بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح. گره چیست؟ بخش. سود سهام: مقسم = ضریب

لانسینوا آیسا

دانلود:

پیش نمایش:

برای استفاده از پیش نمایش ارائه، یک حساب Google ایجاد کنید و وارد آن شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلاید:

مشکلات مربوط به GCD و LCM اعداد کار دانش آموز کلاس ششم MCOU "دبیرستان کامیشوفسایا" لانتسینوا آیسا ناظر زویا اردنیگوریاونا گوریاوا ، معلم ریاضیات ص. کامیشوو، 2013

مثالی از یافتن gcd اعداد 50، 75 و 325. 1) اعداد 50، 75 و 325 را در فاکتورهای اول قرار می دهیم. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75 = 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) از عواملی که در بسط یکی از این اعداد گنجانده شده است، مواردی را خط می زنیم که در بسط اعداد دیگر لحاظ نشده اند. . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) حاصلضرب عوامل باقیمانده را بیابید 5 ∙ 5 = 25 پاسخ: GCD (50، 75 و 3525 طبیعی ترین) عددی که با تقسیم اعداد a و b بدون باقی مانده، بزرگترین مقسوم علیه مشترک این اعداد را بزرگترین مقسوم علیه مشترک این اعداد می نامند.

مثالی از یافتن LCM اعداد 72، 99 و 117. 1) بیایید اعداد 72، 99 و 117 را در ضرایب اول فاکتور کنیم. 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 99 = 3 ∙ 13 ∙ 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) عوامل موجود در بسط یکی از اعداد 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 را بنویسید و ضرایب گمشده اعداد باقیمانده را به آنها اضافه کنید. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) حاصل ضرب عوامل حاصل را بیابید. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 = 10296 پاسخ: LCM (72، 99 و 117) = 10296 حداقل مضرب مشترک اعداد طبیعی a و b کوچکترین عدد طبیعی را که مضرب a و b است نام می برند.

ورق مقوا به شکل مستطیل است که طول آن 48 سانتی متر و عرض آن 40 سانتی متر است که این ورق باید بدون ضایعات به صورت مربع های مساوی بریده شود. بزرگترین مربع هایی که می توان از این کاربرگ به دست آورد کدام است و چند؟ راه حل: 1) S = a ∙ b - مساحت مستطیل. S= 48 ∙ 40 = 1960 سانتی متر مربع. - مساحت مقوا 2) الف – ضلع مربع 48: الف – تعداد مربع هایی که می توان در طول مقوا گذاشت. 40: الف - تعداد مربع هایی که می توان در عرض مقوا گذاشت. 3) GCD (40 و 48) = 8 (سانتی متر) - ضلع مربع. 4) S = a² - مساحت یک مربع. S = 8² = 64 (cm²) - مساحت یک مربع. 5) 1960: 64 = 30 (تعداد مربع). جواب: 30 مربع با ضلع هر کدام 8 سانتی متر. مشکلات GCD

شومینه اتاق باید به شکل مربع کاشی شود. برای یک شومینه به ابعاد 195 ͯ 156 سانتی متر به چند کاشی نیاز است و بزرگترین اندازه کاشی چیست؟ راه حل: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) - S سطح شومینه. 2) GCD (195 و 156) = 39 (سانتی متر) - سمت کاشی. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - مساحت 1 کاشی. 4) 30420: = 20 (قطعه). پاسخ: 20 کاشی به ابعاد 39 ͯ 39 (سانتی متر). مشکلات GCD

یک قطعه باغ به ابعاد 54 ͯ 48 متر در اطراف محیط باید حصار کشی شود؛ برای انجام این کار، ستون های بتنی باید در فواصل زمانی معین قرار داده شوند. چند تیرک باید برای سایت آورده شود و تیرها حداکثر در چه فاصله ای از یکدیگر قرار می گیرند؟ راه حل: 1) P = 2 (a + b) - محیط سایت. P = 2 (54 + 48) = 204 متر. 2) GCD (54 و 48) = 6 (m) - فاصله بین ستون ها. 3) 204: 6 = 34 (ستون). جواب: 34 ستون در فاصله 6 متری مشکلات GCD

دسته گل ها از 210 گل رز شرابی، 126 گل رز سفید و 294 گل رز قرمز جمع آوری شد که هر دسته شامل تعداد مساوی گل رز هم رنگ بود. بیشترین تعداد دسته گلی که از این گل رز تهیه می شود چقدر است و از هر رنگ چند گل رز در یک دسته گل وجود دارد؟ راه حل: 1) GCD (210، 126 و 294) = 42 (دسته گل). 2) 210: 42 = 5 (رز بورگوندی). 3) 126: 42 = 3 (رز سفید). 4) 294: 42 = 7 (رز قرمز). پاسخ: 42 دسته: در هر دسته گل 5 عدد شرابی، 3 عدد رز سفید، 7 عدد گل رز قرمز. مشکلات GCD

تانیا و ماشا همان تعداد کیت پستی خریدند. تانیا 90 روبل پرداخت کرد و ماشا 5 روبل. بیشتر. قیمت یک مجموعه چقدر است؟ هر نفر چند ست خرید؟ راه حل: 1) 90 + 5 = 95 (مالش.) ماشا پرداخت کرد. 2) GCD (90 و 95) = 5 (مالش) - قیمت 1 مجموعه. 3) 980: 5 = 18 (مجموعه) - خریداری شده توسط تانیا. 4) 95: 5 = 19 (مجموعه) - خریداری شده توسط ماشا. پاسخ: 5 روبل، 18 مجموعه، 19 مجموعه. مشکلات GCD

سه سفر با قایق توریستی در شهر بندری آغاز می شود که اولی 15 روز، دومی 20 و سومی 12 روزه به طول می انجامد. پس از بازگشت به بندر، کشتی ها دوباره در همان روز به راه افتادند. امروز کشتی ها در هر سه مسیر بندر را ترک کردند. چند روز دیگه برای اولین بار با هم قایقرانی میکنن؟ هر کشتی چند سفر خواهد داشت؟ راه حل: 1) NOC (15،20 و 12) = 60 (روز) - زمان ملاقات. 2) 60: 15 = 4 (سفر) - 1 کشتی. 3) 60: 20 = 3 (سفر) - 2 کشتی. 4) 60: 12 = 5 (پرواز) - 3 کشتی. پاسخ: 60 روز، 4 پرواز، 3 پرواز، 5 پرواز. وظایف NOC

ماشا برای خرس در فروشگاه تخم مرغ خرید. در راه جنگل متوجه شد که تعداد تخمها بر 2،3،5،10 و 15 بخش پذیر است. ماشا چند تخم مرغ خرید؟ راه حل: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (تخم مرغ) پاسخ: ماشا 30 تخم مرغ خرید. وظایف NOC

لازم است جعبه ای با ته مربع درست کنید تا جعبه هایی به ابعاد 16 ¯ 20 سانتی متر را در خود جای دهد. راه حل: 1) LCM (16 و 20) = 80 (جعبه). 2) S = a ∙ b - مساحت 1 جعبه. S = 16 ∙ 20 = 320 (cm²) - مساحت پایین 1 جعبه. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) - مساحت ته مربع. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 - ابعاد جعبه. پاسخ: 160 سانتی متر ضلع ته مربع است. وظایف NOC

در طول جاده از نقطه K هر 45 متر تیرهای برق وجود دارد. آنها تصمیم گرفتند این تیرها را با تیرهای دیگری جایگزین کنند و آنها را در فاصله 60 متری از یکدیگر قرار دهند. چند ستون وجود داشت و چند تا خواهد بود؟ راه حل: 1) LCM (45 و 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - ستون وجود داشت. 3) 180: 60 = 3 - ستون شد. جواب: 4 رکن، 3 رکن. وظایف NOC

اگر به صورت 12 نفره در یک صف رژه بروند و به یک ستون 18 نفره در یک صف تبدیل شوند، چند سرباز در محل رژه رژه می روند؟ راه حل: 1) NOC (12 و 18) = 36 (نفر) - راهپیمایی. پاسخ: 36 نفر. وظایف NOC

بیایید بزرگترین مقسوم علیه مشترک GCD را پیدا کنیم (36; 24)

مراحل حل

روش شماره 1

36 - عدد مرکب
24 - عدد مرکب

بیایید عدد 36 را گسترش دهیم

36: 2 = 18
18: 2 = 9 - قابل تقسیم بر عدد اول 2
9: 3 = 3 - قابل تقسیم بر عدد اول 3.

بیایید عدد 24 را بشکنیم فاکتورهای اصلی را وارد کنید و آنها را با رنگ سبز برجسته کنید. ما شروع به انتخاب یک مقسوم علیه از اعداد اول می کنیم و از کوچکترین عدد اول 2 شروع می کنیم تا زمانی که ضریب یک عدد اول شود.

24: 2 = 12 - قابل تقسیم بر عدد اول 2
12: 2 = 6 - قابل تقسیم بر عدد اول 2
6: 2 = 3
ما تقسیم را کامل می کنیم زیرا 3 یک عدد اول است

2) آن را با رنگ آبی مشخص کنید و فاکتورهای رایج را بنویسید

36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
عوامل مشترک (36؛ 24): 2، 2، 3

3) اکنون برای یافتن GCD باید فاکتورهای مشترک را ضرب کنید

پاسخ: GCD (36؛ 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 12

روش شماره 2

1) تمام مقسوم علیه های ممکن اعداد (36؛ 24) را بیابید. برای این کار به طور متناوب عدد 36 را به مقسوم علیه های 1 تا 36 و عدد 24 را به مقسوم علیه های 1 تا 24 تقسیم می کنیم.اگر عدد بدون باقی مانده قابل تقسیم باشد، در فهرست مقسوم علیه ها می نویسیم.

برای شماره 36
36: 1 = 36; 36: 2 = 18; 36: 3 = 12; 36: 4 = 9; 36: 6 = 6; 36: 9 = 4; 36: 12 = 3; 36: 18 = 2; 36: 36 = 1;

برای شماره 24 بیایید همه مواردی را که بدون باقی مانده قابل تقسیم است بنویسیم:
24: 1 = 24; 24: 2 = 12; 24: 3 = 8; 24: 4 = 6; 24: 6 = 4; 24: 8 = 3; 24: 12 = 2; 24: 24 = 1;

2) بیایید همه مقسوم‌گیرنده‌های مشترک اعداد (36؛ 24) را بنویسیم و بزرگ‌ترین آنها را با رنگ سبز مشخص کنیم، این بزرگترین مقسوم‌گیرنده مشترک gcd اعداد (36؛ 24) خواهد بود.

عوامل مشترک اعداد (36؛ 24): 1، 2، 3، 4، 6، 12

پاسخ: GCD (36؛ 24) = 12

بیایید حداقل مضرب مشترک LCM را پیدا کنیم (52؛ 49)

مراحل حل

روش شماره 1

1) بیایید اعداد را به عوامل اول تبدیل کنیم. برای انجام این کار، بیایید بررسی کنیم که آیا هر یک از اعداد اول هستند یا خیر (اگر عددی اول باشد، نمی توان آن را به عوامل اول تجزیه کرد و خود تجزیه است).

52 - عدد مرکب
49 - عدد مرکب

بیایید عدد 52 را گسترش دهیم فاکتورهای اصلی را وارد کنید و آنها را با رنگ سبز برجسته کنید. ما شروع به انتخاب یک مقسوم علیه از اعداد اول می کنیم و از کوچکترین عدد اول 2 شروع می کنیم تا زمانی که ضریب یک عدد اول شود.

52: 2 = 26 - قابل تقسیم بر عدد اول 2
26: 2 = 13 - قابل تقسیم بر عدد اول 2.
ما تقسیم را کامل می کنیم زیرا 13 یک عدد اول است

بیایید عدد 49 را گسترش دهیم فاکتورهای اصلی را وارد کنید و آنها را با رنگ سبز برجسته کنید. ما شروع به انتخاب یک مقسوم علیه از اعداد اول می کنیم و از کوچکترین عدد اول 2 شروع می کنیم تا زمانی که ضریب یک عدد اول شود.

49: 7 = 7 - قابل تقسیم بر عدد اول 7.
ما تقسیم را کامل می کنیم زیرا 7 یک عدد اول است

2) ابتدا ضرایب بزرگترین عدد و سپس عدد کوچکتر را بنویسید. بیایید فاکتورهای گمشده را پیدا کنیم، در بسط عدد کوچکتر عواملی را که در بسط عدد بزرگتر گنجانده نشده اند را با رنگ آبی برجسته کنیم.

52 = 2 ∙ 2 ∙ 13
49 = 7 ∙ 7

3) اکنون برای پیدا کردن LCM باید فاکتورهای عدد بزرگتر را با فاکتورهای گمشده ضرب کنید که با رنگ آبی مشخص شده اند.

LCM (52 ؛ 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548

روش شماره 2

1) تمام مضرب های ممکن اعداد (52؛ 49) را بیابید. برای این کار عدد 52 را به طور متناوب در اعداد 1 تا 49 و عدد 49 را در اعداد 1 تا 52 ضرب می کنیم.

همه مضرب ها را انتخاب کنید 52 به رنگ سبز:

52 ∙ 1 = 52 ; 52 ∙ 2 = 104 ; 52 ∙ 3 = 156 ; 52 ∙ 4 = 208 ;
52 ∙ 5 = 260 ; 52 ∙ 6 = 312 ; 52 ∙ 7 = 364 ; 52 ∙ 8 = 416 ;
52 ∙ 9 = 468 ; 52 ∙ 10 = 520 ; 52 ∙ 11 = 572 ; 52 ∙ 12 = 624 ;
52 ∙ 13 = 676 ; 52 ∙ 14 = 728 ; 52 ∙ 15 = 780 ; 52 ∙ 16 = 832 ;
52 ∙ 17 = 884 ; 52 ∙ 18 = 936 ; 52 ∙ 19 = 988 ; 52 ∙ 20 = 1040 ;
52 ∙ 21 = 1092 ; 52 ∙ 22 = 1144 ; 52 ∙ 23 = 1196 ; 52 ∙ 24 = 1248 ;
52 ∙ 25 = 1300 ; 52 ∙ 26 = 1352 ; 52 ∙ 27 = 1404 ; 52 ∙ 28 = 1456 ;
52 ∙ 29 = 1508 ; 52 ∙ 30 = 1560 ; 52 ∙ 31 = 1612 ; 52 ∙ 32 = 1664 ;
52 ∙ 33 = 1716 ; 52 ∙ 34 = 1768 ; 52 ∙ 35 = 1820 ; 52 ∙ 36 = 1872 ;
52 ∙ 37 = 1924 ; 52 ∙ 38 = 1976 ; 52 ∙ 39 = 2028 ; 52 ∙ 40 = 2080 ;
52 ∙ 41 = 2132 ; 52 ∙ 42 = 2184 ; 52 ∙ 43 = 2236 ; 52 ∙ 44 = 2288 ;
52 ∙ 45 = 2340 ; 52 ∙ 46 = 2392 ; 52 ∙ 47 = 2444 ; 52 ∙ 48 = 2496 ;
52 ∙ 49 = 2548 ;

همه مضرب ها را انتخاب کنید 49 به رنگ سبز:

49 ∙ 1 = 49 ; 49 ∙ 2 = 98 ; 49 ∙ 3 = 147 ; 49 ∙ 4 = 196 ;
49 ∙ 5 = 245 ; 49 ∙ 6 = 294 ; 49 ∙ 7 = 343 ; 49 ∙ 8 = 392 ;
49 ∙ 9 = 441 ; 49 ∙ 10 = 490 ; 49 ∙ 11 = 539 ; 49 ∙ 12 = 588 ;
49 ∙ 13 = 637 ; 49 ∙ 14 = 686 ; 49 ∙ 15 = 735 ; 49 ∙ 16 = 784 ;
49 ∙ 17 = 833 ; 49 ∙ 18 = 882 ; 49 ∙ 19 = 931 ; 49 ∙ 20 = 980 ;
49 ∙ 21 = 1029 ; 49 ∙ 22 = 1078 ; 49 ∙ 23 = 1127 ; 49 ∙ 24 = 1176 ;
49 ∙ 25 = 1225 ; 49 ∙ 26 = 1274 ; 49 ∙ 27 = 1323 ; 49 ∙ 28 = 1372 ;
49 ∙ 29 = 1421 ; 49 ∙ 30 = 1470 ; 49 ∙ 31 = 1519 ; 49 ∙ 32 = 1568 ;
49 ∙ 33 = 1617 ; 49 ∙ 34 = 1666 ; 49 ∙ 35 = 1715 ; 49 ∙ 36 = 1764 ;
49 ∙ 37 = 1813 ; 49 ∙ 38 = 1862 ; 49 ∙ 39 = 1911 ; 49 ∙ 40 = 1960 ;
49 ∙ 41 = 2009 ; 49 ∙ 42 = 2058 ; 49 ∙ 43 = 2107 ; 49 ∙ 44 = 2156 ;
49 ∙ 45 = 2205 ; 49 ∙ 46 = 2254 ; 49 ∙ 47 = 2303 ; 49 ∙ 48 = 2352 ;
49 ∙ 49 = 2401 ; 49 ∙ 50 = 2450 ; 49 ∙ 51 = 2499 ; 49 ∙ 52 = 2548 ;

2) بیایید همه مضرب مشترک اعداد (52؛ 49) را بنویسیم و کوچکترین آنها را با رنگ سبز برجسته کنیم، این کوچکترین مضرب مشترک اعداد خواهد بود (52؛ 49).

مضرب مشترک اعداد (52؛ 49): 2548

پاسخ: LCM (52؛ 49) = 2548

اما بسیاری از اعداد طبیعی بر سایر اعداد طبیعی نیز بخش پذیر هستند.

مثلا:

عدد 12 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12 بخش پذیر است.

عدد 36 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12، بر 18، بر 36 بخش پذیر است.

اعدادی که عدد به آنها بر یک کل بخش پذیر است (برای 12 اینها 1، 2، 3، 4، 6 و 12 هستند) نامیده می شوند. مقسوم علیه اعداد. مقسوم علیه یک عدد طبیعی آ- یک عدد طبیعی است که یک عدد معین را تقسیم می کند آبدون هیچ ردی. عدد طبیعی که بیش از دو مقسوم علیه داشته باشد نامیده می شود کامپوزیت .

لطفا توجه داشته باشید که اعداد 12 و 36 دارای فاکتورهای مشترک هستند. این اعداد عبارتند از: 1، 2، 3، 4، 6، 12. بزرگترین مقسوم علیه این اعداد 12 است. مقسوم علیه مشترک این دو عدد آو ب- این عددی است که هر دو عدد داده شده بدون باقیمانده بر آن تقسیم می شوند آو ب.

مضرب های مشترکچند عدد عددی است که بر هر یک از این اعداد بخش پذیر است. مثلا، اعداد 9، 18 و 45 مضرب مشترک 180 دارند. اما 90 و 360 نیز مضرب مشترک آنها هستند. در میان همه مضرب های مشترک همیشه کوچکترین یک وجود دارد، in در این مورداین 90 است. این عدد نامیده می شود کوچکترینچندگانه مشترک (CMM).

LCM همیشه یک عدد طبیعی است که باید بزرگتر از بزرگترین اعدادی باشد که برای آن تعریف شده است.

حداقل مضرب مشترک (LCM). خواص.

جابجایی:

انجمنی بودن:

به طور خاص، اگر و اعداد هم اول باشند، پس:

حداقل مضرب مشترک دو عدد صحیح مترو nمقسوم علیه همه مضرب های مشترک دیگر است مترو n. علاوه بر این، مجموعه ای از مضرب های مشترک m، nمنطبق با مجموعه مضربهای LCM ( m، n).

مجانبی برای را می توان در قالب برخی از توابع نظری اعداد بیان کرد.

بنابراین، عملکرد چبیشف. و:

این از تعریف و ویژگی های تابع لاندو به دست می آید g(n).

آنچه از قانون توزیع اعداد اول به دست می آید.

یافتن حداقل مضرب مشترک (LCM).

NOC( الف، ب) به چند روش قابل محاسبه است:

1. اگر بزرگترین مقسوم علیه مشترک شناخته شده است، می توانید از اتصال آن با LCM استفاده کنید:

2. اجازه دهید تجزیه متعارف هر دو عدد به عوامل اول مشخص شود:

جایی که p 1,...,p k- اعداد اول مختلف و d 1،...،d kو e 1,...,e k- اعداد صحیح غیر منفی (اگر عدد اول مربوطه در بسط نباشد، می توانند صفر باشند).

سپس NOC ( آ,ب) با فرمول محاسبه می شود:

به عبارت دیگر، تجزیه LCM شامل تمام عوامل اول موجود در حداقل یکی از تجزیه اعداد است. الف، ب، و بزرگترین از دو توان این ضریب گرفته می شود.

مثال:

محاسبه حداقل مضرب مشترک چند عدد را می توان به چندین محاسبه متوالی LCM دو عدد تقلیل داد:

قانون.برای پیدا کردن LCM یک سری اعداد، شما نیاز دارید:

- اعداد را به عوامل اول تجزیه کنید.

- بزرگترین تجزیه ( حاصل ضرب ضرایب بیشترین تعداد داده شده) را به عوامل حاصلضرب مورد نظر منتقل کنید و سپس عواملی را از تجزیه اعداد دیگری که در عدد اول ظاهر نمی شوند یا در آن ظاهر می شوند اضافه کنید. دفعات کمتر؛

- حاصل ضرب ضرایب اول LCM اعداد داده شده خواهد بود.

هر دو یا چند عدد طبیعی LCM خود را دارند. اگر اعداد مضرب یکدیگر نباشند یا عوامل یکسانی در بسط نداشته باشند، LCM آنها برابر است با حاصلضرب این اعداد.

ضرایب اول عدد 28 (2، 2، 7) با ضریب 3 (عدد 21) تکمیل می شود، حاصل ضرب (84) کوچکترین عددی خواهد بود که بر 21 و 28 بخش پذیر است.

ضرایب اول بزرگترین عدد 30 با ضریب 5 عدد 25 تکمیل می شود، حاصل ضرب 150 از بزرگترین عدد 30 بزرگتر است و بر تمام اعداد داده شده بدون باقیمانده بخش پذیر است. این کمترین محصولاز موارد ممکن (150، 250، 300...)، که همه اعداد داده شده مضرب هستند.

اعداد 2،3،11،37 اعداد اول هستند، بنابراین LCM آنها برابر است با حاصلضرب اعداد داده شده.

قانون. برای محاسبه LCM اعداد اول، باید همه این اعداد را در هم ضرب کنید.

گزینه ای دیگر:

برای یافتن کمترین مضرب مشترک (LCM) از چندین عدد به موارد زیر نیاز دارید:

1) هر عدد را به عنوان حاصلضرب عوامل اول آن نشان دهید، برای مثال:

504 = 2 2 2 3 3 7،

2) توان همه عوامل اول را بنویسید:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1،

3) تمام مقسوم علیه های اول (ضرب) هر یک از این اعداد را بنویسید.

4) بیشترین درجه هر یک از آنها را که در همه بسط های این اعداد یافت می شود انتخاب کنید.

5) این قدرت ها را چند برابر کنید.

مثال. LCM اعداد: 168، 180 و 3024 را بیابید.

راه حل. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1،

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1،

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

ما بزرگترین قدرت های همه مقسوم علیه های اول را می نویسیم و آنها را ضرب می کنیم:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

بزرگترین عدد طبیعی که اعداد a و b بدون باقیمانده بر آن تقسیم می شوند نامیده می شود بزرگترین مقسوم علیه مشترکاین اعداد GCD (a, b) را نشان دهید.

بیایید با استفاده از مثال دو عدد طبیعی 18 و 60 GCD را پیدا کنیم:

1 بیایید اعداد را به عوامل اول تبدیل کنیم:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

2 از بسط عدد اول همه عواملی را که در بسط عدد دوم گنجانده نشده اند حذف کنیم، بدست می آوریم 2×3×3 .

3 فاکتورهای اول باقیمانده را بعد از خط زدن ضرب می کنیم و بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد را بدست می آوریم: gcd( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 توجه داشته باشید که فرقی نمی کند فاکتورها را از شماره اول یا دوم خط بزنیم، نتیجه یکسان خواهد بود:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

324 , 111 و 432

بیایید اعداد را به عوامل اول فاکتور کنیم:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3×37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

با خط زدن از عدد اول که فاکتورهای آن در اعداد دوم و سوم نیست، به دست می آید:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

در نتیجه، GCD( 324 , 111 , 432 )=3

یافتن GCD با استفاده از الگوریتم اقلیدسی

راه دوم برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک استفاده از الگوریتم اقلیدسی. الگوریتم اقلیدس از همه بیشتر است راه موثریافته GCD، با استفاده از آن باید دائماً باقیمانده اعداد تقسیم را پیدا کنید و اعمال کنید فرمول عود.

فرمول عودبرای GCD، GCD(a, b)=GCD(b, a mod b)، که در آن a mod b باقیمانده a تقسیم بر b است.

الگوریتم اقلیدس

مثال بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد را پیدا کنید 7920 و 594

بیایید GCD را پیدا کنیم( 7920 , 594 ) با استفاده از الگوریتم اقلیدسی، باقیمانده تقسیم را با استفاده از ماشین حساب محاسبه می کنیم.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 مد 594 ) = GCD( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 مد 198 ) = GCD( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0

در نتیجه، GCD ( 7920 , 594 ) = 198

کمترین مضرب مشترک

برای پیدا کردن مخرج مشترک هنگام جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف، باید بدانید و بتوانید محاسبه کنید. حداقل مضرب مشترک(NOK).

مضرب عدد "a" عددی است که خود بدون باقیمانده بر عدد "a" بخش پذیر است.

اعداد مضرب 8 (یعنی این اعداد بدون باقیمانده بر 8 بخش پذیرند): این اعداد 16، 24، 32...

مضرب 9: 18، 27، 36، 45…

بی نهایت مضرب یک عدد معین a وجود دارد، برخلاف مقسوم علیه های همان عدد. تعداد متناهی مقسوم علیه وجود دارد.

مضرب مشترک دو عدد طبیعی عددی است که بر هر دوی این اعداد بخش پذیر باشد..

کمترین مضرب مشترک(LCM) دو یا چند عدد طبیعی کوچکترین عدد طبیعی است که خود بر هر یک از این اعداد بخش پذیر است.

نحوه پیدا کردن NOC

LCM را می توان به دو صورت یافت و نوشت.

اولین راه برای پیدا کردن LOC

این روش معمولا برای اعداد کم استفاده می شود.

1. مضرب های هر عدد را روی یک خط می نویسیم تا زمانی که مضربی را پیدا کنیم که برای هر دو عدد یکسان است.
2. مضرب عدد "a" را نشان می دهیم حرف بزرگ"به".

مثال. LCM 6 و 8 را پیدا کنید.

راه دوم برای پیدا کردن LOC

استفاده از این روش برای یافتن LCM برای سه عدد یا بیشتر راحت است.

تعداد عوامل یکسان در تجزیه اعداد می تواند متفاوت باشد.

در بسط اعداد کوچکتر، عواملی را که در بسط عدد بزرگتر گنجانده نشده اند را برجسته کنید (در مثال ما این عدد 2 است) و این عوامل را به بسط عدد بزرگتر اضافه کنید.
LCM(24، 60) = 2 2 3 5 2

محصول حاصل را به عنوان پاسخ یادداشت کنید.
پاسخ: LCM (24، 60) = 120

همچنین می توانید یافتن کمترین مضرب مشترک (LCM) را به صورت زیر رسمی کنید. بیایید LOC را پیدا کنیم (12، 16، 24).

24 = 2 2 2 3

همانطور که از تجزیه اعداد مشاهده می کنیم، همه عوامل 12 در تجزیه 24 (بزرگترین اعداد) گنجانده شده اند، بنابراین تنها یک 2 از تجزیه عدد 16 را به LCM اضافه می کنیم.

LCM (12، 16، 24) = 2 2 2 3 2 = 48

پاسخ: LCM (12، 16، 24) = 48

موارد خاص پیدا کردن NOC

اگر یکی از اعداد بر اعداد دیگر بخش پذیر باشد، کمترین مضرب مشترک این اعداد برابر با آن عدد است.

به عنوان مثال، LCM (60، 15) = 60
از آنجایی که اعداد همزمان اول هیچ عامل اول مشترکی ندارند، حداقل مضرب مشترک آنها برابر با حاصلضرب این اعداد است.

در وب‌سایت ما می‌توانید از یک ماشین‌حساب مخصوص برای یافتن کمترین تعداد متداول آنلاین برای بررسی محاسبات خود استفاده کنید.

اگر یک عدد طبیعی فقط بر 1 و خودش بخش پذیر باشد، آن را اول می گویند.

هر عدد طبیعی همیشه بر 1 و خودش بخش پذیر است.

عدد 2 کوچکترین عدد اول است. این تنها عدد اول زوج است، بقیه اعداد اول فرد هستند.

اعداد اول زیادی وجود دارد و اولین عدد در میان آنها عدد 2 است. با این حال، آخرین عدد اول وجود ندارد. در بخش "برای مطالعه" می توانید جدول اعداد اول تا 997 را دانلود کنید.

اما بسیاری از اعداد طبیعی بر سایر اعداد طبیعی نیز بخش پذیر هستند.

• عدد 12 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12 بخش پذیر است.
• عدد 36 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12، بر 18، بر 36 بخش پذیر است.

به اعدادی که عدد بر یک کل بخش پذیر است (برای 12 اینها 1، 2، 3، 4، 6 و 12 هستند) مقسوم علیه اعداد نامیده می شوند.

مقسوم علیه یک عدد طبیعی a عددی طبیعی است که عدد a داده شده را بدون باقیمانده تقسیم می کند.

عدد طبیعی که بیش از دو مقسوم علیه داشته باشد مرکب نامیده می شود.

لطفا توجه داشته باشید که اعداد 12 و 36 دارای فاکتورهای مشترک هستند. این اعداد عبارتند از: 1، 2، 3، 4، 6، 12. بزرگترین مقسوم علیه این اعداد 12 است.

مقسوم علیه مشترک دو عدد داده شده "a" و "b" عددی است که هر دو عدد داده شده "a" و "b" بدون باقی مانده بر آن تقسیم می شوند.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک(GCD) از دو عدد داده شده "a" و "b" است بزرگترین عدد، که هر دو عدد "a" و "b" بدون باقیمانده تقسیم می شوند.

به طور خلاصه بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد "الف" و "ب" به صورت زیر نوشته می شود::

مثال: gcd (12; 36) = 12.

مقسوم علیه اعداد در رکورد حل با حرف بزرگ "D" نشان داده می شود.

اعداد 7 و 9 فقط یک مقسوم علیه مشترک دارند - عدد 1. چنین اعدادی نامیده می شوند اعداد همزمان اول.

اعداد همزمان اول- اینها اعداد طبیعی هستند که فقط یک مقسوم علیه مشترک دارند - عدد 1. gcd آنها 1 است.

چگونه بزرگترین مقسوم علیه مشترک را پیدا کنیم

برای پیدا کردن gcd دو یا چند عدد طبیعی به موارد زیر نیاز دارید:

• تقسیم کننده های اعداد را به ضرایب اول تجزیه کنید.

نوشتن محاسبات با استفاده از نوار عمودی راحت است. در سمت چپ خط ابتدا سود سهام را می نویسیم، در سمت راست - تقسیم کننده. سپس در ستون سمت چپ مقادیر ضرایب را یادداشت می کنیم.

بیایید بلافاصله با یک مثال توضیح دهیم. بیایید اعداد 28 و 64 را در فاکتورهای اول قرار دهیم.

ما در هر دو عدد بر عوامل اول یکسان تأکید می کنیم.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
حاصل ضرب عوامل اول یکسان را بیابید و پاسخ را بنویسید.
GCD (28؛ 64) = 2 2 = 4

پاسخ: GCD (28؛ 64) = 4

می توانید مکان GCD را به دو روش رسمی کنید: در یک ستون (همانطور که در بالا انجام شد) یا "در یک ردیف".

اولین راه برای نوشتن gcd

gcd 48 و 36 را پیدا کنید.

GCD (48؛ 36) = 2 2 3 = 12

روش دوم برای نوشتن gcd

حالا بیایید راه حل جستجوی GCD را در یک خط بنویسیم. gcd 10 و 15 را پیدا کنید.

در سایت اطلاعات ما نیز می توانید از راهنمای آنلاین Greatest Common Divisor برای بررسی محاسبات خود استفاده کنید.

یافتن کمترین مضرب مشترک، روش ها، نمونه هایی از یافتن LCM.

مطالب ارائه شده در زیر ادامه منطقی نظریه از مقاله با عنوان LCM - کمترین مضرب مشترک، تعریف، مثال ها، ارتباط بین LCM و GCD است. در اینجا ما در مورد صحبت خواهیم کرد یافتن کمترین مضرب مشترک (LCM)، و به حل مثال ها توجه ویژه ای خواهیم داشت. ابتدا نشان خواهیم داد که چگونه LCM دو عدد با استفاده از GCD این اعداد محاسبه می شود. در مرحله بعد، ما به دنبال یافتن کمترین مضرب مشترک با فاکتورگیری اعداد به ضرایب اول خواهیم بود. پس از این، بر روی یافتن LCM سه یا چند عدد تمرکز می کنیم و همچنین به محاسبه LCM اعداد منفی می پردازیم.

پیمایش صفحه.

محاسبه حداقل چندگانه مشترک (LCM) از طریق GCD

یکی از راه های یافتن کمترین مضرب مشترک بر اساس رابطه بین LCM و GCD است. رابطه موجود بین LCM و GCD به شما امکان می دهد حداقل مضرب مشترک دو عدد صحیح را محاسبه کنید اعداد مثبتاز طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک شناخته شده. فرمول مربوطه است LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). بیایید به نمونه هایی از پیدا کردن LCM با استفاده از فرمول داده شده نگاه کنیم.

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد 126 و 70 را پیدا کنید.

در این مثال a=126، b=70. بیایید از ارتباط بین LCM و GCD استفاده کنیم که با فرمول LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) بیان شده است. یعنی ابتدا باید بزرگترین مقسوم علیه اعداد 70 و 126 را پیدا کنیم و بعد از آن می توانیم LCM این اعداد را با استفاده از فرمول نوشته شده محاسبه کنیم.

بیایید GCD(126, 70) را با استفاده از الگوریتم اقلیدسی پیدا کنیم: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, بنابراین GCD(126, 70)=14.

اکنون حداقل مضرب مشترک مورد نیاز را پیدا می کنیم: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

LCM(68, 34) برابر چیست؟

از آنجایی که 68 بر 34 بخش پذیر است، پس GCD(68, 34)=34. اکنون کمترین مضرب مشترک را محاسبه می کنیم: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

توجه داشته باشید که مثال قبلی با قانون زیر برای یافتن LCM برای اعداد صحیح مثبت a و b مطابقت دارد: اگر a بر b بخش پذیر باشد، کمترین مضرب مشترک این اعداد a است.

یافتن LCM با فاکتورگیری اعداد به عوامل اول

راه دیگر برای یافتن کمترین مضرب مشترک بر اساس فاکتورسازی اعداد به ضرایب اول است. اگر از همه ضرایب اول اعداد داده شده، یک محصول بسازید، و سپس تمام ضرایب اول مشترک موجود در تجزیه اعداد داده شده را از این حاصل حذف کنید، آنگاه حاصل ضرب حاصل برابر با کمترین مضرب مشترک اعداد داده شده خواهد بود. .

قانون بیان شده برای یافتن LCM از برابری LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) ناشی می شود. در واقع، حاصل ضرب اعداد a و b برابر است با حاصلضرب همه عوامل دخیل در بسط اعداد a و b. به نوبه خود، GCD(a, b) برابر است با حاصلضرب همه عوامل اولی که به طور همزمان در بسط اعداد a و b موجود هستند (همانطور که در بخش یافتن GCD با استفاده از بسط اعداد به عوامل اول توضیح داده شد).

بیایید یک مثال بزنیم. به ما اطلاع دهید که 75=3·5·5 و 210=2·3·5·7. بیایید حاصل را از همه عوامل این بسط ها بسازیم: 2·3·3·5·5·5·7. حال از این محصول، همه عوامل موجود در بسط عدد 75 و بسط عدد 210 را حذف می کنیم (این فاکتورها 3 و 5 هستند)، سپس حاصل ضرب به شکل 2·3·5·5·7 خواهد بود. . مقدار این حاصلضرب برابر است با کمترین مضرب مشترک اعداد 75 و 210 یعنی LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

اعداد 441 و 700 را در ضرایب اول قرار دهید و کمترین مضرب مشترک این اعداد را پیدا کنید.

بیایید اعداد 441 و 700 را به فاکتورهای اول تبدیل کنیم:

441=3·3·7·7 و 700=2·2·5·5·7 بدست می آوریم.

حال بیایید یک محصول از همه عوامل دخیل در گسترش این اعداد ایجاد کنیم: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. اجازه دهید همه عواملی را که به طور همزمان در هر دو بسط وجود دارند از این محصول حذف کنیم (فقط یک عامل وجود دارد - این عدد 7 است): 2·2·3·3·5·5·7·7. بنابراین، LCM(441، 700)=2·2·3·3·5·5·5·7·7=44 100 .

NOC(441، 700)= 44 100 .

قانون یافتن LCM با استفاده از فاکتورسازی اعداد به ضرایب اول را می توان کمی متفاوت فرموله کرد. اگر عوامل مفقود شده از بسط عدد b به عوامل حاصل از بسط عدد a اضافه شود، مقدار حاصلضرب برابر با کمترین مضرب مشترک اعداد a و b خواهد بود.

به عنوان مثال، بیایید همان اعداد 75 و 210 را در نظر بگیریم، تجزیه آنها به عوامل اول به صورت زیر است: 75=3·5·5 و 210=2·3·5·7. به فاکتورهای 3، 5 و 5 از بسط عدد 75، فاکتورهای گمشده 2 و 7 را از بسط عدد 210 اضافه می کنیم، حاصل ضرب 2·3·5·5·7 را بدست می آوریم که مقدار آن برابر است. برابر با LCM (75, 210).

کوچکترین مضرب مشترک 84 و 648 را پیدا کنید.

ابتدا تجزیه اعداد 84 و 648 را به عوامل اول بدست می آوریم. آنها شبیه 84=2·2·3·7 و 648=2·2·2·3·3·3·3·3 هستند. به فاکتورهای 2، 2، 3 و 7 از بسط عدد 84، فاکتورهای گمشده 2، 3، 3 و 3 را از بسط عدد 648 اضافه می کنیم، حاصل ضرب 2 2 2 3 3 3 3 7 را به دست می آوریم. که برابر با 4 536 است. بنابراین، حداقل مضرب مشترک مطلوب 84 و 648، 4536 است.

یافتن LCM سه یا چند عدد

کمترین مضرب مشترک سه یا چند عدد را می توان با یافتن متوالی LCM دو عدد پیدا کرد. اجازه دهید قضیه مربوطه را به خاطر بیاوریم که راهی برای یافتن LCM سه یا چند عدد می دهد.

اجازه دهید اعداد صحیح مثبت a 1 , a 2 , ..., a k داده شوند، کمترین مضرب مشترک m k این اعداد با محاسبه متوالی m 2 = LCM (a 1 , a 2 , m 3 = LCM (m 2 , a به دست می آید. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

بیایید کاربرد این قضیه را با استفاده از مثال یافتن مضرب مشترک چهار عدد در نظر بگیریم.

LCM چهار عدد 140، 9، 54 و 250 را پیدا کنید.

ابتدا m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) را پیدا می کنیم. برای این کار، با استفاده از الگوریتم اقلیدسی، GCD(140, 9) را تعیین می کنیم، 140=9·15+5، 9=5·1+4، 5=4·1+1، 4=1·4، داریم. بنابراین، GCD(140، 9)=1، که از آن LCM(140، 9)=140·9:GCD(140، 9)= 140·9:1=1260. یعنی m 2 = 1 260.

اکنون m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) را پیدا می کنیم. بیایید آن را از طریق GCD (1 260، 54) محاسبه کنیم، که با استفاده از الگوریتم اقلیدسی نیز تعیین می کنیم: 1 260=54·23+18، 54=18·3. سپس gcd(1,260, 54)=18 که از آن gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. یعنی m 3 = 3 780.

باقی مانده است که m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) را پیدا کنید. برای این کار، GCD(3,780, 250) را با استفاده از الگوریتم اقلیدسی پیدا می کنیم: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. بنابراین GCD(3,780, 250)=10 که از آن GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. یعنی m 4 = 94500.

بنابراین کمترین مضرب مشترک چهار عدد اصلی 94500 است.

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500 .

در بسیاری از موارد، یافتن کمترین مضرب مشترک از سه یا چند عدد با استفاده از فاکتورسازی اول اعداد داده شده راحت است. در این صورت باید قانون زیر را رعایت کنید. کمترین مضرب مشترک چند عدد برابر با حاصل ضرب است که به صورت زیر تشکیل می شود: عوامل گمشده از بسط عدد دوم به همه عوامل از بسط عدد اول اضافه می شوند، عوامل مفقود از بسط عدد اول. عدد سوم به عوامل حاصله اضافه می شود و غیره.

بیایید به مثالی از یافتن حداقل مضرب مشترک با استفاده از فاکتورسازی اول نگاه کنیم.

کوچکترین مضرب مشترک پنج عدد 84، 6، 48، 7، 143 را پیدا کنید.

ابتدا تجزیه این اعداد را به عوامل اول بدست می آوریم: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 عدد اول است، منطبق است با تجزیه آن به عوامل اول) و 143=11·13.

برای یافتن LCM این اعداد، به فاکتورهای عدد اول 84 (آنها 2، 2، 3 و 7 هستند)، باید فاکتورهای گمشده از بسط عدد دوم 6 را اضافه کنید. تجزیه عدد 6 شامل عوامل گمشده نیست، زیرا هر دو 2 و 3 در حال حاضر در تجزیه اولین عدد 84 وجود دارند. در ادامه به فاکتورهای 2 و 2 و 3 و 7 فاکتورهای گمشده 2 و 2 را از بسط عدد سوم 48 اضافه می کنیم، مجموعه ای از فاکتورهای 2، 2، 2، 2، 3 و 7 به دست می آید. در مرحله بعد نیازی به افزودن ضریب به این مجموعه نخواهد بود، زیرا 7 قبلاً در آن موجود است. در نهایت به عوامل 2، 2، 2، 2، 3 و 7 فاکتورهای گمشده 11 و 13 را از بسط عدد 143 اضافه می کنیم. حاصلضرب 2·2·2·2·3·7·11·13 را بدست می آوریم که برابر با 48048 است.

بنابراین، LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.

پیدا کردن کمترین مضرب مشترک اعداد منفی

گاهی اوقات کارهایی وجود دارد که در آنها باید کمترین مضرب مشترک اعداد را پیدا کنید که در میان آنها یک، چند یا همه اعداد منفی هستند. در این موارد همه چیز اعداد منفیشما باید آنها را با اعداد مخالف خود جایگزین کنید و سپس LCM اعداد مثبت را پیدا کنید. این راهی برای یافتن LCM اعداد منفی است. به عنوان مثال، LCM(54، -34) = LCM(54، 34) و LCM(-622، -46، -54، -888) = LCM(622، 46، 54، 888).

ما می‌توانیم این کار را انجام دهیم زیرا مجموعه مضرب a با مجموعه مضرب -a یکسان است (a و -a اعداد متضاد هستند). در واقع، فرض کنید b مضرب a باشد، سپس b بر a بخش پذیر است، و مفهوم بخش پذیری وجود یک عدد صحیح q را بیان می کند به طوری که b=a·q. اما تساوی b=(−a)·(−q) نیز صادق خواهد بود، که به دلیل همین مفهوم تقسیم پذیری، به این معنی است که b بر −a بخش پذیر است، یعنی b مضرب −a است. عکس آن نیز صادق است: اگر b مضرب −a باشد، b نیز مضرب a است.

کوچکترین مضرب مشترک اعداد منفی -145 و -45 را پیدا کنید.

بیایید اعداد منفی -145 و -45 را با اعداد مقابل آنها 145 و 45 جایگزین کنیم. ما LCM(-145، -45) = LCM(145، 45) داریم. پس از تعیین GCD(145, 45)=5 (مثلاً با استفاده از الگوریتم اقلیدسی)، GCM(145, 45)=145·45:GCD(145,45)= 145·45:5=1305 را محاسبه می کنیم. بنابراین، کمترین مضرب مشترک اعداد صحیح منفی -145 و -45 1305 است.

www.cleverstudents.ru

ما به مطالعه تقسیم بندی ادامه می دهیم. در این درس به مفاهیمی مانند GCDو NOC.

GCDبزرگترین مقسوم علیه مشترک است.

NOCکمترین مضرب مشترک است.

موضوع بسیار خسته کننده است، اما شما قطعا باید آن را درک کنید. بدون درک این مبحث، نمی توانید به طور موثر با کسری کار کنید که یک مانع واقعی در ریاضیات است.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک

تعریف. بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد آو ب آو ببدون باقی مانده تقسیم می شود.

برای درک خوب این تعریف، اجازه دهید متغیرها را جایگزین کنیم آو ببه عنوان مثال، به جای یک متغیر، هر دو عدد آبه جای متغیر، عدد 12 را جایگزین می کنیم بشماره 9. حال بیایید سعی کنیم این تعریف را بخوانیم:

بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 12 و 9 بزرگترین عددی نامیده می شود که با آن 12 و 9 بدون باقی مانده تقسیم می شود.

از تعریف مشخص می شود که ما در مورد مقسوم علیه مشترک اعداد 12 و 9 صحبت می کنیم و این مقسوم علیه بزرگترین مقسوم علیه موجود است. این بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) باید پیدا شود.

برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد از سه روش استفاده می شود. روش اول کاملاً کار فشرده است ، اما به شما امکان می دهد به وضوح ماهیت موضوع را درک کنید و معنای کامل آن را احساس کنید.

روش دوم و سوم بسیار ساده است و یافتن سریع GCD را ممکن می کند. ما هر سه روش را بررسی خواهیم کرد. و اینکه کدام یک را در عمل استفاده کنید بستگی به انتخاب شما دارد.

روش اول این است که همه مقسوم‌گیرنده‌های ممکن دو عدد را پیدا کرده و بزرگترین آنها را انتخاب کنید. بیایید با استفاده از مثال زیر به این روش نگاه کنیم: بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 12 و 9 را پیدا کنید.

ابتدا همه مقسوم‌گیرنده‌های ممکن عدد 12 را پیدا می‌کنیم. برای این کار، 12 را بر همه مقسوم‌گرها در محدوده 1 تا 12 تقسیم می‌کنیم. اگر مقسوم‌کننده به ما اجازه دهد که 12 را بدون باقی مانده تقسیم کنیم، آن را در قسمت برجسته می‌کنیم. آبی و در پرانتز توضیح مناسب بدهید.

12: 1 = 12
(12 بدون باقیمانده بر 1 تقسیم می شود، یعنی 1 مقسوم علیه عدد 12 است)

12: 2 = 6
(12 بدون باقیمانده بر 2 تقسیم می شود، یعنی 2 مقسوم علیه عدد 12 است)

12: 3 = 4
(12 بدون باقیمانده بر 3 تقسیم می شود، یعنی 3 مقسوم علیه عدد 12 است)

12: 4 = 3
(12 بدون باقیمانده بر 4 تقسیم می شود، یعنی 4 مقسوم علیه عدد 12 است)

12: 5 = 2 (2 باقی مانده)
(12 بدون باقیمانده بر 5 تقسیم نمی شود، یعنی 5 مقسوم علیه عدد 12 نیست)

12: 6 = 2
(12 بدون باقیمانده بر 6 تقسیم می شود، یعنی 6 مقسوم علیه عدد 12 است)

12: 7 = 1 (5 باقیمانده)
(12 بدون باقیمانده بر 7 تقسیم نمی شود، یعنی 7 مقسوم علیه عدد 12 نیست)

12: 8 = 1 (4 باقیمانده)
(12 بدون باقیمانده بر 8 تقسیم نمی شود، یعنی 8 مقسوم علیه 12 نیست)

12: 9 = 1 (3 باقیمانده)
(12 بدون باقی مانده بر 9 تقسیم نمی شود، یعنی 9 مقسوم علیه عدد 12 نیست)

12: 10 = 1 (2 باقیمانده)
(12 بدون باقیمانده بر 10 تقسیم نمی شود، یعنی 10 مقسوم علیه عدد 12 نیست)

12: 11 = 1 (1 باقی مانده)
(12 بدون باقیمانده بر 11 تقسیم نمی شود، یعنی 11 مقسوم علیه 12 نیست)

12: 12 = 1
(12 بدون باقیمانده بر 12 تقسیم می شود، یعنی 12 مقسوم علیه عدد 12 است)

حال بیایید مقسوم علیه های عدد 9 را پیدا کنیم. برای این کار، تمام مقسوم علیه های 1 تا 9 را بررسی کنید.

9: 1 = 9
(9 بدون باقی مانده بر 1 تقسیم می شود، یعنی 1 مقسوم علیه عدد 9 است)

9: 2 = 4 (1 باقیمانده)
(9 بدون باقیمانده بر 2 تقسیم نمی شود، یعنی 2 مقسوم علیه عدد 9 نیست)

9: 3 = 3
(9 بدون باقی مانده بر 3 تقسیم می شود، یعنی 3 مقسوم علیه عدد 9 است)

9: 4 = 2 (1 باقیمانده)
(9 بدون باقی مانده بر 4 تقسیم نمی شود، یعنی 4 مقسوم علیه عدد 9 نیست)

9: 5 = 1 (4 باقیمانده)
(9 بدون باقیمانده بر 5 تقسیم نمی شود، یعنی 5 مقسوم علیه عدد 9 نیست)

9: 6 = 1 (3 باقیمانده)
(9 بدون باقی مانده بر 6 تقسیم نمی شود، یعنی 6 مقسوم علیه عدد 9 نیست)

9: 7 = 1 (2 باقیمانده)
(9 بدون باقی مانده بر 7 تقسیم نمی شود، یعنی 7 مقسوم علیه عدد 9 نیست)

9: 8 = 1 (1 باقی مانده)
(9 بدون باقی مانده بر 8 تقسیم نمی شود، یعنی 8 مقسوم علیه عدد 9 نیست)

9: 9 = 1
(9 بدون باقی مانده بر 9 تقسیم می شود، یعنی 9 مقسوم علیه عدد 9 است)

حال بیایید مقسوم علیه هر دو عدد را یادداشت کنیم. اعدادی که با رنگ آبی مشخص شده اند مقسوم علیه هستند. بیایید آنها را بنویسیم:

با نوشتن مقسوم‌گیرنده‌ها، می‌توانید فوراً تعیین کنید که کدام بزرگ‌ترین و رایج‌ترین است.

طبق تعریف، بزرگترین مقسوم علیه اعداد 12 و 9 عددی است که 12 و 9 را بدون باقیمانده تقسیم می کند. بزرگترین و مشترک اعداد 12 و 9 عدد 3 است

هر دو عدد 12 و عدد 9 بدون باقی مانده بر 3 بخش پذیرند:

بنابراین gcd (12 و 9) = 3

راه دوم برای پیدا کردن GCD

حال بیایید به دومین روش برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک نگاه کنیم. ماهیت این روش این است که هر دو اعداد را به ضرایب اول تجزیه می کنند و اعداد مشترک را ضرب می کنند.

مثال 1. gcd اعداد 24 و 18 را پیدا کنید

ابتدا، بیایید هر دو عدد را به عوامل اول فاکتور کنیم:

حال عوامل مشترک آنها را ضرب می کنیم. برای جلوگیری از سردرگمی، می توان بر عوامل مشترک تأکید کرد.

ما به بسط عدد 24 نگاه می کنیم. فاکتور اول آن 2 است. در بسط عدد 18 به دنبال همان عامل می گردیم و می بینیم که آن هم وجود دارد. ما بر هر دو مورد تأکید می کنیم:

دوباره به بسط عدد 24 نگاه می کنیم. فاکتور دوم آن نیز 2 است. در بسط عدد 18 به دنبال همان عامل می گردیم و می بینیم که برای بار دوم دیگر وجود ندارد. سپس ما بر چیزی تأکید نمی کنیم.

دو بعدی در بسط عدد 24 نیز در بسط عدد 18 وجود ندارد.

بیایید به آخرین عامل در بسط عدد 24 برویم. این عامل 3 است. ما به دنبال همان عامل در بسط عدد 18 هستیم و می بینیم که آن هم وجود دارد. ما بر هر سه مورد تأکید می کنیم:

بنابراین، فاکتورهای مشترک اعداد 24 و 18، فاکتورهای 2 و 3 هستند. برای بدست آوردن GCD باید این عوامل را ضرب کرد:

بنابراین gcd (24 و 18) = 6

راه سوم برای یافتن GCD

حال بیایید به راه سوم برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک نگاه کنیم. ماهیت این روش این است که اعدادی که برای بزرگترین مقسوم علیه مشترک پیدا می شوند به ضرایب اول تجزیه می شوند. سپس از بسط عدد اول عواملی که در بسط عدد دوم نمی گنجد خط زده می شود. اعداد باقی مانده در بسط اول ضرب شده و GCD به دست می آید.

به عنوان مثال، بیایید GCD را برای اعداد 28 و 16 با استفاده از این روش پیدا کنیم. اول از همه، این اعداد را به عوامل اول تجزیه می کنیم:

ما دو بسط گرفتیم: و

حال از تجزیه عدد اول عواملی را که در تجزیه عدد دوم گنجانده نشده اند حذف می کنیم. بسط عدد دوم شامل هفت نمی شود. بیایید آن را از بسط اول خط بکشیم:

حالا فاکتورهای باقی مانده را ضرب می کنیم و GCD به دست می آوریم:

عدد 4 بزرگترین مقسوم علیه اعداد 28 و 16 است. هر دوی این اعداد بدون باقی مانده بر 4 بخش پذیرند:

مثال 2. gcd اعداد 100 و 40 را پیدا کنید

فاکتورگیری عدد 100

فاکتورگیری عدد 40

ما دو بسط گرفتیم:

حال از تجزیه عدد اول عواملی را که در تجزیه عدد دوم گنجانده نشده اند حذف می کنیم. بسط عدد دوم شامل یک پنج نیست (فقط یک پنج وجود دارد). بیایید از اولین بسط آن را خط بکشیم

بیایید اعداد باقیمانده را ضرب کنیم:

ما جواب 20 را دریافت کردیم. یعنی عدد 20 بزرگترین مقسوم علیه اعداد 100 و 40 است. این دو عدد بدون باقی مانده بر 20 بخش پذیرند:

GCD (100 و 40) = 20.

مثال 3. gcd اعداد 72 و 128 را پیدا کنید

فاکتور کردن عدد 72

فاکتورگیری عدد 128

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

حال از تجزیه عدد اول عواملی را که در تجزیه عدد دوم گنجانده نشده اند حذف می کنیم. بسط عدد دوم شامل دو سه قلو نمی شود (اصلاً وجود ندارند). بیایید آنها را از اولین بسط خط بکشیم:

ما جواب 8 را دریافت کردیم. یعنی عدد 8 بزرگترین مقسوم علیه اعداد 72 و 128 است. این دو عدد بدون باقی مانده بر 8 بخش پذیرند:

GCD (72 و 128) = 8

یافتن GCD برای چندین عدد

بزرگترین مقسوم علیه مشترک را می توان برای چندین اعداد یافت، نه فقط دو. برای انجام این کار، اعدادی که برای بزرگترین مقسوم علیه مشترک پیدا می شوند به ضرایب اول تجزیه می شوند، سپس حاصل ضرب ضرایب اول مشترک این اعداد پیدا می شود.

به عنوان مثال، بیایید GCD را برای اعداد 18، 24 و 36 پیدا کنیم

بیایید عدد 18 را فاکتورسازی کنیم

بیایید عدد 24 را فاکتورسازی کنیم

بیایید عدد 36 را فاکتورسازی کنیم

ما سه بسط گرفتیم:

حال بیایید عوامل رایج در این اعداد را برجسته و زیر خط بکشیم. فاکتورهای مشترک باید در هر سه عدد ظاهر شوند:

می بینیم که فاکتورهای مشترک اعداد 18، 24 و 36 فاکتورهای 2 و 3 هستند. با ضرب این فاکتورها، gcd مورد نظر به دست می آید:

ما جواب 6 را دریافت کردیم. یعنی عدد 6 بزرگترین مقسوم علیه اعداد 18، 24 و 36 است. این سه عدد بدون باقی مانده بر 6 بخش پذیرند:

GCD (18، 24 و 36) = 6

مثال 2. GCD را برای اعداد 12، 24، 36 و 42 پیدا کنید

بیایید هر عدد را به فاکتورهای اول تبدیل کنیم. سپس حاصل ضرب عوامل مشترک این اعداد را می یابیم.

بیایید عدد 12 را فاکتورسازی کنیم

بیایید عدد 42 را فاکتور بگیریم

ما چهار بسط گرفتیم:

حال بیایید عوامل رایج در این اعداد را برجسته و زیر خط بکشیم. فاکتورهای مشترک باید در هر چهار عدد ظاهر شوند:

می بینیم که فاکتورهای مشترک برای اعداد 12، 24، 36 و 42 فاکتورهای 2 و 3 هستند. با ضرب این فاکتورها در هم، gcd مورد نظر را بدست می آوریم:

ما جواب 6 را دریافت کردیم. یعنی عدد 6 بزرگترین مقسوم علیه اعداد 12، 24، 36 و 42 است. این اعداد بدون باقی مانده بر 6 بخش پذیرند:

GCD (12، 24، 36 و 42) = 6

از درس قبل می دانیم که اگر عددی بدون باقیمانده بر عدد دیگری تقسیم شود، مضرب این عدد نامیده می شود.

معلوم می شود که چندین عدد می توانند یک مضرب مشترک داشته باشند. و اکنون به مضرب دو عدد علاقه مند خواهیم بود و باید تا حد امکان کوچک باشد.

تعریف. کمترین مضرب مشترک (LCM) اعداد آو ب- آو ب آو شماره ب.

تعریف شامل دو متغیر است آو ب. بیایید هر دو عدد را به جای این متغیرها جایگزین کنیم. به عنوان مثال، به جای یک متغیر آبه جای متغیر، عدد 9 را جایگزین می کنیم ببیایید عدد 12 را جایگزین کنیم. حال بیایید سعی کنیم تعریف را بخوانیم:

کمترین مضرب مشترک (LCM) اعداد 9 و 12 - این کوچکترین عدد، که مضرب است 9 و 12 . به عبارت دیگر، این عدد بسیار کوچکی است که بدون باقیمانده بر عدد بخش پذیر است 9 و با شماره 12 .

از تعریف مشخص می شود که LCM کوچکترین عددی است که بدون باقی مانده بر 9 و 12 بخش پذیر است.این LCM باید پیدا شود.

برای یافتن کمترین مضرب مشترک (LCM)، می توانید از دو روش استفاده کنید. راه اول این است که می توانید اولین مضرب دو عدد را یادداشت کنید و سپس از بین این مضرب ها عددی را انتخاب کنید که برای هر دو عدد مشترک و کوچک باشد. بیایید این روش را اعمال کنیم.

اول از همه، بیایید اولین مضرب های عدد 9 را پیدا کنیم. برای پیدا کردن مضرب های 9، باید این نه را یک به یک در اعداد 1 تا 9 ضرب کنید. پاسخ های حاصل مضربی از عدد 9 خواهند بود. شروع کنیم. مضرب ها را با رنگ قرمز برجسته می کنیم:

حالا مضرب های عدد 12 را پیدا می کنیم برای این کار 12 را یک به یک در تمام اعداد 1 تا 12 ضرب می کنیم.

ما اعدادی را که بر 10 مضرب 10 بخش پذیر هستند می خوانیم مثلاً 30 یا 50 مضرب 10 هستند. 28 مضرب 14 است. اعدادی که هم بر 10 و هم بر 14 بخش پذیر هستند به طور طبیعی مضرب های مشترک 10 و 14 نامیده می شوند.

ما می توانیم به تعداد دلخواه مضرب مشترک پیدا کنیم. به عنوان مثال، 140، 280، و غیره.

یک سوال طبیعی این است: چگونه کوچکترین مضرب مشترک، کمترین مضرب مشترک را پیدا کنیم؟

از مضربی که برای 10 و 14 یافت شده است، کوچکترین آنها تاکنون 140 است. اما آیا این مضرب کمترین مشترک است؟

بیایید اعداد خود را فاکتور کنیم:

بیایید عددی بسازیم که بر 10 و 14 بخش پذیر باشد. برای بخش پذیر بودن بر 10، باید ضریب های 2 و 5 را داشته باشید. برای بخش پذیر بودن بر 14، باید ضریب های 2 و 7 را داشته باشید. اما 2 از قبل وجود دارد. تنها کاری که باید انجام دهید این است که 7 را اضافه کنید. عدد حاصل 70 مضرب مشترک 10 و 14 است. اما نمی توان عددی کوچکتر از این ساخت تا آن نیز مضرب مشترک باشد.

خوب پس اینه حداقل مضرب مشترک. برای این کار از علامت NOC استفاده می کنیم.

بیایید GCD و LCM را برای اعداد 182 و 70 پیدا کنیم.

خودتان محاسبه کنید:

3.

بررسی می کنیم:

برای درک اینکه GCD و LCM چیست، نمی توانید بدون فاکتورسازی انجام دهید. اما، وقتی از قبل فهمیدیم چیست، دیگر لازم نیست هر بار آن را فاکتور کنیم.

مثلا:

شما به راحتی می توانید بررسی کنید که برای دو عدد که یکی بر دیگری بخش پذیر است، عدد کوچکتر GCD آنها و عدد بزرگتر LCM آنها است. سعی کنید برای خودتان توضیح دهید که چرا اینطور است.

طول گام پدر 70 سانتی متر و دختر کوچک 15 سانتی متر است و با پاهای خود روی همان علامت شروع به راه رفتن می کنند. قبل از اینکه دوباره پاهایشان صاف شود چقدر راه خواهند رفت؟

پدر و دختر شروع به حرکت کردند. ابتدا پاها روی همان علامت قرار می گیرند. بعد از چند قدم راه رفتن پاهایشان به همان سطح برگشت. این به این معنی است که هم پدر و هم دختر برای رسیدن به این نقطه تعداد زیادی قدم برداشتند. این بدان معنی است که فاصله تا او باید بر طول گام پدر و دختر تقسیم شود.

یعنی باید پیدا کنیم:

یعنی در 210 سانتی متر = 2 متر و 10 سانتی متر این اتفاق می افتد.

درک اینکه پدر 3 قدم بر می دارد و دختر 14 قدم بر می دارد دشوار نیست (شکل 1).

برنج. 1. تصویر برای مشکل

مشکل 1

پتیا 100 دوست در شبکه VKontakte دارد و وانیا 200 دوست. اگر 30 دوست مشترک وجود داشته باشد پتیا و وانیا با هم چند دوست دارند؟

پاسخ 300 نادرست است زیرا ممکن است دوستان مشترک داشته باشند.

بیایید این مشکل را اینگونه حل کنیم. بیایید مجموعه ای از دوستان پتیا را در اطراف به تصویر بکشیم. بیایید بسیاری از دوستان وانیا را در یک حلقه بزرگتر دیگر به تصویر بکشیم.

این حلقه ها دارای یک بخش مشترک هستند. دوستان مشترکی آنجا هستند. این قسمت مشترک «تقاطع» دو مجموعه نامیده می شود. یعنی مجموعه دوستان مشترک محل تلاقی مجموعه دوستان همه است.

برنج. 2. حلقه های بسیاری از دوستان

اگر 30 دوست مشترک وجود داشته باشد، 70 نفر در سمت چپ فقط دوستان پتینا هستند و 170 نفر فقط دوستان وانینا هستند (شکل 2 را ببینید).

در کل چقدر؟

کل مجموعه بزرگ متشکل از دو دایره را اتحاد دو مجموعه می گویند.

در واقع، VK خود مشکل تقاطع دو مجموعه را برای ما حل می کند؛ هنگامی که از صفحه شخص دیگری بازدید می کنید، بلافاصله بسیاری از دوستان مشترک را نشان می دهد.

وضعیت GCD و LCM دو عدد بسیار مشابه است.

مشکل 2

دو عدد را در نظر بگیرید: 126 و 132.

ما عوامل اصلی آنها را در دایره ها نشان می دهیم (شکل 3 را ببینید).

برنج. 3. دایره هایی با فاکتورهای اول

محل تلاقی مجموعه ها مقسوم علیه های مشترک آنهاست. GCD از آنها تشکیل شده است.

اتحاد دو مجموعه به ما LCM می دهد.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. Vilenkin N.Ya.، Zhokhov V.I.، Chesnokov A.S.، Shvartsburd S.I. ریاضیات 6. - M.: Mnemosyne، 2012.

2. Merzlyak A.G.، Polonsky V.V.، Yakir M.S. ریاضی ششم دبستان. - ورزشگاه 2006.

3. Depman I.Ya.، Vilenkin N.Ya. پشت صفحات کتاب ریاضی. - م.: آموزش و پرورش، 1368.

4. روروکین A.N., Tchaikovsky I.V. تکالیف درس ریاضی پایه پنجم تا ششم. - M.: ZSh MEPhI، 2011.

5. روروکین A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. ریاضی 5-6. کتابچه راهنمای دانش آموزان کلاس ششم در مدرسه مکاتبات MEPhI. - M.: ZSh MEPhI، 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. ریاضیات: کتاب درسی - همکار برای پایه های پنجم تا ششم دبیرستان. - م.: آموزش و پرورش، کتابخانه معلم ریاضی، 1368.

3. وب سایت "معاون مدرسه" ()

مشق شب

1. سه سفر با قایق توریستی در شهر بندری آغاز می شود که اولی 15 روز، دومی - 20 و سومی - 12 روزه به طول می انجامد. پس از بازگشت به بندر، کشتی ها دوباره در همان روز به راه افتادند. امروز کشتی ها در هر سه مسیر بندر را ترک کردند. چند روز دیگه برای اولین بار با هم قایقرانی میکنن؟ هر کشتی چند سفر خواهد داشت؟

2. LCM اعداد را بیابید:

3. ضرایب اول کمترین مضرب مشترک را بیابید:

و اگر: , , .