حل صفر سیستم سیستم های همگن معادلات جبری خطی. چگونه می توان سیستم اساسی راه حل های یک معادله خطی را پیدا کرد

سیستم مترمعادلات خطی ج nمجهول نامیده می شود سیستم همگن خطیمعادلات اگر تمام جمله های آزاد برابر با صفر باشند. چنین سیستمی به نظر می رسد:

جایی که و ij (من = 1, 2, …, متر; j = 1, 2, …, n) - اعداد داده شده؛ x i- ناشناخته.

یک سیستم معادلات همگن خطی همیشه سازگار است، زیرا r(الف) = r(). همیشه حداقل صفر دارد ( ناچیز) راه حل (0؛ 0؛ …؛ 0).

اجازه دهید در نظر بگیریم که در چه شرایطی سیستم های همگن راه حل های غیر صفر دارند.

قضیه 1.یک سیستم معادلات همگن خطی راه حل های غیر صفر دارد اگر و فقط اگر رتبه ماتریس اصلی آن باشد. rناشناخته های کمتر n، یعنی r < n.

□ 1). اجازه دهید یک سیستم معادلات همگن خطی یک جواب غیر صفر داشته باشد. از آنجایی که رتبه نمی تواند از اندازه ماتریس تجاوز کند، پس بدیهی است که r ≤ n. اجازه دهید r = n. سپس یکی از اندازه های جزئی n nمتفاوت از صفر بنابراین، سیستم معادلات خطی مربوطه یک راه حل منحصر به فرد دارد: . . این بدان معناست که هیچ راه حل دیگری جز راه حل های پیش پا افتاده وجود ندارد. بنابراین، اگر یک راه حل غیر ضروری وجود دارد، پس r < n.

2). اجازه دهید r < n. سپس سیستم همگن، که سازگار است، نامشخص است. این بدان معنی است که تعداد بی نهایت راه حل دارد، یعنی. راه حل های غیر صفر دارد. ■

یک سیستم همگن را در نظر بگیرید nمعادلات خطی ج nناشناخته:

(2)

قضیه 2.سیستم همگن nمعادلات خطی ج nمجهولات (2) راه حل های غیر صفر دارد اگر و فقط اگر تعیین کننده آن برابر با صفر باشد: = 0.

□ اگر سیستم (2) یک جواب غیر صفر داشته باشد، آنگاه = 0. زیرا زمانی که سیستم فقط یک جواب صفر دارد. اگر = 0، پس رتبه rماتریس اصلی سیستم کمتر از تعداد مجهولات است، یعنی. r < n. و بنابراین، سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است، به عنوان مثال. راه حل های غیر صفر دارد. ■

اجازه دهید حل سیستم (1) را نشان دهیم. ایکس 1 = ک 1 , ایکس 2 = ک 2 , …, x n = k nبه عنوان یک رشته .

راه حل های یک سیستم معادلات همگن خطی دارای ویژگی های زیر هستند:

1. اگر خط راه حلی برای سیستم (1) است، سپس خط راه حلی برای سیستم (1) است.

2. اگر خطوط و راه حل های سیستم (1) و سپس برای هر مقدار هستند با 1 و با 2 ترکیب خطی آنها نیز راه حلی برای سیستم (1) است.

اعتبار این ویژگی ها را می توان با جایگزینی مستقیم آنها در معادلات سیستم تأیید کرد.

از خصوصیات فرمول‌بندی‌شده چنین برمی‌آید که هر ترکیب خطی از راه‌حل‌های یک سیستم معادلات همگن خطی نیز راه‌حلی برای این سیستم است.

سیستم راه حل های مستقل خطی ه 1 , ه 2 , …, e rتماس گرفت اساسی، اگر هر جواب سیستم (1) ترکیبی خطی از این راه حل ها باشد ه 1 , ه 2 , …, e r.

قضیه 3.اگر رتبه rماتریس ضرایب برای متغیرهای سیستم معادلات همگن خطی (1) کمتر از تعداد متغیرها است. n، سپس هر سیستم اساسی از راه حل های سیستم (1) شامل n-rتصمیمات

از همین رو تصمیم مشترکسیستم معادلات همگن خطی (1) به شکل زیر است:

جایی که ه 1 , ه 2 , …, e r- هر سیستم اساسی از راه حل های سیستم (9)، با 1 , با 2 , …, با ص- اعداد دلخواه، آر = n-r.

قضیه 4.راه حل کلی سیستم مترمعادلات خطی ج nمجهولات برابر است با مجموع جواب کلی سیستم متناظر معادلات همگن خطی (1) و راه حل خاص دلخواه این سیستم (1).

مثال.سیستم را حل کنید

راه حل.برای این سیستم متر = n= 3. تعیین کننده

طبق قضیه 2، سیستم فقط یک راه حل ساده دارد: ایکس = y = z = 0.

مثال. 1) راه حل های کلی و خاص سیستم را بیابید

2) سیستم اساسی راه حل ها را بیابید.

راه حل. 1) برای این سیستم متر = n= 3. تعیین کننده

طبق قضیه 2، سیستم دارای راه حل های غیر صفر است.

از آنجایی که تنها یک معادله مستقل در سیستم وجود دارد

ایکس + y – 4z = 0,

سپس از آن بیان خواهیم کرد ایکس =4z- y. از کجا بی نهایت راه حل بدست آوریم: (4 z- y, y, z) – این راه حل کلی سیستم است.

در z= 1, y= -1، یک راه حل خاص دریافت می کنیم: (5، -1، 1). قرار دادن z= 3, y= 2، ما دومین راه حل خاص را دریافت می کنیم: (10، 2، 3)، و غیره.

2) در حل کلی (4 z- y, y, z) متغیرها yو zرایگان هستند و متغیر ایکس- وابسته به آنها برای یافتن سیستم اساسی راه حل ها، اجازه دهید مقادیری را به متغیرهای آزاد اختصاص دهیم: ابتدا y = 1, z= 0، سپس y = 0, z= 1. ما راه حل های جزئی (-1، 1، 0)، (4، 0، 1) را به دست می آوریم که سیستم اساسی راه حل ها را تشکیل می دهند.

تصاویر:

برنج. 1 طبقه بندی سیستم های معادلات خطی

برنج. 2 مطالعه سیستم های معادلات خطی

ارائه ها:

· روش SLAE_matrix راه حل

· حل روش SLAE_Cramer

· راه حل روش SLAE_Gauss

· بسته های حل مسائل ریاضی Mathematica، MathCad: جستجو برای حل های تحلیلی و عددی برای سیستم های معادلات خطی

کنترل سوالات:

1. یک معادله خطی تعریف کنید

2. شبیه چه نوع سیستمی است؟ مترمعادلات خطی با nناشناخته؟

3. حل سیستم معادلات خطی به چه چیزی گفته می شود؟

4- چه سیستم هایی معادل نامیده می شوند؟

5. به کدام سیستم ناسازگار گفته می شود؟

6. به چه سیستمی مفصل می گویند؟

7- کدام سیستم معین نامیده می شود؟

8. به کدام سیستم نامعین می گویند

9. تبدیل های ابتدایی سیستم های معادلات خطی را فهرست کنید

10. تبدیل های ابتدایی ماتریس ها را فهرست کنید

11. یک قضیه در مورد اعمال تبدیل های ابتدایی در یک سیستم معادلات خطی فرموله کنید.

12. چه سیستم هایی را می توان با استفاده از روش ماتریسی حل کرد؟

13. چه سیستم هایی را می توان با روش کرامر حل کرد؟

14. چه سیستم هایی را می توان با روش گاوس حل کرد؟

15. 3 مورد احتمالی را که هنگام حل سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش گاوس به وجود می آیند فهرست کنید.

16. روش ماتریسی برای حل سیستم های معادلات خطی را شرح دهید

17. روش کرامر را برای حل سیستم های معادلات خطی شرح دهید

18. روش گاوس را برای حل سیستم های معادلات خطی شرح دهید

19. چه سیستم هایی را می توان با استفاده از ماتریس معکوس حل کرد؟

20. 3 مورد احتمالی را که هنگام حل سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش کرامر به وجود می آیند فهرست کنید.

ادبیات:

1. ریاضیات عالی برای اقتصاددانان: کتاب درسی برای دانشگاه ها / N.Sh. کرمر، بی. پوتکو، I.M. تریشین، ام.ان. فریدمن. اد. ن.ش. کرمر. - م.: وحدت، 2005. - 471 ص.

2. درس عمومی ریاضیات عالی برای اقتصاددانان: کتاب درسی. / اد. در و. ارماکووا. -M.: INFRA-M، 2006. - 655 ص.

3. مجموعه مسائل در ریاضیات عالی برای اقتصاددانان: کتاب درسی / ویرایش توسط V.I. ارماکووا. M.: INFRA-M، 2006. – 574 p.

4. Gmurman V. E. راهنمای حل مسائل در نظریه احتمال و آمار ماگمایی. - م.: مدرسه عالی، 2005. - 400 ص.

5. گمورمن. V.E نظریه احتمال و آمار ریاضی. - م.: دبیرستان، 2005.

6. Danko P.E.، Popov A.G.، Kozhevnikova T.Ya. ریاضیات عالی در تمرین ها و مسائل. Part 1, 2. – M.: Onyx 21st century: Peace and Education, 2005. – 304 p. قسمت 1؛ - 416 ص. قسمت 2.

7. ریاضیات در اقتصاد: کتاب درسی: در 2 قسمت / A.S. سولودوونیکوف، V.A. بابایتسف، A.V. برایلوف، I.G. شاندارا. - م.: امور مالی و آمار، 2006.

8. شیپاچف V.S. ریاضیات عالی: کتاب درسی برای دانش آموزان. دانشگاه ها - M.: مدرسه عالی، 2007. - 479 p.

اطلاعات مربوطه.

ما به صیقل دادن فناوری خود ادامه خواهیم داد تحولات ابتداییبر سیستم همگن معادلات خطی.
بر اساس پاراگراف های اول، مطالب ممکن است خسته کننده و متوسط ​​به نظر برسد، اما این تصور فریبنده است. علاوه بر توسعه بیشتر تکنیک ها، اطلاعات جدید زیادی نیز وجود خواهد داشت، بنابراین لطفاً سعی کنید از مثال های این مقاله غافل نشوید.

سیستم همگن معادلات خطی چیست؟

پاسخ خود را نشان می دهد. سیستم معادلات خطی اگر جمله آزاد باشد همگن است هر کسمعادله سیستم صفر است مثلا:

کاملا واضح است که یک سیستم همگن همیشه سازگار استیعنی همیشه راه حل دارد. و اول از همه، چیزی که نظر شما را جلب می کند به اصطلاح است ناچیزراه حل . بی اهمیت برای کسانی که اصلا معنی صفت را نمی فهمند یعنی بدون خودنمایی. البته نه از نظر آکادمیک، اما به طور قابل درک =) ...چرا دور بوش بزنیم، بیایید ببینیم آیا این سیستم راه حل دیگری دارد یا خیر:

مثال 1

راه حل: برای حل یک سیستم همگن باید بنویسید ماتریس سیستمو با کمک دگرگونی های ابتدایی آن را به شکل گام به گام درآورد. لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا نیازی به نوشتن نوار عمودی و ستون صفر عبارت‌های آزاد نیست - هرچه باشد، مهم نیست که با صفرها چه می‌کنید، آنها صفر خواهند ماند:

(1) خط اول به خط دوم اضافه شد، ضرب در 2-. خط اول به خط سوم اضافه شد، ضرب در -3 شد.

(2) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1.

تقسیم خط سوم بر 3 چندان منطقی نیست.

در نتیجه تبدیل های اولیه، یک سیستم همگن معادل به دست می آید ، و با استفاده از معکوس روش گاوسی، به راحتی می توان تأیید کرد که راه حل منحصر به فرد است.

پاسخ:

اجازه دهید یک معیار واضح را تدوین کنیم: یک سیستم همگن معادلات خطی دارد فقط یک راه حل بی اهمیت، اگر رتبه ماتریس سیستم(در این مورد 3) برابر است با تعداد متغیرها (در این مورد - 3 قطعه).

بیایید رادیو خود را گرم کنیم و با موج دگرگونی های ابتدایی هماهنگ کنیم:

مثال 2

حل یک سیستم همگن از معادلات خطی

برای ادغام نهایی الگوریتم، اجازه دهید کار نهایی را تجزیه و تحلیل کنیم:

مثال 7

یک سیستم همگن را حل کنید، پاسخ را به صورت برداری بنویسید.

راه حل: بیایید ماتریس سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به شکل گام به گام در آوریم:

(1) علامت سطر اول تغییر کرده است. یک بار دیگر توجه را به تکنیکی جلب می کنم که بارها با آن مواجه شده است، که به شما امکان می دهد عمل بعدی را به طور قابل توجهی ساده کنید.

(1) خط اول به خطوط 2 و 3 اضافه شد. خط اول ضرب در 2 به خط 4 اضافه شد.

(3) سه خط آخر متناسب هستند، دو تا از آنها حذف شده است.

در نتیجه، یک ماتریس گام استاندارد به دست می آید و راه حل در امتداد مسیر خنثی شده ادامه می یابد:

- متغیرهای اساسی؛
– متغیرهای رایگان

اجازه دهید متغیرهای اساسی را بر حسب متغیرهای آزاد بیان کنیم. از معادله 2:

- جایگزینی در معادله 1:

بنابراین راه حل کلی این است:

از آنجایی که در مثال مورد بررسی سه متغیر آزاد وجود دارد، سیستم بنیادی شامل سه بردار است.

بیایید یک مقدار سه گانه را جایگزین کنیم حل کلی را وارد کنید و برداری را بدست آورید که مختصات آن هر معادله سیستم همگن را برآورده کند. و دوباره تکرار می کنم که بسیار توصیه می شود هر بردار دریافتی را بررسی کنید - زمان زیادی نمی برد، اما کاملاً از شما در برابر خطاها محافظت می کند.

برای ارزش های سه گانه بردار را پیدا کنید

و در نهایت برای این سه بردار سوم را دریافت می کنیم:

پاسخ: ، جایی که

کسانی که مایل به اجتناب از مقادیر کسری هستند ممکن است سه قلو را در نظر بگیرند و به صورت معادل جواب بگیرید:

صحبت از کسری. بیایید به ماتریس به دست آمده در مسئله نگاه کنیم و اجازه دهید از خود بپرسیم: آیا می توان راه حل بیشتر را ساده کرد؟ به هر حال، در اینجا ابتدا متغیر پایه را از طریق کسری بیان کردیم، سپس از طریق کسری، متغیر پایه را بیان کردیم، و باید بگویم که این فرآیند ساده ترین و خوشایندترین نبود.

راه حل دوم:

ایده این است که تلاش کنید سایر متغیرهای پایه را انتخاب کنید. بیایید به ماتریس نگاه کنیم و به دو مورد در ستون سوم توجه کنیم. پس چرا یک صفر در بالا نداشته باشیم؟ بیایید یک تغییر اساسی دیگر را انجام دهیم:

سیستم های همگن معادلات جبری خطی

به عنوان بخشی از دروس روش گاوسیو سیستم/سیستم های ناسازگار با یک راه حل مشترکدر نظر گرفتیم سیستم های ناهمگن معادلات خطی، جایی که عضو رایگان(که معمولا در سمت راست است) حداقل یکیاز معادلات با صفر متفاوت بود.
و حالا، پس از یک گرم کردن خوب با رتبه ماتریسی، ما به صیقل دادن تکنیک ادامه خواهیم داد تحولات ابتداییبر سیستم همگن معادلات خطی.
بر اساس پاراگراف های اول، مطالب ممکن است خسته کننده و متوسط ​​به نظر برسد، اما این تصور فریبنده است. علاوه بر توسعه بیشتر تکنیک ها، اطلاعات جدید زیادی نیز وجود خواهد داشت، بنابراین لطفاً سعی کنید از مثال های این مقاله غافل نشوید.

سیستم همگن معادلات خطی چیست؟

پاسخ خود را نشان می دهد. سیستم معادلات خطی اگر جمله آزاد باشد همگن است هر کسمعادله سیستم صفر است مثلا:

کاملا واضح است که یک سیستم همگن همیشه سازگار استیعنی همیشه راه حل دارد. و اول از همه، چیزی که نظر شما را جلب می کند به اصطلاح است ناچیزراه حل . بی اهمیت برای کسانی که اصلا معنی صفت را نمی فهمند یعنی بدون خودنمایی. البته نه از نظر آکادمیک، اما به طور قابل درک =) ...چرا دور بوش بزنیم، بیایید ببینیم آیا این سیستم راه حل دیگری دارد یا خیر:

مثال 1

راه حل: برای حل یک سیستم همگن باید بنویسید ماتریس سیستمو با کمک دگرگونی های ابتدایی آن را به شکل گام به گام درآورد. لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا نیازی به نوشتن نوار عمودی و ستون صفر عبارت‌های آزاد نیست - هرچه باشد، مهم نیست که با صفرها چه می‌کنید، آنها صفر خواهند ماند:

(1) خط اول به خط دوم اضافه شد، ضرب در 2-. خط اول به خط سوم اضافه شد، ضرب در -3 شد.

(2) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1.

تقسیم خط سوم بر 3 چندان منطقی نیست.

در نتیجه تبدیل های اولیه، یک سیستم همگن معادل به دست می آید ، و با استفاده از معکوس روش گاوسی، به راحتی می توان تأیید کرد که راه حل منحصر به فرد است.

پاسخ:

اجازه دهید یک معیار واضح را تدوین کنیم: یک سیستم همگن معادلات خطی دارد فقط یک راه حل بی اهمیت، اگر رتبه ماتریس سیستم(در این مورد 3) برابر است با تعداد متغیرها (در این مورد - 3 قطعه).

بیایید رادیو خود را گرم کنیم و با موج دگرگونی های ابتدایی هماهنگ کنیم:

مثال 2

حل یک سیستم همگن از معادلات خطی

از مقاله چگونه رتبه یک ماتریس را پیدا کنیم؟اجازه دهید تکنیک منطقی کاهش همزمان اعداد ماتریس را به یاد بیاوریم. در غیر این صورت، مجبور خواهید بود ماهی های بزرگ و اغلب گاز می گیرند. یک مثال تقریبی از یک کار در پایان درس.

صفرها خوب و راحت هستند، اما در عمل زمانی که ردیف های سیستم ماتریس می شوند، این مورد بسیار رایج تر است وابسته به خط. و سپس ظهور یک راه حل کلی اجتناب ناپذیر است:

مثال 3

حل یک سیستم همگن از معادلات خطی

راه حل: بیایید ماتریس سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به صورت گام به گام در آوریم. اولین اقدام نه تنها برای به دست آوردن یک مقدار واحد، بلکه در کاهش اعداد در ستون اول نیز انجام می شود:

(1) خط سوم به خط اول اضافه شد که در -1 ضرب شد. خط سوم به خط دوم اضافه شد، ضرب در 2-. در بالا سمت چپ واحدی با "منهای" دریافت کردم که اغلب برای تغییرات بیشتر راحت تر است.

(2) دو خط اول یکسان است، یکی از آنها حذف شد. صادقانه بگویم، من راه حل را تحت فشار قرار ندادم - این طور شد. اگر تبدیل ها را به صورت الگو انجام دهید، پس وابستگی خطیخطوط کمی بعد آشکار می شد.

(3) خط دوم در 3 ضرب به خط سوم اضافه شد.

(4) علامت سطر اول عوض شد.

در نتیجه تبدیل های اولیه، یک سیستم معادل به دست آمد:

الگوریتم دقیقاً مانند for عمل می کند سیستم های ناهمگن. متغیرهای "نشستن روی پله ها" اصلی ترین هستند، متغیری که "پله" نگرفته است رایگان است.

بیایید متغیرهای اصلی را از طریق یک متغیر آزاد بیان کنیم:

پاسخ: تصمیم مشترک:

راه حل بی اهمیت در فرمول کلی گنجانده شده است و نوشتن آن به طور جداگانه ضروری نیست.

بررسی همچنین طبق طرح معمول انجام می شود: راه حل کلی حاصل باید در سمت چپ هر معادله سیستم جایگزین شود و یک صفر قانونی برای همه جایگزین ها به دست آید.

می توان این کار را بی سر و صدا و مسالمت آمیز به پایان برد، اما راه حل یک سیستم معادلات همگن اغلب نیاز به نمایش دارد. به صورت برداریبا استفاده از سیستم اساسی راه حل ها. لطفا فعلا فراموشش کن هندسه تحلیلی، از آنجایی که اکنون در مورد بردارها به معنای جبری عمومی صحبت خواهیم کرد که در مقاله کمی در مورد آن باز کردم. رتبه ماتریسی. نیازی به ابطال کردن اصطلاحات نیست، همه چیز بسیار ساده است.

حل سیستم معادلات جبری خطی (SLAEs) بدون شک مهمترین موضوع در درس جبر خطی است. تعداد زیادی از مسائل از همه شاخه های ریاضیات به حل سیستم های معادلات خطی منتهی می شود. این عوامل دلیل این مقاله را توضیح می دهند. مطالب مقاله به گونه ای انتخاب و ساختار بندی شده است که با کمک آن بتوانید

• روش بهینه را برای حل سیستم معادلات جبری خطی خود انتخاب کنید،
• مطالعه تئوری روش انتخاب شده،
• سیستم معادلات خطی خود را با در نظر گرفتن راه حل های دقیق برای مثال ها و مسائل معمولی حل کنید.

شرح مختصری از مطالب مقاله

ابتدا تمام تعاریف، مفاهیم لازم را ارائه می کنیم و نمادها را معرفی می کنیم.

در ادامه روش‌هایی را برای حل سیستم‌های معادلات جبری خطی در نظر می‌گیریم که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرهای مجهول است و دارای راه‌حل منحصربه‌فرد هستند. اولاً روی روش کرامر تمرکز می‌کنیم، ثانیاً روش ماتریسی را برای حل چنین سیستم‌هایی از معادلات نشان می‌دهیم و ثالثاً روش گاوس (روش حذف متوالی متغیرهای مجهول) را تجزیه و تحلیل می‌کنیم. برای تثبیت نظریه، قطعاً چندین SLAE را به روش های مختلف حل خواهیم کرد.

پس از این به حل سیستم های معادلات جبری خطی به شکل کلی می رویم که در آنها تعداد معادلات با تعداد متغیرهای مجهول منطبق نباشد یا ماتریس اصلی سیستم منفرد باشد. اجازه دهید قضیه کرونکر-کاپلی را فرموله کنیم، که به ما امکان می دهد سازگاری SLAE ها را تعیین کنیم. اجازه دهید راه حل سیستم ها را (در صورت سازگاری) با استفاده از مفهوم پایه ماتریس تحلیل کنیم. ما همچنین روش گاوس را در نظر خواهیم گرفت و راه حل های مثال ها را با جزئیات شرح خواهیم داد.

ما قطعاً به ساختار حل کلی سیستم های همگن و ناهمگن معادلات جبری خطی خواهیم پرداخت. اجازه دهید مفهوم یک سیستم اساسی از راه حل ها را ارائه دهیم و نشان دهیم که چگونه جواب کلی یک SLAE با استفاده از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها نوشته می شود. برای درک بهتر، اجازه دهید به چند مثال نگاه کنیم.

در پایان، ما سیستم‌هایی از معادلات را در نظر خواهیم گرفت که می‌توان آنها را به خطی تقلیل داد، و همچنین مشکلات مختلفی را که در حل آنها SLAE ایجاد می‌شود، در نظر خواهیم گرفت.

پیمایش صفحه.

تعاریف، مفاهیم، ​​تعاریف.

ما سیستم هایی از معادلات جبری خطی p را با n متغیر مجهول (p می تواند برابر با n باشد) در نظر خواهیم گرفت.

متغیرهای ناشناخته، - ضرایب (برخی اعداد حقیقی یا مختلط)، - اصطلاحات آزاد (همچنین اعداد حقیقی یا مختلط).

این شکل از ثبت SLAE نامیده می شود هماهنگ كردن.

که در فرم ماتریسینوشتن این سیستم معادلات به شکل زیر است:
جایی که - ماتریس اصلی سیستم، - ماتریس ستونی از متغیرهای مجهول، - ماتریس ستونی از عبارت‌های آزاد.

اگر ماتریس-ستون از عبارت های آزاد را به عنوان ستون (n+1) به ماتریس A اضافه کنیم، به اصطلاح به ماتریس A اضافه می کنیم. ماتریس توسعه یافتهسیستم های معادلات خطی به طور معمول، یک ماتریس توسعه یافته با حرف T نشان داده می شود و ستون عبارت های آزاد با یک خط عمودی از ستون های باقی مانده جدا می شود، یعنی:

حل سیستم معادلات جبری خطیمجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول نامیده می شود که تمام معادلات سیستم را به هویت تبدیل می کند. معادله ماتریسی برای مقادیر داده شده متغیرهای مجهول نیز به یک هویت تبدیل می شود.

اگر یک سیستم معادلات حداقل یک جواب داشته باشد، آن را نامیده می شود مفصل.

اگر سیستم معادلات هیچ جوابی نداشته باشد، آن را می نامند غیر مشترک.

اگر یک SLAE راه حل منحصر به فردی داشته باشد، آنگاه نامیده می شود مسلم - قطعی; اگر بیش از یک راه حل وجود دارد، پس - نا معلوم.

اگر عبارات آزاد تمام معادلات سیستم برابر با صفر باشد ، سپس سیستم فراخوانی می شود همگن، در غیر این صورت - ناهمگون.

حل سیستم های ابتدایی معادلات جبری خطی.

اگر تعداد معادلات یک سیستم برابر با تعداد متغیرهای مجهول باشد و تعیین کننده ماتریس اصلی آن برابر با صفر نباشد، این گونه SLAE ها نامیده می شوند. ابتدایی. چنین سیستم‌هایی از معادلات راه‌حل منحصربه‌فردی دارند و در مورد یک سیستم همگن، همه متغیرهای مجهول برابر با صفر هستند.

ما مطالعه این گونه SLAE ها را در دبیرستان شروع کردیم. هنگام حل آنها، یک معادله را برداشتیم، یک متغیر مجهول را بر حسب بقیه بیان کردیم و آن را با معادلات باقیمانده جایگزین کردیم، سپس معادله بعدی را گرفتیم، متغیر مجهول بعدی را بیان کردیم و آن را با معادلات دیگر جایگزین کردیم و به همین ترتیب. یا از روش جمع استفاده کردند، یعنی دو یا چند معادله اضافه کردند تا برخی از متغیرهای مجهول را حذف کنند. ما در مورد این روش ها به طور مفصل صحبت نخواهیم کرد، زیرا آنها اساساً اصلاحات روش گاوس هستند.

روش های اصلی برای حل سیستم های ابتدایی معادلات خطی روش کرامر، روش ماتریسی و روش گاوس است. بیایید آنها را مرتب کنیم.

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر.

فرض کنید باید یک سیستم معادلات جبری خطی را حل کنیم

که در آن تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرهای مجهول است و تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم با صفر، یعنی .

بگذارید تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم باشد، و - تعیین کننده های ماتریس هایی که با جایگزینی از A به دست می آیند 1، 2، ...، نهمستون به ترتیب به ستون اعضای آزاد:

با این نماد، متغیرهای ناشناخته با استفاده از فرمول های روش کرامر به عنوان محاسبه می شوند . به این صورت است که راه حل یک سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از روش کرامر پیدا می شود.

مثال.

روش کرامر .

راه حل.

ماتریس اصلی سیستم دارای فرم است . بیایید تعیین کننده آن را محاسبه کنیم (در صورت لزوم، مقاله را ببینید):

از آنجایی که تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم غیر صفر است، سیستم راه حل منحصر به فردی دارد که می توان آن را با روش کرامر پیدا کرد.

بیایید تعیین کننده های لازم را بسازیم و محاسبه کنیم (با جایگزینی ستون اول در ماتریس A با ستونی از عبارت های آزاد، تعیین کننده را با جایگزینی ستون دوم با ستونی از عبارت های آزاد و با جایگزینی ستون سوم ماتریس A با ستونی از عبارت های آزاد، تعیین کننده را به دست می آوریم) :

یافتن متغیرهای ناشناخته با استفاده از فرمول :

پاسخ:

عیب اصلی روش کرامر (اگر بتوان آن را نقطه ضعف نامید) پیچیدگی محاسبه دترمیناتورها در زمانی است که تعداد معادلات در سیستم بیش از سه باشد.

حل سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از روش ماتریس (با استفاده از ماتریس معکوس).

اجازه دهید یک سیستم معادلات جبری خطی به صورت ماتریسی داده شود، که در آن ماتریس A دارای بعد n در n و تعیین کننده آن غیر صفر است.

از آنجایی که ماتریس A معکوس است، یعنی یک ماتریس معکوس وجود دارد. اگر هر دو طرف تساوی را در سمت چپ ضرب کنیم، فرمولی برای یافتن یک ماتریس-ستون از متغیرهای مجهول به دست می آید. به این صورت است که با استفاده از روش ماتریسی، جوابی برای یک سیستم معادلات جبری خطی به دست آوردیم.

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش ماتریسی

راه حل.

بیایید سیستم معادلات را به صورت ماتریسی بازنویسی کنیم:

زیرا

سپس SLAE را می توان با استفاده از روش ماتریس حل کرد. با استفاده از ماتریس معکوس، راه حل این سیستم را می توان به صورت پیدا کرد .

بیایید با استفاده از یک ماتریس از جمع جبری عناصر ماتریس A یک ماتریس معکوس بسازیم (در صورت لزوم، مقاله را ببینید):

باقی مانده است که ماتریس متغیرهای مجهول را با ضرب ماتریس معکوس محاسبه کنیم به یک ماتریس-ستون از اعضای آزاد (در صورت لزوم، به مقاله مراجعه کنید):

پاسخ:

یا در نماد دیگری x 1 = 4، x 2 = 0، x 3 = -1.

مشکل اصلی هنگام یافتن راه‌حل برای سیستم‌های معادلات جبری خطی با استفاده از روش ماتریس، پیچیدگی یافتن ماتریس معکوس است، به‌ویژه برای ماتریس‌های مربعی با مرتبه بالاتر از سوم.

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس.

فرض کنید باید برای سیستمی متشکل از n معادله خطی با n متغیر مجهول راه حلی پیدا کنیم
تعیین کننده ماتریس اصلی آن با صفر متفاوت است.

ماهیت روش گاوسشامل حذف متوالی متغیرهای مجهول می شود: اول، x 1 از تمام معادلات سیستم حذف می شود، از معادلات دوم شروع می شود، سپس x 2 از همه معادلات حذف می شود، از سومین شروع می شود، و به همین ترتیب، تا زمانی که فقط متغیر مجهول x n باشد. در آخرین معادله باقی می ماند. این فرآیند تبدیل معادلات سیستم برای حذف متوالی متغیرهای مجهول نامیده می شود روش گاوسی مستقیم. پس از تکمیل حرکت رو به جلو روش گاوسی، x n از آخرین معادله، با استفاده از این مقدار از معادله ماقبل آخر، x n-1 محاسبه می شود و به همین ترتیب، x 1 از معادله اول به دست می آید. فرآیند محاسبه متغیرهای مجهول در هنگام حرکت از آخرین معادله سیستم به اولین معادله نامیده می شود معکوس روش گاوسی.

اجازه دهید به طور خلاصه الگوریتم حذف متغیرهای ناشناخته را شرح دهیم.

ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. بیایید متغیر مجهول x 1 را از تمام معادلات سیستم حذف کنیم و از دومی شروع کنیم. برای انجام این کار، به معادله دوم سیستم، اولین را با ضرب در، به معادله سوم اضافه می کنیم، ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا و .

اگر x 1 را بر حسب سایر متغیرهای مجهول در اولین معادله سیستم بیان می کردیم و عبارت حاصل را جایگزین تمام معادلات دیگر می کردیم، به همان نتیجه می رسیدیم. بنابراین، متغیر x 1 از معادلات دوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به روشی مشابه ادامه می دهیم، اما فقط با بخشی از سیستم حاصل که در شکل مشخص شده است

برای انجام این کار، به معادله سوم سیستم، دومی را با ضرب در، به معادله چهارم اضافه می کنیم، ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا و . بنابراین، متغیر x 2 از معادلات سوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به حذف مجهول x 3 ادامه می دهیم، در حالی که با بخشی از سیستم که در شکل مشخص شده است، به طور مشابه عمل می کنیم.

بنابراین پیشروی مستقیم روش گاوسی را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه معکوس روش گاوسی را شروع می کنیم: x n را از آخرین معادله به صورت محاسبه می کنیم، با استفاده از مقدار بدست آمده از x n، x n-1 را از معادله ماقبل آخر می یابیم، و به همین ترتیب، x 1 را از معادله اول می یابیم. .

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش گاوس

راه حل.

اجازه دهید متغیر مجهول x 1 را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنیم. برای انجام این کار، به هر دو طرف معادله دوم و سوم، قسمت های مربوط به معادله اول را به ترتیب در و در ضرب اضافه می کنیم:

اکنون x 2 را از معادله سوم حذف می کنیم، با اضافه کردن سمت چپ و راست معادله دوم به سمت چپ و راست آن، ضرب در:

این کار حرکت رو به جلو روش گاوس را کامل می کند؛ ما حرکت معکوس را شروع می کنیم.

از آخرین معادله سیستم معادلات حاصل، x 3 را پیدا می کنیم:

از معادله دوم بدست می آوریم.

از معادله اول، متغیر مجهول باقیمانده را پیدا می کنیم و در نتیجه معکوس روش گاوس را تکمیل می کنیم.

پاسخ:

X 1 = 4، x 2 = 0، x 3 = -1.

حل سیستم معادلات جبری خطی به شکل کلی.

به طور کلی، تعداد معادلات سیستم p با تعداد متغیرهای مجهول n منطبق نیست:

چنین SLAE هایی ممکن است هیچ راه حلی نداشته باشند، یک راه حل واحد داشته باشند یا راه حل های بی نهایت زیادی داشته باشند. این عبارت برای سیستم های معادلاتی که ماتریس اصلی آنها مربع و مفرد است نیز صدق می کند.

قضیه کرونکر-کاپلی.

قبل از یافتن راه حل برای یک سیستم معادلات خطی، لازم است سازگاری آن مشخص شود. پاسخ به این سوال که چه زمانی SLAE سازگار است و چه زمانی ناسازگار است توسط داده می شود قضیه کرونکر-کاپلی:
برای اینکه یک سیستم از معادلات p با n مجهول (p می تواند برابر با n باشد) سازگار باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته باشد. , Rank(A)=Rank(T).

اجازه دهید، به عنوان مثال، کاربرد قضیه کرونکر-کاپلی را برای تعیین سازگاری یک سیستم معادلات خطی در نظر بگیریم.

مثال.

دریابید که آیا سیستم معادلات خطی دارد یا خیر راه حل ها

راه حل.

. بیایید از روش مرزبندی خردسالان استفاده کنیم. جزئی از مرتبه دوم متفاوت از صفر بیایید به مینورهای مرتبه سوم همسایه آن نگاه کنیم:

از آنجایی که تمام مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر هستند، رتبه ماتریس اصلی برابر با دو است.

به نوبه خود، رتبه ماتریس توسعه یافته برابر با سه است، زیرا جزئی درجه سوم است

متفاوت از صفر

بدین ترتیب، Rang(A)، بنابراین، با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی، می‌توان نتیجه گرفت که سیستم اصلی معادلات خطی ناسازگار است.

پاسخ:

سیستم هیچ راه حلی ندارد.

بنابراین، ما یاد گرفتیم که ناسازگاری یک سیستم را با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی مشخص کنیم.

اما چگونه می توان راه حلی برای SLAE در صورت وجود سازگاری آن پیدا کرد؟

برای انجام این کار، به مفهوم پایه ماتریس و یک قضیه در مورد رتبه یک ماتریس نیاز داریم.

مینور بالاترین مرتبه ماتریس A، متفاوت از صفر، نامیده می شود پایه ای.

از تعریف پایه مینور به دست می آید که ترتیب آن برابر با رتبه ماتریس است. برای یک ماتریس غیرصفر A می تواند چندین مینور پایه وجود داشته باشد؛ همیشه یک پایه مینور وجود دارد.

به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید .

همه مینورهای مرتبه سوم این ماتریس برابر با صفر هستند، زیرا عناصر ردیف سوم این ماتریس مجموع عناصر مربوط به ردیف اول و دوم هستند.

مینورهای مرتبه دوم زیر پایه هستند، زیرا غیر صفر هستند

خردسالان پایه نیستند، زیرا برابر با صفر هستند.

قضیه رتبه ماتریس.

اگر رتبه یک ماتریس از مرتبه p در n برابر با r باشد، آنگاه تمام عناصر سطر (و ستون) ماتریس که مینور پایه انتخابی را تشکیل نمی دهند، به صورت خطی بر حسب عناصر تشکیل دهنده ردیف (و ستون) مربوطه بیان می شوند. پایه جزئی

قضیه رتبه ماتریس به ما چه می گوید؟

اگر طبق قضیه کرونکر-کاپلی، سازگاری سیستم را مشخص کرده باشیم، آنگاه هر پایه مینور از ماتریس اصلی سیستم را انتخاب می کنیم (ترتیب آن برابر با r است) و تمام معادلات را از سیستم حذف می کنیم. پایه انتخابی جزئی را تشکیل نمی دهند. SLAE به‌دست‌آمده از این طریق معادل معادل اصلی خواهد بود، زیرا معادلات دور ریخته شده هنوز اضافی هستند (طبق قضیه رتبه ماتریس، آنها ترکیبی خطی از معادلات باقی‌مانده هستند).

در نتیجه پس از کنار گذاشتن معادلات غیر ضروری سیستم، دو حالت امکان پذیر است.

اگر تعداد معادلات r در سیستم حاصل با تعداد متغیرهای مجهول برابر باشد، قطعی خواهد بود و تنها راه حل را می توان با روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس یافت.

مثال.

.

راه حل.

رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر دو است، زیرا مینور مرتبه دوم است متفاوت از صفر رتبه ماتریس توسعه یافته همچنین برابر با دو است، زیرا تنها مرتبه سوم جزئی صفر است

و مینور مرتبه دوم در نظر گرفته شده در بالا با صفر متفاوت است. بر اساس قضیه کرونکر-کاپلی، می‌توانیم سازگاری سیستم اصلی معادلات خطی را اثبات کنیم، زیرا Rank(A)=Rank(T)=2.

ما به عنوان پایه جزئی در نظر می گیریم . از ضرایب معادله اول و دوم تشکیل می شود:


معادله سوم سیستم در تشکیل مبنا مینور شرکت نمی کند، بنابراین آن را بر اساس قضیه رتبه ماتریس از سیستم حذف می کنیم:


به این ترتیب ما یک سیستم ابتدایی معادلات جبری خطی به دست آوردیم. بیایید آن را با استفاده از روش کرامر حل کنیم:


پاسخ:

x 1 = 1، x 2 = 2.

اگر تعداد معادلات r در SLAE حاصل از تعداد متغیرهای مجهول n کمتر باشد، در سمت چپ معادلات، عبارت‌هایی را که پایه اصلی را تشکیل می‌دهند، رها می‌کنیم و عبارت‌های باقی‌مانده را به سمت راست معادله منتقل می‌کنیم. معادلات سیستم با علامت مخالف

متغیرهای مجهول (r از آنها) باقی مانده در سمت چپ معادلات نامیده می شوند اصلی.

متغیرهای ناشناخته (n - r قطعه وجود دارد) که در سمت راست قرار دارند فراخوانی می شوند رایگان.

اکنون ما معتقدیم که متغیرهای مجهول آزاد می توانند مقادیر دلخواه بگیرند، در حالی که متغیرهای مجهول اصلی r از طریق متغیرهای مجهول آزاد به روشی منحصر به فرد بیان می شوند. بیان آنها را می توان با حل SLAE حاصل با استفاده از روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس یافت.

بیایید با یک مثال به آن نگاه کنیم.

مثال.

حل یک سیستم معادلات جبری خطی .

راه حل.

بیایید رتبه ماتریس اصلی سیستم را پیدا کنیم به روش مرزبندی خردسالان. بیایید 1 1 = 1 را به عنوان مینور غیر صفر مرتبه اول در نظر بگیریم. بیایید شروع به جستجوی یک مینور غیر صفر درجه دوم در حاشیه این مینور کنیم:


به این ترتیب ما یک مینور غیر صفر درجه دوم را پیدا کردیم. بیایید شروع به جستجوی یک مینور مرزی غیر صفر از مرتبه سوم کنیم:


بنابراین، رتبه ماتریس اصلی سه است. رتبه ماتریس توسعه یافته نیز برابر با سه است، یعنی سیستم سازگار است.

ما مینور غیر صفر یافت شده مرتبه سوم را به عنوان پایه یک در نظر می گیریم.

برای وضوح، ما عناصری را نشان می‌دهیم که پایه جزئی را تشکیل می‌دهند:


عبارات مربوط به مبنا مینور را در سمت چپ معادلات سیستم رها می کنیم و بقیه را با علائم مخالف به سمت راست منتقل می کنیم:


بیایید به متغیرهای مجهول مجهول x 2 و x 5 مقادیر دلخواه بدهیم، یعنی قبول می کنیم ، جایی که اعداد دلخواه هستند. در این صورت، SLAE شکل خواهد گرفت


اجازه دهید سیستم ابتدایی معادلات جبری خطی را با استفاده از روش کرامر حل کنیم:


از این رو، .

در پاسخ خود فراموش نکنید که متغیرهای مجهول رایگان را مشخص کنید.

پاسخ:

اعداد دلخواه کجا هستند

خلاصه کنید.

برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی عمومی، ابتدا سازگاری آن را با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی تعیین می کنیم. اگر رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر نباشد، نتیجه می گیریم که سیستم ناسازگار است.

اگر رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر باشد، یک پایه مینور را انتخاب می کنیم و معادلات سیستم را که در تشکیل ماتریس اصلی انتخابی شرکت نمی کنند، کنار می گذاریم.

اگر ترتیب پایه مینور برابر با تعداد متغیرهای مجهول باشد، SLAE یک راه حل منحصر به فرد دارد که می توان آن را با هر روشی که برای ما شناخته شده است پیدا کرد.

اگر ترتیب پایه مینور کمتر از تعداد متغیرهای مجهول باشد، در سمت چپ معادلات سیستم، عبارت ها را با متغیرهای مجهول اصلی رها می کنیم، عبارت های باقی مانده را به سمت راست منتقل می کنیم و مقادیر دلخواه را به آن می دهیم. متغیرهای مجهول رایگان از سیستم معادلات خطی حاصل، متغیرهای مجهول اصلی را با استفاده از روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس پیدا می کنیم.

روش گاوس برای حل سیستم معادلات جبری خطی با فرم عمومی.

روش گاوس را می توان برای حل سیستم های معادلات جبری خطی از هر نوع بدون آزمایش اولیه آنها برای سازگاری استفاده کرد. فرآیند حذف متوالی متغیرهای ناشناخته امکان نتیجه گیری در مورد سازگاری و ناسازگاری SLAE را فراهم می کند و در صورت وجود راه حل، یافتن آن را ممکن می سازد.

از دیدگاه محاسباتی، روش گاوسی ارجحیت دارد.

شرح مفصل و نمونه های تحلیل شده آن را در مقاله روش گاوس برای حل سیستم های معادلات جبری خطی عمومی ببینید.

نوشتن یک جواب کلی برای سیستم های جبری خطی همگن و ناهمگن با استفاده از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها.

در این بخش در مورد سیستم های همگن و ناهمگن معادلات جبری خطی که تعداد بی نهایت جواب دارند صحبت خواهیم کرد.

اجازه دهید ابتدا به سیستم های همگن بپردازیم.

سیستم بنیادی راه حل هاسیستم همگن p معادلات جبری خطی با n متغیر مجهول مجموعه ای از (n – r) راه حل های مستقل خطی این سیستم است که r ترتیب مینور پایه ماتریس اصلی سیستم است.

اگر راه حل های مستقل خطی یک SLAE همگن را به صورت X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) نشان دهیم ماتریس های ستونی با بعد n هستند. با 1) ، سپس جواب کلی این سیستم همگن به صورت ترکیبی خطی از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها با ضرایب ثابت دلخواه C 1 ، C 2 ، ... ، C (n-r) نشان داده می شود ، یعنی .

اصطلاح حل کلی یک سیستم همگن معادلات جبری خطی (اوروسلاو) به چه معناست؟

معنی ساده است: فرمول تمام راه حل های ممکن SLAE اصلی را مشخص می کند، به عبارت دیگر، با گرفتن هر مجموعه ای از مقادیر ثابت دلخواه C 1، C 2، ...، C (n-r)، با استفاده از فرمولی که ما خواهیم کرد. یکی از محلول های SLAE همگن اصلی را بدست آورید.

بنابراین، اگر ما یک سیستم اساسی از راه حل ها را پیدا کنیم، می توانیم تمام راه حل های این SLAE همگن را به عنوان تعریف کنیم.

اجازه دهید روند ساخت یک سیستم اساسی از راه حل ها را برای یک SLAE همگن نشان دهیم.

ما مینور پایه سیستم اصلی معادلات خطی را انتخاب می کنیم، تمام معادلات دیگر را از سیستم حذف می کنیم و تمام عبارت های حاوی متغیرهای مجهول آزاد را به سمت راست معادلات سیستم با علائم مخالف منتقل می کنیم. بیایید به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر 1,0,0,...,0 بدهیم و مجهولات اصلی را با حل سیستم ابتدایی معادلات خطی به هر شکلی مثلاً با استفاده از روش کرامر محاسبه کنیم. این منجر به X (1) می شود - اولین راه حل سیستم بنیادی. اگر به مجهولات رایگان مقادیر 0,1,0,0,…,0 بدهیم و مجهولات اصلی را محاسبه کنیم، X (2) به دست می آید. و غیره. اگر مقادیر 0.0،…،0.1 را به متغیرهای مجهول آزاد نسبت دهیم و مجهولات اصلی را محاسبه کنیم، X (n-r) را به دست می آوریم. به این ترتیب، یک سیستم اساسی از راه حل های یک SLAE همگن ساخته می شود و جواب کلی آن را می توان به شکل نوشتار کرد.

برای سیستم‌های ناهمگن معادلات جبری خطی، جواب کلی به شکل نشان داده می‌شود، جایی که جواب کلی سیستم همگن مربوطه است، و حل خاص SLAE ناهمگن اصلی است که با دادن مقادیر مجهولات آزاد به دست می‌آییم. 0,0,...,0 و محاسبه مقادیر مجهولات اصلی.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال.

سیستم اساسی راه حل ها و حل کلی یک سیستم همگن معادلات جبری خطی را بیابید .

راه حل.

رتبه ماتریس اصلی سیستم های همگن معادلات خطی همیشه با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر است. بیایید رتبه ماتریس اصلی را با استفاده از روش مرزبندی مینورها پیدا کنیم. به عنوان مینور غیر صفر درجه اول، عنصر a 1 1 = 9 از ماتریس اصلی سیستم را می گیریم. بیایید مینور غیر صفر مرزی مرتبه دوم را پیدا کنیم:

یک مینور از مرتبه دوم، متفاوت از صفر، پیدا شده است. بیایید در جست‌وجوی یک غیرصفر، از مینورهای مرتبه سوم که در حاشیه آن قرار دارند عبور کنیم:

همه مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه ماتریس اصلی و توسعه یافته برابر با دو است. بگیریم. برای وضوح، اجازه دهید به عناصر سیستمی که آن را تشکیل می دهند توجه کنیم:

معادله سوم SLAE اصلی در تشکیل پایه مینور شرکت نمی کند، بنابراین، می توان آن را حذف کرد:

عبارت‌های حاوی مجهولات اصلی را در سمت راست معادلات رها می‌کنیم و عبارت‌های مجهول آزاد را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

اجازه دهید یک سیستم اساسی از راه حل های سیستم همگن اصلی معادلات خطی بسازیم. سیستم اساسی راه حل های این SLAE از دو راه حل تشکیل شده است، زیرا SLAE اصلی شامل چهار متغیر ناشناخته است و ترتیب پایه مینور آن برابر با دو است. برای یافتن X (1)، به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر x 2 = 1، x 4 = 0 می دهیم، سپس مجهولات اصلی را از سیستم معادلات می یابیم.
.

در نظر بگیریم سیستم همگن m معادلات خطی با n متغیر:

(15)

یک سیستم معادلات خطی همگن همیشه سازگار است، زیرا همیشه یک راه حل صفر (بی اهمیت) دارد (0,0,…,0).

اگر در سیستم (15) m=n و، سیستم فقط یک جواب صفر دارد که از قضیه و فرمول کرامر به دست می آید.

قضیه 1. سیستم همگن (15) اگر و فقط در صورتی که رتبه ماتریس آن کمتر از تعداد متغیرها باشد، راه حل غیر ضروری دارد. . r(آ)< n.

اثبات. وجود یک راه حل غیر ضروری برای سیستم (15) معادل وابستگی خطی ستون های ماتریس سیستم است (یعنی اعداد x 1، x 2،...، x n وجود دارد، نه همه برابر با صفر، به طوری که برابری (15) درست است).

طبق قضیه مینور پایه، ستون های یک ماتریس به صورت خطی وابسته هستند  زمانی که همه ستون های این ماتریس پایه نباشند، یعنی.  وقتی ترتیب r پایه مینور ماتریس از عدد n ستون آن کمتر باشد. و غیره.

نتیجه. یک سیستم همگن مربعی دارای راه حل های غیر پیش پا افتاده  وقتی |A|=0 است.

قضیه 2. اگر ستون های x (1)، x (2)،...، x (s) راه حل های یک سیستم همگن AX = 0 باشند، هر ترکیب خطی از آنها نیز راه حلی برای این سیستم است.

اثبات. هر ترکیبی از راه حل ها را در نظر بگیرید:

سپس AX=A()===0. و غیره.

نتیجه 1.اگر یک سیستم همگن یک راه حل غیر اساسی داشته باشد، آنگاه راه حل های بی نهایت زیادی دارد.

که لازم است چنین جواب هایی x (1)، x (2)،...، x (s) سیستم Ax = 0 پیدا شود، به طوری که هر جواب دیگری از این سیستم به صورت ترکیب خطی آنها نشان داده شود و علاوه بر این، به روشی منحصر به فرد.

تعریف.سیستم k=n-r (n تعداد مجهول های سیستم است، r=rg A) جواب های مستقل خطی x (1)، x (2)،…، x (k) سیستم Ах=0 نامیده می شود. سیستم اساسی راه حل هااین سیستم

قضیه 3. اجازه دهید یک سیستم همگن Ах=0 با n مجهول و r=rg A داده شود سپس مجموعه ای از جواب های k=n-r x (1)، x (2)،…، x (k) از این سیستم وجود دارد که یک سیستم اساسی راه حل ها

اثبات. بدون از دست دادن کلیت، می توانیم فرض کنیم که مینور پایه ماتریس A در گوشه سمت چپ بالا قرار دارد. سپس، با قضیه مینور پایه، سطرهای باقی مانده از ماتریس A ترکیب خطی ردیف های پایه هستند. این بدان معنی است که اگر مقادیر x 1، x 2،…، x n معادلات r اول را برآورده کنند، یعنی. معادلات مربوط به ردیف های پایه مینور)، سپس آنها همچنین معادلات دیگر را برآورده می کنند. در نتیجه، مجموعه راه حل های سیستم تغییر نخواهد کرد اگر همه معادلات را که از (r+1) شروع می شوند کنار بگذاریم. ما سیستم را دریافت می کنیم:

اجازه دهید مجهول های آزاد x r +1 , x r +2 ,…, x n را به سمت راست منتقل کنیم و مجهول های اصلی x 1 , x 2 ,…, x r را در سمت چپ رها کنیم:

(16)

زیرا در این مورد همه b i = 0، سپس به جای فرمول ها

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) ، بدست می آوریم:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

اگر مجهول های آزاد x r +1 , x r +2 ,…, x n را روی مقادیر دلخواه قرار دهیم، با توجه به مجهولات پایه یک SLAE مربع با ماتریس غیر منفرد به دست می آوریم که یک راه حل منحصر به فرد برای آن وجود دارد. بنابراین، هر راه حل یک SLAE همگن به طور منحصر به فرد توسط مقادیر مجهولات آزاد x r + 1، x r + 2، ...، x n تعیین می شود. سری k=n-r زیر را از مقادیر مجهولات آزاد در نظر بگیرید:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(عدد سری با یک بالانویس داخل پرانتز نشان داده می شود و سری مقادیر به صورت ستونی نوشته می شود. در هر سری =1 اگر i=j و =0 اگر ij.

سری i-ام مقادیر مجهولات رایگان به طور منحصر به فرد با مقادیر ,,..., مجهولات اساسی مطابقت دارد. مقادیر مجهولات آزاد و پایه با هم راه حل هایی به سیستم می دهند (17).

اجازه دهید نشان دهیم که ستون های e i =,i=1,2,…,k (18)

یک سیستم اساسی از راه حل ها را تشکیل می دهد.

زیرا این ستون ها از نظر ساخت، راه حل هایی برای سیستم همگن Ax=0 هستند و تعداد آنها برابر k است، سپس باید استقلال خطی جواب ها را ثابت کرد (16). بگذارید ترکیبی خطی از راه حل ها وجود داشته باشد ه 1 , ه 2 ,…, ه ک(x (1) , x (2) ,…, x (k))، برابر با ستون صفر:

 1 ه 1 +  2 ه 2 +…+  ک ه ک ( 1 ایکس (1) + 2 ایکس(2) +…+ k ایکس(ک) = 0)

سپس سمت چپ این تساوی ستونی است که اجزای آن با اعداد r+1,r+2,…,n برابر با صفر هستند. اما مولفه (r+1)ام برابر است با  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . به طور مشابه، مؤلفه (r+2)ام برابر با  2،…، مؤلفه kth برابر با  k است. بنابراین  1 =  2 = …= k =0 که به معنای استقلال خطی جواب هاست ه 1 , ه 2 ,…, ه ک ( x (1), x (2) ,…, x (k)).

سیستم بنیادی ساخته شده از راه حل ها (18) نامیده می شود طبیعی. بر اساس فرمول (13)، شکل زیر را دارد:

(20)

نتیجه 2. اجازه دهید ه 1 , ه 2 ,…, ه ک- سیستم بنیادی طبیعی محلول های یک سیستم همگن، سپس مجموعه همه راه حل ها را می توان با فرمول توصیف کرد:

x=c 1 ه 1 +s 2 ه 2 +…+с k ه ک (21)

که در آن с 1,с 2,…,с k - مقادیر دلخواه را بگیرید.

اثبات. با قضیه 2، ستون (19) راه حلی برای سیستم همگن Ax=0 است. باید ثابت کرد که هر راه حلی برای این سیستم را می توان به شکل (17) نشان داد. ستون را در نظر بگیرید ایکس=y r +1 ه 1 +…+y n ه ک. این ستون با ستون y در عناصر با اعداد r+1,...,n منطبق است و جوابی برای (16) است. بنابراین ستون ها ایکسو درهمزمان، زیرا راه حل های سیستم (16) به طور منحصر به فرد توسط مجموعه مقادیر مجهول های آزاد آن x r +1،…،xn، و ستون ها تعیین می شوند. درو ایکساین مجموعه ها یکی هستند از این رو، در=ایکس= y r +1 ه 1 +…+y n ه ک، یعنی راه حل درترکیبی خطی از ستون ها است ه 1 ,…,y N FSR معمولی. و غیره.

عبارت اثبات شده نه تنها برای یک FSR معمولی، بلکه برای یک FSR دلخواه یک SLAE همگن نیز صادق است.

X=ج 1 ایکس 1 + ج 2 ایکس 2 +…+s n - r ایکس n - r - تصمیم مشترکسیستم های معادلات همگن خطی

جایی که X 1، X 2،…، X n - r - هر سیستم اساسی از راه حل ها،

c 1 , c 2 ,…,c n - r اعداد دلخواه هستند.

مثال. (ص 78)

اجازه دهید بین راه حل های SLAE ناهمگن ارتباط برقرار کنیم (1) و SLAE همگن مربوطه (15)

قضیه 4. مجموع هر راه حل برای سیستم ناهمگن (1) و سیستم همگن مربوطه (15) یک راه حل برای سیستم (1) است.

اثبات. اگر c 1 ,…,c n جوابی برای سیستم (1) باشد و d 1 ,…,d n جوابی برای سیستم (15) باشد، اعداد مجهول c را به هر معادله (مثلاً i-امین) جایگزین کنید. سیستم (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , دریافت می کنیم:

B i +0=b i h.t.d.

قضیه 5. تفاوت بین دو راه حل دلخواه سیستم ناهمگن (1) یک راه حل برای سیستم همگن است (15).

اثبات. اگر c 1 ,…,c n و c 1 ,…,c n راه حل های سیستم (1) باشند، اعداد مجهول c را با هر معادله (مثلاً i-امین) سیستم (1) جایگزین کنید. ) 1 -с 1 ,…,c n -с n , بدست می آوریم:

B i -b i =0 p.t.d.

از قضایای اثبات شده چنین برمی‌آید که حل کلی یک سیستم m معادلات همگن خطی با n متغیر برابر است با مجموع جواب کلی سیستم معادلات خطی همگن (15) و یک عدد دلخواه از یک جواب خاص این سیستم (15).

ایکس نئود. =X جمع یکی +X زود زود بیش از یک بار (22)

به عنوان یک راه حل خاص برای یک سیستم ناهمگن، طبیعی است که محلولی را که در فرمول های cj =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j به دست می آید در نظر بگیریم. (a in)) j=1,2,…,r ((13) همه اعداد c r +1 ,…,c n را برابر صفر قرار دهید، یعنی.

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

افزودن این راه حل خاص به راه حل عمومی X=ج 1 ایکس 1 + ج 2 ایکس 2 +…+s n - r ایکس n - rسیستم همگن مربوطه، به دست می آوریم:

ایکس نئود. =X 0 +C 1 ایکس 1 +C 2 ایکس 2 +…+S n - r ایکس n - r (24)

سیستمی متشکل از دو معادله با دو متغیر را در نظر بگیرید:

که در آن حداقل یکی از ضرایب یک ij 0.

برای حل، x 2 را با ضرب معادله اول در 22 و دومی در (-a 12) و جمع کردن آنها حذف می کنیم: x 1 را با ضرب رابطه اول در (-a 21) و دومی در 11 حذف می کنیم. و اضافه کردن آنها: عبارت داخل پرانتز تعیین کننده است

تعیین کردن ,، سپس سیستم به شکل:، یعنی اگر، پس سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد:،.

اگر Δ=0، و (یا)، پس سیستم ناسازگار است، زیرا به شکل کاهش می یابد اگر Δ=Δ 1 =Δ 2 = 0، پس سیستم نامشخص است، زیرا به شکل کاهش یافته است