مساحت سطح جانبی یک هرم چهار گوش منظم: فرمول ها و مثال ها نحوه پیدا کردن سطح جانبی هرم مساحت سطح جانبی هرم برابر با مجموع آن است.

شکلی چند وجهی است که قاعده آن چند ضلعی است و وجوه باقیمانده با مثلث هایی با راس مشترک نشان داده می شوند.

اگر قاعده مربع باشد، هرم نامیده می شود چهار گوش، اگر یک مثلث - پس مثلثی. ارتفاع هرم از بالای آن عمود بر قاعده کشیده شده است. همچنین برای محاسبه مساحت استفاده می شود حکم- ارتفاع صورت کناری، از بالای آن پایین آمده است.
فرمول مساحت سطح جانبی هرم، مجموع مساحت وجوه جانبی آن است که با یکدیگر برابر هستند. با این حال، این روش محاسبه بسیار به ندرت استفاده می شود. اساساً مساحت هرم از طریق محیط قاعده و آپوتم محاسبه می شود:

بیایید مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی هرم را در نظر بگیریم.

بگذارید یک هرم با پایه ABCDE و F بالا داده شود. AB =BC =CD =DE =EA =3 سانتی متر آپوتم a = 5 سانتی متر مساحت سطح جانبی هرم را پیدا کنید.
بیایید محیط را پیدا کنیم. از آنجایی که تمام لبه های پایه برابر هستند، محیط پنج ضلعی برابر است با:
اکنون می توانید ناحیه جانبی هرم را پیدا کنید:

مساحت یک هرم مثلثی منظم

هرم مثلثی منتظم از قاعده ای تشکیل شده است که در آن یک مثلث منظم و سه وجه ضلعی که مساحت آنها برابر است قرار دارد.
فرمول سطح جانبی هرم مثلثی منظم را می توان به روش های مختلفی محاسبه کرد. می توانید فرمول محاسبه معمول را با استفاده از محیط و آپوتم اعمال کنید یا می توانید مساحت یک وجه را پیدا کنید و آن را در سه ضرب کنید. از آنجایی که صورت هرم مثلث است، فرمول مساحت مثلث را اعمال می کنیم. به یک آپوتم و طول پایه نیاز دارد. بیایید مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی یک هرم مثلثی منظم را در نظر بگیریم.

یک هرم با آپوتم a = 4 سانتی متر و وجه قاعده b = 2 سانتی متر داده می شود. مساحت سطح جانبی هرم را پیدا کنید.
ابتدا مساحت یکی از وجه های کناری را پیدا کنید. که در در این مورداو خواهد بود:
مقادیر را در فرمول جایگزین کنید:
از آنجایی که در یک هرم معمولی همه اضلاع یکسان هستند، مساحت سطح جانبی هرم برابر با مجموع مساحت سه وجه خواهد بود. به ترتیب:

مساحت یک هرم ناقص

کوتاه شدههرم چند وجهی است که توسط یک هرم و سطح مقطع آن موازی با قاعده تشکیل شده است.
فرمول سطح جانبی هرم کوتاه بسیار ساده است. مساحت برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع محیط قاعده ها و آپوتم:

تعریف هرم

هرمچند ضلعی است که قاعده آن چند ضلعی و وجوه آن مثلث است.

ماشین حساب آنلاین

بهتر است در تعریف برخی از اجزای هرم صحبت کنیم.

او، مانند سایر چند وجهی، دارد دنده. آنها به یک نقطه به نام همگرا می شوند بالااهرام. می تواند بر اساس یک چند ضلعی دلخواه باشد. حاشیه، غیرمتمرکزتماس گرفت شکل هندسی، که توسط یکی از اضلاع پایه و دو نزدیکترین دنده تشکیل شده است. در مورد ما مثلث است. ارتفاعهرم فاصله از صفحه ای است که قاعده آن تا بالای چندوجهی قرار دارد. برای یک هرم منظم، یک مفهوم نیز وجود دارد اشتباهات- این یک عمود است که از بالای هرم به قاعده آن نزول کرده است.

انواع اهرام

3 نوع اهرام وجود دارد:

1. مستطیل شکل- یکی که در آن هر لبه با پایه زاویه قائمه تشکیل دهد.
2. درست- قاعده آن یک شکل هندسی منظم است و راس چند ضلعی خود نمایانگر مرکز پایه است.
3. چهار وجهی- هرمی که از مثلث تشکیل شده است. علاوه بر این، هر یک از آنها را می توان به عنوان مبنایی در نظر گرفت.

فرمول مساحت سطح هرم

برای پیدا کردن سطح کل هرم، باید مساحت سطح جانبی و مساحت پایه را اضافه کنید.

ساده ترین مورد، مورد یک هرم منظم است، بنابراین به آن خواهیم پرداخت. اجازه دهید مساحت کل چنین هرمی را محاسبه کنیم. مساحت سطح جانبی عبارت است از:

S side = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pاس سمت​ = 2 1 ​ ⋅ ل ⋅پ

Ll ل- شعار هرم؛
ص ص پ- محیط قاعده هرم.

مساحت کل هرم:

S = سمت S + S اصلی S=S_(\متن(سمت))+S_(\متن(اصلی))S=اس سمت​ + اس پایه ای​

سمت S_(\متن(سمت)) اس سمت​ - مساحت سطح جانبی هرم؛
S اصلی S_(\text(basic)) اس پایه ای​ - مساحت قاعده هرم.

نمونه ای از حل یک مشکل.

مساحت کل هرم مثلثی را در صورتی بیابید که نقطه آن 8 (سانتی متر) باشد و در قاعده مثلث متساوی الاضلاع با ضلع 3 (سانتی متر) باشد.

راه حل

L = 8 l = 8 l =8
a = 3 a = 3 a =3

بیایید محیط پایه را پیدا کنیم. از آنجایی که قاعده یک مثلث متساوی الاضلاع با ضلع است a آ، سپس محیط آن ص ص پ(مجموع تمام اضلاع آن):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9p =a+a+a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9

سپس مساحت جانبی هرم عبارت است از:

سمت S = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36اس سمت​ = 2 1 ​ ⋅ ل ⋅p =2 1 ​ ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (مربع را ببینید)

حالا بیایید مساحت قاعده هرم یعنی مساحت مثلث را پیدا کنیم. در مورد ما، مثلث متساوی الاضلاع است و مساحت آن را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

S main = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)اس پایه ای​ = 4 3 ​ ⋅ آ 2 ​

A a آ- ضلع مثلث

ما گرفتیم:

S main = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3.9 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3 )\cdot 3^2)(4)\approx3.9اس پایه ای​ = 4 3 ​ ⋅ آ 2 ​ = 4 3 ​ ⋅ 3 2 ​ ≈ 3 . 9 (مربع را ببینید)

مساحت کل:

S = سمت S + S اصلی ≈ 36 + 3.9 = 39.9 S=S_(\text(سمت))+S_(\text(اصلی))\approx36+3.9=39.9S=اس سمت​ + اس پایه ای​ ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (مربع را ببینید)

پاسخ: 39.9 سانتی متر مربع

مثال دیگر، کمی پیچیده تر.

قاعده هرم مربعی به مساحت 36 سانتی متر مربع است. آپوتم یک چند وجهی 3 برابر ضلع قاعده است a آ. مساحت کل این شکل را پیدا کنید.

راه حل

S quad = 36 S_(\text(quad))=36اس چهار​ = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l =3 ⋅ آ

بیایید ضلع پایه یعنی ضلع مربع را پیدا کنیم. مساحت و طول ضلع آن مرتبط است:

S quad = a 2 S_(\text(quad))=a^2اس چهار​ = آ 2
36 = a 2 36 = a^2 3 6 = آ 2
a = 6 a = 6 a =6

بیایید محیط قاعده هرم (یعنی محیط مربع) را پیدا کنیم:

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24p =a+a+a+a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4

بیایید طول پیام را پیدا کنیم:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8

در مورد ما:

S quad = S اصلی S_(\text(quad))=S_(\text(basic))اس چهار​ = اس پایه ای​

تنها چیزی که باقی می ماند یافتن ناحیه سطح جانبی است. طبق فرمول:

S side = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216اس سمت​ = 2 1 ​ ⋅ ل ⋅p =2 1 ​ ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (مربع را ببینید)

مساحت کل:

$اس={اس}^{\text{سمت + اسپایه ای = 2 1 6 + 3 6 = 2 5 2 (مربع را ببینید)}}$

پاسخ: 252 سانتی متر مربع

در یک هرم مثلثی منظم SABC R- وسط دنده AB, اس- بالا.
مشخص است که SR = 6، و مساحت سطح جانبی برابر است با 36 .
طول قطعه را پیدا کنید قبل از میلاد مسیح..

بیایید یک نقاشی بکشیم. در یک هرم منظم، وجوه جانبی مثلث متساوی الساقین هستند.

بخش خط S.R.- میانه به پایه و در نتیجه ارتفاع صورت جانبی کاهش می یابد.

مساحت سطح جانبی هرم مثلثی منظم برابر با مجموع مساحت هاست
سه وجه جانبی مساوی سمت S = 3 S ABS. از اینجا S ABS = 36: 3 = 12- ناحیه صورت

مساحت یک مثلث برابر با نصف حاصلضرب قاعده و ارتفاع آن است
S ABS = 0.5 AB SR. با دانستن مساحت و ارتفاع، طرف پایه را پیدا می کنیم AB = قبل از میلاد.
12 = 0.5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

پاسخ: 4

می توانید از طرف دیگر به مشکل نزدیک شوید. اجازه دهید سمت پایه AB = BC = a.
سپس ناحیه صورت S ABS = 0.5 AB SR = 0.5 a 6 = 3a.

مساحت هر یک از سه وجه برابر است با 3a، مساحت سه وجه برابر است 9a.
با توجه به شرایط مشکل، مساحت سطح جانبی هرم 36 است.
سمت S = 9a = 36.
از اینجا a = 4.

قبل از مطالعه سوالات مربوط به این شکل هندسی و ویژگی های آن، باید برخی از اصطلاحات را درک کنید. وقتی شخصی در مورد یک هرم می شنود، ساختمان های عظیمی را در مصر تصور می کند. این همان چیزی است که ساده ترین آنها به نظر می رسد. اما آنها اتفاق می افتد انواع متفاوتو اشکال، یعنی فرمول محاسبه برای اشکال هندسی متفاوت خواهد بود.

انواع فیگور

هرم - شکل هندسی، نشان دهنده و نشان دهنده چند چهره است. در اصل، این همان چند وجهی است که در پایه آن یک چند ضلعی قرار دارد و در طرفین مثلث هایی وجود دارد که در یک نقطه به هم متصل می شوند - راس. شکل در دو نوع اصلی ارائه می شود:

• درست؛
• کوتاه شده

در حالت اول، پایه یک چند ضلعی منظم است. در اینجا تمام سطوح جانبی برابر هستندبین خود و خود چهره، چشم یک کمال گرا را خشنود می کند.

در مورد دوم، دو پایه وجود دارد - یکی بزرگ در پایین و دیگری کوچک بین بالا، که شکل اصلی را تکرار می کند. به عبارت دیگر، هرم بریده، چند وجهی است که سطح مقطع آن به موازات قاعده شکل گرفته است.

اصطلاحات و نمادها

شرایط کلیدی:

• مثلث منتظم (متساوی الاضلاع).- شکلی با سه زاویه و ضلع مساوی. در این حالت تمام زوایا 60 درجه هستند. شکل ساده ترین چند وجهی منظم است. اگر این شکل در پایه قرار داشته باشد، چنین چند وجهی مثلثی منظم نامیده می شود. اگر قاعده مربع باشد، هرم را هرم چهار گوش منتظم می نامند.
• راس- بالاترین نقطه ای که لبه ها به هم می رسند. ارتفاع راس توسط یک خط مستقیم که از راس تا قاعده هرم امتداد دارد تشکیل می شود.
• حاشیه، غیرمتمرکز- یکی از صفحات چند ضلعی. این می تواند به شکل مثلث در مورد هرم مثلثی یا به شکل ذوزنقه باشد. هرم کوتاه شده.
• بخش – شکل تخت، در نتیجه تشریح شکل گرفته است. نباید با یک بخش اشتباه گرفته شود، زیرا یک بخش همچنین آنچه را که در پشت بخش قرار دارد نشان می دهد.
• آپوتم- قسمتی که از بالای هرم به سمت قاعده آن کشیده شده است. همچنین ارتفاع صورت است که نقطه ارتفاع دوم در آن قرار دارد. این تعریففقط برای یک چند وجهی معمولی معتبر است. به عنوان مثال، اگر این یک هرم کوتاه نباشد، صورت یک مثلث خواهد بود. در این صورت ارتفاع این مثلث تبدیل به ابهت می شود.

فرمول های مساحت

سطح جانبی هرم را پیدا کنیدهر نوع را می توان به روش های مختلفی انجام داد. اگر شکل متقارن نباشد و یک چند ضلعی با اضلاع مختلف باشد، در این صورت محاسبه مساحت کل سطح از مجموع تمام سطوح آسانتر است. به عبارت دیگر، باید مساحت هر صورت را محاسبه کرده و با هم جمع کنید.

بسته به اینکه چه پارامترهایی شناخته شده است، ممکن است به فرمول هایی برای محاسبه مربع، ذوزنقه، چهارضلعی دلخواه و غیره نیاز باشد. خود فرمول ها در موارد مختلفتفاوت هایی نیز خواهد داشت.

در مورد یک فیگور معمولی، یافتن منطقه بسیار ساده تر است. تنها دانستن چند پارامتر کلیدی کافی است. در بیشتر موارد، محاسبات به طور خاص برای چنین ارقامی مورد نیاز است. بنابراین فرمول های مربوطه در زیر ارائه خواهد شد. در غیر این صورت، شما باید همه چیز را در چندین صفحه بنویسید، که فقط شما را گیج و سردرگم می کند.

فرمول اساسی برای محاسبهسطح جانبی هرم منظم به شکل زیر خواهد بود:

S=½ Pa (P محیط قاعده است و آپوتم است)

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. چند وجهی دارای یک پایه با قطعات A1، A2، A3، A4، A5 است و همه آنها برابر با 10 سانتی متر هستند، بگذارید آپوتم برابر با 5 سانتی متر باشد، ابتدا باید محیط را پیدا کنید. از آنجایی که هر پنج وجه پایه یکسان هستند، می توانید آن را به این صورت پیدا کنید: P = 5 * 10 = 50 سانتی متر سپس فرمول اصلی را اعمال می کنیم: S = ½ * 50 * 5 = 125 سانتی متر مربع.

سطح جانبی هرم مثلثی منظمساده ترین محاسبه فرمول به صورت زیر است:

S =½* ab *3، جایی که a حرف اول است، b صورت پایه است. ضریب سه در اینجا به معنای تعداد وجوه پایه است و قسمت اول مساحت سطح جانبی است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم. شکلی با آپوتم 5 سانتی متر و لبه پایه 8 سانتی متر را در نظر می گیریم: S = 1/2*5*8*3=60 سانتی متر مربع را محاسبه می کنیم.

سطح جانبی یک هرم کوتاهمحاسبه آن کمی دشوارتر است. فرمول به این صورت است: S = 1/2*(p_01+ p_02)*a، که در آن p_01 و p_02 محیط پایه ها هستند، و آپوتم است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم. فرض کنید برای یک شکل چهارگوش، ابعاد اضلاع پایه ها 3 و 6 سانتی متر است و آپوتم 4 سانتی متر است.

در اینجا ابتدا باید محیط پایه ها را پیدا کنید: р_01 =3*4=12 سانتی متر; р_02=6*4=24 سانتی‌متر باقی می‌ماند که مقادیر را در فرمول اصلی قرار دهیم و به دست می‌آییم: S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 سانتی‌متر مربع.

بنابراین، می توانید سطح جانبی یک هرم منظم با هر پیچیدگی را پیدا کنید. شما باید مراقب باشید و گیج نشویداین محاسبات با مساحت کل کل چند وجهی است. و اگر هنوز نیاز به انجام این کار دارید، کافی است مساحت بزرگترین پایه چند وجهی را محاسبه کنید و آن را به مساحت سطح جانبی چند وجهی اضافه کنید.

ویدئو

این ویدیو به شما کمک می کند تا اطلاعاتی را در مورد نحوه یافتن سطح جانبی هرم های مختلف ادغام کنید.

هرم- یکی از انواع چند وجهی که از چند ضلعی ها و مثلث هایی که در قاعده قرار دارند و وجه های آن هستند تشکیل شده است.

علاوه بر این، در بالای هرم (یعنی در یک نقطه) همه چهره ها متحد می شوند.

برای محاسبه مساحت یک هرم، باید مشخص کرد که سطح جانبی آن از چندین مثلث تشکیل شده است. و ما به راحتی می توانیم مناطق آنها را با استفاده از آنها پیدا کنیم

فرمول های مختلف بسته به اطلاعاتی که در مورد مثلث ها می دانیم، مساحت آنها را جستجو می کنیم.

ما چند فرمول را فهرست می کنیم که می توان از آنها برای یافتن مساحت مثلث ها استفاده کرد:

1. S = (a*h)/2 . در این صورت ارتفاع مثلث را می دانیم ساعت ، که به پهلو پایین آمده است آ .
2. S = a*b*sinβ . در اینجا اضلاع مثلث آمده است آ , ب ، و زاویه بین آنها است β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . در اینجا اضلاع مثلث آمده است الف، ب، ج . شعاع دایره ای که در یک مثلث محاط شده است r .
4. S = (a*b*c)/4*R . شعاع دایره محصور به دور مثلث است آر .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . این فرمول فقط باید زمانی اعمال شود که مثلث قائم الزاویه باشد.
6. S = (a²*√3)/4 . این فرمول را روی مثلث متساوی الاضلاع اعمال می کنیم.

فقط پس از محاسبه مساحت تمام مثلث هایی که وجه های هرم ما هستند، می توانیم مساحت سطح جانبی آن را محاسبه کنیم. برای این کار از فرمول های بالا استفاده می کنیم.

برای محاسبه مساحت سطح جانبی هرم، هیچ مشکلی پیش نمی آید: باید مجموع مساحت تمام مثلث ها را دریابید. بیایید این را با فرمول بیان کنیم:

Sp = ΣSi

اینجا سی مساحت مثلث اول است و اس پ - مساحت سطح جانبی هرم.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. با توجه به یک هرم منظم، وجوه جانبی آن توسط چندین مثلث متساوی الاضلاع تشکیل شده است.

« هندسه قدرتمندترین ابزار برای تقویت توانایی های ذهنی ماست».

گالیله گالیله.

و مربع قاعده هرم است. همچنین طول لبه هرم 17 سانتی متر است. بیایید منطقه را پیدا کنیمسطح جانبی این هرم

ما اینطور استدلال می کنیم: می دانیم که وجه های هرم مثلث هستند، آنها متساوی الاضلاع هستند. ما همچنین می دانیم که طول لبه این هرم چقدر است. از این رو تمام مثلث ها دارای اضلاع مساوی و طول آنها 17 سانتی متر است.

برای محاسبه مساحت هر یک از این مثلث ها می توانید از فرمول زیر استفاده کنید:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 سانتی متر مربع

بنابراین، از آنجایی که می دانیم مربع در قاعده هرم قرار دارد، معلوم می شود که ما چهار مثلث متساوی الاضلاع داریم. این بدان معنی است که مساحت سطح جانبی هرم را می توان به راحتی با استفاده از آن محاسبه کرد فرمول زیر: 125.137 سانتی متر مربع * 4 = 500.548 سانتی متر مربع

پاسخ ما به شرح زیر است: 500.548 سانتی متر مربع - این مساحت سطح جانبی این هرم است.