پیدا کردن مرکز ثقل جسم صاف آزمایش را یادداشت کنید. روش های تعیین مختصات مرکز ثقل. سوالات و تکالیف تستی

نویسنده: بیایید بدنه ای با شکل دلخواه بگیریم. آیا می توان آن را روی نخ آویزان کرد تا پس از آویزان کردن، موقعیت خود را حفظ کند (یعنی شروع به چرخیدن نکند) هرجهت گیری اولیه (شکل 27.1)؟

به عبارت دیگر، آیا نقطه ای نسبت به آن وجود دارد که مجموع لحظات گرانش وارد بر قسمت های مختلف بدن برابر با صفر باشد. هرجهت گیری بدن در فضا؟

خواننده: بله، فکر می کنم. این نقطه نامیده می شود مرکز ثقل بدن

اثباتبرای سادگی، اجازه دهید بدنی را به شکل یک صفحه مسطح با شکل دلخواه، به طور دلخواه در فضا در نظر بگیریم (شکل 27.2). بیایید سیستم مختصات را در نظر بگیریم ایکس 0دربا شروع در مرکز جرم - نقطه با، سپس x C = 0, در سی = 0.

اجازه دهید این جسم را مجموعه ای از تعداد زیادی جرم نقطه ای تصور کنیم m iکه موقعیت هر کدام با بردار شعاع مشخص می شود.

طبق تعریف، مرکز جرم و مختصات است x C = .

از آنجایی که در سیستم مختصات ما اتخاذ کردیم x C= 0، سپس . بیایید این برابری را در ضرب کنیم gو می گیریم

همانطور که در شکل دیده میشود. 27.2، | x i| - این شانه قدرت است. و اگر x i> 0، سپس لحظه نیرو M i> 0، و اگر x j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x iلحظه نیرو برابر خواهد بود M i = m i gx i .سپس برابری (1) معادل برابری است، که در آن M i- لحظه گرانش این بدان معنی است که با جهت گیری دلخواه جسم، مجموع لحظات گرانشی اعمال شده بر روی جسم، نسبت به مرکز جرم آن برابر با صفر خواهد بود.

برای اینکه جسم مورد نظر ما در حالت تعادل باشد، لازم است در نقطه ای به آن اعمال شود. بازور تی = میلی گرم، به صورت عمودی به سمت بالا هدایت می شود. لحظه این نیرو نسبت به نقطه بابرابر با صفر

از آنجایی که استدلال ما به هیچ وجه به نحوه دقیق جهت گیری جسم در فضا بستگی نداشت، ثابت کردیم که مرکز ثقل با مرکز جرم منطبق است، چیزی که باید ثابت کنیم.

مسئله 27.1.مرکز ثقل یک میله بی وزن با طول را پیدا کنید ل، که در انتهای آن دو جرم نقطه ثابت است تی 1 و تی 2 .

تی 1 تی 2 ل	راه حل. ما به دنبال مرکز ثقل نیستیم، بلکه به دنبال مرکز جرم خواهیم بود (چون اینها یکسان هستند). محور را معرفی می کنیم ایکس(شکل 27.3). برنج. 27.3
x C =?

پاسخ: در فاصله ای از جرم تی 1 .

متوقف کردن! خودتان تصمیم بگیرید: B1–B3.

بیانیه 1 . اگر یک جسم مسطح همگن دارای یک محور تقارن باشد، مرکز ثقل روی این محور است.

در واقع، برای هر جرم نقطه ای m i، در سمت راست محور تقارن قرار دارد، همان جرم نقطه ای به طور متقارن نسبت به اولی قرار دارد (شکل 27.4). در این حالت مجموع گشتاور نیروها .

از آنجایی که کل بدن را می توان به صورت تقسیم به جفت نقاط مشابه نشان داد، کل گشتاور گرانش نسبت به هر نقطه ای که روی محور تقارن قرار دارد برابر با صفر است، به این معنی که مرکز ثقل جسم در این محور قرار دارد. . این منجر به یک نتیجه مهم می شود: اگر جسمی دارای چندین محور تقارن باشد، مرکز ثقل در محل تلاقی این محورها قرار دارد.(شکل 27.5).

برنج. 27.5

بیانیه 2. اگر دو جسم دارای جرم باشند تی 1 و تی 2 به یکی متصل می شوند، سپس مرکز ثقل چنین جسمی بر روی یک بخش خط مستقیم قرار می گیرد که مراکز ثقل جسم اول و دوم را به هم متصل می کند (شکل 27.6).

برنج. 27.6 برنج. 27.7

اثباتاجازه دهید بدنه مرکب را طوری قرار دهیم که قسمتی که مرکز ثقل اجسام را به هم متصل می کند عمودی باشد. سپس مجموع لحظات گرانش جسم اول نسبت به نقطه با 1 برابر با صفر است و مجموع لحظات گرانش جسم دوم نسبت به نقطه با 2 برابر با صفر است (شکل 27.7).

توجه کنید که شانهگرانش هر جرم نقطه ای تی منبا توجه به هر نقطه ای که روی قطعه قرار دارد یکسان است با 1 با 2 و بنابراین لحظه گرانش نسبت به هر نقطه ای که روی قطعه قرار دارد با 1 با 2، همان. در نتیجه، نیروی گرانش کل بدن نسبت به هر نقطه از قطعه صفر است با 1 با 2. بنابراین، مرکز ثقل بدنه کامپوزیت روی قطعه قرار دارد با 1 با 2 .

یک نتیجه گیری عملی مهم از بیانیه 2 به دست می آید که به وضوح در قالب دستورالعمل ها تدوین شده است.

دستورالعمل ها،

چگونه می توان مرکز ثقل جسم جامد را در صورت شکستن آن پیدا کرد

به قسمت هایی که موقعیت مراکز ثقل هر کدام مشخص است

1. هر قسمت باید با جرمی که در مرکز ثقل آن قسمت قرار دارد جایگزین شود.

2. پیدا کنید مرکز جرم(و این همان مرکز ثقل است) سیستم حاصل از جرم نقطه، انتخاب یک سیستم مختصات مناسب ایکس 0در، طبق فرمول های:

در واقع، اجازه دهید بدنه کامپوزیت را طوری بچینیم که قطعه با 1 با 2 افقی بود و آن را در نقاطی روی نخ ها آویزان کنید با 1 و با 2 (شکل 27.8، آ). واضح است که بدن در تعادل خواهد بود. و اگر هر جسم را با توده های نقطه ای جایگزین کنیم، این تعادل به هم نمی خورد تی 1 و تی 2 (شکل 27.8، ب).

برنج. 27.8

متوقف کردن! خودتان تصمیم بگیرید: C3.

مسئله 27.2.گلوله های جرم در دو راس مثلث متساوی الاضلاع قرار می گیرند تیهر یک توپ به جرم 2 در راس سوم قرار می گیرد تی(شکل 27.9، آ). ضلع مثلث آ. مرکز ثقل این سیستم را تعیین کنید.

تی 2تی آ	برنج. 27.9
x C = ? در سی = ?

راه حل. اجازه دهید سیستم مختصات را معرفی کنیم ایکس 0در(شکل 27.9، ب). سپس

,

.

پاسخ: x C = آ/2; ; مرکز ثقل در نیمی از ارتفاع قرار دارد آگهی.

هدف کار – مرکز ثقل یک شکل پیچیده را به صورت تحلیلی و تجربی تعیین کنید.

پیش زمینه نظری. اجسام مادی از ذرات بنیادی تشکیل شده اند که موقعیت آنها در فضا با مختصات آنها مشخص می شود. نیروهای جاذبه هر ذره به زمین را می توان سیستمی از نیروهای موازی در نظر گرفت که حاصل این نیروها را نیروی گرانش جسم یا وزن جسم می نامند. مرکز ثقل جسم، نقطه اعمال گرانش است.

مرکز ثقل یک نقطه هندسی است که می تواند در خارج از بدن قرار گیرد (به عنوان مثال، یک دیسک با یک سوراخ، یک توپ توخالی، و غیره). تعیین مرکز ثقل صفحات همگن مسطح نازک از اهمیت عملی بالایی برخوردار است. ضخامت آنها را معمولاً می توان نادیده گرفت و مرکز ثقل را می توان در یک صفحه فرض کرد. اگر صفحه مختصات xOy با صفحه شکل ترکیب شود، موقعیت مرکز ثقل توسط دو مختصات تعیین می شود:

مساحت قسمتی از شکل کجاست، ()

- مختصات مرکز ثقل قسمت های شکل، میلی متر (سانتی متر).

بخش یک شکل	A، میلی متر 2	X c، میلی متر	Yc، میلی متر
	bh	b/2	h/2
	bh/2	b/3	h/3
	R 2a
در 2α = π πR 2/2

روال کار.

یک شکل پیچیده، متشکل از 3-4 شکل ساده (مستطیل، مثلث، دایره و غیره) را در مقیاس 1:1 بکشید و ابعاد آن را نشان دهید.

محورهای مختصات را طوری ترسیم کنید که کل شکل را بپوشانند، شکل پیچیده را به قطعات ساده تقسیم کنید، مساحت و مختصات مرکز ثقل هر شکل ساده را نسبت به سیستم مختصات انتخاب شده تعیین کنید.

مختصات مرکز ثقل کل شکل را به صورت تحلیلی محاسبه کنید. این شکل را از مقوای نازک یا تخته سه لا برش دهید. دو سوراخ دریل کنید، لبه های سوراخ ها باید صاف و قطر سوراخ ها کمی بزرگتر از قطر سوزن برای آویزان کردن شکل باشد.

ابتدا شکل را در یک نقطه (سوراخ) آویزان کنید، یک خط با مداد بکشید که با خط شاقول منطبق است. همین کار را هنگام آویزان کردن شکل در نقطه دیگر تکرار کنید. مرکز ثقل شکل، که به صورت تجربی پیدا شد، باید منطبق باشد.

مختصات مرکز ثقل یک صفحه همگن نازک را به صورت تحلیلی تعیین کنید. آزمایشی بررسی کنید

الگوریتم حل

1. روش تحلیلی.

الف) نقاشی را در مقیاس 1:1 بکشید.

ب) یک شکل پیچیده را به شکل های ساده تقسیم کنید

ج) محورهای مختصات را انتخاب کرده و رسم کنید (اگر شکل متقارن است، در امتداد محور تقارن، در غیر این صورت در امتداد خطوط شکل)

د) مساحت شکل های ساده و کل شکل را محاسبه کنید

ه) موقعیت مرکز ثقل هر شکل ساده را در نقشه مشخص کنید

و) مختصات مرکز ثقل هر شکل را محاسبه کنید

(محور x و y)

ز) مختصات مرکز ثقل کل شکل را با استفاده از فرمول محاسبه کنید

ح) موقعیت مرکز ثقل را در رسم C علامت بزنید (

2. تعیین تجربی.

صحت راه حل مسئله را می توان به صورت تجربی تأیید کرد. این شکل را از مقوای نازک یا تخته سه لا برش دهید. سه سوراخ دریل کنید، لبه‌های سوراخ‌ها باید صاف و قطر سوراخ‌ها کمی بیشتر از قطر سوزن برای آویزان کردن شکل باشد.

ابتدا شکل را در یک نقطه (سوراخ) آویزان کنید، یک خط با مداد بکشید که با خط شاقول منطبق است. همین کار را هنگام آویزان کردن شکل در نقاط دیگر تکرار کنید. مقدار مختصات مرکز ثقل شکل که هنگام آویزان کردن شکل در دو نقطه پیدا می شود: . مرکز ثقل شکل، که به صورت تجربی پیدا شد، باید منطبق باشد.

3. نتیجه گیری در مورد موقعیت مرکز ثقل در هنگام تعیین تحلیلی و تجربی.

ورزش

مرکز ثقل یک مقطع مسطح را به صورت تحلیلی و تجربی تعیین کنید.

نمونه اجرا

وظیفه

مختصات مرکز ثقل یک صفحه نازک همگن را تعیین کنید.

I روش تحلیلی

1. نقاشی به مقیاس کشیده شده است (ابعاد معمولاً بر حسب میلی متر داده می شود)

2. یک شکل پیچیده را به شکل های ساده تقسیم می کنیم.

1- مستطیل

2- مثلث (مستطیل)

3- مساحت نیم دایره (وجود ندارد، علامت منهای).

موقعیت مرکز ثقل اشکال ساده نقاط را پیدا می کنیم و

3. محورهای مختصات را به راحتی ترسیم کنید و مبدا مختصات را علامت بزنید.

4. مساحت شکل های ساده و مساحت کل شکل را محاسبه کنید. [اندازه بر حسب سانتی متر]

(3. نه، علامت -).

مساحت کل شکل

5. مختصات نقطه مرکزی را بیابید. ، و در نقاشی.

6. مختصات نقاط C 1 و C 2 و C 3 را محاسبه کنید

7. مختصات نقطه ج را محاسبه کنید

8. یک نقطه روی نقاشی علامت بزنید

II با تجربه

مختصات مرکز ثقل به صورت تجربی.

کنترل سوالات

1. آیا می توان نیروی گرانش جسم را سیستمی از نیروهای موازی در نظر گرفت؟

2. آیا می توان مرکز ثقل کل بدن را قرار داد؟

3. جوهر تعیین تجربی مرکز ثقل یک شکل صاف چیست؟

4-مرکز ثقل یک شکل پیچیده متشکل از چند شکل ساده چگونه تعیین می شود؟

5. هنگام تعیین مرکز ثقل کل شکل، چگونه باید یک شکل با شکل پیچیده را به صورت منطقی به اشکال ساده تقسیم کرد؟

6. مساحت سوراخ ها در فرمول تعیین مرکز ثقل چه علامتی دارد؟

7-مرکز ثقل مثلث در محل تلاقی کدام خطوط قرار دارد؟

8. اگر شکستن یک شکل به تعداد کمی از اشکال ساده دشوار است، کدام روش برای تعیین مرکز ثقل می تواند سریع ترین پاسخ را ارائه دهد؟

کار عملی شماره 6

"حل مشکلات پیچیده"

هدف کار: قادر به حل مسائل پیچیده (سینماتیک، دینامیک)

پیش زمینه نظری: سرعت یک اندازه گیری سینماتیکی حرکت یک نقطه است که سرعت تغییر در موقعیت آن را مشخص می کند. سرعت یک نقطه بردار مشخص کننده سرعت و جهت حرکت یک نقطه در یک لحظه معین از زمان است. هنگام تعیین حرکت یک نقطه توسط معادلات، پیش بینی های سرعت بر روی محورهای مختصات دکارتی برابر است با:

مدول سرعت یک نقطه با فرمول تعیین می شود

جهت سرعت توسط کسینوس های جهت تعیین می شود:

مشخصه سرعت تغییر سرعت شتاب الف است. شتاب یک نقطه برابر است با مشتق زمانی بردار سرعت:

هنگام تعیین حرکت یک نقطه، معادلات طرح شتاب بر روی محورهای مختصات برابر است با:

ماژول شتاب:

ماژول شتاب کامل

ماژول شتاب مماسی با فرمول تعیین می شود

مدول شتاب طبیعی با فرمول تعیین می شود

شعاع انحنای مسیر در یک نقطه مشخص کجاست.

جهت شتاب توسط کسینوس های جهت تعیین می شود

معادله حرکت چرخشی یک جسم صلب حول یک محور ثابت شکل دارد

سرعت زاویه ای بدن:

گاهی اوقات سرعت زاویه ای با تعداد دور در دقیقه مشخص می شود و با حرف مشخص می شود. وابستگی بین و شکل دارد

شتاب زاویه ای بدن:

نیرویی که برابر با حاصلضرب جرم یک نقطه معین در شتاب آن و جهت در جهت مستقیماً مخالف شتاب نقطه باشد، نیروی اینرسی نامیده می شود.

توان کاری است که توسط یک نیرو در واحد زمان انجام می شود.

معادله دینامیک پایه برای حرکت چرخشی

- ممان اینرسی جسم نسبت به محور چرخش، مجموع حاصلضرب جرم نقاط مادی به مجذور فواصل آنها تا این محور است.

ورزش

جسمی به جرم m با کمک کابلی که روی درام به قطر d پیچیده شده است، در امتداد صفحه شیبدار با زاویه شیب α به سمت بالا یا پایین حرکت می کند. معادله حرکت بدن S=f(t)، معادله چرخش درام، که در آن S بر حسب متر است. φ - بر حسب رادیان؛ t - در چند ثانیه P و ω به ترتیب قدرت و سرعت زاویه ای روی شفت درام در لحظه پایان شتاب یا شروع ترمز هستند. زمان t 1 - زمان شتاب (از استراحت تا سرعت معین) یا ترمز (از سرعت معین تا توقف). ضریب اصطکاک لغزشی بین بدنه و صفحه -f است. از تلفات اصطکاک روی درام و همچنین جرم درام غفلت کنید. هنگام حل مسائل، g=10 m/s 2 را در نظر بگیرید

شماره var	α، درجه	قانون حرکت	مثلا حرکت	متر، کیلوگرم	t 1, s	د، م	P، kW	راد/ثانیه	f	Def. مقادیر
		S=0.8t 2	پایین	-	-	0,20	4,0		0,20	m, t 1
		φ=4t 2	پایین		1,0	0,30	-	-	0,16	P,ω
		S=1.5t-t 2	بالا	-	-	-	4,5		0,20	m، d
		ω=15t-15t 2	بالا	-	-	0,20	3,0	-	0,14	m,ω
		S=0.5t 2	پایین		-	-	1,76		0,20	d,t 1
		S=1.5t 2	پایین	-	0,6	0,24	9,9	-	0,10	m,ω
		S=0.9t 2	پایین		-	0,18	-		0,20	P, t 1
		φ=10t 2	پایین		-	0,20	1,92	-	0,20	P, t 1
		S=t-1.25t 2	بالا		-	-	-		0,25	P,d
		φ=8t-20t 2	بالا		-	0,20	-	-	0,14	P، ω

نمونه اجرا

مشکل 1(تصویر 1).

راه حل 1.حرکت مستقیم (شکل 1، الف). نقطه ای که در نقطه ای از زمان به طور یکنواخت حرکت می کند قانون حرکت جدیدی دریافت می کند و پس از مدت زمان معینی متوقف می شود. تمام خصوصیات سینماتیکی حرکت نقطه را برای دو مورد تعیین کنید. الف) حرکت در مسیر مستقیم؛ ب) حرکت در امتداد یک مسیر منحنی با شعاع انحنای ثابت r=100cm

شکل 1 (الف).

قانون تغییر سرعت نقطه

سرعت اولیه نقطه را از شرط زیر بدست می آوریم:

ما زمان ترمز را برای توقف از شرایط زیر پیدا می کنیم:

در , از اینجا .

قانون حرکت یک نقطه در یک دوره حرکت یکنواخت

مسافت طی شده توسط نقطه در طول مسیر در طول دوره ترمز است

قانون تغییر در شتاب مماسی یک نقطه

از این رو نتیجه می شود که در طول دوره ترمز، نقطه به همان اندازه آهسته حرکت می کند، زیرا شتاب مماسی منفی و از نظر مقدار ثابت است.

شتاب عادی یک نقطه در یک مسیر مستقیم صفر است، یعنی. .

راه حل 2.حرکت منحنی (شکل 1، ب).

شکل 1 (ب)

در این حالت، در مقایسه با حالت حرکت مستقیم، تمام خصوصیات سینماتیکی بدون تغییر باقی می مانند، به استثنای شتاب معمولی.

قانون تغییر در شتاب معمولی یک نقطه

شتاب طبیعی یک نقطه در لحظه اولیه ترمز

شماره‌گذاری موقعیت‌های نقطه روی مسیر مورد قبول در نقشه: 1 - موقعیت فعلی نقطه در حرکت یکنواخت قبل از شروع ترمز. 2 - موقعیت نقطه در لحظه ترمز. 3 - موقعیت فعلی نقطه در طول دوره ترمز. 4- موقعیت نهایی نقطه

وظیفه 2.

بار (شکل 2، الف) با استفاده از وینچ درام بلند می شود. قطر درام d=0.3m و قانون چرخش آن برابر است.

شتاب طبل تا سرعت زاویه ای ادامه داشت. تمام مشخصات سینماتیکی حرکت درام و بار را تعیین کنید.

راه حل. قانون تغییر در سرعت زاویه ای درام. سرعت زاویه ای اولیه را از شرط زیر بدست می آوریم: بنابراین، شتاب از حالت استراحت آغاز شد. زمان شتاب را از شرط: . زاویه چرخش درام در طول دوره شتاب.

قانون تغییر در شتاب زاویه ای درام، نتیجه می شود که در طول دوره شتاب، درام با شتاب یکنواخت می چرخد.

مشخصات سینماتیکی بار برابر با مشخصات مربوط به هر نقطه از طناب کششی است و بنابراین نقطه A روی لبه درام قرار دارد (شکل 2، ب). همانطور که مشخص است، ویژگی های خطی یک نقطه از یک جسم دوار از طریق ویژگی های زاویه ای آن تعیین می شود.

مسافت طی شده توسط بار در طول دوره شتاب، . سرعت بار در پایان شتاب.

تسریع بار.

قانون جابجایی بار.

فاصله، سرعت و شتاب بار را می توان به طور متفاوتی از طریق قانون حرکت بار تعیین کرد:

وظیفه 3.بار که به طور یکنواخت در امتداد یک صفحه حمایتی شیبدار به سمت بالا حرکت می کند، در نقطه ای از زمان مطابق با قانون جدید حرکت ترمز دریافت می کند. ، که در آن s بر حسب متر و t بر حسب ثانیه است. جرم بار m = 100 کیلوگرم، ضریب اصطکاک لغزشی بین بار و صفحه f = 0.25. نیروی F و قدرت روی طناب کششی را برای دو لحظه تعیین کنید: الف) حرکت یکنواخت قبل از شروع ترمز.

ب) لحظه اولیه ترمز. هنگام محاسبه g=10 m/ را در نظر بگیرید.

راه حل.ما ویژگی های سینماتیکی حرکت بار را تعیین می کنیم.

قانون تغییر در سرعت بار

سرعت اولیه بار (در t=0)

شتاب بار

از آنجایی که شتاب منفی است، حرکت کند است.

1. حرکت یکنواخت بار.

برای تعیین نیروی محرکه F، تعادل بار را در نظر می گیریم که توسط سیستم نیروهای همگرا اعمال می شود: نیروی وارد بر کابل F، نیروی گرانشی بار G=mg، واکنش عادی سطح نگهدارنده. N و نیروی اصطکاک معطوف به حرکت بدن. طبق قانون اصطکاک، . همانطور که در نقشه نشان داده شده است جهت محورهای مختصات را انتخاب می کنیم و دو معادله تعادل برای بار ترسیم می کنیم:

قدرت کابل قبل از شروع ترمز با فرمول معروف تعیین می شود

m/s کجاست.

2. حرکت آهسته بار.

همانطور که مشخص است، با حرکت ناهموار انتقالی یک جسم، سیستم نیروهای وارد بر آن در جهت حرکت متعادل نیست. با توجه به اصل دالامبر (روش جنبشی استاتیکی)، در این حالت می‌توان جسم را در حالت تعادل شرطی در نظر گرفت، اگر به تمام نیروهای وارد بر آن نیروی اینرسی اضافه کنیم که بردار آن مخالف بردار شتاب است. بردار شتاب در مورد ما مخالف بردار سرعت است، زیرا بار به آرامی حرکت می کند. ما دو معادله تعادل برای بار ایجاد می کنیم:

کابل را در شروع ترمز روشن کنید

کنترل سوالات

1. چگونه می توان مقدار عددی و جهت سرعت یک نقطه را در یک لحظه معین تعیین کرد؟

2. اجزای نرمال و مماسی شتاب کل چیست؟

3. چگونه از بیان سرعت زاویه ای در min -1 به بیان آن در راد بر ثانیه حرکت کنیم؟

4. وزن بدن چیست؟ واحد اندازه گیری جرم را نام ببرید

5. نیروی اینرسی در کدام حرکت نقطه مادی ایجاد می شود؟ مقدار عددی آن چقدر است و جهت آن چیست؟

6. اصل ایالت دالامبر

7. آیا نیروی اینرسی در حین حرکت منحنی خطی یکنواخت یک نقطه مادی ایجاد می شود؟

8. گشتاور چیست؟

9. رابطه بین گشتاور و سرعت زاویه ای برای یک توان ارسالی معین چگونه بیان می شود؟

10. معادله دینامیک پایه برای حرکت چرخشی.

کار عملی شماره 7

"محاسبه سازه برای مقاومت"

هدف کار: تعیین مقاومت، ابعاد مقطع و بار مجاز

پیش زمینه نظری.

با دانستن ضرایب نیرو و ویژگی های هندسی مقطع در هنگام تغییر شکل کششی (تراکمی)، می توان با استفاده از فرمول ها تنش را تعیین کرد. و برای درک اینکه آیا قطعه ما (شفت، دنده و غیره) بار خارجی را تحمل می کند یا خیر. لازم است این مقدار را با ولتاژ مجاز مقایسه کنید.

بنابراین، معادله قدرت استاتیکی

بر اساس آن، 3 نوع مشکل حل می شود:

1) تست قدرت

2) تعیین ابعاد مقطع

3) تعیین بار مجاز

بنابراین، معادله سفتی استاتیکی

بر اساس آن 3 نوع مشکل نیز حل می شود

معادله استحکام کششی (فشاری) استاتیکی

1) نوع اول - تست قدرت

,

یعنی سمت چپ را حل می کنیم و آن را با تنش مجاز مقایسه می کنیم.

2) نوع دوم - تعیین ابعاد مقطع

از سمت راست سطح مقطع

دایره بخش

از این رو قطر d

بخش مستطیل

مربع مقطع

A = a² (mm²)

بخش نیم دایره

بخش ها: کانال، I-beam، زاویه و غیره.

مقادیر مساحت - از جدول، طبق GOST پذیرفته شده است

3) نوع سوم، تعیین بار مجاز است.

به سمت کوچکتر، عدد صحیح گرفته شده است

ورزش

وظیفه

الف) بررسی قدرت (محاسبه تست)

برای یک تیر مشخص، نموداری از نیروهای طولی بسازید و مقاومت در هر دو بخش را بررسی کنید. برای مواد چوبی (فولاد St3) قبول کنید

گزینه شماره
	12,5	5,3	-			-
		2,3			-	-
		4,2		-	-

ب) انتخاب بخش (محاسبه طراحی)

برای یک تیر معین، نموداری از نیروهای طولی بسازید و ابعاد مقطع را در هر دو مقطع تعیین کنید. برای مواد چوبی (فولاد St3) قبول کنید

گزینه شماره
	1,9	2,5
	2,8	1,9
	3,2

ب) تعیین نیروی طولی مجاز

برای یک تیر مشخص، مقادیر مجاز بارها را تعیین کنید،

نموداری از نیروهای طولی بسازید. برای مواد چوبی (استیل St3) قبول کنید. هنگام حل مشکل، فرض کنید که نوع بارگذاری در هر دو بخش تیر یکسان است.

گزینه شماره
	-	-
			-	-
	-	-

نمونه ای از تکمیل یک کار

مشکل 1(تصویر 1).

استحکام ستونی که از پروفیل های I با اندازه معین ساخته شده است را بررسی کنید. برای مصالح ستون (فولاد St3)، تنش های کششی مجاز را بپذیرید و در حین فشرده سازی . در صورت اضافه بار یا کم باری قابل توجه، اندازه های I-beam را انتخاب کنید که استحکام ستون بهینه را تضمین می کند.

راه حل.

تیر داده شده دارای دو بخش 1، 2 است. مرزهای مقاطع، مقاطعی هستند که در آنها نیروهای خارجی اعمال می شود. از آنجایی که نیروهای بارگیری تیر در امتداد محور طولی مرکزی آن قرار دارند، تنها یک عامل نیروی داخلی در مقاطع ایجاد می شود - نیروی طولی، به عنوان مثال. کشش (فشردگی) تیر وجود دارد.

برای تعیین نیروی طولی از روش مقطع استفاده می کنیم. با انجام یک بخش ذهنی در هر بخش، قسمت ثابت پایین تیر را دور می اندازیم و قسمت بالایی را برای بررسی می گذاریم. در بخش 1 نیروی طولی ثابت و برابر است

علامت منفی نشان می دهد که پرتو در هر دو قسمت فشرده شده است.

ما نموداری از نیروهای طولی می سازیم. با کشیدن خط پایه (صفر) نمودار به موازات محور تیر، مقادیر به دست آمده را عمود بر آن در مقیاس دلخواه رسم می کنیم. همانطور که می بینید، نمودار با خطوط مستقیم موازی با پایه مشخص شد.

ما استحکام چوب را بررسی می کنیم، یعنی. تنش طراحی را تعیین می کنیم (برای هر بخش به طور جداگانه) و آن را با حد مجاز مقایسه می کنیم. برای این کار از شرط مقاومت فشاری استفاده می کنیم

که در آن مساحت یک مشخصه هندسی مقاومت مقطع است. از جدول فولاد نورد می گیریم:

برای I-beam
برای I-beam

تست قدرت:

مقادیر نیروهای طولی به صورت قدر مطلق گرفته می شود.

استحکام تیر تضمین شده است، با این حال، بار قابل توجهی (بیش از 25٪) وجود دارد که به دلیل مصرف بیش از حد مواد غیر قابل قبول است.

با توجه به شرایط مقاومت، ابعاد جدید تیر I برای هر بخش از تیر را تعیین می کنیم:
از این رو منطقه مورد نیاز است

با توجه به جدول GOST، ما I-beam شماره 16 را انتخاب می کنیم که برای آن;

از این رو منطقه مورد نیاز است

با توجه به جدول GOST، I-beam شماره 24 را انتخاب می کنیم که برای آن ;

با اندازه‌های I-beam انتخاب شده، زیر بار نیز رخ می‌دهد، اما ناچیز است (کمتر از 5٪).

وظیفه شماره 2.

برای یک تیر با ابعاد مقطع داده شده، مقادیر بار مجاز را تعیین کنید. برای مواد چوبی (فولاد St3)، تنش های کششی مجاز را بپذیرید و در حین فشرده سازی .

راه حل.

تیر داده شده دارای دو بخش 1، 2 است. کشش (فشردگی) تیر وجود دارد.

با استفاده از روش مقاطع، نیروی طولی را تعیین می کنیم، آن را از طریق نیروهای مورد نیاز بیان می کنیم و. با انجام یک بخش در هر بخش، قسمت چپ تیر را دور می اندازیم و قسمت سمت راست را برای بررسی می گذاریم. در بخش 1 نیروی طولی ثابت و برابر است

در قسمت 2 نیروی طولی نیز ثابت و برابر است

علامت مثبت نشان می دهد که تیر در هر دو قسمت کشیده شده است.

ما نموداری از نیروهای طولی می سازیم. نمودار با خطوط مستقیم موازی با پایه مشخص شده است.

از شرط استحکام کششی، مقادیر بار مجاز را تعیین می کنیم و قبلاً مساحت مقاطع داده شده را محاسبه کرده ایم:

کنترل سوالات

1. چه عوامل نیروی داخلی در مقطع یک تیر در هنگام کشش و فشار ایجاد می شود؟

2. شرایط مقاومت کششی و فشاری را بنویسید.

3. علائم نیروی طولی و تنش معمولی چگونه تخصیص داده می شود؟

4. اگر سطح مقطع 4 برابر شود ولتاژ چگونه تغییر می کند؟

5. آیا شرایط مقاومت برای محاسبات کششی و فشاری متفاوت است؟

6. ولتاژ در چه واحدهایی اندازه گیری می شود؟

7. کدام مشخصه مکانیکی به عنوان تنش محدود کننده برای مواد شکل پذیر و شکننده انتخاب می شود؟

8. تفاوت تنش محدود کننده و مجاز چیست؟

کار عملی شماره 8

حل مسائل برای تعیین ممان مرکزی اصلی اینرسی اشکال هندسی تخت

هدف کار: گشتاورهای اینرسی اجسام مسطح با شکل پیچیده را به صورت تحلیلی تعیین کنید

پیش زمینه نظری. مختصات مرکز ثقل بخش را می توان از طریق لحظه ایستا بیان کرد:

جایی که نسبت به محور Ox

نسبت به محور Oy

گشتاور ساکن مساحت یک شکل نسبت به محوری که در همان صفحه قرار دارد برابر است با حاصلضرب مساحت شکل و فاصله مرکز ثقل آن تا این محور. لحظه ایستا یک بعد دارد. گشتاور ساکن می تواند مثبت، منفی یا برابر با صفر (نسبت به هر محور مرکزی) باشد.

گشتاور محوری اینرسی یک مقطع عبارت است از مجموع حاصلات یا انتگرال نواحی ابتدایی که بر کل مقطع با مجذورات فواصل آنها تا یک محور معین واقع در صفحه مقطع مورد نظر گرفته شده است.

ممان محوری اینرسی بر حسب واحد - بیان می شود. گشتاور محوری اینرسی کمیتی است که همیشه مثبت است و برابر با صفر نیست.

محورهایی که از مرکز ثقل شکل عبور می کنند، مرکزی نامیده می شوند. ممان اینرسی حول محور مرکزی را ممان اینرسی مرکزی می گویند.

ممان اینرسی حول هر محوری برابر با مرکز است

یادداشت های درس فیزیک پایه هفتم

موضوع: تعیین مرکز ثقل

معلم فیزیک دبیرستان شماره 2 ارقایش

Khidiyatulina Z.A.

کار آزمایشگاهی:

"تعیین مرکز ثقل صفحه تخت"

هدف : یافتن مرکز ثقل یک صفحه مسطح.

بخش تئوری:

همه اجسام دارای مرکز ثقل هستند. مرکز ثقل یک جسم نقطه ای است که کل لحظه گرانش وارد بر جسم نسبت به آن صفر است. به عنوان مثال، اگر جسمی را به مرکز ثقلش آویزان کنید، در حالت استراحت باقی می ماند. یعنی موقعیت آن در فضا تغییر نمی کند (واژگون یا به پهلو نمی شود). چرا برخی از بدن ها واژگون می شوند در حالی که برخی دیگر نه؟ اگر از مرکز ثقل بدن خطی عمود بر کف بکشید، اگر خط از مرزهای تکیه گاه بدن فراتر رود، بدنه سقوط می کند. هرچه ناحیه تکیه گاه بزرگتر باشد، مرکز ثقل بدن به نقطه مرکزی ناحیه تکیه گاه و خط مرکزی مرکز ثقل نزدیکتر باشد، وضعیت بدن پایدارتر خواهد بود. . به عنوان مثال، مرکز ثقل برج معروف پیزا تنها دو متر از وسط تکیه گاه آن قرار دارد. و سقوط تنها زمانی اتفاق می افتد که این انحراف حدود 14 متر باشد. مرکز ثقل بدن انسان تقریباً 20.23 سانتی متر زیر ناف است. یک خط خیالی که به صورت عمودی از مرکز ثقل کشیده شده است دقیقاً از بین پاها عبور می کند. برای یک عروسک لیوانی، راز نیز در مرکز ثقل بدن نهفته است. پایداری آن با این واقعیت توضیح داده می شود که مرکز ثقل لیوان در پایین ترین قسمت قرار دارد؛ در واقع روی آن ایستاده است. شرط حفظ تعادل یک جسم عبور از محور عمودی مرکز ثقل مشترک آن در ناحیه تکیه گاه بدن است. اگر مرکز ثقل عمودی بدن از ناحیه حمایت خارج شود، بدن تعادل خود را از دست داده و سقوط می کند. بنابراین، هر چه ناحیه تکیه گاه بزرگتر باشد، مرکز ثقل بدن به نقطه مرکزی ناحیه تکیه گاه و خط مرکزی مرکز ثقل نزدیکتر باشد، وضعیت پایدارتر است. بدن خواهد بود. ناحیه حمایت زمانی که فرد در وضعیت عمودی قرار می گیرد توسط فضایی که در زیر کف پا و بین پاها قرار دارد محدود می شود. نقطه مرکزی خط عمودی مرکز ثقل روی پا 5 سانتی متر جلوتر از غده پاشنه است. اندازه ساژیتال ناحیه پشتیبان همیشه بر قسمت جلویی غالب است، بنابراین جابجایی خط عمودی مرکز ثقل راحت تر به سمت راست و چپ اتفاق می افتد تا عقب، و به خصوص به سمت جلو دشوار است. از این نظر، پایداری در حین چرخش در حین دویدن سریع به طور قابل توجهی کمتر از جهت ساژیتال (به جلو یا عقب) است. پا در کفش، به خصوص با پاشنه پهن و کفی سفت، پایدارتر از بدون کفش است، زیرا سطح حمایت بیشتری را به دست می آورد.

بخش عملی:

هدف کار: با استفاده از تجهیزات پیشنهادی، موقعیت مرکز ثقل دو شکل ساخته شده از مقوا و یک مثلث را به صورت تجربی پیدا کنید.

تجهیزات:سه پایه، مقوای ضخیم، مثلث از کیت مدرسه، خط کش، نوار، نخ، مداد ...

وظیفه 1: موقعیت مرکز ثقل یک شکل صاف با شکل دلخواه را تعیین کنید

با استفاده از قیچی، یک شکل تصادفی را از مقوا جدا کنید. نخ را در نقطه A با چسب به آن بچسبانید، شکل را با نخ به پایه سه پایه آویزان کنید. با خط کش و مداد خط عمودی AB را روی مقوا مشخص کنید.

نقطه اتصال نخ را به موقعیت C منتقل کنید. مراحل بالا را تکرار کنید.

نقطه O تقاطع خطوط AB وسی دیموقعیت مورد نظر مرکز ثقل شکل را نشان می دهد.

وظیفه 2: فقط با استفاده از یک خط کش و مداد، موقعیت مرکز ثقل یک شکل صاف را پیدا کنید.

با مداد و خط کش شکل را به دو مستطیل تقسیم کنید. با ساخت، موقعیت های O1 و O2 مراکز ثقل آنها را پیدا کنید. واضح است که مرکز ثقل کل شکل روی خط O1O2 است

شکل دیگر را به دو مستطیل تقسیم کنید. با ساخت، موقعیت مراکز ثقل O3 و O4 هر یک از آنها را پیدا کنید. نقاط O3 و O4 را با یک خط وصل کنید. نقطه تلاقی خطوط O1O2 و O3O4 موقعیت مرکز ثقل شکل را تعیین می کند.

وظیفه 2: موقعیت مرکز ثقل مثلث را تعیین کنید

با استفاده از نوار، یک سر نخ را در بالای مثلث محکم کنید و آن را از پایه سه پایه آویزان کنید. با استفاده از یک خط کش، جهت AB خط گرانش را علامت بزنید (در طرف مقابل مثلث علامت بزنید)

همین روش را تکرار کنید، مثلث را از راس C آویزان کنید. در سمت مقابل راس C مثلث، علامت بزنید.D.

با استفاده از نوار، تکه هایی از نخ AB وسی دی. نقطه O تقاطع آنها موقعیت مرکز ثقل مثلث را تعیین می کند. در این حالت مرکز ثقل فیگور خارج از خود بدن است.

III . حل مشکلات کیفیت

1. بازیگران سیرک هنگام راه رفتن روی طناب میله های سنگین را در دستان خود به چه منظور می گیرند؟

2. چرا فردی که بار سنگینی را بر پشت خود حمل می کند به جلو خم می شود؟

3. چرا نمی توانید از روی صندلی بلند شوید مگر اینکه بدن خود را به جلو خم کنید؟

4. چرا جرثقیل به سمت باری که بلند می شود منحرف نمی شود؟ چرا بدون بار، جرثقیل به سمت وزنه تعادل خم نمی شود؟

5. چرا ماشین و دوچرخه و غیره. ترمز چرخ های عقب بهتر است به جای چرخ های جلو؟

6. چرا یک کامیون بارگیری شده با یونجه راحت تر از همان کامیون بارگیری شده با برف واژگون می شود؟

نموداری از سیستم بکشید و مرکز ثقل را روی آن علامت بزنید.اگر مرکز ثقل یافت شده خارج از سیستم جسم باشد، پاسخ نادرستی دریافت کرده اید. ممکن است فاصله ها را از نقاط مرجع مختلف اندازه گیری کرده باشید. اندازه گیری ها را تکرار کنید.

• به عنوان مثال، اگر کودکان روی تاب نشسته باشند، مرکز ثقل جایی بین کودکان خواهد بود و نه در سمت راست یا چپ تاب. همچنین مرکز ثقل هرگز با نقطه ای که کودک نشسته است منطبق نخواهد بود.
• این استدلال ها در فضای دو بعدی معتبر هستند. مربعی رسم کنید که شامل تمام اشیاء سیستم باشد. مرکز ثقل باید داخل این مربع باشد.

اگر نتیجه کمی گرفتید، ریاضی خود را بررسی کنید.اگر نقطه مرجع در یک انتهای سیستم باشد، یک نتیجه کوچک مرکز ثقل را نزدیک انتهای سیستم قرار می دهد. این ممکن است پاسخ صحیح باشد، اما در اکثریت قریب به اتفاق موارد این نتیجه نشان دهنده یک خطا است. وقتی لحظه ها را محاسبه کردید، وزن ها و فواصل مربوطه را ضرب کردید؟ اگر به جای ضرب، وزن ها و فواصل را اضافه کنید، نتیجه بسیار کمتری می گیرید.

اگر چندین مرکز ثقل پیدا کردید، خطا را تصحیح کنید.هر سیستم فقط یک مرکز ثقل دارد. اگر چندین مرکز ثقل پیدا کردید، به احتمال زیاد تمام لحظات را جمع نکرده اید. مرکز ثقل برابر است با نسبت لحظه "کل" به وزن "کل". نیازی به تقسیم «هر» لحظه بر «هر وزن» نیست: به این ترتیب موقعیت هر جسم را پیدا خواهید کرد.

اگر پاسخ با مقداری عدد صحیح متفاوت است، نقطه مرجع را بررسی کنید.در مثال ما، پاسخ 3.4 متر است. فرض کنید شما پاسخ 0.4 m یا 1.4 m یا عدد دیگری را دریافت کرده اید که به ".4" ختم می شود. این به این دلیل است که شما انتهای سمت چپ تخته را به عنوان نقطه شروع خود انتخاب نکرده اید، بلکه نقطه ای را انتخاب کرده اید که یک مقدار کامل در سمت راست قرار دارد. در واقع، بدون توجه به اینکه کدام نقطه مرجع را انتخاب کنید، پاسخ شما صحیح است! فقط به یاد داشته باشید: نقطه مرجع همیشه در موقعیت x = 0 است. در اینجا یک مثال آورده شده است:

• در مثال ما، نقطه مرجع در انتهای سمت چپ تخته بود و متوجه شدیم که مرکز ثقل 3.4 متر از این نقطه مرجع است.
• اگر نقطه ای را به عنوان نقطه مرجع انتخاب کنید که از انتهای سمت چپ تخته 1 متر به سمت راست قرار دارد، پاسخ آن 2.4 متر است یعنی مرکز ثقل از نقطه مرجع جدید 2.4 متر است که ، به نوبه خود، 1 متر از انتهای سمت چپ تخته قرار دارد. بنابراین، مرکز ثقل در فاصله 2.4 + 1 = 3.4 متر از انتهای سمت چپ تخته است. معلوم شد که جواب قدیمی است!
• توجه: هنگام اندازه گیری فواصل، به یاد داشته باشید که فواصل تا نقطه مرجع "چپ" منفی و از نقطه مرجع "راست" مثبت هستند.

فواصل را در خطوط مستقیم اندازه گیری کنید.فرض کنید دو کودک روی یک تاب هستند، اما یک کودک بسیار بلندتر از دیگری است، یا یک کودک به جای اینکه روی تخته بنشیند، زیر تخت آویزان است. این تفاوت را نادیده بگیرید و فواصل را در امتداد خط مستقیم تخته اندازه بگیرید. اندازه‌گیری فواصل در زاویه‌ها نتایج نزدیک اما نه کاملاً دقیق را به همراه خواهد داشت.

• برای مشکل تخته اره، به یاد داشته باشید که مرکز ثقل بین انتهای راست و چپ تخته است. بعداً یاد خواهید گرفت که مرکز ثقل سیستم های دو بعدی پیچیده تر را محاسبه کنید.

مستطیل. از آنجایی که یک مستطیل دارای دو محور تقارن است، مرکز ثقل آن در محل تلاقی محورهای تقارن است، یعنی. در نقطه تلاقی قطرهای مستطیل.

مثلث. مرکز ثقل در نقطه تقاطع میانه های آن قرار دارد. از هندسه مشخص است که وسط یک مثلث در یک نقطه قطع می شود و به نسبت 1:2 از قاعده تقسیم می شود.

دایره. از آنجایی که یک دایره دارای دو محور تقارن است، مرکز ثقل آن در محل تلاقی محورهای تقارن است.

نیم دایره. یک نیم دایره دارای یک محور تقارن است، سپس مرکز ثقل روی این محور قرار دارد. مختصات دیگر مرکز ثقل با فرمول محاسبه می شود: .

بسیاری از عناصر ساختاری از محصولات نورد استاندارد ساخته شده اند - زاویه ها، تیرهای I، کانال ها و غیره. همه ابعاد، و همچنین ویژگی های هندسی پروفیل های نورد، داده های جدولی هستند که می توان آنها را در ادبیات مرجع در جداول طبقه بندی معمولی (GOST 8239-89، GOST 8240-89) یافت.

مثال 1. موقعیت مرکز ثقل شکل نشان داده شده در شکل را تعیین کنید.

راه حل:

محورهای مختصات را طوری انتخاب می کنیم که محور Ox در امتداد پایین ترین بعد کلی قرار گیرد و محور Oy در امتداد سمت چپ ترین بعد کلی قرار گیرد.

یک شکل پیچیده را به حداقل تعداد ارقام ساده تقسیم می کنیم:

مستطیل 20x10;

مثلث 15x10;

دایره R=3 سانتی متر.

ما مساحت هر شکل ساده و مختصات مرکز ثقل آن را محاسبه می کنیم. نتایج محاسبات در جدول وارد می شود

شکل شماره	مساحت شکل A،	مختصات مرکز ثقل

پاسخ: C(14.5; 4.5)

مثال 2 . مختصات مرکز ثقل یک مقطع مرکب متشکل از یک ورق و مقاطع نورد شده را تعیین کنید.

راه حل.

همانطور که در شکل نشان داده شده است محورهای مختصات را انتخاب می کنیم.

بیایید ارقام را با اعداد مشخص کنیم و داده های لازم را از جدول بنویسیم:

شکل شماره	مساحت شکل A،	مختصات مرکز ثقل

مختصات مرکز ثقل شکل را با استفاده از فرمول ها محاسبه می کنیم:

پاسخ: C(0; 10)

کار آزمایشگاهی شماره 1 "تعیین مرکز ثقل فیگورهای تخت مرکب"

هدف: مرکز ثقل یک شکل مختلط مسطح معین را با استفاده از روش های تجربی و تحلیلی تعیین کنید و نتایج آنها را با هم مقایسه کنید.

سفارش کار

شکل صاف خود را در دفترچه یادداشت خود در اندازه بکشید و محورهای مختصات را نشان دهید.

مرکز ثقل را به صورت تحلیلی تعیین کنید.

1. شکل را به حداقل تعداد ارقامی تقسیم کنید که می دانیم مرکز ثقل آنها را چگونه تعیین کنیم.

   اعداد مساحت و مختصات مرکز ثقل هر شکل را مشخص کنید.

   مختصات مرکز ثقل هر شکل را محاسبه کنید.

   مساحت هر شکل را محاسبه کنید.

   مختصات مرکز ثقل کل شکل را با استفاده از فرمول ها محاسبه کنید (موقعیت مرکز ثقل در رسم شکل ترسیم شده است):

نصب برای تعیین تجربی مختصات مرکز ثقل با استفاده از روش آویزان شامل یک پایه عمودی است. 1 (شکل را ببینید) که سوزن به آن وصل شده است 2 . شکل تخت 3 ساخته شده از مقوا، که به راحتی سوراخ می شود. سوراخ ها آ و که در در نقاطی که به طور تصادفی قرار دارند سوراخ می شوند (ترجیحاً در دورترین فاصله از یکدیگر). یک شکل صاف ابتدا در یک نقطه روی یک سوزن آویزان می شود آ ، و سپس در نقطه که در . با استفاده از شاقول 4 ، به همان سوزن متصل شده، با مداد مربوط به نخ شاقول یک خط عمودی روی شکل بکشید. مرکز گرانش با شکل در نقطه تقاطع خطوط عمودی ترسیم شده هنگام آویزان کردن شکل در نقاط قرار می گیرد آ و که در .