دروس برنامه COMPASS.

درس شماره 12. ساخت دایره ها در Compass 3D.
دایره های مماس بر منحنی ها، دایره ای بر اساس دو نقطه.

Compass 3D راه های مختلفی برای ساخت دایره های مماس دارد:

• دایره مماس بر منحنی 1.
• دایره مماس بر 2 منحنی؛
• دایره مماس بر 3 منحنی؛

برای ایجاد دایره مماس بر منحنی، دکمه را فشار دهید "دایره مماس بر 1 منحنی"در پانل فشرده یا در منوی بالا، دستورات را به ترتیب فشار دهید "ابزار" - "هندسه" - "دایره ها" - "دایره مماس بر 1 منحنی."

با استفاده از مکان نما ابتدا منحنی را که دایره از آن عبور خواهد کرد مشخص می کنیم، سپس نقاط 1 و 2 این دایره را مشخص می کنیم (مختصات نقاط را می توان در پنل ویژگی وارد کرد).

فانتوم های تمام گزینه های دایره ممکن روی صفحه نمایش داده می شود. با استفاده از مکان نما، موارد مورد نیاز خود را انتخاب کرده و با کلیک بر روی دکمه "ایجاد شی" آنها را برطرف کنید. ما ساخت را با کلیک کردن روی دکمه "Abort command" تکمیل می کنیم.

قبل از تعیین نقطه دوم، می توانید یک مقدار شعاع یا قطر را در قسمت مربوطه در پانل ویژگی وارد کنید. چنین دایره ای همیشه ساخته نخواهد شد. این بستگی به شعاع یا قطر داده شده دارد. عدم امکان ساخت با ناپدید شدن فانتوم پس از وارد کردن مقدار شعاع مشخص خواهد شد.

اگر نقطه مرکزی دایره مشخص باشد، می توان آن را در پانل خصوصیات نیز تنظیم کرد.

برای ایجاد یک دایره مماس بر دو منحنی، دکمه را فشار دهید "دایره مماس بر 2 منحنی"در یک پانل فشرده یا در منوی بالا، دستورات را به ترتیب فشار دهید "ابزار" - "هندسه" - "دایره ها" - "دایره مماس بر 2 منحنی".

با استفاده از مکان نما، اشیایی را که دایره باید لمس کند را نشان می دهیم. فانتوم های تمام گزینه های ساخت و ساز ممکن روی صفحه نمایش داده می شود.

اگر موقعیت یک نقطه متعلق به دایره مشخص باشد، باید با استفاده از مکان نما مشخص شود یا مختصات باید در پانل ویژگی وارد شود. همچنین می توانید مقادیر شعاع یا قطر را در پانل ویژگی ها وارد کنید. برای تکمیل ساخت، فانتوم مورد نظر را انتخاب کرده و دکمه ها را پشت سر هم فشار دهید "ایجاد شی"و "لغو فرمان".

برای ایجاد یک دایره مماس بر سه منحنی، دکمه را فشار دهید "دایره مماس بر 3 منحنی"در یک پانل فشرده یا در منوی بالا، دستورات را به ترتیب فشار دهید "ابزار" - "هندسه" - "دایره ها" - "دایره مماس بر 3 منحنی."

ساختارها مشابه موارد قبلی هستند، پس خودتان آنها را انجام دهید، نتیجه در شکل زیر نشان داده شده است.

راه دیگر برای یافتن مرکز (به عنوان مثال، محصولات تبدیل شده) - با استفاده از یک ابزار ویژه، "مرکز یاب" - بر اساس ویژگی های به اصطلاح است. خطوط مماس مماس بر دایره هر خط مستقیمی است که در نقطه برخورد دایره بر شعاع رسم شده به این نقطه عمود باشد. مثلا به جهنم. 174 مستقیم آ ب پ تو E.F.- مماس بر دایره ACE. نکته ها A، C، E"نقاط لمسی" نامیده می شوند. ویژگی خط مماس این است که دایره ای با تنها یک نقطه مشترک دارد. در واقع، اگر مماس AB(شکل 175) با دایره بود، علاوه بر این یک نقطه مشترک دیگر وجود دارد، به عنوان مثال، با، سپس با اتصال آن به مرکز، یک مثلث متساوی الساقین به دست می آوریم SOAبا دو زاویه راست SA،و این، می دانیم، غیرممکن است (چرا؟).

ما اغلب در داخل با خطوط مماس بر دایره مواجه می شویم زندگی عملی. طنابی که روی یک بلوک پرتاب می شود در قسمت های تنش آن موقعیت خطوط مماس بر دایره بلوک را می گیرد. تسمه های بالابرها (ترکیب چند بلوک، شکل 176) در امتداد خط مماس های مشترک به دور چرخ ها قرار دارند. تسمه های انتقال قرقره ها نیز موقعیت مماس های مشترک به دایره های قرقره مماس های "خارجی" را به اصطلاح اشغال می کنند. انتقال باز و "داخلی" - در انتقال بسته.

چگونه یک مماس بر آن را از طریق یک نقطه داده شده در خارج از دایره رسم کنیم؟ به عبارت دیگر: مانند از طریق یک نقطه آ(رسم 177) یک خط مستقیم بکشید ABبه زاویه ABOمستقیم بود؟ این کار به صورت زیر انجام می شود. اتصال آبا مرکز در باره(نقاشی 178). خط مستقیم به نصف و به دور وسط آن تقسیم می شود که در، به عنوان یک مرکز، یک دایره با شعاع را توصیف کنید که در. به عبارت دیگر، در OAدایره ای مانند قطر بسازید. نقاط تقاطع باو Dهر دو دایره به هم متصل هستند آخطوط مستقیم: اینها مماس خواهند بود.

برای تأیید این موضوع، بیایید از مرکز به نقاط رسم کنیم باو Dخطوط کمکی سیستم عاملو OD. زاویه WASPو ODA- مستقیم، زیرا آنها در یک نیم دایره حک شده اند. و این به این معنی است سیستم عاملو O.D.- مماس بر دایره

با توجه به ساخت خود، از جمله می بینیم که از هر نقطه خارج از دایره می توانیم دو مماس بر آن رسم کنیم. به راحتی می توان تأیید کرد که هر دوی این مماس ها دارای طول یکسانی هستند، یعنی همین A.C.= آگهی. در واقع، دوره در بارهبه همان اندازه از دو طرف زاویه فاصله دارد آ; به معنای OAبرابر است و بنابراین مثلث است OASو OADبرابر ( SUS).

در طول مسیر، مشخص کردیم که خط مستقیمی که زاویه بین هر دو مماس را نصف می کند از مرکز دایره عبور می کند. این اساس طراحی دستگاه برای یافتن مرکز محصولات تبدیل شده - مرکز یاب است (شکل 179). از دو خط تشکیل شده است ABو AC، ثابت در یک زاویه، و خط کش سوم BD، لبه آن BDزاویه بین لبه ها را نصف می کند

دو خط اول این دستگاه به محصول گرد اعمال می شود تا لبه های خط کش مجاور آن باشد ABو آفتاببا محیط محصول تماس پیدا کرد. در این حالت، یال ها تنها یک نقطه مشترک با دایره خواهند داشت، بنابراین لبه خط کش باید طبق خاصیت مماس که اکنون نشان داده شده است، از مرکز دایره عبور کند. پس از کشیدن قطر یک دایره روی محصول با استفاده از یک خط کش، مرکز یاب را در موقعیت دیگری روی محصول اعمال کنید و قطر متفاوتی بکشید. مرکز مورد نظر در محل تقاطع هر دو قطر خواهد بود.

اگر می خواهید یک مماس مشترک بر دو دایره بکشید، یعنی یک خط مستقیم بکشید که همزمان دو دایره را لمس کند، سپس به صورت زیر عمل کنید. نزدیک به مرکز یک دایره، برای مثال، حدود که در(شکل 180)، یک دایره کمکی با شعاع برابر با اختلاف بین شعاع هر دو دایره را توصیف کنید. سپس از نقطه آمماس را رسم کنید ACو آگهیبه این دایره کمکی از نقاط آو که درخطوط مستقیم عمود بر ACو آگهی، تا زمانی که با دایره های داده شده در نقاط تلاقی کنند E، F، Hو جی. اتصال خطوط مستقیم Eبا اف، جیبا اچ، مماس های مشترکی روی این دایره ها وجود خواهد داشت، زیرا آنها بر شعاع ها عمود هستند AE، CF، AGو D.H..

علاوه بر دو مماس که به تازگی ترسیم شده و به آنها خارجی گفته می شود، می توان دو مماس دیگر نیز مانند جهنم رسم کرد. 181 (مماس های داخلی). برای انجام این ساخت و ساز، اطراف مرکز یکی از این دایره ها را توصیف کنید - برای مثال، اطراف که در- یک دایره کمکی با شعاع برابر با مجموع شعاع هر دو دایره. از نقطه آمماس ها را به این دایره کمکی رسم کنید. خوانندگان می توانند خودشان روند ساخت و ساز را پیدا کنند.

سوالات را تکرار کنید

مماس نامیده می شود؟ مماس و دایره چند نقطه مشترک دارند؟ - چگونه مماس بر یک دایره را از طریق نقطه ای خارج از دایره رسم کنیم؟ - چه تعداد از این مماس ها را می توان ترسیم کرد؟ - سانتریفیوژ چیست؟ – دستگاه آن بر چه اساس است؟ - چگونه یک مماس مشترک بر دو دایره رسم کنیم؟ - چند تا مماس وجود دارد؟

سازه های هندسی

ساخت مماس بر دایره

اجازه دهید مشکل زیربنایی حل مسائل دیگر مربوط به رسم مماس بر دایره ها را در نظر بگیریم.

اجازه دهید از نقطهآ(شکل 1) لازم است مماس هایی به دایره با مرکز در نقطه رسم شوددر باره.

برای ساخت دقیق مماس ها، باید نقاط مماس خطوط بر دایره را تعیین کرد. برای این نکتهآباید با یک بخیه متصل شوددر بارهو بخش را تقسیم کنیدOAبه نصف از وسط این بخش - نقاطبا، از مرکز، دایره ای را توصیف کنید که قطر آن باید برابر با قطعه باشدOA. نکته هابه1 وبه2 تقاطع دایره ها در مرکز یک نقطهباو با مرکز در نقطهدر بارهنقاط مماس خطوط هستندAK1 وAK2 به یک دایره معین

صحت راه حل مسئله با این واقعیت تأیید می شود که شعاع دایره کشیده شده به نقطه تماس عمود بر مماس بر دایره است. زاویهخوب1 آوخوب2 آصاف هستند زیرا روی قطر قرار دارندJSCدایره با مرکز در نقطهبا.

برنج. 1.

هنگام ساخت مماس بر دو دایره، مماس ها متمایز می شونددرونی؛ داخلیوخارجی. اگر مرکز دایره های داده شده در یک طرف مماس قرار داشته باشد، خارجی و اگر مرکز دایره ها در طرف مقابل مماس باشد، درونی در نظر گرفته می شود.

در باره1 ودر باره2 آر1 وآر2 . ترسیم مماس های خارجی به دایره های داده شده الزامی است.

برای ساخت دقیق باید نقاط مماس خطوط مستقیم و دایره های داده شده را تعیین کرد. اگر شعاع دایره های با مرکزدر باره1 ودر باره2 شروع به کاهش متوالی با همان مقدار کنید، سپس می توانید یک سری دایره های متحدالمرکز با قطرهای کوچکتر بدست آورید. علاوه بر این، در هر مورد کاهش شعاع، مماس بر دایره های کوچکتر موازی با دایره های مورد نظر خواهد بود. پس از کاهش هر دو شعاع به اندازه شعاع کوچکترآر2 دایره با مرکزدر باره2 تبدیل به یک نقطه، و دایره با مرکزدر باره1 به یک دایره متحدالمرکز با شعاع تبدیل می شودآر3 برابر با اختلاف شعاع هاآر1 وآر2 .

با استفاده از روشی که قبلا توضیح داده شد، از نقطهدر باره2 مماس های خارجی را به یک دایره با شعاع رسم کنیدآر3 ، نقاط را به هم وصل کنیددر باره1 ودر باره2 ، تقسیم بر یک نقطهبابخش خطدر باره1 در باره2 به نصف و یک شعاع رسم کنیدCO1 کمانی که تقاطع آن با دایره معین نقاط مماس خطوط را مشخص می کنددر باره2 به1 ودر باره2 به2 .

نقطهآ1 وآ2 مماس خطوط مستقیم مورد نیاز با دایره بزرگتر در ادامه خطوط مستقیم قرار دارد.در باره1 به1 ودر باره1 به2 . نکته هاکه در1 وکه در2 خطوط مماس دایره کوچکتر عمود بر قاعده هستنددر باره2 به ترتیب به مماس های کمکیدر باره2 به1 ودر باره2 به2 . با قرار دادن نقاط تماس می توانید خطوط مستقیم مورد نظر را رسم کنیدآ1 که در1 وآ2 که در2 .

برنج. 2.

اجازه دهید دو دایره با مراکز در نقاط داده شوددر باره1 ودر باره2 (شکل 2) که به ترتیب دارای شعاع هستندآر1 وآر2 . ترسیم مماس های داخلی به دایره های داده شده الزامی است.

برای تعیین نقاط مماس خطوط مستقیم و دایره ها، از استدلالی مشابه استدلالی که هنگام حل مسئله قبلی ارائه شد استفاده می کنیم. اگر شعاع را کم کنیدآر2 به صفر، سپس دایره با مرکزدر باره2 برو سر اصل مطلب با این حال، در این مورد، برای حفظ موازی مماس های کمکی با شعاع مورد نظرآر1 باید یک سایز افزایش یابدآر2 و دایره ای با شعاع رسم کنیدآر3 , برابر با مقدارشعاع هاآر1 وآر2 .

از نقطهدر باره2 مماس ها را به یک دایره با شعاع رسم کنیدآر3 ، چرا نقاط را به هم وصل کنیددر باره1 ودر باره2 ، تقسیم بر یک نقطهبابخش خطدر باره1 در باره2 از وسط و یک کمان دایره ای با مرکز در نقطه رسم کنیدباو شعاعCO1 . تقاطع یک کمان با دایره شعاعآر3 موقعیت نقاط را تعیین می کندبه1 وبه2 مماس خطوط کمکیدر باره2 به1 ودر باره2 به2 .

نقطهآ1 وآ2 آر1 در تقاطع این دایره با قطعه قرار دارددر باره1 به1 ودر باره1 به2 . برای تعریف نقاطدر 1ودر 2مماس خطوط مستقیم مورد نیاز با یک دایره شعاعآر2 از نقطه بر می آیدO2برگرداندن عمود بر خطوط کمکیO2K1وO2K2تا زمانی که با یک دایره معین قطع شود. با داشتن نقاط مماس بین خطوط مورد نظر و دایره های داده شده، خطوط مستقیم می کشیمA1B1وA2B2.

برنج. 3.

در این فصل به یکی از اصلی‌ها باز می‌گردیم شکل های هندسی- به دایره قضایای مختلف مربوط به دایره ها از جمله قضایای مربوط به دایره های محاط شده در یک مثلث، چهار ضلعی و دایره های محصور در اطراف این شکل ها اثبات خواهند شد. علاوه بر این، سه عبارت در مورد نقاط قابل توجه یک مثلث ثابت خواهد شد - نقطه تقاطع نیمسازهای مثلث، نقطه تقاطع ارتفاعات آن، و نقطه تقاطع نیمسازهای عمود بر اضلاع مثلث. دو عبارت اول در کلاس هفتم تدوین شد و اکنون می توانیم آنها را ثابت کنیم.

بیایید دریابیم که یک خط مستقیم و یک دایره بسته به موقعیت نسبی آنها چند نقطه مشترک می توانند داشته باشند. واضح است که اگر خطی از مرکز یک دایره عبور کند، آنگاه دایره را در دو نقطه قطع می کند - انتهای قطر که روی این خط قرار دارد.

اجازه دهید خط مستقیم p از مرکز O یک دایره به شعاع r عبور نکند، اجازه دهید یک OH عمود بر خط مستقیم p رسم کنیم و طول این عمود را با حرف d نشان دهیم، یعنی فاصله از مرکز این دایره به خط مستقیم (شکل 211).

برنج. 211

بیایید کاوش کنیم ترتیب متقابلخط و دایره بسته به رابطه بین d و r. سه مورد احتمالی وجود دارد.

1) د< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора

در نتیجه، نقاط A و B روی دایره قرار دارند و بنابراین، نقاط مشترک خط مستقیم p و دایره داده شده هستند.

اجازه دهید ثابت کنیم که خط مستقیم p و دایره داده شده نقطه مشترک دیگری ندارند. فرض کنید آنها یک نقطه مشترک C بیشتری دارند. سپس میانه OD مثلث متساوی الساقین O AC که به قاعده AC کشیده شده است، ارتفاع این مثلث است، بنابراین OD ⊥ p. بخش های OD و OH بر هم منطبق نیستند، زیرا نقطه میانی D قطعه AC با نقطه H - نقطه وسط قطعه AB منطبق نیست. ما متوجه شدیم که از نقطه O دو عمود (بخش OH و OD) به خط مستقیم p کشیده شده است که غیرممکن است.

بنابراین، اگر فاصله مرکز دایره تا خط مستقیم کمتر از شعاع دایره باشد (د< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . در این حالت خط مستقیم را نسبت به دایره سکانس می گویند.

2) d = r. در این مورد OH = r، یعنی نقطه H روی دایره قرار دارد و بنابراین، نقطه مشترک خط و دایره است (شکل 211.6). خط مستقیم p و دایره نقطه مشترک دیگری ندارند، زیرا برای هر نقطه M از خط مستقیم p، متفاوت از نقطه H، OM > OH = r (OM مایل از OH عمود بر هم بیشتر است) و بنابراین ، نقطه M روی دایره قرار ندارد.

بنابراین، اگر فاصله مرکز دایره تا خط مستقیم برابر با شعاع دایره باشد، خط مستقیم و دایره فقط یک نقطه مشترک دارند.

3) d > r. در این مورد، OH > r، بنابراین، برای هر نقطه M از خط r OM ≥ OH > r (شکل 211، ج). بنابراین نقطه M روی دایره قرار نمی گیرد.

بنابراین، اگر فاصله مرکز دایره تا خط مستقیم از شعاع دایره بیشتر باشد، خط مستقیم و دایره هیچ نقطه مشترکی ندارند.

مماس بر دایره

ما ثابت کرده ایم که یک خط و یک دایره می توانند یک یا دو نقطه مشترک داشته باشند و ممکن است هیچ نقطه مشترکی نداشته باشند.

خط مستقیمی که فقط یک نقطه مشترک با دایره دارد را مماس بر دایره و نقطه مشترک آنها را نقطه مماس خط و دایره می گویند. در شکل 212 خط مستقیم p مماس بر دایره ای با مرکز O است، A نقطه مماس است.

اجازه دهید قضیه ای را در مورد خاصیت مماس بر دایره اثبات کنیم.

قضیه

اثبات

فرض کنید p مماس بر دایره با مرکز O، A نقطه مماس باشد (شکل 212 را ببینید). اجازه دهید ثابت کنیم که مماس p عمود بر شعاع OA است.

برنج. 212

بیایید فرض کنیم که اینطور نیست. سپس شعاع OA به خط راست r متمایل می شود. از آنجایی که عمود رسم شده از نقطه O به خط مستقیم p کمتر از OA مایل است، فاصله مرکز O دایره تا خط مستقیم p کمتر از شعاع است. در نتیجه خط مستقیم p و دایره دو نقطه مشترک دارند. اما این با شرط تناقض دارد: خط مستقیم p مماس است.

بنابراین، خط مستقیم p عمود بر شعاع OA است. قضیه ثابت شده است.

دو مماس بر دایره ای با مرکز O در نظر بگیرید که از نقطه A عبور می کنند و در نقاط B و C دایره را لمس می کنند (شکل 213). بیایید بخش های AB و AC را بنامیم پاره های مماس که از یک نقطه ترسیم شده اندالف- دارای اموال زیر هستند:

برنج. 213

برای اثبات این گفته به شکل 213 مراجعه می کنیم. طبق قضیه خاصیت مماس، زوایای 1 و 2 قائم الزاویه هستند، بنابراین مثلث های ABO و ACO قائم الزاویه هستند. آنها با هم برابر هستند زیرا دارای یک هیپوتانوز OA مشترک و پاهای مساوی OB و OS هستند. بنابراین، AB = AC و ∠3 = ∠4، که باید ثابت شود.

حال اجازه دهید قضیه را برعکس قضیه در مورد خاصیت مماس (مشخصیت مماس) ثابت کنیم.

قضیه

اثبات

از شرایط قضیه به دست می آید که این شعاع عمودی است که از مرکز دایره به خط داده شده کشیده شده است. بنابراین، فاصله از مرکز دایره تا خط مستقیم برابر با شعاع است و بنابراین، خط مستقیم و دایره تنها یک نقطه مشترک دارند. اما این بدان معناست که این خط مماس بر دایره است. قضیه ثابت شده است.

راه حل مسائل مربوط به ساخت یک خط مماس بر اساس این قضیه است. بیایید یکی از این مشکلات را حل کنیم.

وظیفه

از طریق نقطه A از یک دایره با مرکز O، مماس بر این دایره رسم کنید.

راه حل

یک خط مستقیم O A رسم می کنیم و سپس یک خط مستقیم p می سازیم که از نقطه A عمود بر خط مستقیم O A می گذرد. ​​با توجه به معیار مماس، خط مستقیم p مماس مورد نظر است.

وظایف

631. فرض کنید d فاصله مرکز دایره ای به شعاع r تا خط مستقیم r باشد. موقعیت نسبی خط راست r و دایره چقدر است اگر: a) r = 16 سانتی متر، d = 12 سانتی متر; ب) r = 5 سانتی متر، d = 4.2 سانتی متر؛ ج) r = 7.2 dm، (2 = 3.7 dm؛ d) r = 8 cm، d = 1.2 dm. ه) r = 5 سانتی متر، d = 50 میلی متر؟

632. فاصله نقطه A تا مرکز دایره کمتر از شعاع دایره است. ثابت کنید هر خطی که از نقطه A می گذرد نسبت به دایره داده شده یک سکانس است.

633- مربع O ABC که ضلع آن 6 سانتی متر است و دایره ای با مرکز در نقطه O به شعاع 5 سانتی متر در نظر گرفته می شود، کدام یک از خطوط OA، AB، BC و AC نسبت به این دایره قطع می شوند؟

634. شعاع OM دایره ای با مرکز O، وتر AB را به نصف تقسیم می کند. ثابت کنید مماس رسم شده از نقطه M با وتر AB موازی است.

635. یک مماس و یک وتر برابر با شعاع دایره از نقطه A از دایره کشیده می شود. زاویه بین آنها را پیدا کنید.

636. دو مماس از انتهای وتر AB برابر با شعاع دایره کشیده می شود که در نقطه C همدیگر را قطع می کنند. زاویه AC B را پیدا کنید.

637. زاویه بین قطر AB و وتر AC 30 درجه است. مماس از نقطه C رسم می شود و خط AB را در نقطه D قطع می کند. ثابت کنید که مثلث ACD متساوی الساقین است.

638. خط AB دایره ای را با مرکز O به شعاع r در نقطه B لمس می کند. اگر OA = 2 سانتی متر و r = 1.5 سانتی متر باشد، AB را پیدا کنید.

639. خط AB دایره ای را با مرکز O با شعاع r در نقطه B لمس می کند. اگر ∠AOB = 60 درجه و r = 12 سانتی متر باشد، AB را پیدا کنید.

640. دایره ای با مرکز O به شعاع 4.5 سانتی متر و نقطه A داده می شود. از نقطه A دو مماس بر دایره کشیده می شود. اگر OA = 9 سانتی متر باشد، زاویه بین آنها را پیدا کنید.

641. پاره های AB و AC پاره های مماس بر دایره ای با مرکز O هستند که از نقطه A کشیده شده اند. اگر نقطه وسط قطعه AO روی دایره باشد، زاویه BAC را پیدا کنید.

642. در شکل 213 OB = 3cm، CM. = 6 سانتی متر AB، AC، ∠3 و ∠4 را پیدا کنید.

643. خطوط AB و AC دایره ای را با مرکز O در نقاط B و C لمس می کنند. اگر ∠OAB = 30 درجه، AB = 5 سانتی متر باشد، BC را پیدا کنید.

644. خطوط مستقیم MA و MB دایره ای را با مرکز O در نقاط A و B لمس می کنند. نقطه C با نقطه O نسبت به نقطه B متقارن است. ثابت کنید ∠AMC = 3∠BMC.

645. از انتهای قطر AB یک دایره معین، عمودهای AA 1 و BB 1 به مماس کشیده می شوند که بر قطر AB عمود نیست. ثابت کنید که نقطه مماس نقطه وسط قطعه A 1 B 1 است.

646. در مثلث ABC زاویه B قائم است. ثابت کنید: الف) خط مستقیم BC مماس بر دایره ای با مرکز A به شعاع AB است. ب) خط مستقیم AB مماس بر دایره ای با مرکز C با شعاع CB است. ج) خط مستقیم AC بر دایره هایی با مرکز B و شعاع BA و BC مماس نیست.

647. قطعه AN عمودی است که از نقطه A به خط مستقیمی کشیده شده است که از مرکز O دایره ای به شعاع 3 سانتی متر می گذرد. ​​آیا خط مستقیم AN مماس بر دایره است اگر: الف) CM. = 5 سانتی متر، AN = 4 سانتی متر؛ ب) ∠HAO = 45 درجه، CM = 4 سانتی متر؛ ج) ∠HAO = 30 درجه، O A = 6 سانتی متر؟

648. مماس بر دایره ای با مرکز O بسازید: الف) موازی با خط داده شده. ب) عمود بر یک خط معین.

پاسخ به مشکلات

مستقیم ( MNداشتن تنها یک نقطه مشترک با دایره ( آ) نامیده شد مماس به دایره.

نقطه مشترک در این مورد نامیده می شود نقطه تماس.

امکان وجود مماس، و علاوه بر این، از هر نقطه کشیده شده است دایره، به عنوان نقطه مماس، به صورت زیر ثابت می شود قضیه.

اجازه دهید برای انجام آن لازم باشد دایرهبا مرکز O مماساز طریق نقطه آ. برای انجام این کار از نقطه آ،همانطور که از مرکز، ما توصیف می کنیم قوسشعاع A.O.، و از نقطه O، به عنوان مرکز، این کمان را در نقاط قطع می کنیم بو بامحلول قطب نما برابر با قطر دایره داده شده.

بعد از خرج کردن آکورد O.B.و سیستم عامل، نقطه را وصل کنید آبا نقطه Dو E، که در آن این آکوردها با یک دایره معین قطع می شوند. مستقیم آگهیو A.E. - مماس بر دایره O. در واقع، از ساخت و ساز مشخص است که مثلثها AOBو AOC متساوی الساقین(AO = AB = AC) با پایه ها O.B.و سیستم عامل، برابر با قطر دایره است O.

زیرا O.D.و O.E.- پس شعاع D - وسط O.B.، آ E- وسط سیستم عامل، به معنای آگهیو A.E. - میانه ها، به قاعده های مثلث متساوی الساقین کشیده شده و بنابراین عمود بر این قاعده هاست. اگر مستقیم D.A.و E.A.عمود بر شعاع ها O.D.و O.E.، سپس آنها - مماس ها.

نتیجه.

دو مماس که از یک نقطه به یک دایره کشیده شده اند مساوی هستند و با خط مستقیمی که این نقطه را به مرکز متصل می کند، زوایای مساوی تشکیل می دهند..

بنابراین AD=AEو ∠ OAD = ∠OAEزیرا مثلث های قائم الزاویه AODو AOE، داشتن یک مشترک هیپوتنوئوس A.O.و برابر پاها O.D.و O.E.(به عنوان شعاع)، برابر هستند. توجه داشته باشید که در اینجا کلمه "مماس" در واقع به معنای " بخش مماس” از یک نقطه معین به نقطه تماس.