مشتقات مرتبه بالاتر

در این درس می آموزیم که چگونه مشتقات مرتبه های بالاتر را پیدا کنیم و همچنین بنویسیم فرمول کلیمشتق "nth". علاوه بر این، فرمول لایب نیتس برای چنین مشتقاتی و بر اساس تقاضای عمومی، مشتقات مرتبه بالاتر از عملکرد ضمنی. من به شما پیشنهاد می کنم فوراً یک تست کوچک انجام دهید:

در اینجا تابع است: و در اینجا اولین مشتق آن است:

اگر در مورد این مثال مشکلی / سردرگمی دارید، لطفاً با دو مقاله اصلی دوره من شروع کنید: چگونه مشتق را پیدا کنیم؟و مشتق تابع مختلط. پس از تسلط بر مشتقات ابتدایی، توصیه می کنم درس را بخوانید ساده ترین مشکلات با مشتقات، که به ویژه به آن پرداختیم مشتق دوم.

حتی حدس زدن اینکه مشتق دوم مشتق مشتق اول است دشوار نیست:

در اصل، مشتق دوم قبلاً یک مشتق مرتبه بالاتر در نظر گرفته می شود.

به همین ترتیب: مشتق سوم مشتق مشتق دوم است:

مشتق چهارم مشتق مشتق سوم است:

مشتق پنجم: و بدیهی است که تمام مشتقات مرتبه بالاتر نیز برابر با صفر خواهند بود:

علاوه بر شماره گذاری رومی، نمادهای زیر اغلب در عمل استفاده می شوند:
، مشتق ترتیب "n" با نشان داده می شود. در این حالت، بالانویس باید در داخل پرانتز قرار گیرد- برای تشخیص مشتق از "y" در درجه.

گاهی اوقات چیزی شبیه به این می بینید: – به ترتیب مشتقات سوم، چهارم، پنجم، ...، nth.

بدون ترس و شک به جلو:

مثال 1

تابع داده شده است. پیدا کردن .

راه حل: چی میتونی بگی... - برو مشتق چهارم :)

دیگر قرار دادن چهار ضربه مرسوم نیست، بنابراین به شاخص های عددی می رویم:

پاسخ:

خوب، حالا بیایید به این سؤال فکر کنیم: اگر شرط مستلزم یافتن نه 4، بلکه برای مثال، مشتق بیستم باشد، چه باید کرد؟ اگر برای مشتق 3-4-5 (حداکثر 6-7)مرتبه بزرگی، راه حل به سرعت رسمیت می یابد، پس ما به زودی به مشتقات مرتبه های بالاتر نخواهیم رسید. در واقع، 20 خط را یادداشت نکنید! در چنین شرایطی، باید چندین مشتق یافت شده را تجزیه و تحلیل کنید، الگو را ببینید و فرمولی برای مشتق «n» ایجاد کنید. بنابراین، در مثال شماره 1 به راحتی می توان فهمید که با هر تمایز بعدی یک "سه" اضافی در مقابل توان نمایان می شود و در هر مرحله درجه "سه" برابر است با تعداد مشتق، بنابراین:

یک عدد طبیعی دلخواه کجاست.

و در واقع، اگر، آنگاه دقیقاً مشتق 1 به دست می آید: ، اگر - سپس 2nd: و غیره. بنابراین، مشتق بیستم فوراً تعیین می شود: - و بدون "ورق های کیلومتری"!

گرم کردن خود به خود:

مثال 2

توابع را پیدا کنید مشتق سفارش را بنویسید

راه حل و پاسخ در پایان درس است.

پس از یک گرم کردن نیروبخش، موارد بیشتری را بررسی خواهیم کرد نمونه های پیچیده، که در آن الگوریتم حل بالا را کار خواهیم کرد. برای کسانی که توانستند با درس آشنا شوند محدودیت توالی، کمی ساده تر خواهد بود:

مثال 3

برای تابع پیدا کنید.

راه حل: برای روشن شدن وضعیت، بیایید چندین مشتق پیدا کنیم:

ما عجله ای برای ضرب اعداد حاصل نداریم! ;-)


شاید همین کافی باشد. ...حتی کمی زیاده روی کردم.

گام بعدی بهتر است فرمول مشتق "n" را ایجاد کنید (اگر شرایط به این نیاز ندارد، می توانید با یک پیش نویس از پس آن برآیید). برای انجام این کار، به نتایج به دست آمده نگاه می کنیم و الگوهایی را که هر مشتق بعدی با آن به دست می آید، شناسایی می کنیم.

اولاً آنها متناوب می شوند. هم ترازی تضمین می کند "چراغ چشمک زن"و از آنجایی که مشتق 1 مثبت است، فاکتور زیر وارد فرمول کلی می شود: . یک گزینه معادل نیز کار می کند، اما شخصا، به عنوان یک خوش بین، من عاشق علامت مثبت =)

ثانیاً ، در صورت حساب "باد بالا می رود" فاکتوریل، و یک واحد از عدد مشتق عقب تر است:

و ثالثاً قدرت "دو" در صورتگر افزایش می یابد که برابر با عدد مشتق است. همین را می توان در مورد درجه مخرج نیز گفت. سرانجام:

برای بررسی، اجازه دهید چند مقدار "en" را جایگزین کنیم، برای مثال، و:

عالی است، اکنون اشتباه کردن به سادگی یک گناه است:

پاسخ:

یک تابع ساده تر برای تصمیم مستقل:

مثال 4

توابع را پیدا کنید

و یک مشکل جالب تر:

مثال 5

توابع را پیدا کنید

بیایید یک بار دیگر این روش را تکرار کنیم:

1) ابتدا چندین مشتق پیدا می کنیم. برای گرفتن الگوها معمولاً سه یا چهار مورد کافی است.

2) سپس من به شدت توصیه می کنم آن را درست کنید (حداقل به صورت پیش نویس)مشتق "n" - تضمین شده است که از شما در برابر خطا محافظت می کند. اما شما می توانید بدون آن، یعنی. به طور ذهنی تخمین بزنید و فوراً مثلاً مشتق بیستم یا هشتم را یادداشت کنید. علاوه بر این، برخی از افراد به طور کلی قادر به حل مشکلات مورد بحث به صورت شفاهی هستند. با این حال، باید به یاد داشته باشید که روش های "سریع" پرمشغله هستند و بهتر است ایمن باشید.

3) در مرحله نهایی، مشتق "nth" را بررسی می کنیم - یک جفت مقدار "nth" (ترجیحاً همسایه) را می گیریم و جایگزینی را انجام می دهیم. و بررسی تمام مشتقات قبلاً یافت شده حتی قابل اعتمادتر است. سپس آن را به عنوان مثال با مقدار دلخواه جایگزین می کنیم یا نتیجه را با دقت شانه می کنیم.

راه حل سریع 4 و 5 مثال در پایان درس.

در برخی از کارها، برای جلوگیری از مشکلات، باید کمی جادو روی عملکرد انجام دهید:

مثال 6

راه حل: من اصلاً نمی‌خواهم تابع پیشنهادی را متمایز کنم، زیرا منجر به یک کسر «بد» می‌شود که یافتن مشتقات بعدی را بسیار پیچیده می‌کند.

در این راستا، انجام تحولات اولیه توصیه می شود: استفاده می کنیم فرمول اختلاف مربعو خاصیت لگاریتم :

موضوع کاملاً متفاوت است:

و دوستان قدیمی:

فکر می کنم همه چیز در حال بررسی است. لطفاً توجه داشته باشید که کسر 2 علامت متناوب دارد، اما کسری 1 نه. مشتق سفارش را می سازیم:

کنترل:

خوب، برای زیبایی، بیایید فاکتوریل را از پرانتز خارج کنیم:

پاسخ:

کار جالبیهبرای راه حل مستقل:

مثال 7

فرمول مشتق ترتیب تابع را بنویسید

و اکنون در مورد تضمین متقابل تزلزل ناپذیری که حتی مافیای ایتالیایی نیز به آن حسادت می‌کنند:

مثال 8

تابع داده شده است. پیدا کردن

مشتق هجدهم در نقطه. فقط

راه حل: ابتدا، بدیهی است که باید پیدا کنید. برو:

از سینوس شروع کردیم و به سینوس ختم شدیم. واضح است که با تمایز بیشتر این چرخه به طور نامحدود ادامه خواهد داشت و این سؤال مطرح می شود: بهترین راه برای "رسیدن" به مشتق هجدهم چیست؟

روش "آماتور": به سرعت اعداد مشتقات بعدی را در ستون سمت راست بنویسید:

بدین ترتیب:

اما این کار در صورتی کار می کند که ترتیب مشتق خیلی بزرگ نباشد. اگر می خواهید مثلاً مشتق صدم را پیدا کنید، باید از بخش پذیری بر 4 استفاده کنید. صد بدون باقیمانده بر 4 بخش پذیر است و به راحتی می توان فهمید که چنین اعدادی در خط پایین قرار دارند، بنابراین: .

به هر حال، مشتق 18 را نیز می توان از ملاحظات مشابه تعیین کرد:
خط دوم شامل اعدادی است که با باقیمانده 2 بر 4 بخش پذیرند.

روش آکادمیک‌تر دیگری مبتنی بر آن است تناوب سینوسیو فرمول های کاهش. ما از فرمول آماده برای مشتق "n" سینوس استفاده می کنیم ، که عدد مورد نظر به سادگی جایگزین می شود. مثلا:
(فرمول کاهش ) ;
(فرمول کاهش )

در مورد ما:

(1) از آنجایی که سینوس است تابع دوره ایبا پریود، آرگومان را می توان بدون دردسر 4 دوره (یعنی ) "باز کرد".

مشتق ترتیب حاصل ضرب دو تابع را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

به خصوص:

نیازی به به خاطر سپردن چیزی نیست، زیرا هر چه فرمول های بیشتری را بدانید، کمتر متوجه می شوید. آشنایی با آن بسیار مفیدتر است دوجمله ای نیوتن، از آنجایی که فرمول لایب نیتس بسیار بسیار شبیه به آن است. خوب، آن افراد خوش شانسی که مشتقی از سفارشات هفتم یا بالاتر را دریافت می کنند (که واقعا بعید است)، مجبور به انجام این کار خواهد شد. با این حال، زمانی که نوبت می رسد ترکیبیات- پس هنوز باید =)

بیایید مشتق سوم تابع را پیدا کنیم. ما از فرمول لایب نیتس استفاده می کنیم:

که در در این مورد: . خواندن مشتقات به صورت شفاهی آسان است:

اکنون با دقت و با دقت تعویض را انجام دهید و نتیجه را ساده کنید:

پاسخ:

یک کار مشابه برای راه حل مستقل:

مثال 11

ویژگی ها را پیدا کنید

اگر در مثال قبلی راه‌حل «هدر رو» همچنان با فرمول لایب‌نیتس رقابت می‌کرد، در اینجا واقعاً ناخوشایند خواهد بود. و حتی ناخوشایندتر - در مورد مشتق مرتبه بالاتر:

مثال 12

مشتق ترتیب مشخص شده را بیابید

راه حل: نکته اول و قابل توجه این است که احتمالاً نیازی نیست اینگونه تصمیم بگیرید =) =)

بیایید توابع را بنویسیم و مشتقات آنها را تا مرتبه 5 فراگیر پیدا کنیم. من فرض می کنم که مشتقات ستون سمت راست برای شما شفاهی شده است:

در ستون سمت چپ، مشتقات "زنده" به سرعت به پایان رسید و این بسیار خوب است - سه عبارت در فرمول لایبنیتس به صفر بازنشانی می شود:

اجازه دهید دوباره روی معضلی که در مقاله در مورد آن ظاهر شد، صحبت کنم مشتقات پیچیده: آیا باید نتیجه را ساده کنم؟ در اصل، شما می توانید آن را به این ترتیب ترک کنید - بررسی آن برای معلم حتی آسان تر خواهد بود. اما او ممکن است خواستار نهایی شدن این تصمیم شود. از سوی دیگر، ساده سازی به ابتکار خود مملو از خطاهای جبری است. با این حال، ما پاسخی داریم که به روش "ابتدایی" به دست آمده است =) (به لینک در ابتدا مراجعه کنید)و امیدوارم درست باشه:

عالیه همه چی جمع شد

پاسخ:

کار مبارک برای راه حل مستقل:

مثال 13

برای عملکرد:
الف) با تمایز مستقیم پیدا کنید.
ب) با استفاده از فرمول لایب نیتس پیدا کنید.
ج) محاسبه کنید.

نه، من اصلاً سادیست نیستم - نقطه "الف" در اینجا بسیار ساده است =)

اما به طور جدی، راه حل "مستقیم" با تمایز متوالی نیز "حق زندگی" دارد - در برخی موارد پیچیدگی آن با پیچیدگی استفاده از فرمول لایب نیتس قابل مقایسه است. اگر مناسب می دانید استفاده کنید - بعید است که این دلیلی برای شکست دادن تکلیف باشد.

راه حل و پاسخ کوتاه در پایان درس.

برای بالا بردن پاراگراف پایانی باید بتوانید تمایز توابع ضمنی:

مشتقات مرتبه بالاتر توابع به طور ضمنی مشخص شده اند

بسیاری از ما ساعت ها، روزها و هفته های طولانی از زندگی خود را صرف مطالعه کرده ایم حلقه ها, سهمی ها, هذلولی- و گاهی اوقات حتی یک مجازات واقعی به نظر می رسید. پس بیایید انتقام بگیریم و آنها را به درستی متمایز کنیم!

بیایید با سهمی "مدرسه" در آن شروع کنیم موقعیت متعارف:

مثال 14

معادله داده شده است. پیدا کردن .

راه حل: قدم اول آشناست:

این که تابع و مشتق آن به طور ضمنی بیان می شود، جوهر موضوع را تغییر نمی دهد؛ مشتق دوم مشتق مشتق اول است:

با این حال، قوانین بازی وجود دارد: معمولاً مشتقات مرتبه دوم و بالاتر بیان می شوند فقط از طریق "X" و "Y". بنابراین، : را با مشتق دوم به دست آمده جایگزین می کنیم:

مشتق سوم مشتق مشتق دوم است:

به طور مشابه، بیایید جایگزین کنیم:

پاسخ:

"مدرسه" هذلولی در موقعیت متعارف- برای کار مستقل:

مثال 15

معادله داده شده است. پیدا کردن .

تکرار می کنم که مشتق دوم و نتیجه را فقط باید از طریق "x" / "y" بیان کرد!

راه حل و پاسخ کوتاه در پایان درس.

پس از شوخی های کودکان، اجازه دهید نگاهی به پورنوگرافی آلمانی بیندازیم، بیایید به نمونه های بزرگسالان بیشتری نگاه کنیم، که از آنها راه حل مهم دیگری را یاد خواهیم گرفت:

مثال 16

بیضیخودش

راه حل: بیایید مشتق 1 را پیدا کنیم:

حالا بیایید بایستیم و نکته بعدی را تحلیل کنیم: اکنون باید کسری را متمایز کنیم که اصلاً خوشایند نیست. در این مورد، البته، ساده است، اما در مشکلات زندگی واقعی، چنین هدایایی بسیار کم است. آیا راهی برای جلوگیری از یافتن مشتق دست و پا گیر وجود دارد؟ وجود دارد! ما معادله را می گیریم و از همان تکنیکی استفاده می کنیم که مشتق اول را پیدا می کنیم - ضربات را از هر دو طرف "آویزان" می کنیم:

مشتق دوم باید فقط بر حسب و بیان شود، بنابراین اکنون (همین الان)خلاص شدن از شر مشتق 1 راحت است. برای انجام این کار، معادله حاصل را جایگزین کنید:

برای جلوگیری از مشکلات فنی غیر ضروری، بیایید هر دو بخش را در:

و فقط در مرحله آخر کسر را فرموله می کنیم:

اکنون به معادله اصلی نگاه می کنیم و متوجه می شویم که نتیجه به دست آمده را می توان ساده کرد:

پاسخ:

چگونه می توان مقدار مشتق دوم را در هر نقطه پیدا کرد (که البته متعلق به بیضی است)به عنوان مثال، در نقطه ? بسیار آسان! این انگیزه قبلاً در درس در مورد مواجه شده است معادله نرمال: باید مشتق دوم را جایگزین عبارت کنید :

البته در هر سه مورد می توان به صراحت به دست آورد توابع مشخص شدهو آنها را از هم متمایز کنید، اما سپس از نظر ذهنی آماده باشید تا با دو عملکردی که ریشه دارد کار کنید. به نظر من، راحت تر است که راه حل را به "روش ضمنی" انجام دهیم.

یک مثال نهایی برای حل به تنهایی:

مثال 17

یک تابع مشخص شده به طور ضمنی پیدا کنید

فرمول لایب نیتس برای آن آورده شده است n ام محاسباتمشتق حاصلضرب دو تابع اثبات آن به دو صورت ارائه می شود. نمونه ای از محاسبه مشتق مرتبه n در نظر گرفته شده است.

محتوا

همچنین ببینید: مشتق حاصل ضرب دو تابع

فرمول لایب نیتس

با استفاده از فرمول لایب نیتس می توانید مشتق مرتبه n حاصلضرب دو تابع را محاسبه کنید. به نظر می رسد این است:
(1) ,
جایی که
- ضرایب دو جمله ای

ضرایب دو جمله ای ضرایب بسط یک دوجمله ای در توان و:
.
همچنین عدد، تعداد ترکیبات n تا k است.

اثبات فرمول لایب نیتس

بیایید فرمول مشتق حاصل ضرب دو تابع را اعمال کنیم:
(2) .
اجازه دهید فرمول (2) را به شکل زیر بازنویسی کنیم:
.
یعنی در نظر می گیریم که یک تابع به متغیر x و دیگری به متغیر y بستگی دارد. در پایان محاسبه فرض می کنیم. سپس فرمول قبلی را می توان به صورت زیر نوشت:
(3) .
از آنجایی که مشتق برابر با مجموع عبارات است و هر جمله حاصل ضرب دو تابع است، بنابراین برای محاسبه مشتقات مرتبه بالاتر می توان قانون (3) را به طور پیوسته اعمال کرد.

سپس برای مشتق مرتبه nام داریم:

.
با در نظر گرفتن این و فرمول لایب نیتس را به دست می آوریم:
(1) .

اثبات با استقرا

اجازه دهید با استفاده از روش استقراء ریاضی، اثبات فرمول لایب نیتس را ارائه کنیم.

اجازه دهید یک بار دیگر فرمول لایب نیتس را بنویسیم:
(4) .
برای n = 1 داریم:
.
این فرمول مشتق حاصلضرب دو تابع است. او منصف است.

فرض کنید فرمول (4) برای مشتق مرتبه n معتبر است. اجازه دهید ثابت کنیم که برای مشتق n + معتبر است 1 - مرتبه

بیایید (4) را متمایز کنیم:
;



.
بنابراین یافتیم:
(5) .

بیایید (5) را جایگزین کنیم و در نظر بگیریم که:

.
این نشان می دهد که فرمول (4) برای مشتق n + شکل یکسانی دارد 1 - مرتبه

بنابراین، فرمول (4) برای n = معتبر است 1 . از این فرض که برای مقداری n = m برقرار است، نتیجه می شود که برای n = m + برقرار است. 1 .
فرمول لایب نیتس ثابت شده است.

مثال

مشتق nام یک تابع را محاسبه کنید
.

بیایید فرمول لایب نیتس را اعمال کنیم
(2) .
در مورد ما
;
.

از جدول مشتقات داریم:
.
ما خواص توابع مثلثاتی را اعمال می کنیم:
.
سپس
.
این نشان می دهد که تمایز تابع سینوسی منجر به جابجایی آن توسط . سپس
.

یافتن مشتقات تابع
;
;
;
, .

از آنجایی که برای، پس در فرمول لایب نیتس فقط سه جمله اول غیر صفر هستند. یافتن ضرایب دو جمله ای
;
.

طبق فرمول لایب نیتس داریم:

.

همچنین ببینید:

حل مسائل کاربردی به محاسبه انتگرال ختم می شود، اما همیشه نمی توان این کار را به طور دقیق انجام داد. گاهی لازم است مقدار یک انتگرال معین را با درجه ای از دقت، مثلاً تا هزارم بدانیم.

هنگامی که لازم است مقدار تقریبی یک انتگرال خاص را با دقت لازم پیدا کنیم، مشکلاتی وجود دارد، سپس از انتگرال گیری عددی مانند روش سیمپونی، ذوزنقه ها و مستطیل ها استفاده می شود. همه موارد به ما اجازه نمی دهند که آن را با دقت خاصی محاسبه کنیم.

این مقاله به بررسی کاربرد فرمول نیوتن-لایبنیتس می پردازد. این برای محاسبه دقیق انتگرال معین ضروری است. داده خواهد شد نمونه های دقیقتغییرات متغیر در انتگرال معین در نظر گرفته می شود و هنگام انتگرال گیری توسط قطعات مقادیر انتگرال معین را پیدا می کنیم.

فرمول نیوتن لایب نیتس

تعریف 1

وقتی تابع y = y (x) از بازه [ a ; b ] و F (x) یکی از ضد مشتقات تابع این بخش است، پس فرمول نیوتن لایب نیتسمنصفانه در نظر گرفته شده است. بیایید آن را به این صورت بنویسیم: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

این فرمولدر نظر گرفتن فرمول اصلی حساب انتگرال

برای اثبات این فرمول، لازم است از مفهوم انتگرال با حد بالایی متغیر موجود استفاده شود.

وقتی تابع y = f (x) از بازه [ a ; b ]، سپس مقدار آرگومان x ∈ a; b ، و انتگرال به شکل ∫ a x f (t) d t است و تابعی از حد بالایی در نظر گرفته می شود. لازم است نماد تابع را به شکل ∫ a x f (t) d t = Φ (x) به خود بگیرد، پیوسته است، و یک نابرابری از شکل ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) برای آن معتبر است.

اجازه دهید ثابت کنیم که افزایش تابع Φ (x) با افزایش آرگومان ∆ x مطابقت دارد، لازم است از پنجمین خاصیت اصلی انتگرال معین استفاده کنیم و به دست آوریم.

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x

که در آن مقدار c∈ x; x + ∆ x .

اجازه دهید تساوی را به شکل Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) ثابت کنیم. با تعریف مشتق یک تابع، باید به حد Δ x → 0 برویم، سپس فرمولی به شکل Φ" (x) = f (x) به دست می آوریم. دریافتیم که Φ (x) برابر است. یکی از پاد مشتق ها برای تابعی به شکل y = f (x)، واقع در [a;b]. در غیر این صورت عبارت را می توان نوشت.

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C، که در آن مقدار C ثابت است.

بیایید F (a) را با استفاده از اولین خاصیت انتگرال معین محاسبه کنیم. سپس ما آن را دریافت می کنیم

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C، از این رو دریافت می کنیم که C = F (a). نتیجه هنگام محاسبه F (b) قابل استفاده است و به دست می آوریم:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a)، به عبارت دیگر، F (b) = ∫ a b f (t) d t + F ( آ) . برابری با فرمول نیوتن-لایبنیتس ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) ثابت می شود.

افزایش تابع را به صورت F x a b = F (b) - F (a) می گیریم. با استفاده از علامت گذاری، فرمول نیوتن-لایبنیتس به شکل ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) می باشد.

برای اعمال فرمول، لازم است یکی از پاد مشتق های y = F (x) تابع انتگرال y = f (x) را از قطعه [a ; b ]، افزایش ضد مشتق را از این بخش محاسبه کنید. بیایید به چند نمونه از محاسبات با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس نگاه کنیم.

مثال 1

انتگرال معین ∫ 1 3 x 2 d x را با استفاده از فرمول نیوتن لایب نیتس محاسبه کنید.

راه حل

در نظر بگیرید که انتگرال شکل y = x 2 از بازه [ 1 ; 3]، سپس در این بازه قابل ادغام است. طبق جدول انتگرال های نامعینمی بینیم که تابع y = x 2 دارای مجموعه ای از پاد مشتق ها برای تمام مقادیر واقعی x است که به معنای x ∈ 1 است. 3 به صورت F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C نوشته می شود. لازم است که ضد مشتق را با C = 0 بگیریم، سپس به دست می آوریم که F (x) = x 3 3.

از فرمول نیوتن-لایبنیتس استفاده می کنیم و متوجه می شویم که محاسبه انتگرال معین به شکل ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 است.

پاسخ:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

مثال 2

انتگرال معین ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x را با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس محاسبه کنید.

راه حل

تابع داده شده از بازه [ - 1 ; 2 ]، به این معنی که روی آن قابل ادغام است. لازم است مقدار انتگرال نامعین ∫ x · e x 2 + 1 d x را با استفاده از روش جمع کردن زیر علامت دیفرانسیل پیدا کنیم، سپس ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

از این رو ما مجموعه ای از ضد مشتقات تابع y = x · e x 2 + 1 را داریم که برای همه x، x ∈ - 1 معتبر است. 2.

لازم است که ضد مشتق را در C = 0 گرفته و فرمول نیوتن-لایب نیتس را اعمال کنیم. سپس یک عبارت از فرم را دریافت می کنیم

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

پاسخ:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

مثال 3

انتگرال های ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x و ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x را محاسبه کنید.

راه حل

بخش - 4; - 1 2 می گوید که تابع زیر علامت انتگرال پیوسته است، یعنی انتگرال پذیر است. از اینجا مجموعه ضد مشتق های تابع y = 4 x 3 + 2 x 2 را می یابیم. ما آن را دریافت می کنیم

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

لازم است که ضد مشتق F (x) = 2 x 2 - 2 x را بگیریم، سپس با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس، انتگرال را بدست می آوریم که محاسبه می کنیم:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

ما به محاسبه انتگرال دوم می رویم.

از بخش [ - 1 ; 1 ] داریم که تابع انتگرال نامحدود در نظر گرفته می شود، زیرا lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞، پس نتیجه می شود که یک شرط ضرورییکپارچگی از یک بخش سپس F (x) = 2 x 2 - 2 x برای y = 4 x 3 + 2 x 2 از بازه [ - 1 ; 1]، از آنجایی که نقطه O متعلق به بخش است، اما در حوزه تعریف گنجانده نشده است. این بدان معنی است که یک انتگرال ریمان و نیوتن-لایبنیتس برای تابع y = 4 x 3 + 2 x 2 از بازه [ - 1 ; 1 ] .

پاسخ: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,برای تابع y = 4 x 3 + 2 x 2 از بازه [ - 1 ; 1 ] .

قبل از استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس، باید دقیقاً در مورد وجود یک انتگرال معین بدانید.

تغییر یک متغیر در یک انتگرال معین

وقتی تابع y = f (x) از بازه [ a ; b]، سپس مجموعه موجود [a; b] به عنوان محدوده مقادیر تابع x = g (z) تعریف شده در بخش α در نظر گرفته می شود. β با مشتق پیوسته موجود، که در آن g (α) = a و g β = b، از این نتیجه می گیریم که ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z.

این فرمول زمانی استفاده می شود که شما باید انتگرال ∫ a b f (x) d x را محاسبه کنید، جایی که انتگرال نامعین شکل ∫ f (x) d x را دارد، ما با استفاده از روش جایگزینی محاسبه می کنیم.

مثال 4

یک انتگرال معین از شکل ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x را محاسبه کنید.

راه حل

تابع انتگرال در بازه ادغام پیوسته در نظر گرفته می شود، به این معنی که یک انتگرال معین وجود دارد. بیایید علامت گذاری کنیم که 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. مقدار x = 9 به این معنی است که z = 2 9 - 9 = 9 = 3، و برای x = 18 ما دریافت می کنیم که z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3، سپس g α = g (3) = 9، g β = g 3 3 = 18. وقتی مقادیر به دست آمده را به فرمول ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z به دست می آوریم که

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

با توجه به جدول انتگرال های نامعین، داریم که یکی از پاد مشتق های تابع 2 z 2 + 9 مقدار 2 3 a r c t g z 3 را می گیرد. سپس، هنگام اعمال فرمول نیوتن-لایبنیتس، آن را به دست می آوریم

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 π4 π4 =

این یافته را می توان بدون استفاده از فرمول ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z انجام داد.

اگر با استفاده از روش جایگزینی از یک انتگرال به شکل ∫ 1 x 2 x - 9 d x استفاده کنیم، می توانیم به نتیجه ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C برسیم.

از اینجا با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس محاسبات را انجام می دهیم و انتگرال قطعی را محاسبه می کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 1 = = π 18

نتایج یکسان بود.

پاسخ: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

ادغام توسط قطعات هنگام محاسبه یک انتگرال معین

اگر در قطعه [a; b ] توابع u (x) و v (x) تعریف شده و پیوسته هستند، سپس مشتقات مرتبه اول آنها v "(x) · u (x) قابل انتگرال هستند، بنابراین از این بخش برای تابع قابل انتگرال u" (x) · v ( x) برابری ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x درست است.

سپس می توان از فرمول استفاده کرد، لازم است انتگرال ∫ a b f (x) d x محاسبه شود و ∫ f (x) d x لازم است با استفاده از ادغام توسط قطعات به دنبال آن بگردیم.

مثال 5

انتگرال معین ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x را محاسبه کنید.

راه حل

تابع x · sin x 3 + π 6 در بازه - π 2 قابل ادغام است. 3 π 2، یعنی پیوسته است.

اجازه دهید u (x) = x، سپس d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x، و d (u (x)) = u " (x) d x = d x، و v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . از فرمول ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x به دست می آوریم که

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

مثال را می توان به روش دیگری حل کرد.

مجموعه پاد مشتق های تابع x · sin x 3 + π 6 را با استفاده از ادغام قطعات با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس پیدا کنید:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

پاسخ: ∫ x · گناه x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید