عملیات با مشتقات مشتق چیست تعریف و معنای تابع مشتق. نمادهای رایج برای مشتق یک تابع در یک نقطه

مفهوم مشتق

اجازه دهید تابع f(ایکس) در برخی بازه ها تعریف می شود ایکس.بیایید ارزش استدلال را در آن نقطه بیان کنیم ایکس 0 X افزایش دلخواه Δ ایکسبه طوری که نقطه x 0 + Δ ایکسنیز متعلق به ایکس.سپس مربوطه افزایش تابع f(x)Δ خواهد بود در = f(x 0 + Δ ایکس) - f(x 0).

تعریف 1. مشتق تابع f(x)در نقطه x 0حد نسبت افزایش تابع در این نقطه به افزایش آرگومان در Δ نامیده می شود. ایکس 0 (در صورت وجود این محدودیت).

برای نشان دادن مشتق یک تابع، از نمادها استفاده می کنیم y" (x 0) یا f"(x 0):

اگر در نقطه ای x 0حد (4.1) بی نهایت است:

سپس آنها می گویند که در نقطه x 0تابع f(ایکس) این دارد مشتق نامتناهی

اگر تابع f(ایکس) در هر نقطه از مجموعه یک مشتق دارد ایکس،سپس مشتق f"(x)همچنین تابعی از استدلال است ایکس،تعریف شده در ایکس.

معنای هندسی مشتق

برای روشن شدن معنای هندسی مشتق، باید مماس بر نمودار تابع را در یک نقطه مشخص تعیین کنیم.

تعریف 2. مماسبه نمودار تابع y = f(ایکس) در نقطه مموقعیت حدی سکنت نامیده می شود MN،نقطه چه زمانی است نبه یک نقطه تمایل دارد مدر امتداد منحنی f(ایکس).

بگذارید نکته مروی منحنی f(ایکس) با مقدار آرگومان مطابقت دارد x 0، و اشاره کنید N-مقدار آرگومان x 0 + Δ ایکس(شکل 4.1). از تعریف مماس چنین بر می آید که برای وجود آن در یک نقطه x 0لازم است حدی وجود داشته باشد که برابر با زاویه میل مماس بر محور باشد. اوه. از یک مثلث M.N.A.به دنبال آن است

اگر مشتق تابع f(ایکس) در نقطه x 0وجود دارد، سپس با توجه به (4.1)، به دست می آوریم

از این نتیجه روشنی حاصل می شود که مشتق f"(x 0) برابر ضریب زاویه ای (مماس زاویه تمایل به جهت مثبت محور Ox) مماس بر نمودار تابع y = f(ایکس) V نقطه م(x 0, f(x 0)). در این مورد، زاویه مماس از فرمول (4.2) تعیین می شود:

معنای فیزیکی مشتق

بیایید فرض کنیم که تابع l = f(تی) قانون حرکت یک نقطه مادی در یک خط مستقیم را به عنوان وابستگی مسیر توصیف می کند لاز زمان تیسپس تفاوت Δ l = f (t +Δ t) - f (t) -مسیر طی شده در بازه زمانی Δ است تیو نسبت Δ ل/Δ تی- سرعت متوسط ​​در طول زمان Δ تی. سپس حد تعیین می شود سرعت نقطه آنیدر یک نقطه از زمان تیبه عنوان مشتق مسیر با توجه به زمان.

در یک مفهوم خاص، مشتق تابع در = f(x)همچنین می تواند به عنوان نرخ تغییر یک تابع تفسیر شود: مقدار بیشتر است f"(ایکس، هر چه زاویه تمایل مماس به منحنی بیشتر باشد، نمودار شیب بیشتری دارد. f(ایکس) و عملکرد سریعتر رشد می کند.

مشتقات راست و چپ

با قیاس با مفاهیم حدود یک طرفه یک تابع، مفاهیم مشتقات راست و چپ یک تابع در یک نقطه معرفی می شوند.

تعریف 3. راست چپ)مشتق از یک تابع در = f(x)در نقطه x 0حد راست (چپ) رابطه (4.1) برای Δ نامیده می شود ایکس 0 اگر این محدودیت وجود داشته باشد.

نماد زیر برای نشان دادن مشتقات یک طرفه استفاده می شود:

اگر تابع f(ایکس) در نقطه دارد x 0مشتق، سپس مشتقات چپ و راست در این نقطه دارد که بر هم منطبق هستند.

مثالی از تابعی می زنیم که مشتقات یک طرفه ای در نقطه ای دارد که با هم برابر نیستند. این f(ایکس) = |ایکس|. در واقع، در نقطه x = 0ما داریم f' +(0) = 1, f" -(0) = -1 (شکل 4.2) و f' +(0) ≠ f’ -(0)، یعنی تابع هیچ مشتقی در ندارد ایکس = 0.

عملیات یافتن مشتق تابع را آن می گویند تفکیک؛تابعی که در نقطه ای مشتق داشته باشد نامیده می شود قابل تمایز

ارتباط بین تمایز پذیری و پیوستگی یک تابع در یک نقطه با قضیه زیر برقرار می شود.

قضیه 1 . اگر تابعی در یک نقطه x 0 متمایز باشد، در این نقطه پیوسته است.

عکس آن درست نیست: تابع f(ایکس، پیوسته در یک نقطه، ممکن است مشتقی در آن نقطه نداشته باشد. چنین مثالی تابع است در = |ایکس| در یک نقطه پیوسته است ایکس= 0، اما در این مرحله هیچ مشتقی ندارد.

بنابراین، نیاز تمایزپذیری یک تابع قوی‌تر از الزام تداوم است، زیرا دومی به طور خودکار از تابع اول پیروی می‌کند.

معادله مماس بر نمودار یک تابع در یک نقطه معین

همانطور که در بخش 3.9 بیان شد، معادله خطی که از یک نقطه می گذرد م(x 0, y 0) با شیب کبه نظر می رسد

اجازه دهید تابع داده شود در = f(ایکس). سپس از مشتق آن در نقطه ای م(x 0, y 0) شیب مماس بر نمودار این تابع در نقطه است م،پس از آن نتیجه می شود که معادله مماس بر نمودار تابع f(ایکس) در این مرحله دارای فرم است

مشتق تابع $y = f(x)$ در یک نقطه معین $x_0$، حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش متناظر آرگومان آن است، مشروط بر اینکه دومی به صفر گرایش داشته باشد:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

تمایز عملیات یافتن مشتق است.

جدول مشتقات برخی از توابع ابتدایی

قوانین اساسی تمایز

1. مشتق جمع (تفاوت) برابر است با مجموع (تفاوت) مشتقات.

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

مشتق تابع $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ را بیابید

مشتق یک جمع (تفاوت) برابر است با مجموع (تفاوت) مشتقات.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. مشتق محصول

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

مشتق $f(x)=4x cosx$ را بیابید

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. مشتق از ضریب

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

مشتق $f(x)=(5x^5)/(e^x)$ را بیابید

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. مشتق تابع مختلط برابر است با حاصل ضرب مشتق تابع خارجی و مشتق تابع داخلی.

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

معنای فیزیکی مشتق

اگر یک نقطه مادی به صورت مستقیم حرکت کند و مختصات آن بسته به زمان بر اساس قانون $x(t)$ تغییر کند، سرعت آنی این نقطه برابر با مشتق تابع است.

نقطه بر اساس قانون $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$ در امتداد خط مختصات حرکت می کند، که در آن $x(t)$ مختصات در زمان $t$ است. در چه نقطه ای از زمان سرعت نقطه برابر با 12 دلار خواهد بود؟

1. Speed ​​مشتق $x(t)$ است، پس بیایید مشتق تابع داده شده را پیدا کنیم.

$v(t) = x"(t) = 1.5 2t -3 = 3t -3$

2. برای اینکه بفهمیم سرعت $t$ در چه زمانی برابر با $12 بوده است، معادله را ایجاد و حل می کنیم:

معنای هندسی مشتق

به یاد بیاورید که معادله یک خط مستقیم که با محورهای مختصات موازی نیست را می توان به شکل $y = kx + b$ نوشت که $k$ شیب خط مستقیم است. ضریب $k$ برابر است با مماس زاویه میل بین خط مستقیم و جهت مثبت محور $Ox$.

مشتق تابع $f(x)$ در نقطه $х_0$ برابر با شیب $k$ مماس بر نمودار در این نقطه است:

بنابراین، می توانیم یک برابری کلی ایجاد کنیم:

$f"(x_0) = k = tanα$

در شکل، مماس بر تابع $f(x)$ افزایش می یابد، بنابراین ضریب $k > 0$ است. از آنجایی که $k > 0$، پس $f"(x_0) = tanα > 0$. زاویه $α$ بین مماس و جهت مثبت $Ox$ حاد است.

در شکل، مماس بر تابع $f(x)$ کاهش می یابد، بنابراین، ضریب $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

در شکل، مماس تابع $f(x)$ موازی با محور $Ox$ است، بنابراین، ضریب $k = 0$، بنابراین، $f"(x_0) = tan α = 0$. نقطه $x_0$ که در آن $f "(x_0) = 0$، فراخوانی شد نقاط بحرانی.

شکل، نمودار تابع $y=f(x)$ و مماس بر این نمودار را نشان می دهد که در نقطه ای با ابسیسا $x_0$ ترسیم شده است. مقدار مشتق تابع $f(x)$ را در نقطه $x_0$ پیدا کنید.

مماس بر نمودار افزایش می یابد، بنابراین، $f"(x_0) = tan α > 0$

برای پیدا کردن $f"(x_0)$، مماس زاویه میل بین مماس و جهت مثبت محور $Ox$ را پیدا می کنیم. برای این کار مماس بر مثلث $ABC$ را می سازیم.

بیایید مماس زاویه $BAC$ را پیدا کنیم. (مماس زاویه تند در مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4) = 0.25$

$f"(x_0) = tg BAC = 0.25$

پاسخ: 0.25 دلار

مشتق همچنین برای یافتن فواصل توابع افزایش و کاهش استفاده می شود:

اگر $f"(x) > 0$ در یک بازه، تابع $f(x)$ در این بازه افزایش می یابد.

اگر $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

شکل، نمودار تابع $y = f(x)$ را نشان می دهد. در بین نقاط $х_1,х_2,х_3...х_7$ نقاطی را پیدا کنید که مشتق تابع در آنها منفی است.

در پاسخ تعداد این نقاط را یادداشت کنید.

طرح:

1. مشتق یک تابع

2. تابع دیفرانسیل

3. کاربرد حساب دیفرانسیل در مطالعه توابع

مشتق تابع یک متغیر

اجازه دهید تابع در یک بازه زمانی مشخص تعریف شود. به آرگومان یک افزایش می دهیم: ، سپس تابع یک افزایش دریافت می کند. بیایید حد این نسبت را در اگر این حد وجود داشته باشد، آن را مشتق تابع می نامند. مشتق یک تابع دارای چندین نماد است: گاهی اوقات در علامت گذاری مشتق از یک شاخص استفاده می شود که نشان می دهد مشتق با توجه به کدام متغیر گرفته شده است.

تعریف.مشتق یک تابع در یک نقطه، حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان است زمانی که افزایش آرگومان به صفر میل می کند (اگر این حد وجود داشته باشد):

تعریف.تابعی که در هر نقطه از بازه مشتق داشته باشد نامیده می شود قابل تمایزدر این فاصله

تعریف.عملیات یافتن مشتق تابع نامیده می شود تفکیک.

مقدار مشتق یک تابع در یک نقطه با یکی از نمادها نشان داده می شود: .

مثال.مشتق تابع را در یک نقطه دلخواه پیدا کنید.

راه حل. ما مقدار را افزایش می دهیم. بیایید افزایش تابع را در نقطه: پیدا کنیم. بیایید یک رابطه ایجاد کنیم. بیایید به سمت حد حرکت کنیم: . بدین ترتیب، .

معنای مکانیکی مشتق. از آنجایی که یا، یعنی. سرعت حرکت مستقیم یک نقطه مادی در یک لحظه از زمان مشتق مسیر نسبت به زمان است. این هست معنای مکانیکی مشتق .

اگر تابعی هر فرآیند فیزیکی را توصیف کند، مشتق آن نرخ وقوع این فرآیند است. این هست معنای فیزیکی مشتق .

معنای هندسی مشتق. نموداری از یک منحنی پیوسته را در نظر بگیرید که دارای مماس غیر عمودی در یک نقطه است. بیایید ضریب زاویه ای آن را پیدا کنیم، زاویه مماس با محور کجاست. برای انجام این کار، یک خط برش از نقطه و نمودار رسم کنید (شکل 1).

اجازه دهید با - زاویه بین سکنت و محور را نشان دهیم. شکل نشان می دهد که ضریب زاویه ای سکنت برابر است با

هنگامی که به دلیل تداوم تابع، افزایش نیز به صفر میل می کند. بنابراین، نقطه به طور نامحدود به نقطه در امتداد منحنی نزدیک می شود، و سکنت، با چرخش به دور نقطه، تبدیل به مماس می شود. زاویه، یعنی . بنابراین، بنابراین شیب مماس برابر است با.

شیب مماس بر منحنی

ما این برابری را به این شکل بازنویسی می کنیم: , i.e. مشتق در یک نقطه برابر است با شیب مماس بر نمودار تابع در نقطه ای که آبسیس آن برابر است. این هست معنی هندسی مشتق .

اگر نقطه مماس دارای مختصاتی باشد (شکل 2)، ضریب زاویه ای مماس برابر است با: .

معادله خط مستقیمی که از نقطه معینی در جهت معین می گذرد به شکل زیر است: .

سپس معادله مماسبه شکل نوشته شده است: .

تعریف.خط مستقیم عمود بر مماس در نقطه تماس نامیده می شود نرمال به منحنی.

ضریب زاویه ای نرمال برابر است با: (از آنجایی که نرمال عمود بر مماس است).

معادله نرمال به شکل زیر است:، اگر .

با جایگزینی مقادیر یافت شده، معادلات مماس را به دست می آوریم، یعنی. .

معادله عادی: یا .

اگر تابعی در یک نقطه مشتق متناهی داشته باشد، در آن نقطه قابل تفکیک است. اگر یک تابع در هر نقطه از یک بازه قابل تمایز باشد، در آن بازه قابل تمایز است.

قضیه 6.1اگر تابعی در نقطه‌ای قابل تمایز باشد، در آنجا پیوسته است.

قضیه معکوس درست نیست. یک تابع پیوسته ممکن است مشتق نداشته باشد.

مثال.تابع در طول بازه پیوسته است (شکل 3).

راه حل.

مشتق این تابع برابر است با:

در یک نقطه - تابع قابل تمایز نیست.

اظهار نظر. در عمل، اغلب شما باید مشتقاتی از توابع پیچیده را پیدا کنید. بنابراین در جدول فرمول های تمایز، آرگومان با آرگومان میانی جایگزین می شود.

جدول مشتقات

ثابت

تابع توان :

2) به طور خاص؛

تابع نمایی:

3) به طور خاص؛

تابع لگاریتمی:

4) به طور خاص؛

توابع مثلثاتی:

توابع مثلثاتی معکوس , , , :

تمایز یک تابع به معنای یافتن مشتق آن است، یعنی حد را محاسبه کنیم: با این حال، تعیین حد در بیشتر موارد یک کار دست و پا گیر است.

اگر مشتق‌های توابع ابتدایی پایه را می‌دانید و قوانین تمایز نتایج عملیات حسابی روی این توابع را می‌دانید، طبق قوانین تعیین مشتقات که از دوره مدرسه کاملاً شناخته شده است، می‌توانید مشتقات هر توابع ابتدایی را به راحتی پیدا کنید. .

اجازه دهید توابع و دو تابع متمایز در یک بازه زمانی مشخص باشند.

قضیه 6.2مشتق مجموع (تفاوت) دو تابع برابر است با مجموع (تفاوت) مشتقات این توابع: .

این قضیه برای هر تعداد متناهی از جمله معتبر است.

مثال.مشتق تابع را بیابید.

راه حل.

قضیه 6.3مشتق حاصل ضرب دو تابع برابر است با حاصل ضرب مشتق عامل اول و دومی به اضافه حاصلضرب عامل اول و مشتق دومی: .

مثال.مشتق یک تابع را پیدا کنید .

راه حل.

قضیه 6.4مشتق ضریب دو تابع اگر برابر کسری باشد که صورت آن تفاضل حاصلضرب مخرج کسر و مشتق کسر و صورت کسره و مشتق مخرج است. و مخرج مربع مخرج سابق است: .

مثال.مشتق یک تابع را پیدا کنید .

راه حل. .

برای یافتن مشتق یک تابع مختلط، باید مشتق این تابع را با توجه به آرگومان میانی در مشتق آرگومان میانی با توجه به آرگومان مستقل ضرب کنید.

اگر چندین آرگومان میانی وجود داشته باشد، این قانون به قوت خود باقی می ماند. بنابراین، اگر،،، پس

اجازه دهید و سپس - یک تابع پیچیده با یک آرگومان میانی و یک آرگومان مستقل.

قضیه 6.5اگر یک تابع در یک نقطه مشتق داشته باشد و یک تابع در نقطه مربوطه مشتق داشته باشد، یک تابع مختلط در نقطه ای مشتق دارد که با فرمول پیدا می شود. , مشتق تابعی که با معادله داده می شود را بیابید: .

راه حل. تابع به طور ضمنی مشخص شده است. بیایید معادله را با توجه به . متمایز کنیم، به یاد داشته باشید که: . سپس می یابیم: .

اجازه دهید تابع در یک نقطه و مقداری از همسایگی آن تعریف شود. اجازه دهید به آرگومان افزایشی بدهیم به طوری که نقطه در محدوده تعریف تابع قرار گیرد. سپس تابع افزایش می یابد.

تعریف. مشتق تابع در یک نقطه حد نسبت افزایش تابع در این نقطه به افزایش آرگومان در (اگر این حد وجود داشته باشد و متناهی باشد) نامیده می شود.

مشخص کن: ،،،.

مشتق تابع در نقطه ای در سمت راست (چپ) تماس گرفت

(اگر این حد وجود داشته باشد و متناهی باشد).

مشخص شده توسط: - مشتق در نقطه سمت راست،

، مشتق در نقطه سمت چپ است.

بدیهی است که قضیه زیر درست است.

قضیه. یک تابع در یک نقطه مشتق دارد اگر و فقط اگر در این نقطه مشتقات تابع سمت راست و چپ وجود داشته باشند و با یکدیگر برابر باشند. علاوه بر این

قضیه زیر ارتباطی بین وجود مشتق تابع در یک نقطه و پیوستگی تابع در آن نقطه برقرار می کند.

قضیه (شرط لازم برای وجود مشتق از یک تابع در یک نقطه). اگر تابعی در نقطه ای مشتق داشته باشد، تابع آن نقطه پیوسته است.

اثبات

بگذار وجود داشته باشد. سپس

,

که در آن بی نهایت کوچک است.

اظهار نظر

مشتق از یک تابع و نشان دهند

تمایز عملکرد .

معنای هندسی و فیزیکی

1) معنای فیزیکی مشتق. اگر یک تابع و آرگومان آن کمیت های فیزیکی باشند، مشتق نرخ تغییر یک متغیر نسبت به متغیر در یک نقطه است. به عنوان مثال، اگر مسافت طی شده توسط یک نقطه از زمان باشد، مشتق آن سرعت در لحظه زمان است. اگر مقدار الکتریسیته ای است که در یک لحظه از مقطع هادی جریان می یابد، آنگاه میزان تغییر مقدار الکتریسیته در یک لحظه از زمان است، یعنی. قدرت فعلی در یک لحظه از زمان

2) معنای هندسی مشتق.

بگذارید مقداری منحنی باشد، یک نقطه روی منحنی باشد.

هر خط مستقیمی که حداقل دو نقطه را قطع کند نامیده می شود جدا کردن .

مماس بر یک منحنی در یک نقطه در صورتی که نقطه به سمت حرکت در امتداد منحنی حرکت کند، موقعیت حدی یک سکانس نامیده می شود.

از تعریف مشخص است که اگر مماس بر یک منحنی در یک نقطه وجود داشته باشد، آن نقطه تنها است.

یک منحنی (یعنی نمودار یک تابع) را در نظر بگیرید. بگذارید یک مماس غیر عمودی در یک نقطه داشته باشد. معادله آن: (معادله خط مستقیمی که از نقطه ای می گذرد و دارای ضریب زاویه ای است).

با تعریف شیب

زاویه تمایل خط مستقیم به محور کجاست.

اجازه دهید زاویه میل از سکنت به محور، که در آن. از آنجا که یک مماس است، پس چه زمانی

از این رو،

بنابراین، ما به آن رسیدیم – ضریب زاویه ای مماس بر نمودار تابع در نقطه(معنای هندسی مشتق تابع در یک نقطه). بنابراین، معادله مماس بر منحنی در یک نقطه را می توان به شکل نوشت

اظهار نظر . خط مستقیمی که از نقطه ای عمود بر مماس کشیده شده بر منحنی آن نقطه می گذرد نامیده می شود. نرمال به منحنی در نقطه . از آنجایی که ضرایب زاویه ای خطوط مستقیم عمود بر یک رابطه مرتبط هستند، معادله نرمال به منحنی در یک نقطه شکل خواهد داشت.

، اگر .

اگر، آنگاه مماس بر منحنی در نقطه شکل خواهد داشت

و عادی

معادلات مماس و نرمال

معادله مماس

اجازه دهید تابع با معادله داده شود y=f(ایکس) باید معادله را بنویسید مماسدر نقطه ایکس 0. از تعریف مشتق:

y/(ایکس)=limΔ ایکس→0Δ yΔ ایکس

Δ y=f(ایکس+Δ ایکس)−f(ایکس).

معادله مماسبه نمودار تابع: y=kx+ب (ک,ب=پایان). از معنای هندسی مشتق: f/(ایکس 0)=tgα= کزیرا ایکس 0 و f(ایکس 0)∈ خط مستقیم، سپس معادله مماسبه صورت نوشته شده است: y−f(ایکس 0)=f/(ایکس 0)(ایکس−ایکس 0) یا

y=f/(ایکس 0)· ایکس+f(ایکس 0)−f/(ایکس 0)· ایکس 0.

معادله نرمال

طبیعی- عمود بر مماس(تصویر را ببینید). بر این اساس:

tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 f/(ایکس 0)

زیرا زاویه شیب معمولی زاویه β1 است، پس داریم:

tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=-1 f/(ایکس).

نقطه ( ایکس 0,f(ایکس 0))∈ نرمال، معادله به شکل زیر است:

y−f(ایکس 0)=−1f/(ایکس 0)(ایکس−ایکس 0).

اثبات

بگذار وجود داشته باشد. سپس

,

که در آن بی نهایت کوچک است.

اما این بدان معنی است که در یک نقطه پیوسته است (به تعریف هندسی تداوم مراجعه کنید). ∎

اظهار نظر . تداوم یک تابع در یک نقطه شرط کافی برای وجود مشتق از این تابع در یک نقطه نیست. به عنوان مثال، یک تابع پیوسته است، اما هیچ مشتقی در یک نقطه ندارد. واقعا،

و بنابراین وجود ندارد.

بدیهی است که مکاتبات تابعی است که در مجموعه ای تعریف شده است. به او زنگ می زنند مشتق از یک تابع و نشان دهند

عملیات یافتن یک تابع تابع مشتق آن نامیده می شود تمایز عملکرد .

مشتق جمع و تفاوت

اجازه دهید توابع f(x) و g(x) که مشتقات آنها برای ما شناخته شده است، داده شوند. به عنوان مثال، می توانید توابع ابتدایی مورد بحث در بالا را انتخاب کنید. سپس می توانید مشتق حاصل از مجموع و تفاضل این توابع را پیدا کنید:

(f + g)' = f ' + g'

(f - g)' = f ' − g'

پس مشتق مجموع (تفاوت) دو تابع برابر با مجموع (تفاوت) مشتقات است. ممکن است شرایط بیشتری وجود داشته باشد. به عنوان مثال، (f + g + h)’ = f’ + g’ + h’.

به بیان دقیق، هیچ مفهومی از "تفریق" در جبر وجود ندارد. مفهوم "عنصر منفی" وجود دارد. بنابراین، تفاوت f - g را می توان به صورت مجموع f + (-1) g بازنویسی کرد و سپس فقط یک فرمول باقی می ماند - مشتق حاصل از مجموع.

در هواپیمای مختصات xOyنمودار تابع را در نظر بگیرید y=f(x). بیایید موضوع را درست کنیم M(x 0 ؛ f (x 0)). بیایید یک آبسیسا اضافه کنیم x 0افزایش Δx. ما یک آبسیسا جدید خواهیم گرفت x 0 + Δx. این ابسیسا نکته است ن، و ترتیب مساوی خواهد بود f (x 0 +Δx). تغییر در ابسیسا مستلزم تغییر در دستور بود. این تغییر تابع افزایش نامیده می شود و نشان داده می شود Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0).از طریق نقطه مو نبیایید یک سکانس بکشیم MN، که یک زاویه را تشکیل می دهد φ با جهت محور مثبت اوه. بیایید مماس زاویه را تعیین کنیم φ از مثلث قائم الزاویه MPN.

اجازه دهید Δxبه سمت صفر میل می کند. سپس سکنت MNتمایل به گرفتن موقعیت مماس دارد MT، و زاویه φ تبدیل به یک زاویه خواهد شد α . بنابراین، مماس زاویه α مقدار محدود مماس زاویه است φ :

حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان، زمانی که دومی به صفر میل می کند، مشتق تابع در یک نقطه معین نامیده می شود:

معنای هندسی مشتق در این واقعیت نهفته است که مشتق عددی تابع در یک نقطه معین برابر است با مماس زاویه تشکیل شده توسط مماس ترسیم شده از طریق این نقطه به منحنی داده شده و جهت مثبت محور. اوه:

مثال ها.

1. افزایش آرگومان و افزایش تابع y= را پیدا کنید x 2، اگر مقدار اولیه آرگومان برابر بود 4 و جدید - 4,01 .

راه حل.

مقدار آرگومان جدید x=x 0 +Δx. بیایید داده ها را جایگزین کنیم: 4.01=4+Δх، بنابراین آرگومان افزایش می یابد. Δx=4.01-4=0.01. افزایش یک تابع، طبق تعریف، برابر است با تفاوت بین مقادیر جدید و قبلی تابع، یعنی. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). از آنجایی که ما یک تابع داریم y=x2، آن Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

پاسخ: افزایش آرگومان Δx=0.01; افزایش تابع Δу=0,0801.

افزایش تابع را می توان متفاوت یافت: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. زاویه تمایل مماس بر نمودار تابع را پیدا کنید y=f(x)در نقطه x 0، اگر f "(x 0) = 1.

راه حل.

مقدار مشتق در نقطه مماس x 0و مقدار مماس زاویه مماس است (معنای هندسی مشتق). ما داریم: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45 درجه،زیرا tg45 درجه = 1.

پاسخ: مماس بر نمودار این تابع زاویه ای با جهت مثبت محور Ox برابر با 45 درجه.

3. فرمول مشتق تابع را استخراج کنید y=x n.

تفکیکعمل یافتن مشتق یک تابع است.

هنگام یافتن مشتقات، از فرمول هایی استفاده کنید که بر اساس تعریف مشتق مشتق شده اند، به همان روشی که فرمول درجه مشتق را استخراج کردیم: (x n)" = nx n-1.

اینها فرمول ها هستند.

جدول مشتقاتبا تلفظ فرمول های کلامی به خاطر سپردن آسان تر خواهد بود:

1. مشتق یک کمیت ثابت صفر است.

2. X اول برابر با یک است.

3. عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد.

4. مشتق یک درجه برابر است با حاصل ضرب توان این درجه یک درجه با پایه یکسان، اما توان یک کمتر است.

5. مشتق یک ریشه برابر است با یک تقسیم بر دو ریشه مساوی.

6. مشتق یک تقسیم بر x برابر است با منهای یک تقسیم بر x مربع.

7. مشتق سینوس برابر با کسینوس است.

8. مشتق کسینوس برابر با منهای سینوس است.

9. مشتق مماس برابر است با تقسیم بر مجذور کسینوس.

10. مشتق کوتانژانت برابر است با منهای یک تقسیم بر مجذور سینوس.

ما آموزش می دهیم قوانین تمایز.

1. مشتق جمع جبری برابر است با مجموع جبری مشتقات اصطلاحات.

2. مشتق یک محصول برابر است با حاصلضرب مشتق عامل اول و دوم به اضافه حاصلضرب عامل اول و مشتق عامل دوم.

3. مشتق "y" تقسیم بر "ve" برابر است با کسری که در آن صورت "y اول ضرب در "ve" منهای "y ضرب در ve اول" و مخرج "ve مجذور" است.

4. یک مورد خاص از فرمول 3.