، ما به سادگی موارد مشابه را ارائه می کنیم و اصطلاحات را بر اساس توان های x گروه بندی می کنیم.

مثل این:

حالا بیایید نتیجه را درک کنیم. در سمت چپ چند جمله ای اصلی ما است. درجه دوم. شمارنده انتگرال ما. سمت راست هم چند جمله ای درجه دومبینی ضرایب ناشناختهاین برابری باید زمانی معتبر باشد که تمام مقادیر معتبر x. کسری سمت چپ و راست یکی بود (با توجه به شرایط ما)! این بدان معنی است که آنها صورت کسرو (یعنی چند جمله ای های ما) نیز یکسان هستند. بنابراین، ضرایب در همان توان های xاین چند جمله ای ها باید داشته باشند برابر باشید!

ما با بالاترین درجه شروع می کنیم. از میدان. بیایید ببینیم چه نوع ضرایبی داریم ایکس 2 چپ و راست. در سمت راست مجموع ضرایب را داریم A+B+C، و در سمت چپ یک دوش قرار دارد. اولین معادله ما اینگونه به وجود می آید.

می نویسیم:

A+B+C = 2

بخور معادله اول آماده است.)

در مرحله بعد، ما یک مسیر کاهشی را دنبال می کنیم - ما به اصطلاحات با X تا توان اول نگاه می کنیم. در سمت راست در X داریم 8A+4B+2C. خوب. و با X سمت چپ چه داریم؟ هوم... در سمت چپ اصلاً اصطلاحی با X وجود ندارد! فقط 2 x 2 - 3 وجود دارد. چه باید کرد؟ بسیار ساده! این به این معنی است که ضریب x در سمت چپ است برابر با صفر!می توانیم سمت چپ خود را به این صورت بنویسیم:

و چی؟ ما حق داریم.) بنابراین معادله دوم به این صورت است:

8 آ+4 ب+2 سی = 0

خوب، این عملاً همه چیز است. باقی مانده است که شرایط رایگان را برابر کنیم:

15A-5B-3C = -3

در یک کلام، معادل سازی ضرایب برای توان های یکسان x طبق طرح زیر رخ می دهد:

هر سه برابری ما باید برآورده شود همزمان.بنابراین، ما یک سیستم از معادلات نوشته شده خود جمع می کنیم:

این سیستم برای یک دانش آموز کوشا سخت ترین نیست - سه معادله و سه مجهول. همانطور که می خواهید تصمیم بگیرید. می توانید از روش کرامر از طریق ماتریس هایی با دترمینان استفاده کنید، می توانید از روش گاوس استفاده کنید، حتی می توانید از جایگزینی معمول مدرسه استفاده کنید.

برای شروع، من این سیستم را به روشی حل می کنم که دانشجویان فرهنگی معمولاً چنین سیستم هایی را حل می کنند. یعنی روش کرامر.

ما حل را با ترسیم یک ماتریس سیستم شروع می کنیم. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که این ماتریس فقط یک تبلت است که از آن ساخته شده است ضرایب برای مجهولات

او اینجاست:

اول از همه، بیایید محاسبه کنیم تعیین کننده ماتریس سیستمیا به طور خلاصه تعیین کننده سیستممعمولاً با حرف یونانی ∆ ("دلتا") نشان داده می شود:

عالی است، تعیین کننده سیستم صفر نیست (-48≠0) . از نظریه سیستم های معادلات خطی، این واقعیت به این معنی است که سیستم ما سازگار است و راه حل منحصر به فردی دارد

مرحله بعدی محاسبه است عوامل تعیین کننده مجهولات ∆A, ∆B, ∆C. یادآوری می کنم که هر یک از این سه تعیین کننده از تعیین کننده اصلی سیستم با جایگزینی ستون ها با ضرایب مجهولات متناظر با ستونی از عبارت های آزاد به دست می آید.

بنابراین ما عوامل تعیین کننده را می سازیم و محاسبه می کنیم:

در اینجا روش محاسبه دترمینال های مرتبه سوم را به تفصیل توضیح نمی دهم. و نپرس این یک انحراف کامل از موضوع خواهد بود.) کسانی که در موضوع هستند، می فهمند که ما در مورد چه چیزی صحبت می کنیم. و شاید قبلاً دقیقاً حدس زده باشید که من این سه عامل تعیین کننده را چگونه محاسبه کردم.)

همین، همه چیز آماده است.)

معمولاً دانش آموزان بافرهنگ سیستم ها را اینگونه حل می کنند. اما... همه دانش آموزان با آنها دوست و واجد شرایط نیستند. متاسفانه برای برخی، این مفاهیم ساده ریاضیات عالی برای همیشه مانند سواد چینی و هیولایی مرموز در مه باقی می مانند...

خوب، به ویژه برای چنین دانش آموزان بی فرهنگی، من راه حل آشناتری را پیشنهاد می کنم - روش حذف متوالی مجهولاتدر واقع، این یک روش جایگزینی پیشرفته "مدرسه ای" است. فقط مراحل بیشتری وجود خواهد داشت.) اما ماهیت یکسان است. اولین کاری که انجام می دهم این است که متغیر را حذف کنم با. برای انجام این کار بیان خواهم کرد بااز معادله اول و جایگزین آن به معادله دوم و سوم:

ما ساده می کنیم، موارد مشابه را می آوریم و یک سیستم جدید دریافت می کنیم، در حال حاضر با دوناشناخته:

حال در این سیستم جدید امکان بیان یکی از متغیرها بر حسب متغیر دیگر نیز وجود دارد. اما حواس‌گیرترین دانش‌آموزان احتمالا متوجه ضرایب مقابل متغیر خواهند شد ب – مقابل. دو و منهای دو. بنابراین، جمع کردن هر دو معادله با هم برای حذف متغیر بسیار راحت خواهد بود که درو فقط نامه را بگذارید آ.

قسمت چپ و راست را اضافه می کنیم، ذهنی کوتاه می کنیم 2Bو -2Bو معادله را فقط نسبی حل کنید آ:

بخور ضریب اول پیدا شد: A = -1/24.

ضریب دوم را تعیین کنید که در. به عنوان مثال، از معادله بالا:

از اینجا دریافت می کنیم:

عالی. ضریب دوم نیز به دست آمد: ب = -15/8 . هنوز نامه ای باقی مانده است با. برای تعیین آن، از بالاترین معادله استفاده می کنیم، جایی که آن را از طریق بیان می کنیم آو که در:

بنابراین:

باشه الان تموم شد شانس ناشناخته پیدا شد! فرقی نمی کند از طریق کرامر یا از طریق تعویض. اصلی، درستپیدا شد.)

بنابراین، تجزیه ما از یک کسر بزرگ به مجموع کسرهای کوچک به این صورت خواهد بود:

و با ضرایب کسری حاصل اشتباه نگیرید: در این روش (روش ضرایب نامشخص) این رایج ترین پدیده است. :)

اکنون بسیار توصیه می شود که بررسی کنید آیا ضرایب خود را به درستی پیدا کرده ایم یا خیر آ, بو با. بنابراین، اکنون پیش نویس را می گیریم و کلاس هشتم را به یاد می آوریم - هر سه کسر کوچک خود را دوباره اضافه می کنیم.

اگر کسر بزرگ اصلی را بدست آوریم، پس همه چیز خوب است. نه - یعنی به من ضربه بزنید و به دنبال اشتباه باشید.

مخرج مشترک بدیهی است که 24(x-1)(x+3)(x+5) خواهد بود.

برو:

آره!!! ما کسر اصلی را گرفتیم. چیزی که باید بررسی می شد. همه چیز خوب است. پس لطفا من را نزن.)

حالا بیایید به انتگرال اصلی خود برگردیم. او در این مدت راحت تر نشده است، بله. اما اکنون که کسر ما به مجموع کسری های کوچک تجزیه شده است، ادغام آن به یک لذت واقعی تبدیل شده است!

خودت ببین! ما بسط خود را در انتگرال اصلی وارد می کنیم.

ما گرفتیم:

ما از ویژگی های خطی بودن استفاده می کنیم و انتگرال بزرگ خود را به مجموع انتگرال های کوچک تقسیم می کنیم و همه ثابت ها را خارج از علائم انتگرال قرار می دهیم.

ما گرفتیم:

و گرفتن سه انتگرال کوچک حاصل از قبل آسان است .

ما ادغام را ادامه می دهیم:

همین.) و در این درس از من نپرسید که لگاریتم های پاسخ از کجا آمده اند! هر کس به یاد آورد از همه چیز آگاه است و خواهد فهمید. و برای کسانی که به یاد نمی آورند، پیوندها را دنبال می کنیم. من فقط آنها را آنجا نمی گذارم.

جواب نهایی:

در اینجا یک تثلیث زیبا وجود دارد: سه لگاریتم - یک بزدل، یک چاشنی و یک قلاب. :) و سعی کنید، فوراً چنین پاسخ دشواری را حدس بزنید! فقط روش ضرایب نامشخص کمک می کند، بله.) در واقع، ما برای این منظور به دنبال این هستیم. چه، چگونه و کجا.

به عنوان یک تمرین آموزشی، پیشنهاد می کنم روش را تمرین کنید و کسر زیر را ادغام کنید:

تمرین کنید، انتگرال را پیدا کنید، آن را سخت نگیرید! پاسخ باید چیزی شبیه به این باشد:

روش ضرایب نامشخص چیز قدرتمندی است. حتی در ناامیدکننده‌ترین موقعیت‌ها، وقتی کسری را به هر حال تبدیل می‌کنید، صرفه‌جویی می‌کند. و در اینجا برخی از خوانندگان توجه و علاقه مند ممکن است تعدادی سؤال داشته باشند:

- اگر چند جمله ای در مخرج اصلاً فاکتورگیری نشده باشد چه باید کرد؟

- چگونه باید به دنبال تجزیه هر کسر گویا بزرگ به مجموع کسرهای کوچک بود؟ به هر شکلی؟ چرا دقیقا این و نه آن؟

- در صورت وجود عوامل متعدد در گسترش مخرج چه باید کرد؟ یا براکت هایی در توان هایی مانند (x-1) 2؟ در چه شکلی باید به دنبال تجزیه باشیم؟

- اگر علاوه بر کروشه های ساده شکل (x-a)، مخرج به طور همزمان دارای یک مثلث درجه دوم تجزیه ناپذیر باشد، چه باید کرد؟ فرض کنید x 2 +4x+5؟ در چه شکلی باید به دنبال تجزیه باشیم؟

خوب، زمان آن فرا رسیده است که به طور کامل درک کنیم که پاها از کجا رشد می کنند. در درس های بعدی.)

ادغام یک تابع کسری - گویا.
روش ضریب نامشخص

ما به کار روی ادغام کسرها ادامه می دهیم. قبلاً در درس به انتگرال‌های برخی از کسرها نگاه کرده‌ایم و این درس را به نوعی می‌توان ادامه آن دانست. برای درک موفقیت آمیز مطالب، مهارت های ادغام اولیه مورد نیاز است، بنابراین اگر به تازگی مطالعه انتگرال ها را شروع کرده اید، یعنی مبتدی هستید، باید با مقاله شروع کنید. انتگرال نامعین. نمونه هایی از راه حل ها.

به اندازه کافی عجیب، اکنون ما نه چندان درگیر یافتن انتگرال ها، بلکه... در حل سیستم های معادلات خطی خواهیم بود. در این رابطه فوریمن حضور در درس را توصیه می‌کنم، یعنی باید در روش‌های جایگزینی (روش «مدرسه» و روش جمع (تفریق) معادلات سیستم) به خوبی مسلط باشید.

تابع گویا کسری چیست؟ به عبارت ساده، تابع کسری - گویا به کسری گفته می شود که صورت و مخرج آن شامل چند جمله ای یا حاصلضرب چند جمله ای باشد. علاوه بر این، کسری ها پیچیده تر از موارد مورد بحث در مقاله هستند ادغام برخی کسری ها.

ادغام یک تابع کسری - گویا مناسب

بلافاصله یک مثال و یک الگوریتم معمولی برای حل انتگرال یک تابع کسری - گویا.

مثال 1

مرحله 1.اولین کاری که ما همیشه هنگام حل انتگرال یک تابع گویا کسری انجام می دهیم این است که سؤال زیر را روشن کنیم: آیا کسر مناسب است؟این مرحله به صورت شفاهی انجام می شود و اکنون نحوه انجام آن را توضیح می دهم:

ابتدا به عددگر نگاه می کنیم و متوجه می شویم مدرک ارشدچند جمله ای:

توان پیشروی صورتگر دو است.

حال به مخرج نگاه می کنیم و متوجه می شویم مدرک ارشدمخرج. راه واضح این است که پرانتزها را باز کنید و اصطلاحات مشابهی را بیاورید، اما می‌توانید این کار را ساده‌تر انجام دهید هر یکبالاترین درجه را در پرانتز پیدا کنید

و به طور ذهنی ضرب کنید: - بنابراین بالاترین درجه مخرج برابر با سه است. کاملاً بدیهی است که اگر واقعاً پرانتزها را باز کنیم، مدرکی بیشتر از سه نخواهیم گرفت.

نتیجه: درجه اصلی کسر موکداکمتر از بالاترین توان مخرج است، به این معنی که کسر مناسب است.

اگر در این مثال، شمارنده شامل چند جمله ای 3، 4، 5 و غیره است. درجه، سپس کسر خواهد بود اشتباه.

اکنون فقط توابع گویا کسری صحیح را در نظر خواهیم گرفت. موردی را بررسی می کنیم که درجه صورت بزرگتر یا مساوی با درجه مخرج در پایان درس باشد.

گام 2.بیایید مخرج را فاکتورسازی کنیم. بیایید به مخرج خود نگاه کنیم:

به طور کلی، این در حال حاضر محصول عوامل است، اما، با این وجود، از خود می‌پرسیم: آیا می‌توان چیز دیگری را گسترش داد؟ موضوع شکنجه بدون شک مثلث مربع خواهد بود. حل معادله درجه دوم:

تفکیک بزرگتر از صفر است، به این معنی که سه جمله ای واقعاً می تواند فاکتورگیری شود:

قانون کلی: همه چیز در مخرج را می توان فاکتور گرفت - فاکتور گرفت

بیایید شروع به تدوین یک راه حل کنیم:

مرحله 3.با استفاده از روش ضرایب نامشخص، انتگرال را به مجموع کسرهای ساده (بنیادی) تبدیل می کنیم. حالا واضح تر خواهد شد.

بیایید به تابع انتگرال خود نگاه کنیم:

و، می دانید، به نحوی یک فکر شهودی مطرح می شود که خوب است کسر بزرگ خود را به چند کسر کوچک تبدیل کنیم. به عنوان مثال، مانند این:

این سوال پیش می آید که آیا اصلا امکان این کار وجود دارد؟ اجازه دهید نفس راحتی بکشیم، قضیه مربوط به آنالیز ریاضی بیان می‌کند - ممکن است. چنین تجزیه ای وجود دارد و منحصر به فرد است.

فقط یک مورد وجود دارد، شانس این است خدا حافظما نمی دانیم، از این رو نام - روش ضرایب نامعین است.

همانطور که حدس زدید، حرکات بعدی بدن همینطور است، غلغله نکنید! صرفاً با هدف شناخت آنها - برای یافتن اینکه آنها با چه چیزی برابر هستند.

مواظب باش فقط یکبار مفصل توضیح میدم!

بنابراین، بیایید شروع به رقصیدن کنیم:

در سمت چپ عبارت را به مخرج مشترک کاهش می دهیم:

اکنون می توانیم با خیال راحت از مخرج ها خلاص شویم (زیرا آنها یکسان هستند):

در سمت چپ، براکت ها را باز می کنیم، اما فعلاً ضرایب مجهول را لمس نکنید:

در همان زمان، قانون مدرسه را برای ضرب چند جمله ای ها تکرار می کنیم. وقتی معلم بودم یاد گرفتم که این قانون را با صورت مستقیم تلفظ کنم: برای ضرب یک چند جمله ای در یک چند جمله ای، باید هر جمله یک چند جمله ای را در هر جمله چند جمله ای دیگر ضرب کنید..

از نقطه نظر یک توضیح واضح، بهتر است ضرایب را در پرانتز قرار دهید (البته من شخصاً هرگز برای صرفه جویی در وقت این کار را انجام نمی دهم):

ما یک سیستم معادلات خطی می سازیم.
ابتدا به دنبال مدارک ارشد می گردیم:

و ضرایب مربوطه را در معادله اول سیستم می نویسیم:

نکته زیر را به خوبی به خاطر بسپارید. اگر هیچ s در سمت راست اصلا وجود نداشت چه اتفاقی می افتاد؟ بیایید بگوییم، آیا بدون هیچ مربعی خودنمایی می کند؟ در این صورت، در معادله سیستم لازم است که یک صفر در سمت راست قرار دهیم: . چرا صفر؟ اما چون در سمت راست همیشه می‌توانید همین مربع را با صفر نسبت دهید: اگر در سمت راست هیچ متغیر و/یا یک جمله آزاد وجود نداشته باشد، در سمت راست معادلات مربوطه سیستم صفر قرار می‌دهیم.

ضرایب مربوطه را در معادله دوم سیستم می نویسیم:

و در نهایت آب معدنی اعضای رایگان را انتخاب می کنیم.

اوه... یه جوری شوخی کردم. شوخی به کنار - ریاضیات یک علم جدی است. در گروه مؤسسه ما، وقتی استادیار گفت که عبارات را در امتداد خط اعداد پراکنده می کند و بزرگترین آنها را انتخاب می کند، هیچ کس نخندید. جدی بگیریم گرچه... هر که زنده بماند تا پایان این درس را ببیند، همچنان آرام لبخند خواهد زد.

سیستم آماده است:

ما سیستم را حل می کنیم:

(1) از معادله اول بیان می کنیم و آن را به معادلات 2 و 3 سیستم تبدیل می کنیم. در واقع، بیان (یا حرف دیگری) از معادله دیگر ممکن بود، اما در این مورد، بیان آن از معادله 1 سودمند است، زیرا وجود دارد کوچکترین شانس.

(2) ما عبارات مشابه را در معادلات 2 و 3 ارائه می کنیم.

(3) معادلات 2 و 3 را ترم به ترم جمع می کنیم و برابری را بدست می آوریم که از آن نتیجه می شود که

(4) معادله دوم (یا سوم) را جایگزین می کنیم، از آنجا که آن را پیدا می کنیم

(5) جایگزین و وارد معادله اول، به دست آوردن .

اگر با روش های حل سیستم مشکلی دارید، آنها را در کلاس تمرین کنید. چگونه یک سیستم معادلات خطی را حل کنیم؟

پس از حل سیستم، همیشه مفید است که مقادیر یافت شده را بررسی کنید - جایگزین کنید هرمعادله سیستم، در نتیجه همه چیز باید "همگرا" شود.

تقریباً وجود دارد. ضرایب پیدا شد و:

کار تمام شده باید چیزی شبیه به این باشد:

همانطور که می بینید، دشواری اصلی کار نوشتن (به درستی!) و حل (درست!) یک سیستم معادلات خطی بود. و در مرحله آخر، همه چیز چندان دشوار نیست: ما از ویژگی های خطی بودن انتگرال نامعین استفاده می کنیم و ادغام می کنیم. لطفاً توجه داشته باشید که در زیر هر یک از سه انتگرال ما یک تابع پیچیده "رایگان" داریم که در مورد ویژگی های ادغام آن در درس صحبت کردم روش تغییر متغیر در انتگرال نامعین.

بررسی کنید: پاسخ را متمایز کنید:

تابع انتگرال اصلی به دست آمده است، به این معنی که انتگرال به درستی پیدا شده است.
در حین تأیید، ما مجبور شدیم که عبارت را به یک مخرج مشترک کاهش دهیم و این تصادفی نیست. روش ضرایب نامعین و کاهش یک عبارت به مخرج مشترک، اقدامات معکوس متقابل هستند.

مثال 2

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

بیایید از مثال اول به کسر برگردیم: . به راحتی می توان متوجه شد که در مخرج همه عوامل متفاوت هستند. این سوال پیش می آید که اگر مثلاً کسری زیر داده شود چه باید کرد: ? در اینجا ما درجاتی در مخرج داریم، یا از نظر ریاضی، مضرب. علاوه بر این، یک مثلث درجه دوم وجود دارد که نمی توان آن را فاکتور گرفت (به راحتی می توان تأیید کرد که ممیز معادله منفی است، بنابراین سه جمله ای را نمی توان فاکتور گرفت). چه باید کرد؟ بسط به مجموع کسرهای ابتدایی چیزی شبیه به آن خواهد بود با ضرایب مجهول در بالا یا چیز دیگری؟

مثال 3

یک تابع معرفی کنید

مرحله 1.بررسی اینکه آیا کسری مناسب داریم یا خیر
شمارنده اصلی: 2
بالاترین درجه مخرج: 8
یعنی کسر صحیح است.

گام 2.آیا می توان چیزی را در مخرج فاکتور گرفت؟ بدیهی است که نه، همه چیز از قبل تنظیم شده است. به دلایلی که در بالا ذکر شد نمی توان سه جمله ای مربع را به یک محصول تبدیل کرد. کاپوت ماشین. کار کمتر.

مرحله 3.بیایید یک تابع کسری - گویا را به عنوان مجموع کسرهای ابتدایی تصور کنیم.
در این حالت، بسط به شکل زیر است:

بیایید به مخرج خود نگاه کنیم:
هنگام تجزیه یک تابع کسری - گویا به مجموع کسرهای ابتدایی، سه نقطه اساسی را می توان تشخیص داد:

1) اگر مخرج دارای یک عامل "تنها" به توان اول باشد (در مورد ما)، یک ضریب نامشخص در بالا قرار می دهیم (در مورد ما). مثال های شماره 1، 2 فقط شامل چنین عوامل "تنهایی" بودند.

2) اگر مخرج داشته باشد چندگانهضریب، سپس باید آن را به صورت زیر تجزیه کنید:
- یعنی به طور متوالی تمام درجات "X" را از درجه اول تا nام طی کنید. در مثال ما دو عامل چندگانه وجود دارد: و، یک نگاهی دیگر به بسطی که ارائه دادم بیندازید و مطمئن شوید که آنها دقیقاً طبق این قانون گسترش می یابند.

3) اگر مخرج حاوی یک چند جمله ای تجزیه ناپذیر درجه دوم باشد (در مورد ما)، پس هنگام تجزیه در صورتگر باید یک تابع خطی با ضرایب نامشخص بنویسید (در مورد ما با ضرایب نامشخص و ).

در واقع، مورد چهارم دیگری وجود دارد، اما من در مورد آن سکوت خواهم کرد، زیرا در عمل بسیار نادر است.

مثال 4

یک تابع معرفی کنید به عنوان مجموع کسرهای ابتدایی با ضرایب مجهول.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.
الگوریتم را به شدت دنبال کنید!

اگر اصولی را که به وسیله آنها باید یک تابع کسری-عقلایی را به یک مجموع بسط دهید، درک می کنید، می توانید تقریباً هر انتگرال از نوع مورد بررسی را بجوید.

مثال 5

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

مرحله 1.بدیهی است که کسر صحیح است:

گام 2.آیا می توان چیزی را در مخرج فاکتور گرفت؟ می توان. در اینجا مجموع مکعب ها است . با استفاده از فرمول ضرب اختصاری، مخرج را عامل کنید

مرحله 3.با استفاده از روش ضرایب نامعین، انتگرال را به مجموع کسرهای ابتدایی گسترش می دهیم:

لطفاً توجه داشته باشید که چند جمله ای را نمی توان فاکتورسازی کرد (بررسی کنید که ممیز منفی است)، بنابراین در بالا یک تابع خطی با ضرایب مجهول قرار می دهیم و نه فقط یک حرف.

کسر را به مخرج مشترک می آوریم:

بیایید سیستم را بسازیم و حل کنیم:

(1) از معادله اول بیان می کنیم و آن را جایگزین معادله دوم سیستم می کنیم (این منطقی ترین راه است).

(2) ما عبارات مشابه را در معادله دوم ارائه می کنیم.

(3) معادله دوم و سوم سیستم را ترم به ترم اضافه می کنیم.

همه محاسبات بعدی، در اصل، شفاهی هستند، زیرا سیستم ساده است.

(1) مجموع کسرها را مطابق با ضرایب پیدا شده یادداشت می کنیم.

(2) ما از خصوصیات خطی بودن انتگرال نامعین استفاده می کنیم. در انتگرال دوم چه اتفاقی افتاد؟ در پاراگراف آخر درس می توانید با این روش آشنا شوید. ادغام برخی کسری ها.

(3) یک بار دیگر از ویژگی های خطی بودن استفاده می کنیم. در انتگرال سوم شروع به جداسازی مربع کامل می کنیم (بند ماقبل آخر درس ادغام برخی کسری ها).

(4) انتگرال دوم را می گیریم، در سومین مربع کامل را انتخاب می کنیم.

(5) انتگرال سوم را بگیرید. آماده.