مانند سیستم معادلات یا روابط حسابی یا شکل های هندسی، یا ترکیبی از هر دو، که مطالعه آنها با استفاده از ریاضیات باید به سؤالات مطرح شده در مورد ویژگی های مجموعه خاصی از خواص یک شی دنیای واقعی، به عنوان مجموعه ای از روابط ریاضی، معادلات، نابرابری هایی که الگوهای اساسی را توصیف می کند، پاسخ دهد. ذاتی در فرآیند، شی یا سیستم مورد مطالعه است.

در سیستم های کنترل خودکار، از یک مدل ریاضی برای تعیین الگوریتم عملکرد کنترل کننده استفاده می شود. این الگوریتم تعیین می کند که چگونه عمل کنترل باید بسته به تغییر Master تغییر کند تا هدف کنترل محقق شود.

طبقه بندی مدل

طبقه بندی رسمی مدل ها

طبقه بندی رسمی مدل ها بر اساس طبقه بندی ابزارهای ریاضی مورد استفاده است. اغلب به شکل دوگانگی ساخته می شود. به عنوان مثال، یکی از مجموعه های محبوب دوگانگی:

و غیره هر مدل ساخته شده خطی یا غیرخطی، قطعی یا تصادفی است، ... طبیعتاً انواع مختلط نیز امکان پذیر است: از یک جهت متمرکز (از لحاظ پارامترها)، توزیع شده در دیگری و غیره.

طبقه بندی بر اساس نحوه نمایش شی

همراه با طبقه بندی رسمی، مدل ها در نحوه نمایش یک شی متفاوت هستند:

• مدل های ساختاری یا عملکردی

فرضیه های مدل در علم را نمی توان یک بار برای همیشه اثبات کرد، فقط می توان از ابطال یا عدم ابطال آنها در نتیجه آزمایش صحبت کرد.

اگر مدلی از نوع اول ساخته شود، به این معنی است که به طور موقت به عنوان حقیقت پذیرفته شده و می توان روی مشکلات دیگر تمرکز کرد. با این حال، این نمی تواند یک نکته در تحقیق باشد، بلکه فقط یک مکث موقت است: وضعیت یک مدل از نوع اول فقط می تواند موقتی باشد.

مدل پدیدارشناختی

نوع دوم مدل پدیدارشناسی است ( "ما طوری رفتار می کنیم که انگار...") حاوی مکانیزمی برای توصیف پدیده است، اگرچه این مکانیسم به اندازه کافی قانع کننده نیست، نمی تواند به اندازه کافی توسط داده های موجود تأیید شود، یا به خوبی با نظریه های موجود و دانش انباشته شده در مورد شی مطابقت ندارد. بنابراین، مدل‌های پدیدارشناختی وضعیت راه‌حل‌های موقتی دارند. اعتقاد بر این است که پاسخ هنوز ناشناخته است و جستجو برای "مکانیسم های واقعی" باید ادامه یابد. Peierls شامل مدل کالری و مدل کوارک ذرات بنیادی به عنوان نوع دوم است.

نقش مدل در پژوهش ممکن است در طول زمان تغییر کند و ممکن است داده‌ها و نظریه‌های جدید مدل‌های پدیدارشناختی را تأیید کنند و به وضعیت یک فرضیه ارتقا پیدا کنند. به همین ترتیب، دانش جدید می‌تواند به تدریج با مدل‌های فرضی نوع اول در تضاد باشد و می‌توان آنها را به مدل دوم ترجمه کرد. بنابراین، مدل کوارک به تدریج وارد دسته فرضیه ها می شود. اتمیسم در فیزیک به عنوان یک راه حل موقت به وجود آمد، اما با سیر تاریخ به نوع اول تبدیل شد. اما مدل های اتر از نوع 1 به نوع 2 راه یافته اند و اکنون خارج از علم هستند.

ایده ساده سازی هنگام ساخت مدل ها بسیار محبوب است. اما ساده‌سازی به اشکال مختلف ظاهر می‌شود. Peierls سه نوع ساده سازی در مدل سازی را شناسایی می کند.

تقریب

نوع سوم مدل ها تقریبی هستند ( "ما چیزی را بسیار بزرگ یا بسیار کوچک در نظر می گیریم"). اگر بتوان معادلاتی ساخت که سیستم مورد مطالعه را توصیف می کند، به این معنی نیست که حتی با کمک کامپیوتر نیز می توان آنها را حل کرد. یک تکنیک عمومی پذیرفته شده در این مورد استفاده از تقریب ها (مدل های نوع 3) است. در میان آنها مدل های پاسخ خطی. معادلات با معادلات خطی جایگزین می شوند. یک مثال استاندارد قانون اهم است.

آزمایش فکری

m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx),

جایی که x ¨ (\displaystyle (\ddot (x)))به معنای مشتق دوم از x (\displaystyle x)بر اساس زمان: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2))).

معادله به دست آمده مدل ریاضی سیستم فیزیکی در نظر گرفته شده را توصیف می کند. این مدل "نوسانگر هارمونیک" نامیده می شود.

طبق طبقه بندی رسمی، این مدل خطی، قطعی، پویا، متمرکز، پیوسته است. در روند ساخت آن، ما فرضیات زیادی (در مورد عدم وجود نیروهای خارجی، عدم اصطکاک، کوچک بودن انحرافات و غیره) داشتیم، که در واقعیت ممکن است برآورده نشود.

در رابطه با واقعیت، این اغلب یک مدل نوع 4 است ساده سازی("ما برخی از جزئیات را برای وضوح حذف خواهیم کرد")، زیرا برخی از ویژگی های اساسی جهانی (به عنوان مثال، اتلاف) حذف شده اند. تا حدودی تقریبی (مثلاً، در حالی که انحراف بار از حالت تعادل کم است، با اصطکاک کم، برای مدت زمان نه چندان طولانی و مشروط به شرایط خاص دیگر)، چنین مدلی یک سیستم مکانیکی واقعی را به خوبی توصیف می کند، زیرا عوامل دور ریخته شده تأثیر ناچیزی بر رفتار آن دارد. با این حال، مدل را می توان با در نظر گرفتن برخی از این عوامل اصلاح کرد. این منجر به مدل جدیدی با دامنه کاربرد گسترده تر (اگرچه باز هم محدود) خواهد شد.

با این حال، هنگام اصلاح مدل، پیچیدگی تحقیقات ریاضی آن می تواند به طور قابل توجهی افزایش یابد و مدل را عملاً بی استفاده کند. اغلب، یک مدل ساده تر امکان کاوش بهتر و عمیق تر از یک سیستم واقعی را نسبت به یک سیستم پیچیده تر (و به طور رسمی، "درست تر") می دهد.

اگر مدل نوسانگر هارمونیک را برای اجسام دور از فیزیک اعمال کنیم، وضعیت ماهوی آن ممکن است متفاوت باشد. به عنوان مثال، هنگام اعمال این مدل برای جمعیت های بیولوژیکی، به احتمال زیاد باید به عنوان نوع 6 طبقه بندی شود مقایسه("بیایید فقط برخی از ویژگی ها را در نظر بگیریم").

مدل های سخت و نرم

نوسان ساز هارمونیک نمونه ای از مدل به اصطلاح "سخت" است. در نتیجه ایده آل سازی قوی یک سیستم فیزیکی واقعی به دست می آید. خواص یک نوسان ساز هارمونیک از نظر کیفی با اغتشاشات کوچک تغییر می کند. برای مثال، اگر یک عبارت کوچک به سمت راست اضافه کنید − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\dot (x)))(اصطکاک) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- مقداری پارامتر کوچک)، سپس اگر علامت عبارت اضافی را تغییر دهیم، نوسانات نمایی میرا دریافت می کنیم. (ε x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\dot (x))))سپس اصطکاک به پمپاژ تبدیل می شود و دامنه نوسانات به صورت تصاعدی افزایش می یابد.

برای حل مسئله کاربردی بودن یک مدل سفت و سخت، لازم است درک کنیم که عواملی که نادیده گرفته ایم چقدر مهم هستند. مطالعه مدل های نرم به دست آمده با اغتشاش کوچک در مدل سخت ضروری است. برای یک نوسان ساز هارمونیک می توان آنها را به عنوان مثال با معادله زیر به دست آورد:

m x ¨ = − k x + ε f (x، x ˙) (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\dot (x)))).

اینجا f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\dot (x))))- تابعی که می تواند نیروی اصطکاک یا وابستگی ضریب سختی فنر به میزان کشش آن را در نظر بگیرد. فرم تابع صریح f (\displaystyle f)ما در حال حاضر علاقه ای نداریم.

اگر ثابت کنیم که رفتار مدل نرم تفاوت اساسی با رفتار مدل سخت ندارد (صرف نظر از نوع صریح عوامل مزاحم، اگر به اندازه کافی کوچک باشند)، مشکل به مطالعه مدل سخت خلاصه می شود. در غیر این صورت، اعمال نتایج حاصل از مطالعه مدل صلب نیاز به تحقیقات بیشتری دارد.

اگر سیستمی رفتار کیفی خود را تحت اختلالات کوچک حفظ کند، گفته می شود که از نظر ساختاری پایدار است. یک نوسان ساز هارمونیک نمونه ای از یک سیستم ساختاری ناپایدار (غیر خشن) است. با این حال، این مدل می تواند برای مطالعه فرآیندها در دوره های زمانی محدود مورد استفاده قرار گیرد.

تطبیق پذیری مدل ها

مهم ترین مدل های ریاضی معمولاً دارای خاصیت مهم هستند تطبیق پذیری: پدیده های واقعی اساسا متفاوت را می توان با یک مدل ریاضی توصیف کرد. به عنوان مثال، یک نوسان ساز هارمونیک نه تنها رفتار یک بار روی فنر، بلکه سایر فرآیندهای نوسانی را که اغلب ماهیت کاملاً متفاوتی دارند، توصیف می کند: نوسانات کوچک آونگ، نوسانات سطح یک مایع در U (\displaystyle U)مخزن شکل یا تغییر در قدرت جریان در مدار نوسانی. بنابراین، با مطالعه یک مدل ریاضی، ما بلافاصله یک کلاس کامل از پدیده های توصیف شده توسط آن را مطالعه می کنیم. این هم‌شکلی قوانین بیان شده توسط مدل‌های ریاضی در بخش‌های مختلف دانش علمی است که لودویگ فون برتالانفی را برای ایجاد یک «نظریه سیستم‌های عمومی» الهام می‌دهد.

مسائل مستقیم و معکوس مدل سازی ریاضی

مشکلات زیادی در رابطه با مدل سازی ریاضی وجود دارد. ابتدا باید یک نمودار اساسی از شی مدل شده ارائه دهید، آن را در چارچوب ایده آل سازی های این علم بازتولید کنید. بنابراین، یک واگن قطار به سیستمی از صفحات و بدنه‌های پیچیده‌تر از مواد مختلف تبدیل می‌شود، هر ماده به عنوان ایده‌آل‌سازی مکانیکی استاندارد آن (چگالی، مدول الاستیک، ویژگی‌های مقاومت استاندارد) مشخص می‌شود، پس از آن معادلات در طول مسیر ترسیم می‌شوند. جزئیات به‌عنوان بی‌اهمیت کنار گذاشته می‌شوند، محاسبات انجام می‌شوند، در مقایسه با اندازه‌گیری‌ها، مدل پالایش می‌شود و غیره. با این حال، برای توسعه فناوری‌های مدل‌سازی ریاضی، جدا کردن این فرآیند در اجزای اصلی آن مفید است.

به طور سنتی، دو دسته اصلی از مسائل مرتبط با مدل های ریاضی وجود دارد: مستقیم و معکوس.

وظیفه مستقیم: ساختار مدل و تمام پارامترهای آن شناخته شده در نظر گرفته می شود، وظیفه اصلی انجام مطالعه مدل برای استخراج دانش مفید در مورد شی است. پل چه بار استاتیکی را تحمل می کند؟ چگونه به یک بار دینامیک (مثلاً به راهپیمایی گروهی از سربازان یا عبور قطار با سرعت های مختلف) واکنش نشان می دهد، چگونه هواپیما بر دیوار صوتی غلبه می کند، آیا از بال زدن جدا می شود - اینها نمونه های معمولی از یک مشکل مستقیم هستند. تنظیم مشکل مستقیم درست (پرسیدن سوال درست) به مهارت خاصی نیاز دارد. اگر سؤالات درست پرسیده نشود، ممکن است یک پل فرو بریزد، حتی اگر مدل خوبی برای رفتار آن ساخته شده باشد. بنابراین، در سال 1879، پل فلزی راه آهن در سراسر فرث تای در بریتانیای کبیر فروریخت، طراحان آن مدلی از پل را ساختند، آن را برای ضریب ایمنی 20 برابری برای عمل بار محموله محاسبه کردند، اما این پل را فراموش کردند. بادهایی که مدام در آن مکان ها می وزد. و بعد از یک سال و نیم فرو ریخت.

در ساده ترین حالت (مثلاً معادله یک نوسانگر)، مسئله مستقیم بسیار ساده است و به حل صریح این معادله کاهش می یابد.

مشکل معکوس: بسیاری از مدل های ممکن شناخته شده است، یک مدل خاص باید بر اساس داده های اضافی در مورد شی انتخاب شود. اغلب، ساختار مدل مشخص است و برخی از پارامترهای ناشناخته باید تعیین شوند. اطلاعات اضافی ممکن است شامل داده های تجربی اضافی یا الزامات مورد نظر باشد ( مشکل طراحی). داده های اضافی می توانند بدون توجه به روند حل مسئله معکوس به دست آیند ( مشاهده غیرفعال) یا نتیجه آزمایشی باشد که به طور ویژه در طول حل برنامه ریزی شده است ( نظارت فعال).

یکی از اولین نمونه‌های راه‌حل استادانه برای یک مسئله معکوس با استفاده کامل از داده‌های موجود، روش نیوتن برای بازسازی نیروهای اصطکاک از نوسانات میرایی مشاهده‌شده بود.

مثال دیگر آمار ریاضی است. وظیفه این علم توسعه روش هایی برای ثبت، توصیف و تجزیه و تحلیل داده های مشاهده ای و تجربی به منظور ساخت مدل های احتمالی از پدیده های تصادفی انبوه است. یعنی مجموعه مدل های ممکن محدود به مدل های احتمالی است. در کارهای خاص، مجموعه مدل ها محدودتر است.

سیستم های شبیه سازی کامپیوتری

برای پشتیبانی از مدل سازی ریاضی، سیستم های ریاضی کامپیوتری توسعه یافته اند، به عنوان مثال، Maple، Mathematica، Mathcad، MATLAB، VisSim و غیره. آنها به شما امکان می دهند مدل های رسمی و بلوکی از فرآیندها و دستگاه های ساده و پیچیده ایجاد کنید و به راحتی پارامترهای مدل را در طول تغییر دهید. مدل سازی مدل های بلوکتوسط بلوک ها (اغلب گرافیکی) نشان داده می شوند که مجموعه و اتصال آنها توسط نمودار مدل مشخص شده است.

نمونه های اضافی

مدل مالتوس

طبق مدل ارائه شده توسط مالتوس، نرخ رشد متناسب با اندازه جمعیت فعلی است، یعنی با معادله دیفرانسیل توصیف می شود:

x ˙ = α x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha x),

جایی که α (\displaystyle \alpha)- پارامتر خاصی که با تفاوت بین باروری و مرگ و میر تعیین می شود. جواب این معادله تابع نمایی است x (t) = x 0 e α t (\displaystyle x(t)=x_(0)e^(\alpha t)). اگر میزان زاد و ولد از میزان مرگ و میر بیشتر شود ( α > 0 (\displaystyle \alpha >0)، اندازه جمعیت نامحدود است و به سرعت در حال رشد است. در واقع این امر به دلیل منابع محدود امکان پذیر نیست. هنگامی که به یک اندازه جمعیت بحرانی خاص رسید، مدل کافی نیست، زیرا منابع محدود را در نظر نمی گیرد. اصلاح مدل مالتوس می تواند یک مدل لجستیکی باشد که با معادله دیفرانسیل ورهولست توصیف می شود:

x ˙ = α (1 - x x s) x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha \left(1-(\frac (x)(x_(s)))\راست)x),

اندازه جمعیت "تعادل" کجاست، که در آن نرخ تولد دقیقاً با نرخ مرگ و میر جبران می شود. اندازه جمعیت در چنین مدلی به یک مقدار تعادلی تمایل دارد x s (\displaystyle x_(s))، و این رفتار از نظر ساختاری پایدار است.

سیستم شکارچی

فرض کنید دو نوع جانور در یک منطقه زندگی می کنند: خرگوش (گیاه خوار) و روباه (خرگوش خوار). تعداد خرگوش ها را بگذارید x (\displaystyle x)، تعداد روباه y (\displaystyle y). با استفاده از مدل مالتوس با اصلاحات لازم برای در نظر گرفتن خوردن خرگوش توسط روباه به سیستم زیر می رسیم که نام دارد. مدل سینی - Volterra:

( x ˙ = (α - c y) x y ˙ = (- β + d x) y (\displaystyle (\begin(cases)(\dot (x))=(\alpha -cy)x\\(\dot (y ))=(-\بتا +dx)y\end(موارد)))

رفتار این سیستم از نظر ساختاری پایدار نیست: یک تغییر کوچک در پارامترهای مدل (به عنوان مثال، در نظر گرفتن منابع محدود مورد نیاز خرگوش ها) می تواند منجر به تغییر کیفی در رفتار شود.

برای مقادیر پارامترهای خاص، این سیستم زمانی که تعداد خرگوش ها و روباه ها ثابت باشد، حالت تعادلی دارد. انحراف از این حالت منجر به کاهش تدریجی نوسانات در تعداد خرگوش ها و روباه ها می شود.

وضعیت برعکس نیز ممکن است، زمانی که هر انحراف کوچک از وضعیت تعادل منجر به عواقب فاجعه بار، تا انقراض کامل یکی از گونه ها شود. مدل Volterra - Trats به این سؤال پاسخ نمی دهد که کدام یک از این سناریوها در حال تحقق است: در اینجا به تحقیقات بیشتری نیاز است.

همچنین ببینید

یادداشت

1. "بازنمایی ریاضی واقعیت" (دایره المعارف بریتانیا)
2. نوویک I. B.، در مورد مسائل فلسفی مدل سازی سایبرنتیک. م.، دانش، 1964.
3. Sovetov B. Ya.، Yakovlev S. A.مدلسازی سیستمها: Proc. برای دانشگاه ها - ویرایش 3، تجدید نظر شده. و اضافی - م.: بالاتر. مدرسه، 2001. - 343 ص. شابک 5-06-003860-2
4. سامارسکی A. A.، Mikhailov A. P.مدل سازی ریاضی ایده ها. مواد و روش ها. مثال ها. - چاپ دوم، برگردان - م.: فیزمتلیت، 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. میشکیس A.D., عناصر تئوری مدل های ریاضی. - چاپ سوم، برگردان - M.: KomKniga, 2007. - 192 با ISBN 978-5-484-00953-4
6. سووستیانوف، A. G. مدل سازی فرآیندهای فناوری: کتاب درسی / A. G. Sevostyanov، P. A. Sevostyanov. - م.: نور و صنایع غذایی، 1984. - 344 ص.
7. روتاچ وی.یا.تئوری کنترل خودکار. - 1 - M.: ZAO "انتشار خانه MPEI"، 2008. - P. 333. - 9 p. - شابک 978-5-383-00326-8.
8. کاهش مدل و رویکردهای درشت دانه برای پدیده های چند مقیاسی(انگلیسی) . Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. شابک 3-540-35885-4. بازبینی شده در 18 ژوئن 2013. بایگانی شده در 18 ژوئن 2013.
9. یک نظریه بسته به نوع دستگاه ریاضی - خطی یا غیرخطی - و نوع مدل‌های ریاضی خطی یا غیرخطی که از آن استفاده می‌کند، خطی یا غیرخطی در نظر گرفته می‌شود. ...بدون انکار دومی. یک فیزیکدان مدرن، اگر مجبور شود تعریف موجودیت مهمی به عنوان غیرخطی بودن را دوباره خلق کند، به احتمال زیاد به گونه‌ای دیگر عمل می‌کند و با ارجحیت به غیرخطی بودن به عنوان مهم‌تر و گسترده‌تر از دو متضاد، خطی بودن را این‌گونه تعریف می‌کند: «نه غیر خطی بودن.» دانیلوف یو. ا.، سخنرانی در مورد دینامیک غیر خطی. مقدمه ابتدایی. مجموعه "هم افزایی: از گذشته تا آینده". نسخه 2. - M.: URSS، 2006. - 208 p. شابک 5-484-00183-8
10. سیستم‌های دینامیکی که با تعداد محدودی معادلات دیفرانسیل معمولی مدل‌سازی می‌شوند، سیستم‌های متمرکز یا نقطه‌ای نامیده می‌شوند. آنها با استفاده از یک فضای فاز محدود بعد توصیف می شوند و با تعداد محدودی از درجات آزادی مشخص می شوند. یک سیستم تحت شرایط مختلف می تواند متمرکز یا توزیع شده در نظر گرفته شود. مدل های ریاضی سیستم های توزیع شده هستند معادلات دیفرانسیلدر مشتقات جزئی، معادلات انتگرال یا معادلات معمولی با آرگومان عقب افتاده. تعداد درجات آزادی یک سیستم توزیع شده بی نهایت است و برای تعیین وضعیت آن به تعداد نامتناهی داده نیاز است.
    آنیشچنکو وی.اس.، سیستم های پویا، مجله آموزشی سوروس، 1376، شماره 11، ص. 77-84.
11. بسته به ماهیت فرآیندهای مورد مطالعه در سیستم S، همه انواع مدل‌سازی را می‌توان به قطعی و تصادفی، ایستا و پویا، گسسته، پیوسته و گسسته-پیوسته تقسیم کرد. مدل‌سازی قطعی منعکس‌کننده فرآیندهای قطعی است، یعنی فرآیندهایی که در آن‌ها فقدان تأثیرات تصادفی فرض می‌شود. مدل‌سازی تصادفی فرآیندها و رویدادهای احتمالی را به تصویر می‌کشد. ... مدل سازی استاتیک برای توصیف رفتار یک شی در هر نقطه از زمان عمل می کند و مدل سازی پویا رفتار یک شی را در طول زمان منعکس می کند. مدل سازی گسسته برای توصیف فرآیندهایی استفاده می شود که فرض می شود گسسته هستند، به ترتیب، مدل سازی پیوسته به ما امکان می دهد فرآیندهای پیوسته را در سیستم ها منعکس کنیم، و مدل سازی گسسته-پیوسته برای مواردی استفاده می شود که آنها می خواهند حضور هر دو فرآیند گسسته و پیوسته را برجسته کنند. ”
    Sovetov B. Ya.، Yakovlev S. A.مدلسازی سیستمها: Proc. برای دانشگاه ها - ویرایش 3، تجدید نظر شده. و اضافی - م.: بالاتر. مدرسه، 2001. - 343 ص. شابک 5-06-003860-2
12. به طور معمول، یک مدل ریاضی ساختار (دستگاه) شی مدل‌سازی شده، ویژگی‌ها و روابط اجزای این شی را که برای اهداف تحقیق ضروری هستند، منعکس می‌کند. چنین مدلی ساختاری نامیده می شود. اگر مدل فقط نحوه عملکرد شی را منعکس کند - به عنوان مثال، چگونه به تأثیرات خارجی واکنش نشان می دهد - آنگاه آن را عملکردی یا به طور مجازی یک جعبه سیاه می نامند. مدل های ترکیبی نیز امکان پذیر است. میشکیس A.D., عناصر تئوری مدل های ریاضی. - چاپ سوم، برگردان - M.: KomKniga، 2007. - 192 ص.

برای تئوری مدل‌سازی ریاضی باید هدف از مدل‌سازی را دانست و شی مدل‌سازی را به شکل ریاضی نشان داد. کلمه "مدل" از لاتین modus (کپی، تصویر، طرح کلی) گرفته شده است. ساده ترین و بارزترین نمونه مدل سازی، نقشه های جغرافیایی و توپوگرافی است. مدل ها فرمول های ساختاری در شیمی هستند. مدل به عنوان وسیله ای برای شناخت در میان است تفکر منطقیو فرآیند یا پدیده مورد مطالعه.

مدل‌سازی جایگزینی شیء A با شیء دیگر ب است. شیء جایگزین شده اصلی و شیء جایگزین شده مدل نامیده می‌شود. بنابراین، مدل جایگزینی برای مدل اصلی است. بسته به هدف جایگزینی، مدل همان اصلی ممکن است متفاوت باشد. در علم و فناوری، هدف اصلی از مدل‌سازی، مطالعه نسخه اصلی با استفاده از مدل ساده‌تر آن است. جایگزینی یک شی با شی دیگر تنها در صورتی معنا پیدا می کند که شباهت یا قیاس خاصی بین آنها وجود داشته باشد.

مدل ریاضی یک نمایش تقریبی است که در اصطلاحات ریاضی اشیا، مفاهیم، ​​سیستم ها یا فرآیندها بیان می شود. اشیا، مفاهیم، ​​سیستم ها یا فرآیندهایی که باید مدل سازی شوند، اشیاء مدل سازی (OM) نامیده می شوند.

همه اشیا و پدیده ها کم و بیش به هم مرتبط هستند، اما در طول مدل سازی بیشتر روابط متقابل نادیده گرفته می شود و شی مدل سازی به عنوان یک سیستم جداگانه در نظر گرفته می شود. اگر شی مدل‌سازی به عنوان یک سیستم جداگانه تعریف شود، لازم است اصل انتخاب‌پذیری معرفی شود و از انتخاب اتصالات مورد نیاز با محیط خارجی اطمینان حاصل شود. به عنوان مثال، هنگام مدل سازی مدارهای الکترونیکی، برهمکنش های حرارتی، صوتی، نوری و مکانیکی با محیط خارجی نادیده گرفته می شود و تنها متغیرهای الکتریکی در نظر گرفته می شوند. اصل گزینش پذیری یک خطا را به سیستم وارد می کند، به عنوان مثال، تفاوت در رفتار مدل و شی مدل شده. فاکتور مدل سازی مهم بعدی اصل علیت است که متغیرهای ورودی و خروجی را در سیستم به هم مرتبط می کند.

برای کمی کردن سیستم، مفهوم "دولت" معرفی شده است. به عنوان مثال، وضعیت یک مدار الکترونیکی به مقادیر ولتاژ و جریان در یک مدار الکترونیکی در یک زمان معین اشاره دارد.

هنگام استخراج یک مدل ریاضی به صورت تحلیلی، اغلب از دسته بندی های شناخته شده استفاده می شود: قوانین، ساختارها و پارامترها.

اگر هر متغیر y به متغیر x دیگر بستگی داشته باشد، آنگاه کمیت اول تابعی از کمیت دوم است. این وابستگی به شکل y = f(x) یا y = y(x) نوشته می شود. در این نماد، متغیر x آرگومان نامیده می شود. یکی از ویژگی های مهم یک تابع مشتق آن است که فرآیند یافتن آن را تمایز می نامند. معادلاتی که بر اساس قوانین ریاضی، تابع مجهول، مشتقات و آرگومان های آن را به هم متصل می کنند، دیفرانسیل می گویند. فرآیند معکوس به تمایز، که به فرد امکان می دهد خود تابع را از یک مشتق معین پیدا کند، یکپارچگی نامیده می شود.

بیایید یک مورد خاص را در نظر بگیریم که تابع یک مسیر است که به آرگومان - زمان بستگی دارد. سپس مشتق مسیر نسبت به زمان سرعت است و مشتق سرعت (یا مشتق دوم مسیر) شتاب است. به عنوان مثال، اگر سرعت مشخص باشد، از ادغام برای یافتن مسیر طی شده توسط بدن هنگام حرکت در زمان معینی استفاده می شود. اگر فقط شتاب مشخص باشد، عملیات ادغام دو بار برای یافتن مسیر انجام می شود. در این صورت پس از محاسبه انتگرال اول سرعت مشخص می شود.

هدف نهایی از ایجاد مدل های ریاضی ایجاد وابستگی های عملکردی بین متغیرها است. وابستگی عملکردی برای هر مدل خاص می تواند شکل کاملاً تعریف شده ای داشته باشد. هنگامی که دستگاهی شبیه سازی می شود که ورودی آن سیگنال x y دریافت می کند و سیگنال خروجی y ظاهر می شود، اتصال را می توان به صورت جدول نوشت. برای انجام این کار، کل محدوده تغییرات در سیگنال های ورودی و خروجی به تعداد معینی بخش تقسیم می شود. هر بخش از دامنه تغییرات سیگنال ورودی با بخش خاصی از دامنه تغییرات سیگنال خروجی مطابقت دارد. در سیستم های پیچیده که چندین ورودی و چند خروجی وجود دارد، وابستگی های تحلیلی توسط سیستم های معادلات دیفرانسیل بیان می شود.

* قوانین معمولاً برای حوزه های خاصی مانند قوانین کیرشهوف و نیوتن تدوین می شوند. اعمال این قوانین در یک سیستم معمولاً توجه ما را بر روی یک حوزه واحد از علم و فناوری متمرکز می کند. با استفاده از قوانین Kirchhoff و معادلات ماکسول برای تجزیه و تحلیل یک سیستم الکتریکی، محقق دیگر فرآیندهای (به عنوان مثال، حرارتی) در سیستم را نادیده می گیرد.

ایجاد یک مدل ریاضی مستلزم شناخت عناصر موجود در سیستم و روابط آنهاست. پارامترهای مدل ریاضی (MM) آنهایی هستند که در سیستم معادلات گنجانده شده است شانس های مختلف. این ضرایب به همراه معادلات و شرایط مرزی یک MM کامل را تشکیل می دهند.

هر مدل ریاضی را می توان در نتیجه موارد زیر به دست آورد: 1) مشاهده مستقیم یک پدیده، مطالعه و درک مستقیم آن (مدل ها پدیدارشناختی هستند). 2) برخی از فرآیندهای استنتاج، زمانی که یک مدل جدید به عنوان یک مورد خاص از برخی مدل های عمومی تر به دست می آید (این مدل ها مجانبی نامیده می شوند). 3) برخی از فرآیندهای القایی، زمانی که مدل جدید یک تعمیم طبیعی از مدل های ابتدایی است (این مدل ها مدل های ترکیبی یا مجموعه ای نامیده می شوند).

همه سیستم ها در زمان و مکان وجود دارند. از نظر ریاضی، این بدان معنی است که زمان و سه متغیر مکانی را می توان متغیر مستقل در نظر گرفت.

نشانه های زیادی از طبقه بندی مدل های ریاضی بر اساس استفاده از متغیرهای خاص به عنوان متغیرهای مستقل وجود دارد که به صورت پیوسته یا گسسته ارائه شده اند. MM به شرح زیر طبقه بندی می شود:

1) مدل هایی با پارامترهای توزیع شده (همه متغیرهای مستقل به شکل پیوسته گرفته می شوند).

2) مدل هایی با پارامترهای توده ای (همه متغیرهای فضایی مستقل گسسته هستند و متغیر زمان پیوسته است).

3) مدل هایی با پارامترهای گسسته (همه متغیرهای مستقل به صورت گسسته گرفته می شوند).

در شکل 3.10 a... طبقه بندی تقریبی مدل ها را نشان می دهد. همه مدل ها را می توان به واقعی و ایده آل تقسیم کرد (شکل 3.10، a). این فصل فقط مدل‌های ایده‌آلی را مورد بحث قرار می‌دهد که در محتوایشان عینی هستند (منعکس کننده واقعیت واقعی)، اما در شکل ذهنی هستند و نمی‌توانند خارج از آن وجود داشته باشند. مدل های ایده آل فقط در دانش بشری وجود دارند و بر اساس قوانین منطق عمل می کنند. مدل های منطقی شامل مدل های مختلف امضا شده است. یک نکته ضروری در ایجاد هر مدل نمادین، روش رسمی سازی (فرمول ها، الفبا، سیستم های اعداد) است.

در حال حاضر، در تعدادی از حوزه‌های علم و فناوری، مفهوم مدل نه در روح فیزیک کلاسیک، به عنوان یک سیستم بصری، به عنوان مثال، سیستم مکانیکی، بلکه در روح تفسیر می‌شود. مرحله مدرندانش به عنوان یک ساختار منطقی-ریاضی انتزاعی.

در مدل‌سازی مدرن، همراه با نقش فزاینده مدل‌های منطقی انتزاعی در شناخت، روند دیگری در ارتباط با استفاده گسترده از مدل‌های اطلاعات عملکردی سایبرنتیک وجود دارد.

منحصربه‌فرد مدل‌سازی سایبرنتیک در این است که شباهت عینی مدل و شی شبیه‌سازی شده تنها به عملکرد، حوزه‌های کاربرد و ارتباط آنها با محیط خارجی مربوط می‌شود. اساس رویکرد اطلاعاتی برای مطالعه فرآیندهای سایبرنتیک، انتزاع است.

بیایید مدل هایی را که در CAD LSI انجام می شود در نظر بگیریم: ساختاری، عملکردی، هندسی، نمادین، ذهنی، تحلیلی، عددی و شبیه سازی.

مدل‌های ساختاری ترکیب عناصر یک شی یا سیستم، مکان آن‌ها در فضا و روابط، یعنی ساختار سیستم را بازتولید می‌کنند. مدل‌های سازه‌ای می‌توانند هم واقعی (طرح‌بندی) و هم ایده‌آل (مثلاً نقشه‌های مهندسی مکانیک، توپولوژی برد مدار چاپی و توپولوژی آی‌سی) باشند.

مدل‌های کاربردی فقط از رفتار اصلی، وابستگی عملکردی آن به محیط خارجی تقلید می‌کنند. نمونه معمولی مدل هایی است که بر اساس مفهوم "جعبه سیاه" ساخته شده اند.

در این مدل ها، امکان بازتولید عملکرد نسخه اصلی، کاملاً انتزاع از محتوا و ساختار آن، اتصال مقادیر مختلف ورودی و خروجی با استفاده از یک رابطه ریاضی وجود دارد.

برنج. 3.10. طبقه‌بندی کلی مدل‌های (a)، و همچنین مدل‌های مقیاس کامل (b)، فیزیکی (c)، ریاضی واقعی (d)، تصویری (e)، نمادی (f)، مدل‌های ریاضی ایده‌آل (g)

مدل های هندسی فقط ساختار یک شی را منعکس می کنند و در ارتباط با طراحی از اهمیت بالایی برخوردار هستند سیستم های الکترونیکی. این مدل‌ها که بر اساس شباهت هندسی ساخته شده‌اند، امکان حل مسائل مربوط به قرارگیری بهینه اشیاء، ترسیم آثار بر روی مدارهای چاپی و مدارهای مجتمع را فراهم می‌کنند.

مدل‌های علامت، رکوردی مرتب شده از نمادها (نشانه‌ها) هستند. نشانه ها نه بر اساس قوانین فیزیکی، بلکه بر اساس قوانینی که در یک حوزه معرفتی خاص یا به قول خودشان بر اساس ماهیت نشانه ها وضع شده اند، با یکدیگر تعامل دارند. مدل های نمادین اکنون بسیار گسترده شده اند. تقریباً هر زمینه‌ای از دانش - زبان‌شناسی، برنامه‌نویسی، الکترونیک و بسیاری دیگر - نمادهای خاص خود را برای توصیف مدل‌ها توسعه داده‌اند. اینها برنامه ها، طرح ها و غیره هستند.

مدل های ذهنی محصول ادراک حسی و فعالیت تفکر انتزاعی هستند. مدل های ذهنی شامل مدل سیاره ای شناخته شده اتم بور است. برای رساندن این مدل ها در قالب یک توصیف کلامی یا نمادین ارائه می شود، یعنی می توان مدل های ذهنی را در قالب نظام های نشانه ای مختلف ثبت کرد.

مدل های تحلیلی به دست آوردن وابستگی های صریح مقادیر مورد نیاز به پارامترها و متغیرهای مشخص کننده پدیده مورد مطالعه امکان پذیر است. راه حل تحلیلی یک رابطه ریاضی، توصیف تعمیم یافته شی است

مدل های عددی با این واقعیت مشخص می شوند که مقادیر مقادیر مورد نیاز را می توان در نتیجه اعمال مناسب به دست آورد. روشهای عددی. تمام روش های عددی به فرد امکان می دهد فقط اطلاعات خصوصی در مورد مقادیر مورد نظر به دست آورد، زیرا برای اجرای آنها نیاز به تعیین مقادیر خاصی از تمام پارامترهای موجود در رابطه ریاضی دارند. برای هر مقدار مورد نظر، باید مدل ریاضی را به روش خودش تبدیل کرد و رویه عددی مربوطه را اعمال کرد.

مدل‌های شبیه‌سازی در رایانه به شکل الگوریتم‌های مدل‌سازی (برنامه‌ها) پیاده‌سازی می‌شوند که به فرد امکان می‌دهد مقادیر متغیرهای خروجی را محاسبه کند و وضعیت جدیدی را که مدل برای مقادیر داده شده متغیرهای ورودی، پارامترها و حالت اولیه مدل مدل‌سازی شبیه‌سازی، بر خلاف مدل‌سازی عددی، با استقلال الگوریتم مدل‌سازی از نوع اطلاعاتی که باید در نتیجه مدل‌سازی به دست آید، مشخص می‌شود. یک مدل ریاضی که به شکل ریاضی انتزاعی از طریق متغیرها، پارامترها، معادلات و نابرابری ها نمایش داده می شود، کاملاً جهانی، انعطاف پذیر و مؤثر است.

MM شامل عناصر زیر است: متغیرها (وابسته و مستقل). ثابت یا پارامترهای ثابت (تعیین درجه ارتباط بین متغیرها)؛ عبارات ریاضی (معادلات و/یا نابرابری هایی که متغیرها و پارامترها را ترکیب می کنند). عبارات منطقی (تعریف محدودیت های مختلف در مدل ریاضی)؛ اطلاعات (الفبایی و گرافیکی).

مدل های ریاضی بر اساس معیارهای زیر طبقه بندی می شوند: 1) رفتار مدل ها در طول زمان. 2) انواع اطلاعات ورودی، پارامترها و عباراتی که مدل ریاضی را تشکیل می دهند. 3) ساختار مدل ریاضی. 4) نوع دستگاه ریاضی مورد استفاده.

با توجه به مدارهای مجتمع، طبقه بندی زیر قابل ارائه است.

بسته به ماهیت ویژگی های مدار مجتمع، مدل های ریاضی به عملکردی و ساختاری تقسیم می شوند.

مدل‌های تابعی فرآیندهای عملکرد یک شی را منعکس می‌کنند؛ این مدل‌ها شکل سیستم‌های معادلات را دارند.

هنگام حل تعدادی از مسائل طراحی، مدل های ریاضی که فقط ویژگی های ساختاری شی طراحی شده را منعکس می کنند، به طور گسترده استفاده می شوند. چنین مدل‌های ساختاری می‌توانند به شکل ماتریس، نمودار، فهرست بردارها و بیان باشند ترتیب متقابلعناصر در فضا، وجود یک اتصال مستقیم به شکل هادی و غیره. مدل‌های ساختاری در مواردی استفاده می‌شوند که مشکلات سنتز سازه را بتوان رسمی و حل کرد و از ویژگی‌های فرآیندهای فیزیکی در جسم انتزاع کرد.

برنج. 3.11. مدل سازه ای اینورتر = آن. د.)

با توجه به روش به دست آوردن، مدل های ریاضی تابعی به نظری و رسمی تقسیم می شوند.

مدل‌های نظری بر اساس مطالعه قوانین فیزیکی به‌دست می‌آیند و ساختار معادلات و پارامترهای مدل‌ها مبنای فیزیکی مشخصی دارند.

مدل های رسمی با در نظر گرفتن ویژگی های یک شی واقعی به عنوان جعبه سیاه به دست می آیند.

رویکرد نظریبه ما اجازه می دهد تا مدل های جهانی بیشتری را بدست آوریم که برای حالت های مختلف عملیاتی و برای دامنه وسیعی از تغییرات در پارامترهای خارجی معتبر هستند.

تعدادی از ویژگی های طبقه بندی با ویژگی های معادلاتی که مدل ریاضی را تشکیل می دهند مرتبط است. بسته به خطی بودن یا غیرخطی بودن معادلات، مدل ها به خطی و غیرخطی تقسیم می شوند.

بسته به توان مجموعه مقادیر متغیر، مدل ها به پیوسته و گسسته تقسیم می شوند (شکل 3.12).

در مدل‌های پیوسته، متغیری که در آنها ظاهر می‌شود، پیوسته یا تکه‌ای پیوسته است.

متغیرها در مدل های گسسته کمیت های گسسته هستند که مجموعه آنها قابل شمارش است.

برنج. 3.12. متغیرهای پیوسته و گسسته

بر اساس شکل ارتباط بین پارامترهای خروجی، داخلی و خارجی، مدل‌ها در قالب سیستم‌های معادلات و مدل‌ها در قالب وابستگی صریح پارامترهای خروجی به پارامترهای داخلی و خارجی متمایز می‌شوند. اولین آنها الگوریتمی و دومی - تحلیلی نامیده می شوند.

بسته به اینکه آیا معادلات مدل، اینرسی فرآیندها را در شی طراحی در نظر می گیرند، مدل های پویا و استاتیک متمایز می شوند.

مفهوم مدل و شبیه سازی

مدل سازی به معنای وسیع- این هر تصویر، آنالوگ ذهنی یا تصویر تثبیت شده، توصیف، نمودار، طراحی، نقشه و غیره از هر حجم، فرآیند یا پدیده ای است که به عنوان جایگزین یا نماینده آن استفاده می شود. خود شی، فرآیند یا پدیده، اصل این مدل نامیده می شود.

مدل سازی - این مطالعه هر شی یا سیستمی از اشیا با ساخت و مطالعه مدل های آنها است. این استفاده از مدل ها برای تعیین یا روشن کردن ویژگی ها و منطقی کردن روش های ساخت اشیاء جدید ساخته شده است.

هر روش تحقیق علمی مبتنی بر ایده مدل‌سازی است، در حالی که روش‌های نظری از انواع مدل‌های نمادین، انتزاعی و روش‌های تجربی از مدل‌های موضوعی استفاده می‌کنند.

در طول تحقیق، یک پدیده واقعی پیچیده با مقداری کپی یا نمودار ساده شده جایگزین می شود؛ گاهی اوقات چنین کپی فقط برای یادآوری و تشخیص پدیده مورد نظر در جلسه بعدی است. گاهی اوقات نمودار ساخته شده برخی از ویژگی های اساسی را منعکس می کند، به فرد امکان می دهد مکانیسم یک پدیده را درک کند و امکان پیش بینی تغییر آن را فراهم می کند. مدل های مختلف می توانند با یک پدیده مطابقت داشته باشند.

وظیفه محقق پیش بینی ماهیت پدیده و سیر فرآیند است.

گاهی اوقات، اتفاق می افتد که یک شی در دسترس است، اما آزمایش با آن گران است یا منجر به عواقب زیست محیطی جدی می شود. دانش در مورد چنین فرآیندهایی با استفاده از مدل ها به دست می آید.

نکته مهم این است که ماهیت علم شامل مطالعه نه یک پدیده خاص، بلکه طبقه وسیعی از پدیده های مرتبط است. نیاز به تدوین برخی گزاره‌های طبقه‌بندی کلی را که قوانین نامیده می‌شوند را فرض می‌کند. طبیعتاً با چنین فرمولاسیونی بسیاری از جزئیات نادیده گرفته می شوند. برای شناسایی واضح‌تر یک الگو، آگاهانه به سراغ درشت‌سازی، ایده‌آلی‌سازی و طرح‌ریزی می‌روند، یعنی نه خود پدیده، بلکه یک کپی یا مدل کمابیش دقیق از آن را مطالعه می‌کنند. همه قوانین قوانینی در مورد مدل ها هستند، و بنابراین تعجب آور نیست که با گذشت زمان برخی از آنها نظریه های علمینامناسب تلقی می شوند. این منجر به فروپاشی علم نمی شود، زیرا یک مدل با مدل دیگری جایگزین شده است مدرن تر.

نقش ویژه ای در علم توسط مدل های ریاضی، مصالح ساختمانی و ابزار این مدل ها - مفاهیم ریاضی ایفا می شود. آنها در طی هزاران سال انباشته شدند و بهبود یافتند. ریاضیات مدرن ابزار بسیار قدرتمند و جهانی برای تحقیق فراهم می کند. تقریباً هر مفهومی در ریاضیات، هر شیء ریاضی، با شروع از مفهوم عدد، یک مدل ریاضی است. هنگام ساخت یک مدل ریاضی از شی یا پدیده مورد مطالعه، آن دسته از ویژگی ها، ویژگی ها و جزئیات آن شناسایی می شوند که از یک سو حاوی اطلاعات کم و بیش کاملی درباره شیء هستند و از سوی دیگر امکان رسمی سازی ریاضی را فراهم می کنند. رسمی‌سازی ریاضی به این معنی است که ویژگی‌ها و جزئیات یک شی را می‌توان با مفاهیم مناسب ریاضی مرتبط کرد: اعداد، توابع، ماتریس‌ها و غیره. سپس پیوندها و روابط کشف شده و فرض شده در شی مورد مطالعه بین تک تک اجزا و اجزای آن را می توان با استفاده از روابط ریاضی نوشت: برابری ها، نابرابری ها، معادلات. نتیجه یک توصیف ریاضی از فرآیند یا پدیده مورد مطالعه است، یعنی مدل ریاضی آن.

مطالعه یک مدل ریاضی همیشه با قوانین خاصی از عمل بر روی اشیاء مورد مطالعه همراه است. این قوانین منعکس کننده روابط بین علت و معلول است.

ساخت یک مدل ریاضی مرحله مرکزی تحقیق یا طراحی هر سیستمی است. تمام تجزیه و تحلیل بعدی شی به کیفیت مدل بستگی دارد. ساخت مدل یک رویه رسمی نیست. این به شدت به محقق، تجربه و سلیقه او بستگی دارد و همیشه بر اساس مواد آزمایشی خاصی است. مدل باید به اندازه کافی دقیق، کافی و مناسب برای استفاده باشد.

مدل سازی ریاضی

طبقه بندی مدل های ریاضی

مدل های ریاضی می تواند باشدقطعی و تصادفی .

تعیین کنید مدل و مدل هایی هستند که در آنها یک تناظر یک به یک بین متغیرهای توصیف کننده یک شی یا پدیده برقرار می شود.

این رویکرد مبتنی بر دانش مکانیزم عملکرد اشیا است. اغلب شیء مورد مدل سازی پیچیده است و رمزگشایی مکانیسم آن می تواند بسیار کار فشرده و زمان بر باشد. در این مورد، به شرح زیر عمل کنید: آزمایش ها بر روی نسخه اصلی انجام می شود، نتایج پردازش می شوند و بدون کاوش در مکانیسم و ​​نظریه شی شبیه سازی شده، با استفاده از روش ها آمار ریاضیو تئوری های احتمال، بین متغیرهایی که یک شی را توصیف می کنند، ارتباط برقرار می کنند. در این صورت دریافت می کنیدتصادفی مدل . که در تصادفی مدل، رابطه بین متغیرها تصادفی است، گاهی اوقات اساسی است. تأثیر تعداد زیادی از عوامل، ترکیب آنها منجر به مجموعه ای تصادفی از متغیرها می شود که یک شی یا پدیده را توصیف می کنند. با توجه به ماهیت حالت ها، مدل استآماری و پویا.

آماریمدلشامل توصیفی از روابط بین متغیرهای اصلی شی مدل شده در حالت ثابت بدون در نظر گرفتن تغییرات پارامترها در طول زمان است.

که در پویامدل هاروابط بین متغیرهای اصلی شی مدل شده در طول انتقال از یک حالت به حالت دیگر توضیح داده شده است.

مدل هایی وجود دارد گسستهو مداوم، و مختلط نوع که در مداوم متغیرها مقادیر را از یک بازه معین، درگسستهمتغیرها مقادیر مجزا می گیرند.

مدل های خطی- تمام توابع و روابطی که مدل را به صورت خطی توصیف می کنند به متغیرها وخطی نیستدر غیر این صورت.

مدل سازی ریاضی

الزامات ، p ارائه شده است به مدل ها

1. تطبیق پذیری- کامل بودن نمایش مدل از ویژگی های مورد مطالعه یک شی واقعی را مشخص می کند.

1. کفایت توانایی انعکاس ویژگی های مورد نظر یک شی با خطای بالاتر از خطای داده شده است.
2. دقت با میزان توافق بین مقادیر ویژگی های یک شی واقعی و مقادیر این ویژگی ها با استفاده از مدل ها ارزیابی می شود.
3. مقرون به صرفه - با مصرف منابع حافظه رایانه و زمان برای اجرا و عملیات آن تعیین می شود.

مدل سازی ریاضی

مراحل اصلی مدل سازی

1. بیان مسئله.

تعیین هدف تجزیه و تحلیل و راه دستیابی به آن و ایجاد رویکردی کلی برای مسئله مورد مطالعه. در این مرحله، درک عمیق از ماهیت کار مورد نیاز است. گاهی اوقات، تنظیم یک مشکل به درستی کمتر از حل آن دشوار نیست. مرحله بندی یک فرآیند رسمی نیست، هیچ قانون کلی وجود ندارد.

2. مطالعه مبانی نظری و جمع آوری اطلاعات در مورد شی اصلی.

در این مرحله یک نظریه مناسب انتخاب یا تدوین می شود. اگر وجود نداشته باشد، روابط علت و معلولی بین متغیرهای توصیف کننده شی برقرار می شود. داده‌های ورودی و خروجی تعیین می‌شوند و فرضیات ساده‌سازی انجام می‌شوند.

3. رسمی سازی.

این شامل انتخاب سیستمی از نمادها و استفاده از آنها برای نوشتن روابط بین اجزای یک شی در قالب عبارات ریاضی است. طبقه ای از مسائل که مدل ریاضی حاصل از شی را می توان به آنها طبقه بندی کرد تعیین می شود. ممکن است مقادیر برخی از پارامترها هنوز در این مرحله مشخص نشده باشد.

4. انتخاب روش راه حل.

در این مرحله، پارامترهای نهایی مدل ها با در نظر گرفتن شرایط عملیاتی شی تعیین می شوند. برای مسئله ریاضی حاصل، یک روش حل انتخاب می شود یا یک روش خاص توسعه می یابد. هنگام انتخاب روش، دانش کاربر، ترجیحات او و ترجیحات توسعه دهنده در نظر گرفته می شود.

5. پیاده سازی مدل.

با توسعه یک الگوریتم، برنامه ای نوشته می شود که اشکال زدایی، تست شده و راه حلی برای مشکل مورد نظر به دست می آید.

6. تجزیه و تحلیل اطلاعات دریافتی.

راه حل های به دست آمده و مورد انتظار مقایسه شده و خطای مدل سازی پایش می شود.

7. بررسی کفایت شی واقعی.

نتایج به دست آمده از مدل مقایسه شده استیا با اطلاعات موجود در مورد جسم، یا آزمایشی انجام می شود و نتایج آن با نتایج محاسبه شده مقایسه می شود.

فرآیند مدل سازی تکراری است. در صورت عدم رضایت از نتایج مراحل 6. یا 7. بازگشت به یکی از مراحل قبلی انجام می شود که می توانست به توسعه یک مدل ناموفق منجر شود. این مرحله و تمام مراحل بعدی پالایش می‌شوند و این پالایش مدل تا حصول نتایج قابل قبول انجام می‌شود.

مدل ریاضی توصیف تقریبی هر طبقه از پدیده ها یا اشیاء دنیای واقعی در زبان ریاضیات است. هدف اصلی از مدل سازی، کشف این اشیاء و پیش بینی نتایج مشاهدات آینده است. با این حال، مدل سازی همچنین روشی برای درک دنیای اطراف ما است که کنترل آن را ممکن می کند.

مدل‌سازی ریاضی و آزمایش رایانه‌ای مرتبط در مواردی که آزمایش در مقیاس کامل به دلایلی غیرممکن یا دشوار است، ضروری هستند. برای مثال، تنظیم یک آزمایش طبیعی در تاریخ برای بررسی "چه اتفاقی می افتاد اگر ..." غیرممکن است، بررسی درستی یک یا آن نظریه کیهان شناسی غیرممکن است. آزمایش شیوع بیماری مانند طاعون یا انجام یک انفجار هسته ای برای مطالعه عواقب آن ممکن است، اما بعید است معقول باشد. با این حال، همه اینها را می توان در یک کامپیوتر با ساختن مدل های ریاضی پدیده های مورد مطالعه انجام داد.

1.1.2 2. مراحل اصلی مدلسازی ریاضی

1) ساختمان نمونه. در این مرحله، یک شی "غیر ریاضی" مشخص می شود - یک پدیده طبیعی، طراحی، طرح اقتصادی، فرآیند تولید و غیره. در این مورد، به عنوان یک قاعده، توصیف واضح وضعیت دشوار است.ابتدا ویژگی های اصلی پدیده و ارتباطات بین آنها در سطح کیفی شناسایی می شود. سپس وابستگی های کیفی یافت شده به زبان ریاضیات فرموله می شود، یعنی یک مدل ریاضی ساخته می شود. این سخت ترین مرحله مدل سازی است.

2) حل مسئله ریاضی که مدل به آن منتهی می شود. در این مرحله به توسعه الگوریتم‌ها و روش‌های عددی برای حل مسئله در رایانه توجه زیادی می‌شود که به کمک آن‌ها می‌توان با دقت لازم و در مدت زمان قابل قبول به نتیجه رسید.

3) تفسیر پیامدهای به دست آمده از مدل ریاضی.پیامدهای حاصل از مدل در زبان ریاضی به زبان مورد قبول در این رشته تفسیر می شود.

4) بررسی کفایت مدل.در این مرحله مشخص می شود که آیا نتایج تجربی با نتایج نظری مدل با دقت خاصی مطابقت دارد یا خیر.

5) اصلاح مدل.در این مرحله یا مدل پیچیده می شود تا با واقعیت سازگارتر باشد یا برای دستیابی به راه حل عملا قابل قبول ساده سازی می شود.

1.1.3 3. طبقه بندی مدل

مدل ها را می توان بر اساس معیارهای مختلف طبقه بندی کرد. به عنوان مثال، با توجه به ماهیت مسائل در حال حل، مدل ها را می توان به عملکردی و ساختاری تقسیم کرد. در حالت اول، تمام کمیت های مشخص کننده یک پدیده یا شی به صورت کمی بیان می شوند. علاوه بر این، برخی از آنها به عنوان متغیرهای مستقل و برخی دیگر به عنوان تابعی از این کمیت ها در نظر گرفته می شوند. یک مدل ریاضی معمولاً سیستمی از معادلات از انواع مختلف (دیفرانسیل، جبری و غیره) است که روابط کمی بین کمیت های مورد بررسی برقرار می کند. در مورد دوم، مدل ساختار یک شی پیچیده متشکل از بخش‌های مجزا را مشخص می‌کند که بین آن‌ها ارتباطات خاصی وجود دارد. به طور معمول، این اتصالات قابل اندازه گیری نیستند. برای ساخت چنین مدل هایی، استفاده از نظریه گراف راحت است. گراف یک جسم ریاضی است که مجموعه ای از نقاط (راس) را در یک صفحه یا در فضا نشان می دهد که برخی از آنها توسط خطوط (لبه ها) به هم متصل شده اند.

بر اساس ماهیت داده ها و نتایج اولیه، مدل های پیش بینی را می توان به قطعی و احتمالی-آماری تقسیم کرد. مدل‌های نوع اول پیش‌بینی‌های قطعی و بدون ابهام را انجام می‌دهند. مدل های نوع دوم بر اساس اطلاعات آماریو پیش بینی های به دست آمده با کمک آنها ماهیت احتمالی دارند.

مدل سازی ریاضی و محاسبات عمومی یا مدل های شبیه سازی

اکنون که کامپیوتری شدن تقریباً جهانی در کشور در حال انجام است، اظهارات متخصصان در مشاغل مختلف را می شنویم: "اگر رایانه معرفی کنیم، همه مشکلات بلافاصله حل می شود." این دیدگاه کاملاً نادرست است؛ خود رایانه‌ها بدون مدل‌های ریاضی فرآیندهای خاص، قادر به انجام هیچ کاری نخواهند بود و تنها می‌توان رویای رایانه‌سازی جهانی داشت.

در حمایت از موارد فوق، سعی خواهیم کرد نیاز به مدل سازی از جمله مدل سازی ریاضی را اثبات کرده و مزایای آن را در شناخت و تحول انسان آشکار کنیم. دنیای بیرون، کاستی های موجود را شناسایی کنیم و به سراغ مدل سازی شبیه سازی برویم، i.e. مدل سازی با استفاده از کامپیوتر اما همه چیز مرتب است.

اول از همه به این سوال پاسخ می دهیم که مدل چیست؟

مدل یک شی مادی یا ذهنی بازنمایی شده است که در فرآیند شناخت (مطالعه) جایگزین اصلی می شود و برخی از ویژگی های معمولی را که برای این مطالعه مهم هستند حفظ می کند.

یک مدل خوش ساخت برای تحقیق بیشتر از یک شی واقعی قابل دسترسی است. به عنوان مثال، آزمایش هایی با اقتصاد کشور در اهداف آموزشی، اینجا نمی توانید بدون مدل کار کنید.

با جمع بندی آنچه گفته شد، می توان به این سوال پاسخ داد که مدل ها برای چیست؟ به منظور. واسه اینکه. برای اینکه

• درک نحوه عملکرد یک شی (ساختار، خواص، قوانین توسعه، تعامل با جهان خارج).
• یاد بگیرید که یک شی (فرآیند) را مدیریت کنید و بهترین استراتژی ها را تعیین کنید
• پیش بینی عواقب ضربه بر جسم

چه چیزی در مورد هر مدلی مثبت است؟ این به شما امکان می دهد تا دانش جدیدی در مورد شی به دست آورید، اما، متأسفانه، تا یک درجه ناقص است.

مدلفرموله شده در زبان ریاضیات با استفاده از روش های ریاضی مدل ریاضی نامیده می شود.

نقطه شروع ساخت آن معمولاً مشکلاتی است، به عنوان مثال یک مشکل اقتصادی. هر دو ریاضی توصیفی و بهینه سازی گسترده هستند و مشخصه های مختلفی دارند فرآیندهای اقتصادیو پدیده ها، برای مثال:

• تخصیص منابع
• برش منطقی
• حمل و نقل
• ادغام شرکت ها
• برنامه ریزی شبکه

یک مدل ریاضی چگونه ساخته می شود؟

• ابتدا هدف و موضوع مطالعه فرموله می شود.
• در مرحله دوم، مهمترین ویژگی های مربوط به این هدف برجسته شده است.
• ثالثاً، روابط بین عناصر مدل به صورت شفاهی توصیف می شود.
• بعد، رابطه رسمی می شود.
• و یک محاسبه با استفاده از یک مدل ریاضی انجام می شود و حل به دست آمده مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد.

با استفاده از این الگوریتم، می توانید هر مشکل بهینه سازی را حل کنید، از جمله چند معیاره، یعنی. هدفی که در آن نه یک، بلکه چندین هدف از جمله اهداف متناقض دنبال می شود.

بیایید یک مثال بزنیم. تئوری در صف- مشکل صف بندی تعادل بین دو عامل ضروری است - هزینه نگهداری دستگاه های خدماتی و هزینه ماندن در صف. پس از ایجاد یک توصیف رسمی از مدل، محاسبات با استفاده از روش های تحلیلی و محاسباتی انجام می شود. اگر مدل خوب است، پاسخ‌هایی که به کمک آن پیدا می‌شود برای سیستم مدل‌سازی کافی است، اگر بد است، باید بهبود یابد و جایگزین شود. ملاک کفایت، عمل است.

مدل‌های بهینه‌سازی، از جمله مدل‌های چند معیاره، دارای ویژگی مشترکی هستند - یک هدف (یا چندین هدف) شناخته شده است، که برای دستیابی به آن اغلب باید با سیستم‌های پیچیده سر و کار داشت، جایی که در آن نه به حل مسائل بهینه‌سازی، بلکه در مورد مطالعه و پیش‌بینی است. ایالات بسته به استراتژی های مدیریت انتخاب شده است. و در اینجا با دشواری های اجرای طرح قبلی مواجه هستیم. آنها به شرح زیر است:

• یک سیستم پیچیده شامل بسیاری از ارتباطات بین عناصر است
• یک سیستم واقعی تحت تأثیر عوامل تصادفی است، در نظر گرفتن آنها به صورت تحلیلی غیرممکن است
• امکان مقایسه نسخه اصلی با مدل تنها در ابتدا و پس از استفاده از دستگاه ریاضی وجود دارد، زیرا نتایج میانی ممکن است در سیستم واقعی مشابه نداشته باشند.

در ارتباط با مشکلات ذکر شده که هنگام مطالعه سیستم های پیچیده ایجاد می شود، تمرین به روش انعطاف پذیرتری نیاز داشت و ظاهر شد - "مدل سازی شبیه سازی".

به طور معمول، یک مدل شبیه سازی به عنوان مجموعه ای از برنامه های کامپیوتری درک می شود که عملکرد بلوک های سیستم فردی و قوانین تعامل بین آنها را توصیف می کند. استفاده متغیرهای تصادفیانجام آزمایش های مکرر با سیستم شبیه سازی (در رایانه) و متعاقب آن ضروری است تحلیل آمارینتایج به دست آورد. یک مثال بسیار رایج از استفاده از مدل های شبیه سازی، حل مسئله صف با استفاده از روش MONTE CARLO است.

بنابراین، کار با یک سیستم شبیه‌سازی آزمایشی است که روی یک کامپیوتر انجام می‌شود. مزایای آن چیست؟

- نزدیکی بیشتر به سیستم واقعی نسبت به مدل های ریاضی.

- اصل بلوک تأیید هر بلوک را قبل از گنجاندن آن در سیستم کلی امکان پذیر می کند.

- استفاده از وابستگی هایی با ماهیت پیچیده تر که با روابط ساده ریاضی قابل توصیف نیستند.

مزایای ذکر شده معایب را مشخص می کند

- ساخت یک مدل شبیه سازی بیشتر طول می کشد، دشوارتر و گران تر است.

- برای کار با سیستم شبیه سازی، باید یک کامپیوتر مناسب برای کلاس داشته باشید.

- تعامل بین کاربر و مدل شبیه سازی (رابط) نباید خیلی پیچیده، راحت و شناخته شده باشد.

-ساخت یک مدل شبیه سازی نیاز به مطالعه عمیق تری از فرآیند واقعی نسبت به مدل سازی ریاضی دارد.

این سوال مطرح می شود: آیا مدل سازی شبیه سازی می تواند جایگزین روش های بهینه سازی شود؟ نه، اما به راحتی آنها را تکمیل می کند. مدل شبیه‌سازی برنامه‌ای است که الگوریتم خاصی را پیاده‌سازی می‌کند و برای بهینه‌سازی کنترل آن، ابتدا یک مسئله بهینه‌سازی حل می‌شود.

بنابراین، نه یک کامپیوتر، نه یک مدل ریاضی و نه الگوریتمی برای مطالعه آن به تنهایی نمی تواند یک مسئله به اندازه کافی پیچیده را حل کند. اما با هم آنها نیرویی را نشان می دهند که به ما امکان می دهد دنیای اطراف خود را درک کنیم و آن را در راستای منافع انسان مدیریت کنیم.

1.2 طبقه بندی مدل

1.2.1 طبقه بندی با در نظر گرفتن عامل زمان و منطقه استفاده (Makarova N.A.) مدل استاتیک -این مانند یک عکس فوری از اطلاعات یک شی است (نتیجه یک بررسی) پویا مدل-اجازه می دهد مشاهده تغییرات در یک شی در طول زمان (کارت در کلینیک) مدل ها را نیز می توان بر اساس طبقه بندی کرد به چه حوزه ای از دانش تعلق دارند؟(بیولوژیکی، تاریخی، محیطی و غیره) بازگشت به بالا

1.2.2 طبقه بندی بر اساس منطقه مورد استفاده (Makarova N.A.) آموزشی-دیداریکتابچه راهنمای کاربر، شبیه ساز آه، آنهایی که زوزه می کشندبرنامه ها با تجربه مدل ها کاهش یافته است کپی (ماشین در تونل باد) علمی و فنیسنکروفازوترون، پایه تست تجهیزات الکترونیکی است بازی -اقتصادی، ورزش ، بازی های تجاری تقلید -نهآنها به سادگی واقعیت را منعکس می کنند، اما از آن تقلید می کنند (داروها روی موش ها آزمایش می شوند، آزمایش ها در مدارس انجام می شود و غیره. این روش مدل سازی نام دارد. ازمایش و خطا بازگشت به بالا

1.2.3 طبقه بندی بر اساس روش ارائه Makarov N.A.) مواد مدل ها- در غیر این صورت را می توان موضوع نامید. آنها هندسی را درک می کنند و مشخصات فیزیکیاصلی و همیشه یک تجسم واقعی دارند اطلاعات مدل ها مجاز نیستند لمس کنید یا ببینید آنها فقط بر اساس اطلاعات هستند .و اطلاع رسانیمدل مجموعه ای از اطلاعات است که ویژگی ها و حالات یک شی، فرآیند، پدیده و همچنین رابطه با جهان خارج را مشخص می کند. مدل کلامی -مدل اطلاعاتی به صورت ذهنی یا گفتاری نمادین مدل-اطلاعات مدلی که با نشانه ها بیان می شود ، یعنی. با استفاده از هر زبان رسمی مدل کامپیوتری - متر مدلی که با استفاده از محیط نرم افزاری پیاده سازی شده است.

1.2.4 طبقه بندی مدل های ارائه شده در کتاب "انفورماتیک زمین" (Gein A.G.)) «... در اینجا یک کار به ظاهر ساده وجود دارد: عبور از صحرای قراقوم چقدر طول می کشد؟ پاسخ البته این استبستگی به نوع حمل و نقل دارد اگر مسافرت درشتر، یک ترم طول می کشد، اگر با ماشین بروید یک ترم دیگر، اگر با هواپیما پرواز کنید یک ترم دیگر طول می کشد. و مهمتر از همه، مدل های مختلفی برای برنامه ریزی سفر مورد نیاز است. برای مورد اول، مدل مورد نیاز را می توان در خاطرات یافت کاشفان معروفبیابان ها: از این گذشته ، در اینجا شما نمی توانید بدون اطلاعات در مورد واحه ها و مسیرهای شتر انجام دهید. در مورد دوم، اطلاعات موجود در اطلس جاده غیر قابل جایگزینی است. در مورد سوم می توانید از برنامه پرواز استفاده کنید. این سه مدل - خاطرات، اطلس و برنامه زمانبندی - و ماهیت ارائه اطلاعات متفاوت هستند. در حالت اول، مدل با توصیف شفاهی اطلاعات نشان داده می شود (مدل توصیفی)، در دوم - گویی عکسی از زندگی (مدل تمام مقیاس)، در سوم - جدولی حاوی نمادها: زمان حرکت و ورود، روز هفته، قیمت بلیط (به اصطلاح مدل علامت)با این حال، این تقسیم بسیار دلخواه است - در خاطرات ممکن است نقشه ها و نمودارها (عناصر یک مدل در مقیاس کامل) را پیدا کنید، در نقشه ها نمادها (عناصر یک مدل نمادین) وجود دارد، در برنامه رمزگشایی نمادها (عناصر) وجود دارد. یک مدل توصیفی). بنابراین این دسته بندی مدل ها... به نظر ما بی ثمر است" به نظر من، این قطعه بیانگر سبک تدریس توصیفی (زبان و سبک ارائه شگفت انگیز) و به قولی سقراطی رایج در همه کتاب های هاین است (همه فکر می کنند اینگونه است. من کاملا با شما موافقم اما اگر دقت کنید...).در چنین کتابهایی یافتن یک سیستم روشن از تعاریف بسیار دشوار است (مورد نظر نویسنده نیست). در کتاب درسی ویرایش شده توسط N.A. ماکاروا رویکرد متفاوتی را نشان می دهد - تعاریف مفاهیم به وضوح برجسته و تا حدودی ثابت هستند.

1.2.5 طبقه بندی مدل های ارائه شده در کتابچه راهنمای A.I. Bochkin تعداد غیرعادی زیادی از روش های طبقه بندی وجود دارد .پ بیاوریدفقط برخی از شناخته شده ترین زمینه ها و نشانه ها: گسستگیو تداوم، ماتریسو مدل های اسکالر، مدل های ایستا و پویا، مدل های تحلیلی و اطلاعاتی، مدل های موضوعی و نشانه های فیگوراتیو، در مقیاس بزرگ و غیرمقیاس... هر نشانه معین می دهددانش در مورد ویژگی های مدل و واقعیت شبیه سازی شده. علامت می تواند به عنوان یک اشاره در مورد روش مدل سازی تکمیل شده یا آینده باشد. گسسته و تداوم گسسته - ویژگی بارز مدل های کامپیوتری .گذشته از همه اینهایک کامپیوتر می تواند در یک تعداد محدود، هرچند بسیار زیاد از حالت ها باشد. بنابراین، حتی اگر جسم پیوسته (زمان) باشد، در مدل در جهش تغییر می کند. می شد در نظر گرفت تداومنشانه ای از مدل های غیر کامپیوتری شانس و جبرگرایی . عدم قطعیت، تصادفدر ابتدا مخالفت کرد دنیای کامپیوتر: الگوریتمی که دوباره راه اندازی می شود باید خودش را تکرار کند و همان نتایج را بدهد. اما برای شبیه سازی فرآیندهای تصادفی از حسگرهای اعداد شبه تصادفی استفاده می شود. وارد کردن تصادفی به مسائل قطعی منجر به مدل های قدرتمند و جالب می شود (محاسبه مساحت با پرتاب تصادفی). ماتریکسیت - مقیاس پذیری. در دسترس بودن پارامترها ماتریسمدل پیچیدگی و احتمالاً دقت بیشتر آن را در مقایسه با اسکالر. به عنوان مثال، اگر همه گروه های سنی جمعیت کشور را با در نظر گرفتن کلیت تغییر آن شناسایی نکنیم، یک مدل اسکالر (مثلا مدل مالتوس) به دست می آوریم؛ اگر آن را جدا کنیم، یک ماتریس (جنس) به دست می آوریم. -age) مدل. این مدل ماتریسی بود که امکان توضیح نوسانات باروری پس از جنگ را فراهم کرد. دینامیک استاتیک. این ویژگی‌های مدل معمولاً با ویژگی‌های شی واقعی از پیش تعیین می‌شوند. در اینجا آزادی انتخاب وجود ندارد. فقط ایستااین مدل می تواند گامی به سوی آن باشد پویا، یا برخی از متغیرهای مدل را می توان در حال حاضر بدون تغییر در نظر گرفت. به عنوان مثال، یک ماهواره در اطراف زمین حرکت می کند، حرکت آن تحت تاثیر ماه است. اگر ماه را در طول انقلاب ماهواره ثابت در نظر بگیریم، مدل ساده تری به دست می آوریم. مدل های تحلیلی. شرح فرآیندها به صورت تحلیلی، فرمول ها و معادلات. اما هنگام تلاش برای ساخت یک نمودار، داشتن جداول مقادیر تابع و آرگومان ها راحت تر است. مدل های شبیه سازی. تقلیدمدل‌هایی که مدت‌ها پیش در قالب کپی‌های مقیاس کشتی‌ها، پل‌ها و غیره ظاهر شدند، مدت‌ها پیش ظاهر شدند، اما اخیراً در ارتباط با رایانه‌ها مورد توجه قرار گرفته‌اند. دانستن چگونگی ارتباطعناصر مدل از نظر تحلیلی و منطقی، ساده تر است که سیستمی از روابط و معادلات خاص را حل نکنیم، بلکه با در نظر گرفتن ارتباطات بین عناصر حافظه، سیستم واقعی را در حافظه رایانه نمایش دهیم. مدل های اطلاعاتی. اطلاعاتمدل‌ها معمولاً با مدل‌های ریاضی یا بهتر بگوییم الگوریتمی در تضاد هستند. در اینجا نسبت حجم داده ها به الگوریتم ها مهم است. اگر داده های بیشتری وجود دارد یا مهمتر است، ما یک مدل اطلاعاتی داریم، در غیر این صورت - ریاضی. مدل های موضوعی. این در درجه اول یک مدل کودکان است - یک اسباب بازی. مدل های نمادین. این در درجه اول یک مدل در ذهن انسان است: فیگوراتیو، اگر تصاویر گرافیکی غالب باشد و نمادین، اگر کلمات و/یا اعداد بیشتری وجود دارد. مدل‌های علامت تصویری بر روی رایانه ساخته می‌شوند. مدل های مقیاس. به در مقیاس بزرگمدل‌ها مدل‌های موضوعی یا فیگوراتیو هستند که شکل یک شی (نقشه) را تکرار می‌کنند.

فقط با کمک مدل هایی که از اصل قیاس پویا استفاده می کنند، یعنی با کمک ریاضی، می توان پویایی توسعه یک شی، جوهر درونی روابط عناصر و حالات مختلف آن را در فرآیند طراحی ردیابی کرد. مدل ها.

مدل ریاضیسیستمی از روابط ریاضی است که فرآیند یا پدیده مورد مطالعه را توصیف می کند. برای تدوین یک مدل ریاضی، می توانید از هر وسیله ریاضی استفاده کنید - نظریه مجموعه ها، منطق ریاضی، زبان معادلات دیفرانسیل یا انتگرال. فرآیند تدوین یک مدل ریاضی نامیده می شود مدل سازی ریاضی. مانند انواع دیگر مدل‌ها، یک مدل ریاضی یک مسئله را به شکل ساده‌شده نشان می‌دهد و فقط ویژگی‌ها و الگوهایی را که برای یک شی یا فرآیند معین مهم‌تر هستند، توصیف می‌کند. مدل ریاضی امکان چند جانبه را فراهم می کند آنالیز کمی. با تغییر داده های اولیه، معیارها، محدودیت ها، هر بار می توانید یک راه حل بهینه را در شرایط داده شده به دست آورید و تعیین کنید جهت بیشترجستجو کردن.

ایجاد مدل‌های ریاضی از توسعه‌دهندگان آنها، علاوه بر دانش روش‌های منطقی رسمی، نیاز به تجزیه و تحلیل کامل شی مورد مطالعه به منظور تدوین دقیق ایده‌ها و قواعد اصلی، و همچنین شناسایی مقدار کافی واقعیات قابل اعتماد دارد. داده های آماری و نظارتی

لازم به ذکر است که تمام مدل های ریاضی مورد استفاده در حال حاضر مربوط به تجویزی. هدف از توسعه مدل های تجویزی نشان دادن جهت یافتن راه حل است، در حالی که هدف از توسعه است توصیف می کندمدل ها بازتابی از فرآیندهای تفکر واقعی انسان هستند.

دیدگاه نسبتاً گسترده ای وجود دارد که با کمک ریاضیات می توان فقط برخی از داده های عددی را در مورد شی یا فرآیند مورد مطالعه به دست آورد. "البته، بسیاری از رشته های ریاضی با هدف به دست آوردن یک نتیجه عددی نهایی هستند. اما تقلیل روش های ریاضی فقط به مسئله به دست آوردن عدد به معنای فقیر کردن بی پایان ریاضیات، ضعیف کردن امکان آن سلاح قدرتمندی است که امروزه در دست محققان است...

یک مدل ریاضی نوشته شده در یک یا زبان خصوصی دیگر (مثلاً معادلات دیفرانسیل) منعکس کننده است خواص خاصفرآیندهای فیزیکی واقعی در نتیجه تجزیه و تحلیل مدل های ریاضی، اول از همه، ایده های کیفی در مورد ویژگی های فرآیندهای مورد مطالعه به دست می آوریم، الگوهایی را ایجاد می کنیم که سری پویا حالت های متوالی را تعیین می کند، و فرصتی برای پیش بینی روند فرآیند به دست می آوریم. و مشخصه های کمی آن را تعیین کنید.»

مدل های ریاضی در بسیاری از روش های مدل سازی شناخته شده استفاده می شود. از جمله آنها می توان به توسعه مدل هایی اشاره کرد که حالت ایستا و پویا یک شی را توصیف می کنند، مدل های بهینه سازی.

نمونه‌ای از مدل‌های ریاضی که حالت استاتیکی و دینامیکی یک جسم را توصیف می‌کند، می‌تواند روش‌های مختلف محاسبات ساختاری سنتی باشد. فرآیند محاسبه، ارائه شده در قالب دنباله ای از عملیات ریاضی (الگوریتم)، به ما این امکان را می دهد که بگوییم یک مدل ریاضی برای محاسبه یک ساختار خاص تدوین شده است.

که در بهينه سازيمدل ها شامل سه عنصر هستند:

تابع هدف منعکس کننده معیار کیفیت پذیرفته شده؛

پارامترهای قابل تنظیم؛

محدودیت هایی اعمال کرد.

همه این عناصر باید به صورت ریاضی در قالب معادلات، شرایط منطقی و غیره توصیف شوند. حل یک مسئله بهینه سازی فرآیند یافتن حداقل (حداکثر) مقدار تابع هدف در حین رعایت محدودیت های مشخص شده است. اگر تابع هدف به مقدار نهایی خود برسد، نتیجه حل بهینه در نظر گرفته می شود.

نمونه ای از مدل بهینه سازی، توصیف ریاضی معیار "طول اتصال" در روش طراحی جایگزین ساختمان های صنعتی است.

تابع هدف کل طول وزنی تمام اتصالات عملکردی را منعکس می کند که باید به حداقل برسد:

مقدار وزن اتصال عنصر با کجاست.

- طول اتصال بین و عناصر؛

- تعداد کل عناصر قرار داده شده

از آنجایی که مساحت عناصر قرار داده شده محل در همه انواع راه حل طراحی برابر است، انواع تنها در فواصل مختلف بین عناصر و مکان آنها نسبت به یکدیگر متفاوت هستند. در نتیجه، پارامترهای قابل تنظیم در این مورد مختصات عناصر قرار گرفته بر روی پلان های طبقه است.

محدودیت‌های اعمال شده در محل المان‌ها (در یک مکان از پیش ثابت روی پلان، در محیط بیرونی، روی هم و غیره) و در طول اتصالات (طول اتصالات بین عناصر به طور دقیق مشخص شده است، حداقل یا حداکثر محدودیت مقادیر مشخص شده است، مرزهای تغییر مقادیر مشخص شده است) به طور رسمی نوشته می شود.

در صورتی که مقدار تابع هدف محاسبه شده برای این گزینه حداقل باشد، گزینه ای بهینه (با توجه به این معیار) در نظر گرفته می شود.

انواع مدل های ریاضی – مدل اقتصادی-ریاضی- نشان دهنده یک مدل ارتباطی است ویژگی های اقتصادیو پارامترهای سیستم

نمونه ای از مدل های اقتصادی-ریاضی، توصیف ریاضی معیارهای هزینه در روش فوق الذکر طراحی جایگزین ساختمان های صنعتی است. مدل‌های ریاضی به‌دست‌آمده بر اساس استفاده از روش‌های آماری ریاضی، وابستگی هزینه قاب، فونداسیون، خاک‌برداری ساختمان‌های صنعتی یک طبقه و چند طبقه و ارتفاع، دهانه و گام سازه‌های باربر را نشان می‌دهند.

بر اساس روش در نظر گرفتن تأثیر عوامل تصادفی بر تصمیم‌گیری، مدل‌های ریاضی به دو دسته قطعی و احتمالی تقسیم می‌شوند. قطعیاین مدل تأثیر عوامل تصادفی در فرآیند عملکرد سیستم را در نظر نمی گیرد و بر اساس نمایش تحلیلی الگوهای عملکردی است. احتمالی (تصادفی)این مدل تأثیر عوامل تصادفی را در طول عملیات سیستم در نظر می گیرد و بر اساس آماری است، یعنی. ارزیابی کمی پدیده‌های انبوه، اجازه می‌دهد تا غیرخطی بودن، دینامیک، اختلالات تصادفی توصیف شده توسط قوانین توزیع مختلف را در نظر بگیریم.

با استفاده از مثال‌های بالا می‌توان گفت که مدل ریاضی که معیار «طول اتصالات» را توصیف می‌کند به مدل‌های قطعی و مدل‌های ریاضی که گروه معیارها «هزینه‌ها» را توصیف می‌کنند به مدل‌های احتمالی اشاره دارد.

مدل های زبانی، معنایی و اطلاعاتی

مدل‌های ریاضی مزایای آشکاری دارند، زیرا کمی کردن جنبه‌های یک مسئله، تصویر روشنی از اولویت‌های اهداف ارائه می‌دهد. این مهم است که یک متخصص همیشه می تواند اتخاذ یک تصمیم خاص را با ارائه داده های عددی مربوط توجیه کند. با این حال، توضیحات کامل ریاضی فعالیت های پروژهغیر ممکن است، بنابراین بسیاری از مشکلات حل شده در مرحله اولیه طراحی معماری و ساخت و ساز مربوط به ساختار ضعیفی دارد.

یکی از ویژگی های مسائل نیمه ساختاریافته، توصیف شفاهی معیارهای به کار رفته در آنهاست. معرفی معیارهایی که به زبان طبیعی توصیف شده اند (به این معیارها می گویند وابسته به زبانشناسی) به شما امکان می دهد از روش های کمتر پیچیده برای یافتن راه حل های طراحی بهینه استفاده کنید. با توجه به چنین معیارهایی، طراح بر اساس بیان آشنا و غیرقابل تردید اهداف تصمیم می گیرد.

توصیف معنادار همه جنبه های مسئله از یک سو سیستم سازی را وارد فرآیند حل آن می کند و از سوی دیگر کار متخصصانی را که بدون مطالعه شاخه های ریاضی مربوطه می توانند مشکلات حرفه ای خود را بیشتر حل کنند تا حد زیادی تسهیل می کند. منطقی در شکل 5.2 داده شده است مدل زبانی، تشریح امکانات ایجاد شرایط برای تهویه طبیعی در گزینه های مختلف چیدمان برای یک نانوایی.

سایر مزایای توصیف مسئله معنادار عبارتند از:

توانایی توصیف تمام معیارهایی که اثربخشی یک راه حل طراحی را تعیین می کند. در عین حال، مهم است که مفاهیم پیچیده ای را بتوان در توضیحات وارد کرد و حوزه دید متخصص در کنار عوامل کمی و قابل اندازه گیری، شامل موارد کیفی و غیرقابل اندازه گیری نیز می شود. بنابراین، در زمان تصمیم گیری، از تمام اطلاعات ذهنی و عینی استفاده خواهد شد.

برنج. 5.2 توصیف محتوای معیار "تهویه" در قالب یک مدل زبانی

توانایی ارزیابی بدون ابهام میزان دستیابی به هدف در گزینه های این معیار بر اساس فرمول های پذیرفته شده توسط متخصصان، که اطمینان اطلاعات دریافت شده را تضمین می کند.

توانایی در نظر گرفتن عدم قطعیت مرتبط با دانش ناقص از تمام پیامدهای تصمیمات اتخاذ شده و همچنین اطلاعات پیش بینی کننده.

مدل هایی که از زبان طبیعی برای توصیف موضوع مطالعه استفاده می کنند، شامل مدل های معنایی نیز می شوند.

مدل معنایی- چنین نمایشی از یک شی وجود دارد که نشان دهنده میزان به هم پیوستگی (نزدیکی) بین اجزاء مختلف، جنبه ها، ویژگی های شیء است. به هم پیوستگی به معنای آرایش نسبی فضایی نیست، بلکه به معنای ارتباط در معناست.

بنابراین، در مفهوم معنایی، رابطه بین ضریب روشنایی طبیعی و سطح نور نرده‌های شفاف نزدیک‌تر از رابطه بین بازشوهای پنجره و بخش‌های کور مجاور دیوار ارائه می‌شود.

مجموعه روابط اتصال نشان می دهد که هر عنصر انتخاب شده در یک شی و شی به عنوان یک کل چه چیزی را نشان می دهد. در عین حال، مدل معنایی، علاوه بر میزان پیوستگی جنبه های مختلف در یک شی، محتوای مفاهیم را منعکس می کند. مدل های ابتدایی مفاهیمی هستند که به زبان طبیعی بیان می شوند.

ساخت مدل‌های معنایی مبتنی بر اصولی است که بر اساس آن مفاهیم و ارتباطات در تمام مدت استفاده از مدل تغییر نمی‌کنند. محتوای یک مفهوم به مفهوم دیگر منتقل نمی شود. ارتباط بین دو مفهوم در ارتباط با آنها تعاملی مساوی و غیر جهت دار دارد.

هدف هر تحلیل مدل انتخاب عناصری از مدل است که دارای کیفیت مشخصی مشترک هستند. این زمینه را برای ساخت الگوریتمی فراهم می کند که فقط اتصالات مستقیم را در نظر می گیرد. هنگام تبدیل یک مدل به یک گراف بدون جهت، مسیری بین دو عنصر پیدا می شود که حرکت از یک عنصر به عنصر دیگر را دنبال می کند و از هر عنصر فقط یک بار استفاده می کند. ترتیب ظاهر شدن عناصر را توالی دو عنصر می گویند. دنباله ها می توانند طول های مختلفی داشته باشند. کوتاه ترین آنها روابط عنصر نامیده می شود. دنباله ای از دو عنصر وجود دارد حتی اگر ارتباط مستقیمی بین آنها وجود داشته باشد، اما در این مورد هیچ رابطه ای وجود ندارد.

به عنوان نمونه ای از یک مدل معنایی، ما شرحی از چیدمان یک آپارتمان به همراه ارتباطات ارتباطی ارائه می دهیم. مفهوم محل یک آپارتمان است. اتصال مستقیم به معنای اتصال عملکردی دو اتاق است، به عنوان مثال توسط یک در (جدول 5.1 را ببینید).

تبدیل مدل به شکل یک گراف بدون جهت به ما اجازه می دهد تا دنباله ای از عناصر را بدست آوریم (شکل 5.3).

نمونه هایی از توالی تشکیل شده بین عنصر 2 (حمام) و عنصر 6 (آشپزخانه) در جدول آورده شده است. 5.2. همانطور که از جدول مشخص است، دنباله 3 نشان دهنده رابطه این دو عنصر است.

جدول 5.1

توضیحات چیدمان آپارتمان

برنج. 5.3 شرح راه حل برنامه ریزی در قالب یک نمودار غیر جهت دار

مدل ریاضی چیست؟

مفهوم یک مدل ریاضی.

مدل ریاضی یک مفهوم بسیار ساده است. و بسیار مهم است. این مدل های ریاضی هستند که ریاضیات و زندگی واقعی را به هم متصل می کنند.

صحبت كردن به زبان ساده, مدل ریاضی توصیفی ریاضی از هر موقعیتی است.همین. این مدل می تواند ابتدایی باشد، یا می تواند فوق العاده پیچیده باشد. هر شرایطی که باشد، مدل آن چنین است.)

در هر (تکرار می کنم - در هر!) در موردی که باید چیزی را بشمارید و محاسبه کنید - ما درگیر مدل سازی ریاضی هستیم. حتی اگر به آن مشکوک نباشیم.)

P = 2 CB + 3 CM

این ورودی یک مدل ریاضی از هزینه های خرید ما خواهد بود. در این مدل رنگ بسته بندی، تاریخ انقضا، ادب صندوق دار و ... در نظر گرفته نشده است. به همین دلیل است که او مدل،خرید واقعی نیست اما هزینه ها، یعنی آنچه ما نیاز داریم- حتما متوجه می شویم. البته اگه مدل درست باشه

تصور اینکه یک مدل ریاضی چیست مفید است، اما کافی نیست. مهمترین چیز این است که بتوانید این مدل ها را بسازید.

ترسیم (ساخت) مدل ریاضی مسئله.

ایجاد یک مدل ریاضی به معنای تبدیل شرایط مسئله به شکل ریاضی است. آن ها تبدیل کلمات به معادله، فرمول، نابرابری و غیره. علاوه بر این، آن را طوری تبدیل کنید که این ریاضیات کاملاً مطابقت داشته باشد متن اصلی. در غیر این صورت، ما با یک مدل ریاضی از یک مسئله دیگر که برای ما ناشناخته است، مواجه خواهیم شد.)

به طور خاص، شما نیاز دارید

تعداد بی پایانی از وظایف در جهان وجود دارد. بنابراین، دستورالعمل های گام به گام واضح برای ترسیم یک مدل ریاضی ارائه دهید هروظایف غیر ممکن است

اما سه نکته اصلی وجود دارد که باید به آنها توجه کنید.

1. هر مشکلی حاوی متن است، به اندازه کافی عجیب.) این متن، به عنوان یک قاعده، شامل اطلاعات صریح و بازاعداد، مقادیر و غیره

2. هر مشکلی دارد اطلاعات پنهاناین متنی است که دانش اضافی را در ذهن شما فرض می کند. بدون آنها راهی وجود ندارد. علاوه بر این، اطلاعات ریاضی اغلب در پشت کلمات ساده پنهان می شود و ... توجه را از دست می دهد.

3. هر وظیفه ای باید داده شود ارتباط داده ها با یکدیگراین ارتباط می تواند در متن ساده ارائه شود (چیزی برابر با چیزی است)، یا می تواند در پشت کلمات ساده پنهان شود. اما حقایق ساده و واضح اغلب نادیده گرفته می شوند. و مدل به هیچ وجه کامپایل نشده است.

فوراً می گویم: برای اعمال این سه نکته، باید چندین بار مسئله را (و با دقت!) بخوانید. چیز معمولی

و اکنون - نمونه هایی.

بیایید با یک مشکل ساده شروع کنیم:

پتروویچ از ماهیگیری بازگشت و با افتخار صید خود را به خانواده تقدیم کرد. با بررسی دقیق تر، مشخص شد که 8 ماهی از دریاهای شمالی آمده اند، 20 درصد از کل ماهی ها از دریاهای جنوبی آمده اند و حتی یک ماهی نیز از رودخانه محلی که پتروویچ در آن ماهیگیری می کرده است، نیامده است. پتروویچ چند ماهی از فروشگاه Seafood خرید؟

همه این کلمات باید به نوعی معادله تبدیل شوند. برای انجام این کار نیاز دارید، تکرار می کنم، یک ارتباط ریاضی بین تمام داده های مسئله ایجاد کنید.

از کجا شروع کنیم؟ ابتدا بیایید تمام داده ها را از کار استخراج کنیم. بیایید به ترتیب شروع کنیم:

به نکته اول توجه کنیم.

کدام یک اینجاست؟ صریحاطلاعات ریاضی؟ 8 ماهی و 20 درصد. زیاد نیست، اما ما به مقدار زیادی نیاز نداریم.)

اجازه دهید به نکته دوم توجه کنیم.

به دنبال پنهان شده استاطلاعات اینجاست. این کلمات هستند: "20٪ از تمام ماهی ها". در اینجا شما باید بفهمید که چند درصد هستند و چگونه محاسبه می شوند. در غیر این صورت مشکل حل نمی شود. این دقیقاً همان چیزی است که اطلاعات تکمیلی، که باید در سر شما باشد.

نیز وجود دارد ریاضیاطلاعاتی که کاملا نامرئی هستند. این سوال وظیفه: "چند ماهی خریدم..."این هم یک عدد است. و بدون آن هیچ مدلی شکل نمی گیرد. بنابراین بیایید این عدد را با حرف نشان دهیم "ایکس".ما هنوز نمی دانیم که x برابر است، اما این تعیین برای ما بسیار مفید خواهد بود. جزئیات بیشتر در مورد اینکه چه چیزی را برای X بگیریم و چگونه با آن رفتار کنیم در درس چگونه مسائل ریاضی را حل کنیم نوشته شده است؟ بیایید فوراً آن را بنویسیم:

x قطعه - تعداد کل ماهی.

در مشکل ما ماهی های جنوب به صورت درصد آورده شده است. ما باید آنها را به قطعات تبدیل کنیم. برای چی؟ سپس در چه هرمشکل مدل باید ترسیم شود در همان نوع مقادیر.قطعات - بنابراین همه چیز تکه تکه است. اگر مثلاً ساعت ها و دقیقه ها به آنها داده شود، همه چیز را به یک چیز ترجمه می کنیم - یا فقط ساعت ها یا فقط دقیقه ها. مهم نیست چی باشه مهم است که همه مقادیر از یک نوع بودند.

به افشای اطلاعات برگردیم. هر که نداند علاقه چیست، هرگز آن را فاش نمی کند، بله... اما هر که بداند فوراً می گوید که علاقه اینجا از طرف است. تعداد کلماهی داده می شود. و ما این عدد را نمی دانیم. هیچ چیز کار نخواهد کرد!

بیهوده نیست که تعداد کل ماهی ها را (تکه تکه شده) می نویسیم. "ایکس"تعیین شده است. شمارش ماهی های جنوب امکان پذیر نخواهد بود، اما می توانیم آنها را یادداشت کنیم؟ مثل این:

0.2 قطعه - تعداد ماهی از دریاهای جنوب.

اکنون تمام اطلاعات وظیفه را دانلود کرده ایم. هم آشکار و هم پنهان.

اجازه دهید به نکته سوم توجه کنیم.

به دنبال ارتباط ریاضیبین داده های وظیفه این ارتباط آنقدر ساده است که خیلی ها متوجه آن نمی شوند... اغلب این اتفاق می افتد. در اینجا مفید است که داده های جمع آوری شده را در یک انبوه بنویسید و ببینید چه چیزی چیست.

ما چه داریم؟ بخور 8 عددماهی شمال، 0.2 x قطعه- ماهی جنوب و x ماهی- مبلغ کل آیا می توان این داده ها را به نحوی به یکدیگر پیوند داد؟ بله آسان! تعداد کل ماهی ها برابر استمجموع جنوب و شمال! خب، چه کسی فکرش را می‌کرد...) پس آن را یادداشت می‌کنیم:

x = 8 + 0.2x

این معادله است مدل ریاضی مسئله ما

لطفا توجه داشته باشید که در این مشکل از ما خواسته نمی شود چیزی را تا کنیم!این خود ما بودیم که از سر خودمان خارج شدیم که متوجه شدیم از مجموع ماهی های جنوب و شمال، تعداد کل به ما می رسد. موضوع آنقدر واضح است که به آن توجهی نمی شود. اما بدون این شواهد نمی توان یک مدل ریاضی ایجاد کرد. مثل این.

اکنون می توانید از قدرت کامل ریاضیات برای حل این معادله استفاده کنید). دقیقاً به همین دلیل است که مدل ریاضی تدوین شده است. این معادله خطی را حل می کنیم و جواب می گیریم.

پاسخ: x=10

بیایید یک مدل ریاضی از یک مسئله دیگر ایجاد کنیم:

آنها از پتروویچ پرسیدند: "آیا پول زیادی داری؟" پتروویچ شروع به گریه کرد و پاسخ داد: "بله، فقط کمی. اگر نیمی از تمام پول را خرج کنم و نیمی از بقیه را، آنوقت فقط یک کیسه پول برایم باقی می ماند..." پتروویچ چقدر پول دارد. ?

دوباره نقطه به نقطه کار می کنیم.

1. ما به دنبال اطلاعات صریح هستیم. شما آن را بلافاصله پیدا نخواهید کرد! اطلاعات صریح است یکیکیف پول. چند نیمه دیگر نیز وجود دارد... خب، در نکته دوم به بررسی آن خواهیم پرداخت.

2. ما به دنبال اطلاعات پنهان هستیم. اینها نیمه هستند. چی؟ خیلی واضح نیست ما در حال جستجوی بیشتر هستیم. یه سوال دیگه هم هست: پتروویچ چقدر پول دارد؟اجازه دهید مقدار پول را با حرف نشان دهیم "ایکس":

ایکس- همه پول ها

و دوباره مشکل را می خوانیم. از قبل می دانستم که پتروویچ ایکسپول اینجاست که نیمه کار خواهد کرد! می نویسیم:

0.5 x- نیمی از پول

باقیمانده نیز نصف خواهد بود، یعنی. 0.5 x.و نیمی از نیم را می توان اینگونه نوشت:

0.5 0.5 x = 0.25x- نیمی از باقیمانده

اکنون تمام اطلاعات پنهان آشکار و ثبت شده است.

3. ما به دنبال ارتباط بین داده های ثبت شده هستیم. در اینجا می توانید به سادگی رنج پتروویچ را بخوانید و آن را به صورت ریاضی بنویسید:

اگر نصف پول را خرج کنم...

بیایید این روند را ثبت کنیم. همه پول ها - ایکس.نیم - 0.5 x. خرج کردن، برداشتن است. این عبارت به یک ضبط تبدیل می شود:

x - 0.5 x

بله نصف بقیه ...

نیمی دیگر از باقی مانده را کم می کنیم:

x - 0.5 x - 0.25x

آنوقت فقط یک کیسه پول برایم باقی خواهد ماند...

و اینجا برابری پیدا کردیم! بعد از همه تفریق ها، یک کیسه پول باقی می ماند:

x - 0.5 x - 0.25 x = 1

اینم یه مدل ریاضی! این دوباره یک معادله خطی است، آن را حل می کنیم، به دست می آوریم:

سوال قابل تامل چهار چیست؟ روبل، دلار، یوان؟ و در مدل ریاضی ما پول در چه واحدهایی نوشته شده است؟ در کیسه ها!یعنی چهار کیسهپول از پتروویچ هم خوبه.)

البته وظایف ابتدایی هستند. این به طور خاص برای درک ماهیت طراحی یک مدل ریاضی است. برخی از کارها ممکن است حاوی داده های بسیار بیشتری باشند که گم شدن در آنها آسان است. این اغلب در به اصطلاح اتفاق می افتد. وظایف شایستگی نحوه استخراج محتوای ریاضی از انبوهی از کلمات و اعداد با مثال نشان داده شده است

یک یادداشت دیگر در مشکلات مدرسه کلاسیک (لوله هایی که یک استخر را پر می کنند، قایق هایی که در جایی شناور هستند و غیره)، همه داده ها، به عنوان یک قاعده، بسیار با دقت انتخاب می شوند. دو قانون وجود دارد:
- اطلاعات کافی در مشکل برای حل آن وجود دارد،
- هیچ اطلاعات غیر ضروری در یک مشکل وجود ندارد.

این یک اشاره است. اگر مقداری در مدل ریاضی بدون استفاده باقی مانده است، به این فکر کنید که آیا خطایی وجود دارد یا خیر. اگر داده های کافی وجود نداشته باشد، به احتمال زیاد، همه اطلاعات پنهان شناسایی و ثبت نشده اند.

در صلاحیت و غیره وظایف زندگیاین قوانین به شدت رعایت نمی شود. هیچ سرنخی. اما چنین مشکلاتی نیز قابل حل است. البته اگر روی کلاسیک تمرین کنید.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.