عدد ثابت آتماس گرفت حد دنباله ها(x n)، اگر برای هر عدد مثبت دلخواه کوچک باشدε > 0 یک عدد N وجود دارد که تمام مقادیر را دارد x n، که برای آن n>N، نابرابری را برآورده می کند

|x n - a|< ε. (6.1)

آن را به صورت زیر بنویسید: یا x n →آ.

نابرابری (6.1) معادل است نابرابری مضاعف

الف - ε< x n < a + ε, (6.2)

به این معنی که نقاط x nبا شروع از مقداری n>N، در داخل بازه (a-ε، a+ ε ) ، یعنی به هر کوچکی بیفتندε -همسایگی یک نقطه آ.

دنباله ای که حدی دارد نامیده می شود همگرا، در غیر این صورت - واگرا.

مفهوم حد تابع تعمیم مفهوم محدودیت دنباله است، زیرا حد یک دنباله را می توان حد یک تابع x n = f(n) یک آرگومان عدد صحیح در نظر گرفت. n.

اجازه دهید تابع f(x) داده شود و اجازه دهید آ - نقطه حددامنه تعریف این تابع D(f)، یعنی. چنین نقطه ای که هر همسایگی آن حاوی نقاطی از مجموعه D(f) غیر از آ. نقطه آممکن است به مجموعه D(f) تعلق داشته باشد یا نباشد.

تعریف 1.عدد ثابت A نامیده می شود حد کارکرد f(x) در x→a، اگر برای هر دنباله ای (x n ) از مقادیر آرگومان تمایل به آ، دنباله های مربوطه (f(xn)) حد A یکسانی دارند.

این تعریف نامیده می شود با تعریف حد یک تابع طبق هاینه،یا " به زبان توالی”.

تعریف 2. عدد ثابت A نامیده می شود حد کارکرد f(x) در x→a، اگر با تعیین یک عدد مثبت دلخواه و کوچک ε، می توان چنین δ را پیدا کرد> 0 (بسته به ε) که برای همه است ایکس، دراز کشیده درε-همسایگی های عدد آ، یعنی برای ایکس، ارضای نابرابری
0 < x-a< ε ، مقادیر تابع f(x) در آن قرار خواهند گرفتε-همسایگی عدد A، یعنی.|f(x)-A|< ε.

این تعریف نامیده می شود با تعریف حد یک تابع مطابق کوشی،یا «در زبان ε - δ “.

تعاریف 1 و 2 معادل هستند. اگر تابع f(x) به صورت x →یک دارد حد، برابر با A، این به شکل نوشته شده است

. (6.3)

در صورتی که دنباله (f(xn)) بدون محدودیت برای هر روش تقریبی افزایش یابد (یا کاهش یابد) ایکستا حد شما آ، سپس خواهیم گفت که تابع f(x) دارد حد بی نهایت،و به شکل زیر بنویسید:

یک متغیر (یعنی یک دنباله یا تابع) که حد آن صفر است نامیده می شود بی نهایت کوچک

متغیری که حد آن برابر با بی نهایت باشد نامیده می شود بی نهایت بزرگ.

برای یافتن حد در عمل از قضایای زیر استفاده می شود.

قضیه 1 . اگر هر حدی وجود داشته باشد

(6.4)

(6.5)

(6.6)

اظهار نظر. عباراتی مانند 0/0، ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - نامشخص هستند، به عنوان مثال، نسبت دو کمیت بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ، و یافتن حدی از این نوع، «عدم قطعیت‌های آشکار» نامیده می‌شود.

قضیه 2. (6.7)

آن ها می توان بر اساس توان با توان ثابت به حدی رفت، به ویژه، ;

(6.8)

(6.9)

قضیه 3.

(6.10)

(6.11)

جایی که ه » 2.7 - پایه لگاریتم طبیعی. فرمول های (6.10) و (6.11) اولین نامیده می شوند حد فوق العادهو دومین حد قابل توجه.

پیامدهای فرمول (6.11) نیز در عمل استفاده می شود:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

به ویژه حد،

اگر x → a و در همان زمان x > a، سپس x را بنویسید→a + 0. اگر به طور خاص a = 0 باشد، به جای نماد 0+0 +0 بنویسید. به طور مشابه اگر x →a و همزمان x a-0. شماره و بر این اساس فراخوانی می شوند حد حقو حد چپ کارکرد f(x) در نقطه آ. برای اینکه محدودیتی برای تابع f(x) به صورت x→ وجود داشته باشدالف لازم و کافی است تا . تابع f(x) فراخوانی می شود مداوم در نقطه x 0 اگر محدودیت داشته باشد

. (6.15)

شرط (6.15) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

,

یعنی عبور از حد تحت علامت یک تابع در صورتی امکان پذیر است که در یک نقطه معین پیوسته باشد.

اگر برابری (6.15) نقض شود، آنگاه می گوییم در x = x o تابع f(x) این دارد شکافتابع y = 1/x را در نظر بگیرید. دامنه تعریف این تابع مجموعه است آر، به جز x = 0. نقطه x = 0 یک نقطه حدی از مجموعه D(f) است، زیرا در هر همسایگی آن، i.e. در هر بازه باز حاوی نقطه 0، نقاطی از D(f) وجود دارد، اما خود به این مجموعه تعلق ندارد. مقدار f(x o)= f(0) تعریف نشده است، بنابراین در نقطه x o = 0 تابع دارای ناپیوستگی است.

تابع f(x) فراخوانی می شود پیوسته در سمت راست در نقطه x o اگر حد

,

و پیوسته در سمت چپ در نقطه x o، اگر حد

.

تداوم یک تابع در یک نقطه x oمعادل استمرار آن در این نقطه هم به سمت راست و هم به سمت چپ است.

برای اینکه تابع در یک نقطه پیوسته باشد x oمثلاً در سمت راست لازم است اولاً حد محدودی وجود داشته باشد و ثانیاً این حد برابر با f(x o) باشد. بنابراین، اگر حداقل یکی از این دو شرط برآورده نشود، تابع دارای ناپیوستگی خواهد بود.

1. اگر حد وجود داشته باشد و برابر با f(x o) نباشد، می گویند تابع f(x) در نقطه x o دارد پارگی از نوع اول،یا جهش.

2. اگر حد است+∞ یا -∞ یا وجود ندارد، سپس می گویند که در نقطه x o تابع دارای ناپیوستگی است نوع دوم.

برای مثال، تابع y = cot x در x→ +0 حدی برابر با +∞ داردیعنی در نقطه x=0 ناپیوستگی نوع دوم دارد. تابع y = E(x) (قسمت صحیح از ایکس) در نقاطی با ابسیساهای کامل دارای ناپیوستگی های نوع اول یا پرش است.

تابعی که در هر نقطه از بازه پیوسته باشد نامیده می شود مداوم V . یک تابع پیوسته با یک منحنی جامد نشان داده می شود.

بسیاری از مشکلات مرتبط با رشد مداوم مقداری منجر به دومین حد قابل توجه می شود. از جمله این وظایف می توان به: رشد ذخایر طبق قانون بهره مرکب، رشد جمعیت کشور، تجزیه مواد رادیواکتیو، تکثیر باکتری ها و غیره اشاره کرد.

در نظر بگیریم مثال Ya. I. Perelman، تفسیری از عدد ارائه می دهد هدر مسئله بهره مرکب عدد همحدودیتی وجود دارد . در بانک های پس انداز سالانه پول بهره به سرمایه ثابت اضافه می شود. اگر الحاق بیشتر انجام شود، سرمایه سریعتر رشد می کند، زیرا مقدار بیشتری در شکل گیری سود نقش دارد. بیایید یک مثال کاملاً نظری و بسیار ساده در نظر بگیریم. 100 منکر در بانک واریز شود. واحدها بر اساس 100٪ در سال. اگر پول بهره فقط پس از یک سال به سرمایه ثابت اضافه شود، در این دوره 100 den. واحدها به 200 واحد پولی تبدیل می شود. حالا ببینیم 100 denize به چه چیزی تبدیل می شود. در صورتی که هر شش ماه یکبار پول بهره به سرمایه ثابت اضافه شود. بعد از شش ماه 100 دن. واحدها به 100 افزایش خواهد یافت× 1.5 = 150، و پس از شش ماه دیگر - در 150× 1.5 = 225 (دانه. واحد). اگر الحاق هر 1/3 سال انجام شود، پس از یک سال 100 den. واحدها به 100 تبدیل می شود× (1 +1/3) 3 اینچ 237 (دانشگاه واحد). ما شرایط اضافه کردن پول بهره را به 0.1 سال، به 0.01 سال، به 0.001 سال و غیره افزایش خواهیم داد. سپس از 100 دن. واحدها بعد از یک سال این خواهد شد:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (دنیای واحد)،

100 × (1+1/100) 100 » 270 (دنیای واحد)،

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (دنیای واحد).

با کاهش نامحدود در شرایط اضافه کردن بهره، سرمایه انباشته به طور نامحدود رشد نمی کند، بلکه به حد معینی برابر با 271 نزدیک می شود. سرمایه سپرده شده در سال 100٪ نمی تواند بیش از 2.71 برابر شود، حتی اگر سود تعلق گرفته باشد. هر ثانیه به پایتخت اضافه می شد زیرا محدودیت

مثال 3.1.با استفاده از تعریف حد یک دنباله اعداد، ثابت کنید که دنباله x n =(n-1)/n دارای حدی برابر با 1 است.

راه حل.ما باید این را ثابت کنیم، مهم نیستε > 0، مهم نیست که چه چیزی را بگیریم، برای آن یک عدد طبیعی N وجود دارد به طوری که برای همه n N نابرابری برقرار است.|x n -1|< ε.

بیایید هر e > 0 را در نظر بگیریم. x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n، سپس برای یافتن N کافی است نابرابری 1/n را حل کنیم.< ه. بنابراین n>1/ e و بنابراین، N را می توان به عنوان یک قسمت صحیح از 1 / در نظر گرفت. e، N = E(1/e ). ما بدین وسیله ثابت کرده ایم که حد .

مثال 3.2 . حد یک دنباله را که با یک جمله مشترک داده می شود، پیدا کنید .

راه حل.بیایید حد قضیه جمع را اعمال کنیم و حد هر جمله را پیدا کنیم. وقتی n→ ∞ صورت و مخرج هر جمله به بی نهایت تمایل دارند و ما نمی توانیم مستقیماً قضیه حد نصاب را اعمال کنیم. بنابراین، ابتدا تبدیل می کنیم x n، تقسیم صورت و مخرج جمله اول بر n 2، و دوم در n. سپس با اعمال حد نصاب و حد قضیه حاصل، متوجه می شویم:

.

مثال 3.3. . پیدا کردن .

راه حل. .

در اینجا از حد قضیه استفاده کردیم: حد یک درجه برابر است با درجه حد پایه.

مثال 3.4 . پیدا کردن ( ).

راه حل.اعمال قضیه حد تفاوت غیرممکن است، زیرا ما عدم قطعیت شکل را داریم ∞-∞ . بیایید فرمول اصطلاح کلی را تبدیل کنیم:

.

مثال 3.5 . تابع f(x)=2 1/x داده شده است. ثابت کنید که محدودیتی وجود ندارد.

راه حل.بیایید از تعریف 1 حد یک تابع از طریق یک دنباله استفاده کنیم. اجازه دهید دنباله ای ( x n ) بگیریم که به 0 همگرا می شود، یعنی. اجازه دهید نشان دهیم که مقدار f(xn)= برای دنباله های مختلف رفتار متفاوتی دارد. اجازه دهید x n = 1/n. بدیهی است، پس از آن حد اجازه دهید اکنون به عنوان انتخاب کنیم x nدنباله ای با عبارت مشترک x n = -1/n، که به صفر نیز گرایش دارد. بنابراین محدودیتی وجود ندارد.

مثال 3.6 . ثابت کنید که محدودیتی وجود ندارد.

راه حل.بگذارید x 1 , x 2 ,..., x n ,... دنباله ای باشد که برای آن
. دنباله (f(xn)) = (sin x n) برای x n های مختلف چگونه رفتار می کند → ∞

اگر x n = p n، آنگاه sin x n = sin p n = 0 برای همه nو حد اگر
x n = 2 p n+ p /2، سپس sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 برای همه nو بنابراین حد. پس وجود ندارد.

ویجت برای محاسبه محدودیت ها به صورت آنلاین

در پنجره بالا به جای sin(x)/x تابعی را که می خواهید حد آن را پیدا کنید وارد کنید. در پنجره پایین عددی را که x به آن تمایل دارد وارد کنید و با کلیک بر روی دکمه Calcular حد مورد نظر را بدست آورید. و اگر در پنجره نتیجه روی Show stepها در گوشه بالا سمت راست کلیک کنید، یک راه حل دقیق دریافت خواهید کرد.

قوانین وارد کردن توابع: sqrt(x) - ریشه مربع، cbrt(x) - ریشه مکعب، exp(x) - توان، ln(x) - لگاریتم طبیعی، sin(x) - سینوس، cos(x) - کسینوس، tan (x) - مماس، cot(x) - cotangent، arcsin(x) - arcsine، arccos(x) - arccosine، arctan(x) - arcttangent. علائم: * ضرب، / تقسیم، ^ توان، در عوض بی نهایتبی نهایت. مثال: تابع به صورت sqrt(tan(x/2)) وارد می شود.

تابع y = f (ایکس)قانون (قانونی) است که طبق آن هر عنصر x از مجموعه X با یک و تنها یک عنصر y از مجموعه Y مرتبط است.

عنصر x ∈ Xتماس گرفت آرگومان تابعیا متغیر مستقل.
عنصر y ∈ Yتماس گرفت مقدار تابعیا متغیر وابسته.

مجموعه X نامیده می شود دامنه تابع.
مجموعه ای از عناصر y ∈ Y، که دارای پیش تصویر در مجموعه X هستند، نامیده می شود ناحیه یا مجموعه ای از مقادیر تابع.

تابع واقعی نامیده می شود محدود از بالا (از پایین)، اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که نابرابری برای همه برقرار باشد:
.
تابع عدد نامیده می شود محدود، اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که برای همه:
.

لبه بالایییا حد بالایی دقیقیک تابع واقعی به کوچکترین عددی گفته می شود که محدوده مقادیر آن را از بالا محدود می کند. یعنی این یک عدد s است که برای همه و برای هر یک آرگومان وجود دارد که مقدار تابع آن از s بیشتر است: .
کران بالای یک تابع را می توان به صورت زیر نشان داد:
.

به ترتیب لبه پایینیا حد پایینی دقیقیک تابع واقعی به بزرگترین عددی گفته می شود که دامنه مقادیر آن را از پایین محدود می کند. یعنی این یک عدد i است که برای همه و برای هر یک آرگومان وجود دارد که مقدار تابع آن کمتر از i است: .
infimum یک تابع را می توان به صورت زیر نشان داد:
.

تعیین حد یک تابع

تعیین حد یک تابع با توجه به کوشی

محدودیت های محدود تابع در نقاط پایانی

اجازه دهید تابع در برخی از همسایگی های نقطه پایانی، به استثنای خود نقطه، تعریف شود. در یک نقطه اگر برای هر یک چنین چیزی وجود داشته باشد، بسته به، که برای همه x که برای آن، نابرابری برقرار است
.
حد یک تابع به صورت زیر نشان داده می شود:
.
یا در .

با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهانشمول، تعریف حد تابع را می توان به صورت زیر نوشت:
.

محدودیت های یک طرفه
حد چپ در یک نقطه (محدودیت سمت چپ):
.
حد راست در یک نقطه (محدودیت سمت راست):
.
حد چپ و راست اغلب به صورت زیر نشان داده می شود:
; .

محدودیت های محدود یک تابع در نقاط بی نهایت

محدودیت ها در نقاط بی نهایت به روشی مشابه تعیین می شوند.
.
.
.
اغلب به آنها اشاره می شود:
; ; .

استفاده از مفهوم همسایگی یک نقطه

اگر مفهوم همسایگی سوراخ شده یک نقطه را معرفی کنیم، می‌توانیم یک تعریف واحد از حد محدود یک تابع در نقاط محدود و بینهایت دور ارائه دهیم:
.
اینجا برای نقاط پایانی
; ;
.
هر همسایگی از نقاط در بی نهایت سوراخ می شود:
; ; .

محدودیت های عملکرد نامحدود

تعریف
اجازه دهید تابع در برخی از همسایگی های سوراخ شده یک نقطه (محدود یا در بی نهایت) تعریف شود. حد تابع f (ایکس)به صورت x → x 0 برابر است با بی نهایت، اگر برای هر عدد دلخواه بزرگ M > 0 ، یک عدد δ M وجود دارد > 0 بسته به M، که برای همه x متعلق به δ M سوراخ شده - همسایگی نقطه:، نابرابری زیر برقرار است:
.
حد نامتناهی به صورت زیر نشان داده می شود:
.
یا در .

با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهانشمول، تعریف حد نامتناهی یک تابع را می توان به صورت زیر نوشت:
.

همچنین می توانید تعاریفی از حد نامتناهی نشانه های معین برابر با و ارائه کنید:
.
.

تعریف جهانی حد یک تابع

با استفاده از مفهوم همسایگی یک نقطه، می‌توانیم یک تعریف جهانی از حد متناهی و نامتناهی یک تابع ارائه دهیم که هم برای نقاط متناهی (دو طرفه و یک طرفه) و هم برای نقاط بینهایت دور قابل استفاده است:
.

تعیین حد یک تابع از نظر هاینه

اجازه دهید تابع در مجموعه ای از X: تعریف شود.
عدد a حد تابع نامیده می شوددر نقطه:
,
اگر برای هر دنباله ای همگرا به x 0 :
,
که عناصر آن به مجموعه X تعلق دارند:
.

اجازه دهید این تعریف را با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهان شمول بنویسیم:
.

اگر همسایگی سمت چپ نقطه x را به عنوان مجموعه X در نظر بگیریم 0 ، سپس تعریف حد چپ را بدست می آوریم. اگر راست دست باشد، تعریف حد راست را می گیریم. اگر همسایگی یک نقطه در بینهایت را به عنوان یک مجموعه X بگیریم، تعریف حد یک تابع در بینهایت را به دست می آوریم.

قضیه
تعاریف کوشی و هاینه از حد یک تابع معادل هستند.
اثبات

خواص و قضایای حد یک تابع

علاوه بر این، فرض می کنیم که توابع مورد بررسی در همسایگی متناظر نقطه تعریف می شوند که یک عدد محدود یا یکی از نمادها است: . همچنین می تواند یک نقطه حد یک طرفه باشد، یعنی فرم یا . محله برای حد دو طرفه دو طرفه و برای حد یک طرفه یک طرفه است.

خواص اساسی

اگر مقادیر تابع f (ایکس)تعداد محدودی از نقاط x را تغییر دهید (یا نامشخص کنید). 1، x 2، x 3، ... x n، آنگاه این تغییر بر وجود و مقدار حد تابع در نقطه دلخواه x تأثیری نخواهد داشت 0 .

اگر حد محدودی وجود داشته باشد، آنگاه یک همسایگی سوراخ شده از نقطه x وجود دارد 0 ، که بر روی آن تابع f (ایکس)محدود:
.

اجازه دهید تابع در نقطه x باشد 0 حد غیر صفر محدود:
.
سپس، برای هر عدد c از بازه، چنین همسایگی سوراخ شده ای از نقطه x وجود دارد 0 ، برای چی ،
، اگر ؛
، اگر .

اگر در برخی از محله های سوراخ شده نقطه، , یک ثابت باشد، پس .

اگر حدود محدودی وجود داشته باشد و روی برخی از همسایگی های سوراخ شده نقطه x وجود داشته باشد 0
,
که .

اگر، و در برخی از محله های نقطه
,
که .
به ویژه، اگر در برخی از محله های یک نقطه
,
سپس اگر , آنگاه و ;
اگر ، پس و .

اگر در محله سوراخ شده نقطه x 0 :
,
و حدهای مساوی متناهی (یا نامتناهی از یک علامت معین) وجود دارد:
، آن
.

اثبات خواص اصلی در صفحه آورده شده است
"ویژگی های اساسی حدود یک تابع."

خواص حسابی حد یک تابع

اجازه دهید توابع و در برخی از محله های سوراخ شده از نقطه تعریف شوند. و بگذارید محدودیت های محدودی وجود داشته باشد:
و .
و C یک ثابت باشد، یعنی یک عدد معین. سپس
;
;
;
، اگر .

اگر پس از آن.

اثبات خواص حسابی در صفحه آورده شده است
"ویژگی های حسابی حدود یک تابع".

معیار کوشی برای وجود حد یک تابع

قضیه
به منظور تابعی که بر روی برخی از همسایگی های سوراخ شده یک محدود یا در نقطه بینهایت x تعریف شده است 0 ، در این نقطه حد محدودی داشت، لازم و کافی است که برای هر ε > 0 چنین محله سوراخ شده ای از نقطه x وجود داشت 0 ، که برای هر نقطه و از این همسایگی، نابرابری زیر برقرار است:
.

حد یک تابع پیچیده

قضیه حد تابع پیچیده
اجازه دهید تابع یک حد داشته باشد و یک محله سوراخ شده از یک نقطه را بر روی یک محله سوراخ شده از یک نقطه ترسیم کنید. اجازه دهید تابع در این محله تعریف شود و محدودیتی در آن وجود داشته باشد.
در اینجا نکات نهایی یا بی نهایت دور وجود دارد: . محله ها و حدود مربوط به آنها می تواند دو طرفه یا یک طرفه باشد.
سپس حدی از یک تابع مختلط وجود دارد و برابر است با:
.

قضیه حدی یک تابع مختلط زمانی اعمال می شود که تابع در نقطه ای تعریف نشده باشد یا مقداری متفاوت از حد داشته باشد. برای اعمال این قضیه، باید یک همسایگی سوراخ شده از نقطه ای وجود داشته باشد که مجموعه مقادیر تابع حاوی نقطه نباشد:
.

اگر تابع در نقطه پیوسته باشد، می توان علامت حد را به آرگومان اعمال کرد عملکرد پیوسته:
.
در زیر یک قضیه مربوط به این مورد است.

قضیه حد تابع پیوسته یک تابع
اجازه دهید حدی از تابع g وجود داشته باشد (t)به عنوان t → t 0 ، و برابر با x است 0 :
.
اینجا نقطه t است 0 می تواند متناهی یا بی نهایت دور باشد: .
و اجازه دهید تابع f (ایکس)در نقطه x پیوسته است 0 .
سپس حدی از تابع مختلط f وجود دارد (g(t))، و برابر با f است (x0):
.

اثبات قضایا در صفحه آورده شده است
"محدودیت و تداوم یک تابع پیچیده".

توابع بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ

توابع بی نهایت کوچک

تعریف
به یک تابع می گویند اگر بی نهایت کوچک باشد
.

مجموع، تفاوت و محصولتعداد محدودی از توابع بینهایت کوچک در یک تابع بینهایت کوچک در است.

محصول یک تابع محدود شدهدر برخی از محله های سوراخ شده نقطه، به یک بی نهایت کوچک در یک تابع بینهایت کوچک در است.

برای اینکه یک تابع حد محدودی داشته باشد کافی و لازم است که
,
یک تابع بینهایت کوچک در کجاست.

"خواص توابع بی نهایت کوچک".

توابع بی نهایت بزرگ

تعریف
به یک تابع می گویند بی نهایت بزرگ اگر
.

مجموع یا تفاوت یک تابع محدود، در برخی از همسایگی های سوراخ شده نقطه، و یک تابع بی نهایت بزرگ در یک تابع بی نهایت بزرگ در است.

اگر تابع برای بی نهایت بزرگ باشد و تابع در محله سوراخ شده نقطه محدود شود،
.

اگر تابع، در یک محله سوراخ شده از نقطه، نابرابری را برآورده کند:
,
و تابع بی نهایت کوچک است در:
، و (در برخی از محله های سوراخ شده نقطه)، سپس
.

شواهد خواص در بخش ارائه شده است
"خواص توابع بی نهایت بزرگ".

رابطه بین توابع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک

از دو ویژگی قبلی ارتباط بین توابع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک به دست می آید.

اگر تابعی در بی نهایت بزرگ باشد، تابع در بی نهایت کوچک است.

اگر تابعی برای و بی نهایت کوچک باشد، آنگاه تابع برای بی نهایت بزرگ است.

رابطه بین یک تابع بی نهایت کوچک و یک تابع بی نهایت بزرگ را می توان به صورت نمادین بیان کرد:
, .

اگر یک تابع بینهایت کوچک علامت مشخصی داشته باشد، یعنی مثبت (یا منفی) در محله سوراخ شده نقطه باشد، این واقعیت را می توان به صورت زیر بیان کرد:
.
به همین ترتیب، اگر یک تابع بی‌نهایت بزرگ علامت مشخصی داشته باشد، می‌نویسند:
.

سپس ارتباط نمادین بین توابع بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ را می توان با روابط زیر تکمیل کرد:
, ,
, .

فرمول های اضافی مربوط به نمادهای بی نهایت را می توان در صفحه یافت
"نقاط در بی نهایت و خواص آنها."

حدود توابع یکنواخت

تعریف
تابعی که روی مجموعه ای از اعداد حقیقی X تعریف شده است فراخوانی می شود به شدت افزایش می یابد، اگر برای همه به گونه ای باشد که نابرابری زیر برقرار باشد:
.
بر این اساس، برای به شدت در حال کاهش استتابع نابرابری زیر برقرار است:
.
برای بدون کاهش:
.
برای غیر افزایشی:
.

نتیجه این است که یک تابع کاملاً افزایشی نیز غیر کاهشی است. یک تابع کاملاً کاهشی نیز غیرافزاینده است.

تابع فراخوانی می شود یکنواخت، اگر غیر کاهشی یا غیر افزایشی باشد.

قضیه
اجازه دهید تابع در فاصله زمانی که در آن کاهش نمی یابد.
اگر در بالا با عدد M محدود شود: یک حد محدود وجود دارد. اگر از بالا محدود نشده است، پس .
اگر از پایین با عدد m محدود شود: آنگاه یک حد محدود وجود دارد. اگر از پایین محدود نمی شود، پس .

اگر نقاط a و b در بی نهایت باشند، در عبارات علائم حد به این معنی است که .
این قضیه را می توان فشرده تر فرموله کرد.

اجازه دهید تابع در فاصله زمانی که در آن کاهش نمی یابد. سپس در نقاط a و b محدودیت های یک طرفه وجود دارد:
;
.

یک قضیه مشابه برای یک تابع غیر افزایشی.

اجازه دهید تابع در بازه زمانی که . سپس محدودیت های یک طرفه وجود دارد:
;
.

اثبات قضیه در صفحه ارائه شده است
"حدود توابع یکنواخت".

منابع:
L.D. کودریاوتسف. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 2003.
سانتی متر. نیکولسکی. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 1983.

نظریه حدود یکی از شاخه های تحلیل ریاضی است. مسئله حل حدود بسیار گسترده است، زیرا ده ها روش برای حل حدود وجود دارد انواع مختلف. ده ها تفاوت ظریف و ترفند وجود دارد که به شما امکان می دهد این یا آن محدودیت را حل کنید. با این وجود، ما همچنان سعی خواهیم کرد انواع اصلی محدودیت هایی را که اغلب در عمل با آن مواجه می شوند، درک کنیم.

بیایید با مفهوم حد شروع کنیم. اما ابتدا یک پیشینه تاریخی مختصر. در قرن نوزدهم مردی فرانسوی به نام آگوستین لوئی کوشی زندگی می‌کرد که پایه‌های آنالیز ریاضی را پایه‌ریزی کرد و تعاریف دقیق، به ویژه تعریف حد را ارائه کرد. باید گفت که همین کوشی در کابوس همه دانشجویان فیزیک و ریاضیات بوده، هست و خواهد بود، زیرا او تعداد زیادی قضایای آنالیز ریاضی را ثابت کرده است و هر قضیه از دیگری نفرت انگیزتر است. در این راستا، تعریف دقیقی از حد در نظر نخواهیم گرفت، بلکه سعی خواهیم کرد دو کار انجام دهیم:

1. درک کنید که محدودیت چیست.
2. حل انواع اصلی محدودیت ها را بیاموزید.

بابت برخی توضیحات غیر علمی پوزش می طلبم، مهم این است که مطالب حتی برای یک قوری قابل درک باشد که در واقع وظیفه پروژه است.

پس حد آن چیست؟

و فقط یک مثال از چرایی مادربزرگ پشمالو ....

هر محدودیتی از سه قسمت تشکیل شده است:

1) نماد محدود شناخته شده.
2) ورودی های زیر نماد حد، در در این مورد. ورودی به عنوان "X تمایل به یک دارد." اغلب - دقیقاً، اگرچه به جای "X" در عمل متغیرهای دیگری وجود دارد. در کارهای عملی، مکان یک می تواند مطلقاً هر عدد و همچنین بی نهایت باشد ().
3) در این مورد زیر علامت حد عمل می کند.

خود ورودی به این صورت می‌خواند: "محدودیت یک تابع به عنوان x تمایل به وحدت دارد."

بیایید به سوال مهم بعدی نگاه کنیم - عبارت "x" به چه معناست؟ تلاش می کندبه یک"؟ و اصلاً «تلاش» به چه معناست؟
مفهوم حد یک مفهوم است، به اصطلاح، پویا. بیایید یک دنباله بسازیم: ابتدا، سپس،، ...، , ….
یعنی عبارت «x تلاش می کندبه یک" باید به صورت زیر درک شود: "x" به طور مداوم مقادیر را می گیرد که به وحدت بی نهایت نزدیک و عملاً منطبق بر آن هستند.

چگونه مثال بالا را حل کنیم؟ با توجه به موارد فوق، فقط باید یکی را در تابع زیر علامت حد جایگزین کنید:

بنابراین، قانون اول: وقتی محدودیتی در نظر گرفته می شود، ابتدا سعی می کنیم عدد را به تابع متصل کنیم.

ما ساده ترین حد را در نظر گرفتیم، اما اینها در عمل هم اتفاق می افتد و نه به ندرت!

مثال با بی نهایت:

بیایید بفهمیم که چیست؟ این در صورتی است که بدون محدودیت افزایش یابد، یعنی: اول، بعد، بعد، سپس و غیره تا بی نهایت.

در این زمان چه اتفاقی برای عملکرد می افتد؟
, , , …

بنابراین: اگر، آنگاه تابع به منهای بی نهایت میل می کند:

به طور کلی، طبق قانون اول ما، به جای "X"، بی نهایت را جایگزین تابع می کنیم و پاسخ را می گیریم.

مثال دیگر با بی نهایت:

دوباره شروع به افزایش تا بی نهایت می کنیم و به رفتار تابع نگاه می کنیم:

نتیجه گیری: وقتی تابع بدون محدودیت افزایش می یابد:

و یک سری مثال دیگر:

لطفاً سعی کنید موارد زیر را برای خودتان تحلیل ذهنی کنید و ساده ترین نوع محدودیت ها را به خاطر بسپارید:

, , , , , , , , ,
اگر در جایی شک دارید، می توانید یک ماشین حساب بردارید و کمی تمرین کنید.
در صورتی که سعی کنید دنباله , , را بسازید . اگر پس از آن ، ، .

توجه: به بیان دقیق، این رویکرد برای ساخت دنباله های چند اعداد نادرست است، اما برای درک ساده ترین مثال ها کاملاً مناسب است.

به نکته زیر نیز توجه کنید. حتی اگر محدودیتی با یک عدد بزرگ در بالا داده شود، یا حتی با یک میلیون: ، پس همه چیز یکسان است ، زیرا دیر یا زود "X" چنان ارزش های غول پیکری به خود می گیرد که یک میلیون در مقایسه با آنها یک میکروب واقعی خواهد بود.

چه چیزی را باید از موارد بالا به خاطر بسپارید و بفهمید؟

1) وقتی هر محدودیتی داده می شود، ابتدا سعی می کنیم عدد را در تابع جایگزین کنیم.

2) شما باید ساده ترین محدودیت ها مانند، و غیره را درک کرده و فوراً حل کنید.

حال گروهی از حدود را در نظر می گیریم زمانی که، و تابع کسری است که صورت و مخرج آن دارای چند جمله ای هستند.

مثال:

حد محاسبه کنید

طبق قاعده ما، سعی می کنیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم. در اوج چه چیزی بدست می آوریم؟ بی نهایت. و در زیر چه اتفاقی می افتد؟ همچنین بی نهایت. بنابراین، ما چیزی داریم که عدم قطعیت گونه نامیده می شود. ممکن است کسی فکر کند که پاسخ آماده است، اما در حالت کلی اصلاً اینطور نیست و لازم است برخی از تکنیک های راه حل را اعمال کنیم که اکنون آنها را بررسی می کنیم.

چگونه می توان محدودیت های این نوع را حل کرد؟

ابتدا به عددگر نگاه می کنیم و بالاترین توان را پیدا می کنیم:

توان پیشرو در صورتگر دو است.

اکنون به مخرج نگاه می کنیم و همچنین آن را به بالاترین توان می یابیم:

بالاترین درجه مخرج دو است.

سپس بالاترین توان صورت و مخرج را انتخاب می کنیم: در این مثال، آنها یکسان و برابر با دو هستند.

بنابراین، روش حل به شرح زیر است: برای آشکار شدن عدم قطعیت، باید صورت و مخرج را بر بالاترین توان تقسیم کرد.

اینجا پاسخ است و اصلاً بی نهایت نیست.

چه چیزی اساساً در طراحی یک تصمیم مهم است؟

ابتدا، در صورت وجود عدم قطعیت را نشان می دهیم.

ثانیاً، توصیه می شود که راه حل را برای توضیحات میانی قطع کنید. من معمولا از علامت استفاده می کنم، هیچ معنای ریاضی ندارد، اما به این معنی است که راه حل برای یک توضیح میانی قطع می شود.

ثالثاً ، در حد توصیه می شود علامت گذاری کنید که کجا می رود. هنگامی که کار با دست طراحی می شود، انجام آن به این صورت راحت تر است:

بهتر است از یک مداد ساده برای یادداشت استفاده کنید.

البته لازم نیست هیچ یک از این کارها را انجام دهید، اما ممکن است معلم به کاستی های راه حل اشاره کند یا شروع به پرسیدن سؤالات اضافی در مورد تکلیف کند. آیا به آن نیاز دارید؟

مثال 2

حد را پیدا کنید
باز هم در صورت و مخرج در بالاترین درجه پیدا می کنیم:

حداكثر مدرك در صورت‌حساب: 3
حداکثر مدرک تحصیلی در مخرج: 4
انتخاب کنید بزرگترینمقدار، در این مورد چهار.
طبق الگوریتم ما، برای نشان دادن عدم قطعیت، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم.
تکلیف کامل ممکن است به شکل زیر باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

مثال 3

حد را پیدا کنید
حداکثر درجه "X" در صورتگر: 2
حداکثر درجه "X" در مخرج: 1 (می توان به صورت نوشتاری)
برای آشکار شدن عدم قطعیت، لازم است که صورت و مخرج را بر . راه حل نهایی ممکن است به این صورت باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

علامت گذاری به معنای تقسیم بر صفر نیست (شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید)، بلکه تقسیم بر یک عدد بینهایت کوچک است.

بنابراین، با کشف عدم قطعیت گونه‌ها، ممکن است بتوانیم شماره نهایی، صفر یا بی نهایت.

محدودیت هایی با عدم قطعیت نوع و روش برای حل آنها

گروه بعدی حدود تا حدودی شبیه به حدودی است که به تازگی در نظر گرفته شده است: صورت و مخرج شامل چند جمله ای هستند، اما "x" دیگر به بی نهایت تمایل ندارد، بلکه به سمت بی نهایت می رود. عدد محدود.

مثال 4

حل محدودیت
ابتدا بیایید سعی کنیم -1 را به کسر جایگزین کنیم:

در این صورت به اصطلاح عدم قطعیت به دست می آید.

قانون کلی : اگر صورت و مخرج دارای چند جمله ای باشند و شکل آن نامشخص باشد، آن را فاش کنید. شما باید صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.

برای انجام این کار، اغلب باید یک معادله درجه دوم را حل کنید و/یا از فرمول های ضرب اختصاری استفاده کنید. اگر این موارد فراموش شده اند، به صفحه مراجعه کنید فرمول ها و جداول ریاضیو بررسی کنید مواد روش شناختی فرمول های داغ دوره مدرسهریاضیدانان. به هر حال، بهتر است آن را چاپ کنید؛ اغلب به آن نیاز است و اطلاعات بهتر از کاغذ جذب می شود.

پس بیایید حد خود را حل کنیم

صورت و مخرج را فاکتور بگیرید

برای فاکتور گرفتن عدد، باید معادله درجه دوم را حل کنید:

ابتدا وجه تمایز را پیدا می کنیم:

و جذر آن: .

اگر تمایز بزرگ باشد، برای مثال 361، از یک ماشین حساب، تابع استخراج استفاده می کنیم ریشه دومدر ساده ترین ماشین حساب موجود است.

! اگر ریشه به طور کامل استخراج نشود (عدد کسری با کاما به دست می آید) به احتمال بسیار زیاد ممیز اشتباه محاسبه شده است یا اشتباه تایپی در کار وجود داشته است.

بعد ریشه ها را پیدا می کنیم:

بدین ترتیب:

همه. شمارنده فاکتوریزه شده است.

مخرج. مخرج در حال حاضر ساده ترین عامل است و راهی برای ساده سازی آن وجود ندارد.

بدیهی است که می توان آن را به صورت زیر خلاصه کرد:

حالا 1- را به عبارتی که زیر علامت حد باقی می ماند جایگزین می کنیم:

به طور طبیعی، در کار آزمایشی، در طول یک آزمون یا امتحان، راه حل هرگز با این جزئیات نوشته نمی شود. در نسخه نهایی، طراحی باید چیزی شبیه به این باشد:

بیایید شمارنده را فاکتورسازی کنیم.

مثال 5

حد محاسبه کنید

اول، نسخه "پایان" راه حل

بیایید صورت و مخرج را فاکتور بگیریم.

صورت کسر:
مخرج:



,

چه چیزی در این مثال مهم است؟
اولاً شما باید درک خوبی از نحوه آشکار شدن شمارنده داشته باشید، ابتدا 2 را از پرانتز خارج کردیم و سپس از فرمول تفاوت مربع ها استفاده کردیم. این فرمولی است که باید بدانید و ببینید.

روش های حل حدود عدم قطعیت ها
ترتیب رشد تابع. روش جایگزینی

مثال 4

حد را پیدا کنید

این یک مثال ساده تر برای تصمیم مستقل. در مثال پیشنهادی، دوباره عدم قطعیت (بیشتر نظم بالاارتفاع نسبت به ریشه).

اگر "x" به "منهای بی نهایت" تمایل دارد

شبح "منهای بی نهایت" برای مدت طولانی در این مقاله معلق بوده است. اجازه دهید محدودیت هایی را با چند جمله ای در نظر بگیریم که در آن . اصول و روش های حل دقیقاً مانند قسمت اول درس خواهد بود، به استثنای تعدادی از تفاوت های ظریف.

بیایید به 4 ترفند که برای حل کارهای عملی مورد نیاز است نگاه کنیم:

1) حد را محاسبه کنید

مقدار حد فقط به مدت بستگی دارد زیرا بالاترین مرتبه رشد را دارد. اگر پس از آن مدول بی نهایت بزرگ یک عدد منفیبه درجه یکنواخت، در این حالت – در چهارم برابر است با «بعلاوه بی نهایت»: . ثابت ("دو") مثبت، از همین رو:

2) حد را محاسبه کنید

اینجا دوباره مدرک ارشد است زوج، از همین رو: . اما در مقابل آن یک "منفی" وجود دارد ( منفیثابت -1)، بنابراین:

3) حد را محاسبه کنید

مقدار حد فقط به . همانطور که از مدرسه به یاد دارید، "منهای" از زیر درجه فرد "بیرون می پرد"، بنابراین مدول بی نهایت بزرگعدد منفی به توان ODDبرابر "منهای بی نهایت" است، در این مورد: .
ثابت ("چهار") مثبت، به معنای:

4) حد را محاسبه کنید

اولین پسر روستا دوباره دارد فرددرجه، علاوه بر این، در سینه منفیثابت که به این معنی است:
.

مثال 5

حد را پیدا کنید

با استفاده از نکات فوق به این نتیجه می رسیم که در اینجا عدم قطعیت وجود دارد. صورت و مخرج از نظر رشد یکسان هستند، به این معنی که در حد، نتیجه یک عدد محدود خواهد بود. بیایید با دور انداختن همه سرخ شده پاسخ را دریابیم:

راه حل بی اهمیت است:

مثال 6

حد را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

و حالا، شاید، ظریف ترین موارد:

مثال 7

حد را پیدا کنید

با توجه به اصطلاحات پیشرو، به این نتیجه می رسیم که در اینجا عدم قطعیت وجود دارد. صورت‌گر از مرتبه رشد بالاتری نسبت به مخرج برخوردار است، بنابراین بلافاصله می‌توان گفت که حد برابر با بی‌نهایت است. اما چه نوع بی نهایتی، "به علاوه" یا "منهای"؟ تکنیک یکسان است - بیایید از شر چیزهای کوچک در صورت و مخرج خلاص شویم:

ما تصمیم گرفتیم:

صورت و مخرج را تقسیم بر

مثال 15

حد را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. نمونه تقریبی طرح نهایی در پایان درس.

چند مثال جالب دیگر در مورد موضوع جایگزینی متغیر:

مثال 16

حد را پیدا کنید

با جایگزینی وحدت به حد، عدم قطعیت به دست می آید. تغییر متغیر از قبل خودش را نشان می دهد، اما ابتدا مماس را با استفاده از فرمول تبدیل می کنیم. به راستی چرا به مماس نیاز داریم؟

توجه داشته باشید که، بنابراین. اگر کاملاً واضح نیست، به مقادیر سینوسی در آن نگاه کنید جدول مثلثاتی. بنابراین، ما بلافاصله از ضریب خلاص می شویم، علاوه بر این، عدم قطعیت آشناتر 0:0 را دریافت می کنیم. خوب است اگر حد ما به صفر گرایش داشته باشد.

بیایید جایگزین کنیم:

اگر پس از آن

در زیر کسینوس "x" داریم که باید از طریق "te" نیز بیان شود.
از جایگزین بیان می کنیم: .

راه حل را کامل می کنیم:

(1) ما تعویض را انجام می دهیم

(2) پرانتزهای زیر کسینوس را باز کنید.

(4) سازماندهی اولین حد فوق العاده، صورت مصنوعی را در و عدد متقابل ضرب کنید.

وظیفه برای راه حل مستقل:

مثال 17

حد را پیدا کنید

حل کامل و پاسخ در پایان درس.

اینها کارهای ساده ای در کلاس آنها بود، در عمل همه چیز می تواند بدتر باشد، و علاوه بر این فرمول های کاهش، باید از انواع مختلف استفاده کنید فرمول های مثلثاتیو همچنین ترفندهای دیگر. در مقاله محدودیت های پیچیده من به چند نمونه واقعی نگاه کردم =)

در آستانه تعطیلات، ما در نهایت وضعیت را با یک عدم اطمینان رایج دیگر روشن خواهیم کرد:

حذف عدم قطعیت "یک به قدرت بی نهایت"

این عدم قطعیت "در خدمت" است دومین محدودیت فوق العادهو در قسمت دوم آن درس، نمونه‌های استاندارد راه‌حل‌هایی را که در بیشتر موارد در عمل یافت می‌شوند، با جزئیات زیاد بررسی کردیم. اکنون تصویر با توان تکمیل می شود، علاوه بر این، وظایف نهایی درس به محدودیت های "کاذب" اختصاص داده می شود، که در آن به نظر می رسد لازم است که 2 محدودیت فوق العاده را اعمال کنید، اگرچه این به هیچ وجه نیست. مورد.

نقطه ضعف دو فرمول کاری برای دومین حد قابل توجه این است که آرگومان باید به سمت "بعلاوه بی نهایت" یا صفر گرایش داشته باشد. اما اگر آرگومان به عدد دیگری گرایش داشته باشد چه؟

یک فرمول جهانی به کمک می آید (که در واقع نتیجه دومین محدودیت قابل توجه است):

عدم قطعیت را می توان با استفاده از فرمول حذف کرد:

در جایی فکر می کنم قبلاً توضیح داده ام که پرانتزها به چه معنا هستند. چیز خاصی نیست، براکت ها فقط براکت هستند. آنها معمولاً برای برجسته کردن نمادهای ریاضی با وضوح بیشتری استفاده می شوند.

اجازه دهید نکات اساسی فرمول را برجسته کنیم:

1) در مورد است فقط در مورد عدم قطعیت و هیچ چیز دیگر.

2) آرگومان "x" می تواند تمایل داشته باشد مقدار دلخواه(و نه فقط به صفر یا، به ویژه، به "منهای بی نهایت" یا به هر کسیعدد محدود

با استفاده از این فرمول می توانید تمام مثال های درس را حل کنید. محدودیت های شگفت انگیز، که به 2مین حد قابل توجه تعلق دارند. به عنوان مثال، بیایید حد را محاسبه کنیم:

در این مورد ، و طبق فرمول :

درست است، من انجام این کار را توصیه نمی‌کنم؛ سنت این است که همچنان از طرح «معمول» راه‌حل استفاده شود، اگر بتوان آن را اعمال کرد. با این حال با استفاده از فرمول بررسی آن بسیار راحت استنمونه های "کلاسیک" تا 2مین حد قابل توجه.

برای کسانی که می خواهند یاد بگیرند که چگونه محدودیت ها را پیدا کنند، در این مقاله به شما در مورد آن خواهیم گفت. ما به این نظریه نمی پردازیم؛ معلمان معمولاً آن را در سخنرانی ها ارائه می دهند. بنابراین "نظریه خسته کننده" باید در دفترچه یادداشت شما یادداشت شود. اگر اینطور نیست، می توانید کتاب های درسی را که از کتابخانه به امانت گرفته اید بخوانید. موسسه تحصیلییا در سایر منابع اینترنتی

بنابراین مفهوم حد در مطالعه درس بسیار مهم است ریاضیات بالاتر، به خصوص هنگامی که با حساب انتگرال روبرو می شوید و رابطه بین حد و انتگرال را درک می کنید. در مطالب فعلی ما در نظر خواهیم گرفت مثال های سادهو همچنین راه های حل آنها.

نمونه هایی از راه حل ها

مثال 1

a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $ را محاسبه کنید. b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

راه حل

الف) $$ \lim \limits_(x \تا 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ مردم اغلب این محدودیت ها را با درخواست کمک برای حل آنها برای ما ارسال می کنند. ما تصمیم گرفتیم آنها را به عنوان یک مثال جداگانه برجسته کنیم و توضیح دهیم که این محدودیت ها به عنوان یک قاعده فقط باید به خاطر بسپارند. اگر نمی توانید مشکل خود را حل کنید، آن را برای ما ارسال کنید. ما راه حل دقیق ارائه خواهیم داد. شما می توانید پیشرفت محاسبات را مشاهده کرده و اطلاعاتی به دست آورید. این به شما کمک می کند نمره خود را به موقع از معلم خود بگیرید!

پاسخ

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

با عدم قطعیت فرم چه باید کرد: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

مثال 3

حل $ \lim \limits_(x \ به -1) \frac(x^2-1) (x+1) $

راه حل

مثل همیشه، با جایگزین کردن مقدار $ x $ در عبارت زیر علامت حد شروع می کنیم. $$ \lim \limits_(x \ به -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0) (0) $$ حالا بعدش چیه؟ در نهایت چه اتفاقی باید بیفتد؟ از آنجایی که این عدم قطعیت است، این هنوز پاسخی نیست و ما به محاسبه ادامه می دهیم. از آنجایی که ما یک چند جمله ای در اعداد داریم، آن را با استفاده از فرمول آشنا برای همه از مدرسه $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ فاکتور می کنیم. یادت میاد؟ عالی! حالا برو و از آن با آهنگ استفاده کن :) متوجه می‌شویم که صورت‌گر $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ ما با در نظر گرفتن تبدیل فوق به حل ادامه می دهیم: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+1 )) (x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \ به -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

پاسخ

$$ \lim \limits_(x \ به -1) \frac(x^2-1) (x+1) = -2 $$

بیایید حد را در دو مثال آخر به بی نهایت برسانیم و عدم قطعیت را در نظر بگیریم: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

مثال 5

محاسبه $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

راه حل

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ چه باید کرد؟ باید چکار کنم؟ نترسید، زیرا غیرممکن ممکن است. باید x را هم در صورت و هم در مخرج خارج کرد و سپس آن را کاهش داد. پس از این، سعی کنید حد را محاسبه کنید. بیا تلاش کنیم... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ با استفاده از تعریف مثال 2 و جایگزینی بی نهایت به جای x، به دست می آوریم: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

پاسخ

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

الگوریتم محاسبه حدود

بنابراین، بیایید به طور خلاصه مثال ها را خلاصه کنیم و یک الگوریتم برای حل حدود ایجاد کنیم:

1. نقطه x را در عبارت زیر علامت حد جایگزین کنید. اگر عدد یا بی نهایت مشخصی به دست آید، حد کاملاً حل می شود. در غیر این صورت عدم قطعیت داریم: "صفر تقسیم بر صفر" یا "بی نهایت تقسیم بر بی نهایت" و به مراحل بعدی دستورالعمل ها می رویم.
2. برای از بین بردن عدم قطعیت «صفر تقسیم بر صفر»، باید صورت و مخرج را فاکتور بگیرید. موارد مشابه را کاهش دهید. نقطه x را در عبارت زیر علامت حد جایگزین کنید.
3. اگر عدم قطعیت «بی‌نهایت تقسیم بر بی‌نهایت» باشد، هم صورت و هم مخرج x را به بیشترین درجه برمی‌داریم. X ها را کوتاه می کنیم. مقادیر x را از زیر حد به عبارت باقی مانده جایگزین می کنیم.

در این مقاله با اصول حل محدودیت هایی که اغلب در دوره استفاده می شود آشنا شدید. تجزیه و تحلیل ریاضی. البته اینها همه انواع مشکلات ارائه شده توسط ممتحنین نیستند، بلکه فقط ساده ترین محدودیت ها هستند. در مقالات بعدی در مورد انواع دیگر تکالیف صحبت خواهیم کرد، اما ابتدا باید این درس را یاد بگیرید تا به جلو بروید. بیایید در مورد اینکه در صورت وجود ریشه ها، درجات، مطالعه توابع معادل بی نهایت کوچک، محدودیت های قابل توجه، قانون L'Hopital چه کاری باید انجام دهیم.

اگر خودتان نمی توانید محدودیت ها را دریابید، نترسید. یاریدادن همواره مایهی خرسندی ماست!