توابع مثلثاتی معکوس و خواص آنها بیایید آن را بر حسب تمام توابع مثلثاتی معکوس بیان کنیم. روابط اساسی توابع مثلثاتی معکوس

به توابع مثلثاتی معکوس 6 عملکرد زیر عبارتند از: آرکسین , آرکوزین , متقاطع , آرکوتانژانت , قوس دارو آرکوسکانت .

از آنجایی که توابع مثلثاتی اصلی تناوبی هستند، به طور کلی توابع معکوس هستند چند معنایی . برای اطمینان از مطابقت یک به یک بین دو متغیر، حوزه‌های تعریف توابع مثلثاتی اصلی تنها با در نظر گرفتن آنها محدود می‌شود. شاخه های اصلی . برای مثال، تابع \(y = \sin x\) فقط در بازه \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \right]\ در نظر گرفته می‌شود. در این بازه، تابع آرکسین معکوس به طور یکتا تعریف می شود.

عملکرد آرکسین
آرک سینوس عدد \(a\) (که با \(\arcsin a\) مشخص می شود) مقدار زاویه \(x\) در بازه \(\left[ ( - \pi /2,\pi /) است. 2) \right]\)، که برای آن \(\sin x = a\). تابع معکوس \(y = \arcsin x\) در \(x \in \left[ (-1,1) \right]\ تعریف شده است، محدوده مقادیر آن \(y \in \left[ است. ( - \pi / 2،\pi /2) \راست]\).

تابع کسینوس قوس
آرکوزین عدد \(a\) (با علامت \(\arccos a\)) مقدار زاویه \(x\) در بازه \(\چپ[ (0,\pi) \راست]\) است. ، که در آن \(\cos x = a\). تابع معکوس \(y = \arccos x\) در \(x \in \left[ (-1,1) \right]\ تعریف شده است، محدوده مقادیر آن متعلق به بخش \(y \in است. \ چپ[ (0،\ pi)\راست]\).



تابع قطبی
مماس از عدد آ(مشخص شده با \(\arctan a\)) مقدار زاویه \(x\) در بازه باز \(\left((-\pi/2, \pi/2) \راست)\)، در که \(\tan x = a\). تابع معکوس \(y = \arctan x\) برای همه \(x \in \mathbb(R)\ تعریف شده است، محدوده تانژانت برابر با \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2 )\راست)\).



تابع مماس قوس
مماس قوسی عدد \(a\) (که با \(\text(arccot) a\) مشخص می شود) مقدار زاویه \(x\) در بازه باز \(\left[ (0,\) است. pi) \right]\)، که در آن \(\cot x = a\). تابع معکوس \(y = \text(arccot) x\) برای همه \(x \in \mathbb(R)\ تعریف شده است، محدوده مقادیر آن در بازه \(y \in \ است. چپ[ (0,\pi) \راست]\).



تابع Arcsectant
قوس عدد \(a\) (که با \(\text(arcsec ) a\) مشخص می شود) مقدار زاویه \(x\) است که در آن \(\sec x = a\) است. تابع معکوس \(y = \text(arcsec) x\) در \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty) \right تعریف می‌شود. )\)، محدوده مقادیر آن متعلق به مجموعه \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi ) \right] \).



عملکرد Arccosecant
آرکوسکانت عدد \(a\) (مشخص به \(\text(arccsc ) a\) یا \(\text(arccosec ) a\)) مقدار زاویه \(x\) است که در آن \(\ csc x = a\ ). تابع معکوس \(y = \text(arccsc) x\) در \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty) \right تعریف می‌شود. )\)، محدوده مقادیر آن متعلق به مجموعه \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right است. ]\).



مقادیر اصلی توابع آرکسین و آرکوزین (بر حسب درجه)

\(ایکس\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\arccos x\)	\(180^\circ\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\circ\)

مقادیر اصلی توابع قوس و مماس (بر حسب درجه)

\(ایکس\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\arctan x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\text(arccot) x\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)

درس 32-33. توابع مثلثاتی معکوس

09.07.2015 8495 0

هدف: توابع مثلثاتی معکوس و استفاده از آنها برای نوشتن جواب معادلات مثلثاتی را در نظر بگیرید.

I. ارتباط با موضوع و هدف دروس

II. یادگیری مطالب جدید

1. توابع مثلثاتی معکوس

بیایید بحث خود را در مورد این موضوع با مثال زیر آغاز کنیم.

مثال 1

بیایید معادله را حل کنیم:الف) گناه x = 1/2; ب) گناه x = a.

الف) روی محور ارتین مقدار 1/2 را رسم می کنیم و زوایا را می سازیم x 1 و x2 که برای آنگناه x = 1/2. در این مورد x1 + x2 = π، از آنجا x2 = π - x 1 . با استفاده از جدول مقادیر توابع مثلثاتی، مقدار x1 = π/6 را پیدا می کنیم، سپسبیایید تناوب تابع سینوس را در نظر بگیریم و جواب های این معادله را بنویسیم:جایی که k ∈ Z.

ب) بدیهی است که الگوریتم حل معادلهگناه x = a مانند پاراگراف قبل است. البته اکنون مقدار a در امتداد محور ارتین رسم می شود. نیاز به تعیین زاویه x1 وجود دارد. ما موافقت کردیم که این زاویه را با نماد نشان دهیمآرکسین آ. سپس جواب های این معادله را می توان به شکل نوشتاری کرداین دو فرمول را می توان در یک فرمول ترکیب کرد:که در آن

توابع مثلثاتی معکوس باقی مانده به روشی مشابه معرفی می شوند.

اغلب اوقات لازم است که بزرگی یک زاویه را از مقدار شناخته شده تابع مثلثاتی آن تعیین کنیم. چنین مشکلی چند ارزشی است - زوایای بی شماری وجود دارد که توابع مثلثاتی آنها برابر با یک مقدار است. بنابراین، بر اساس یکنواختی توابع مثلثاتی، توابع مثلثاتی معکوس زیر برای تعیین منحصر به فرد زوایا معرفی می شوند.

آرکسین عدد a (arcsin ، که سینوس آن برابر با a است، i.e.

کسینوس قوسی یک عدد a (آرکوس الف) یک زاویه a از بازه ای است که کسینوس آن برابر با a است، یعنی.

مماس یک عدد a (arctg الف) - چنین زاویه ای از فاصلهکه مماس آن برابر با a است، یعنی.tg a = a.

Arccotangent یک عدد a (arcctg الف) یک زاویه a از بازه (0؛ π) است که کوتانژانت آن برابر با a است، یعنی. ctg a = a.

مثال 2

بیایید پیدا کنیم:

با در نظر گرفتن تعاریف توابع مثلثاتی معکوس، به دست می آوریم:

مثال 3

بیایید محاسبه کنیم

اجازه دهید زاویه a = arcsin 3/5، سپس طبق تعریف sin a = 3/5 و . بنابراین، ما باید پیدا کنیم cos آ. با استفاده از هویت مثلثاتی اولیه، به دست می آوریم:در نظر گرفته می شود که cos ≥ 0. بنابراین،

ویژگی های عملکرد	تابع
	y = arcsin x	y = arccos x	y = آرکتان x	y = arcctg x
دامنه	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞؛ +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
محدوده ارزش ها	y ∈ [ -π/2 ; π / 2 ]	y∈	y ∈ (-π/2 ؛ π /2 )	y ∈ (0;π)
برابری	فرد	نه زوج و نه فرد	فرد	نه زوج و نه فرد
تابع صفر (y = 0)	در x = 0	در x = 1	در x = 0	y ≠ 0
فواصل پایداری علامت	y > 0 برای x ∈ (0; 1]، در< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 برای x ∈ [-1; 1)	y > 0 برای x ∈ (0; +∞)، در< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 برای x ∈ (-∞؛ +∞)
یکنواخت	در حال افزایش است	نزولی	در حال افزایش است	نزولی
رابطه با تابع مثلثاتی	sin y = x	cos y = x	tg y = x	ctg y = x
برنامه

اجازه دهید تعدادی مثال معمولی در رابطه با تعاریف و ویژگی های اساسی توابع مثلثاتی معکوس ارائه دهیم.

مثال 4

بیایید دامنه تعریف تابع را پیدا کنیم

برای اینکه تابع y تعریف شود، باید نابرابری را برآورده کردکه معادل سیستم نابرابری هاستراه حل نابرابری اول بازه x است∈ (-∞؛ +∞)، دوم -این فاصله و راه حلی برای سیستم نابرابری ها و در نتیجه حوزه تعریف تابع است

مثال 5

بیایید ناحیه تغییر تابع را پیدا کنیم

بیایید رفتار تابع را در نظر بگیریم z = 2x - x2 (تصویر را ببینید).

واضح است که z ∈ (-∞؛ 1]. با توجه به اینکه برهان z تابع کتانژانت قوس در محدوده های مشخص شده، از داده های جدولی که ما به دست می آوریم، تغییر می کندبنابراین منطقه تغییر

مثال 6

اجازه دهید ثابت کنیم که تابع y = arctg x فرد اجازه دهیدسپس tg a = -x یا x = - tg a = tg (- a)، و بنابراین، - a = arctg x یا a = - arctg ایکس. بنابراین، ما می بینیم کهیعنی y(x) یک تابع فرد است.

مثال 7

اجازه دهید از طریق تمام توابع مثلثاتی معکوس بیان کنیم

اجازه دهید بدیهی است که سپس از آن زمان

بیایید زاویه را معرفی کنیم زیرا که

به همین ترتیب بنابراین و

بنابراین،

مثال 8

بیایید یک نمودار از تابع y = بسازیم cos (arcsin x).

اجازه دهید a = arcsin x را نشان دهیم، سپس بیایید در نظر بگیریم که x = sin a و y = cos a، یعنی x 2 + y2 = 1 و محدودیت در x (x∈ [-1; 1]) و y (y ≥ 0). سپس نمودار تابع y = cos(arcsin x) یک نیم دایره است.

مثال 9

بیایید یک نمودار از تابع y = بسازیم arccos (cos x).

از آنجایی که تابع cos است x در بازه [-1; 1]، سپس تابع y در کل محور عددی تعریف می شود و در قطعه تغییر می کند. بیایید در نظر داشته باشیم که y = arccos (cosx) = x در بخش. تابع y زوج و تناوبی با دوره 2π است. با توجه به اینکه تابع این ویژگی ها را دارد cos x اکنون ایجاد یک نمودار آسان است.

اجازه دهید به چند برابری مفید توجه کنیم:

مثال 10

بیایید کوچکترین و بزرگترین مقادیر تابع را پیدا کنیمبیایید نشان دهیم سپس بیایید تابع را دریافت کنیم این تابع در نقطه حداقلی دارد z = π/4 و برابر است با بیشترین مقدار تابع در نقطه به دست می آید z = -π/2، و برابر است بنابراین، و

مثال 11

بیایید معادله را حل کنیم

بیایید آن را در نظر بگیریم سپس معادله به نظر می رسد:یا جایی که با تعریف آرکتانژانت دریافت می کنیم:

2. حل معادلات مثلثاتی ساده

مشابه مثال 1، می توانید جواب ساده ترین معادلات مثلثاتی را بدست آورید.

معادله	راه حل
tgx = a
ctg x = a

مثال 12

بیایید معادله را حل کنیم

از آنجایی که تابع سینوس فرد است، معادله را به شکل می نویسیمراه حل های این معادله:از کجا پیداش کنیم

مثال 13

بیایید معادله را حل کنیم

با استفاده از فرمول داده شده، جواب های معادله را یادداشت می کنیم:و ما پیدا خواهیم کرد

توجه داشته باشید که در موارد خاص (a = 0; 1±) هنگام حل معادلات sin x = a و cos x = اما استفاده از آن آسان تر و راحت تر است فرمول های کلیو راه حل ها را بر اساس دایره واحد بنویسید:

برای معادله sin x = 1 راه حل

برای معادله sin x = 0 راه حل x = π k;

برای معادله sin x = -1 راه حل

برای معادله cos x = 1 محلول x = 2π k ;

برای حل معادله cos x = 0

برای معادله cos x = -1 راه حل

مثال 14

بیایید معادله را حل کنیم

از آنجایی که در این مثال یک مورد خاص از معادله وجود دارد، حل را با استفاده از فرمول مناسب می نویسیم:از کجا می توانیم پیدا کنیم؟

III. سؤالات کنترلی (نظرسنجی پیشانی)

1. ویژگی های اصلی توابع مثلثاتی معکوس را تعریف و فهرست کنید.

2. نمودارهایی از توابع مثلثاتی معکوس ارائه دهید.

3. حل معادلات مثلثاتی ساده.

IV. تکلیف درس

§ 15، شماره 3 (الف، ب); 4 (ج، د)؛ 7 (الف)؛ 8 (الف)؛ 12 (ب)؛ 13 (الف)؛ 15 (ج)؛ 16 (الف)؛ 18 (الف، ب)؛ 19 (ج)؛ 21;

§ 16، شماره 4 (الف، ب); 7 (الف)؛ 8 (ب)؛ 16 (الف، ب)؛ 18 (الف)؛ 19 (ج، د)؛

§ 17، شماره 3 (a, b); 4 (ج، د)؛ 5 (الف، ب)؛ 7 (ج، د)؛ 9 (ب)؛ 10 (الف، ج).

V. تکالیف

§ 15، شماره 3 (ج، د); 4 (الف، ب)؛ 7 (ج)؛ 8 (ب)؛ 12 (الف)؛ 13 (ب)؛ 15 (گرم)؛ 16 (ب)؛ 18 (ج، د)؛ 19 (گرم)؛ 22;

§ 16، شماره 4 (ج، د); 7 (ب)؛ 8 (الف)؛ 16 (ج، د)؛ 18 (ب)؛ 19 (الف، ب)؛

§ 17، شماره 3 (ج، د); 4 (الف، ب)؛ 5 (ج، د)؛ 7 (الف، ب)؛ 9 (د)؛ 10 (ب، د).

VI. کارهای خلاقانه

1. دامنه تابع را پیدا کنید:

پاسخ ها:

2. محدوده تابع را پیدا کنید:

پاسخ ها:

3. نموداری از تابع رسم کنید:

VII. جمع بندی دروس

توابع مثلثاتی معکوس- اینها آرکسین، آرکوزین، آرکتتانژانت و آرکوتانژانت هستند.

ابتدا اجازه دهید تعاریفی ارائه دهیم.

آرکسینیا می توان گفت که این زاویه ای است متعلق به پاره ای که سینوس آن برابر با عدد a است.

کسینوس قوسیعدد a به عددی گفته می شود که

Arctangentعدد a به عددی گفته می شود که

Arccotangentعدد a به عددی گفته می شود که

بیایید در مورد این چهار تابع جدید - مثلثاتی معکوس - با جزئیات صحبت کنیم.

به یاد داشته باشید، ما قبلاً ملاقات کرده ایم.

مثلاً حسابی ریشه دوماز یک عدد a یک عدد غیر منفی است که مربع آن برابر با a است.

لگاریتم عدد b به مبنای a عددی c است به طوری که

که در آن

ما درک می کنیم که چرا ریاضیدانان مجبور به "اختراع" توابع جدید شدند. به عنوان مثال، راه حل های یک معادله هستند و ما نمی توانیم آنها را بدون علامت خاص ریشه دوم حسابی بنویسیم.

مفهوم لگاریتم برای نوشتن راه‌حل‌ها، به عنوان مثال، برای چنین معادله‌ای ضروری است: جواب این معادله یک عدد غیرمنطقی است.

معادلات مثلثاتی هم همینطور است. مثلاً می خواهیم معادله را حل کنیم

واضح است که جواب های آن با نقاطی از دایره مثلثاتی مطابقت دارد که مختصات آنها برابر است و مشخص است که این مقدار جدولی سینوس نیست. چگونه راه حل ها را یادداشت کنیم؟

در اینجا ما نمی‌توانیم بدون تابع جدید، زاویه‌ای را که سینوس آن برابر با عدد a معین است، انجام دهیم. بله، همه قبلا حدس زده اند. این آرکسین است.

زاویه متعلق به قطعه ای که سینوس آن برابر است، یک چهارم قوس است. و این بدان معنی است که مجموعه ای از جواب های معادله ما مربوط به نقطه سمت راست در دایره مثلثاتی است.

و سری دوم از راه حل های معادله ما است

درباره حل معادلات مثلثاتی بیشتر بدانید -.

باید مشخص شود - چرا تعریف آرکسین نشان می دهد که این یک زاویه متعلق به بخش است؟

واقعیت این است که بی نهایت زاویه وجود دارد که سینوس آنها برای مثال برابر است. ما باید یکی از آنها را انتخاب کنیم. ما یکی را انتخاب می کنیم که در قسمت قرار دارد.

به دایره مثلثاتی نگاه کنید. خواهید دید که در قطعه، هر زاویه با یک مقدار سینوس خاص مطابقت دارد و فقط یک. و بالعکس، هر مقدار سینوس از پاره، با یک مقدار منفرد از زاویه روی قطعه مطابقت دارد. این به این معنی است که در یک سگمنت می توانید تابعی را با مقادیر از به تعریف کنید

بیایید دوباره تعریف را تکرار کنیم:

آرکسینوس یک عدد عدد است , به طوری که

تعیین: ناحیه تعریف آرکسین یک بخش است. محدوده مقادیر یک قطعه است.

می توانید عبارت "آرکسین ها در سمت راست زندگی می کنند" را به خاطر بسپارید. فقط فراموش نکنید که نه تنها در سمت راست، بلکه در بخش نیز قرار دارد.

ما آماده ایم که تابع را نمودار کنیم

طبق معمول، مقادیر x را در محور افقی و مقادیر y را در محور عمودی رسم می کنیم.

زیرا، بنابراین، x در محدوده 1- تا 1 قرار دارد.

این بدان معنی است که دامنه تعریف تابع y = arcsin x قطعه است

گفتیم که y متعلق به بخش است. این بدان معنی است که محدوده مقادیر تابع y = arcsin x قطعه است.

توجه داشته باشید که نمودار تابع y=arcsinx کاملاً در ناحیه محدود شده توسط خطوط و

مثل همیشه هنگام ترسیم نمودار یک تابع ناآشنا، بیایید با یک جدول شروع کنیم.

طبق تعریف، آرکسینوس صفر عددی از قطعه ای است که سینوس آن برابر با صفر است. این عدد چیست؟ - معلوم است که این صفر است.

به همین ترتیب، آرکسینوس یک عددی از قطعه ای است که سینوس آن برابر با یک است. بدیهی است که این

ادامه می دهیم: - این عددی از قطعه ای است که سینوس آن برابر است با . بله آن

			0
			0

ساختن نمودار یک تابع

ویژگی های عملکرد

1. محدوده تعریف

2. دامنه مقادیر

3. یعنی این تابع فرد است. نمودار آن نسبت به مبدا متقارن است.

4. تابع به صورت یکنواخت افزایش می یابد. حداقل مقدار آن، برابر با -، در و بزرگترین مقدار آن، برابر با، در به دست می آید

5. نمودار توابع و چیست؟ آیا فکر نمی کنید که آنها "بر اساس یک الگو" ساخته شده اند - درست مانند شاخه سمت راست یک تابع و نمودار یک تابع، یا مانند نمودارهای توابع نمایی و لگاریتمی؟

تصور کنید که ما یک قطعه کوچک را از یک موج سینوسی معمولی به سمت دیگر برش می دهیم، و سپس آن را به صورت عمودی می چرخانیم - و یک نمودار آرکسین به دست خواهیم آورد.

برای یک تابع در این بازه مقادیر آرگومان چیست، سپس برای آرکسین مقادیر تابع وجود خواهد داشت. این طوری باید باشد! از این گذشته ، سینوس و آرکسین - توابع متقابل. نمونه های دیگر از جفت توابع معکوس متقابل در و و همچنین توابع نمایی و لگاریتمی هستند.

به یاد بیاورید که نمودارهای توابع معکوس متقابل با توجه به خط مستقیم متقارن هستند.

ما به طور مشابه تابع را تعریف می کنیم فقط به یک پاره نیاز داریم که هر یک از زاویه ها با مقدار کسینوس خودش مطابقت داشته باشد و با دانستن کسینوس می توانیم به طور منحصر به فرد زاویه را پیدا کنیم. یک بخش برای ما مناسب است

کسینوس قوس یک عدد عدد است ، به طوری که

یادآوری آسان است: "کسینوس های قوسی از بالا زندگی می کنند" و نه فقط از بالا، بلکه در بخش

تعیین: ناحیه تعریف کسینوس قوس یک قطعه است. محدوده مقادیر یک قطعه است.

بدیهی است که بخش انتخاب شده است زیرا هر مقدار کسینوس روی آن فقط یک بار گرفته می شود. به عبارت دیگر، هر مقدار کسینوس، از -1 تا 1، مربوط به یک مقدار زاویه منفرد از بازه است.

کسینوس قوسی نه زوج است و نه زوج تابع فرد. اما می توانیم از رابطه آشکار زیر استفاده کنیم:

بیایید تابع را رسم کنیم

ما به بخشی از تابع نیاز داریم که در آن یکنواخت باشد، یعنی هر مقدار را دقیقاً یک بار می گیرد.

بیایید یک بخش را انتخاب کنیم. در این بخش تابع به طور یکنواخت کاهش می یابد، یعنی مطابقت بین مجموعه ها یک به یک است. هر مقدار x یک مقدار y متناظر دارد. در این قطعه تابعی معکوس کسینوس وجود دارد، یعنی تابع y = arccosx.

بیایید جدول را با استفاده از تعریف کسینوس قوس پر کنیم.

کسینوس قوس عدد x متعلق به بازه، عدد y متعلق به بازه خواهد بود به طوری که

این بدان معناست که از آنجایی که؛

زیرا ؛

زیرا ،

زیرا ،

			0
					0

این نمودار کسینوس قوس است:

ویژگی های عملکرد

1. محدوده تعریف

2. دامنه مقادیر

این تابع یک شکل کلی است - نه زوج است و نه فرد.

4. عملکرد به شدت در حال کاهش است. تابع y = arccosx بزرگترین مقدار خود را برابر با در می گیرد و کوچکترین مقدار آن برابر با صفر است.

5. توابع و متقابل معکوس هستند.

موارد بعدی آرکتانژانت و آرکوتانژانت هستند.

متقاطع یک عدد عدد است ، به طوری که

تعیین: . مساحت تعریف قاعده بازه است مساحت مقادیر بازه است.

چرا انتهای بازه-نقاط- در تعریف قطبی مستثنی شده است؟ البته چون مماس در این نقاط تعریف نشده است. هیچ عدد a برابر با مماس هیچ یک از این زوایا وجود ندارد.

بیایید یک نمودار از قطب متقاطع بسازیم. طبق تعریف، مماس یک عدد x عددی است که متعلق به بازه‌ای است که

نحوه ساخت یک نمودار از قبل مشخص است. از آنجایی که متقاطع یک تابع است متقابل مماس، به صورت زیر عمل می کنیم:

بخشی از نمودار تابع را انتخاب می کنیم که مطابقت بین x و y یک به یک باشد. این بازه C است. در این بخش تابع مقادیر از تا را می گیرد

سپس داشته باشید تابع معکوسیعنی تابع، دامنه، تعریف کل خط عددی، از تا و محدوده مقادیر بازه خواهد بود.

به معنای،

به معنای،

به معنای،

اما برای مقادیر بی نهایت بزرگ x چه اتفاقی می افتد؟ به عبارت دیگر، این تابع چگونه رفتار می کند که x تمایل به اضافه بی نهایت دارد؟

می توانیم این سوال را از خود بپرسیم: برای کدام عدد در بازه مقدار مماس به بی نهایت میل می کند؟ - معلومه که این

این بدان معنی است که برای مقادیر بی نهایت بزرگ x، نمودار متقاطع به مجانب افقی نزدیک می شود.

به طور مشابه، اگر x به منهای بی‌نهایت نزدیک شود، نمودار تانژانت به مجانب افقی نزدیک می‌شود.

شکل یک نمودار از تابع را نشان می دهد

ویژگی های عملکرد

1. محدوده تعریف

2. دامنه مقادیر

3. تابع فرد است.

4. عملکرد به شدت در حال افزایش است.

6. توابع و متقابل معکوس هستند - البته، زمانی که تابع در بازه در نظر گرفته شود

به طور مشابه، تابع مماس معکوس را تعریف کرده و نمودار آن را رسم می کنیم.

مماس قوسی یک عدد عدد است ، به طوری که

نمودار تابع:

ویژگی های عملکرد

1. محدوده تعریف

2. دامنه مقادیر

3. تابع به صورت کلی است، یعنی نه زوج و نه فرد.

4. عملکرد به شدت در حال کاهش است.

5. مجانب مستقیم و - افقی این تابع.

6. اگر در بازه در نظر گرفته شود، توابع و متقابلا معکوس هستند

تعریف و نماد

آرکسین (y = arcsin x) تابع معکوس سینوس است (x = گناه آلود -1 ≤ x ≤ 1و مجموعه مقادیر -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

آرکسین گاهی اوقات به صورت زیر نشان داده می شود:
.

نمودار تابع آرکسین

نمودار تابع y = arcsin x

گراف آرکسین از نمودار سینوسی به دست می آید در صورتی که محورهای آبسیسا و ارتین مبادله شوند. برای از بین بردن ابهام، محدوده مقادیر به فاصله زمانی که تابع یکنواخت است محدود می شود. این تعریف، مقدار اصلی آرکسین نامیده می شود.

آرکوزین، آرکوس

تعریف و نماد

کسینوس قوسی (y = arccos x) تابع معکوس کسینوس است (x = cos y). دامنه دارد -1 ≤ x ≤ 1و معانی بسیار 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

آرکوزین گاهی اوقات به صورت زیر نشان داده می شود:
.

نمودار تابع کسینوس قوس

نمودار تابع y = arccos x

گراف کسینوس قوسی از نمودار کسینوس به دست می آید در صورتی که محورهای آبسیسا و ارتین مبادله شوند. برای از بین بردن ابهام، محدوده مقادیر به فاصله زمانی که تابع یکنواخت است محدود می شود. این تعریف را مقدار اصلی کسینوس قوس می نامند.

برابری

تابع آرکسین فرد است:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

تابع کسینوس قوس زوج یا فرد نیست:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

خواص - افراطی، افزایش، کاهش

توابع آرکسین و آرکوزین در محدوده تعریف خود پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خواص اصلی آرکسین و آرکوزین در جدول ارائه شده است.

	y= arcsin x	y= arccos x
دامنه و تداوم	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
محدوده ارزش ها
صعودی، نزولی	یکنواخت افزایش می یابد	یکنواخت کاهش می یابد
اوج
حداقل ها
صفر، y = 0	x = 0	x = 1
نقاط قطع را با محور مختصات، x = 0	y= 0	y = π/ 2

جدول آرکسین ها و آرکوزین ها

این جدول مقادیر آرکسین ها و آرکوسین ها را بر حسب درجه و رادیان برای مقادیر معین آرگومان نشان می دهد.

ایکس	arcsin x		arccos x
	تگرگ	خوشحالم	تگرگ	خوشحالم
- 1	- 90 درجه	-	180 درجه	π
-	- 60 درجه	-	150 درجه
-	- 45 درجه	-	135 درجه
-	- 30 درجه	-	120 درجه
0	0°	0	90 درجه
	30 درجه		60 درجه
	45 درجه		45 درجه
	60 درجه		30 درجه
1	90 درجه		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

فرمول ها

همچنین ببینید: استخراج فرمول برای توابع مثلثاتی معکوس

فرمول های حاصل جمع و تفاوت

در یا

در و

در و

در یا

در و

در و

در

در

در

در

عبارات از طریق لگاریتم، اعداد مختلط

همچنین ببینید: استخراج فرمول ها

عبارات از طریق توابع هذلولی

مشتقات

;
.
به مشتقات آرکسین و مشتقات آرکوزین مراجعه کنید > > >

مشتقات مرتبه بالاتر:
,
که در آن چند جمله ای درجه است. با فرمول های زیر تعیین می شود:
;
;
.

به مشتقات مرتبه بالاتر آرکسین و آرکوزین مراجعه کنید > > >

انتگرال ها

جایگزینی x = را انجام می دهیم گناه تی. ما با توجه به اینکه -π/ با قطعات ادغام می کنیم 2 ≤ t ≤ π/2, هزینه t ≥ 0:
.

بیایید کسینوس قوس را از طریق سینوس قوس بیان کنیم:
.

گسترش سری

وقتی |x|< 1 تجزیه زیر انجام می شود:
;
.

توابع معکوس

معکوس آرکسین و آرکوزین به ترتیب سینوس و کسینوس هستند.

فرمول های زیردر کل دامنه تعریف معتبر است:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

فرمول های زیر فقط برای مجموعه مقادیر آرکسین و آرکوزین معتبر هستند:
arcsin(sin x) = xدر
arccos(cos x) = xدر .

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.

همچنین ببینید:

تابع کسینوس معکوس

محدوده مقادیر تابع y=cos x (نگاه کنید به شکل 2) یک بخش است. در بخش تابع پیوسته و یکنواخت در حال کاهش است.

برنج. 2

به این معنی که تابع معکوس تابع y=cos x بر روی قطعه تعریف شده است. این تابع معکوس کسینوس قوس الکتریکی نامیده می شود و y=arccos x نشان داده می شود.

تعریف

آرکوزین عدد a، اگر |a|1، زاویه ای است که کسینوس آن به قطعه تعلق دارد. با arccos a نشان داده می شود.

بنابراین، arccos a زاویه ای است که دو شرط زیر را برآورده می کند: сos (arccos a)=a, |a|1; 0؟ arccos a ?р.

به عنوان مثال، آرکوس، از آنجایی که cos و; arccos، از آنجایی که cos و.

تابع y = arccos x (شکل 3) روی یک بخش تعریف شده است؛ محدوده مقادیر آن قطعه است. در قطعه، تابع y=arccos x پیوسته است و به طور یکنواخت از p به 0 کاهش می یابد (زیرا y=cos x یک تابع پیوسته و یکنواخت نزولی در قطعه است). در انتهای قطعه به مقادیر نهایی خود می رسد: arccos(-1)= p، arccos 1=0. توجه داشته باشید که arccos 0 = . نمودار تابع y = arccos x (نگاه کنید به شکل 3) با نمودار تابع y = cos x نسبت به خط مستقیم y=x متقارن است.

برنج. 3

اجازه دهید نشان دهیم که برابری arccos(-x) = p-arccos x برقرار است.

در واقع، طبق تعریف 0؟ arccos x آر. ضرب در (-1) تمام قسمت های دومی نابرابری مضاعف، ما دریافت می کنیم - p؟ arccos x 0. با افزودن p به تمام قسمت های آخرین نامساوی، در می یابیم که 0؟ p-arccos x؟ آر.

بنابراین، مقادیر زاویه‌های arccos(-x) و p - arccos x متعلق به یک بخش هستند. از آنجایی که کسینوس به صورت یکنواخت روی یک قطعه کاهش می‌یابد، نمی‌توان دو زاویه متفاوت روی آن وجود داشت که کسینوس‌های مساوی داشته باشند. بیایید کسینوس های زاویه های arccos(-x) و p-arccos x را پیدا کنیم. طبق تعریف، cos (arccos x) = - x، با توجه به فرمول های کاهشی و طبق تعریف داریم: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. بنابراین، کسینوس‌های زاویه‌ها با هم برابر هستند، یعنی خود زوایا برابر هستند.

تابع سینوس معکوس

بیایید تابع y=sin x را در نظر بگیریم (شکل 6)، که در قطعه [-р/2;р/2] در حال افزایش، پیوسته است و مقادیری را از قطعه [-1; 1]. این بدان معنی است که در بخش [- p/2; p/2] تابع معکوس تابع y=sin x تعریف شده است.

برنج. 6

این تابع معکوس آرکسین نامیده می شود و y=arcsin x نشان داده می شود. اجازه دهید تعریف آرکسین یک عدد را معرفی کنیم.

قوس یک عدد زاویه ای (یا کمانی) است که سینوس آن برابر با عدد a و متعلق به پاره [-р/2; p/2]; آن را با arcsin a نشان می دهند.

بنابراین، arcsin a زاویه ای است که شرایط زیر را برآورده می کند: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 آرکسین ها؟ r/2. به عنوان مثال، از آنجا که گناه و [- p/2; p/2]; arcsin، از آنجایی که sin = u [- p/2; p/2].

تابع y=arcsin x (شکل 7) در بخش [- 1; 1]، محدوده مقادیر آن بخش [-р/2;р/2] است. در بخش [- 1; 1] تابع y=arcsin x پیوسته است و به طور یکنواخت از -p/2 به p/2 افزایش می‌یابد (این از این واقعیت ناشی می‌شود که تابع y=sin x در قطعه [-p/2؛ p/2] پیوسته است. و به صورت یکنواخت افزایش می یابد). بیشترین مقدار را در x = 1 می گیرد: arcsin 1 = p/2، و کوچکترین را در x = -1: arcsin (-1) = -p/2. در x = 0 تابع صفر است: arcsin 0 = 0.

اجازه دهید نشان دهیم که تابع y = arcsin x فرد است، یعنی. arcsin(-x) = - arcsin x برای هر x [ - 1; 1].

در واقع، طبق تعریف، اگر |x| ?1، داریم: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. بنابراین، زوایای arcsin(-x) و - arcsin x متعلق به همان بخش [ - p/2; p/2].

بیایید سینوس اینها را پیدا کنیمزاویه ها: sin (arcsin(-x)) = - x (طبق تعریف)؛ چون تابع y=sin x فرد است، پس sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. بنابراین، سینوس های زاویه های متعلق به یک بازه [-р/2; p/2]، مساوی هستند، یعنی خود زوایا مساوی هستند، یعنی. arcsin (-x)= - arcsin x. این بدان معناست که تابع y=arcsin x فرد است. نمودار تابع y=arcsin x نسبت به مبدا متقارن است.

اجازه دهید نشان دهیم که arcsin (sin x) = x برای هر x [-р/2; p/2].

در واقع، طبق تعریف -p/2؟ arcsin (sin x) ? p/2، و با شرط -p/2؟ ایکس؟ r/2. این بدان معناست که زوایای x و arcsin (sin x) به همان بازه یکنواختی تابع y=sin x تعلق دارند. اگر سینوس های چنین زوایا مساوی باشند، خود زوایا برابرند. بیایید سینوس های این زوایا را پیدا کنیم: برای زاویه x ما sin x داریم، برای زاویه arcsin (sin x) ما sin (arcsin(sin x)) = sin x داریم. ما متوجه شدیم که سینوس های زوایا مساوی هستند، بنابراین، زاویه ها برابر هستند، یعنی. arcsin(sin x) = x. .

برنج. 7

برنج. 8

نمودار تابع arcsin (sin|x|) با تبدیل‌های معمول مرتبط با مدول از نمودار y=arcsin (sin x) بدست می‌آید (نشان داده شده با خط چین در شکل 8). نمودار مورد نظر y=arcsin (sin |x-/4|) با جابجایی 4/به سمت راست در امتداد محور x از آن به دست می آید (در شکل 8 به صورت یک خط ثابت نشان داده شده است).

تابع معکوس مماس

تابع y=tg x در بازه همه چیز را می پذیرد مقادیر عددی: E (tg x)=. در این بازه پیوسته است و به صورت یکنواخت افزایش می یابد. این بدان معنی است که یک تابع معکوس تابع y = tan x در بازه تعریف می شود. این تابع معکوس را مماس قطبی می نامند و y = arctan x نشان داده می شود.

مماس قوس a زاویه ای از بازه ای است که مماس آن برابر با a است. بنابراین، arctg a زاویه ای است که شرایط زیر را برآورده می کند: tg (arctg a) = a و 0؟ arctg a ? آر.

بنابراین، هر عدد x همیشه با یک مقدار واحد از تابع y = arctan x مطابقت دارد (شکل 9).

بدیهی است که D (arctg x) = , E (arctg x) = .

تابع y = arctan x در حال افزایش است زیرا تابع y = tan x در بازه افزایش می یابد. اثبات اینکه arctg(-x) = - arctgx، یعنی. که متقاطع یک تابع فرد است.

برنج. 9

نمودار تابع y = arctan x متقارن با نمودار تابع y = tan x نسبت به خط مستقیم y = x است، نمودار y = arctan x از مبدأ مختصات می گذرد (از آنجایی که arctan 0 = 0) و نسبت به مبدا متقارن است (مانند نمودار یک تابع فرد).

می توان ثابت کرد که arctan (tan x) = x اگر x.

تابع معکوس کتانژانت

تابع y = ctg x در یک بازه، تمام مقادیر عددی را از بازه می گیرد. محدوده مقادیر آن با مجموعه تمام اعداد واقعی منطبق است. در بازه، تابع y = cot x پیوسته است و به صورت یکنواخت افزایش می یابد. یعنی در این بازه تابعی تعریف شده است که معکوس تابع y = cot x است. تابع معکوس کوتانژانت را arccotangent می نامند و به آن y = arcctg x نشان می دهند.

کوتانژانت قوس a زاویه ای است متعلق به بازه ای که همتجانس آن برابر با a است.

بنابراین، аrcctg a زاویه ای است که شرایط زیر را برآورده می کند: ctg (arcctg a)=a و 0؟ arcctg a آر.

از تعریف تابع معکوس و تعریف مماس قوس به این نتیجه می رسد که D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . کوتانژانت قوس یک تابع کاهشی است زیرا تابع y = ctg x در بازه کاهش می یابد.

نمودار تابع y = arcctg x محور Ox را قطع نمی کند، زیرا y > 0 R. برای x = 0 y = arcctg 0 =.

نمودار تابع y = arcctg x در شکل 11 نشان داده شده است.

برنج. 11

توجه داشته باشید که برای تمام مقادیر واقعی x هویت درست است: arcctg(-x) = p-arcctg x.