ماتریس همگن محلول آبکش های همگن. حل سیستم معادلات خطی

سیستم خطی نامیده می شود همگن ، اگر تمام عبارات آزاد آن برابر با 0 باشد.

در شکل ماتریسی، یک سیستم همگن نوشته می شود:
.

سیستم همگن (2) همیشه سازگار است . بدیهی است که مجموعه اعداد
,
, …,
تمام معادلات سیستم را برآورده می کند. راه حل
تماس گرفت صفر یا ناچیز تصمیم گیری بنابراین، یک سیستم همگن همیشه یک راه حل صفر دارد.

در چه شرایطی سیستم همگن (2) راه حل های غیر صفر (غیر بی اهمیت) خواهد داشت؟

قضیه 1.3 سیستم همگن (2) راه حل های غیر صفر دارد اگر و فقط اگر رتبه r ماتریس اصلی آن ناشناخته های کمتر n .

سیستم (2) - نامشخص
.

نتیجه 1. اگر تعداد معادلات متر سیستم همگن دارای متغیرهای کمتری است
، پس سیستم نامشخص است و راه حل های غیر صفر زیادی دارد.

نتیجه 2. سیستم همگن مربعی
دارای راه حل های غیر صفر در صورت و زمانی که ماتریس اصلی این سیستم است منحط، یعنی تعیین کننده
.

در غیر این صورت، اگر تعیین کننده
، یک سیستم همگن مربعی دارد تنها چیزی راه حل صفر
.

اجازه دهید رتبه سیستم (2)
یعنی سیستم (2) راه حل های غیر پیش پا افتاده ای دارد.

اجازه دهید و - راه حل های خاص این سیستم، به عنوان مثال.
و
.

خواص محلول های یک سیستم همگن

واقعا، .

واقعا، .

با ترکیب خواص 1) و 2)، می توان گفت که اگر

…,
- محلول های یک سیستم همگن (2)، سپس هر ترکیب خطی از آنها نیز راه حل آن است. اینجا
- اعداد واقعی دلخواه

را می توان یافت
راه حل های جزئی مستقل خطی سیستم همگن (2) که با کمک آن می توانید هر راه حل خاص دیگری از این سیستم را بدست آورید. یک راه حل کلی برای سیستم (2) بدست آورید.

تعریف 2.2 کلیت
راه حل های جزئی مستقل خطی

…,
سیستم همگن (2) به طوری که هر جواب سیستم (2) را بتوان به صورت ترکیب خطی از آنها نشان داد. سیستم اساسی راه حل ها (FSR) یک سیستم همگن (2).

اجازه دهید

…,
یک سیستم اساسی از راه حل ها است، سپس راه حل کلی سیستم همگن (2) را می توان به صورت زیر نشان داد:

جایی که

.

اظهار نظر. برای به دست آوردن FSR، باید راه حل های خصوصی پیدا کنید

…,
، به یک متغیر آزاد مقدار "1" را به نوبه خود و به همه متغیرهای آزاد دیگر مقدار "0" می دهد.

ما گرفتیم ,, …,- FSR.

مثال.حل کلی و سیستم اساسی راه حل های سیستم معادلات همگن را بیابید:

راه حل.بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را با قرار دادن آخرین معادله سیستم در وهله اول بنویسیم و آن را به صورت گام به گام برسانیم. از آنجایی که سمت راست معادلات در نتیجه تبدیل‌های ابتدایی تغییر نمی‌کند، ستون صفر باقی می‌ماند.

ممکن است نوشته نشود

̴
̴
̴

رتبه سیستم کجاست
- تعداد متغیرها سیستم نامشخص است و راه حل های زیادی دارد.

جزئی پایه برای متغیرها
غیر صفر:
انتخاب کنید
به عنوان متغیرهای اساسی، بقیه
- متغیرهای رایگان (هر مقدار واقعی را بگیرید).

آخرین ماتریس در زنجیره مربوط به سیستم گام به گام معادلات است:

(3)

بیایید متغیرهای اساسی را بیان کنیم
از طریق متغیرهای رایگان
(برعکس روش گاوسی).

از آخرین معادله ای که بیان می کنیم :
و آن را در معادله اول جایگزین کنید. ما آن را دریافت می کنیم. اجازه دهید پرانتزها را باز کنیم، موارد مشابه را بدهیم و بیان کنیم :
.

باور کردن
,
,
، جایی که
، بیا بنویسیم

- راه حل کلی سیستم.

بیایید یک سیستم اساسی از راه حل ها را پیدا کنیم

,,.

سپس جواب کلی سیستم همگن را می توان به صورت زیر نوشت:

اظهار نظر. FSR را می‌توان به روش دیگری یافت، بدون اینکه ابتدا راه‌حلی کلی برای سیستم پیدا شود. برای انجام این کار، سیستم مرحله (3) به دست آمده باید سه بار با فرض برای حل شود :
; برای :
; برای :
.

سیستم مترمعادلات خطی ج nمجهول نامیده می شود سیستم همگن خطیمعادلات اگر تمام جمله های آزاد برابر با صفر باشند. چنین سیستمی به نظر می رسد:

جایی که و ij (من = 1, 2, …, متر; j = 1, 2, …, n) - اعداد داده شده؛ x i- ناشناخته.

یک سیستم معادلات همگن خطی همیشه سازگار است، زیرا r(الف) = r(). همیشه حداقل صفر دارد ( ناچیز) راه حل (0؛ 0؛ …؛ 0).

اجازه دهید در نظر بگیریم که در چه شرایطی سیستم های همگن راه حل های غیر صفر دارند.

قضیه 1.یک سیستم معادلات همگن خطی راه حل های غیر صفر دارد اگر و فقط اگر رتبه ماتریس اصلی آن باشد. rناشناخته های کمتر n، یعنی r < n.

□ 1). اجازه دهید یک سیستم معادلات همگن خطی یک جواب غیر صفر داشته باشد. از آنجایی که رتبه نمی تواند از اندازه ماتریس تجاوز کند، پس بدیهی است که r ≤ n. اجازه دهید r = n. سپس یکی از اندازه های جزئی n nمتفاوت از صفر بنابراین، سیستم معادلات خطی مربوطه یک راه حل منحصر به فرد دارد: . . این بدان معناست که هیچ راه حل دیگری جز راه حل های پیش پا افتاده وجود ندارد. بنابراین، اگر یک راه حل غیر ضروری وجود دارد، پس r < n.

2). اجازه دهید r < n. سپس سیستم همگن، که سازگار است، نامشخص است. این بدان معنی است که تعداد بی نهایت راه حل دارد، یعنی. راه حل های غیر صفر دارد. ■

یک سیستم همگن را در نظر بگیرید nمعادلات خطی ج nناشناخته:

(2)

قضیه 2.سیستم همگن nمعادلات خطی ج nمجهولات (2) راه حل های غیر صفر دارد اگر و فقط اگر تعیین کننده آن برابر با صفر باشد: = 0.

□ اگر سیستم (2) یک جواب غیر صفر داشته باشد، آنگاه = 0. زیرا زمانی که سیستم فقط یک جواب صفر دارد. اگر = 0، پس رتبه rماتریس اصلی سیستم کمتر از تعداد مجهولات است، یعنی. r < n. و بنابراین، سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است، به عنوان مثال. راه حل های غیر صفر دارد. ■

اجازه دهید حل سیستم (1) را نشان دهیم. ایکس 1 = ک 1 , ایکس 2 = ک 2 , …, x n = k nبه عنوان یک رشته .

راه حل های یک سیستم معادلات همگن خطی دارای ویژگی های زیر هستند:

1. اگر خط راه حلی برای سیستم (1) است، سپس خط راه حلی برای سیستم (1) است.

2. اگر خطوط و راه حل های سیستم (1) و سپس برای هر مقدار هستند با 1 و با 2 ترکیب خطی آنها نیز راه حلی برای سیستم (1) است.

اعتبار این ویژگی ها را می توان با جایگزینی مستقیم آنها در معادلات سیستم تأیید کرد.

از خصوصیات فرمول‌بندی‌شده چنین برمی‌آید که هر ترکیب خطی از راه‌حل‌های یک سیستم معادلات همگن خطی نیز راه‌حلی برای این سیستم است.

سیستم راه حل های مستقل خطی ه 1 , ه 2 , …, e rتماس گرفت اساسی، اگر هر جواب سیستم (1) ترکیبی خطی از این راه حل ها باشد ه 1 , ه 2 , …, e r.

قضیه 3.اگر رتبه rماتریس ضرایب برای متغیرهای سیستم معادلات همگن خطی (1) کمتر از تعداد متغیرها است. n، سپس هر سیستم اساسی از راه حل های سیستم (1) شامل n-rتصمیمات

از همین رو تصمیم مشترکسیستم معادلات همگن خطی (1) به شکل زیر است:

جایی که ه 1 , ه 2 , …, e r- هر سیستم اساسی از راه حل های سیستم (9)، با 1 , با 2 , …, با ص- اعداد دلخواه، آر = n-r.

قضیه 4.راه حل کلی سیستم مترمعادلات خطی ج nمجهولات برابر است با مجموع جواب کلی سیستم متناظر معادلات همگن خطی (1) و راه حل خاص دلخواه این سیستم (1).

مثال.سیستم را حل کنید

راه حل.برای این سیستم متر = n= 3. تعیین کننده

طبق قضیه 2، سیستم فقط یک راه حل ساده دارد: ایکس = y = z = 0.

مثال. 1) راه حل های کلی و خاص سیستم را بیابید

2) سیستم اساسی راه حل ها را بیابید.

راه حل. 1) برای این سیستم متر = n= 3. تعیین کننده

طبق قضیه 2، سیستم دارای راه حل های غیر صفر است.

از آنجایی که تنها یک معادله مستقل در سیستم وجود دارد

ایکس + y – 4z = 0,

سپس از آن بیان خواهیم کرد ایکس =4z- y. از کجا بی نهایت راه حل بدست آوریم: (4 z- y, y, z) – این راه حل کلی سیستم است.

در z= 1, y= -1، یک راه حل خاص دریافت می کنیم: (5، -1، 1). قرار دادن z= 3, y= 2، ما دومین راه حل خاص را دریافت می کنیم: (10، 2، 3)، و غیره.

2) در حل کلی (4 z- y, y, z) متغیرها yو zرایگان هستند و متغیر ایکس- وابسته به آنها برای یافتن سیستم اساسی راه حل ها، اجازه دهید مقادیری را به متغیرهای آزاد اختصاص دهیم: ابتدا y = 1, z= 0، سپس y = 0, z= 1. ما راه حل های جزئی (-1، 1، 0)، (4، 0، 1) را به دست می آوریم که سیستم اساسی راه حل ها را تشکیل می دهند.

تصاویر:

برنج. 1 طبقه بندی سیستم های معادلات خطی

برنج. 2 مطالعه سیستم های معادلات خطی

ارائه ها:

· روش SLAE_matrix راه حل

· حل روش SLAE_Cramer

· راه حل روش SLAE_Gauss

· بسته های حل مسائل ریاضی Mathematica، MathCad: جستجو برای حل های تحلیلی و عددی برای سیستم های معادلات خطی

کنترل سوالات:

1. یک معادله خطی تعریف کنید

2. شبیه چه نوع سیستمی است؟ مترمعادلات خطی با nناشناخته؟

3. حل سیستم معادلات خطی به چه چیزی گفته می شود؟

4- چه سیستم هایی معادل نامیده می شوند؟

5. به کدام سیستم ناسازگار گفته می شود؟

6. به چه سیستمی مفصل می گویند؟

7- کدام سیستم معین نامیده می شود؟

8. به کدام سیستم نامعین می گویند

9. تبدیل های ابتدایی سیستم های معادلات خطی را فهرست کنید

10. تبدیل های ابتدایی ماتریس ها را فهرست کنید

11. یک قضیه در مورد اعمال تبدیل های ابتدایی در یک سیستم معادلات خطی فرموله کنید.

12. چه سیستم هایی را می توان با استفاده از روش ماتریسی حل کرد؟

13. چه سیستم هایی را می توان با روش کرامر حل کرد؟

14. چه سیستم هایی را می توان با روش گاوس حل کرد؟

15. 3 مورد احتمالی را که هنگام حل سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش گاوس به وجود می آیند فهرست کنید.

16. روش ماتریسی برای حل سیستم های معادلات خطی را شرح دهید

17. روش کرامر را برای حل سیستم های معادلات خطی شرح دهید

18. روش گاوس را برای حل سیستم های معادلات خطی شرح دهید

19. چه سیستم هایی را می توان با استفاده از ماتریس معکوس حل کرد؟

20. 3 مورد احتمالی را که هنگام حل سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش کرامر به وجود می آیند فهرست کنید.

ادبیات:

1. ریاضیات عالی برای اقتصاددانان: کتاب درسی برای دانشگاه ها / N.Sh. کرمر، بی. پوتکو، I.M. تریشین، ام.ان. فریدمن. اد. ن.ش. کرمر. - م.: وحدت، 2005. - 471 ص.

2. درس عمومی ریاضیات عالی برای اقتصاددانان: کتاب درسی. / اد. در و. ارماکووا. -M.: INFRA-M، 2006. - 655 ص.

3. مجموعه مسائل در ریاضیات عالی برای اقتصاددانان: کتاب درسی / ویرایش توسط V.I. ارماکووا. M.: INFRA-M، 2006. – 574 p.

4. Gmurman V. E. راهنمای حل مسائل در نظریه احتمال و آمار ماگمایی. - م.: مدرسه عالی، 2005. - 400 ص.

5. گمورمن. V.E نظریه احتمال و آمار ریاضی. - م.: دبیرستان، 2005.

6. Danko P.E.، Popov A.G.، Kozhevnikova T.Ya. ریاضیات عالی در تمرین ها و مسائل. Part 1, 2. – M.: Onyx 21st century: Peace and Education, 2005. – 304 p. قسمت 1؛ - 416 ص. قسمت 2.

7. ریاضیات در اقتصاد: کتاب درسی: در 2 قسمت / A.S. سولودوونیکوف، V.A. بابایتسف، A.V. برایلوف، I.G. شاندارا. - م.: امور مالی و آمار، 2006.

8. شیپاچف V.S. ریاضیات عالی: کتاب درسی برای دانش آموزان. دانشگاه ها - M.: مدرسه عالی، 2007. - 479 p.

اطلاعات مربوطه.

سیستم های همگن معادلات جبری خطی

به عنوان بخشی از دروس روش گاوسیو سیستم/سیستم های ناسازگار با یک راه حل مشترکدر نظر گرفتیم سیستم های ناهمگن معادلات خطی، جایی که عضو رایگان(که معمولا در سمت راست است) حداقل یکیاز معادلات با صفر متفاوت بود.
و حالا، پس از یک گرم کردن خوب با رتبه ماتریسی، ما به صیقل دادن تکنیک ادامه خواهیم داد تحولات ابتداییبر سیستم همگن معادلات خطی.
بر اساس پاراگراف های اول، مطالب ممکن است خسته کننده و متوسط ​​به نظر برسد، اما این تصور فریبنده است. علاوه بر توسعه بیشتر تکنیک ها، اطلاعات جدید زیادی نیز وجود خواهد داشت، بنابراین لطفاً سعی کنید از مثال های این مقاله غافل نشوید.

سیستم همگن معادلات خطی چیست؟

پاسخ خود را نشان می دهد. سیستم معادلات خطی اگر جمله آزاد باشد همگن است هر کسمعادله سیستم صفر است مثلا:

کاملا واضح است که یک سیستم همگن همیشه سازگار استیعنی همیشه راه حل دارد. و اول از همه، چیزی که نظر شما را جلب می کند به اصطلاح است ناچیزراه حل . بی اهمیت برای کسانی که اصلا معنی صفت را نمی فهمند یعنی بدون خودنمایی. البته نه از نظر آکادمیک، اما به طور قابل درک =) ...چرا دور بوش بزنیم، بیایید ببینیم آیا این سیستم راه حل دیگری دارد یا خیر:

مثال 1

راه حل: برای حل یک سیستم همگن باید بنویسید ماتریس سیستمو با کمک دگرگونی های ابتدایی آن را به شکل گام به گام درآورد. لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا نیازی به نوشتن نوار عمودی و ستون صفر عبارت‌های آزاد نیست - هرچه باشد، مهم نیست که با صفرها چه می‌کنید، آنها صفر خواهند ماند:

(1) خط اول به خط دوم اضافه شد، ضرب در 2-. خط اول به خط سوم اضافه شد، ضرب در -3 شد.

(2) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1.

تقسیم خط سوم بر 3 چندان منطقی نیست.

در نتیجه تبدیل های اولیه، یک سیستم همگن معادل به دست می آید ، و با استفاده از معکوس روش گاوسی، به راحتی می توان تأیید کرد که راه حل منحصر به فرد است.

پاسخ:

اجازه دهید یک معیار واضح را تدوین کنیم: یک سیستم همگن معادلات خطی دارد فقط یک راه حل بی اهمیت، اگر رتبه ماتریس سیستم(در این مورد 3) برابر است با تعداد متغیرها (در این مورد - 3 قطعه).

بیایید رادیو خود را گرم کنیم و با موج دگرگونی های ابتدایی هماهنگ کنیم:

مثال 2

حل یک سیستم همگن از معادلات خطی

از مقاله چگونه رتبه یک ماتریس را پیدا کنیم؟اجازه دهید تکنیک منطقی کاهش همزمان اعداد ماتریس را به یاد بیاوریم. در غیر این صورت، مجبور خواهید بود ماهی های بزرگ و اغلب گاز می گیرند. یک مثال تقریبی از یک کار در پایان درس.

صفرها خوب و راحت هستند، اما در عمل زمانی که ردیف های سیستم ماتریس می شوند، این مورد بسیار رایج تر است وابسته به خط. و سپس ظهور یک راه حل کلی اجتناب ناپذیر است:

مثال 3

حل یک سیستم همگن از معادلات خطی

راه حل: بیایید ماتریس سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به صورت گام به گام در آوریم. اولین اقدام نه تنها برای به دست آوردن یک مقدار واحد، بلکه در کاهش اعداد در ستون اول نیز انجام می شود:

(1) خط سوم به خط اول اضافه شد که در -1 ضرب شد. خط سوم به خط دوم اضافه شد، ضرب در 2-. در بالا سمت چپ واحدی با "منهای" دریافت کردم که اغلب برای تغییرات بیشتر راحت تر است.

(2) دو خط اول یکسان است، یکی از آنها حذف شد. صادقانه بگویم، من راه حل را تحت فشار قرار ندادم - این طور شد. اگر تبدیل ها را به صورت الگو انجام دهید، پس وابستگی خطیخطوط کمی بعد آشکار می شد.

(3) خط دوم در 3 ضرب به خط سوم اضافه شد.

(4) علامت سطر اول عوض شد.

در نتیجه تبدیل های اولیه، یک سیستم معادل به دست آمد:

الگوریتم دقیقاً مانند for عمل می کند سیستم های ناهمگن. متغیرهای "نشستن روی پله ها" اصلی ترین هستند، متغیری که "پله" نگرفته است رایگان است.

بیایید متغیرهای اصلی را از طریق یک متغیر آزاد بیان کنیم:

پاسخ: تصمیم مشترک:

راه حل بی اهمیت در فرمول کلی گنجانده شده است و نوشتن آن به طور جداگانه ضروری نیست.

بررسی همچنین طبق طرح معمول انجام می شود: راه حل کلی حاصل باید در سمت چپ هر معادله سیستم جایگزین شود و یک صفر قانونی برای همه جایگزین ها به دست آید.

می توان این کار را بی سر و صدا و مسالمت آمیز به پایان برد، اما راه حل یک سیستم معادلات همگن اغلب نیاز به نمایش دارد. به صورت برداریبا استفاده از سیستم اساسی راه حل ها. لطفا فعلا فراموشش کن هندسه تحلیلی، از آنجایی که اکنون در مورد بردارها به معنای جبری عمومی صحبت خواهیم کرد که در مقاله کمی در مورد آن باز کردم. رتبه ماتریسی. نیازی به ابطال کردن اصطلاحات نیست، همه چیز بسیار ساده است.

در نظر بگیریم سیستم همگن m معادلات خطی با n متغیر:

(15)

یک سیستم معادلات خطی همگن همیشه سازگار است، زیرا همیشه یک راه حل صفر (بی اهمیت) دارد (0,0,…,0).

اگر در سیستم (15) m=n و، سیستم فقط یک جواب صفر دارد که از قضیه و فرمول کرامر به دست می آید.

قضیه 1. سیستم همگن (15) اگر و فقط در صورتی که رتبه ماتریس آن کمتر از تعداد متغیرها باشد، راه حل غیر ضروری دارد. . r(آ)< n.

اثبات. وجود یک راه حل غیر ضروری برای سیستم (15) معادل وابستگی خطی ستون های ماتریس سیستم است (یعنی اعداد x 1، x 2،...، x n وجود دارد، نه همه برابر با صفر، به طوری که برابری (15) درست است).

طبق قضیه مینور پایه، ستون های یک ماتریس به صورت خطی وابسته هستند  زمانی که همه ستون های این ماتریس پایه نباشند، یعنی.  وقتی ترتیب r پایه مینور ماتریس از عدد n ستون آن کمتر باشد. و غیره.

نتیجه. یک سیستم همگن مربعی دارای راه حل های غیر پیش پا افتاده  وقتی |A|=0 است.

قضیه 2. اگر ستون های x (1)، x (2)،...، x (s) راه حل های یک سیستم همگن AX = 0 باشند، هر ترکیب خطی از آنها نیز راه حلی برای این سیستم است.

اثبات. هر ترکیبی از راه حل ها را در نظر بگیرید:

سپس AX=A()===0. و غیره.

نتیجه 1.اگر یک سیستم همگن یک راه حل غیر اساسی داشته باشد، آنگاه راه حل های بی نهایت زیادی دارد.

که لازم است چنین جواب هایی x (1)، x (2)،...، x (s) سیستم Ax = 0 پیدا شود، به طوری که هر جواب دیگری از این سیستم به صورت ترکیب خطی آنها نشان داده شود و علاوه بر این، به روشی منحصر به فرد.

تعریف.سیستم k=n-r (n تعداد مجهول های سیستم است، r=rg A) جواب های مستقل خطی x (1)، x (2)،…، x (k) سیستم Ах=0 نامیده می شود. سیستم اساسی راه حل هااین سیستم

قضیه 3. اجازه دهید یک سیستم همگن Ах=0 با n مجهول و r=rg A داده شود سپس مجموعه ای از جواب های k=n-r x (1)، x (2)،…، x (k) از این سیستم وجود دارد که یک سیستم اساسی راه حل ها

اثبات. بدون از دست دادن کلیت، می توانیم فرض کنیم که مینور پایه ماتریس A در گوشه سمت چپ بالا قرار دارد. سپس، با قضیه مینور پایه، سطرهای باقی مانده از ماتریس A ترکیب خطی ردیف های پایه هستند. این بدان معنی است که اگر مقادیر x 1، x 2،…، x n معادلات r اول را برآورده کنند، یعنی. معادلات مربوط به ردیف های پایه مینور)، سپس آنها همچنین معادلات دیگر را برآورده می کنند. در نتیجه، مجموعه راه حل های سیستم تغییر نخواهد کرد اگر همه معادلات را که از (r+1) شروع می شوند کنار بگذاریم. ما سیستم را دریافت می کنیم:

اجازه دهید مجهول های آزاد x r +1 , x r +2 ,…, x n را به سمت راست منتقل کنیم و مجهول های اصلی x 1 , x 2 ,…, x r را در سمت چپ رها کنیم:

(16)

زیرا در این مورد همه b i = 0، سپس به جای فرمول ها

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) ، بدست می آوریم:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

اگر مجهول های آزاد x r +1 , x r +2 ,…, x n را روی مقادیر دلخواه قرار دهیم، با توجه به مجهولات پایه یک SLAE مربع با ماتریس غیر منفرد به دست می آوریم که یک راه حل منحصر به فرد برای آن وجود دارد. بنابراین، هر راه حل یک SLAE همگن به طور منحصر به فرد توسط مقادیر مجهولات آزاد x r + 1، x r + 2، ...، x n تعیین می شود. سری k=n-r زیر را از مقادیر مجهولات آزاد در نظر بگیرید:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(عدد سری با یک بالانویس داخل پرانتز نشان داده می شود و سری مقادیر به صورت ستونی نوشته می شود. در هر سری =1 اگر i=j و =0 اگر ij.

سری i-ام مقادیر مجهولات رایگان به طور منحصر به فرد با مقادیر ,,..., مجهولات اساسی مطابقت دارد. مقادیر مجهولات آزاد و پایه با هم راه حل هایی به سیستم می دهند (17).

اجازه دهید نشان دهیم که ستون های e i =,i=1,2,…,k (18)

یک سیستم اساسی از راه حل ها را تشکیل می دهد.

زیرا این ستون ها از نظر ساخت، راه حل هایی برای سیستم همگن Ax=0 هستند و تعداد آنها برابر k است، سپس باید استقلال خطی جواب ها را ثابت کرد (16). بگذارید ترکیبی خطی از راه حل ها وجود داشته باشد ه 1 , ه 2 ,…, ه ک(x (1) , x (2) ,…, x (k))، برابر با ستون صفر:

 1 ه 1 +  2 ه 2 +…+  ک ه ک ( 1 ایکس (1) + 2 ایکس(2) +…+ k ایکس(ک) = 0)

سپس سمت چپ این تساوی ستونی است که اجزای آن با اعداد r+1,r+2,…,n برابر با صفر هستند. اما مولفه (r+1)ام برابر است با  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . به طور مشابه، مؤلفه (r+2)ام برابر با  2،…، مؤلفه kth برابر با  k است. بنابراین  1 =  2 = …= k =0 که به معنای استقلال خطی جواب هاست ه 1 , ه 2 ,…, ه ک ( x (1), x (2) ,…, x (k)).

سیستم بنیادی ساخته شده از راه حل ها (18) نامیده می شود طبیعی. بر اساس فرمول (13)، شکل زیر را دارد:

(20)

نتیجه 2. اجازه دهید ه 1 , ه 2 ,…, ه ک- سیستم بنیادی طبیعی محلول های یک سیستم همگن، سپس مجموعه همه راه حل ها را می توان با فرمول توصیف کرد:

x=c 1 ه 1 +s 2 ه 2 +…+с k ه ک (21)

که در آن с 1,с 2,…,с k - مقادیر دلخواه را بگیرید.

اثبات. با قضیه 2، ستون (19) راه حلی برای سیستم همگن Ax=0 است. باید ثابت کرد که هر راه حلی برای این سیستم را می توان به شکل (17) نشان داد. ستون را در نظر بگیرید ایکس=y r +1 ه 1 +…+y n ه ک. این ستون با ستون y در عناصر با اعداد r+1,...,n منطبق است و جوابی برای (16) است. بنابراین ستون ها ایکسو درهمزمان، زیرا راه حل های سیستم (16) به طور منحصر به فرد توسط مجموعه مقادیر مجهول های آزاد آن x r +1،…،xn، و ستون ها تعیین می شوند. درو ایکساین مجموعه ها یکی هستند از این رو، در=ایکس= y r +1 ه 1 +…+y n ه ک، یعنی راه حل درترکیبی خطی از ستون ها است ه 1 ,…,y N FSR معمولی. و غیره.

عبارت اثبات شده نه تنها برای یک FSR معمولی، بلکه برای یک FSR دلخواه یک SLAE همگن نیز صادق است.

X=ج 1 ایکس 1 + ج 2 ایکس 2 +…+s n - r ایکس n - r - تصمیم مشترکسیستم های معادلات همگن خطی

جایی که X 1، X 2،…، X n - r - هر سیستم اساسی از راه حل ها،

c 1 , c 2 ,…,c n - r اعداد دلخواه هستند.

مثال. (ص 78)

اجازه دهید بین راه حل های SLAE ناهمگن ارتباط برقرار کنیم (1) و SLAE همگن مربوطه (15)

قضیه 4. مجموع هر راه حل برای سیستم ناهمگن (1) و سیستم همگن مربوطه (15) یک راه حل برای سیستم (1) است.

اثبات. اگر c 1 ,…,c n جوابی برای سیستم (1) باشد و d 1 ,…,d n جوابی برای سیستم (15) باشد، اعداد مجهول c را به هر معادله (مثلاً i-امین) جایگزین کنید. سیستم (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , دریافت می کنیم:

B i +0=b i h.t.d.

قضیه 5. تفاوت بین دو راه حل دلخواه سیستم ناهمگن (1) یک راه حل برای سیستم همگن است (15).

اثبات. اگر c 1 ,…,c n و c 1 ,…,c n راه حل های سیستم (1) باشند، اعداد مجهول c را با هر معادله (مثلاً i-امین) سیستم (1) جایگزین کنید. ) 1 -с 1 ,…,c n -с n , بدست می آوریم:

B i -b i =0 p.t.d.

از قضایای اثبات شده چنین برمی‌آید که حل کلی یک سیستم m معادلات همگن خطی با n متغیر برابر است با مجموع جواب کلی سیستم معادلات خطی همگن (15) و یک عدد دلخواه از یک جواب خاص این سیستم (15).

ایکس نئود. =X جمع یکی +X زود زود بیش از یک بار (22)

به عنوان یک راه حل خاص برای یک سیستم ناهمگن، طبیعی است که محلولی را که در فرمول های cj =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j به دست می آید در نظر بگیریم. (a in)) j=1,2,…,r ((13) همه اعداد c r +1 ,…,c n را برابر صفر قرار دهید، یعنی.

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

افزودن این راه حل خاص به راه حل عمومی X=ج 1 ایکس 1 + ج 2 ایکس 2 +…+s n - r ایکس n - rسیستم همگن مربوطه، به دست می آوریم:

ایکس نئود. =X 0 +C 1 ایکس 1 +C 2 ایکس 2 +…+S n - r ایکس n - r (24)

سیستمی متشکل از دو معادله با دو متغیر را در نظر بگیرید:

که در آن حداقل یکی از ضرایب یک ij 0.

برای حل، x 2 را با ضرب معادله اول در 22 و دومی در (-a 12) و جمع کردن آنها حذف می کنیم: x 1 را با ضرب رابطه اول در (-a 21) و دومی در 11 حذف می کنیم. و اضافه کردن آنها: عبارت داخل پرانتز تعیین کننده است

تعیین کردن ,، سپس سیستم به شکل:، یعنی اگر، پس سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد:،.

اگر Δ=0، و (یا)، پس سیستم ناسازگار است، زیرا به شکل کاهش می یابد اگر Δ=Δ 1 =Δ 2 = 0، پس سیستم نامشخص است، زیرا به شکل کاهش یافته است

مثال 1. یک راه حل کلی و چند سیستم اساسی راه حل برای سیستم پیدا کنید

راه حلبا استفاده از ماشین حساب پیدا کنید الگوریتم حل همانند سیستم های معادلات ناهمگن خطی است.
فقط با سطرها کار می کنیم، رتبه ماتریس را پیدا می کنیم، پایه جزئی. مجهولات وابسته و آزاد را اعلام می کنیم و راه حل کلی پیدا می کنیم.

خطوط اول و دوم متناسب هستند، بیایید یکی از آنها را خط بزنیم:

.
متغیرهای وابسته – x 2، x 3، x 5، رایگان – x 1، x 4. از معادله اول 10 x 5 = 0، x 5 = 0 را پیدا می کنیم، سپس
; .
راه حل کلی این است:

ما یک سیستم اساسی از راه حل ها را پیدا می کنیم که از راه حل های (n-r) تشکیل شده است. در مورد ما، n=5، r=3، بنابراین، سیستم اساسی راه حل ها از دو راه حل تشکیل شده است و این راه حل ها باید به صورت خطی مستقل باشند. برای مستقل بودن خطی سطرها لازم و کافی است که رتبه ماتریس متشکل از عناصر سطرها برابر با تعداد سطرها یعنی 2 باشد. کافی است مجهولات آزاد x 1 و داده شود. x 4 مقدار از ردیف های تعیین کننده مرتبه دوم، غیر صفر، و x 2، x 3، x 5 را محاسبه کنید. ساده ترین تعیین کننده غیر صفر است.
بنابراین اولین راه حل این است: ، دومین - .
این دو تصمیم یک سیستم تصمیم گیری اساسی را تشکیل می دهند. توجه داشته باشید که سیستم بنیادی منحصر به فرد نیست (شما می توانید به تعداد دلخواه تعیین کننده غیر صفر ایجاد کنید).

مثال 2. راه حل کلی و سیستم اساسی راه حل های سیستم را بیابید
راه حل.



,
نتیجه این است که رتبه ماتریس 3 و برابر با تعداد مجهولات است. این بدان معنی است که سیستم مجهولات رایگان ندارد و بنابراین راه حل منحصر به فردی دارد - یک راه حل بی اهمیت.

ورزش . کاوش و حل یک سیستم معادلات خطی.
مثال 4

ورزش . راه حل های کلی و خاص هر سیستم را بیابید.
راه حل.بیایید ماتریس اصلی سیستم را بنویسیم:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

بیایید ماتریس را به شکل مثلثی کاهش دهیم. ما فقط با سطرها کار خواهیم کرد، زیرا ضرب یک ردیف ماتریس در عددی غیر از صفر و اضافه کردن آن به سطر دیگری برای سیستم به معنای ضرب معادله در همان عدد و اضافه کردن آن با معادله دیگری است که جواب سوال را تغییر نمی دهد. سیستم.
خط دوم را در (5-) ضرب کنید. بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

بیایید خط 2 را در (6) ضرب کنیم. خط سوم را در (-1) ضرب کنید. بیایید خط 3 را به خط 2 اضافه کنیم:
بیایید رتبه ماتریس را پیدا کنیم.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

مینور انتخابی بالاترین مرتبه (از مینورهای ممکن) را دارد و غیر صفر است (برابر حاصلضرب عناصر در مورب معکوس است)، بنابراین، ranng(A) = 2 است.
این مینور پایه است. شامل ضرایبی برای مجهولات x 1 , x 2 , به این معنی که مجهولات x 1 , x 2 وابسته (اساسی) هستند و x 3 , x 4 , x 5 آزاد هستند.
بیایید ماتریس را تبدیل کنیم و فقط پایه را در سمت چپ مینور می‌گذاریم.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

سیستم با ضرایب این ماتریس معادل سیستم اصلی است و به شکل زیر است:
22x2 = 14x4 - x 3 - 24x5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
با استفاده از روش حذف مجهولات می یابیم راه حل غیر پیش پا افتاده:
ما روابطی را به دست آوردیم که متغیرهای وابسته x 1 , x 2 را از طریق متغیرهای آزاد x 3 , x 4 , x 5 بیان می کند، یعنی یافتیم تصمیم مشترک:
x 2 = 0.64x 4 - 0.0455x 3 - 1.09x 5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
ما یک سیستم اساسی از راه حل ها را پیدا می کنیم که از راه حل های (n-r) تشکیل شده است.
در مورد ما، n=5، r=2، بنابراین، سیستم اساسی راه حل ها از 3 راه حل تشکیل شده است و این راه حل ها باید به صورت خطی مستقل باشند.
برای اینکه سطرها به صورت خطی مستقل باشند، لازم و کافی است که رتبه ماتریس متشکل از عناصر ردیف برابر با تعداد سطرها یعنی 3 باشد.
کافی است مجهول های رایگان x 3 , x 4 , x 5 را از خطوط تعیین کننده مرتبه 3 غیر صفر داده و x 1 , x 2 را محاسبه کنید.
ساده ترین تعیین کننده غیر صفر، ماتریس هویت است.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

وظیفه . مجموعه ای اساسی از راه حل های یک سیستم همگن معادلات خطی را بیابید.