Kiryanov D.V.، Kiryanova E.N.، Kozlov N.I.، Kuznetsov V.I.
(D.V.Kiriyanov، E.N.Kiriyanova، N.I.Kozlov، V.I.Kuznetsov)

IPM im. M.V.Keldysh RAS

مسکو، 2005

حاشیه نویسی

این کار چندین مدل ریاضی را از تأثیر ترکیب سنی یک جمعیت زیست‌محیطی بر توسعه آن بررسی می‌کند. مدل سازی با حل عددی یک سیستم پویا انجام می شود معادلات دیفرانسیل(مشتقات معمولی و جزئی)، متعلق به کلاس سیستم های Volterra و ماتریس های Leslie.

خلاصه

بررسی مدل‌های تأثیر ساختار سنی بر پویایی جمعیت اکولوژیکی ارائه شده است. ما تعدادی سیستم دینامیکی معادلات دیفرانسیل معمولی و PDE را بر اساس مدل کلاسیک Volterra و رویکرد ماتریس Leslie در نظر می گیریم.

§ 1. مدل پایه

اخیرا برای راه حل مشکلات عملیمدلسازی پویایی توسعه اکوسیستم بر اساس معادلات دیفرانسیل و انتگرو دیفرانسیل به طور فزاینده ای مورد استفاده قرار می گیرد. این رویکرد به طور گسترده ای برای مدل سازی جوامع بیولوژیکی متنوع و به ویژه جنگل ها استفاده می شود. بزرگترین مشکل با دو نکته ارائه می شود:

· انتخاب صحیح معادلات، به ویژه پارامترهای موجود در آنها که میزان تأثیر پارامترهای خاص را بر وضعیت یک منطقه معین از اکوسیستم توصیف می کند.

· مدل‌سازی کافی اثرات سن و همچنین توزیع فضایی اکوسیستم‌های ناهمگن.

در این کار، ما اثرات سنی مختلف در بیوسنوزهای جنگلی را بر اساس مدل‌سازی عددی معادلات دیفرانسیل معمولی و دیفرانسیل - دیفرانسیل و همچنین معادلات دیفرانسیل جزئی در نظر می‌گیریم. اول از همه، اجازه دهید یک مدل ساده از توسعه یک جنگل دو گونه ارائه دهیم، که تکامل جمعیت را به عنوان یک کل توصیف می کند، بدون در نظر گرفتن توزیع فضایی یا اثرات سنی. در این مرحله که اساسا الزامات زیست محیطی جهانی را بیان می کند، لازم است ماهیت تعاملات اصلی به اندازه کافی مشخص شود.

ما جمعیت را با بردار چگالی زیست توده، i=l (گونه های برگریز)، x (مخروطیان) مشخص خواهیم کرد. اجازه دهید خود را به یک سیستم دو سطحی از تعاملات تغذیه ای از نوع "منبع-مصرف کننده" محدود کنیم: خاک - جنگل دو گونه ای که با یکدیگر رقابت می کنند. وضعیت خاک با متغیر سوم - شاخص تعمیم یافته حاصلخیزی P(t) مشخص می شود. سیستم دینامیکی که ما برای توصیف این مدل یکپارچه استفاده کردیم به شرح زیر است:

i = (x، l)(1)

· P - شاخص تعمیم یافته باروری - چگالی منابع (kg/m 2 );

· u l – تراکم زیست توده گونه های برگریز (kg/m 2 );

· u x – چگالی زیست توده مخروطیان (kg/m 2 );

· A i ضریب احیای خاک به دلیل سقوط گونه i ام (1/سال) است.

· ب – ضریب خود ترمیمی خاک (1/سال).

· P 0 - ارزش مجانبی باروری در غیاب جنگل (kg/m 2 );

· VI – نرخ مصرف منابع (عملکرد تغذیه ای) (1/سال).

· • ضریب تصحیح که رقابت را توصیف می کند.

· k i - ضریب رشد نژاد i.

· D i - میزان مرگ و میر طبیعی درختان (1/سال).

· W - تأثیر عوامل خارجی، اغلب مضر، بنابراین با علامت منفی، (kg/(سال× متر 2))

· t 0 - میانگین زمان بلوغ یک جنگل جوان (سال)

این سیستم، همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، تعمیم مدل کلاسیک Volterra است. ضرایب ترکیبی از یک ثابت ثابت تجربی (تعیین کننده توسعه جمعیت در شرایط عادی) و برخی تابع تصحیح هستند. ما شکل صریح ضرایب را در کار مورد بحث قرار دادیم و نمودارهای معمولی حل سیستم (1) نیز در آنجا ارائه شد.

یکی از راه حل های مربوط به توسعه جنگل در شرایط عادی (با رطوبت کافی) در شکل 1 ارائه شده است. 1. پدیده شناخته شده جایگزینی جنگل های برگریز با درختان سوزنی برگ را در طول توسعه یک جمعیت توصیف می کند.

عکس. 1. راه حل معمولی سیستم (1).

فوراً باید توجه داشت که مدل متمرکز (1) تنها امکان در نظر گرفتن خشن ترین اثرات سن را فراهم می کند، زیرا معادلات شامل تراکم زیست توده کل (بدون تقسیم به گروه های سنی) است. به عنوان مثال، در محاسبات نشان داده شده در شکل. 1، ما (از طریق تابع اصلاح مناسب) در نظر گرفتیم که میزان مرگ و میر طبیعی D i به طور قابل توجهی به میانگین سن جمعیت بستگی دارد.

با بیان این اظهارات مقدماتی، می توانیم به موضوع اصلی این کار برویم - مدل های مختلف جمعیت های جنگلی با ترکیب سنی ناهمگون.

§ 2. مدل ماتریس لسلی

حساب ماتریسی برای توصیف توسعه جمعیت‌های چند گونه پیچیده (که برای مدل‌های توده‌ای اعمال می‌شود) توسط لسلی در اواسط قرن پیشنهاد شد. تاکنون مدل‌های اکولوژیکی مذکور بر روش‌های حساب دیفرانسیل تکیه کرده‌اند. این خود مقداری تقریب است. هنگام حرکت به محاسبات عملی، برای مثال، طبق جداول جمعیتی، باید با مقادیر گسسته سر و کار داشت. به عنوان مثال، در جمعیت شناسی انسان، معمولاً از فواصل زمانی پنج ساله استفاده می شود. علاوه بر این، توسعه بسیاری از جمعیت ها (از جمله جنگل ها) ماهیت فصلی مشخصی دارد. بنابراین، برای توصیف صحیح جامعه و برای محاسبات عملی، به احتمال زیاد نه روش‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال، بلکه روش‌های ریاضیات گسسته (ماتریس و غیره) کاربرد دارند.

لزلی پیشنهاد کرد که از ماتریس به اصطلاح انتقال برای توصیف یک جمعیت چند سنی پیچیده استفاده شود

,(2)

که وقتی در بردار ستونی تعداد افراد در طبقات سنی مختلف ضرب می شود (از صفر - افراد تازه متولد شده تا k - مسن ترین افراد) تعداد افراد در گروه های سنی را پس از یک واحد زمان مشخص می دهد (اغلب یک سال). بنابراین، در ماتریس انتقال Leslie p i میزان بقا است (یعنی احتمال اینکه یک فرد از کلاس i در سال آینده به (i+1)-امین حرکت کند)آمن - متوسط ​​باروری افراد سن منگروه ها.

بنابراین، ماتریس انتقال یک ماتریس مربع با اندازه (k+1) است.´ (k+1)، و بردار ستون اعداد گروه های سنی ماتریس (k+1) است.´ 1. اگر عناصر ماتریس ثابت باشند، یعنی. با گذشت زمان تغییر نمی کنند، سپس از غیر منفی بودن آنها نتیجه می شود که حداکثر مقدار مطلق مقدار ویژه ماتریس واقعی و مثبت است. اگر حداکثر مقدار ویژه کمتر از یک باشد، جمعیت محکوم به انقراض است و اگر بیشتر باشد، رشد جمعیت نامحدود است. ماتریس های لزلی اولیه دارای حداکثر مقدار ویژه یک هستند. این بدان معنی است که جمعیت در طول زمان به سمت توزیع سنی پایداری گرایش پیدا می کند که توسط بردار ویژه مربوط به حداکثر مقدار ویژه ارائه می شود و نرخ رشد جمعیت توسط این مقدار ویژه تعیین می شود.

در توصیف پویایی جمعیت، قبل از هر چیز لازم است که تفاوت در توانایی افراد در تولید مثل در نظر گرفته شود. برای این منظور، معمولاً سه گروه متمایز می شوند: مولد (جوان، هنوز قادر به تولید مثل نیستند)، زایشی (قابل تولید مثل هستند، اما لزوماً در حال حاضر تولیدمثل نیستند) و پسا زایشی (سالخوردگی، که قبلاً توانایی تولید مثل را از دست داده اند). بسته به ویژگی های چرخه زندگی یک گونه خاص و در حضور شخصیت های تشخیصی قابل اعتماد، هر یک از این گروه های بزرگ به دسته های سنی کوچکتر تقسیم می شوند.

لازم به ذکر است که تقسیم یک جمعیت به گروه های سنی در مواردی که ارگانیسم های یک گونه خاص دارای ویژگی هایی هستند که تعیین دقیق سن یک فرد را ممکن می سازد، از نظر عملی توجیه می شود. در مدل‌های ما، در مورد جمعیت جنگلی، سن تک درخت را می‌توان با استفاده از حلقه‌های درخت به دقت تعیین کرد.

حال اجازه دهید کاربرد ماتریس های لسلی را در مدل معرفی شده در نظر بگیریم§ 1. به یاد بیاوریم که این مدل پایه جنگل را بدون در نظر گرفتن سن توصیف می کند.مقاومت گیاه در برابر خشکسالی، غرقابی، سایه، آلودگی، آتش سوزی زمین، بیماری ها و عوامل دیگر تا حد زیادی به سن بستگی دارد.

در ادامه، شاخص view را حذف می کنیم، زیرا محاسبات به آن بستگی ندارد. نمایه نمایش فقط در نتیجه نهایی ظاهر می شود. این را نیز باید در نظر گرفت که اگر فواصل گروه های سنی از نظر زمانی بسیار بیشتر باشد، باید توزیع سنی در خود گروه را نیز در نظر گرفت، تعداد گروه های سنی می تواند کم باشد، مثلاً 4 گروه. برای هر فاصله سنی معمولی: جنگل جوان، جنگل در سن تولید مثل و جنگل بیش از حد بالغ (بذر تولید نمی کند). یعنی فقط 12 گروه وجود دارد. با این حال، این توزیع قبل از شروع محاسبه ناشناخته است. کاملاً ممکن است که در هر مرحله زمانی توزیع درون گروه مشخص شود، به عنوان مثال، با درونیابی بر اساس مقادیر متغیرهای گروه در هر مرحله زمانی. سپس ثابت های گروه پالایش می شوند. ما یک مسیر ساده‌تر را انتخاب می‌کنیم: یک فرض در مورد توزیع سنی پیشینی ساخته می‌شود و سپس ثابت‌های گروهی پیدا می‌شوند. در واقع، این "ثابت" ممکن است به متغیرهای گروه بستگی داشته باشد. این تضمین می کند که ثابت های گروه مطابق با مقادیر متغیرهای گروه تنظیم می شوند.

برای تعیین ضرایب انتقال از گروهی به گروه دیگر، به یک طرح گسسته متوسل می شویم (شکل 2). اجازه دهید گروه سنی شامل یک rlet باشد و زمانی که همان مقدار زیست توده در ورودی گروه دریافت می شود، یک حالت ثابت را در نظر می گیریم..

123 4

شکل 2. نموداری که مدل لزلی را توضیح می دهد

سپس برای هر سال بر حسب سن، تراکم زیست توده زیر را خواهیم داشت:

1 سال=,2 سال=,3 سال=,...r سال=

در اینجا C یک ضریب است که نشان می دهد چگالی زیست توده اولیه در سال چقدر افزایش می یابد. این مقدار معمولاً 0.1-0.18 است و به گروه، تراکم زیست توده، باروری و غیره بستگی دارد. اما در داخل گروه تغییر کمی دارد. اگر گروه ها را به ترتیب 10 سال در نظر بگیریم، قانون خطی رشد در گروهی که اتخاذ کرده ایم کاملاً موجه است.

نسبت زیست توده از جرم یک گروه که هر سال به گروه دیگری می آید را می توان با نسبت تعیین کرد:

(3)

این از این واقعیت ناشی می شود که حجم کل زیست توده در یک گروه مجموع همه حجم ها بر اساس سال است: . با در نظر گرفتن این اظهارات، می توانیم به آن دست پیدا کنیم

(4)

همانطور که می بینیم، تکامل توابع u i [j] با معادلات مشابه سیستم (1) توصیف می شود، اما به جای ضرایب C i0 و D i0، آرایه های رشد و مرگ C i0 [j] و D i0 [j] به ترتیب معرفی می شوند.

واضح است که سن باید با در نظر گرفتن نگرش های متفاوت درختان جوان و پیر نسبت به خشکی، باتلاقی و غیره در نظر گرفته شود. برای این کار، توابع تصحیح مناسب، با قیاس با مدل پایه (1) اعمال می شود. در این صورت، البته، آنها، درست مانند توابع مجهول، بردار می شوند، زیرا نشان دهنده ویژگی های مرتبط با سن در رابطه با خشکسالی، غرقابی، سایه، آلودگی و سایر عوامل است. به عنوان مثال، آنها در نظر دارند که درختان جوان بیشتر از کمبود آب رنج می برند، و درختان بالغ در برابر غرقابی مقاوم تر هستند، زیرا آنها سیستم ریشه عمیق تری دارند. برای نوشتن سیستم معادلات مدل (4)، از تکنیک کاهش زیر استفاده می کنیم: در حاصل ضرب توابع یک ساختار، تنها شاخص های عامل مناسب را نشان می دهیم: نماد معادل است.

تعداد کل معادلات دیفرانسیل: . در اینجا حداکثر تعداد گروه از نوع ام، دو معادله دیگر برای بهره وری خاک و ضخامت لایه مرطوب آمده است. اندازه گروه سنی p سال.

اکنون برخی از نتایج مدلسازی را بر اساس سیستم معادلات (4) با در نظر گرفتن ترکیب سنی جمعیت جنگل ارائه می کنیم. عرض هر گروه سنی 10 سال بود. در شکل 3 توسعه جنگل در یک مدل تعمیم یافته: تحت رطوبت معمولی (تغییر پایدار از جنگل مختلط به جنگل مخروطی، مانند مدل پایه در شکل 1). با این حال، نوساناتی در تراکم زیست توده مرتبط با نوسانات در میانگین سنی وجود دارد (شکل 4.). به طور کلی، می توان تشخیص داد که مدل مبتنی بر سن بر اساس ماتریس های لسلی واقع بینانه تر است و همان ویژگی های اساسی مدل پایه را حفظ می کند.

شکل 3. .جمعیت درختی پایدار

شکل 4. تغییرات در میانگین سنی درختان

§ 3. مدل کاشت تک سنی

اجازه دهید اکنون مدل دیگری را در نظر بگیریم که تکامل مجموعه‌ای از نهال‌های هم سن را با در نظر گرفتن تکثیر سالانه توسط بذر، آستانه سنی برای شروع تولیدمثل، و همچنین رقابت درون گونه‌ای و قلمه‌های "اکولوژیک" توصیف می‌کند (فقط تعیین می‌شود. توسط وضعیت آرایه)، حفظ استقلال.

ما از سیستم مختصات گسسته زیر استفاده می کنیم. عدد تولید را در امتداد محور ارتین رسم می کنیم. زمان را در امتداد محور آبسیسا رسم می کنیم، اگر برای سهولت ثبت، سن نهال ها را صفر فرض کنیم، تون ها هواپیمای مختصاتدر لحظه اولیه تنها یک نقطه وجود خواهد داشت: نسل‌های جدید با در نظر گرفتن آستانه تولید مثل ظاهر می‌شوند و پس از ظهور، شروع به حرکت در امتداد محور زمان می‌کنند و "به طور همزمان پیر می‌شوند."

سپس می‌توانیم معادله تعادل تکاملی خود را برای هر نسل بنویسیم:

,(5)

که در آن تعداد نسل، سن نسل در یک زمان معین t، چگالی زیست توده نسل k-ام، تفاوت بین ضرایب رشد طبیعی و مرگ و میر طبیعی است، یک تابع مشخص که به کل بردار تولید بستگی دارد. چگالی (طول بردار بستگی به زمانی دارد که سیستم خود را در نظر می گیریم، یعنی ثابت نیست).

این تابع می تواند رقابت درون گونه ای را بیان کند:

, (6)

در جایی که m سن باروری است، t-m+1 تعداد کل نسل‌ها در زمان t، ضرایب تعامل رقابتی نسل‌های k و j را نشان می‌دهد، یعنی اینها شرایط درجه دوم رقابت هستند.

معادله تولید را در یک بازه زمانی یک ساله با در نظر گرفتن k() و برخی از توابع شناخته شده روی عدد تولید حل می کنیم. سپس می توانیم بنویسیم:

(7)

در این مدخل، ما در نظر گرفتیم که مقدار در مقایسه با کوچک است و بنابراین می‌توان آن را در یک سری گسترش داد و خود را به اولین ترم بسط محدود می‌کنیم. اگر اکنون نماد عامل دوم را در آخرین محصول معرفی کنیم:

,(8)

سپس می توانید یک طرح شمارش برای انتقال از لایه زمانی t-1 به لایه t دریافت کنید، اگر مقدار گمشده نسل جدید ایجاد شده را در لایه t اضافه کنید:

(9)

می بینیم که مقادیر نسل تازه متولد شده در یک لایه زمانی معین t از مقادیر نسل ها نیز در لایه t به دست می آید. در صورت در نظر گرفتن رقابت، انتگرال باید با استفاده از داده های مربوط به محاسبه شود. لایه زمانی قبلی

اگر به سیستم معادلات برای نسل ها به عنوان یک سیستم پویا نزدیک شوید، می توانید پایداری و تقریب طرح را توجیه کنید و در نتیجه همگرایی طرح را توجیه کنید.

از آنجایی که سیستم معادلات پیشنهادی (بدون رقابت و نمونه‌برداری) خطی است، مانند یک مدل لجستیک بدون عبارت رقابت Volterra رفتار خواهد کرد. این بدان معنی است که یا ناپایدار است یا فقط یک حالت تعادل پایدار دارد، صفر. در همین حال، محاسبات (شکل 5) برای یک نوع خاص از جنگل نشان می دهد که واگرایی بسیار کند است. فقط تا سال 320 افزایش محسوسی وجود دارد. در تراکم کلی کاشت نمودار همچنین دوره اولیه را به درستی منعکس می کند، زمانی که ایجاد پروفایل توزیع سنی هنوز رخ نداده بود.

شکل 5.

(برای جمعیت های 100، 200 و 300 ساله)

یک راه حل عددی برای همان مشکل، اما با رقابت، زمانی به نتایجی منجر می شود که ایجاد یک نمایه ثابت برای 120 سال از وجود فرود رخ دهد. در مورد مقادیر مطلق زیست توده، آنها بعداً (حدود 200) تعیین می شوند.

از این نتیجه می‌توان نتیجه گرفت که کاشت‌های تک‌سالی، توزیع طبیعی سطح جنگل را بر اساس سن فراهم نمی‌کنند. برای مدت قابل پیش بینی، ما با یک دوره گذار روبرو هستیم که در عمل مشاهده می شود.

قطع "اکولوژیک" از نظر زمان برای رسیدن به مشخصات ثابت و ارزش ثابت زیست توده بسیار موثرتر است. شکل 6 داده های محاسباتی را طبق همان طرح نشان می دهد، اما به جای رقابت، برش معرفی شده است.برش تا زمانی انجام می شود که زیست توده کل به یک مقدار بحرانی معین کاهش یابد. سن درختان قطع شده 40-45 سال است که 5 درصد قطع می شود. مشخصات طبیعی و مقادیر مجانبی زیست توده بسیار سریعتر از رقابت ایجاد می شود.

شکل 6. تکامل طیف سنی کاشت تک سنی

(برای جمعیت های 150 و 200 ساله): مدل با برش

§ 4 مدل انتشار پیوسته

در زیر یک مدل سن پیوسته را در نظر می گیریم که به ما امکان می دهد تا تأثیر آستانه تولید مثل را توصیف کنیم. متغیر بیولوژیکی در اینجا تابعی از دو متغیر خواهد بود: زمان و سن T. در این مورد، u(t، T) dT مقدار زیست توده موجود در بازه متغیر سن (T, T + dT) است.

بیایید تعادل گروه سنی را در بازه T, T + dT برای زمان t محاسبه کنیم:

· u(t, T) T مقدار زیست توده موجود در زمان (که همان مقدار به عنوان فاصله سنی درک می شود) از سمت چپ است،

· u(t,T+dT) چنین مقدار زیست توده از سمت راست گروه به موقع گروه را ترک می کند،

· u(t,T) تغییر در زیست توده به دلیل فرآیندهای مرگ و میر طبیعی، رشد و فرآیندهای مبارزه درون گونه ای:

حاشیه چپ حاشیه راست

شکل 7.

در موارد دوم، انتگرال بیش از زیست توده در تمام سنین گنجانده شده است.

بیایید در نظر بگیریم که زیست توده گروه dT برابر با u(t,T)dT است:

با رفتن به حد و کاهش با حاصلضرب، شکل کامل معادله را پیدا می کنیم:

(10)

شرایط مرزی (11)

شرایط اولیه کجاست

در شرایط مرزی در انتهای سمت چپ فاصله سنی، انتگرال در کل دوره تولید مثل محاسبه می شود. این عملکرد باعث بهره وری زیست توده بالغ توسط بذر می شود.

اینجا سن باروری است، مرز درست سن باروری.

برای حل مسائل مربوط به پایداری، این معادله را به معادلات تاخیری تقلیل می دهیم که این موضوع به خوبی توسعه یافته است. برای انجام این کار، تابع مورد نیاز را جایگزین کنید (شکل 8):

(12)

شکل 8. به سمت ساخت شبکه زمانی

با جایگزینی هر دو جایگزین به معادله اصلی، برای v(t,T) یک معادله همگن با راه حل هایی به دست می آوریم که می توان آنها را از طریق دو تابع هنوز ناشناخته نوشت:

(13)

اعتبار این فرمول ها را می توان با تأیید مستقیم تأیید کرد، تنها چیزی که باقی می ماند یافتن توابع معرفی شده است.

شرایط اولیه و مرزی نشان می دهد:

(14)

از این معادلات می توانیم u(t,T) را برای t بدست آوریم

(15)

برای یافتن راه حل در T

(16)

این عبارات را می توان پس از جایگزینی توابعی که تحت انتگرال u(t,T`) معرفی کردیم به دست آورد. اگر اکنون در نظر بگیریم که مقادیر در خط اول چیزی بیش از یک شرط اولیه شناخته شده مشخص شده در بازه دوره تولید مثل نیستند، پس از تمایز، یک معادله دیفرانسیل با آرگومان عقب افتاده به دست می آوریم، اما فقط در صورتی که وابستگی q(s) به آرگومان وجود ندارد یا شکل خاصی دارد - exp(s):

(17)

این معادلات باید با یک شرط اولیه مشخص شده در بازه زمانی تکمیل شود. پس از این، معادلات را می توان به صورت متوالی حل کرد.

ما این معادلات را حل نخواهیم کرد، زیرا در زیر یک راه حل عددی برای این نوع معادلات را به صورت کلی تر انجام می دهیم. سودمندی محاسبات انجام شده در این است که آنها به نحوه حل مشکل پایداری برای چنین معادلاتی اشاره می کنند. .

از تئوری معادلات با استدلال عقب مانده، یک معادله مشخصه ساخته می شود، اما بر خلاف معادلات مشخصه که قبلا مطرح شد، این معادله یک معادله استعلایی است که ریشه های بی نهایت دارد. تئوری مرتبط با حل معادلات مشخصه از این نوع به تفصیل تجزیه و تحلیل می شود. از این نظریه نتیجه می‌شود که برای موارد خطی می‌توان یک قضیه مشابه با قضیه معادلات خطی را بدون استدلال‌های تأخیری صورت‌بندی کرد.

فرمول مربوطه برای معادلات تقریبا خطی از نوع معمول داده شده است. برای مورد ما، به شرح زیر، می‌توانیم کلمه به کلمه آن را تکرار کنیم: اگر ریشه‌های واقعی معادله مشخصه منفی باشد، و همه آن‌های مختلط دارای اجزای واقعی منفی باشند، آنگاه معادلات مطابق با لیاپانوف مجانبی پایدار هستند. در غیر این صورت، یا وجود ندارد. پایداری (ریشه ها یا قسمت های واقعی آنها مثبت هستند)، یا مجانبی نیست (برابری در قسمت واقعی صفر ریشه ها وجود دارد).

در مورد ما، برای یافتن معادله مشخصه، نیازی به رفتن به معادلات دیفرانسیل نیست، به خصوص که این امر محدوده موارد عملاً جالب را محدود می کند. امکان چنین کاهشی که در مورد آن بحث کردیم، این حق را به ما می دهد که به آن اعتماد کنیم. در مورد نتایج قدرتمندی که برای معادلات با استدلال عقب افتاده به دست می آید. برای به دست آوردن خود معادله، از تکنیک متفاوتی استفاده خواهیم کرد، فرض می کنیم که حل معادله اصلی را می توان به صورت برهم نهی از راه حل ها به صورت زیر نشان داد: .

با جایگزینی این عبارت به معادله اصلی، متوجه می شویم:

(18)

این تکنیک به طور گسترده در فیزیک ریاضی برای مسائل خطی استفاده می شود.

برای یافتن معادله مشخصه برای , باید نمایش راه حلی که اتخاذ کرده ایم را در شرایط مرزی جایگزین کنیم. پس از تقلیل دو طرف برابری ها به تابعی حاوی زمان، معادله مشخصه را به دست می آوریم:

(19)

آخرین تساوی معادله مشخصه است. جالب است که می توان آن را به صورت بسته برای توابع بسیار دلخواه به دست آورد، زیرا معادله خطی G(T) مرتبه اول در ربع حل می شود. بدست آید. با این حال، خاصیت ریشه ها تا حد زیادی حفظ شده است. ما در این مورد نمی مانیم، زیرا موارد پیچیده را به صورت عددی مطالعه خواهیم کرد.

در ساده ترین حالت، زمانی که توابع به T وابسته نیستند، بیان معادله مشخصه بسیار ساده به نظر می رسد:

(20)

به این گونه معادلات چند جمله ای نمایی می گویند. محل ریشه های چنین چند جمله ای به خوبی مورد مطالعه قرار گرفته است. اگر معلوم شود که تنها ریشه واقعی منفی است، پس همه ریشه های پیچیده دارای قسمت های واقعی منفی هستند. در این حالت، پایداری سیستم در یک نسخه گسسته، اضافه شدن رقابت منجر به تثبیت منطقه جنگلی شد. اگر قبل از گنجاندن رقابت، جنگل با گذشت زمان کاهش می یابد، رقابت فقط این روند را تشدید می کند. اما در یک وضعیت ناپایدار، گنجاندن رقابت منجر به ثبات غیر پیش پا افتاده می شود.

توجه داشته باشید که حتی اگر فقط روابط رقابتی در نظر گرفته شود، مطالعه پایداری از نظر تئوری غیرممکن است (البته وضعیت برای سیستم‌های غیرخطی معمولی مشابه است). این نشان می دهد که ارزش تحلیلی

با مراحل زمانی و سنی یکسان، نقطه صفر را بر اساس سن از مرحله قبل انتخاب کنید:

(21)

برای توصیف انتگرال در شرایط مرزی برای سن، از فرمول سیمپسون استفاده می شود، سمت راست معادلات را در نقطه میانی می گیریم.

ما تمام وابستگی‌ها به سن و زمان را به صورت توابع صاف تکه‌ای تعریف می‌کنیم (در محاسبات زیر این بخش‌های خط مستقیم هستند). وابستگی های استفاده شده به هیچ وجه بر برنامه های پژوهشی تأثیر نمی گذارد و در معرض تغییر است.

برنامه ها به گونه ای سازماندهی شده اند که می توان تعداد معینی از مراحل زمانی را محاسبه کرد و نتیجه را بر روی نمودار نمایش داد. به این ترتیب می توانید روند ایجاد پروفایل را ردیابی کنید.

شکل. شکل 10 نتایج محاسبات طیف سنی را با استفاده از مدل خطی نشان می دهد.توزیع اولیه سنی U0 و سه توزیع در لحظات متوالی نشان داده شده است. ما می توانیم روند استقرار را زمانی مشاهده کنیم که رقابت وجود نداشته باشد (جنگل جوان است) واضح است که افزایش تراکم زیست توده همراه با تغییر در پروفایل طیف سنی به سمت راست است.

شکل 10. تکامل طیف سنی یک جمعیت تک سن

هنگام محاسبه با رقابت، رقابت را به ضریب کلی وارد می کنیم. در مرحله قبل محاسبه می شود. باید گفت که چنین سازماندهی شمارش برای تکامل یک جنگل کاملاً طبیعی است: ابتدا تغییرات رخ می دهد و سپس در قالب رقابت تأثیر می گذارد.

می توان دید که در مورد رقابت به یک رژیم ثابت می رسیم: یک جنگل جوان به یک جنگل بالغ تبدیل می شود (شکل 11).

شکل 11. تکامل طیف سنی

جمعیت تک سنی (با رقابت)

نتیجه

در این مقاله سه مدل از تکامل جنگل با در نظر گرفتن سن ارائه شده است که بر اساس روش‌های مختلف ساخته شده‌اند. اولین (§ 2) یک مدل گسسته بر اساس ماتریس های لسلی است که توزیع جمعیت در گروه های سنی محدود را در نظر می گیرد. دو مدل دیگر پیوسته هستند و مدل اول آنها (§ 3) به معادلات دیفرانسیل معمولی اشاره دارد و آخرین (§ 4) - به معادلات دیفرانسیل جزئی.

کتابشناسی - فهرست کتب

Svirezhev Yu.M., Logofet D.O. پایداری جوامع بیولوژیکی M.، Nauka، 1978.

فدوروف V.D.، Gilmanov T.G. بوم شناسی. م.، اد. دانشگاه دولتی مسکو، 1980.

ویلیامسون ام. تجزیه و تحلیل جمعیت های بیولوژیکی. م.: میر، 1975.

ولترا V. نظریه ریاضی مبارزه برای هستی. M.: Nauka، 1976.

V.I. Kuznetsov "مدل ریاضی تکامل جنگل"، پایان نامه برای درجه کاندیدای علوم فیزیکی و ریاضی، M، 1998

کوزلوف N.I.، Kuznetsov V.I.، Kiryanov D.V.، Kiryanova E.N. مدل‌های پویا توسعه جنگل‌های عرض جغرافیایی میانی پیش چاپ IAM RAS M.، 2005.

لزلی پی.اچ. در مورد استفاده از ماتریس ها در ریاضیات جمعیت خاص. Biometrica, v.33(1945), N3, p.183

گودونوف اس.کی. Ryabenkiy V.S. طرح های متفاوت"علم"، م. 1973.

بلمن آر، کوک کی.ال. معادلات دیفرانسیل دیفرانسیل. «میر»، م.، 1346.

گودونوف اس.کی. معادلات دیفرانسیل معمولی با ضرایب ثابت جلد 1. ویرایش. NSU، 1994.

کالیتکین N.N. روشهای عددی "میر"، م.، 1357.

UDK577.4:517.9

اصلاح مدل لسلی ناهمگن برای مورد نرخ باروری منفی

BALAKIREVA A.G.

که در هر نقطه ثابت در زمان (به عنوان مثال، t0) جمعیت را می توان با استفاده از یک بردار ستون مشخص کرد

یک مدل لسلی ناهمگن با ضرایب باروری منفی تحلیل می‌شود. پویایی سنی کارکنان آموزشی در یک دانشگاه خاص بر اساس این مدل مطالعه و پیش‌بینی می‌شود.

1. معرفی

که در آن xi(tj) تعداد گروه سنی i در زمان tj، i = 1،...،n است.

بردار X(ti) که جمعیت را در زمان بعدی مشخص می کند، به عنوان مثال، در یک سال، از طریق ماتریس انتقال L با بردار X(to) مرتبط است:

پیش بینی و محاسبه اندازه جمعیت با در نظر گرفتن توزیع سنی آن یک کار فوری و دشوار است. یکی از اصلاحات آن پیش بینی ساختار سنی یک گروه حرفه ای همگن در یک شرکت یا صنعت خاص به عنوان یک کل است. اجازه دهید رویکردی برای حل این دسته از مسائل با استفاده از مدل ساختاری توزیع سنی در نظر بگیریم. فرمالیسم این رویکرد مبتنی بر مدل لسلی است که در پویایی جمعیت به خوبی شناخته شده است.

هدف از این کار نشان دادن امکان استفاده از مدل ناهمگن لسلی در مورد نرخ تولد منفی برای پیش‌بینی توسعه پویایی جمعیت است.

2. ساخت مدلی از پویایی جمعیت با در نظر گرفتن ترکیب سنی (مدل لزلی)

برای ساخت مدل لسلی، لازم است جمعیت را به تعداد محدودی از طبقات سنی (مثلاً n کلاس سنی) با مدت زمان واحد تقسیم کنیم و تعداد تمام طبقات در زمان گسسته با یک مرحله یکنواخت تنظیم شود (مثلاً ، 1 سال).

با مفروضات فوق و به شرط محدود نبودن منابع غذایی می توان نتیجه گرفت که 40

بنابراین، با دانستن ساختار ماتریس L و وضعیت اولیه جمعیت (بردار ستون X(t0))، می‌توانیم وضعیت جمعیت را در هر نقطه از زمان پیش‌بینی کنیم:

X(t2) = L X(ti) = LL X(t0) = L* 2 X(t0)،

X(tn) = LX(tn-i) =... = LnX(t0). (1)

ماتریس لسلی L به شکل زیر است:

^ai a2 . .. a n-1 a > u-n

0 Р 2 . .. 0 0 , (2)

v 0 0 . .. Р n-1 0 V

که در آن a، نرخ تولدهای خاص سنی است که مشخص کننده تعداد افراد متولد شده از گروه های مربوطه است. Pi - نرخ بقا برابر با احتمال انتقال از گروه سنی i به گروه i +1 در زمان بعدی (در-

از ^Pi می تواند بزرگتر از 1 باشد). i=1

RI، 2011، شماره 1

ماتریس L یک عملگر خطی را در فضای اقلیدسی n بعدی تعریف می کند که آن را عملگر لسلی نیز می نامیم. از آنجایی که مقادیر x;(t) به معنای اعداد هستند، غیر منفی هستند و ما به عملکرد عملگر لزلی در اکتانت مثبت فضای Pn n بعدی علاقه مند خواهیم شد. از آنجایی که همه عناصر ماتریس غیر منفی هستند (در این مورد خود ماتریس غیر منفی نامیده می شود)، واضح است که هر بردار اکتانت مثبتی توسط عملگر لزلی فراتر از محدوده آن گرفته نمی شود. مسیر X(tj) (j = 1,2,...) در Pn باقی می ماند. تمام خصوصیات بیشتر مدل لسلی از منفی نبودن ماتریس L و ساختار ویژه آن ناشی می شود.

رفتار مجانبی راه حل های معادله (1) به طور قابل توجهی با خواص طیفی ماتریس L مرتبط است، که اصلی ترین آنها توسط قضیه معروف پرون- فروبنیوس ایجاد شده است.

تعریف. مدل لسلی ناهمگن مدلی از فرم است

X(tj+i) = L(j)X(to)، L(j) = Li L2 ... Lj، j = 1،2،...،

که در آن Lj ماتریس لسلی مرحله j است.

دینامیک مدل ناهمگن بسیار ضعیف مورد مطالعه قرار گرفته است (در حالی که تا حد زیادی شبیه به دینامیک مدل (1) است، اما تفاوت هایی نیز دارد). در عین حال، این مدل بدون شک واقعی تر است.

3. خواص طیفی عملگر Leslie

در ادامه کار، مفهوم شاخص بی‌پایان بودن ماتریس لزلی را در نظر خواهیم گرفت.

یک ماتریس تجزیه ناپذیر L با عناصر غیرمنفی اگر دقیقاً یک عدد مشخصه با حداکثر مدول را حمل کند، ابتدایی نامیده می شود. اگر یک ماتریس دارای اعداد مشخصه h > 1 با مدول ماکزیمم باشد، به آن بدیهی می گویند. عدد h را شاخص عدم تقریب ماتریس L می نامند. می‌توان نشان داد که شاخص بی‌پایان بودن ماتریس لزلی برابر با بزرگترین است. مقسوم علیه مشترکتعداد آن دسته از گروه های سنی که نرخ تولد در آنها با صفر متفاوت است. به ویژه، برای ابتدایی بودن ماتریس لزلی

کافی است 1 > 0، یا اینکه نرخ تولد در هر دو گروه متوالی اتفاق بیفتد، یعنی. یک j وجود دارد به طوری که j Ф 0 و

با توجه به موارد فوق، می توان به برخی از ویژگی های ماتریس لزلی اشاره کرد.

1. چند جمله ای مشخصه ماتریس L برابر است با

An(P) = l1^-L = pn -“gr.n 1

اسپرت آسان،

که با روش استقرای ریاضی به راحتی قابل اثبات است.

2. معادله مشخصه A n(p) = 0 یک ریشه مثبت منحصر به فرد р1 دارد به طوری که

که در آن p هر مقدار ویژه دیگری از ماتریس L است. عدد p1 مربوط به بردار ویژه X1 از ماتریس L است.

بیانیه 2 ویژگی مستقیماً از قضیه ماتریس های غیر منفی و قضیه دکارت پیروی می کند.

3. علامت مساوی در (3) در موارد استثنایی رخ می دهد که فقط یکی از نرخ های باروری با صفر متفاوت باشد:

و k > 0 و j = 0 برای j = 1,2,...,k - 1,k + 1,...,n.

4. مقدار p1 رفتار مجانبی جمعیت را تعیین می کند. اندازه جمعیت زمانی که I1 > 1 به طور نامحدود افزایش می یابد و زمانی که I1 به طور مجانبی به صفر گرایش پیدا می کند.< 1. При И1 =1 имеет место соотношение

X1 = [-I-----،-I------،...،-^،1]"

Р1Р2 -Pn-1 P2---Pn-1 Pn-1

بردار ویژه مثبت ماتریس L، تا یک عامل تعیین می شود.

شاخص خاصیت 4 برای یک ماتریس لسلی تجزیه ناپذیر به شکل (4) کمیت است.

R = а1 + £а iP1...Pi-1، i=2

که می تواند به عنوان پتانسیل تولیدمثلی جمعیت (پارامتر تعمیم یافته نرخ تولیدمثل) تفسیر شود، یعنی اگر R> 1 باشد، آنگاه p1 > 1 (جمعیت به صورت تصاعدی رشد می کند)، اگر R< 1, то И1 < 1 (экспоненциально убывает), если R = 1, то И1 = 1 (стремится к предельному распределению).

4. اصلاح مدل لسلی برای مورد نرخ باروری منفی

آثار تنها مدل لسلی با ضرایب غیر منفی را در نظر گرفتند. دلیل این انتخاب، علاوه بر مزیت های ریاضی آشکار، این بود که هم احتمال بقا و هم نرخ باروری نمی توانند ذاتا منفی باشند. با این حال، قبلاً در اولین کارها در مورد مدل‌های بازتولید جمعیت، ارتباط مدل‌های در حال توسعه با، به طور کلی، ضرایب غیر مثبت ردیف اول ماتریس لسلی مورد توجه قرار گرفت. به طور خاص، مدل‌های تولید مثل جمعیت‌های بیولوژیکی با رفتار «ضد باروری» افراد غیر باروری دارای ضرایب منفی هستند.

RI، 2011، شماره 1

کدام گروه های سنی (تخریب تخم ها و افراد جوان و غیره). رقابت برای منابع بین نوزادان و نمایندگان سایر گروه های سنی نیز می تواند منجر به این شود. در این راستا، سوال مربوطه این است که آیا خاصیت ergodicity که برای مدل‌های Leslie با ضرایب غیر منفی صادق است، در کلاس وسیع‌تری از مدل‌ها برای بازتولید پتانسیل جمعیتی حفظ می‌شود؟

قضیه زیر به این سوال پاسخ می دهد.

قضیه (در مورد دایره ناپایداری مدل تولید مثل بالقوه جمعیتی).

اجازه دهید ساختار سنی پتانسیل جمعیتی و تعداد افراد زندگی کنند. سپس یک دایره l = (p: |p|) وجود دارد< рmin }, такой, что режим воспроизводства с указанными выше показателями обладает свойством эргодичности тогда и только тогда, когда истинный коэффициент воспроизводства не принадлежит этому кругу.

این دایره را دایره ناپایداری و شعاع آن را شعاع ناپایداری می نامیم.

نکته 1. یک نتیجه گیری مهم از قضیه به دست می آید - هر ساختاری که بالقوه جمعیتی داشته باشد، در مقادیر معینی از نرخ واقعی تولید مثل، خاصیت ارگودیسیته مشاهده می شود. به طور خاص، مدل‌هایی با عناصر منفی در ردیف اول ماتریس بازتولید و حتی مقادیر منفی پتانسیل‌های جمعیتی می‌توانند دارای خاصیت ارگودیسیته باشند.

نکته 2. از این قضیه به دست می آید که اگر برای مقدار معینی از ضریب بازتولید واقعی، یک مدل دارای خاصیت ergodicity باشد، آنگاه این ویژگی را برای همه ضرایب بازتولید که از نظر بزرگی بزرگ هستند نیز دارد.

5. بررسی پویایی سنی کادر آموزشی دانشگاه. آزمایش عددی

بیایید پیش بینی پویایی تعداد و توزیع سنی کارکنان آموزشی را با توجه به داده های یکی از دانشگاه های خارکف در نظر بگیریم. ساختار سنی استاندارد، به اصطلاح "فشرده" کارکنان آموزشی توسط آمار در قالب 5 رده سنی تشکیل شده است. جدول تعداد N هر رده سنی را به تفکیک سال و درصدی را که این رده سنی نسبت به تعداد کل تشکیل می دهد نشان می دهد.

اجازه دهید ماتریس های انتقال L j را طوری بسازیم که

X(tj+i) = LjX(tj) (Lj (5 x 5)). (4)

برای این کار لازم است میزان زاد و ولد و میزان بقا در ماتریسی از فرم (2) تعیین شود. نرخ بقا را می توان به دست آورد

حل مستقیم معادله (4) با استفاده از داده های جدول.

ساختار کادر آموزشی

1 <40 322 38 242 38 236 36 273 40

2 40;49 117 14 88 14 95 15 90 14

3 50;59 234 27 163 26 160 25 156 24

4 60:65 88 10 68 11 79 12 69 11

5 65> 93 11 68 11 79 12 69 11

مجموع 854 629 649 657

در مورد نرخ باروری، فرضیات بیشتری باید انجام شود. بگذارید تعداد کادر آموزشی هر سال ده نفر افزایش یابد. از آنجایی که نرخ باروری یک که به عنوان میانگین باروری افراد گروه سنی i تفسیر می شود، می توان فرض کرد که a1، a 5 = 0، و a 2 = 7، و 3 = 3. بر اساس داده های اولیه، متوجه می شویم که 4 منفی است. این شرط به خروج برخی از اعضای کادر آموزشی از دانشگاه تعبیر می شود. از موارد فوق چنین استنباط می شود که ماتریس های L j به شکل زیر هستند:

0 0 در 3 0 0 . (5)

ما فقط کلاس های تولید مثل را در نظر خواهیم گرفت. برای انجام این کار، باید شکل ماتریس کاهش یافته را تغییر دهید (بیایید از شر آخرین ستون صفر خلاص شویم). و طبقات پس از تولید مثل را همانطور که در بند 2 نشان داده شده است محاسبه می کنیم.

بنابراین، با در نظر گرفتن داده های فوق و داده های اولیه، دو ماتریس به دست می آوریم:

ماتریس Li از فرم (5) با ضرایب а4 = 15، Р1 = 0.27، р2 = 1.39، р3 = 0.29;

ماتریس L2 از نوع (5) با ضرایب а 4 = 11، Р1 = 0.381، р2 = 1.64، р3 = 0.43.

ماتریس های L1 و L2 به ترتیب با انتقال سال های 2005-2006 و 2007-2008 مطابقت دارند. برای توزیع سن اولیه، بردار X(t0) = T را می گیریم.

این ماتریس ها دارای ضرایب بازتولید p1 هستند که در دایره ناپایداری قرار نمی گیرند. نتیجه این است که جمعیتی با رژیم تولید مثل معین دارای خاصیت ارگودیسیته است.

با اعمال مدل لسلی ناهمگن با توزیع اولیه مشخص، متوجه می‌شویم که با شروع از n=30 برای تعداد کل، شرط برآورده می‌شود.

RI، 2011، شماره 1

تثبیت شکل زیر: X(tj+1) = ^1X(tj)، j = 20،...، که در آن q = 1.64 بزرگترین مقدار ویژه ماتریس L 2 است.

پس از تثبیت، نسبت درصد رده های سنی به شرح زیر است: دسته اول - 39٪، دوم - 14٪، سوم - 22٪، چهارم - 12٪، پنجم - 13٪.

از آنجایی که بزرگترین مقدار ویژه بزرگتر از یک است، مدل ما باز است. در این زمینه ما در نظر نخواهیم گرفت تعداد کلکارکنان آموزشی، و نسبت این تعداد به درجه از بزرگترین

مقدار ویژه ماتریس L2:

L(j)X(t0)/cc، که در آن j = 1،2، ....

شکل، پویایی ساختار سنی کادر آموزشی را تا سال 1394 نشان می دهد.

درصد

2004 2005 2007 2008 2013 2015

تغییرات در سهم رده های سنی در طول زمان

در این شکل مقیاس 10 تا 40 انتخاب شد زیرا درصد رده های سنی در این محدوده قرار دارد.

داده های مدل پیش بینی به طور کلی یک روند کلی به سمت افزایش نسبت کارکنان بالای 50 سال را حفظ می کند، که نشان می دهد روند به سمت "پیری" ترکیب سنی دانشگاه ادامه دارد. مشخص شد که برای معکوس کردن این روند، لازم است دو رده سنی اول حداقل 23 درصد با کاهش متناظر در رده های سنی باقیمانده افزایش یابد.

تازگی علمی در این واقعیت نهفته است که برای اولین بار مدل ناهمگن لزلی در مورد نرخ باروری منفی در نظر گرفته شد. این به مدل اجازه می دهد تا نه تنها نرخ زاد و ولد، بلکه میزان مرگ و میر افراد در دوره قبل از تولد را نیز در نظر بگیرد، که این مدل را واقعی تر می کند. وجود ضرایب منفی اساساً روش مطالعه دینامیک مدل لسلی را با در نظر گرفتن ناحیه مربوط به محلی سازی ارزش ویژه اصلی (دایره ناپایداری) تغییر می دهد.

اهمیت عملی: این مدل امکان پیش‌بینی تغییرات اندازه جمعیت و ساختار سنی آن را با در نظر گرفتن باروری و مرگ‌ومیر در هر گروه سنی ممکن می‌سازد. به طور خاص، با استفاده از داده‌های آماری واقعی که چندین دانشگاه در شهر خارکف را پوشش می‌دهد، پیش‌بینی پویایی تغییرات مرتبط با سن در کادر آموزشی انجام شد. داده های پیش بینی به خوبی با داده های واقعی همبستگی دارد.

ادبیات: 1. Leslie P.H. در مورد استفاده از ماتریس ها در ریاضیات جمعیت خاصی // بیومتریک. 1945.V.33, N3. ص 183212. 2. Zuber I.E.، Kolker Yu.I.، Poluektov R.A. کنترل اندازه و ترکیب سنی جمعیت ها // مشکلات سایبرنتیک. مسأله 25. ص 129-138. 3. Riznichenko G.Yu., Rubin A.B. مدل های ریاضیفرآیندهای تولید بیولوژیکی م.: انتشارات. دانشگاه دولتی مسکو، 1993. 301 ص. 4. Svirezhev Yu.M., Logofet D.O. پایداری جوامع بیولوژیکی M.: Nauka، 1978.352 ص. 5. Gantmakher F. P. نظریه ماتریس ها. M.: Nauka، 1967.548 ص. 6. Logofet D.O, Belova I.N. ماتریس های غیر منفی به عنوان ابزاری برای مدل سازی پویایی جمعیت: مدل های کلاسیک و تعمیم های مدرن // بنیادی و ریاضیات کاربردی. 2007.T. 13. جلد. 4. ص145-164. 7. Kurosh A. G. دوره جبر عالی. م.: ناوکا، 1965. 433 ص.

نماد سبک: Leslie Winer

متن: آلا آناتسکو

مدل، شاعر و خواننده، لزلی وینر از مد ناامید شد زیرا ظاهرش مورد قضاوت قرار گرفت. اما مد بار دیگر مجذوب وینر شده است. و به همین دلیل.

اولین مدل آندروژنی در جهان، دوست باسکیا و باروز، چهره والنتینو و میس دیور، جنگجو با هوش قابل توجه، شاعر و موسیقیدانی که بدون او Massive Attack و Portishead وجود نداشتند - همه اینها لزلی وینر است. یک روشنفکر و بیگانه به میل خود، که شاید تریپ هاپ را اختراع کرد. چرا پس از چندین دهه صنعت مد لسلی را فراموش نمی کند؟

اولین مدل آندروژن

نیویورک، 1979. عبارت OK, Leslie, time to work your magic توسط وینسنت گالو که مدل و نوازنده فرقه Leslie Winer با او آهنگ I Sat Back را ضبط خواهد کرد، بیش از سی سال قدمت دارد. جوان وینر از ماساچوست - برای ورود به مدرسه - به کلان شهر اصلی جهان نقل مکان می کند هنرهای زیبابه دوره ای توسط جوزف کوسوث، پیشگام هنر مفهومی. لسلی برای پرداخت هزینه مسکن و مواد تحصیلی، به همسایه‌اش در نوشتن رمان‌های پورنو کمک می‌کند و بعداً دستیار و تحت حمایت ویلیام باروز می‌شود. او خیلی سریع با Elite Model Management قراردادی منعقد می کند - اولین ترکیب او شامل پنج عکس است. آنها یک دختر کاملاً معمولی هستند: تا کنون هیچ اشاره ای به ظاهر خاردار و آندروژنی وجود ندارد.

قبلاً در سال 1980 ، لسلی موهای خود را کوتاه کرد - عکس های گرفته شده توسط پائولو روورسی و پیتر لیندبرگ در کارنامه او ظاهر شد. به این ترتیب حرفه "اولین مدل آندروژنی جهان" همانطور که ژان پل گوتیه به او لقب داد، آغاز می شود. لزلی بد رفتار می کند و در مهمانی ها خوش می گذرد، رابطه کوتاهی با ژان میشل باسکیا دارد، اما خوب کار می کند - هلموت نیوتن و ایروینگ پن از او عکس می گیرند، او را روی جلد مجله های ایتالیایی و فرانسوی Vogue، چهره بزرگ قرار می دهند. مجله مادمازل، محبوب در آن سال ها. او زاویه‌ای خاص و تمرین‌شده به دست می‌آورد که از طریق آن شناخته می‌شود، یک نگاه به پهلو و یک چشم درنده مرد، که بعداً تقریباً کلیشه‌ای خواهد شد. فرهنگ عامه- هیلاری سوانک آنها را در فیلم "پسران گریه نمی کنند" تکرار می کند و روبی رز را مبتذل می کند.

Vogue US، اکتبر 1981

Vogue US، نوامبر 1982

Vogue US، جولای 1982

اکنون لسلی را سوپرمدل دهه 80 می نامند، اگرچه خود وینر به شوخی زهرآگین می گوید: "این چه جور مزخرفی است؟ در آن زمان، حتی چنین مفهومی وجود نداشت. من کارهای زیادی انجام دادم و الکلی بودم، از تامپون استفاده می کردم - خیلی بیشتر از زمانی که به عنوان مدل کار می کردم، و با اشتیاق بسیار بیشتر.

("points":[("id":1,"properties":("x":0,"y":0,"z":0,"opacity":1,"scaleX":1,"scaleY ":1,"rotationX":0,"rotationY":0,"rotationZ":0)),("id":3,"properties":("x":778,"y":0,"z ":0," opacity":1,"scaleX":1,"scaleY":1,"rotationX":0,"rotationY":0,"rotationZ":0))،("id":4," خواص":("x":778،"y":0،"z":0، "تعوض":0,"scaleX":1،"scaleY":1,"rotationX":0"rotationY": 0,"rotationZ":0))],"steps":[("id":2,"properties":("duration":0.8,"delay":0,"bezier":"ease":" Power2.easeInOut،"automatic_duration":true))،("id":5,"properties":("duration":0.1,"delay":0,"bezier":"ease":"Power2.easeInOut ""automatic_duration":true))],"transform_origin":("x":0.5"y":0.5))

ناامیدی مد و آلبوم Witch

جلد آلبوم WITCH

Vogue Italia، سپتامبر 1989

لزلی فعالانه فیلمبرداری و به سراسر جهان سفر کرد، اما او همچنین با موفقیت در کلوپ ها رسوایی کرد - دسترسی به شیک ترین موسسات از پاریس تا توکیو برای همیشه برای او بسته شد. در اواسط دهه 1980، او خود را در لندن یافت، جایی که با نمایندگان زیرزمینی محلی محل اقامت خود را به اشتراک گذاشت و شروع به پاتوق کردن در باشگاه Leigh Bowery Taboo کرد. واینر در برخی مواقع به تصویر براق جدید خود عادت کرد - پیراهن مردانه، موهای ژولیده، سیگاری در دندان‌هایش و انگشت وسطی روی لنزها. اما درک اینکه او زندگی خود را هدر می دهد و از استعداد ادبی خود به طور کامل استفاده نمی کند، به او اجازه نمی دهد که با حرفه ای به عنوان یک مدل یا موزه کنار بیاید. برای ماندن در لندن، لزلی به سرعت با آدام، نوازنده باس سابق ازدواج می کند ومورچه ها - به خاطر اسناد؛ شاهدان عروسی همسایگان و دوستان بووری هستند: کارگردان جان میبری و هنرمند تروجان که چند ماه پس از عروسی بر اثر مصرف بیش از حد می میرد. این مرگ به طور غیرمستقیم وینر را به یک خواننده تبدیل می کند: مکس، گروه جدید همسرش، تصمیم می گیرد ادای احترامی به این هنرمند ضبط کند، و لزلی، که قبلاً فقط شعر می نوشت، خود را به عنوان خواننده امتحان می کند. اولین آهنگ او 337.5537's Little Ghost نام داشت، جایی که کد شماره گیری در واقع یک برچسب اختراع شده توسط Basquiat بود و نشان دهنده نام وینر است که به صورت اعداد نوشته شده بود - LESSLEE.

بعداً وینر و همسرش آهنگی برای Sinead O'Connor ارائه کردند ، اما خود لسلی ناراضی باقی ماند - او از نحوه ضبط موسیقی گروه Max خوشش نمی آمد ، او هیچ انرژی در همکارانش احساس نمی کرد. خوشبختانه، یک الگو در زندگی او ظاهر شد: تهیه کننده افسانه ای تروور هورن - سبک کار او لسلی را مجبور کرد تا قدرت پیدا کند و اولین آهنگ Kind of Easy را منتشر کند که کپی های غیرقانونی آن ناگهان در محافل باریک محبوب شد. گام بعدی آلبوم کامل Witch بود که لسلی آن را با نام مستعار گرافیکی، نماد حق چاپ، سه سال قبل از اینکه عموم مردم با پدیده ای به نام «خواننده ای که قبلاً شاهزاده» نامیده می شد، ضبط کرد. اما از قضا، ضبط تنها سه سال بعد - در سال 1993 - منتشر شد.

Vogue UK، می 1990

لزلی واینر و تصویرگر تونی ویرامونتس

این آلبوم دقیقاً تجسم جادوی خاص لزلی وینر شد: او جدا از هم، گویی کاملاً بدون انعکاس، اشعار خود را بیان می کند که در آنها تند سیاسی و مشکلات اجتماعیآنها آنقدر معمولی و وحشتناک به نظر می رسند که غیرممکن است خود را جدا کنید - و همه اینها با بیس عمیق. در آن زمان معلوم شد وینر تقریباً سیاسی ترین مجری است ، اما او در زیرزمین باقی ماند - او به ویژه برای نمودارها تلاش نکرد ، اما بدون اینکه بخواهد با تریپ هاپ آمد. کارها و تکنیک‌های وینر به طور فزاینده‌ای در آهنگ‌های Massive Attack، Tricky و Portishead ظاهر می‌شوند، اگرچه برخی از منتقدان نظر مجله MNE را مبنی بر اینکه وینر «مادربزرگ تریپ هاپ» است تا حدودی بحث‌برانگیز می‌دانند: در زمان انتشار آلبوم، همان Massive بود. Attack قبلاً فعال بود و باس غلیظ اساس تقریباً هر دومین آزمایش موسیقی در اوایل دهه 1990 بود. از سوی دیگر، زمانی که صدای معروف بریستول تازه شکل می گرفت، چیزی رایج در فضا بود، نه تنها نحوه اجرا، بلکه حال و هوا و مهمتر از همه، اشعار دیستوپیایی مشخص - و لزلی قبل از هر کس دیگری آن را گرفت. .

توئیگی- نام واقعی لزلی هورنبی. دهه 60 - دوران شورش جوانان - که بسیاری از جوانان نمی خواستند خود را سازگار کنند، اطاعت کنند یا خود را رها کنند، می خواستند در لذت زندگی کنند. آنها علیه اقتدار والدین، کلیسا و دولت خود شورش کردند و شروع به جستجوی ارزش های جدید کردند. چنین تضادهایی بین نسل ها همیشه وجود داشته است. آنچه غیرعادی بود این بود که جوانان نه تنها اعتراض کردند، بلکه ارزش‌های جدید و فرهنگ جدیدی خلق کردند.

البته در این دوره باید دوره جدیدی بوجود می آمد. در آن زمان انواع و بریژیت باردو محبوب باقی ماندند. اما تجسم ایده آل جدید مدل Twiggy بود - یک زن انگلیسی شانزده ساله با وزن تنها 45 کیلوگرم و قد 169 سانتی متر. او در حومه لندن به دنیا آمد، تویگی در سن 16 سالگی با آرایشگر لئوناردو آشنا شد و تبدیل به آرایشگر شد. چهره سالن زیبایی او اولین عکسبرداری توئیگی به عنوان یک مدل مو کوتاه توسط بری لاتگان انجام شد. این او بود که یک نام مستعار به یاد ماندنی برای لزلی هورنبی پیدا کرد - توئیگی.

یکی از روزنامه نگاران یک روزنامه لندنی عکسی از توئیگی را در ویترین سالن دید و پرتره او را با عنوان "چهره 1966" در روزنامه منتشر کرد. در همان سال توئیگی به محبوب ترین مدل جهان تبدیل شد.

او پس از تنها سه سال کار به عنوان مدل، آنقدر ثروتمند شد که در 19 سالگی توانست بازنشسته شود. Twiggy - که به عنوان یک شاخه نازک ترجمه شده است - اولین مدلی بود که به بت میلیون ها نفر تبدیل شد. وقتی او در انظار عمومی بیرون رفت، جمعیتی دور او جمع شدند.

مدل توئیگیاو برای سال های متوالی ملکه بی چون و چرای مدل های مد باقی ماند. او اولین مدل مد بود که روندی را آغاز کرد که مدل‌ها را همراه با موسیقی‌دانان و بازیگران به بخشی جدایی‌ناپذیر از فرهنگ پاپ تبدیل کرد.

توئیگی تصویر را به بهترین شکل منعکس می کرد، جوانی و خلوص را تنفس می کرد.

اجازه دهید x i(ک) ، تعداد افراد جمعیت در کجاست منگروه سنی در مقاطع زمانی مشخص ک. فرآیندهای تولید مثل، مرگ و انتقال افراد از یک گروه سنی به گروه دیگر را می توان به صورت زیر رسمیت بخشید (روزنبرگ، 1984). ابتدا، اجازه دهید وضعیت جمعیت را در لحظه لحظه تعیین کنیم ک+ 1 به وضعیت در لحظه از زمان بستگی دارد ک. تعداد گروه اول ( ک= 1) نشان دهنده تعداد فرزندان تازه متولد شده از همه گروه های دیگر در یک بازه زمانی واحد است. اعتقاد بر این است که افراد یک گروه سنی خاص به نسبت مستقیم با تعداد افراد در این گروه فرزندان تولید می کنند:

جایی که f i- نرخ تولد منگروه سنی ام اگر با علامت گذاری کنیم دی جی<1 коэффициент выживаемости при переходе от возрастной группы jبه گروه j+ 1، سپس می توانیم بنویسیم n– نسبت نوع 1:

سپس با ترکیب و می توانیم سیستم را بنویسیم nمعادلات تفاوت نشان دهنده یک مدل گسسته از ترکیب سنی جمعیت است. در فرم ماتریسی داریم:

ایکس(ک + 1) = Lx(ک),

جایی که ایکس(ک) = {x i(ک)) بردار تعداد گروه های سنی فردی است و

- ماتریس نرخ باروری و بقا

اگر آن را با جزئیات بیشتر توضیح دهیم، دریافت می کنیم:

بردار ستون سمت چپ تعداد افراد گروه های سنی مختلف را در یک نقطه از زمان منعکس می کند ک+1، و سمت راست ترین بردار ستون تعداد افراد در گروه های سنی مختلف در یک نقطه از زمان است ک. ماتریس نرخ باروری و بقا، ماتریس انتقال از یک حالت به حالت دیگر است.

برای محاسبه ترکیب سنی جمعیت در هر زمان، از روابط ساده استفاده می کنیم:

ایکس(ک + 1) = Lx(ک)

ایکس(ک + 2) = Lx(k+1) =LLx(ک) = L 2 ایکس(ک)

ایکس(k+m) = Lمتر ایکس(ک)

این مدل به مدل لزلی (Leslie, 1945) معروف است.

ماتریس مربع Lغیر منفی است (همه عناصر آن غیر منفی هستند). برای اینکه ماتریس Leslie تجزیه ناپذیر باشد (یعنی نمی توان آن را با تغییر ردیف ها و ستون های مربوطه به شکل کاهش داد):

جایی که آو بزیر ماتریس مربع هستند)، لازم و کافی است که . از نظر بیولوژیکی، این وضعیت به این معنی است که به عنوان nاین حداکثر سن ممکن نیست، بلکه بزرگترین سن باروری افراد است.

معادله مشخصه سیستم به شکل زیر است:

جایی که E- ماتریسی با یک هایی در مورب اصلی و سایر جمله های آن برابر با صفر هستند.

از آنجایی که ماتریس لسلی غیرمنفی و تجزیه ناپذیر است، بنابراین، مطابق با قضیه پرون- فروبنیوس، معادله مشخصه دارای یک عدد مشخصه مثبت واقعی (حداکثر در بین سایر اعداد مشخصه) است که ریشه ساده این است. معادله علاوه بر این، از آنجایی که معادله هیچ ریشه صفر ندارد. از این شرایط نتیجه می شود که راه حل مجانبی سیستم به اندازه کافی بزرگ است کتوسط مقدار ویژه λ 1 (حداکثر همه) و بردار ویژه مربوطه تعیین می شود ب 1 ماتریس لزلی:

جایی که با 1- مقداری ثابت بسته به مختصات توزیع اولیه بردار ایکس(0).

اگر λ 1 > 1، جمعیت رشد می کند ( ایکس(ک) با رشد افزایش می یابد ک). اگر λ 1<1, то популяция гибнет. Наконец, если λ 1 =1, то общая численность популяции асимптотически стремиться к постоянной величине. پ(1)<0 эквивалентно выражению λ 1 >1، یعنی شرایط رشد جمعیت (به فرمول 5 مراجعه کنید)، مشابه با پ(1)> 0 مربوط به مرگ است و پ(1) = 0 - اندازه جمعیت ثابت. بنابراین، از شکل ماتریس بدون تعیین مقدار ویژه λ 1، می توان نتایج کیفی در مورد ماهیت جمعیت شبیه سازی شده در طول زمان گرفت.

نقطه ضعف مدل لسلی شبیه به ضرر مدل مالتوس است - رشد جمعیت نامحدود با λ 1 > 1 است که تنها با مراحل اولیه رشد برخی از جمعیت ها مطابقت دارد (روزنبرگ، 1984).

از مدل لزلی برای توصیف ساختار سنی جمعیت مشترک گوسفند شل استفاده شد. Helictotrichon schellinum). این یک علف چمن کوچک با بوته سست در استپ های علفزار شمالی است. A.N. Cheburaeva (1977) توزیع تعداد افراد این غلات را بر اساس گروه های سنی در استپ Poperechenskaya منطقه پنزا در یک فلات حوضه آبخیز در مساحت کل 50 متر مربع در سال های مختلف (1970-1974) مورد مطالعه قرار داد. هر سال شمارش افراد گوسفند در 200 قطعه 0.5×0.5 متر انجام شد. چنین تکرار بزرگ مشاهدات به ما این امکان را می دهد که تخمین های به دست آمده از تعداد افراد در هر گروه سنی را کاملاً پایدار در نظر بگیریم. این محقق 9 گروه سنی را شناسایی کرد:

· جوانه زدنو شلیک می کند

· افراد زاینده ( نوجوان, نابالغو جوان رویشی)

· افراد مولد ( جوان, بالغو قدیمی)

· افراد پس از زایش ( زیر پیریو سالخورده)

برای در نظر گرفتن تأثیر شرایط آب و هوایی بر پویایی جمعیت گوسفند پوسته (1972 سال خشکسالی بود)، لازم است از اعداد مطلق به نسبی حرکت کنیم. در فواصل مساوی برای هر گروه سنی باید نسبت زیر رعایت شود: x i + 1 (ک + 1) < ایکسمن( ک) ، یعنی در یک برهه زمانی بعدی، افراد در گروه سنی مسن‌تر نباید بیشتر از زمان فعلی در گروه جوان‌تر باشند. در همین راستا هفت رده سنی اول ع.ن. چبورواوا متحد شدند. داده های اولیه برای ساخت مدل در جدول آورده شده است. 1.

میز 1

تعداد مطلق و نسبی جمعیت گوسفند پوسته برای گروه های سنی مختلف (طبق گفته A.N. Cheburaeva، 1977)

با وجود اصلاحات، داده های سال 1972 هنوز متفاوت است، بنابراین نباید انتظار داشت که مدل لسلی به طور دقیق فراوانی را پیش بینی کند. برای به دست آوردن یک پیش بینی دقیق تر، ضرایب ماتریس لسلی باید به شرایط آب و هوایی وابسته باشد.

برای ساختن ماتریس Lما از برخی ایده ها در مورد مقادیر احتمالی ضرایب آن استفاده می کنیم. بنابراین، نرخ تولد f iدر طی انتقال از گروه اول، که شامل تمام حالات زایشی است، به گیاهان مسن تر، باید کاهش یابد. میزان بقا d iتقریباً برابر است (نیمی از افراد از گروه اول به گروه دوم می روند، کمی کمتر از گروه دوم به گروه بعدی). در نهایت، ماتریس لزلی به شکل زیر است:

معادله مشخصه برای مدل لزلی در در این موردچند جمله ای درجه سوم است:

تأیید آن آسان است پ(1) = 0.23> 0 طبق نظریه P. Leslie نشان دهنده پیری و پژمرده شدن یک جمعیت مشترک در بازه زمانی مشاهده شده است.

بیایید ریشه های معادله مشخصه را محاسبه کنیم. برای این ما استفاده خواهیم کرد فرمول کاردانو. الگوریتمی را برای حل یک معادله مکعبی در نظر بگیرید:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم:

معادله را بدست می آوریم:

فرض کنید که مقدار ریشه به صورت مجموع دو کمیت نمایش داده شود y = α + β، سپس معادله به شکل زیر در می آید:

بیایید عبارت (3 αβ + ص، سپس می توانیم از معادله به سیستم حرکت کنیم:

که معادل سیستم:

ما فرمول های Vieta را برای دو ریشه به دست آورده ایم معادله درجه دوم (α 3 – ریشه اول β 3 - ریشه دوم). از اینجا:

- متمایز کننده معادله

اگر D>0 باشد، معادله دارای سه ریشه واقعی متفاوت است.

اگر D = 0 باشد، حداقل دو ریشه بر هم منطبق هستند: یا معادله دارای یک ریشه واقعی دوتایی و یک ریشه واقعی دیگر است، یا هر سه ریشه بر هم منطبق هستند و یک ریشه از مضرب سه را تشکیل می دهند.

اگر D<0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

بنابراین، ریشه های معادله مکعب به شکل متعارف عبارتند از:

جایی که من= عددی خیالی است.

شما باید این فرمول را برای هر مقدار ریشه مکعب اعمال کنید (ریشه مکعب همیشه سه مقدار می دهد!) و مقدار ریشه را بگیرید تا شرط برقرار شود:

برای بررسی می توان از روابط زیر استفاده کرد:

جایی که د≠ 0

جایی که د≠ 0

سرانجام:

در مورد ما: آ = 1; ب = –0,6; ج = –0,15; د = –0,02;

D= – 0,03888, D<0. Уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

در مرحله بعد، با استفاده از فرمول های فوق، مقادیر ویژه معادله مشخصه را پیدا می کنیم: λ 1 = 0.814. λ 2 = - 0.107 + 0.112 من; λ 3 = - 0.107 - 0.112 من، جایی که من= عددی خیالی است. بنابراین، معادله مشخصه دارای یک ریشه واقعی و دو ریشه پیچیده است. λ 1 حداکثر ریشه این معادله است و از آنجایی که λ 1 است<1, то вывод об увядании данной ценопопуляции остается без изменения.

علاوه بر این، به گفته Yu.M. Svirzhev و D.O. Logofet (1978)، یک شرط ساده و کافی برای وجود نوسانات دوره ای در تعداد کل عبارتند از:

در این راستا، باید انتظار وجود نوسانات دوره ای در اندازه جمعیت گوسفند پوسته را داشت، زیرا λ 1 > max (0.5؛ 0.4).

در چارچوب مدل لزلی، مشاهده شده A.N. پدیده Cheburaeva پیری جمعیت مشترک گوسفند و وجود نوسانات در توزیع افراد در طول طیف سنی طی چند سال است. در شکل شکل 1 پویایی تعداد افراد را برای هر یک از گروه های سنی شناسایی شده نشان می دهد. برای اینکه مدل یک پیش بینی رضایت بخش ارائه دهد، لازم است که ضرایب ماتریس Lثابت نبودند، اما به شرایط آب و هوایی وابسته بودند. اگر مدل لسلی را با شرایط نرمال سازی برای بردار حاصل تکمیل کنیم ایکس(ک+1) به طوری که مجموع اندازه کل جمعیت برابر با اندازه کل مشاهده شده در آن زمان باشد ک+1، سپس تأثیر شرایط آب و هوایی به طور غیر مستقیم در نظر گرفته می شود. مدل در این مورد به شکل زیر خواهد بود:

ایکس(ک+1) = Lx(ک), ,

جایی که ایکس(ک+1) - اندازه کل جمعیت در یک زمان ک+1 (سایر نمادها شبیه مدل لسلی هستند). بنابراین، با دانستن تعداد کل افراد یک جمعیت معین در سال‌های مختلف، ماتریس لسلی را از ملاحظات بیولوژیکی عمومی ساخته و به عنوان ایکس(1) توزیع افراد گوسفند بر اساس گروه های سنی در سال 1970، می توان به طور قابل قبولی توزیع افراد را بر اساس گروه های سنی در سال های دیگر بازگرداند.

محاسبه اندازه مطلق جمعیت Helictotrichon schellinumبرای گروه های سنی مختلف در سال های مختلف به شرح زیر انجام می شود. ما داده های اصلی سال 1970 را می گیریم و آنها را در ماتریس جایگزین می کنیم. ضرب ماتریس را طبق قوانین مناسب انجام می دهیم. ما یک ماتریس جدید با تعداد گروه های سنی مختلف برای سال 1971 به دست می آوریم.

ما این کار را هر بار برای هر سال تکرار می کنیم. ما نتایج را در جدولی وارد می کنیم، تعداد کل افراد را با استفاده از مدل لزلی محاسبه می کنیم و آن را با داده های تجربی مقایسه می کنیم. در مرحله بعد، یک ضریب تصحیح را معرفی می کنیم و محاسبات را مطابق مدل با تعداد کل مطابقت می دهیم (جدول 2).

جدول 2

اندازه مطلق جمعیت گوسفند پوسته برای گروه های سنی مختلف با توجه به مدل لزلی و داده های تجربی

گروه سنی
داده های تجربی	مدل لزلی	داده های تجربی	مدل لزلی		داده های تجربی	مدل لزلی	مدل لزلی برای کل جمعیت تنظیم شد	داده های تجربی	مدل لزلی	مدل لزلی برای کل جمعیت تنظیم شد	داده های تجربی	مدل لزلی	مدل لزلی برای کل جمعیت تنظیم شد
نهال، افراد زاینده و مولد				280,1	160,9		231,9	31,5		188,9	158,1		153,7	75,1
افراد زیر سالمند				193,0	110,9		140,1	19,0		116,0	97,1		94,5	46,2
افراد سالخورده				59,6	34,2		77,2	10,5		56,0	46,9		46,4	22,7
تعداد کل				532,7			449,2			360,9			294,6