چند جمله ای ها. فاکتورگیری چند جمله ای: روش ها، مثال ها. درس جبر "روشهای مختلف فاکتورگیری" فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم

طرح درس درس جبر پایه هفتم

معلم Prilepova O.A.

اهداف درس:

استفاده از روش های مختلف برای فاکتورگیری چند جمله ای را نشان دهید

روش های فاکتورسازی را تکرار کنید و دانش خود را در طول تمرینات تثبیت کنید

مهارت‌ها و توانایی‌های دانش‌آموزان را در استفاده از فرمول‌های ضرب اختصاری توسعه دهید.

توسعه تفکر منطقی و علاقه دانش آموزان به موضوع.

وظایف:

در جهت توسعه شخصی:

توسعه علاقه به خلاقیت ریاضی و توانایی های ریاضی؛

توسعه ابتکار و فعالیت در حل مسائل ریاضی؛

توسعه توانایی تصمیم گیری مستقل.

در جهت فراسوژه :

تشکیل روش های رایجفعالیت فکری، مشخصه ریاضیات و اساس فرهنگ شناختی است.

استفاده از فناوری ICT؛

در حوزه موضوعی:

تسلط بر دانش و مهارت های ریاضی لازم برای ادامه تحصیل؛

ایجاد توانایی در دانش‌آموزان برای جست‌وجوی راه‌هایی برای فاکتورگیری چند جمله‌ای و یافتن آن‌ها برای چندجمله‌ای قابل فاکتورسازی.

تجهیزات:جزوات، برگه های مسیر با معیارهای ارزیابی،پروژکتور چند رسانه ای، ارائه.

نوع درس:تکرار، تعمیم و نظام مندی مطالب تحت پوشش

اشکال کار:کار به صورت جفتی و گروهی، فردی، جمعی،کار مستقل و جلویی

در طول کلاس ها:

چند جمله ای فاکتورسازی یک تبدیل هویت است که در نتیجه آن یک چند جمله ای به حاصلضرب چندین عامل - چند جمله ای یا تک جمله ای تبدیل می شود.

راه های مختلفی برای فاکتورگیری چند جمله ای ها وجود دارد.

روش 1. خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز.

این تبدیل بر اساس قانون توزیعی ضرب است: ac + bc = c(a + b). ماهیت تحول این است که عامل مشترک را در دو مؤلفه مورد بررسی جدا کرده و آن را از پرانتز خارج کنیم.

اجازه دهید چند جمله ای را 28x3 – 35x4 فاکتور کنیم.

راه حل.

1. عناصر 28x3 و 35x4 را پیدا کنید مقسوم علیه مشترک. برای 28 و 35 7 خواهد بود. برای x 3 و x 4 – x 3. به عبارت دیگر، ضریب مشترک ما 7×3 است.

2. هر یک از عناصر را به عنوان محصول عواملی که یکی از آنهاست نمایش می دهیم
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. فاکتور مشترک را از پرانتز خارج می کنیم
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

روش 2. استفاده از فرمول های ضرب اختصاری. "تسلط" استفاده از این روش، توجه به یکی از فرمول های ضرب اختصاری در عبارت است.

اجازه دهید چند جمله ای x 6 – 1 را فاکتور بگیریم.

راه حل.

1. می توانیم فرمول تفاوت مربع ها را به این عبارت اعمال کنیم. برای انجام این کار، x 6 را به عنوان (x 3) 2، و 1 را به عنوان 1 2 تصور کنید، یعنی. 1. عبارت به شکل زیر خواهد بود:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. می‌توانیم فرمول مجموع و تفاضل مکعب‌ها را در عبارت حاصل اعمال کنیم:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

بنابراین،
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

روش 3. گروه بندی. روش گروه بندی عبارت است از ترکیب اجزای یک چند جمله ای به گونه ای که انجام عملیات بر روی آنها آسان باشد (جمع، تفریق، تفریق یک عامل مشترک).

چند جمله ای x 3 – 3x 2 + 5x – 15 را عامل کنیم.

راه حل.

1. بیایید مولفه ها را به این ترتیب گروه بندی کنیم: 1 با 2 و 3 با 4th
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. در عبارت حاصل، فاکتورهای مشترک را از پرانتز خارج می کنیم: x 2 در حالت اول و 5 در مورد دوم.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. ضریب مشترک x – 3 را از پرانتز خارج می کنیم و به دست می آوریم:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) (x 2 + 5).

بنابراین،
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5) ).

بیایید مواد را ایمن کنیم.

چند جمله ای a 2 – 7ab + 12b 2 را عامل کنید.

راه حل.

1. اجازه دهید تک جمله 7ab را به صورت مجموع 3ab + 4ab نمایش دهیم. عبارت به شکل زیر خواهد بود:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

بیایید پرانتزها را باز کنیم و دریافت کنیم:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. اجزای چند جمله ای را به این ترتیب گروه بندی می کنیم: 1 با 2 و 3 با 4. ما گرفتیم:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. بیایید عوامل رایج را از پرانتز خارج کنیم:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. عامل مشترک (a – 3b) را از پرانتز خارج می کنیم:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

بنابراین،
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

درس عمومی

ریاضیات

در کلاس هفتم

"استفاده از روش های مختلف برای فاکتورگیری چند جمله ای."

پروکوفیوا ناتالیا ویکتورونا،

معلم ریاضی

اهداف درس

آموزشی:

1. فرمول های ضرب اختصاری را تکرار کنید
2. شکل‌گیری و تجمیع اولیه توانایی عامل‌سازی چندجمله‌ای به روش‌های مختلف.

آموزشی:

1. توسعه ذهن آگاهی، تفکر منطقی، توجه ، توانایی نظام مند کردن و به کارگیری دانش کسب شده ، گفتار با سواد ریاضی.

آموزشی:

1. ایجاد علاقه به حل مثال ها؛
2. پرورش حس کمک متقابل، خودکنترلی و فرهنگ ریاضی.

نوع درس: درس ترکیبی

تجهیزات: پروژکتور، ارائه، تخته سیاه، کتاب درسی.

آمادگی اولیه برای درس:

1. دانش آموزان باید موضوعات زیر را بدانند:

1. مجذور کردن مجموع و تفاضل دو عبارت
2. فاکتورگیری با استفاده از فرمول مجموع مجذور و اختلاف مجذور
3. ضرب اختلاف دو عبارت در مجموع آنها
4. فاکتورگیری اختلاف مربع ها
5. فاکتورگیری مجموع و تفاضل مکعب ها

1. مهارت کار با فرمول های ضرب اختصاری را داشته باشید.

طرح درس

1. لحظه سازمانی (تمرکز دانش آموزان بر درس)
2. بررسی تکالیف (اصلاح خطا)
3. تمرینات دهانی
4. یادگیری مطالب جدید
5. تمرینات آموزشی
6. تمرینات تکراری
7. جمع بندی درس
8. پیام تکلیف

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی.

این درس از شما می خواهد که فرمول های ضرب اختصاری را بدانید، بتوانید آنها را به کار ببرید و البته توجه کنید.

II. بررسی تکالیف

سوالات تکلیف.

تجزیه و تحلیل راه حل در هیئت مدیره.

II. تمرینات دهانی.

ریاضی مورد نیاز است
بدون اون غیر ممکنه
ما آموزش می دهیم، ما آموزش می دهیم، دوستان،
چه چیزی را در صبح به یاد می آوریم؟

بیایید یک گرم کردن انجام دهیم.

فاکتورسازی (اسلاید 3)

8 الف - 16 ب

17x² + 5x

c(x+y)+5(x+y)

4a² - 25 (اسلاید 4)

1 - y³

ax + ay + 4x + 4y اسلاید 5)

III. کار مستقل.

هر کدام از شما یک میز روی میز دارید. کار خود را در بالا سمت راست امضا کنید. جدول را پر کنید. زمان کار 5 دقیقه است. بیا شروع کنیم.

انجام شد.

لطفاً شغل خود را با همسایه خود عوض کنید.

قلم هایشان را گذاشتند و مدادهایشان را برداشتند.

ما کار را بررسی می کنیم - به اسلاید توجه کنید. (اسلاید 6)

ما یک علامت گذاشتیم - (اسلاید 7)

7(+) - 5

6-5(+) - 4

4(+) - 3

فرمول ها را در وسط جدول قرار دهید. بیایید شروع به یادگیری مطالب جدید کنیم.

IV. یادگیری مطالب جدید

در دفترچه ها تاریخ، کار کلاسی و موضوع درس امروز را یادداشت می کنیم.

معلم.

1. هنگام فاکتورگیری چند جمله ای ها، گاهی اوقات نه از یک، بلکه از چندین روش استفاده می کنند و آنها را به صورت متوالی اعمال می کنند.
2. مثال ها:

1. 5a² - 20 = 5 (a² - 4) = 5 (a-2) (a+2). (اسلاید 8)

از فاکتور مشترک خارج از براکت و تفاوت مربع ها استفاده می کنیم.

1. 18x³ + 12x² + 2x = 2x (9x² + 6x + 1) = 2x (3x + 1)². (اسلاید 9)

با بیان چه کاری می توانید انجام دهید؟ از چه روشی برای فاکتورسازی استفاده خواهیم کرد؟

در اینجا از ضریب مشترک و فرمول مجموع مجذور براکت استفاده می کنیم.

1. ab³ – 3b³ + ab²у – 3b²u = b² (ab – 3b + ay – 3y) = b² ((ab – 3b) + (ay – 3y)) = b² (b(a – 3) + y(a – 3)) = b² (a – 3) (b +y). (اسلاید 10)

با بیان چه کاری می توانید انجام دهید؟ از چه روشی برای فاکتورسازی استفاده خواهیم کرد؟

در اینجا فاکتور مشترک از پرانتز خارج شد و از روش گروه بندی استفاده شد.

1. ترتیب فاکتورسازی: (اسلاید 11)

1. هر چند جمله ای را نمی توان فاکتور گرفت. به عنوان مثال: x² + 1; 5x² + x + 2 و غیره (اسلاید 12)

V. تمرینات آموزشی

قبل از شروع، یک جلسه تمرین بدنی انجام می دهیم (اسلاید 13)

سریع بلند شدند و لبخند زدند.

آنها بالاتر و بالاتر کشیده شدند.

بیا، شانه هایت را صاف کن،

بالا بردن، پایین آوردن

به راست بپیچید، به چپ بپیچید،

نشستند و برخاستند. نشستند و برخاستند.

و در محل دویدند.

و چند ژیمناستیک دیگر برای چشم:

1. چشمان خود را به مدت 3-5 ثانیه محکم ببندید و سپس آنها را به مدت 3-5 ثانیه باز کنید. 6 بار تکرار کنید.
2. انگشت شست خود را در فاصله 20-25 سانتی متری از چشمان خود قرار دهید، با هر دو چشم به انتهای انگشت به مدت 3-5 درجه سانتیگراد نگاه کنید و سپس با هر دو چشم به لوله نگاه کنید. 10 بار تکرار کنید.

آفرین، بشین

تکلیف درس:

بلوار پلاک 934

خیابان 935 №

№937

پلاک 939

پلاک 1007 آب

VI.تمرینات تکراری.

№ 933

VII. جمع بندی درس

معلم سؤالاتی می پرسد و دانش آموزان به میل خود به آنها پاسخ می دهند.

1. نام روش های شناخته شدهفاکتورگیری یک چند جمله ای

1. فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنید
2. فاکتورگیری چند جمله ای با استفاده از فرمول های ضرب اختصاری.
3. روش گروه بندی

1. ترتیب فاکتورسازی:

1. فاکتور مشترک را خارج از پرانتز قرار دهید (در صورت وجود).
2. سعی کنید چند جمله ای را با استفاده از فرمول های ضرب اختصاری فاکتور بگیرید.
3. اگر روش های قبلی به هدف منجر نشد، سعی کنید از روش گروه بندی استفاده کنید.

یک دست را بلند کنید:

1. اگر نگرش شما به درس این است که "من چیزی نفهمیدم و اصلاً موفق نشدم"
2. اگر نگرش شما نسبت به درس این است که "مشکلاتی وجود داشت، اما من موفق شدم"
3. اگر نگرش شما نسبت به درس این است که "من تقریبا در همه چیز موفق شدم"

عامل 4 a² - 25 = 1 - y³ = (2a – 5) (2a + 5) (1 – y) (1+y+y²) فاکتورگیری چند جمله ای با استفاده از فرمول های ضرب اختصاری

ax+ay+4x+4y= =a(x+y)+4(x+y)= (ax+ay)+(4x+4y)= (x+y) (a+4) روش گروه بندی

(a + b) 2 a ² + 2ab + b ² مربع حاصل جمع a² - b² (a – b) (a + b) تفاوت مربعات (a – b)² a² - 2ab + b² مربع اختلاف a³ + b ³ (a + b) (a² - ab + b²) مجموع مکعب ها (a + b) ³ a³ + 3 a²b+3ab² + b³ مکعب مجموع (a - b) ³ a³ - 3a²b+3ab² - b³ مکعب اختلاف a³ - b³ (a – b) (a² + ab + b²) تفاوت مکعب ها

علامت ها را 7 (+) = 5 6 یا 5 (+) = 4 4 (+) = 3 تنظیم کنید

مثال شماره 1. 5 a² - 20 = = 5 (a² - 4) = = 5 (a - 2) (a+2) خارج کردن ضریب مشترک از پرانتز فرمول اختلاف مربع ها

مثال شماره 2. 18 x³ + 12x ² + 2x = =2x (9x ² +6x+1) = =2x(3x+1) ² خارج کردن ضریب مشترک از پرانتز فرمول برای مجموع مجذور

مثال شماره 3. ab³ –3b³+ab²y–3b²y= = b²(ab–3b+ay-3y)= =b²((a b -3 b)+(a y -3 y)= =b²(b(a-3)+y -3))= =b²(a-3)(b+y) ضریب را خارج از پرانتز قرار دهید اصطلاحات را در پرانتز گروه بندی کنید عوامل را خارج از پرانتز قرار دهید عامل مشترک را خارج از پرانتز قرار دهید

ترتیب فاکتورسازی: فاکتور مشترک را خارج از پرانتز قرار دهید (در صورت وجود). سعی کنید چند جمله ای را با استفاده از فرمول های ضرب اختصاری فاکتور بگیرید. 3. اگر روش های قبلی به هدف منتهی نشد، سعی کنید از روش گروه بندی استفاده کنید.

هر چند جمله ای را نمی توان فاکتور گرفت. به عنوان مثال: x² +1 5x² + x + 2

دقیقه فیزیکی

تکلیف درس شماره 934 آود شماره 935 آود شماره 937 شماره 939 آود شماره 1007

دست خود را بالا ببرید: اگر نگرش شما نسبت به درس این است: "من چیزی نفهمیدم و اصلاً موفق نشدم" اگر نگرش شما نسبت به درس "مشکلاتی وجود داشت، اما آن را انجام دادم" اگر نگرش شما به درس "من تقریبا در همه چیز موفق شدم"

تکلیف: ص 38 شماره 936 شماره 938 شماره 954

مفاهیم "چند جمله ای" و "فاکتورسازی یک چند جمله ای" در جبر بسیار زیاد است، زیرا برای انجام محاسبات با اعداد چند رقمی بزرگ باید آنها را بدانید. این مقاله چندین روش تجزیه را شرح می دهد. استفاده از همه آنها بسیار ساده است، فقط باید برای هر مورد خاص، مورد مناسب را انتخاب کنید.

مفهوم چند جمله ای

چند جمله ای مجموع تک جمله هاست، یعنی عباراتی که فقط شامل عملیات ضرب هستند.

به عنوان مثال، 2 * x * y یک تک جمله است، اما 2 * x * y + 25 چند جمله ای است که از 2 تک جمله ای تشکیل شده است: 2 * x * y و 25. این چند جمله ای ها را دو جمله ای می نامند.

گاهی اوقات، برای راحتی حل مثال هایی با مقادیر چند ارزشی، یک عبارت باید تبدیل شود، به عنوان مثال، به تعداد معینی از عوامل، یعنی اعداد یا عباراتی که بین آنها عمل ضرب انجام می شود، تجزیه شود. روش‌های مختلفی برای فاکتورسازی چند جمله‌ای وجود دارد. ارزش در نظر گرفتن آنها را دارد و از ابتدایی ترین آنها شروع می شود که در مدرسه ابتدایی استفاده می شود.

گروه بندی (ثبت به شکل کلی)

فرمول فاکتورگیری چند جمله ای با استفاده از روش گروه بندی به طور کلی به صورت زیر است:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

لازم است تک جمله ها را طوری گروه بندی کرد که هر گروه یک عامل مشترک داشته باشد. در براکت اول این ضریب c و در دومی - d است. این باید انجام شود تا سپس آن را از براکت خارج کنید و در نتیجه محاسبات را ساده کنید.

الگوریتم تجزیه با استفاده از یک مثال خاص

ساده ترین مثال از فاکتورگیری چند جمله ای با استفاده از روش گروه بندی در زیر آورده شده است:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

در براکت اول باید شرایط را با فاکتور a که رایج خواهد بود و در دومی - با عامل b استفاده کنید. به علامت های + و - در عبارت تمام شده توجه کنید. جلوی تک اسم علامتی که در عبارت اولیه بود قرار دادیم. یعنی باید نه با عبارت 25a بلکه با عبارت -25 کار کنید. به نظر می رسد علامت منفی به عبارت پشت آن چسبیده است و همیشه هنگام محاسبه در نظر گرفته می شود.

در مرحله بعد باید ضریب را که رایج است از پرانتز خارج کنید. این دقیقاً همان چیزی است که گروه بندی برای آن است. قرار دادن خارج از پرانتز به معنای نوشتن قبل از براکت (با حذف علامت ضرب) تمام عواملی است که دقیقاً در تمام عبارات داخل پرانتز تکرار می شوند. اگر در یک براکت 2، بلکه 3 یا بیشتر وجود داشته باشد، فاکتور مشترک باید در هر یک از آنها وجود داشته باشد، در غیر این صورت نمی توان آن را از براکت خارج کرد.

در مورد ما، تنها 2 عبارت در پرانتز وجود دارد. ضریب کلی بلافاصله قابل مشاهده است. در براکت اول a است، در دومی b است. در اینجا باید به ضرایب دیجیتال توجه کنید. در براکت اول، هر دو ضریب (10 و 25) مضرب 5 هستند. این بدان معنی است که نه تنها a، بلکه 5a نیز می تواند از براکت خارج شود. قبل از پرانتز 5a بنویسید و سپس هر یک از عبارت های داخل پرانتز را بر ضریب مشترکی که خارج شده است تقسیم کنید و همچنین ضریب را در پرانتز بنویسید بدون اینکه علائم + و - را فراموش نکنید با براکت دوم نیز همین کار را انجام دهید. از 7b و همچنین 14 و 35 مضرب 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

ما 2 عبارت دریافت کردیم: 5a (2c - 5) و 7b (2c - 5). هر یک از آنها حاوی یک عامل مشترک است (کل عبارت در پرانتز در اینجا یکسان است، یعنی یک عامل مشترک است): 2c - 5. همچنین باید از براکت خارج شود، یعنی عبارت های 5a و 7b باقی می مانند. در پرانتز دوم:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

بنابراین بیان کامل این است:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

بنابراین، چند جمله ای 10ac + 14bc - 25a - 35b به 2 عامل تجزیه می شود: (2c - 5) و (5a + 7b). علامت ضرب بین آنها را می توان هنگام نوشتن حذف کرد

گاهی اوقات عباراتی از این نوع وجود دارد: 5a 2 + 50a 3، در اینجا می توانید نه تنها a یا 5a، بلکه حتی 5a 2 را خارج از براکت قرار دهید. همیشه باید سعی کنید بزرگترین عامل مشترک را خارج از براکت قرار دهید. در مورد ما، اگر هر عبارت را بر یک عامل مشترک تقسیم کنیم، به دست می آید:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(هنگام محاسبه ضریب چند توان با پایه های مساوی، پایه حفظ می شود و توان از آن کم می شود). بنابراین، واحد در براکت باقی می‌ماند (اگر یکی از عبارت‌ها را از براکت خارج کنید، در هیچ موردی فراموش نکنید که یکی بنویسید) و ضریب تقسیم: 10a. معلوم می شود که:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

فرمول های مربعی

برای سهولت محاسبه، چندین فرمول استخراج شد. این فرمول های ضرب اختصاری نامیده می شوند و اغلب استفاده می شوند. این فرمول ها به عوامل چند جمله ای حاوی درجه کمک می کنند. این یکی دیگر از راه های موثر برای فاکتورسازی است. بنابراین در اینجا آنها هستند:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -فرمولی به نام "مربع مجموع"، زیرا در نتیجه تجزیه به مربع، مجموع اعداد محصور در پرانتز گرفته می شود، یعنی مقدار این مجموع در خودش 2 برابر می شود و بنابراین یک عدد است. ضرب کننده
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - فرمول مربع اختلاف، مشابه فرمول قبلی است. نتیجه این تفاوت است که در پرانتز محصور شده است و در توان مربع موجود است.
• a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)- این فرمولی برای تفاوت مربع ها است، زیرا در ابتدا چند جمله ای از 2 مربع اعداد یا عبارت تشکیل شده است که بین آنها تفریق انجام می شود. شاید از سه مورد ذکر شده بیشتر مورد استفاده قرار گیرد.

نمونه هایی برای محاسبات با استفاده از فرمول های مربعی

محاسبات برای آنها بسیار ساده است. مثلا:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - از فرمول "مربع مجموع" استفاده کنید.
2. 25x2 مربع 5x است. 20xy حاصل ضرب دوگانه 2*(5x*2y) و 4y 2 مربع 2y است.
3. بنابراین، 25x2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y).این چند جمله ای به 2 عامل تجزیه می شود (عوامل یکسان هستند بنابراین به صورت یک عبارت با توان مربع نوشته می شود).

اقدامات با استفاده از فرمول اختلاف مجذور به طور مشابه انجام می شود. فرمول باقی مانده اختلاف مربع ها است. تعریف و یافتن نمونه هایی از این فرمول در میان عبارات دیگر بسیار آسان است. مثلا:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). از آنجایی که 25a 2 = (5a) 2، و 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). از آنجایی که 36x 2 = (6x) 2، و 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b) (c + 13b). از آنجایی که 169b 2 = (13b) 2

مهم است که هر یک از اصطلاحات مربعی از برخی عبارت ها باشد. سپس این چند جمله ای باید با استفاده از فرمول تفاضل مربع ها فاکتورسازی شود. برای این کار لازم نیست درجه دوم بالاتر از عدد باشد. چند جمله‌ای‌هایی هستند که دارای درجات بزرگی هستند، اما همچنان با این فرمول‌ها مطابقت دارند.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

در این مثال، 8 را می توان به عنوان (a 4) 2، یعنی مربع یک عبارت خاص نشان داد. 25 برابر 5 2 و 10a برابر با 4 است - این حاصل ضرب دو برابر عبارت های 2 * a 4 * 5 است. به این معنا که این بیانعلیرغم وجود درجه هایی با توان بزرگ، می توان آن را به 2 عامل تجزیه کرد تا متعاقباً با آنها کار کرد.

فرمول های مکعبی

همین فرمول ها برای فاکتورگیری چند جمله ای های حاوی مکعب وجود دارد. آنها کمی پیچیده تر از آنهایی هستند که مربع دارند:

• a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)- این فرمول را مجموع مکعب ها می نامند، زیرا در شکل اولیه آن چند جمله ای مجموع دو عبارت یا عدد محصور در یک مکعب است.
• a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2) -فرمولی مشابه فرمول قبلی به عنوان تفاوت مکعب ها تعیین می شود.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - مکعب یک جمع، در نتیجه محاسبات، مجموع اعداد یا عبارات در داخل پرانتز قرار می گیرد و در خودش 3 برابر می شود، یعنی در یک مکعب قرار می گیرد.
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -فرمولی که بر اساس قیاس با فرمول قبلی تهیه شده است و فقط برخی از علائم عملیات ریاضی را تغییر می دهد (به علاوه و منفی) "مکعب تفاوت" نامیده می شود.

دو فرمول آخر عملاً برای فاکتورگیری یک چند جمله ای استفاده نمی شوند، زیرا آنها پیچیده هستند، و به ندرت می توان چند جمله ای را یافت که کاملاً دقیقاً با این ساختار مطابقت داشته باشد تا بتوان آنها را با استفاده از این فرمول ها فاکتور گرفت. اما شما هنوز هم باید آنها را بشناسید، زیرا هنگام کار در جهت مخالف - هنگام باز کردن پرانتز - مورد نیاز خواهند بود.

مثال هایی در فرمول های مکعبی

بیایید به یک مثال نگاه کنیم: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b) ((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a-2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

اعداد بسیار ساده در اینجا گرفته شده اند، بنابراین بلافاصله می توانید ببینید که 64a 3 (4a) 3 است و 8b 3 (2b) 3 است. بنابراین، این چند جمله ای با توجه به تفاوت فرمول مکعب ها به 2 عامل منبسط می شود. اقدامات با استفاده از فرمول برای مجموع مکعب ها با قیاس انجام می شود.

درک این نکته مهم است که همه چند جمله ای ها را نمی توان حداقل به یک روش بسط داد. اما عباراتی وجود دارند که دارای قدرت های بیشتر از مربع یا مکعب هستند، اما می توان آنها را به شکل های ضرب اختصاری نیز گسترش داد. به عنوان مثال: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

این مثال به اندازه درجه 12 را شامل می شود. اما حتی می توان آن را با استفاده از فرمول مجموع مکعب ها فاکتور گرفت. برای انجام این کار، باید x 12 را به عنوان (x 4) 3 تصور کنید، یعنی به عنوان یک مکعب از یک عبارت. اکنون به جای a، باید آن را در فرمول جایگزین کنید. خوب، عبارت 125y 3 یک مکعب 5y است. در مرحله بعد، باید محصول را با استفاده از فرمول ترکیب کنید و محاسبات را انجام دهید.

در ابتدا یا در صورت شک، همیشه می توانید با ضرب معکوس بررسی کنید. شما فقط باید پرانتز را در عبارت حاصل باز کنید و اقداماتی را با عبارات مشابه انجام دهید. این روش برای همه روش‌های کاهش فهرست‌شده اعمال می‌شود: هم برای کار با یک عامل مشترک و گروه‌بندی، و هم برای کار با فرمول‌های مکعب‌ها و توان‌های درجه دوم.

بخش ها: ریاضیات

نوع درس:

• با توجه به روش تحویل - یک درس کارگاهی؛
• توسط هدف آموزشی- درس به کارگیری دانش و مهارت.

هدف:توانایی عامل بندی چند جمله ای را توسعه دهید.

وظایف:

• اموزشی: نظام‌بندی، گسترش و تعمیق دانش و مهارت‌های دانش‌آموزان، استفاده از روش‌های مختلف فاکتورگیری چند جمله‌ای. توانایی اعمال فاکتورسازی چند جمله ای را از طریق ترکیب ایجاد کنید تکنیک های مختلف. دانش و مهارت‌ها را در موضوع: «فاکتورسازی چند جمله‌ای» برای تکمیل تکالیف در سطح پایه و وظایف با پیچیدگی افزایش یافته پیاده‌سازی کنید.
• رشدی: توسعه فعالیت ذهنی از طریق حل انواع مختلف مشکلات، یادگیری یافتن و تجزیه و تحلیل منطقی ترین روش های راه حل، کمک به شکل گیری توانایی تعمیم حقایق مورد مطالعه، بیان افکار خود به وضوح و واضح.
• آموزشی: توسعه مهارت های کار مستقل و تیمی، مهارت های خودکنترلی.

روش های کار:

• کلامی;
• دیداری؛
• کاربردی.

تجهیزات درسی:وایت برد تعاملی یا پروژکتور بالای سر، جداول با فرمول ضرب اختصاری، دستورالعمل ها، جزوات برای کار در گروه.

ساختار درس:

1. زمان سازماندهی 1 دقیقه
2. تدوین موضوع، هدف و اهداف درس عملی. 2 دقیقه
3. بررسی تکالیف 4 دقیقه
4. به روز رسانی دانش و مهارت های پایه دانش آموزان. 12 دقیقه
5. دقیقه تربیت بدنی 2 دقیقه
6. آموزش نحوه انجام وظایف کارگاه. 2 دقیقه
7. انجام کارها به صورت گروهی 15 دقیقه
8. بررسی و بحث در مورد تکالیف. تجزیه و تحلیل شغل. 3 دقیقه
9. تنظیم تکالیف. 1 دقیقه
10. مشاغل رزرو کنید 3 دقیقه

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی

معلم آمادگی کلاس و دانش آموزان را برای درس بررسی می کند.

2. تدوین موضوع، هدف و اهداف درس کارگاه

• پیام در مورد درس پایانی در مورد موضوع.
• ایجاد انگیزه برای فعالیت های یادگیری دانش آموزان.
• تدوین هدف و تعیین اهداف درس (همراه با دانش آموزان).

3. بررسی تکالیف

روی تخته نمونه هایی از حل تمرین های تکلیف شماره 943 (الف، ج) وجود دارد. شماره 945 (ج، د). نمونه ها توسط دانش آموزان کلاس ساخته شده است. (این دسته از دانش آموزان در درس قبل مشخص شدند؛ تصمیم خود را در زمان استراحت رسمی کردند). دانش آموزان برای "دفاع" از راه حل ها آماده می شوند.

معلم:

وجود تکالیف در دفترهای دانش آموزان را بررسی می کند.

از دانش‌آموزان کلاس دعوت می‌کند به این سؤال پاسخ دهند: «تکمیل تکلیف چه مشکلاتی ایجاد کرد؟»

پیشنهاد می کند راه حل خود را با راه حل روی تخته بررسی کنید.

از دانش‌آموزان در تابلو دعوت می‌کند تا هنگام بررسی با استفاده از نمونه‌ها، به سؤالاتی که دانش‌آموزان در محل دارند پاسخ دهند.

نظر در مورد پاسخ دانش آموزان، تکمیل پاسخ، و توضیح (در صورت لزوم).

اتمام تکالیف را خلاصه می کند.

دانش آموزان:

حاضر مشق شببرای معلم.

آنها دفترهای یادداشت (دو به دو) را رد و بدل می کنند و با یکدیگر چک می کنند.

به سوالات معلم پاسخ دهید.

محلول خود را با نمونه بررسی کنید.

آنها به عنوان مخالف عمل می کنند، اضافه می کنند، اصلاح می کنند، اگر روش حل در دفترچه با روش روی تخته متفاوت است، روش دیگری را یادداشت می کنند.

از دانش آموزان و معلم توضیحات لازم را بخواهید.

راه هایی برای تأیید نتایج به دست آمده بیابید.

در ارزیابی کیفیت وظایف انجام شده در هیئت مدیره شرکت کنید.

4. به روز رسانی دانش و مهارت های پایه دانش آموزان

1. کار شفاهی

معلم:

به سوالات پاسخ دهید:

1. فاکتورگیری چند جمله ای به چه معناست؟
2. چند روش تجزیه را می شناسید؟
3. نام آن ها چیست؟
4. کدام رایج ترین است؟

2. چند جمله ای ها روی تخته نوشته می شوند:

1. 14 x 3 - 14 x 5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2хy – y 2

4. x 3 - 3x - 2

معلماز دانش آموزان دعوت می کند تا چند جمله ای های شماره 1-3 را عامل گذاری کنند:

• گزینه I – با اعمال یک عامل مشترک؛
• گزینه II - با استفاده از فرمول های ضرب مختصر.
• گزینه III - با روش گروه بندی.

از یک دانش آموز خواسته می شود که چند جمله ای شماره 4 را فاکتور کند (یک کار فردی با دشواری بیشتر، کار در قالب A 4 تکمیل می شود). سپس یک نمونه راه حل برای وظایف شماره 1-3 (انجام شده توسط معلم)، یک راه حل نمونه برای کار شماره 4 (انجام شده توسط دانش آموز) روی تخته ظاهر می شود.

3. گرم کنید

معلم دستورالعمل هایی را برای فاکتورگیری و انتخاب حرف مرتبط با پاسخ صحیح می دهد. با اضافه کردن حروف، نام بزرگترین ریاضیدان قرن هفدهم را به دست می آورید که سهم بزرگی در توسعه نظریه حل معادلات داشته است. (دکارت)

5. بیانیه درس تربیت بدنی برای دانش آموزان خوانده می شود. اگر گفته درست است، دانش آموزان باید دست خود را بالا ببرند و اگر نادرست است، پشت میز خود بنشینند. (پیوست 2)

6. آموزش نحوه انجام وظایف کارگاه.

بر تخته سفید تعاملییا یک پوستر جداگانه با یک جدول با دستورالعمل.

هنگام فاکتورگیری یک چند جمله ای، ترتیب زیر باید رعایت شود:

1. فاکتور مشترک را خارج از پرانتز قرار دهید (در صورت وجود).

2. از فرمول های ضرب مختصر (در صورت امکان) استفاده کنید.

3. روش گروه بندی را اعمال کنید.

4. نتیجه حاصل از ضرب را بررسی کنید.

معلم:

دستورالعمل ها را به دانش آموزان ارائه می دهد (روی مرحله 4 تمرکز می کند).

انجام تکالیف کارگاهی را به صورت گروهی ارائه می دهد.

کاربرگ ها را بین گروه ها توزیع می کند، ورق هایی با کاغذ کربن برای تهیه تکالیف در دفترچه ها و بررسی بعدی آنها.

زمان کار گروهی و کار در دفترچه را تعیین می کند.

دانش آموزان:

دستورالعملها را بخوان.

معلمان با دقت گوش می دهند.

نشستن به صورت گروهی (4-5 نفر).

آماده شدن برای انجام کارهای عملی

7. انجام کارها به صورت گروهی

کاربرگ هایی با وظایف برای گروه ها. (پیوست 3)

معلم:

مدیریت می کند کار مستقلدر گروه.

توانایی دانش آموزان برای کار مستقل، توانایی کار گروهی و کیفیت طراحی کاربرگ را ارزیابی می کند.

دانش آموزان:

تکالیف را روی صفحات کاغذ کربن موجود در کتاب کار کامل کنید.

در مورد راه های تصمیم گیری منطقی بحث کنید.

یک کاربرگ از گروه تهیه کنید.

برای دفاع از کار تکمیل شده آماده شوید.

8. بررسی و بحث در مورد اتمام کار

پاسخ ها روی تابلوی تعاملی

معلم:

نسخه هایی از تصمیمات را جمع آوری می کند.

گزارش دهی دانش آموز را روی کاربرگ ها مدیریت می کند.

ارزیابی خود از کار شما، مقایسه پاسخ‌های دفترچه‌ها، کاربرگ‌ها و نمونه‌های روی تخته را ارائه می‌دهد.

ضوابط تعیین نمره برای کار و مشارکت در اجرای آن را به من یادآوری می کند.

در مورد تصمیم گیری یا مسائل خودارزیابی در حال ظهور توضیحاتی ارائه می کند.

اولین نتایج کار عملی و تأمل را خلاصه می کند.

درس را (به همراه دانش آموزان) خلاصه می کند.

می گوید که نتایج نهایی پس از بررسی نسخه های کار تکمیل شده توسط دانش آموزان خلاصه می شود.

دانش آموزان:

کپی ها را به معلم بدهید.

برگه ها به تخته متصل می شوند.

گزارش اتمام کار.

خودآزمایی و خودارزیابی عملکرد کاری را انجام دهید.

9. تنظیم تکالیف

تکلیف روی تابلو نوشته شده است: شماره 1016 (الف، ب); 1017 (c,d); شماره 1021 (g,d,f)*

معلم:

پیشنهاد می کند قسمت اجباری تکلیف را برای خانه یادداشت کند.

در مورد اجرای آن نظر می دهد.

از دانش آموزان آماده تر دعوت می کند تا شماره 1021 (g, e, f) * را یادداشت کنند.

به شما می گوید برای درس مرور بعدی آماده شوید