متوازی الاضلاع در مسائل. نحوه پیدا کردن مساحت متوازی الاضلاع، مثلث، ذوزنقه مساحت متوازی الاضلاع از طریق خط مرکزی

همانطور که در هندسه اقلیدسی، یک نقطه و یک خط مستقیم عناصر اصلی نظریه صفحات هستند، متوازی الاضلاع نیز یکی از اشکال کلیدی چهارضلعی های محدب است. از آن، مانند نخ های یک توپ، مفاهیم "مستطیل"، "مربع"، "لوزی" و سایر مقادیر هندسی جاری می شود.

در تماس با

تعریف متوازی الاضلاع

چهارضلعی محدب،متشکل از قطعاتی که هر جفت آن موازی است، در هندسه به عنوان متوازی الاضلاع شناخته می شود.

متوازی الاضلاع کلاسیک چگونه به نظر می رسد توسط یک ABCD چهار ضلعی نشان داده می شود. اضلاع را قاعده (AB، BC، CD و AD)، عمود کشیده شده از هر راس به سمت مقابل این راس ارتفاع (BE و BF)، خطوط AC و BD را مورب می نامند.

توجه!مربع، لوزی و مستطیل موارد خاص متوازی الاضلاع هستند.

اضلاع و زوایا: ویژگی های رابطه

خواص کلیدی، به طور کلی، توسط خود نامگذاری از پیش تعیین شده است، با قضیه ثابت می شوند. این خصوصیات به شرح زیر است:

1. اضلاع که مقابل هم هستند جفت یکسان هستند.
2. زوایای روبروی هم به صورت جفت مساوی هستند.

اثبات: ∆ABC و ∆ADC را در نظر بگیرید که از تقسیم چهار ضلعی ABCD با خط مستقیم AC به دست می آیند. ∠BCA=∠CAD و ∠BAC=∠ACD، زیرا AC برای آنها رایج است (زوایای عمودی برای BC||AD و AB||CD، به ترتیب). از این نتیجه می شود: ∆ABC = ∆ADC (دومین علامت تساوی مثلث ها).

پاره های AB و BC در ∆ABC به صورت جفت با خطوط CD و AD در ∆ADC مطابقت دارند، به این معنی که آنها یکسان هستند: AB = CD، BC = AD. بنابراین، ∠B با ∠D مطابقت دارد و آنها برابر هستند. از آنجایی که ∠A=∠BAC+∠CAD، ∠C=∠BCA+∠ACD، که آنها نیز به صورت جفتی یکسان هستند، پس ∠A = ∠C. ملک ثابت شده است.

ویژگی های قطرهای یک شکل

ویژگی اصلیاز این خطوط متوازی الاضلاع: نقطه تقاطع آنها را به نصف تقسیم می کند.

اثبات: به عنوان مثال نقطه تقاطع قطرهای AC و BD شکل ABCD باشد. آنها دو مثلث متناسب را تشکیل می دهند - ∆ABE و ∆CDE.

AB=CD چون متضاد هستند. با توجه به خطوط و سکانت، ∠ABE = ∠CDE و ∠BAE = ∠DCE.

با معیار دوم برابری، ∆ABE = ∆CDE. این بدان معناست که عناصر ∆ABE و ∆CDE: AE = CE، BE = DE و در عین حال اجزای متناسب AC و BD هستند. ملک ثابت شده است.

ویژگی های گوشه های مجاور

اضلاع مجاور مجموع زوایای آنها برابر با 180 درجه است، از آنجایی که آنها در یک سمت خطوط موازی و یک عرضی قرار دارند. برای ABCD چهار ضلعی:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

ویژگی های نیمساز:

1. ، به یک طرف پایین آمده، عمود هستند.
2. رئوس مخالف دارای نیمسازهای موازی هستند.
3. مثلثی که با رسم نیمساز به دست می آید متساوی الساقین خواهد بود.

تعیین ویژگی های متوازی الاضلاع با استفاده از قضیه

ویژگی های این شکل از قضیه اصلی آن که به شرح زیر است ناشی می شود: یک چهار ضلعی متوازی الاضلاع در نظر گرفته می شوددر صورتی که قطرهای آن قطع شود و این نقطه آنها را به قطعات مساوی تقسیم می کند.

اثبات: اجازه دهید خطوط AC و BD چهارضلعی ABCD در i.e. قطع شوند. از آنجایی که ∠AED = ∠BEC، و AE+CE=AC BE+DE=BD، پس ∆AED = ∆BEC (با اولین معیار برای تساوی مثلث ها). یعنی ∠EAD = ∠ECB. آنها همچنین زوایای متقاطع داخلی مقطع AC برای خطوط AD و BC هستند. بنابراین، با تعریف موازی - AD || قبل از میلاد مسیح. ویژگی مشابهی از خطوط BC و CD نیز مشتق شده است. قضیه ثابت شده است.

محاسبه مساحت یک شکل

مساحت این شکل با چندین روش یافت می شودیکی از ساده ترین ها: ضرب ارتفاع و پایه ای که به آن کشیده شده است.

اثبات: عمودهای BE و CF را از رئوس B و C رسم کنید. ∆ABE و ∆DCF برابر هستند، زیرا AB = CD و BE = CF. اندازه ABCD با مستطیل EBCF برابر است، زیرا از ارقام متناسبی تشکیل شده است: S ABE و S EBCD، و همچنین S DCF و S EBCD. از این نتیجه می شود که منطقه این شکل هندسیبه همان شکل مستطیل قرار دارد:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

برای تعیین فرمول کلیمساحت متوازی الاضلاع را با ارتفاع نشان می دهند hb، و طرف - ب. به ترتیب:

راه های دیگر برای یافتن منطقه

محاسبات مساحت از طریق اضلاع متوازی الاضلاع و زاویه، که آنها تشکیل می دهند، دومین روش شناخته شده است.

,

Spr-ma - منطقه؛

a و b اضلاع آن هستند

α زاویه بین قطعات a و b است.

این روش عملاً بر اساس روش اول است، اما در صورت ناشناخته بودن. همیشه قطع می کند راست گوشه، که پارامترهای آن توسط هویت های مثلثاتی یافت می شود، یعنی . با تبدیل رابطه، دریافت می کنیم. در معادله روش اول، ارتفاع را با این حاصلضرب جایگزین می کنیم و دلیلی بر صحت این فرمول به دست می آوریم.

از طریق قطرهای متوازی الاضلاع و زاویه،که آنها هنگام تقاطع ایجاد می کنند، شما همچنین می توانید منطقه را پیدا کنید.

اثبات: AC و BD با هم قطع می شوند و چهار مثلث را تشکیل می دهند: ABE، BEC، CDE و AED. مجموع آنها برابر است با مساحت این چهارضلعی.

مساحت هر یک از این ∆ها را می توان با عبارت پیدا کرد، که در آن a=BE، b=AE، ∠γ =∠AEB. از آنجایی که محاسبات از یک مقدار سینوسی استفاده می کنند. به این معنا که . از آنجایی که AE+CE=AC=d1 و BE+DE=BD=d2، فرمول مساحت به زیر کاهش می یابد:

.

کاربرد در جبر برداری

ویژگی های اجزای تشکیل دهنده این چهارضلعی در جبر برداری، یعنی جمع دو بردار کاربرد پیدا کرده است. قانون متوازی الاضلاع بیان می کند که اگر بردارها داده شودونهخطی هستند، سپس مجموع آنها برابر با قطر این شکل خواهد بود که پایه های آن با این بردارها مطابقت دارد.

اثبات: از آغازی که خودسرانه انتخاب شده است - یعنی. - ساخت بردارها و . سپس، یک متوازی الاضلاع OASV می سازیم، که در آن بخش های OA و OB اضلاع هستند. بنابراین، سیستم عامل بر روی بردار یا جمع قرار دارد.

فرمول های محاسبه پارامترهای متوازی الاضلاع

هویت تحت شرایط زیر ارائه می شود:

1. a و b، α - اضلاع و زاویه بین آنها.
2. d 1 و d 2، γ - مورب ها و در نقطه تقاطع آنها.
3. h a و h b - ارتفاعات به دو طرف a و b کاهش یافته است.

پارامتر	فرمول
پیدا کردن طرفین
در امتداد مورب ها و کسینوس زاویه بین آنها
در امتداد مورب ها و اضلاع
از طریق ارتفاع و راس مخالف
پیدا کردن طول قطرها
در طرفین و اندازه راس بین آنها
در امتداد اضلاع و یکی از مورب ها	 نتیجه متوازی الاضلاع، به عنوان یکی از ارقام کلیدی هندسه، در زندگی، به عنوان مثال، در ساخت و ساز هنگام محاسبه مساحت یک سایت یا اندازه گیری های دیگر استفاده می شود. بنابراین، دانش در مورد ویژگی های متمایز کنندهو روش های محاسبه پارامترهای مختلف آن می تواند در هر زمانی از زندگی مفید باشد.

متوازی الاضلاع چیست؟ متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی باشند.

1. مساحت متوازی الاضلاع با فرمول محاسبه می شود:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

جایی که:
a ضلع متوازی الاضلاع است،
h a – ارتفاع کشیده شده به این سمت.

2. اگر طول دو ضلع مجاور متوازی الاضلاع و زاویه بین آنها مشخص باشد، مساحت متوازی الاضلاع با فرمول محاسبه می شود:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. اگر قطرهای متوازی الاضلاع داده شود و زاویه بین آنها مشخص باشد، مساحت متوازی الاضلاع با فرمول محاسبه می شود:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

ویژگی های متوازی الاضلاع

در متوازی الاضلاع، اضلاع مقابل برابر هستند: \(AB = CD\)، \(BC = AD\)

در متوازی الاضلاع، زوایای مقابل برابر هستند: \(\زاویه A = \زاویه C\)، \(\زاویه B = \زاویه D\)

قطرهای متوازی الاضلاع در نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند \(AO = OC\) , \(BO = OD\)

مورب متوازی الاضلاع آن را به دو مثلث مساوی تقسیم می کند.

مجموع زوایای متوازی الاضلاع مجاور یک ضلع 180 درجه است:

\(\زاویه A + \زاویه B = 180^(o)\)، \(\زاویه B + \زاویه C = 180^(o)\)

\(\زاویه C + \زاویه D = 180^(o)\)، \(\زاویه D + \زاویه A = 180^(o)\)

مورب ها و اضلاع متوازی الاضلاع با رابطه زیر به هم مرتبط می شوند:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

در متوازی الاضلاع، زاویه بین ارتفاعات برابر با زاویه تند آن است: \(\ زاویه K B H =\ زاویه A\) .

نیمسازهای زوایای مجاور یک ضلع متوازی الاضلاع بر یکدیگر عمود هستند.

نیمسازهای دو زاویه متوازی الاضلاع موازی هستند.

نشانه های متوازی الاضلاع

یک چهارضلعی متوازی الاضلاع خواهد بود اگر:

\(AB = CD\) و \(AB || CD\)

\(AB = CD\) و \(BC = AD\)

\(AO = OC\) و \(BO = OD\)

\(\زاویه A = \زاویه C\) و \(\زاویه B = \زاویه D\)

تعریف متوازی الاضلاع

متوازی الاضلاعچهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن برابر و موازی هستند.

ماشین حساب آنلاین

متوازی الاضلاع مقداری دارد خواص مفید، که حل مشکلات مرتبط با این شکل را ساده می کند. به عنوان مثال، یکی از ویژگی ها این است که زوایای متضاد یک متوازی الاضلاع برابر است.

بیایید چندین روش و فرمول را با حل مثال های ساده در نظر بگیریم.

فرمول مساحت متوازی الاضلاع بر اساس قاعده و ارتفاع آن

این روش برای یافتن مساحت احتمالاً یکی از ابتدایی ترین و ساده ترین روش ها است، زیرا تقریباً با فرمول یافتن مساحت یک مثلث با چند استثنا یکسان است. ابتدا اجازه دهید بدون استفاده از اعداد به حالت تعمیم یافته نگاه کنیم.

اجازه دهید متوازی الاضلاع دلخواه با قاعده داده شود a آ، سمت ب ب بو ارتفاع ساعت ساعت ساعت، به پایگاه ما منتقل شد. سپس فرمول مساحت این متوازی الاضلاع به صورت زیر است:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=یک ⋅ساعت

A a آ- پایه؛
ساعت ساعت ساعت- ارتفاع

بیایید به یک مسئله آسان برای تمرین حل مسائل معمولی نگاه کنیم.

مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنید که قاعده آن 10 (سانتی متر) و ارتفاع آن 5 (سانتی متر) است.

راه حل

A = 10 a = 10 a =1 0
h = 5 h = 5 h =5

ما آن را به فرمول خود جایگزین می کنیم. ما گرفتیم:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (مربع را ببینید)

پاسخ: 50 (مربع را ببینید)

فرمول مساحت متوازی الاضلاع بر اساس دو ضلع و زاویه بین آنها

در این حالت مقدار مورد نیاز به صورت زیر بدست می آید:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=یک ⋅b ⋅گناه (α)

الف، ب الف، ب الف، ب- اضلاع متوازی الاضلاع؛
α\ آلفا α - زاویه بین اضلاع a آو ب ب ب.

حالا بیایید مثال دیگری را حل کنیم و از فرمولی که در بالا توضیح داده شد استفاده کنیم.

اگر ضلع آن مشخص باشد مساحت متوازی الاضلاع را بیابید a آ، که پایه و با طول 20 (سانتی متر) و محیط است ص ص پ، از نظر عددی برابر با 100 (سانتی متر)، زاویه بین اضلاع مجاور ( a آو ب ب ب) برابر با 30 درجه است.

راه حل

A = 20 a = 20 a =2 0
p = 100 p = 100 p =1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

برای یافتن پاسخ فقط ضلع دوم این چهارضلعی را می دانیم. بیا پیداش کنیم محیط متوازی الاضلاع با فرمول به دست می آید:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p =a+a+b+ب
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b+ب
100 = 40 + 2b 100=40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2 ب
60 = 2b 60=2b 6 0 = 2 ب
b = 30 b = 30 b =3 0

سخت‌ترین بخش به پایان رسیده است، تنها چیزی که باقی می‌ماند این است که مقادیر خود را جایگزین اضلاع و زاویه بین آنها کنیم:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ گناه (3 0 ∘ ) = 3 0 0 (مربع را ببینید)

پاسخ: 300 (مربع را ببینید)

فرمول مساحت متوازی الاضلاع بر اساس قطرها و زاویه بین آنها

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ​ ⋅ D⋅d⋅گناه (α)

DD D- مورب بزرگ؛
DD د- مورب کوچک؛
α\ آلفا α - زاویه حاد بین مورب.

قطرهای متوازی الاضلاع برابر با 10 (سانتی متر) و 5 (سانتی متر) داده شده است. زاویه بین آنها 30 درجه است. مساحت آن را محاسبه کنید.

راه حل

D=10 D=10 D=1 0
d = 5 d = 5 d =5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12.5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12.5S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ گناه (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (مربع را ببینید)

قبل از اینکه یاد بگیریم مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنیم، باید به یاد بیاوریم که متوازی الاضلاع چیست و ارتفاع آن چیست. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت زوجی موازی هستند (روی خطوط موازی قرار دارند). عمودی که از یک نقطه دلخواه در طرف مقابل به خطی حاوی این ضلع کشیده می شود، ارتفاع متوازی الاضلاع نامیده می شود.

مربع، مستطیل و لوزی موارد خاص متوازی الاضلاع هستند.

مساحت متوازی الاضلاع با (S) مشخص می شود.

فرمول های پیدا کردن مساحت متوازی الاضلاع

S=a*h، جایی که a پایه است، h ارتفاعی است که به سمت پایه کشیده شده است.

S=a*b*sinα، که در آن a و b پایه ها هستند و α زاویه بین پایه های a و b است.

S =p*r، جایی که p نیمه محیط است، r شعاع دایره ای است که در متوازی الاضلاع محاط شده است.

مساحت متوازی الاضلاع که توسط بردارهای a و b تشکیل شده است برابر است با مدول حاصلضرب بردارهای داده شده، یعنی:

مثال شماره 1 را در نظر می گیریم: با توجه به متوازی الاضلاع که ضلع آن 7 سانتی متر و ارتفاع آن 3 سانتی متر است، چگونه مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنیم، به فرمولی برای حل نیاز داریم.

بنابراین S = 7x3. S=21. جواب: 21 سانتی متر مربع.

مثال شماره 2 را در نظر بگیرید: پایه های داده شده 6 و 7 سانتی متر هستند و همچنین زاویه بین پایه ها 60 درجه است. چگونه مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنیم؟ فرمول مورد استفاده برای حل:

بنابراین، ابتدا سینوس زاویه را پیدا می کنیم. سینوس 60 = 0.5، به ترتیب S = 6*7*0.5=21 پاسخ: 21 سانتی متر مربع.

امیدوارم این مثال ها به شما در حل مشکلات کمک کند. و به یاد داشته باشید، نکته اصلی دانش فرمول ها و توجه است

هنگام حل مشکلات در مورد این موضوع، به جز خواص اساسی متوازی الاضلاعو فرمول های مربوطه را می توانید به خاطر بسپارید و موارد زیر را اعمال کنید:

1. نیمساز یک زاویه داخلی متوازی الاضلاع یک مثلث متساوی الساقین را از آن جدا می کند
2. نیمسازهای زوایای داخلی مجاور یکی از اضلاع متوازی الاضلاع بر یکدیگر عمود هستند.
3. نیمسازهایی که از زوایای داخلی متوازی الاضلاع می آیند موازی یکدیگر هستند یا روی یک خط مستقیم قرار دارند.
4. مجموع مربع های مورب متوازی الاضلاع برابر است با مجموع مربعات اضلاع آن
5. مساحت متوازی الاضلاع برابر با نصف حاصلضرب قطرها و سینوس زاویه بین آنهاست.

اجازه دهید مشکلاتی را که در آنها از این ویژگی ها استفاده می شود در نظر بگیریم.

وظیفه 1.

نیمساز زاویه C متوازی الاضلاع ABCD ضلع AD را در نقطه M و ادامه ضلع AB را فراتر از نقطه A در نقطه E قطع می کند. محیط متوازی الاضلاع را اگر AE = 4، DM = 3 باشد، پیدا کنید.

راه حل.

1. مثلث CMD متساوی الساقین است. (ملک 1). بنابراین CD = MD = 3 سانتی متر.

2. مثلث EAM متساوی الساقین است.
بنابراین، AE = AM = 4 سانتی متر.

3. AD = AM + MD = 7 سانتی متر.

4. محیط ABCD = 20 سانتی متر.

پاسخ. 20 سانتی متر.

وظیفه 2.

مورب ها در یک چهار ضلعی محدب ABCD رسم می شوند. مشخص است که مساحت مثلث های ABD، ACD، BCD برابر است. ثابت کنید که این چهار ضلعی متوازی الاضلاع است.

راه حل.

1. اجازه دهید BE ارتفاع مثلث ABD، CF ارتفاع مثلث ACD باشد. از آنجایی که با توجه به شرایط مسئله مساحت مثلث ها مساوی و دارای قاعده AD مشترک هستند، پس ارتفاع این مثلث ها برابر است. BE = CF.

2. BE، CF عمود بر AD هستند. نقاط B و C نسبت به خط مستقیم AD در یک سمت قرار دارند. BE = CF. بنابراین خط مستقیم قبل از میلاد || آگهی. (*)

3. بگذارید AL ارتفاع مثلث ACD باشد، BK ارتفاع مثلث BCD باشد. از آنجایی که با توجه به شرایط مسئله، مساحت مثلث ها مساوی و دارای یک سی دی پایه مشترک هستند، پس ارتفاع این مثلث ها برابر است. AL = BK.

4. AL و BK بر CD عمود هستند. نقاط B و A نسبت به CD خط مستقیم در یک سمت قرار دارند. AL = BK. بنابراین خط مستقیم AB || سی دی (**)

5. از شرایط (*)، (**) نتیجه می شود که ABCD متوازی الاضلاع است.

پاسخ. اثبات شده است. ABCD متوازی الاضلاع است.

وظیفه 3.

در دو طرف BC و CD متوازی الاضلاع ABCD، نقاط M و H به ترتیب مشخص شده اند، به طوری که بخش های BM و HD در نقطه O قطع می شوند.<ВМD = 95 о,