مماس معکوس توابع مثلثاتی معکوس روابط اساسی توابع مثلثاتی معکوس

تعریف و نماد

آرکسین (y = arcsin x) تابع معکوس سینوس است (x = گناه آلود -1 ≤ x ≤ 1و مجموعه مقادیر -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

آرکسین گاهی اوقات به صورت زیر نشان داده می شود:
.

نمودار تابع آرکسین

نمودار تابع y = arcsin x

گراف آرکسین از نمودار سینوسی به دست می آید در صورتی که محورهای آبسیسا و ارتین مبادله شوند. برای از بین بردن ابهام، محدوده مقادیر به فاصله زمانی که تابع یکنواخت است محدود می شود. این تعریف، مقدار اصلی آرکسین نامیده می شود.

آرکوزین، آرکوس

تعریف و نماد

کسینوس قوسی (y = arccos x) تابع معکوس کسینوس است (x = cos y). دامنه دارد -1 ≤ x ≤ 1و معانی بسیار 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

آرکوزین گاهی اوقات به صورت زیر نشان داده می شود:
.

نمودار تابع کسینوس قوس

نمودار تابع y = arccos x

گراف کسینوس قوسی از نمودار کسینوس به دست می آید در صورتی که محورهای آبسیسا و ارتین مبادله شوند. برای از بین بردن ابهام، محدوده مقادیر به فاصله زمانی که تابع یکنواخت است محدود می شود. این تعریف را مقدار اصلی کسینوس قوس می نامند.

برابری

تابع آرکسین فرد است:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

تابع کسینوس قوس زوج یا فرد نیست:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

خواص - افراطی، افزایش، کاهش

توابع آرکسین و آرکوزین در محدوده تعریف خود پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خواص اصلی آرکسین و آرکوزین در جدول ارائه شده است.

	y= arcsin x	y= arccos x
دامنه و تداوم	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
محدوده ارزش ها
صعودی، نزولی	یکنواخت افزایش می یابد	یکنواخت کاهش می یابد
اوج
حداقل ها
صفر، y = 0	x = 0	x = 1
نقاط قطع را با محور مختصات، x = 0	y= 0	y = π/ 2

جدول آرکسین ها و آرکوزین ها

این جدول مقادیر آرکسین ها و آرکوسین ها را بر حسب درجه و رادیان برای مقادیر معین آرگومان نشان می دهد.

ایکس	arcsin x		arccos x
	تگرگ	خوشحالم	تگرگ	خوشحالم
- 1	- 90 درجه	-	180 درجه	π
-	- 60 درجه	-	150 درجه
-	- 45 درجه	-	135 درجه
-	- 30 درجه	-	120 درجه
0	0°	0	90 درجه
	30 درجه		60 درجه
	45 درجه		45 درجه
	60 درجه		30 درجه
1	90 درجه		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

فرمول ها

همچنین ببینید: استخراج فرمول برای توابع مثلثاتی معکوس

فرمول های حاصل جمع و تفاوت

در یا

در و

در و

در یا

در و

در و

در

در

در

در

عبارات از طریق لگاریتم، اعداد مختلط

همچنین ببینید: استخراج فرمول ها

عبارات از طریق توابع هذلولی

مشتقات

;
.
به مشتقات آرکسین و مشتقات آرکوزین مراجعه کنید > > >

مشتقات مرتبه بالاتر:
,
که در آن چند جمله ای درجه است. با فرمول های زیر تعیین می شود:
;
;
.

به مشتقات مرتبه بالاتر آرکسین و آرکوزین مراجعه کنید > > >

انتگرال ها

جایگزینی x = را انجام می دهیم گناه تی. ما با توجه به اینکه -π/ با قطعات ادغام می کنیم 2 ≤ t ≤ π/2, هزینه t ≥ 0:
.

بیایید کسینوس قوس را از طریق سینوس قوس بیان کنیم:
.

گسترش سری

وقتی |x|< 1 تجزیه زیر انجام می شود:
;
.

توابع معکوس

معکوس آرکسین و آرکوزین به ترتیب سینوس و کسینوس هستند.

فرمول های زیردر کل دامنه تعریف معتبر است:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

فرمول های زیر فقط برای مجموعه مقادیر آرکسین و آرکوزین معتبر هستند:
arcsin(sin x) = xدر
arccos(cos x) = xدر .

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.

همچنین ببینید:

تابع کسینوس معکوس

محدوده مقادیر تابع y=cos x (نگاه کنید به شکل 2) یک بخش است. در بخش تابع پیوسته و یکنواخت در حال کاهش است.

برنج. 2

به این معنی که تابع معکوس تابع y=cos x بر روی قطعه تعریف شده است. این تابع معکوس کسینوس قوس الکتریکی نامیده می شود و y=arccos x نشان داده می شود.

تعریف

آرکوزین عدد a، اگر |a|1، زاویه ای است که کسینوس آن به قطعه تعلق دارد. با arccos a نشان داده می شود.

بنابراین، arccos a زاویه ای است که دو شرط زیر را برآورده می کند: сos (arccos a)=a, |a|1; 0؟ arccos a ?р.

به عنوان مثال، آرکوس، از آنجایی که cos و; arccos، از آنجایی که cos و.

تابع y = arccos x (شکل 3) روی یک بخش تعریف شده است؛ محدوده مقادیر آن قطعه است. در قطعه، تابع y=arccos x پیوسته است و به طور یکنواخت از p به 0 کاهش می یابد (زیرا y=cos x یک تابع پیوسته و یکنواخت نزولی در قطعه است). در انتهای قطعه به مقادیر نهایی خود می رسد: arccos(-1)= p، arccos 1=0. توجه داشته باشید که arccos 0 = . نمودار تابع y = arccos x (نگاه کنید به شکل 3) با نمودار تابع y = cos x نسبت به خط مستقیم y=x متقارن است.

برنج. 3

اجازه دهید نشان دهیم که برابری arccos(-x) = p-arccos x برقرار است.

در واقع، طبق تعریف 0؟ arccos x آر. ضرب در (-1) تمام قسمت های دومی نابرابری مضاعف، ما دریافت می کنیم - p؟ arccos x 0. با افزودن p به تمام قسمت های آخرین نامساوی، در می یابیم که 0؟ p-arccos x؟ آر.

بنابراین، مقادیر زاویه‌های arccos(-x) و p - arccos x متعلق به یک بخش هستند. از آنجایی که کسینوس به صورت یکنواخت روی یک قطعه کاهش می‌یابد، نمی‌توان دو زاویه متفاوت روی آن وجود داشت که کسینوس‌های مساوی داشته باشند. بیایید کسینوس های زاویه های arccos(-x) و p-arccos x را پیدا کنیم. طبق تعریف، cos (arccos x) = - x، با توجه به فرمول های کاهشی و طبق تعریف داریم: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. بنابراین، کسینوس‌های زاویه‌ها با هم برابر هستند، یعنی خود زوایا برابر هستند.

تابع سینوس معکوس

بیایید تابع y=sin x را در نظر بگیریم (شکل 6)، که در قطعه [-р/2;р/2] در حال افزایش، پیوسته است و مقادیری را از قطعه [-1; 1]. این بدان معنی است که در بخش [- p/2; p/2] تابع معکوس تابع y=sin x تعریف شده است.

برنج. 6

این تابع معکوس آرکسین نامیده می شود و y=arcsin x نشان داده می شود. اجازه دهید تعریف آرکسین یک عدد را معرفی کنیم.

قوس یک عدد زاویه ای (یا کمانی) است که سینوس آن برابر با عدد a و متعلق به پاره [-р/2; p/2]; آن را با arcsin a نشان می دهند.

بنابراین، arcsin a زاویه ای است که شرایط زیر را برآورده می کند: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 آرکسین ها؟ r/2. به عنوان مثال، از آنجا که گناه و [- p/2; p/2]; arcsin، از آنجایی که sin = u [- p/2; p/2].

تابع y=arcsin x (شکل 7) در بخش [- 1; 1]، محدوده مقادیر آن بخش [-р/2;р/2] است. در بخش [- 1; 1] تابع y=arcsin x پیوسته است و به طور یکنواخت از -p/2 به p/2 افزایش می‌یابد (این از این واقعیت ناشی می‌شود که تابع y=sin x در قطعه [-p/2؛ p/2] پیوسته است. و به صورت یکنواخت افزایش می یابد). بیشترین مقدار را در x = 1 می گیرد: arcsin 1 = p/2، و کوچکترین را در x = -1: arcsin (-1) = -p/2. در x = 0 تابع صفر است: arcsin 0 = 0.

اجازه دهید نشان دهیم که تابع y = arcsin x فرد است، یعنی. arcsin(-x) = - arcsin x برای هر x [ - 1; 1].

در واقع، طبق تعریف، اگر |x| ?1، داریم: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. بنابراین، زوایای arcsin(-x) و - arcsin x متعلق به همان بخش [ - p/2; p/2].

بیایید سینوس اینها را پیدا کنیمزاویه ها: sin (arcsin(-x)) = - x (طبق تعریف)؛ چون تابع y=sin x فرد است، پس sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. بنابراین، سینوس های زاویه های متعلق به یک بازه [-р/2; p/2]، مساوی هستند، یعنی خود زوایا مساوی هستند، یعنی. arcsin (-x)= - arcsin x. این بدان معناست که تابع y=arcsin x فرد است. نمودار تابع y=arcsin x نسبت به مبدا متقارن است.

اجازه دهید نشان دهیم که arcsin (sin x) = x برای هر x [-р/2; p/2].

در واقع، طبق تعریف -p/2؟ arcsin (sin x) ? p/2، و با شرط -p/2؟ ایکس؟ r/2. این بدان معناست که زوایای x و arcsin (sin x) به همان بازه یکنواختی تابع y=sin x تعلق دارند. اگر سینوس های چنین زوایا مساوی باشند، خود زوایا برابرند. بیایید سینوس های این زوایا را پیدا کنیم: برای زاویه x ما sin x داریم، برای زاویه arcsin (sin x) ما sin (arcsin(sin x)) = sin x داریم. ما متوجه شدیم که سینوس های زوایا مساوی هستند، بنابراین، زاویه ها برابر هستند، یعنی. arcsin(sin x) = x. .

برنج. 7

برنج. 8

نمودار تابع arcsin (sin|x|) با تبدیل‌های معمول مرتبط با مدول از نمودار y=arcsin (sin x) بدست می‌آید (نشان داده شده با خط چین در شکل 8). نمودار مورد نظر y=arcsin (sin |x-/4|) با جابجایی 4/به سمت راست در امتداد محور x از آن به دست می آید (در شکل 8 به صورت یک خط ثابت نشان داده شده است).

تابع معکوس مماس

تابع y=tg x در بازه همه چیز را می پذیرد مقادیر عددی: E (tg x)=. در این بازه پیوسته است و به صورت یکنواخت افزایش می یابد. این بدان معنی است که یک تابع معکوس تابع y = tan x در بازه تعریف می شود. این تابع معکوس را مماس قطبی می نامند و y = arctan x نشان داده می شود.

مماس قوس a زاویه ای از بازه ای است که مماس آن برابر با a است. بنابراین، arctg a زاویه ای است که شرایط زیر را برآورده می کند: tg (arctg a) = a و 0؟ arctg a ? آر.

بنابراین، هر عدد x همیشه با یک مقدار واحد از تابع y = arctan x مطابقت دارد (شکل 9).

بدیهی است که D (arctg x) = , E (arctg x) = .

تابع y = arctan x در حال افزایش است زیرا تابع y = tan x در بازه افزایش می یابد. اثبات اینکه arctg(-x) = - arctgx، یعنی. که متقاطع یک تابع فرد است.

برنج. 9

نمودار تابع y = arctan x متقارن با نمودار تابع y = tan x نسبت به خط مستقیم y = x است، نمودار y = arctan x از مبدأ مختصات می گذرد (از آنجایی که arctan 0 = 0) و نسبت به مبدا متقارن است (مانند نمودار یک تابع فرد).

می توان ثابت کرد که arctan (tan x) = x اگر x.

تابع معکوس کتانژانت

تابع y = ctg x در یک بازه، تمام مقادیر عددی را از بازه می گیرد. محدوده مقادیر آن با مجموعه تمام اعداد واقعی منطبق است. در بازه، تابع y = cot x پیوسته است و به صورت یکنواخت افزایش می یابد. یعنی در این بازه تابعی تعریف شده است که معکوس تابع y = cot x است. تابع معکوس کوتانژانت را arccotangent می نامند و به آن y = arcctg x نشان می دهند.

کوتانژانت قوس a زاویه ای است متعلق به بازه ای که همتجانس آن برابر با a است.

بنابراین، аrcctg a زاویه ای است که شرایط زیر را برآورده می کند: ctg (arcctg a)=a و 0؟ arcctg a آر.

از تعریف تابع معکوس و تعریف مماس قوس به این نتیجه می رسد که D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . کوتانژانت قوس یک تابع کاهشی است زیرا تابع y = ctg x در بازه کاهش می یابد.

نمودار تابع y = arcctg x محور Ox را قطع نمی کند، زیرا y > 0 R. برای x = 0 y = arcctg 0 =.

نمودار تابع y = arcctg x در شکل 11 نشان داده شده است.

برنج. 11

توجه داشته باشید که برای تمام مقادیر واقعی x هویت درست است: arcctg(-x) = p-arcctg x.

توابع مثلثاتی معکوس هستند توابع ریاضی، که معکوس توابع مثلثاتی هستند.

تابع y=arcsin(x)

آرکسین عدد α عددی α از بازه [-π/2;π/2] است که سینوس آن برابر با α است.
نمودار یک تابع
تابع у= sin⁡(x) در بازه [-π/2;π/2]، به شدت افزایشی و پیوسته است. بنابراین، تابع معکوس، به شدت افزایشی و پیوسته دارد.
تابع معکوس برای تابع y= sin⁡(x)، که در آن x ∈[-π/2;π/2]، آرکسین نامیده می شود و y=arcsin(x) نشان داده می شود، جایی که x∈[-1;1 ].
بنابراین، با توجه به تعریف تابع معکوس، دامنه تعریف آرکسین قطعه [-1;1] و مجموعه مقادیر قطعه [-π/2;π/2] است.
توجه داشته باشید که نمودار تابع y=arcsin(x)، که در آن x ∈[-1;1]، با نمودار تابع y= sin(⁡x) متقارن است، جایی که x∈[-π/2;π /2]، با توجه به نیمساز زوایای مختصات ربع اول و سوم.

محدوده تابع y=arcsin(x).

مثال شماره 1.

arcsin (1/2) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر تابع arcsin(x) متعلق به بازه [-π/2;π/2] است، پس فقط مقدار π/6 مناسب است بنابراین، arcsin(1/2) =π/ 6.
جواب: π/6

مثال شماره 2.
arcsin(-(√3)/2) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2]، تنها مقدار -π/3 مناسب است. بنابراین، arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

تابع y=arccos(x)

کسینوس قوس عدد α عددی α از بازه ای است که کسینوس آن برابر با α است.

نمودار یک تابع

تابع y=cos(⁡x) روی قطعه به شدت کاهشی و پیوسته است. بنابراین، تابع معکوس، به شدت کاهشی و پیوسته دارد.
تابع معکوس برای تابع y= cos⁡x، که در آن x ∈، فراخوانی می شود کسینوس قوسیو با y=arccos(x)، که در آن x ∈[-1;1] نشان داده می شود.
بنابراین، با توجه به تعریف تابع معکوس، دامنه تعریف کسینوس قوس، قطعه [-1;1] و مجموعه مقادیر، قطعه است.
توجه داشته باشید که نمودار تابع y=arccos(x)، که در آن x ∈[-1;1] با نمودار تابع y=cos(⁡x) متقارن است، جایی که x ∈، با توجه به نیمساز مختصات زوایای ربع اول و سوم

محدوده تابع y=arccos(x).

مثال شماره 3.

arccos (1/2) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر arccos(x) x∈ است، پس فقط مقدار π/3 مناسب است بنابراین، arccos(1/2) =π/3.
مثال شماره 4.
arccos(-(√2)/2) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر تابع arccos(x) متعلق به بازه است، پس فقط مقدار 3π/4 مناسب است بنابراین، arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

جواب: 3π/4

تابع y=arctg(x)

مماس یک عدد α عددی α از بازه [-π/2;π/2] است که مماس آن برابر با α است.

نمودار یک تابع

تابع مماس پیوسته و به شدت در بازه افزایش می یابد (-π/2; π/2). بنابراین تابع معکوس دارد که پیوسته و به شدت افزایشی است.
تابع معکوس برای تابع y= tan⁡(x)، که در آن x∈(-π/2;π/2); مماس قوس نامیده می شود و با y=arctg(x) نشان داده می شود، جایی که x∈R.
بنابراین، با توجه به تعریف تابع معکوس، دامنه تعریف تانژانت بازه (-∞;+∞) و مجموعه مقادیر بازه است.
(-π/2;π/2).
توجه داشته باشید که نمودار تابع y=arctg(x)، که در آن x∈R، متقارن با نمودار تابع y= tan⁡x است، که در آن x∈ (-π/2;π/2)، نسبت به نیمساز زوایای مختصات ربع اول و سوم.

محدوده تابع y=arctg(x).

مثال شماره 5؟

آرکتان ((√3)/3) را پیدا کنید.

از آنجایی که محدوده مقادیر arctg(x) x∈(-π/2;π/2)، پس فقط مقدار π/6 مناسب است.بنابراین، arctg((√3)/3) =π/6.
مثال شماره 6.
arctg(-1) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر arctg(x) x∈(-π/2;π/2)، پس فقط مقدار -π/4 مناسب است.بنابراین، arctg(-1) = - π/4.

تابع y=arcctg(x)

کتانژانت قوسی عدد α عددی α از بازه (0;π) است که کوتانژانت آن برابر با α است.

نمودار یک تابع

در بازه (0; π)، تابع کوتانژانت به شدت کاهش می یابد. علاوه بر این، در هر نقطه از این بازه پیوسته است. بنابراین در بازه (0;π) این تابع یک تابع معکوس دارد که به شدت کاهشی و پیوسته است.
تابع معکوس برای تابع y=ctg(x)، که در آن x ∈(0;π)، قوس مماس نامیده می شود و y=arcctg(x) نشان داده می شود، جایی که x∈R.
بنابراین، با توجه به تعریف تابع معکوس، دامنه تعریف کوتانژانت قوس خواهد بود R، و توسط یک مجموعهمقادیر – فاصله (0;π). نمودار تابع y=arcctg(x)، که در آن x∈R متقارن با نمودار تابع y=ctg(x) x∈(0;π)، نسبی است. به نیمساز زوایای مختصات ربع اول و سوم.

محدوده تابع y=arcctg(x).

مثال شماره 7.
arcctg((√3)/3) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر arcctg(x) x ∈(0;π)، پس فقط مقدار π/3 مناسب است. بنابراین arccos((√3)/3) =π/3.

مثال شماره 8.
arcctg(-(√3)/3) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر arcctg(x) x∈(0;π) است، پس فقط مقدار 2π/3 مناسب است بنابراین، arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

ویراستاران: آگیوا لیوبوف الکساندرونا، گاوریلینا آنا ویکتورونا

توابع مثلثاتی معکوس(توابع دایره ای، توابع قوس) - توابع ریاضی که معکوس به توابع مثلثاتی هستند.

اینها معمولاً شامل 6 عملکرد هستند:

• آرکسین(تعیین: arcsin x; arcsin x- این زاویه است گناهکه برابر است با ایکس),
• آرکوزین(تعیین: arccos x; arccos xزاویه ای است که کسینوس آن برابر است ایکسو غیره)
• متقاطع(تعیین: arctan xیا arctan x),
• آرکوتانژانت(تعیین: arcctg xیا arccot ​​xیا arccotan x),
• قوس دار(تعیین: arcsec x),
• آرکوسکانت(تعیین: arccosec xیا arccsc x).

آرکسین (y = arcsin x) - تابع معکوس به گناه (x = گناه y . به عبارت دیگر، زاویه را با مقدار آن برمی گرداند گناه.

کسینوس قوسی (y = arccos x) - تابع معکوس به cos (x = cos y cos.

Arctangent (y = آرکتان x) - تابع معکوس به tg (x = قهوهای مایل به زرد y) که دارای دامنه و مجموعه ای از مقادیر است . به عبارت دیگر، زاویه را با مقدار آن برمی گرداند tg.

Arccotangent (y = arcctg x) - تابع معکوس به ctg (x = cotg y) که دارای دامنه تعریف و مجموعه ای از مقادیر است. به عبارت دیگر، زاویه را با مقدار آن برمی گرداند ctg.

arcsec- arcscant، زاویه را با توجه به مقدار سکنت آن برمی گرداند.

arccosec- arccosecant، یک زاویه را بر اساس مقدار cosecant آن برمی گرداند.

وقتی تابع مثلثاتی معکوس در یک نقطه مشخص تعریف نشده باشد، مقدار آن در جدول نهایی ظاهر نخواهد شد. کارکرد arcsecو arccosecدر بخش (-1،1) تعیین نمی شوند، اما آرکسینو آرکوسفقط در بازه [-1،1] تعیین می شوند.

نام تابع مثلثاتی معکوس از نام تابع مثلثاتی مربوطه با اضافه کردن پیشوند "arc-" (از Lat. قوس ما- قوس). این به دلیل این واقعیت است که از نظر هندسی، مقدار تابع مثلثاتی معکوس با طول قوس دایره واحد (یا زاویه ای که این کمان را تحت تأثیر قرار می دهد) مرتبط است که با یک یا قسمت دیگر مطابقت دارد.

گاهی اوقات در ادبیات خارجی و همچنین در ماشین حساب های علمی/مهندسی از نمادهایی مانند sin-1, cos-1برای آرکسین، آرکوزین و مانند آن، این کاملاً دقیق نیست، زیرا احتمالاً با بالا بردن یک تابع به یک قدرت سردرگمی وجود دارد −1 (« −1 » (منهای توان اول) تابع را تعریف می کند x = f -1 (y)، معکوس تابع y = f(x)).

روابط اساسی توابع مثلثاتی معکوس.

در اینجا مهم است که به فواصل زمانی که فرمول ها معتبر هستند توجه کنید.

فرمول های مربوط به توابع مثلثاتی معکوس

اجازه دهید هر یک از مقادیر معکوس را نشان دهیم توابع مثلثاتیاز طریق Arcsin x, آرکوس ایکس, آرکتان ایکس, Arccot ​​xو نماد را حفظ کنید: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot ​​xبرای ارزش های اصلی آنها، سپس ارتباط بین آنها با چنین روابطی بیان می شود.

به توابع مثلثاتی معکوس 6 عملکرد زیر عبارتند از: آرکسین , آرکوزین , متقاطع , آرکوتانژانت , قوس دارو آرکوسکانت .

از آنجایی که توابع مثلثاتی اصلی تناوبی هستند، به طور کلی توابع معکوس هستند چند معنایی . برای اطمینان از مطابقت یک به یک بین دو متغیر، حوزه‌های تعریف توابع مثلثاتی اصلی تنها با در نظر گرفتن آنها محدود می‌شود. شاخه های اصلی . برای مثال، تابع \(y = \sin x\) فقط در بازه \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \right]\ در نظر گرفته می‌شود. در این بازه، تابع آرکسین معکوس به طور یکتا تعریف می شود.

عملکرد آرکسین
آرک سینوس عدد \(a\) (که با \(\arcsin a\) مشخص می شود) مقدار زاویه \(x\) در بازه \(\left[ ( - \pi /2,\pi /) است. 2) \right]\)، که برای آن \(\sin x = a\). تابع معکوس\(y = \arcsin x\) در \(x \in \left[ (-1,1) \right]\ تعریف شده است، محدوده مقادیر آن برابر است با \(y \in \left[ ( - \pi /2، \pi /2) \راست]\).

تابع کسینوس قوس
آرکوزین عدد \(a\) (با علامت \(\arccos a\)) مقدار زاویه \(x\) در بازه \(\چپ[ (0,\pi) \راست]\) است. ، که در آن \(\cos x = a\). تابع معکوس \(y = \arccos x\) در \(x \in \left[ (-1,1) \right]\ تعریف شده است، محدوده مقادیر آن متعلق به بخش \(y \in است. \ چپ[ (0،\ pi)\راست]\).



تابع قطبی
مماس از عدد آ(مشخص شده با \(\arctan a\)) مقدار زاویه \(x\) در بازه باز \(\left((-\pi/2, \pi/2) \راست)\)، در که \(\tan x = a\). تابع معکوس \(y = \arctan x\) برای همه \(x \in \mathbb(R)\ تعریف شده است، محدوده تانژانت برابر با \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2 )\راست)\).



تابع مماس قوس
مماس قوسی عدد \(a\) (که با \(\text(arccot) a\) مشخص می شود) مقدار زاویه \(x\) در بازه باز \(\left[ (0,\) است. pi) \right]\)، که در آن \(\cot x = a\). تابع معکوس \(y = \text(arccot) x\) برای همه \(x \in \mathbb(R)\ تعریف شده است، محدوده مقادیر آن در بازه \(y \in \ است. چپ[ (0,\pi) \راست]\).



تابع Arcsectant
قوس عدد \(a\) (که با \(\text(arcsec ) a\) مشخص می شود) مقدار زاویه \(x\) است که در آن \(\sec x = a\) است. تابع معکوس \(y = \text(arcsec) x\) در \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty) \right تعریف می‌شود. )\)، محدوده مقادیر آن متعلق به مجموعه \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi ) \right] \).



عملکرد Arccosecant
آرکوسکانت عدد \(a\) (مشخص به \(\text(arccsc ) a\) یا \(\text(arccosec ) a\)) مقدار زاویه \(x\) است که در آن \(\ csc x = a\ ). تابع معکوس \(y = \text(arccsc) x\) در \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty) \right تعریف می‌شود. )\)، محدوده مقادیر آن متعلق به مجموعه \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right است. ]\).



مقادیر اصلی توابع آرکسین و آرکوزین (بر حسب درجه)

\(ایکس\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\arccos x\)	\(180^\circ\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\circ\)

مقادیر اصلی توابع قوس و مماس (بر حسب درجه)

\(ایکس\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\arctan x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\text(arccot) x\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)