تعداد زیادی اعداد. قوانین اعمال در اعداد مختلف مجموعه تحت عملیات رابطه بین مکمل های مجموعه باز و بسته بسته می شود

حال اجازه دهید برخی از خواص ویژه مجموعه های بسته و باز را ثابت کنیم.

قضیه 1. مجموع تعداد محدود یا قابل شمارش مجموعه های باز یک مجموعه باز است. حاصل ضرب تعداد محدودی از مجموعه های باز یک مجموعه باز است،

مجموع تعداد محدود یا قابل شمارش مجموعه های باز را در نظر بگیرید:

اگر P به حداقل یکی از Let Since یک مجموعه باز تعلق دارد، آنگاه مقداری -همسایگی P نیز متعلق است.همان -همسایگی P نیز به مجموع g تعلق دارد که از آن نتیجه می شود که g یک مجموعه باز است. حال اجازه دهید محصول نهایی را در نظر بگیریم

و P متعلق به g باشد. اجازه دهید همانطور که در بالا ذکر شد ثابت کنیم که برخی از همسایگی P نیز به g تعلق دارد. از آنجایی که P متعلق به g است، پس P متعلق به همه است. از آنجایی که - مجموعه های باز هستند، پس برای هر یک مقداری - همسایگی نقطه متعلق به وجود دارد. اگر عدد برابر با کوچکترین عددی در نظر گرفته شود که عدد آن متناهی است، همسایگی نقطه P متعلق به همه و در نتیجه به g خواهد بود. توجه داشته باشید که ما نمی توانیم ادعا کنیم که حاصل ضرب تعداد قابل شمارش مجموعه باز یک مجموعه باز است.

قضیه 2. مجموعه CF باز و مجموعه CO بسته است.

بیایید جمله اول را ثابت کنیم. فرض کنید P متعلق به CF باشد. لازم است ثابت شود که برخی از محله های P متعلق به CF است. این امر از این واقعیت ناشی می شود که اگر در هر همسایگی P، نقاط F وجود داشته باشد، نقطه P که به شرط تعلق ندارد، نقطه حدی برای F خواهد بود و به دلیل بسته بودن آن باید متعلق باشد، که منجر به یک تناقض.

قضیه 3. حاصل ضرب تعداد محدود یا قابل شمارش مجموعه های بسته یک مجموعه بسته است. مجموع تعداد محدودی از مجموعه های بسته یک مجموعه بسته است.

اجازه دهید برای مثال ثابت کنیم که مجموعه

بسته با رفتن به مجموعه های اضافی، می توانیم بنویسیم

با قضیه، مجموعه ها باز هستند، و با قضیه 1، مجموعه نیز باز است، و بنابراین مجموعه اضافی g بسته می شود. توجه داشته باشید که مجموع تعداد قابل شمارش مجموعه بسته نیز ممکن است یک مجموعه باز باشد.

قضیه 4. یک مجموعه یک مجموعه باز و یک مجموعه بسته است.

بررسی برابری های زیر آسان است:

از اینها، به موجب قضایای قبلی، قضیه 4 به دست می آید.

اگر هر نقطه g حداقل در یکی از مجموعه‌های سیستم M باشد، می‌گوییم که مجموعه g توسط سیستم M از مجموعه‌های معینی پوشیده می‌شود.

قضیه 5 (بورل). اگر یک مجموعه محدود بسته F توسط یک سیستم بی نهایت a از مجموعه های باز O پوشیده شده باشد، از این سیستم نامتناهی می توان تعداد محدودی از مجموعه های باز را استخراج کرد که F را نیز پوشش می دهند.

ما این قضیه را با معکوس اثبات می کنیم. اجازه دهید فرض کنیم که هیچ تعداد محدودی از مجموعه‌های باز از سیستم a را پوشش نمی‌دهد و این را به یک تناقض می‌رسانیم. از آنجایی که F یک مجموعه محدود است، پس تمام نقاط F به یک بازه دو بعدی محدود تعلق دارند. اجازه دهید این فاصله بسته را به چهار قسمت مساوی تقسیم کنیم و فواصل را به نصف تقسیم کنیم. هر یک از چهار بازه به دست آمده را برای بسته شدن در نظر می گیریم. آن نقاط F که روی یکی از این چهار بازه بسته قرار می گیرند، به موجب قضیه 2، یک مجموعه بسته را نشان می دهند، و حداقل یکی از این مجموعه های بسته را نمی توان با تعداد محدودی از مجموعه های باز از سیستم a پوشش داد. ما یکی از چهار بازه بسته ذکر شده در بالا را در جایی که این شرایط رخ می دهد، در نظر می گیریم. باز هم این فاصله را به چهار قسمت مساوی تقسیم می کنیم و به همان روش بالا استدلال می کنیم. بنابراین، سیستمی از فواصل تو در تو را به دست می آوریم که هر یک از آنها نمایانگر یک چهارم قسمت قبلی است، و شرایط زیر صدق می کند: مجموعه نقاط F متعلق به هر k را نمی توان با تعداد محدودی از مجموعه های باز از سیستم پوشش داد. آ. با افزایش بی نهایت در k، فواصل بی نهایت تا یک نقطه خاص P که متعلق به همه فواصل است، کوچک می شوند. از آنجایی که برای هر k دارای تعداد نامتناهی نقطه هستند، نقطه P یک نقطه محدود برای F است و بنابراین متعلق به F است، زیرا F یک مجموعه بسته است. بنابراین، نقطه P توسط مجموعه ای باز متعلق به سیستم a پوشانده می شود. برخی از همسایگی‌های نقطه P نیز به مجموعه باز O تعلق دارند. برای مقادیر به اندازه کافی بزرگ k، فواصل D در داخل همسایگی بالا نقطه P قرار می‌گیرند. بنابراین، اینها به طور کامل تنها با یک پوشش می‌شوند. مجموعه باز O از سیستم a، و این با این واقعیت که نقاط متعلق به هر k را نمی توان با تعداد محدودی از مجموعه های باز متعلق به a پوشاند، در تضاد است. بنابراین قضیه ثابت می شود.

قضیه 6. یک مجموعه باز را می توان به صورت مجموع تعداد قابل شمارش بازه های نیمه باز به صورت جفت بدون نقاط مشترک نشان داد.

به یاد بیاورید که ما یک بازه نیمه باز در یک صفحه را یک بازه متناهی می نامیم که با نابرابری های شکل تعریف می شود.

اجازه دهید روی صفحه شبکه ای از مربع ها با اضلاع موازی با محورها و با طول ضلع برابر با یک بکشیم. مجموعه این مربع ها یک مجموعه قابل شمارش است. از میان این مربع‌ها، اجازه دهید آن مربع‌هایی را انتخاب کنیم که همه نقاط آنها به یک مجموعه باز داده شده O تعلق دارند. تعداد این مربع‌ها ممکن است محدود یا قابل شمارش باشد، یا شاید اصلاً چنین مربع‌هایی وجود نداشته باشد. هر یک از مربع های باقیمانده شبکه را به چهار مربع یکسان تقسیم می کنیم و از مربع های تازه به دست آمده مجدداً مربع هایی را انتخاب می کنیم که همه نقاط آنها متعلق به O است. دوباره هر یک از مربع های باقی مانده را به چهار قسمت مساوی تقسیم می کنیم و مربع هایی را انتخاب می کنیم که تمام نقاط آنها وجود دارد. به O تعلق دارند و غیره. اجازه دهید نشان دهیم که هر نقطه P از مجموعه O در یکی از مربع های انتخاب شده قرار می گیرد که همه نقاط آن متعلق به O هستند. در واقع، d را فاصله مثبت P تا مرز O قرار دهید. وقتی به مربع هایی رسیدیم که قطر آنها کمتر از . دو به دو نقاط مشترک دارند و قضیه ثابت می شود. تعداد مربع های انتخاب شده لزوماً قابل شمارش خواهد بود، زیرا مجموع متناهی فواصل نیمه باز مشخصاً یک مجموعه باز نیست. با علامت DL آن مربع های نیمه باز را که در نتیجه ساخت فوق به دست آوردیم، می توانیم بنویسیم.

مجموعه قابل شمارش مجموعه ای نامتناهی است که عناصر آن را می توان با اعداد طبیعی شماره گذاری کرد یا مجموعه ای معادل مجموعه اعداد طبیعی است.

گاهی اوقات به مجموعه‌هایی با کاردینالیته مساوی به هر زیرمجموعه‌ای از مجموعه اعداد طبیعی، قابل شمارش می‌گویند، یعنی همه مجموعه‌های متناهی نیز قابل شمارش در نظر گرفته می‌شوند.

یک مجموعه قابل شمارش "کوچکترین" مجموعه بی نهایت است، یعنی در هر مجموعه نامتناهی یک زیر مجموعه قابل شمارش وجود دارد.

خواص:

1. هر زیر مجموعه ای از یک مجموعه قابل شمارش حداکثر قابل شمارش است.

2. اتحاد تعداد محدود یا قابل شمارش مجموعه های قابل شمارش قابل شمارش است.

3. حاصل ضرب مستقیم تعداد محدودی از مجموعه های قابل شمارش قابل شمارش است.

4. مجموعه تمام زیر مجموعه های محدود یک مجموعه قابل شمارش قابل شمارش است.

5. مجموعه همه زیر مجموعه های یک مجموعه قابل شمارش پیوسته است و به ویژه قابل شمارش نیست.

نمونه هایی از مجموعه های قابل شمارش:

اعداد اول اعداد طبیعی، اعداد صحیح، اعداد گویا، اعداد جبری، حلقه دوره، اعداد قابل محاسبه، اعداد حسابی.

نظریه اعداد حقیقی

(واقعی = واقعی - یادآوری برای ما بچه ها.)

مجموعه R شامل اعداد گویا و غیر منطقی است.

به اعداد حقیقی که گویا نیستند اعداد غیر منطقی می گویند

قضیه: هیچ عدد گویا نیست که مربع آن برابر با عدد 2 باشد

اعداد گویا: ½، 1/3، 0.5، 0.333.

اعداد غیر منطقی: ریشه 2=1.4142356…, π=3.1415926…

مجموعه R از اعداد حقیقی دارای ویژگی های زیر است:

1. مرتب شده است: برای هر دو عدد مختلف الف و بیکی از دو رابطه برقرار است آ یا a>b

2. مجموعه R متراکم است: بین دو عدد مختلف الف و بشامل بی نهایت اعداد حقیقی است ایکس،یعنی اعدادی که نابرابری a

یک ملک سوم نیز وجود دارد، اما بزرگ است، متاسفم

مجموعه های محدود. ویژگی های مرزهای بالا و پایین.

مجموعه محدود- مجموعه ای که به یک معنا دارای اندازه محدود است.

در بالا محدود شده استاگر عددی وجود داشته باشد که همه عناصر بیشتر از آن نباشد:

مجموعه اعداد حقیقی نامیده می شود در زیر محدود شده است، اگر عددی وجود دارد،

به طوری که همه عناصر حداقل عبارتند از:

مجموعه ای که از بالا و پایین محدود شده باشد نامیده می شود محدود.

مجموعه ای که محدود نباشد نامیده می شود نامحدود. همانطور که از تعریف بر می آید، یک مجموعه نامحدود است اگر و فقط اگر آن را داشته باشد از بالا محدود نمی شودیا در زیر محدود نمی شود.

دنباله اعداد حد سازگاری موضوع درباره دو پلیس

دنباله اعداددنباله ای از عناصر فضای اعداد است.

اجازه دهید مجموعه اعداد حقیقی یا مجموعه اعداد مختلط باشد. سپس دنباله عناصر مجموعه فراخوانی می شود دنباله عددی

مثال.

تابع یک دنباله نامتناهی از اعداد گویا است. عناصر این دنباله، که از اول شروع می شوند، شکل دارند.

محدودیت توالی- این شیئی است که اعضای دنباله با افزایش تعداد به آن نزدیک می شوند. به طور خاص، برای دنباله‌های اعداد، حد، عددی است در هر همسایگی که تمام عبارات دنباله‌ای که از نقطه‌ای معین شروع می‌شوند قرار دارند.

قضیه دو پلیس...

اگر تابع به گونه ای باشد که برای همه افراد در یک همسایگی نقطه، و توابع و دارای حد یکسانی در باشند، آنگاه یک حد تابع برابر با همان مقدار وجود دارد، یعنی

اجازه دهید دو مجموعه X و Y داده شوند، چه بر هم منطبق باشند یا نه.
تعریف. مجموعه ای از جفت های مرتب شده از عناصر که اولی متعلق به X و دومی متعلق به Y است نامیده می شود محصول دکارتی مجموعه هاو تعیین شده است.
مثال. اجازه دهید
,
، سپس
.
اگر
,
، سپس
.
مثال. اجازه دهید
، که در آن R مجموعه تمام اعداد حقیقی است. سپس
مجموعه تمام مختصات دکارتی نقاط در صفحه است.
مثال. اجازه دهید
یک خانواده معین از مجموعه ها است، پس حاصلضرب دکارتی این مجموعه ها مجموعه تمام رشته های مرتب شده به طول n است:
اگر پس از آن. عناصر از
بردارهای ردیفی به طول n هستند.
ساختارهای جبری با یک عملیات دوتایی
1 عملیات جبری دودویی
اجازه دهید
- یک مجموعه متناهی یا نامتناهی دلخواه.
تعریف. دودویی جبریعمل ( قانون داخلی ترکیب) بر
یک نقشه دلخواه اما ثابت از یک مربع دکارتی است
V
، یعنی
(1)
(2)
بنابراین، هر جفت سفارش داده شده است

. این حقیقت که
، به صورت نمادین به شکل نوشته شده است
.
به طور معمول، عملیات باینری با نمادها نشان داده می شود
و غیره. مانند قبل، عملیات
به معنای "جمع" و عمل "" به معنای "ضرب" است. آنها در شکل نشانه گذاری و احتمالاً در بدیهیات متفاوت هستند که از متن مشخص خواهد شد. اصطلاح
ما آن را یک محصول می نامیم، و
- مجموع عناصر و .
تعریف. یک دسته از
بسته شده تحت عمل  اگر برای هر .
مثال. مجموعه اعداد صحیح غیر منفی را در نظر بگیرید
. به عنوان عملیات باینری در
ما عملیات اضافه معمولی را در نظر خواهیم گرفت
و ضرب. سپس مجموعه ها
,
با توجه به این عملیات بسته خواهد شد.
اظهار نظر. همانطور که از تعریف بر می آید، مشخص کردن یک عملیات جبری * روی
، معادل بسته بودن مجموعه است
در رابطه با این عملیات اگر معلوم شود که زیاد است
تحت عمل معین * بسته نمی شود، در این صورت می گویند که عمل * جبری نیست. مثلاً عمل تفریق بر روی مجموعه ای از اعداد طبیعی جبری نیست.
اجازه دهید
و
دو دست.
تعریف. طبق قانون خارجی ترکیباتروی یک مجموعه نقشه برداری نامیده می شود
, (3)
آن ها قانونی که به موجب آن هر عنصر
و هر عنصر
عنصر مطابقت دارد
. این حقیقت که
، با نماد نشان داده می شود
یا
.
مثال. ضرب ماتریس
در هر عدد
یک قانون ترکیب خارجی در مجموعه است
. ضرب اعداد در
را می توان هم به عنوان یک قانون درونی ترکیب و هم به عنوان یک قانون خارجی در نظر گرفت.
توزیعیدر مورد قانون داخلی ترکیب * در
، اگر
قانون خارجی ترکیب نامیده می شود توزیعینسبت به قانون داخلی ترکیب * در Y، اگر
مثال. ضرب ماتریس
در هر عدد
توزیعی هم با توجه به جمع ماتریس ها و هم با توجه به جمع اعداد، زیرا،.
ویژگی های عملیات باینری

عملیات جبری دودویی  روی یک مجموعه
به نام:
اظهار نظر. ویژگی های جابجایی و تداعی مستقل هستند.
مثال. مجموعه اعداد صحیح را در نظر بگیرید. عملیات  روشن است طبق ضوابط تعیین خواهد شد
. بیایید اعداد را انتخاب کنیم
و عملیات را روی این اعداد انجام دهید:
آن ها عملیات  جابجایی است، اما نه تداعی کننده.
مثال. مجموعه را در نظر بگیرید
- ماتریس های مربع ابعاد
با ضرایب واقعی به عنوان یک عملیات باینری * در
ما عملیات ضرب ماتریس را در نظر خواهیم گرفت. اجازه دهید
، سپس
، با این حال
، یعنی عمل ضرب بر روی مجموعه ای از ماتریس های مربعی تداعی کننده است، اما جابجایی نیست.
تعریف. عنصر
تماس گرفت تنهایا خنثیدر مورد عملیات مورد نظر  در
، اگر
لما اگر – عنصر واحد مجموعه
، تحت عملیات * بسته شده است، سپس منحصر به فرد است.
اثبات . اجازه دهید – عنصر واحد مجموعه
، تحت عملیات بسته شده *. بیایید فرض کنیم که در
یک عنصر واحد دیگر وجود دارد
، سپس
، زیرا یک عنصر واحد است و
، زیرا - تک عنصر از این رو،
- تنها عنصر واحد مجموعه
.
تعریف. عنصر
تماس گرفت معکوسیا متقارنبه عنصر
، اگر
مثال. مجموعه اعداد صحیح را در نظر بگیرید با عملیات اضافه
. عنصر
، سپس عنصر متقارن
یک عنصر وجود خواهد داشت
. واقعا،.

مجموعه اعداد طبیعی شامل اعداد 1، 2، 3، 4، ... است که برای شمارش اجسام استفاده می شود. مجموعه تمام اعداد طبیعی معمولا با حرف نشان داده می شود ن :

ن = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .

قوانین جمع اعداد طبیعی

1. برای هر عدد طبیعی آو ببرابری درست است آ + ب = ب + آ . این خاصیت قانون جابجایی جمع نامیده می شود.

2. برای هر عدد طبیعی آ, ب, ج برابری درست است (آ + ب) + ج = آ + (ب + ج) . این خاصیت قانون ترکیبی (تداعی) جمع نامیده می شود.

قوانین ضرب اعداد طبیعی

3. برای هر عدد طبیعی آو ببرابری درست است ab = ba. این خاصیت قانون جابجایی ضرب نامیده می شود.

4. برای هر عدد طبیعی آ, ب, ج برابری درست است (آب)ج = آ(بج) . این ویژگی قانون ضرب ترکیبی (تداعی) نامیده می شود.

5. برای هر مقدار آ, ب, ج برابری درست است (آ + ب)ج = ac + قبل از میلاد مسیح . این ویژگی قانون توزیعی ضرب (نسبت به جمع) نامیده می شود.

6. برای هر مقدار آبرابری درست است آ*1 = آ. به این خاصیت قانون ضرب در یک می گویند.

حاصل جمع یا ضرب دو عدد طبیعی همیشه یک عدد طبیعی است. یا به بیان دیگر، این عملیات را می توان در حالی که در مجموعه اعداد طبیعی باقی می ماند انجام داد. این را نمی توان در مورد تفریق و تقسیم گفت: به عنوان مثال، از عدد 3 نمی توان با باقی ماندن در مجموعه اعداد طبیعی، عدد 7 را کم کرد. عدد 15 را نمی توان به طور کامل بر 4 تقسیم کرد.

علائم بخش پذیری اعداد طبیعی

تقسیم پذیری یک جمعاگر هر جمله بر یک عدد بخش پذیر باشد، مجموع آن بر آن عدد بخش پذیر است.

تقسیم پذیری یک محصولاگر در یک محصول حداقل یکی از ضرایب بر عدد معینی بخش پذیر باشد، آن حاصلضرب بر این عدد نیز بخش پذیر است.

این شرایط هم برای جمع و هم برای محصول کافی است اما ضروری نیست. به عنوان مثال، حاصلضرب 12*18 بر 36 بخش پذیر است، اگرچه نه 12 و نه 18 بر 36 بخش پذیر نیستند.

بخش پذیری بر 2 را تست کنید.برای اینکه یک عدد طبیعی بر 2 بخش پذیر باشد لازم و کافی است که آخرین رقم آن زوج باشد.

بخش پذیری بر 5 را تست کنید.برای اینکه یک عدد طبیعی بر 5 بخش پذیر باشد، کافی است که آخرین رقم آن 0 یا 5 باشد.

بخش پذیری بر 10 را تست کنید.برای اینکه یک عدد طبیعی بر 10 بخش پذیر باشد لازم و کافی است که رقم واحدها 0 باشد.

بخش پذیری بر 4 را تست کنید.برای اینکه یک عدد طبیعی حاوی حداقل سه رقم بر 4 بخش پذیر باشد، لازم و کافی است که آخرین ارقام 00، 04، 08 باشد یا عدد دو رقمی که از دو رقم آخر این عدد تشکیل می شود بر اعداد بخش پذیر باشد. 4.

بخش پذیری بر 2 (بر 9) را تست کنید.برای اینکه یک عدد طبیعی بر 3 (بر 9) بخش پذیر باشد، لازم و کافی است که مجموع ارقام آن بر 3 (بر 9) بخش پذیر باشد.

مجموعه اعداد صحیح

یک خط عددی با مبدا در نقطه در نظر بگیرید O. مختصات عدد صفر روی آن یک نقطه خواهد بود O. اعدادی که روی خط اعداد در یک جهت معین قرار دارند، اعداد مثبت نامیده می شوند. بگذارید یک نقطه روی خط عددی داده شود آبا مختصات 3. با عدد مثبت 3 مطابقت دارد. حالا اجازه دهید قطعه واحد را از نقطه سه بار رسم کنیم. O، در جهت مخالف با داده شده است. سپس به موضوع می رسیم آ"، متقارن به نقطه آنسبت به مبدا O. مختصات نقطه آ"یک عدد - 3 وجود خواهد داشت. این عدد برعکس عدد 3 است. اعدادی که روی خط اعداد در جهت مخالف عدد داده شده قرار دارند، اعداد منفی نامیده می شوند.

اعداد مخالف اعداد طبیعی مجموعه ای از اعداد را تشکیل می دهند N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

اگر مجموعه ها را با هم ترکیب کنیم ن , N" و ست تک تن {0} ، سپس یک مجموعه دریافت می کنیم ز همه اعداد صحیح:

ز = {0} ∪ ن ∪ N" .

برای اعداد صحیح، تمام قوانین جمع و ضرب در بالا درست است که برای اعداد طبیعی صادق است. علاوه بر این، قوانین تفریق زیر اضافه می شود:

آ - ب = آ + (- ب) ;

آ + (- آ) = 0 .

مجموعه اعداد گویا

برای عملی ساختن عمل تقسیم اعداد صحیح بر هر عددی که برابر با صفر نباشد، کسری معرفی می شود:

جایی که آو ب- اعداد صحیح و ببرابر با صفر نیست

اگر مجموعه همه کسرهای مثبت و منفی را به مجموعه اعداد صحیح اضافه کنیم، مجموعه اعداد گویا به دست می آید. س :

.

علاوه بر این، هر عدد صحیح نیز یک عدد گویا است، زیرا، برای مثال، عدد 5 را می توان به شکل نمایش داد که در آن صورت و مخرج اعداد صحیح هستند. این در هنگام انجام عملیات بر روی اعداد گویا که یکی از آنها می تواند یک عدد صحیح باشد، مهم است.

قوانین عملیات حسابی روی اعداد گویا

خاصیت اصلی کسری.اگر صورت و مخرج یک کسر معین در یک عدد طبیعی ضرب یا تقسیم شود، کسری برابر با عدد داده شده به دست می آید:

این خاصیت هنگام کاهش کسرها استفاده می شود.

جمع کردن کسرهاجمع کسرهای معمولی به صورت زیر تعریف می شود:

.

یعنی برای جمع کسری با مخرج های مختلف، کسرها به یک مخرج مشترک تقلیل می یابد. در عمل، هنگام جمع (تفریق) کسری با مخرج های مختلف، کسرها به کمترین مخرج مشترک کاهش می یابد. به عنوان مثال، مانند این:

برای جمع کردن کسرهایی با اعداد یکسان، کافی است اعداد را جمع کنید و مخرج را ثابت بگذارید.

ضرب کسرهاضرب کسرهای معمولی به صورت زیر تعریف می شود:

یعنی برای ضرب کسری در کسری باید کسر کسر اول را در کسر دوم ضرب کنید و حاصل ضرب را در کسر کسر جدید بنویسید و مخرج کسر اول را در عدد ضرب کنید. مخرج کسر دوم و حاصلضرب را در مخرج کسر جدید بنویسید.

تقسیم کسرها.تقسیم کسرهای معمولی به صورت زیر تعریف می شود:

یعنی برای تقسیم کسر بر کسری باید صورت کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید و حاصل ضرب را در کسر کسر جدید بنویسید و مخرج کسر اول را در عدد ضرب کنید. صورت کسر دوم و حاصلضرب را در مخرج کسر جدید بنویسید.

افزایش کسری به توان با توان طبیعی.این عملیات به صورت زیر تعریف می شود:

یعنی برای رساندن کسری به توان، صورت به آن توان و مخرج به آن توان بالا می رود.

اعشار دوره ای

قضیه.هر عدد گویا را می توان به صورت یک کسر متناهی یا نامتناهی نشان داد.

مثلا،

.

به گروهی از ارقام که به صورت متوالی بعد از نقطه اعشار در نماد اعشاری یک عدد تکرار می‌شوند، نقطه می‌گویند و کسر اعشاری متناهی یا نامتناهی را که دارای چنین نقطه‌ای در نماد خود باشد، تناوبی می‌گویند.

در این حالت، هر کسر اعشاری متناهی یک کسری متناوب نامتناهی با صفر در دوره در نظر گرفته می شود، به عنوان مثال:

حاصل جمع، تفریق، ضرب و تقسیم (به جز تقسیم بر صفر) دو عدد گویا نیز یک عدد گویا است.

مجموعه اعداد واقعی

روی خط اعدادی که در ارتباط با مجموعه اعداد صحیح در نظر گرفتیم، ممکن است نقاطی وجود داشته باشند که مختصاتی به شکل عدد گویا نداشته باشند. بنابراین، هیچ عدد گویا وجود ندارد که مربع آن 2 باشد. بنابراین، عدد یک عدد گویا نیست. همچنین هیچ اعداد گویا وجود ندارد که مربع های آن 5، 7، 9 باشد. بنابراین، اعداد، , غیر منطقی هستند. عدد هم غیرمنطقی است.

هیچ عدد غیر منطقی را نمی توان به عنوان کسر تناوبی نشان داد. آنها به صورت کسرهای غیر تناوبی نشان داده می شوند.

اتحاد مجموعه اعداد گویا و غیر منطقی مجموعه اعداد حقیقی است آر .

تعریف 5. فرض کنید X یک فضای متریک، MM X، aOH باشد. اگر در هر همسایگی a نقاطی از مجموعه M\(a) وجود داشته باشد نقطه a را نقطه حد M می نامند. دومی به این معنی است که در هر همسایگی a نقاطی از مجموعه M متفاوت از a وجود دارد.

یادداشت. 1. یک نقطه حد ممکن است متعلق به مجموعه باشد یا نباشد. به عنوان مثال، 0 و 1 نقاط حدی از مجموعه هستند (0،2)، اما اولی به آن تعلق ندارد و دومی متعلق به آن است.
2. یک نقطه از مجموعه M ممکن است نقطه حد آن نباشد. در این مورد، آن را یک نقطه ایزوله M می نامند. برای مثال، 1 یک نقطه ایزوله از مجموعه (-1,0)È(1) است.
3. اگر نقطه حد a به مجموعه M تعلق نداشته باشد، در این فضای متریک دنباله ای از نقاط x n ОM به a همگرا می شود. برای اثبات آن کافی است در این نقطه از شعاع 1/n توپ های باز گرفته و از هر توپ یک نقطه متعلق به M را انتخاب کنید. عکس این قضیه نیز صادق است، اگر برای a چنین دنباله ای وجود داشته باشد، نقطه یک است. نقطه حد
تعریف 6. بسته شدن یک مجموعه M، اتحاد M با مجموعه نقاط حد آن است. تعیین
توجه داشته باشید که بسته شدن یک توپ نباید با یک توپ بسته به همان شعاع منطبق باشد. به عنوان مثال، در یک فضای گسسته، بسته شدن توپ B(a,1) برابر با خود توپ است (شامل یک نقطه a) در حالی که توپ بسته (a,1) با کل فضا منطبق است.
اجازه دهید برخی از ویژگی های بسته شدن مجموعه ها را شرح دهیم.
1. MÌ. این به طور مستقیم از تعریف بسته شدن نتیجه می گیرد.
2. اگر M М N، آنگاه М . در واقع، اگر a О، a ПМ، در هر همسایگی a نقاطی از مجموعه M وجود دارد. آنها نیز نقاط N هستند. بنابراین aО . برای نقاط M این با تعریف واضح است.
4. .
5. بسته شدن یک مجموعه خالی خالی است. این توافق از تعریف کلی ناشی نمی شود، بلکه طبیعی است.
تعریف 7. یک مجموعه M M X بسته نامیده می شود اگر = M.
اگر مجموعه X\M بسته باشد، یک مجموعه M М X باز نامیده می شود.
به مجموعه ای از M M X گفته می شود که در هر نقطه X متراکم است اگر = X باشد.
تعریف 8. یک نقطه a را نقطه داخلی مجموعه M می نامند اگر B(a,r)MM برای مقداری r مثبت، یعنی نقطه داخلی به همراه مقداری همسایگی در مجموعه گنجانده شود. نقطه a را نقطه بیرونی مجموعه M می نامند اگر توپ B(a,r)МХ/M برای مقداری r مثبت، یعنی نقطه داخلی به همراه مقداری همسایگی در مجموعه گنجانده نشود. نقاطی که نه درونی و نه بیرونی مجموعه M هستند نقاط مرزی نامیده می شوند.
بنابراین، نقاط مرزی با این واقعیت مشخص می شوند که در هر یک از محله های آنها نقاطی وجود دارد که هم در M گنجانده شده و هم در آن گنجانده نشده است.
گزاره 4. برای اینکه یک مجموعه باز باشد، لازم و کافی است که تمام نقاط آن داخلی باشد.
نمونه هایی از مجموعه های بسته روی یک خط عبارتند از , )