تابع معکوس y 3x. توابع معکوس متقابل، تعاریف اساسی، خصوصیات، نمودارها. اثبات قضیه وجود و تداوم تابع معکوس در یک بازه

تابعوابستگی یک متغیر به متغیر دیگر است. توابع را می توان با استفاده از روش جدول، روش کلامی، روش گرافیکی یا فرمول مشخص کرد.

توابع به انواع زیر تقسیم می شوند:

تابع خطی
تابع درجه دوم
تابع مکعبی
تابع مثلثاتی
تابع توان
تابع نمایی
تابع لگاریتمی

دامنه تابع D(y)مجموعه ای از تمام مقادیر مجاز آرگومان x (متغیر مستقل x) است که عبارت در سمت راست معادله تابع y = f(x) منطقی است. به عبارت دیگر، این محدوده مقادیر قابل قبول عبارت f(x) است.

برای یافتن دامنه تعریف آن از نمودار تابع y = f(x)، باید با حرکت از چپ به راست در امتداد محور OX، تمام فواصل مقادیر x را که در آن نمودار تابع است، بنویسید. وجود دارد.

مجموعه مقادیر تابع E(y) مجموعه تمام مقادیری است که متغیر وابسته y می تواند بگیرد.

برای یافتن مجموعه مقادیر آن از نمودار یک تابع y = f(x)، باید با حرکت از پایین به بالا در امتداد محور OY، تمام فواصل مقادیر y را که در آن نمودار تابع وجود دارد.

تابع معکوس- تابع y=g(x) که از تابع داده شده y = f(x) به دست می آید، اگر از رابطه x = f(y) y را از طریق x بیان کنیم.

برای پیدا کردن معکوس تابع معین y = f(x)، باید:

در رابطه y = f(x)، x را با y و y را با x جایگزین کنید: x = f(y).
در عبارت حاصل x=f(y)، y را بر حسب x بیان کنید.

توابع f(x) و g(x) متقابلا معکوس هستند. بیایید با یک مثال به این موضوع نگاه کنیم

نمونه هایی از یافتن توابع معکوس:

دامنه و دامنه توابع f و g با هم عوض می شوند: دامنه f دامنه g و دامنه f دامنه g است.

برای هر تابعی نمی توانید معکوس را مشخص کنید. شرط وارونگی یک تابع یکنواختی آن است، یعنی تابع فقط باید افزایش یا کاهش یابد. اگر تابعی در کل دامنه تعریف یکنواخت نباشد، بلکه در یک بازه معین یکنواخت باشد، آنگاه می توان تابع معکوس آن را فقط در این بازه تعریف کرد.

ویژگی های توابع معکوس متقابلاجازه دهید به برخی از ویژگی های توابع معکوس متقابل توجه کنیم. 1) هویت ها.

اجازه دهید fو g- متقابلا توابع معکوس. سپس: f(g(y)) = yو g(f(x)) = x. 2) دامنه.

اجازه دهید fو g- توابع معکوس متقابل. دامنه تابع fبا محدوده تابع منطبق است g، و بالعکس، محدوده تابع fمنطبق با دامنه تعریف تابع است g. 3) یکنواخت.

اگر یکی از توابع معکوس متقابل افزایش یابد، دیگری نیز افزایش می یابد. یک عبارت مشابه برای توابع کاهشی صادق است. 4) نمودار.

نمودارهای توابع معکوس متقابل ساخته شده در یک سیستم مختصات مشابه با یکدیگر نسبت به یک خط مستقیم متقارن هستند. y = x.

تبدیل نمودارهای تابع تبدیل خطی یک تابع است y = f(ایکس) یا استدلال آن ایکسبه ذهن y = af(kx + ب) + مترو همچنین تبدیل با استفاده از مدول.

دانستن نحوه ترسیم یک تابع y = f(x)، جایی که

می توانید تابع را نمودار کنید y = af(kx + b) + m.

سوالات برای یادداشت

Y = 0.5x - 4

دامنه تابع را پیدا کنید:

زوج یا فرد بودن یک تابع را مشخص کنید:

حل معادله گویا کسری:

معکوس این تابع را پیدا کنید:

مقدار عبارت 6f(-1) +3f(5) را پیدا کنید، اگر

ما قبلاً با مشکل مواجه شده ایم که عملکرد داده شده f و مقدار داده شده آرگومان آن، لازم بود مقدار تابع در این نقطه محاسبه شود. اما گاهی اوقات باید با مشکل معکوس روبرو شوید: برای یافتن با توجه به یک تابع شناخته شده f و مقدار مشخص آن y، مقدار آرگومانی که در آن تابع مقدار مشخصی y را می گیرد.

تابعی که هر یک از مقادیر خود را در یک نقطه از دامنه تعریف خود بگیرد، تابع معکوس نامیده می شود. به عنوان مثال، یک تابع خطی خواهد بود تابع معکوس. آ تابع درجه دومیا تابع سینوسی توابع معکوس نخواهد بود. از آنجایی که یک تابع می تواند مقدار یکسانی را با آرگومان های مختلف بگیرد.

تابع معکوس

فرض کنید f یک تابع معکوس دلخواه است. هر عدد از دامنه مقادیر آن y0 تنها با یک عدد از دامنه تعریف x0 مطابقت دارد، به طوری که f(x0) = y0.

اگر اکنون هر مقدار x0 را با مقدار y0 مرتبط کنیم، یک تابع جدید به دست خواهیم آورد. به عنوان مثال، برای یک تابع خطی f(x) = k * x + b، تابع g(x) = (x - b)/k معکوس آن خواهد بود.

اگر برخی از عملکرد gدر هر نقطه ایکسمحدوده مقادیر تابع معکوس f مقداری را می گیرد که f(y) = x، سپس می گوییم که تابع g- تابع معکوس f وجود دارد.

اگر نموداری از تابع معکوس f به ما داده شود، برای ساختن نمودار تابع معکوس، می توانیم از عبارت زیر استفاده کنیم: نمودار تابع f و تابع معکوس آن g نسبت به راست متقارن خواهند بود. خط مشخص شده توسط معادله y = x.

اگر تابع g معکوس تابع f باشد، تابع g تابعی معکوس خواهد بود. و تابع f معکوس تابع g خواهد بود. معمولاً می گویند دو تابع f و g متقابلاً معکوس یکدیگر هستند.

شکل زیر نمودارهایی از توابع f و g را نشان می دهد که متقابلاً معکوس یکدیگر هستند.

اجازه دهید قضیه زیر را استخراج کنیم: اگر یک تابع f در بازه A افزایش (یا کاهش) پیدا کند، وارونگی آن است. تابع معکوس g که در محدوده مقادیر تابع f تعریف شده است نیز یک تابع افزایشی (یا به ترتیب کاهشی) است. این قضیه نامیده می شود قضیه تابع معکوس.

عبارات متناظر که یکدیگر را معکوس می کنند. برای درک این که این به چه معناست، ارزش بررسی را دارد مثال خاص. فرض کنید y = cos(x) داریم. اگر کسینوس را از آرگومان بگیرید، می توانید مقدار y را پیدا کنید. بدیهی است که برای این کار باید X داشته باشید. اما اگر بازی در ابتدا داده می شد چه؟ اینجاست که به اصل موضوع می رسد. برای حل مشکل باید از تابع معکوس استفاده کنید. در مورد ما آرکوزین است.

بعد از همه تبدیل ها به دست می آید: x = arccos(y).

یعنی برای یافتن یک تابع معکوس به یک تابع، کافی است به سادگی یک آرگومان از آن بیان شود. اما این تنها در صورتی کار می کند که نتیجه حاصل یک معنای واحد داشته باشد (در ادامه در این مورد بیشتر توضیح خواهیم داد).

به طور کلی، این واقعیت را می توان به صورت زیر نوشت: f(x) = y، g(y) = x.

تعریف

فرض کنید f تابعی باشد که دامنه آن مجموعه X و دامنه آن مجموعه Y باشد. سپس، اگر یک g وجود داشته باشد که حوزه های آن وظایف مخالف را انجام دهند، آنگاه f معکوس است.

علاوه بر این، در این مورد g منحصر به فرد است، به این معنی که دقیقا یک تابع وجود دارد که این ویژگی را برآورده می کند (نه بیشتر، نه کمتر). سپس تابع معکوس نامیده می شود و در نوشتن به صورت زیر نشان داده می شود: g(x) = f -1 (x).

به عبارت دیگر، آنها را می توان به عنوان یک رابطه باینری در نظر گرفت. برگشت پذیری تنها زمانی رخ می دهد که یک عنصر از مجموعه با یک مقدار از دیگری مطابقت داشته باشد.

تابع معکوس همیشه وجود ندارد. برای انجام این کار، هر عنصر y є Y باید حداکثر با یک x є X مطابقت داشته باشد. سپس f یک به یک یا تزریق نامیده می شود. اگر f -1 متعلق به Y باشد، هر عنصر از این مجموعه باید با مقداری x∈ X مطابقت داشته باشد. اگر Y تصویری از f باشد، طبق تعریف وجود دارد، اما همیشه اینطور نیست. برای معکوس بودن، یک تابع باید هم تزریقی و هم سرجکشن باشد. به این گونه عبارات بیجشن می گویند.

مثال: توابع مربع و ریشه

تابع در تعریف شده است)