چند وجهی که در یک کره حک شده است. ریاضیات. دوره کامل قابل تکرار است. درس باز هندسه

شرح ارائه توسط اسلایدهای جداگانه:

1 اسلاید

توضیحات اسلاید:

شهرداری خودمختار موسسه تحصیلیمیانگین مدرسه جامع № 45 ابزاربرای دانش آموزان کلاس یازدهم جمع آوری شده توسط معلم ریاضی بالاترین رده، النا ویاچسلاوونا گاوینسکایا. کالینینگراد 2016-2017 سال تحصیلی

2 اسلاید

توضیحات اسلاید:

چند وجهی حک شده در یک کره. موضوع شبیه به درس پلان سنجی است که گفته شد می توان دایره ها را در اطراف مثلث ها و n-گون های منظم توصیف کرد. آنالوگ یک دایره در فضا یک کره است و یک چند ضلعی یک چند وجهی است. در این حالت آنالوگ مثلث یک منشور مثلثی و آنالوگ چندضلعی های منتظم چندوجهی منتظم است. تعریف. به چندوجهی گفته می شود که در یک کره حک شده است که تمام رئوس آن متعلق به این کره باشد. گفته می شود که خود کره در اطراف چند وجهی محصور شده است.

3 اسلاید

توضیحات اسلاید:

"یک کره را می توان در اطراف یک منشور مستقیم توصیف کرد اگر و فقط اگر بتوان دایره ای را در اطراف پایه این منشور توصیف کرد." اثبات: اگر یک کره دور منشور مستقیم محصور شده باشد، تمام رئوس قاعده منشور متعلق به کره و در نتیجه به دایره است که خط تقاطع کره و صفحه قاعده است. برعکس، اجازه دهید دایره ای با مرکز در نقطه O1 و شعاع r نزدیک پایه یک منشور مستقیم توصیف شود. سپس در اطراف پایه دوم منشور، دایره ای با مرکز در نقطه O2 و شعاع یکسان را می توان توصیف کرد. بگذارید O1O2=d، O – وسط O1O2. سپس کره ای با مرکز O و شعاع R=، کره ی محصور شده مورد نظر خواهد بود. قضیه 1.

4 اسلاید

توضیحات اسلاید:

"یک کره را می توان در اطراف هر هرم مثلثی توصیف کرد، و فقط یکی." اثبات اجازه دهید به اثباتی مشابه آن از درس پلان سنجی بپردازیم. اول از همه، باید مکان نقاطی را که از دو رأس مثلث فاصله دارند، پیدا کنیم. به عنوان مثال، A و B. چنین مکان هندسی، نیمساز عمود بر قطعه AB است. سپس مکان نقاط مساوی از A و C را پیدا می کنیم. این عمود بر قطعه AC است. نقطه تلاقی این عمودهای دوبخشی مرکز O مورد نظر دایره ای خواهد بود که اطراف مثلث ABC محصور شده است. قضیه 2.

5 اسلاید

توضیحات اسلاید:

حال بیایید وضعیت فضایی را در نظر بگیریم و ساخت و سازهای مشابهی انجام دهیم. بگذارید یک هرم مثلثی DABC داده شود و نقاط A، B و C صفحه α را مشخص کنند. مکان هندسی نقاطی که از نقاط A، B و C مساوی فاصله دارند، یک خط مستقیم a است، عمود بر صفحه α و از مرکز O1 دایره می گذرد که به دور مثلث ABC محصور شده است. مکان هندسی نقاطی که از نقاط A و D مساوی فاصله دارند صفحه β است، عمود بر قطعه AD و از رأس آن می گذرد - نقطه E. صفحه β و خط مستقیم a در نقطه O قطع می شوند که مرکز مورد نظر آن خواهد بود. کره ای که در اطراف هرم مثلثی DABC احاطه شده است. در واقع، به دلیل ساختار، نقطه O به همان اندازه از تمام رئوس هرم DABC فاصله دارد. علاوه بر این، چنین نقطه ای منحصر به فرد خواهد بود، زیرا خط مستقیم و صفحه متقاطع دارای یک نقطه مشترک واحد هستند.

6 اسلاید

توضیحات اسلاید:

توپ در مورد هرم منظم. توپ را می توان در اطراف هر هرم معمولی توصیف کرد. مرکز توپ روی خط مستقیمی قرار دارد که از ارتفاع هرم می گذرد و منطبق بر مرکز دایره ای است که اطراف یک مثلث متساوی الساقین است که ضلع آن لبه جانبی هرم است و ارتفاع آن به اندازه ارتفاع است. هرم شعاع توپ برابر با شعاع این دایره است. شعاع توپ R، ارتفاع هرم H و شعاع دایره r که در نزدیکی قاعده هرم توصیف شده است با این رابطه مرتبط هستند: R2=(H-R)2+r2 این رابطه در موردی نیز معتبر است که اچ< R.

7 اسلاید

توضیحات اسلاید:

مشکل در مورد یک توپ است که در اطراف یک هرم معمولی قرار دارد. کره ای با مرکز در نقطه O و شعاع 9√3 متر در نزدیکی هرم منظم PABC توصیف شده است. خط مستقیم PO که شامل ارتفاع هرم است، قاعده هرم را در نقطه H قطع می کند به طوری که PH:OH = 2:1 است. اگر هر یک از لبه های کناری آن با صفحه قاعده زاویه 45 درجه تشکیل دهد، حجم هرم را بیابید.

8 اسلاید

توضیحات اسلاید:

داده شده: PABC - هرم منظم. توپ (O;R=9√3 متر) در نزدیکی هرم توصیف شده است. RO∩(ABC)=N; PH:OH=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45o. یافتن: Vpir. راه حل: از آنجایی که RN:OH=2:1 (بر اساس شرط)، سپس RN:OR=2:3 RN:9√3 =2:3 RN=6√3 (m) 2. RN _ (ABC) (به عنوان ارتفاع از هرم) => => RN _ AN (طبق تعریف) => RAS - مستطیل شکل. 3. در RAS:

اسلاید 9

توضیحات اسلاید:

4. از آنجا که طبق شرط RABC یک هرم منتظم است و PH ارتفاع آن است، بنابر تعریف ABC صحیح است. H مرکز دایره‌ای است که در اطراف ABC است که به معنی 5 است. پاسخ: 486 متر مکعب.

10 اسلاید

توضیحات اسلاید:

کره ای که دور یک منشور محصور شده است. یک کره را می توان در اطراف یک منشور توصیف کرد که مستقیم باشد و پایه های آن چند ضلعی باشد که در یک دایره محاط شده است. مرکز توپ در نقطه میانی ارتفاع منشور قرار دارد که مراکز دایره‌هایی را که در اطراف پایه‌های منشور توصیف شده‌اند به هم متصل می‌کند. شعاع توپ R، ارتفاع منشور H و شعاع دایره r که در اطراف قاعده منشور توضیح داده شده است با این رابطه مرتبط هستند:

11 اسلاید

توضیحات اسلاید:

مشکل در مورد یک کره است که به دور یک منشور محصور شده است. یک منشور منظم ABCDA1B1C1D1 با ارتفاع 6 سانتی متر در یک کره حک شده است (بنابراین؛ R = 5 سانتی متر). سطح مقطع منشور را با صفحه ای موازی با صفحات پایه و عبور از نقطه O - مرکز توپ پیدا کنید.

12 اسلاید

توضیحات اسلاید:

داده شده: ABCDA1B1C1D1 - منشور منظم. یک توپ (O;R=5 سانتی متر) در اطراف یک منشور توصیف شده است. ارتفاع منشور h 6 سانتی متر است. α║(ABC)؛ O با α. پیدا کنید: Ssec α، راه‌حل: از آنجایی که بر اساس شرط، منشور در یک توپ محاط می‌شود، پس (r شعاع دایره‌ای است که اطراف قاعده منشور احاطه شده است) اما با شرط، یک منشور منظم داده می‌شود، به این معنی

اسلاید 13

توضیحات اسلاید:

الف) (АВВ1) ║(СС1D1) (با خاصیت منشور مستقیم) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (با خاصیت صفحات موازی) Ho (BCC1) ║ (ADD1) (با خاصیت منشور مستقیم) => KM=NR (با خاصیت صفحات موازی). این بدان معنی است که KMNR متوازی الاضلاع است (با ویژگی) => MN=KR و MN ║ KR ب) α ║ (ABC) (با ساخت) α∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (با توجه به خاصیت صفحات موازی) 2. 3. از آنجایی که طبق شرط ABCDA1B1C1D1 یک منشور منتظم است و مقطع به صفحه α موازی با قاعده ها است، پس شکل تشکیل شده از مقطع مربع است. بیایید آن را ثابت کنیم: => => =>

اسلاید 14

توضیحات اسلاید:

KMH= ABC=90o (به عنوان زوایایی با اضلاع متناسب با هم تراز) به این معنی که لوزی KMNR یک مربع است (طبق تعریف) که باید ثابت شود. علاوه بر این، مربع های KMNR و ABCD برابر هستند. بنابراین، از نظر ویژگی مساحت آنها برابر است، و بنابراین، مقطع α.=SABCD=32 (cm2) پاسخ: 32 cm2. ج) KM ║ AB (اثبات شده) (BCC1) ║(ADD1) (با خاصیت منشور مستقیم) => KM=AB=4√2 سانتی متر (با خاصیت صفحات موازی). د) به طور مشابه، ثابت شده است که MN ║ BC و MN = BC = 4√2 سانتی متر، این بدان معنی است که MN = KM => متوازی الاضلاع MNRK یک لوزی است (طبق تعریف). ه) MN ║ قبل از میلاد (اثبات شده) KM ║ AB (اثبات شده) => =>

15 اسلاید

توضیحات اسلاید:

استوانه ای که دور یک منشور محصور شده است. یک استوانه را می توان در اطراف یک منشور مستقیم توصیف کرد اگر قاعده آن چند ضلعی باشد که در یک دایره محاط شده است. شعاع استوانه R برابر با شعاع این دایره است. محور استوانه بر روی همان خط مستقیم با ارتفاع H منشور قرار دارد و مراکز دایره هایی را که در نزدیکی پایه های منشور توضیح داده شده است به هم وصل می کند. در مورد منشور چهار گوش (اگر قاعده مستطیل باشد)، محور استوانه از نقطه تلاقی قطرهای پایه منشور می گذرد.

16 اسلاید

توضیحات اسلاید:

مشکل در مورد استوانه ای است که دور یک منشور محصور شده است. منشور مستقیم ABCDA1B1C1D1 که قاعده آن مستطیل است در استوانه ای حک شده است که ژنراتور آن 7 سانتی متر و شعاع آن 3 سانتی متر است. در صورت وجود زاویه بین قطرها، مساحت سطح جانبی منشور را بیابید. ABCD 60 درجه است. ОО1 - محور سیلندر.

اسلاید 17

توضیحات اسلاید:

داده شده: ABCDA1B1C1D1 - منشور مستقیم. سیلندر در نزدیکی منشور توصیف شده است. ژنراتیکس سیلندر AA1=7 سانتی متر; شعاع پایه سیلندر 3 سانتی متر است. زاویه بین قطرهای ABCD 60 درجه است. ОО1 - محور سیلندر. پیدا کنید: منشور جانبی. راه حل: از آنجایی که طبق شرط یک منشور چهار ضلعی که در قاعده آن مستطیل است در گوی حک شده است، پس با توجه به خاصیت AC∩ВD=O. یعنی AOB=60o و AO=OB=3cm. 2. در AOB با استفاده از قضیه کسینوس.

چندوجهی محاط شده در یک کره یک چندوجهی محدب را محاط می گویند اگر تمام رئوس آن بر روی کره ای باشد. این کره برای یک چندوجهی مشخص توصیف شده نامیده می شود. مرکز این کره یک نقطه از رئوس چند وجهی فاصله دارد. نقطه تلاقی صفحاتی است که هر یک از وسط لبه چندوجهی عمود بر آن می گذرد.

فرمول یافتن شعاع یک کره محصور شده فرض کنید SABC هرمی با لبه های جانبی مساوی باشد، h ارتفاع آن، R شعاع دایره ای است که اطراف قاعده محصور شده است. بیایید شعاع کره محدود شده را پیدا کنیم. به شباهت مثلث های قائم الزاویه SKO1 و SAO توجه کنید. سپس SO 1 /SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO اما KS = SA/2. سپس R 1 = SA 2 /(2SO); R 1 = (h 2 + R 2) / (2h); R 1 = b 2 / (2h)، که در آن b یک لبه جانبی است.

یک متوازی الاضلاع محاط شده در یک کره قضیه: یک کره را می توان در اطراف یک متوازی الاضلاع توصیف کرد اگر و فقط اگر متوازی الاضلاع مستطیل شکل باشد، زیرا در در این موردمستقیم است و در اطراف قاعده آن - متوازی الاضلاع - یک دایره قابل توصیف است (از آنجایی که قاعده مستطیل است).

مسئله 1 شعاع کره ای را که اطراف یک چهار ضلعی منظم با یال a است را بیابید. راه حل: SO 1 = SA 2 / (2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 /(2 a) = a /4. پاسخ: SO 1 = a /4. اجازه دهید ابتدا تصویری از مرکز یک توپ محدود شده با استفاده از تصویر یک چهار وجهی منظم SABC بسازیم. بیایید دو واژه SD و AD (SD = AD) را ترسیم کنیم. در مثلث متساوی الساقین ASD، هر نقطه از DN میانه از انتهای قطعه AS فاصله دارد. بنابراین نقطه O 1 محل تقاطع ارتفاع SO و قطعه DN است. با استفاده از فرمول R 1 = b 2 / (2h)، به دست می آوریم:

مشکل 2 راه حل: با استفاده از فرمول R 1 =b 2 /(2h) برای یافتن شعاع توپ محدود شده، SC و SO را پیدا می کنیم. SC = a/(2sin(α /2)); SO 2 = (a/(2sin(α /2)) 2 - (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) - 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 ( α /2)) · (1 – 2sin 2 (α /2)) = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · cos α در یک هرم چهار گوش منتظم، ضلع قاعده برابر با a است، و زاویه صفحه در راس برابر با α است. شعاع توپ محدود شده را پیدا کنید. =a/(4sin(α /2) ·). پاسخ: R 1 = a/(4sin(α /2) ·).

چند ضلعی محصور در اطراف یک کره یک چندوجهی محدب را محدود می گویند اگر تمام صورت های آن به کره ای برخورد کنند. این کره برای یک چندوجهی معین، محاطی نامیده می شود. مرکز یک کره محاطی نقطه ای است که از تمام وجوه چند وجهی فاصله دارد.

موقعیت مرکز یک کره محاطی مفهوم صفحه نیمساز با زاویه دو وجهی. صفحه نیمساز صفحه ای است که یک زاویه دو وجهی را به دو زاویه دو وجهی مساوی تقسیم می کند. هر نقطه از این صفحه با وجوه زاویه دو وجهی فاصله دارد. در حالت کلی، مرکز کره ای که در یک چندوجهی محاط شده است، نقطه تلاقی صفحات نیمساز همه زوایای دو وجهی چند وجهی است. همیشه در داخل چند وجهی قرار دارد.

هرمی که دور یک توپ محصور شده است به توپی گفته می شود که در یک هرم (خودسرانه) حک شده باشد که تمام وجوه هرم (اعم از جانبی و پایه) را لمس کند. قضیه: اگر وجه های جانبی به یک اندازه متمایل به قاعده باشند، می توان توپی را در چنین هرمی حک کرد. از آنجایی که زوایای دو وجهی در قاعده مساوی هستند، نیمه های آنها نیز برابر هستند و نیمسازها در یک نقطه در ارتفاع هرم همدیگر را قطع می کنند. این نقطه متعلق به تمام صفحات نیمساز در قاعده هرم است و از تمام وجوه هرم - مرکز توپ محاطی - فاصله دارد.

فرمول برای یافتن شعاع یک کره محاطی فرض کنید SABC هرمی با لبه های جانبی مساوی باشد، h ارتفاع آن، r شعاع دایره محاطی است. بیایید شعاع کره محدود شده را پیدا کنیم. اجازه دهید SO = h، OH = r، O 1 O = r 1. سپس، با خاصیت نیمساز زاویه داخلی یک مثلث، O 1 O/OH = O 1 S/SH. r 1 /r = (h – r 1)/ ; r 1 · = rh – rr 1 ; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). پاسخ: r 1 = rh / (+ r).

یک متوازی الاضلاع و یک مکعب توصیف شده در اطراف یک کره قضیه: یک کره را می توان در یک متوازی الاضلاع حک کرد اگر و فقط در صورتی که متوازی الاضلاع صاف و قاعده آن لوزی باشد و ارتفاع این لوزی به قطر کره محاطی است که: به نوبه خود برابر با ارتفاع متوازی الاضلاع است. (از بین تمام متوازی الاضلاع، فقط یک دایره را می توان در یک لوزی حک کرد) قضیه: یک کره همیشه می تواند در یک مکعب محاط شود. مرکز این کره نقطه تلاقی قطرهای مکعب است و شعاع آن برابر با نصف طول لبه مکعب است.

ترکیب شکل ها منشورهای محاطی و محصور منشوری است که دور استوانه محصور شده است منشوری است که صفحات پایه آن صفحات پایه استوانه هستند و وجوه جانبی آن استوانه را لمس می کنند. منشور محاط شده در استوانه منشوری است که صفحات پایه آن صفحات پایه های استوانه و لبه های جانبی آن مولد استوانه هستند. صفحه مماس بر استوانه صفحه ای است که از ژنراتیکس استوانه می گذرد و بر صفحه بخش محوری حاوی این ژنراتیکس عمود است.

اهرام محاطی و محاطی هرم محاط شده در مخروط هرمی است که قاعده آن چند ضلعی است که در دایره قاعده مخروط محاط شده است و راس آن راس مخروط است. لبه های جانبی هرم که در یک مخروط حک شده است، مخروط را تشکیل می دهد. هرمی که به دور مخروط احاطه شده است، هرمی است که قاعده آن چند ضلعی است که اطراف قاعده مخروط احاطه شده است و راس آن با راس مخروط منطبق است. صفحات جانبی هرم توصیف شده بر صفحه مخروط مماس هستند. صفحه مماس بر مخروط صفحه ای است که از ژنراتیکس می گذرد و بر صفحه بخش محوری حاوی این ژنراتیکس عمود است.

انواع دیگر پیکربندی ها اگر دایره یکی از پایه های آن تمام وجوه جانبی هرم را لمس کند و قاعده دیگر آن روی قاعده هرم باشد، در یک هرم حک می شود. یک مخروط در یک منشور محاط می شود اگر راس آن روی قاعده بالایی منشور باشد و قاعده آن دایره ای است که در یک چند ضلعی حک شده است - قاعده پایینی منشور. اگر تمام رئوس قاعده فوقانی منشور روی سطح جانبی مخروط و قاعده پایینی منشور روی قاعده مخروط باشد، منشور در مخروط محاط می شود.

مسئله 1 در هرم چهار گوش منتظم، ضلع قاعده برابر با a و زاویه صفحه در رأس برابر با α است. شعاع توپ محاط شده در هرم را پیدا کنید. راه حل: اجازه دهید اضلاع SOK را بر حسب a و α بیان کنیم. خوب = a/2. SK = KC cot(α /2); SK = (a · ctg(α /2))/2. SO = = (a/2) با استفاده از فرمول r 1 = rh/(+ r)، شعاع توپ محاط شده را پیدا می کنیم: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1) = (a/2)= = (a/2) پاسخ: r 1 = (a/2)

نتیجه گیری مبحث "چند وجهی" توسط دانش آموزان پایه های 10 و 11 مطالعه می شود، اما در برنامه تحصیلیمطالب بسیار کمی در مورد موضوع "چند وجهی محاط شده و محدود" وجود دارد، اگرچه بسیار است علاقه بزرگدانش آموزان، از آنجایی که مطالعه خواص چند وجهی به توسعه انتزاعی و تفکر منطقی، که بعداً در تحصیل، کار، زندگی برای ما مفید خواهد بود. در حین کار بر روی این مقاله، ما تمام مطالب نظری را در مورد موضوع "چند وجهی محاطی شده و محصور" مطالعه کردیم، ترکیبات احتمالی شکل ها را بررسی کردیم و یاد گرفتیم که همه مطالب مورد مطالعه را در عمل به کار ببریم. مسائل مربوط به ترکیب بدن ها سخت ترین سوال درس استریومتری پایه یازدهم است. اما اکنون می توانیم با اطمینان بگوییم که برای حل چنین مشکلاتی مشکلی نخواهیم داشت، زیرا در زمان ما کار تحقیقاتیما خواص چندوجهی محاط شده و محصور را ایجاد و اثبات کردیم. اغلب اوقات، دانش‌آموزان هنگام ساختن نقاشی برای یک مشکل در آن با مشکل مواجه می‌شوند این موضوع. اما با آموختن این نکته که برای حل مسائل مربوط به ترکیب یک توپ با چند وجهی، تصویر توپ گاهی ضروری نیست و کافی است مرکز و شعاع آن را نشان دهیم، می توانیم مطمئن باشیم که این مشکلات را نخواهیم داشت. به لطف این مقاله، ما توانستیم این موضوع دشوار اما بسیار جذاب را درک کنیم. امیدواریم اکنون در به کارگیری مطالب مورد مطالعه در عمل مشکلی نداشته باشیم.

چندوجهی محاط شده در یک کره به چندوجهی گفته می شود که در یک کره محاط شود اگر همه رئوس آن متعلق به این کره باشد. گفته می شود که خود کره در اطراف چند وجهی محصور شده است. قضیه. یک کره را می توان در اطراف یک هرم توصیف کرد اگر و فقط اگر بتوان دایره ای را در اطراف قاعده این هرم توصیف کرد.

قضیه چندوجهی در یک کره حک شده است. یک کره را می توان در نزدیکی یک منشور مستقیم توصیف کرد اگر و فقط اگر بتوان یک دایره را در نزدیکی قاعده این منشور توصیف کرد. مرکز آن نقطه O خواهد بود، که نقطه وسط قطعه ای است که مراکز دایره های توصیف شده در نزدیکی پایه های منشور را به هم متصل می کند. شعاع کره R با فرمول محاسبه می شود که در آن h ارتفاع منشور است، r شعاع دایره ای است که اطراف قاعده منشور احاطه شده است.

تمرین 3 قاعده هرم یک مثلث منتظم است که ضلع آن برابر با 3 است. یکی از لبه های کناری برابر با 2 و عمود بر صفحه قاعده است. شعاع کره محدود شده را بیابید. راه حل. اجازه دهید O مرکز کره محصور شده، Q مرکز دایره محصور در اطراف پایه، E نقطه وسط SC باشد. چهار ضلعی CEOQ مستطیلی است که در آن CE = 1، CQ = بنابراین، R=OC=2. پاسخ: R = 2.

تمرین 4 شکل هرم SABC را نشان می دهد که لبه SC برابر 2 و عمود بر صفحه قاعده ABC است، زاویه ACB برابر 90 o، AC = BC = 1 است. مرکز کره را بسازید. در اطراف این هرم محصور شده و شعاع آن را بیابید. راه حل. از وسط D لبه AB خطی موازی با SC رسم می کنیم. از وسط E لبه SC یک خط مستقیم به موازات CD رسم می کنیم. نقطه تقاطع آنها O مرکز مورد نظر کره محدود شده خواهد بود. در مثلث قائم الزاویه OCD داریم: OD = CD = با قضیه فیثاغورث، پیدا می کنیم

تمرین 5 شعاع کره ای را که اطراف یک هرم مثلثی منتظم است که لبه های کناری آن برابر با 1 و زوایای صفحه در راس آن برابر 90 درجه است را بیابید. راه حل. در چهار وجهی SABC داریم: AB = AE = SE = در مثلث قائم الزاویه OAE داریم: با حل این معادله برای R، پیدا می کنیم

تمرین 4 شعاع کره ای را بیابید که اطراف یک منشور مثلثی قائم الزاویه است که در قاعده آن راست گوشهبا پاهای برابر 1 و ارتفاع منشور برابر با 2. پاسخ: حل. شعاع کره برابر است با نصف مورب A 1 C مستطیل ACC 1 A 1. داریم: AA 1 = 2، AC = بنابراین، R =

تمرین شعاع کره ای را که پیرامون یک هرم منتظم 6 ضلعی احاطه شده است را بیابید که لبه های آن برابر با 1 و لبه های کناری آن برابر با 2 است. راه حل. مثلث SAD با ضلع 2 متساوی الاضلاع است. از این رو،

تمرین شعاع کره ای که در اطراف واحد ایکوسادرون احاطه شده است را بیابید. راه حل. در مستطیل ABCD، AB = CD = 1، BC و AD مورب های پنج ضلعی منتظم با اضلاع 1 هستند. بنابراین، BC = AD = با قضیه فیثاغورث، AC = شعاع مورد نیاز برابر است با نصف این قطر، i.e.

تمرین شعاع کره ای را که اطراف یک دوازده وجهی واحد است بیابید. راه حل. ABCDE یک پنج ضلعی منتظم با ضلع است در مستطیل ACGF AF = CG = 1، AC و FG قطرهای پنج ضلعی ABCDE هستند و بنابراین AC = FG = طبق قضیه فیثاغورث FC = شعاع مورد نیاز برابر با نصف این است. مورب، یعنی

تمرین شکل یک چهار ضلعی کوتاه را نشان می دهد که با بریدن گوشه های یک چهار وجهی منظم از اهرام مثلثی به دست می آید که وجه های آن عبارتند از شش ضلعی های منظمو مثلث ها شعاع کره ای را بیابید که اطراف یک چهار وجهی کوتاه شده است که لبه های آن برابر با 1 است.

تمرین شکل یک هشت ضلعی ناقص را نشان می دهد که با بریدن هرم های مثلثی از گوشه های هشت ضلعی به دست می آید که وجه های آن شش ضلعی و مثلث منظم است. شعاع کره ای را که پیرامون یک هشت ضلعی ناقص است که لبه های آن برابر با 1 است را بیابید. تمرین شکل شکل یک ایکو وجهی ناقص را نشان می دهد که با بریدن گوشه های ایکو وجهی اهرام پنج ضلعی، که وجه های آن شش ضلعی و پنج ضلعی منظم است، به دست آمده است. شعاع کره ای را که پیرامون یک ایکوساهدر کوتاه که لبه های آن برابر با 1 است، بیابید.
تمرین شکل دوازده ضلعی ناقص را نشان می دهد که با بریدن هرم های مثلثی از گوشه های دوازده وجهی به دست می آید که وجه های آن ده ضلعی و مثلث منظم است. شعاع کره ای را که اطراف یک دوازده وجهی ناقص است که لبه های آن برابر با 1 است را بیابید.
تمرین شعاع کره ای را که اطراف یک واحد مکعب ضلعی است را بیابید. راه حل. به یاد بیاورید که با بریدن هرم های مثلثی منظم با رئوس در رأس مکعب و لبه های جانبی برابر با نصف لبه مکعب، یک مکعب ضلعی از یک مکعب به دست می آید. اگر لبه هشت ضلعی برابر با 1 باشد، لبه مکعب مربوطه برابر است با شعاع کره محصور برابر با فاصله مرکز مکعب تا وسط لبه آن است، یعنی. برابر است با 1. پاسخ: R = 1.

معلم ریاضی دبیرستان №2,

شهر Taldykorgan N.Yu.Lozovich

درس عمومیدر هندسه

موضوع درس: «توپ. نوشته شده استوچند وجهی توصیف شده است"

اهداف درس:

- آموزشی -اطمینان حاصل شود که در طول درس از تکرار، تثبیت و تست تسلط دانش آموزان بر تعاریف توپو کره ها،و مفاهیم مرتبط ( مرکز، شعاع، قطر،نقاط کاملا متضاد، صفحات مماسو سر راست)؛مفاهیم چندوجهی محاطی و محاطی، آگاهی از قضایای برش یک توپ با صفحه (20.3)، در مورد تقارن یک توپ (20.4)، در صفحه مماس بر یک توپ (20.5)، در مورد تقاطع دو کره (20.6)، در مورد ساخت مرکز یک کره محصور (مقاطع) یک هرم و ساخت مرکز یک کره توصیف شده در اطراف یک منشور منظم.

به توسعه مهارت ها ادامه دهید تا به طور مستقل کل بدنه این دانش را در موقعیت های متغیر بر اساس مدل و موارد غیر استاندارد که نیاز به فعالیت خلاقانه دارند، به کار ببرند.

آموزشی -القای مسئولیت نتایج تحصیلی در دانش آموزان، پشتکار در دستیابی به اهداف، اعتماد به نفس، تمایل به دستیابی به نتایج عالی، حس زیبایی (زیبایی اشکال هندسی، راه حلی زیبا و زیبا برای یک مشکل).

در حال توسعه -رشد در دانش آموزان: توانایی تفکر خاص و تعمیم یافته، تخیل خلاق و فضایی. تداعی (توانایی تکیه بر ارتباطات مختلف: از طریق شباهت، قیاس، تضاد، علت و معلول)، توانایی بیان منطقی و پیوسته افکار خود، نیاز به یادگیری و توسعه، ایجاد شرایط در درس برای تجلی فعالیت های شناختی دانش آموزان

نوع درس

درس تست و تصحیح دانش و مهارت.

روش های تدریس

گفتگوی مقدماتی (تعیین هدف درس، ایجاد انگیزه در فعالیت های یادگیری دانش آموزان، ایجاد فضای عاطفی و اخلاقی لازم، آموزش دانش آموزان به سازماندهی کار در درس).

نظرسنجی پیشانی (آزمایش شفاهی دانش دانش آموزان از مفاهیم اساسی، قضایا، توانایی در توضیح ماهیت آنها و توجیه استدلال آنها).

کار مستقل سطح بندی شده، بر اساس اصل افزایش تدریجی سطح دانش و مهارت، یعنی. از سطح تولیدمثل به سطح تولیدی و خلاق. ماهیت روش کار مستقل فردی دانش آموزان است که دائماً توسط معلم کنترل و تشویق می شود.

وسایل کمک بصری آموزشی

مدل های استریومتریک اجسام هندسی، پوستر، نقاشی، فلش کارت برای فردی کار مستقل.

به روز رسانی

الف) دانش پایه

لازم است مفاهیم: مماس بر یک دایره، چند ضلعی های محدب محاط شده در یک دایره و محصور در اطراف یک دایره، محاسبه شعاع دایره های محاطی و محاط برای چند ضلعی های منظم از پلان سنجی. از درس پایه دهم، تعریف تقارن نسبت به صفحه، مفهوم اشکال متقارن نسبت به یک نقطه، یک محور (خط مستقیم) و یک صفحه.

ب) راه های شکل گیری انگیزه و برانگیختن علاقه.

که در گفتگوی مقدماتیاطمینان حاصل شود که دانش آموزان هدف را درک می کنند، علاقه شخصی خود را در دستیابی به آن تشخیص می دهند، معنای هدف را برای خود دانش آموزان آشکار می کنند، بر اهمیت این موضوع نه تنها به خودی خود، بلکه بر ماهیت تبلیغی آن برای مطالعه موضوع بعدی تأکید می کنند، و اشباع می کنند. درس با مواد با ماهیت احساسی (زیبایی اشکال هندسی، حباب های صابون، زمین و ماه)؛ بر ماهیت سطح کار مستقل تأکید کنید: از یک سو، این امر سطح علمی بالایی از مطالب مورد مطالعه را تضمین می کند و از سوی دیگر، در دسترس بودن، نکته دانش آموزان این است که هر یک از آنها حق حمایت آموزشی را دارند. "بیمه") برای شناسایی، تجزیه و تحلیل مشکلات واقعی یا بالقوه کودک، طراحی مشترک یک راه ممکن برای خروج از آنها. سیستم رتبه بندیارزیابی دانش یک انگیزه اضافی برای کودکان است.

ج) اشکال نظارت بر پیشرفت کار، کنترل متقابل. کنترل متقابل (تبادله دفترچه ها) پس از اتمام بخش اول کار مستقل سطح 1 (دانش آموز) - پاسخ کتبی دانش آموزان به سؤالات شفاهی معلم (دیکته ریاضی) توسط دانش آموزان انجام می شود.

پس از تبادل نوت بوک، تمام پاسخ های صحیح با صدای بلند بیان می شود (در صورت امکان از وسایل کمک بصری استفاده می شود: مدل های بدنه های استریومتریک، نقاشی ها، پوسترها). سپس بچه ها به ارزیابی رتبه بندی قسمت اول کار مستقل می پردازند: پاسخ کامل صحیح 1 امتیاز کسب می کند، اگر نظرات جزئی وجود داشته باشد، سپس - 0.5 امتیاز، در غیر این صورت - 0 امتیاز. تعداد امتیازات هر دانش آموز توسط معلم روی تابلو ثبت می شود. پس از آن بچه ها شروع به کار روی کارت های فردی می کنند. کسانی که وظایف سطح 1 را انجام داده اند و از معلم مجوز دریافت کرده اند به سمت تکمیل تکلیف سطح بعدی می روند. موفقیت در حل مشکل را نباید بدون توجه، تشویق و تمجید رها کرد. در عین حال، معلم کار اصلاحی انجام می دهد: با درک نقاط قوت و ضعف دانش آموز، به او کمک می کند تا بر نقاط قوت خود تکیه کند و او را تکمیل کند، جایی که دانش آموز، هر چقدر هم که تلاش کند، هنوز به طور عینی قادر به کنار آمدن با چیزی نیست.

هنگام بررسی عملکرد، از سیستم نشانه گذاری زیر استفاده می شود:

مشکل حل نشد؛

مشکل حل نشده است، اما برخی ملاحظات معقول در کار وجود دارد.

فقط پاسخ به مسئله ای داده می شود که یک پاسخ به وضوح کافی نیست.

± - مشکل حل شده است، اما راه حل حاوی حذفیات و نادرستی جزئی است.

مشکل به طور کامل حل شده است؛

+ - راه حل مشکل حاوی ایده های روشن غیر منتظره است.

پراهمیتبه برگه ای از حسابداری باز فعالیت های کودکان پیوست شده است که به عنوان کار مستقل تکمیل می شود.

این امر شرایط ضروری را برای ارزیابی دانش دانش آموزان در کلاس تضمین می کند - عینیت، کارایی، حسن نیت و شفافیت.

سطح می کنم

دیکته ریاضی.

1) من گزینه.تمام رئوس چند وجهی محاط شده در یک کره چه ویژگی دارند؟

II گزینه.هر یک از وجوه چند وجهی که در یک کره حک شده است چه ویژگی دارد؟

2) من گزینه.اگر بتوان یک کره را در اطراف چند وجهی توصیف کرد، پس چگونه می توان مرکز آن را ساخت؟

II گزینه. در بارهاز چند متوازی الاضلاع می توان برای توصیف یک کره استفاده کرد؟ پاسخ خود را توضیح دهید.

3) من گزینه.جایی که مرکز کره در مورد درست توضیح داده شده است پ- منشور کربن؟

II گزینه.مرکز کره در اطراف یک هرم منظم کجا توصیف شده است؟

4) من گزینه.چگونه می توان مرکز کره ای را که در یک هرم منظم n-ضلعی محاط شده است ساخت؟

// گزینه.آیا می توان یک کره را در هر منشور منظم قرار داد؟

گزینه I

سطح می کنم

شعاع توپ 6 سانتی متر است؛ صفحه ای از انتهای شعاع با زاویه 60 درجه نسبت به آن کشیده می شود. سطح مقطع را پیدا کنید.

سطح II

منشور چهار گوش منتظم در کره ای به شعاع 5 سانتی متر حک شده است لبه قاعده منشور 4 سانتی متر است ارتفاع منشور را بیابید.

سطح III

شعاع کره ای را که در چهار ضلعی منتظم با لبه 4 سانتی متر محاط شده است محاسبه کنید.

سطح IV

یک توپ به شعاع R در یک مخروط کوتاه حک شده است. زاویه تمایل ژنراتیکس به صفحه قاعده پایین مخروط برابر است با آ.شعاع پایه ها و ژنراتیکس مخروط بریده شده را بیابید.

گزینه دوم

سطح می کنم

کره ای که شعاع آن 10 سانتی متر است با صفحه ای به فاصله 6 سانتی متر از مرکز قطع می شود. سطح مقطع را پیدا کنید.

سطح II

شعاع کره ای را که اطراف یک مکعب با ضلع 4 سانتی متر است، پیدا کنید.

سطح III.

آ.شعاع کره محدود شده را بیابید.

سطح IV

یک توپ به شعاع R در یک مخروط کوتاه حک شده است. زاویه تمایل ژنراتیکس به صفحه قاعده پایین مخروط برابر با a است. شعاع پایه ها و ژنراتیکس مخروط بریده شده را بیابید.

گزینه Ш

سطح می کنم

صفحه ای عمود بر آن از وسط شعاع توپ کشیده می شود. مساحت دایره بزرگ چگونه با سطح مقطع حاصل ارتباط دارد؟

سطح II

یک منشور مثلثی منتظم در کره ای به شعاع 4 سانتی متر حک شده است لبه قاعده منشور 3 سانتی متر است ارتفاع منشور را بیابید.

سطح III

در هرم چهار گوش منتظم، ضلع قاعده 4 سانتی متر و زاویه صفحه در راس آن است. آ.شعاع کره محاطی شده را بیابید.

IV مرحله

یک هرم مثلثی منتظم با گوشه های مسطح در توپی به شعاع R حک شده است آدر بالای آن ارتفاع هرم را پیدا کنید.

IV گزینه

من مرحله

سه امتیاز روی سطح توپ داده می شود. فواصل خط مستقیم بین آنها 6 سانتی متر، 8 سانتی متر، 10 سانتی متر است.

II مرحله

منشور شش ضلعی منتظم در کره ای به شعاع 5 سانتی متر حک شده است لبه قاعده منشور 3 سانتی متر است ارتفاع تکنیک را بیابید.

سطح Ш

اگر ضلع قاعده 4 سانتی متر باشد و لبه جانبی به صفحه قاعده متمایل باشد، شعاع کره ای را که پیرامون یک هرم n ضلعی منتظم است، بیابید. آ.

سطح IV

یک هرم مثلثی منتظم با زوایای مسطح a در رأس آن در توپی به شعاع R محاط شده است. ارتفاع هرم را پیدا کنید.

خلاصه درس

نتایج کار مستقل اعلام و تجزیه و تحلیل می شود. دانش آموزانی که نیاز دارند کار اصلاحی، به دروس تصحیح دعوت می شوند.

تنظیم مشق شب(با نظرات لازم)، متشکل از قسمت های اجباری و متغیر.

قسمت الزامی: بندهای 187 - 193 - تکرار; شماره 44,45,39

قطعه متغیر شماره 35