تعریف طرح ریزی بر روی محورهای مختصات. پرتاب نیرو به محور. طرح مجموع بردار نیروها بر روی محور. طبقه بندی پیش بینی های برداری

آ. طرح نقطه A بر روی محور PQ (شکل 4) قاعده a از عمود کاهش یافته از یک نقطه معین به یک محور معین است. محوری که روی آن پروژکتور می کنیم، محور طرح ریزی نامیده می شود.

ب اجازه دهید دو محور و یک بردار A B داده شود که در شکل نشان داده شده است. 5.

بردارى كه ابتداى آن برآمده از ابتدا و انتهاى آن برآمده انتهاى اين بردار باشد، بردار A B بر محور PQ ناميده مى شود كه به اين صورت نوشته مى شود.

گاهی اوقات نشانگر PQ در پایین نوشته نمی شود؛ این کار در مواردی انجام می شود که به غیر از PQ، سیستم عامل دیگری وجود نداشته باشد که بتوان آن را طراحی کرد.

با. قضیه I. قدر بردارهایی که روی یک محور قرار دارند به اندازه بزرگی برآمدگی آنها بر هر محوری مرتبط است.

اجازه دهید محورها و بردارهای نشان‌داده‌شده در شکل 6 داده شوند. از شباهت مثلث‌ها مشخص است که طول بردارها با طول برجستگی‌هایشان مرتبط است، یعنی.

از آنجایی که بردارها در نقشه در جهت های مختلفی جهت گیری می شوند، اندازه آنها دارای علائم متفاوتی است، بنابراین،

بدیهی است که بزرگی پیش بینی ها نیز علائم مختلفی دارند:

با جایگزینی (2) به (3) به (1)، دریافت می کنیم

با معکوس کردن علائم، ما دریافت می کنیم

اگر بردارها به یک اندازه جهت باشند، پیش بینی آنها نیز در یک جهت خواهد بود. هیچ علامت منفی در فرمول های (2) و (3) وجود نخواهد داشت. با جایگزینی (2) و (3) به برابری (1)، بلافاصله برابری (4) را بدست می آوریم. بنابراین، قضیه برای همه موارد ثابت شده است.

د قضیه دوم. بزرگی برآمدگی یک بردار بر روی هر محوری برابر است با بزرگی بردار ضرب در کسینوس زاویه بین محور برجستگی ها و محور بردار. اجازه دهید محورها به صورت بردار داده شوند همانطور که در شکل نشان داده شده است. . 7. بردار را هم جهت محورش بسازیم و مثلاً از نقطه تلاقی محورها رسم کنیم. طول آن برابر با یک باشد. سپس قدر آن

فرافکنیبردار بر روی یک محور برداری است که از ضرب برجستگی اسکالر یک بردار بر روی این محور و بردار واحد این محور به دست می آید. برای مثال، اگر x- طرح ریزی اسکالربردار آبه محور X، سپس x من- طرح برداری برداری آن بر روی این محور.

بیایید نشان دهیم طرح برداری برداریهمانند خود بردار، اما با شاخص محوری که بردار روی آن تابیده می شود. بنابراین، طرح برداری برداری از بردار آدر محور X که نشان می دهیم آایکس ( چربیحرفی که بردار و زیرنویس نام محور را نشان می دهد) یا (حرفی غیر پررنگ که نشان دهنده بردار است، اما با فلش در بالا (!) و زیرنویس نام محور).

طرح ریزی اسکالربردار در هر محور نامیده می شود عدد، که قدر مطلق آن برابر است با طول قطعه محور (در مقیاس انتخاب شده) محصور بین پیش بینی های نقطه شروع و نقطه پایان بردار. معمولا به جای بیان طرح ریزی اسکالرآنها به سادگی می گویند - طرح ریزی. طرح ریزی با همان حرف بردار پیش بینی شده (در نوشتار معمولی و غیر پررنگ) با شاخص پایین تر (به عنوان یک قاعده) از نام محوری که این بردار روی آن پیش بینی می شود نشان داده می شود. به عنوان مثال، اگر بردار بر روی محور X پیش بینی شود آ،سپس طرح آن با x نشان داده می شود. هنگامی که همان بردار را بر روی یک محور دیگر پرتاب می کنیم، اگر محور Y باشد، برآمدگی آن با y نشان داده می شود.

برای محاسبه پیش بینی برداردر یک محور (مثلاً محور X) باید مختصات نقطه شروع را از مختصات نقطه پایانی آن کم کرد، یعنی
a x = x k − x n.
طرح ریزی یک بردار روی یک محور یک عدد است.علاوه بر این، اگر مقدار x k بزرگتر از مقدار x n باشد، پیش بینی می تواند مثبت باشد.

اگر مقدار x k کمتر از مقدار x n باشد منفی است

و برابر صفر اگر x k برابر x n باشد.

با دانستن مدول بردار و زاویه ای که با این محور ایجاد می کند، می توان طرح یک بردار را بر روی یک محور نیز یافت.

از شکل مشخص است که a x = a Cos α

یعنی طرح بردار بر روی محور برابر است با حاصل ضرب مدول بردار و کسینوس زاویه بین جهت محور و جهت برداری. اگر زاویه حاد است، پس
Cos α > 0 و a x > 0، و اگر منفرد باشد، کسینوس زاویه منفذ منفی است و بردار بر روی محور نیز منفی خواهد بود.

زوایای اندازه گیری شده از محور در خلاف جهت عقربه های ساعت مثبت و زوایای اندازه گیری شده در امتداد محور منفی در نظر گرفته می شوند. با این حال، از آنجایی که کسینوس یک تابع زوج است، یعنی Cos α = Cos (-α)، هنگام محاسبه پیش بینی ها، زاویه ها را می توان هم در جهت عقربه های ساعت و هم در خلاف جهت عقربه های ساعت شمارش کرد.

برای یافتن طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور، مدول این بردار باید در کسینوس زاویه بین جهت محور و جهت بردار ضرب شود.

مختصات برداری- ضرایب تنها ترکیب خطی ممکن از بردارهای پایه در سیستم مختصات انتخاب شده، برابر با بردار داده شده.

مختصات بردار کجاست.

حاصلضرب عددیبردارها

حاصل ضرب اسکالر بردارها[- در ابعاد محدود فضای برداریبه عنوان مجموع حاصل ضرب اجزای یکسان تعریف می شود بردارها.

برای مثال S.p.v. آ = (آ 1 , ..., a n) و ب = (ب 1 , ..., b n):

(آ , ب ) = آ 1 ب 1 + آ 2 ب 2 + ... + a n b n

پاسخ:

خواص فرافکنی:

ویژگی های بردار پروجکشن

ملک 1.

طرح ریزی مجموع دو بردار بر روی یک محور برابر است با مجموع برآمدگی بردارها بر روی همان محور:

این ویژگی به شما این امکان را می دهد که طرح مجموع بردارها را با مجموع پیش بینی آنها جایگزین کنید و بالعکس.

ملک 2.اگر یک بردار در عدد λ ضرب شود، طرح آن بر روی محور نیز در این عدد ضرب می شود:

ملک 3.

طرح ریزی بردار بر روی محور l برابر است با حاصل ضرب مدول بردار و کسینوس زاویه بین بردار و محور:

محور ارث. تجزیه یک بردار در بردارهای واحد مختصات. مختصات برداری مختصات خواص

پاسخ:

بردارهای واحد محورها.

یک سیستم مختصات مستطیلی (از هر بعد) نیز با مجموعه ای از بردارهای واحد که با محورهای مختصات تراز شده اند توصیف می شود. تعداد بردارهای واحد برابر با بعد دستگاه مختصات است و همگی بر یکدیگر عمود هستند.

در حالت سه بعدی معمولاً بردارهای واحد مشخص می شوند

و نمادهای فلش و همچنین ممکن است استفاده شود.

علاوه بر این، در مورد یک سیستم مختصات راست دست، فرمول های زیربا محصولات برداری بردارها:

تجزیه یک بردار در بردارهای واحد مختصات.

بردار واحد محور مختصات را با، محورها، محورها را با (شکل 1) نشان می دهند.

برای هر بردار که در صفحه قرار دارد، بسط زیر رخ می دهد:

اگر بردار در فضا واقع شده است، سپس انبساط در بردارهای واحد محورهای مختصات به شکل زیر است:

مختصات برداری:

برای محاسبه مختصات یک بردار، با دانستن مختصات (x1; y1) ابتدای آن A و مختصات (x2; y2) انتهای آن B، باید مختصات ابتدا را از مختصات انتهای آن کم کنید: x2 - x1؛ y2 - y1).

خواص مختصات.

یک خط مختصات با مبدا در نقطه O و بردار واحد i در نظر بگیرید. سپس برای هر بردار a در این خط: a = محور.

محور عددی مختصات بردار a در محور مختصات نامیده می شود.

ملک 1.هنگام اضافه کردن بردارها بر روی یک محور، مختصات آنها اضافه می شود.

ملک 2.وقتی یک بردار در یک عدد ضرب می شود، مختصات آن در آن عدد ضرب می شود.

حاصل ضرب نقطه ای بردارها. خواص.

پاسخ:

حاصل ضرب اسکالر دو بردار غیر صفر عدد است

برابر حاصلضرب این بردارها و کسینوس زاویه بین آنهاست.

خواص:

1. حاصلضرب اسکالر خاصیت جابجایی دارد: ab=ba

حاصلضرب عددی بردارهای واحد مختصات. تعیین حاصل ضرب اسکالر بردارهای مشخص شده توسط مختصات آنها.

پاسخ:

حاصل ضرب نقطه ای (×) بردارهای واحد

(ایکس)	من	جی	ک
من
جی
ک

تعیین حاصل ضرب اسکالر بردارهای مشخص شده توسط مختصات آنها.

حاصل ضرب اسکالر دو بردار و با مختصات آنها را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد

حاصلضرب متقاطع دو بردار. ویژگی های یک محصول برداری

پاسخ:

سه بردار غیرهمسطح یک سه بردار راست را تشکیل می دهند اگر از انتهای بردار سوم، چرخش از بردار اول به بردار دوم در خلاف جهت عقربه های ساعت انجام شود. اگر در جهت عقربه های ساعت است، سپس چپ. اگر نه، در جهت مخالف ( نشان دهید که او چگونه با "دسته" نشان داد)

حاصل ضرب یک بردار آبه بردار ببردار نامیده می شود از کدام:

1. عمود بر بردارها آو ب

2. دارای طول، عددی برابر مساحتمتوازی الاضلاع تشکیل شده در آو ببردارها

3. بردارها، الف، ب، و جیک سه گانه سمت راست از بردارها را تشکیل می دهند

خواص:

حاصلضرب برداری بردارهای واحد مختصات. تعیین حاصلضرب برداری بردارهایی که با مختصات آنها مشخص شده اند.

پاسخ:

حاصلضرب برداری بردارهای واحد مختصات.

تعیین حاصلضرب برداری بردارهایی که با مختصات آنها مشخص شده اند.

اجازه دهید بردارهای a = (x1; y1; z1) و b = (x2; y2; z2) با مختصات آنها در سیستم مختصات دکارتی مستطیلی O, i, j, k و سه i, j, k است. راست دست.

بیایید a و b را به بردارهای پایه گسترش دهیم:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k، b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

با استفاده از ویژگی های حاصلضرب بردار، به دست می آوریم

[آ؛ b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

با تعریف یک محصول برداری می یابیم

= 0، = k، = - j،

= - k، = 0، = i،

= j، = - i. = 0.

با در نظر گرفتن این برابری ها، فرمول (1) را می توان به صورت زیر نوشت:

[آ؛ b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[آ؛ b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

فرمول (2) بیانی برای حاصل ضرب برداری دو بردار مشخص شده توسط مختصات آنها می دهد.

فرمول به دست آمده دست و پا گیر است. با استفاده از نمادهای تعیین کننده، می توانید آن را به شکل دیگری بنویسید که برای به خاطر سپردن راحت تر است:

معمولاً فرمول (3) حتی کوتاهتر نوشته می شود:

ابتدا بیایید به یاد بیاوریم که چیست محور مختصات, طرح ریزی یک نقطه بر روی یک محورو مختصات یک نقطه روی محور.

محور مختصات- این یک خط مستقیم است که به آن جهت داده می شود. شما می توانید آن را به عنوان یک بردار با مدول بی نهایت بزرگ در نظر بگیرید.

محور مختصاتبا حروف X، Y، Z، s، t... معمولاً نقطه ای در محور انتخاب می شود (به طور دلخواه) که به آن مبدا می گویند و قاعدتاً با حرف O نشان داده می شود. فاصله تا سایر نقاط مورد علاقه ما اندازه گیری می شود.

طرح ریزی یک نقطه بر روی یک محور- این پایه عمودی است که از این نقطه به این محور پایین می آید (شکل 8). یعنی طرح یک نقطه بر روی محور یک نقطه است.

مختصات نقطه روی محور- این عددی است که مقدار مطلق آن برابر است با طول بخش محور (در مقیاس انتخاب شده) موجود بین مبدا محور و طرح نقطه بر روی این محور. این عدد در صورتی که برآمدگی نقطه در جهت محور از مبدأ آن قرار گیرد با علامت مثبت و اگر در جهت مخالف باشد با علامت منفی گرفته می شود.

طرح ریزی اسکالر یک بردار بر روی یک محور- این عدد، که قدر مطلق آن برابر است با طول قطعه محور (در مقیاس انتخاب شده) محصور بین پیش بینی های نقطه شروع و نقطه پایان بردار. مهم! معمولا به جای بیان طرح ریزی اسکالر یک بردار بر روی یک محورآنها به سادگی می گویند - طرح ریزی بردار بر روی محور، یعنی کلمه اسکالرپایین آورد. طرح ریزی برداریبا همان حرف بردار پیش بینی شده (در نوشتار معمولی و غیر پررنگ)، با شاخص کمتر (به عنوان یک قاعده) از نام محوری که این بردار روی آن نمایش داده می شود، نشان داده می شود. به عنوان مثال، اگر بردار بر روی محور X پیش بینی شود آ،سپس طرح آن با x نشان داده می شود. هنگامی که همان بردار را بر روی یک محور دیگر، مثلاً محور Y، نشان می‌دهید، برجستگی آن با y نشان داده می‌شود (شکل 9).

برای محاسبه طرح ریزی بردار بر روی محور(مثلا محور X)، باید مختصات نقطه شروع را از مختصات نقطه پایانی آن کم کرد، یعنی

a x = x k − x n.

ما باید به یاد داشته باشیم: طرح اسکالر یک بردار بر روی یک محور (یا، به سادگی، طرح یک بردار بر روی یک محور) یک عدد است (نه بردار)!علاوه بر این، اگر مقدار x k بزرگتر از مقدار x n باشد، طرح می تواند مثبت باشد، اگر مقدار x k کمتر از مقدار x n باشد، و اگر x k برابر با x n باشد، برابر با صفر باشد (شکل 10).

با دانستن مدول بردار و زاویه ای که با این محور ایجاد می کند، می توان طرح یک بردار را بر روی یک محور نیز یافت.

از شکل 11 مشخص است که a x = a Cos α

یعنی پرتاب بردار بر روی محور برابر است با حاصل ضرب مدول بردار و کسینوس زاویه. بین جهت محور و جهت برداری. اگر زاویه تند باشد، Cos α > 0 و a x > 0، و اگر منفرد باشد، کسینوس زاویه منفذ منفی است و برآمدگی بردار بر روی محور نیز منفی خواهد بود.

هنگام حل مسائل، اغلب از ویژگی های زیر استفاده می شود: if

آ = ب + ج +…+ د، سپس a x = b x + c x +…+ d x (مشابه سایر محورها)،

آ= متر ب، سپس a x = mb x (به طور مشابه برای محورهای دیگر).

فرمول a x = a Cos α خواهد بود غالباهنگام حل مشکلات رخ می دهد، بنابراین شما قطعا باید آن را بدانید. شما باید قانون تعیین پروجکشن را بدانید ازبر!

یاد آوردن!

یک بار دیگر - با قلب!

توصیف برداری از حرکت مفید است، زیرا در یک نقاشی همیشه می توانید بسیاری از بردارهای مختلف را به تصویر بکشید و "تصویر" بصری حرکت را در مقابل چشمان خود دریافت کنید. با این حال، استفاده از خط کش و نقاله در هر بار برای انجام عملیات با بردارها بسیار کار بر است. بنابراین، این اقدامات به اقدامات مثبت و اعداد منفی- پیش بینی بردارها.

طرح ریزی بردار بر روی محورکمیت اسکالر برابر حاصل ضرب مدول بردار پیش بینی شده و کسینوس زاویه بین جهات بردار و محور مختصات انتخاب شده نامیده می شود.

نقشه سمت چپ یک بردار جابجایی را نشان می دهد که ماژول آن 50 کیلومتر است و جهت آن شکل می گیرد زاویه مبهم 150 درجه با جهت محور X. با استفاده از تعریف، پیش بینی جابجایی بر روی محور X را پیدا می کنیم:

sx = s cos(α) = 50 کیلومتر cos(150 درجه) = -43 کیلومتر

از آنجایی که زاویه بین محورها 90 درجه است، به راحتی می توان محاسبه کرد که جهت حرکت یک زاویه حاد 60 درجه با جهت محور Y تشکیل می دهد. با استفاده از تعریف، پیش بینی جابجایی روی محور Y را پیدا می کنیم:

sy = s cos(β) = 50 کیلومتر cos(60 درجه) = +25 کیلومتر

همانطور که می بینید، اگر جهت بردار یک زاویه حاد با جهت محور تشکیل دهد، طرح ریزی مثبت است. اگر جهت بردار با جهت محور زاویه منفرد تشکیل دهد، برآمدگی منفی است.

رسم سمت راست یک بردار سرعت را نشان می دهد که ماژول آن 5 متر بر ثانیه است و جهت با جهت محور X زاویه 30 درجه تشکیل می دهد. بیایید برآمدگی ها را پیدا کنیم:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4.3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = -2.5 m/s

اگر بردارهای پیش بینی شده موازی یا عمود بر محورهای انتخاب شده باشند، یافتن پیش بینی بردارها روی محورها بسیار ساده تر است. لطفاً توجه داشته باشید که برای حالت موازی دو گزینه امکان پذیر است: بردار هم جهت با محور و بردار مخالف محور و برای حالت عمود بودن فقط یک گزینه وجود دارد.

طرح یک بردار عمود بر محور همیشه صفر است (به sy و ay در نقاشی سمت چپ و sx و υx را در نقاشی سمت راست ببینید). در واقع، برای یک بردار عمود بر محور، زاویه بین آن و محور 90 درجه است، بنابراین کسینوس صفر است، به این معنی که برآمدگی صفر است.

طرح ریزی یک بردار هم جهت با محور مثبت و برابر با مقدار مطلق آن است، برای مثال sx= +s (نقشه سمت چپ را ببینید). در واقع، برای یک بردار هم جهت با محور، زاویه بین آن و محور صفر است و کسینوس آن "+1" است، یعنی برآمدگی برابر با طول بردار است: sx = x - xo = + s .

طرح بردار مقابل محور منفی است و برابر است با ماژول آن که با علامت منفی گرفته شده است، برای مثال sy = –s (نقشه سمت راست را ببینید). در واقع، برای یک بردار مخالف محور، زاویه بین آن و محور 180 درجه است و کسینوس آن "-1" است، یعنی برآمدگی برابر است با طول بردار گرفته شده با علامت منفی: sy = y – yo = –s .

سمت راست هر دو نقشه موارد دیگری را نشان می دهد که بردارها موازی با یکی از محورهای مختصات و عمود بر دیگری هستند. ما از شما دعوت می کنیم تا مطمئن شوید که در این موارد نیز قوانین فرموله شده در پاراگراف های قبلی رعایت می شود.