محدودیت عملکرد چگونه محدودیت برای آدمک ها را حل کنیم؟ 1 محاسبه حد

اولین حد قابل توجه برابری زیر است:

\begin(معادله)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(معادله)

از آنجایی که برای $\alpha\to(0)$ ما $\sin\alpha\to(0)$ داریم، آنها می گویند که اولین حد قابل توجه عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ را نشان می دهد. به طور کلی، در فرمول (1)، به جای متغیر $\alpha$، هر عبارتی را می توان در زیر علامت سینوس و مخرج قرار داد، تا زمانی که دو شرط وجود داشته باشد:

1. عبارات زیر علامت سینوس و مخرج به طور همزمان به صفر تمایل دارند، یعنی. عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ وجود دارد.
2. عبارات زیر علامت سینوس و مخرج یکسان است.

نتایج حاصل از اولین حد قابل توجه نیز اغلب استفاده می شود:

\begin(معادله) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(معادله) \begin(معادله) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(معادله) \begin(معادله) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \پایان (معادله)

یازده مثال در این صفحه حل شده است. مثال شماره 1 به اثبات فرمول های (2)-(4) اختصاص دارد. مثال های شماره 2، شماره 3، شماره 4 و شماره 5 حاوی راه حل هایی با نظرات دقیق هستند. مثال‌های شماره 6-10 حاوی راه‌حل‌هایی هستند که عملاً هیچ نظری ندارند، زیرا توضیحات مفصل در مثال‌های قبلی ارائه شده است. راه حل از برخی استفاده می کند فرمول های مثلثاتیکه می توان یافت.

توجه می کنم که حضور توابع مثلثاتیهمراه با عدم قطعیت $\frac (0) (0)$ هنوز به معنای اعمال اجباری اولین حد قابل توجه نیست. گاهی اوقات تبدیل های مثلثاتی ساده کافی است - برای مثال، ببینید.

مثال شماره 1

ثابت کنید $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

الف) از آنجایی که $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$، پس:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

از آنجایی که $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ و $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$، که:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

ب) تغییر $\alpha=\sin(y)$ را انجام دهیم. از آنجایی که $\sin(0)=0$، پس از شرط $\alpha\to(0)$، $y\to(0)$ داریم. علاوه بر این، یک همسایگی صفر وجود دارد که در آن $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$، بنابراین:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

برابری $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ثابت شده است.

ج) جایگزین $\alpha=\tg(y)$ را بسازیم. از آنجایی که $\tg(0)=0$، پس شرایط $\alpha\to(0)$ و $y\to(0)$ معادل هستند. علاوه بر این، یک همسایگی صفر وجود دارد که در آن $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ وجود دارد، بنابراین بر اساس نتایج نقطه a) خواهیم داشت:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

برابری $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ثابت شده است.

برابری های a)، b)، c) اغلب همراه با اولین حد قابل توجه استفاده می شود.

مثال شماره 2

حد $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) را محاسبه کنید (x+7))$.

از آنجایی که $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ و $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$، یعنی. و هم صورت و هم مخرج کسر به طور همزمان به صفر تمایل دارند، پس در اینجا ما با عدم قطعیتی از شکل $\frac(0)(0)$ سر و کار داریم، یعنی. انجام شده. علاوه بر این، واضح است که عبارات زیر علامت سینوس و مخرج منطبق است (یعنی و راضی است):

بنابراین، هر دو شرط ذکر شده در ابتدای صفحه وجود دارد. از این نتیجه می شود که فرمول قابل اجرا است، یعنی. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 )) = 1 دلار.

پاسخ: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\راست))(\frac(x^2-4)(x +7)) = 1 دلار.

مثال شماره 3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ و $\lim_(x\to(0))x=0$، پس با عدم قطعیت شکل $\frac روبرو هستیم. (0)(0)$، یعنی. انجام شده. با این حال، عبارات زیر علامت سینوس و در مخرج منطبق نیستند. در اینجا باید عبارت در مخرج را به شکل دلخواه تنظیم کنید. ما نیاز داریم که عبارت $9x$ در مخرج باشد، سپس درست می شود. اساساً، ما ضریب 9 دلار را در مخرج از دست می دهیم، که وارد کردن آن چندان سخت نیست - فقط عبارت در مخرج را در 9 دلار ضرب کنید. به طور طبیعی، برای جبران ضرب در 9 دلار، باید بلافاصله بر 9 دلار تقسیم کنید:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

حال عبارات مخرج و زیر علامت سینوس بر هم منطبق هستند. هر دو شرط برای محدودیت $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ برآورده می شود. بنابراین، $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. و این بدان معنی است که:

$9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

مثال شماره 4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ و $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$، در اینجا با عدم قطعیت فرم سروکار داریم. $\frac(0)(0)$. با این حال، شکل اولین حد قابل توجه نقض شده است. یک عدد شامل $\sin(5x)$ به مخرج $5x$ نیاز دارد. در این شرایط، ساده‌ترین راه این است که صورت‌گر را بر 5x$ تقسیم کرده و بلافاصله در 5x$ ضرب کنیم. علاوه بر این، عملیات مشابهی را با مخرج انجام خواهیم داد و $\tg(8x)$ را در $8x$ ضرب و تقسیم می کنیم:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\چپ|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

با کاهش $x$ و در نظر گرفتن ثابت $\frac(5)(8)$ خارج از علامت حد، دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

توجه داشته باشید که $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ به طور کامل الزامات اولین حد قابل توجه را برآورده می کند. برای پیدا کردن $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ فرمول زیر قابل استفاده است:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

مثال شماره 5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (به یاد داشته باشید که $\cos(0)=1$) و $\ lim_(x\to(0))x^2=0$، پس با عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ روبرو هستیم. با این حال، برای اعمال اولین حد قابل توجه، باید از کسینوس در صورت خلاص شوید و به سینوس ها (برای اعمال فرمول) یا مماس ها (برای اعمال فرمول) بروید. این را می توان با تبدیل زیر انجام داد:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\راست)$$$$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

بیایید به حد مجاز برگردیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\راست) $$

کسر $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ در حال حاضر به شکل مورد نیاز برای اولین حد قابل توجه نزدیک است. بیایید کمی با کسری $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ کار کنیم و آن را به اولین حد قابل توجه تنظیم کنیم (توجه داشته باشید که عبارات در عدد و زیر سینوس باید مطابقت داشته باشند):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\راست)^2$$

بیایید به حد مورد نظر برگردیم:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\راست)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

مثال شماره 6

حد $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ و $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$، پس ما با عدم قطعیت $\frac(0)(0)$ روبرو هستیم. اجازه دهید با کمک اولین حد قابل توجه آن را آشکار کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید از کسینوس به سینوس حرکت کنیم. از آنجایی که $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$، پس:

$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

با عبور از سینوس در حد داده شده، خواهیم داشت:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\چپ|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\راست)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

مثال شماره 7

حد $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ را با توجه به $\alpha\neq محاسبه کنید \ بتا$.

توضیحات مفصل قبلا داده شد، اما در اینجا به سادگی توجه می کنیم که دوباره عدم قطعیت $\frac(0)(0)$ وجود دارد. بیایید با استفاده از فرمول از کسینوس به سینوس حرکت کنیم

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

با استفاده از این فرمول، دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ بتا(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to (0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ آلفا^2)(2)$.

مثال شماره 8

حد $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (به یاد داشته باشید که $\sin(0)=\tg(0)=0$) و $\ lim_(x\to(0))x^3=0$، پس در اینجا با عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ سروکار داریم. بیایید آن را به صورت زیر تقسیم کنیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\راست))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\راست))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

مثال شماره 9

حد $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2)) را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ و $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$، سپس عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ وجود دارد. قبل از ادامه گسترش آن، راحت است که متغیر را به گونه ای تغییر دهید که متغیر جدید به صفر گرایش پیدا کند (توجه داشته باشید که در فرمول ها متغیر $\alpha \ به 0$). ساده ترین راه معرفی متغیر $t=x-3$ است. با این حال، به منظور راحتی تغییرات بیشتر (این مزیت را می توان در مسیر راه حل زیر مشاهده کرد)، ارزش جایگزینی زیر را دارد: $t=\frac(x-3)(2)$. توجه داشته باشم که هر دو جایگزین در آن قابل اجرا هستند در این مورد، فقط جایگزینی دوم به شما امکان می دهد کمتر با کسری کار کنید. از $x\to(3)$، سپس $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\چپ|\frac (0)(0)\right| =\چپ|\begin(تراز شده)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(تراز شده)\راست| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\راست) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

مثال شماره 10

حد $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right) را پیدا کنید. 2) دلار.

بار دیگر با عدم قطعیت $\frac(0)(0)$ روبرو هستیم. قبل از ادامه بسط آن، راحت است که متغیر را به گونه ای تغییر دهید که متغیر جدید به سمت صفر گرایش پیدا کند (توجه داشته باشید که در فرمول ها متغیر $\alpha\to(0)$ است). ساده ترین راه معرفی متغیر $t=\frac(\pi)(2)-x$ است. از $x\to\frac(\pi)(2)$، سپس $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\راست)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\چپ|\begin(تراز شده)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(تراز شده)\راست| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\راست)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

پاسخ: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

مثال شماره 11

محدودیت های $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) را پیدا کنید \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

در این مورد ما مجبور نیستیم از اولین محدودیت فوق العاده استفاده کنیم. لطفاً توجه داشته باشید که حد اول و دوم فقط شامل توابع و اعداد مثلثاتی هستند. اغلب در نمونه هایی از این نوع می توان عبارت واقع در زیر علامت حد را ساده کرد. همچنین پس از ساده سازی و کاهش برخی عوامل مذکور، عدم قطعیت از بین می رود. من این مثال را فقط برای یک هدف آوردم: نشان دادن اینکه وجود توابع مثلثاتی در زیر علامت حد لزوماً به معنای استفاده از اولین حد قابل توجه نیست.

از آنجایی که $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (به یاد داشته باشید که $\sin\frac(\pi)(2)=1$) و $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (اجازه دهید به شما یادآوری کنم که $\cos\frac(\pi)(2)=0$)، سپس ما داریم برخورد با عدم قطعیت فرم $\frac(0)(0)$. با این حال، این بدان معنا نیست که ما نیاز به استفاده از اولین محدودیت فوق العاده خواهیم داشت. برای آشکار کردن عدم قطعیت، کافی است در نظر بگیرید که $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

راه حل مشابهی در کتاب حل دمیدویچ (شماره 475) وجود دارد. در مورد محدودیت دوم، مانند مثال های قبلی در این بخش، عدم قطعیت به شکل $\frac(0)(0)$ داریم. چرا بوجود می آید؟ به این دلیل به وجود می آید که $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ و $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. ما از این مقادیر برای تبدیل عبارات در صورت و مخرج استفاده می کنیم. هدف از اقدامات ما این است که جمع را در صورت و مخرج به عنوان یک حاصل ضرب بنویسیم. به هر حال، اغلب در یک نوع مشابه، تغییر یک متغیر راحت است، به گونه‌ای که متغیر جدید به سمت صفر می‌رود (به عنوان مثال، به مثال‌های شماره 9 یا شماره 10 در این صفحه مراجعه کنید). با این حال، در این مثال جایگزین کردن هیچ فایده ای ندارد، اگرچه در صورت تمایل، جایگزینی متغیر $t=x-\frac(2\pi)(3)$ دشوار نیست.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\راست )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\راست))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\راست))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

همانطور که می بینید، ما مجبور نبودیم اولین محدودیت فوق العاده را اعمال کنیم. البته در صورت تمایل می توانید این کار را انجام دهید (به یادداشت زیر مراجعه کنید) اما لازم نیست.

راه حل با استفاده از اولین حد قابل توجه چیست؟ نمایش/پنهان کردن

با استفاده از اولین محدودیت قابل توجه به دست می آوریم:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\راست))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ راست))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\راست) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

پاسخ: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3)\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) دلار.

برای کسانی که می خواهند یاد بگیرند که چگونه محدودیت ها را پیدا کنند، در این مقاله به شما در مورد آن خواهیم گفت. ما به این نظریه نمی پردازیم؛ معلمان معمولاً آن را در سخنرانی ها ارائه می دهند. بنابراین "نظریه خسته کننده" باید در دفترچه یادداشت شما یادداشت شود. اگر اینطور نیست، می توانید کتاب های درسی را که از کتابخانه به امانت گرفته اید بخوانید. موسسه تحصیلییا در سایر منابع اینترنتی

بنابراین، مفهوم حد در مطالعه ریاضیات عالی بسیار مهم است، به خصوص زمانی که با حساب انتگرال مواجه می شوید و ارتباط بین حد و انتگرال را درک می کنید. در مطالب فعلی ما در نظر خواهیم گرفت مثال های سادهو همچنین راه های حل آنها.

نمونه هایی از راه حل ها

با عدم قطعیت فرم چه باید کرد: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

بیایید حد را در دو مثال آخر به بی نهایت برسانیم و عدم قطعیت را در نظر بگیریم: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

الگوریتم محاسبه حدود

بنابراین، بیایید به طور خلاصه مثال ها را خلاصه کنیم و یک الگوریتم برای حل حدود ایجاد کنیم:

1. نقطه x را در عبارت زیر علامت حد جایگزین کنید. اگر عدد یا بی نهایت مشخصی به دست آید، حد کاملاً حل می شود. در غیر این صورت عدم قطعیت داریم: "صفر تقسیم بر صفر" یا "بی نهایت تقسیم بر بی نهایت" و به مراحل بعدی دستورالعمل ها می رویم.
2. برای از بین بردن عدم قطعیت «صفر تقسیم بر صفر»، باید صورت و مخرج را فاکتور بگیرید. موارد مشابه را کاهش دهید. نقطه x را در عبارت زیر علامت حد جایگزین کنید.
3. اگر عدم قطعیت «بی‌نهایت تقسیم بر بی‌نهایت» باشد، هم صورت و هم مخرج x را به بیشترین درجه برمی‌داریم. X ها را کوتاه می کنیم. مقادیر x را از زیر حد به عبارت باقی مانده جایگزین می کنیم.

در این مقاله با اصول حل محدودیت هایی که اغلب در دوره استفاده می شود آشنا شدید. تجزیه و تحلیل ریاضی. البته اینها همه انواع مشکلات ارائه شده توسط ممتحنین نیستند، بلکه فقط ساده ترین محدودیت ها هستند. در مقالات بعدی در مورد انواع دیگر تکالیف صحبت خواهیم کرد، اما ابتدا باید این درس را یاد بگیرید تا به جلو بروید. بیایید در مورد اینکه در صورت وجود ریشه ها، درجات، مطالعه توابع معادل بی نهایت کوچک، محدودیت های قابل توجه، قانون L'Hopital چه کاری باید انجام دهیم.

اگر خودتان نمی توانید محدودیت ها را دریابید، نترسید. یاریدادن همواره مایهی خرسندی ماست!

محدودیت عملکرد- عدد آحد یک کمیت متغیر خواهد بود اگر در فرآیند تغییر آن، این کمیت متغیر به طور نامحدود نزدیک شود. آ.

یا به عبارتی عدد آحد تابع است y = f(x)در نقطه x 0، اگر برای هر دنباله ای از نقاط از دامنه تعریف تابع، برابر نیست x 0، و به نقطه همگرا می شود x 0 (lim x n = x0)، دنباله مقادیر تابع مربوطه به عدد همگرا می شود آ.

نمودار تابعی که حد آن با توجه به آرگومانی که به بی نهایت تمایل دارد برابر است با L:

معنی آاست حد (مقدار حد) تابع f(x)در نقطه x 0در صورت وجود هر دنباله ای از نقاط ، که همگرا می شود x 0، اما که شامل نمی شود x 0به عنوان یکی از عناصر آن (یعنی در مجاورت سوراخ شده x 0دنباله ای از مقادیر تابع همگرا می شود آ.

حد تابع کوشی

معنی آخواهد بود محدودیت عملکرد f(x)در نقطه x 0اگر برای هر عدد غیر منفی از قبل گرفته شده باشد ε عدد غیر منفی مربوطه پیدا خواهد شد δ = δ(ε) به طوری که برای هر استدلال ایکس، ارضای شرط 0 < | x - x0 | < δ ، نابرابری ارضا خواهد شد | f(x)A |< ε .

اگر ماهیت محدودیت و قوانین اساسی برای یافتن آن را درک کنید، بسیار ساده خواهد بود. حد تابع چقدر است f (ایکس)در ایکستلاش برای آبرابر است آ، به این صورت نوشته شده است:

علاوه بر این، مقداری که متغیر به آن تمایل دارد ایکس، می تواند نه تنها یک عدد، بلکه بی نهایت (∞) باشد، گاهی اوقات +∞ یا -∞، یا ممکن است اصلاً محدودیتی وجود نداشته باشد.

برای درک اینکه چگونه محدودیت های یک تابع را پیدا کنید، بهتر است به نمونه هایی از راه حل ها نگاه کنید.

یافتن محدودیت های تابع ضروری است f (x) = 1/ایکسدر:

ایکس→ 2, ایکس→ 0, ایکس→ ∞.

بیایید راه حلی برای حد اول پیدا کنیم. برای انجام این کار، می توانید به سادگی جایگزین کنید ایکسعددی که به آن تمایل دارد، یعنی. 2، دریافت می کنیم:

اجازه دهید حد دوم تابع را پیدا کنیم. در اینجا 0 خالص را جایگزین کنید ایکسغیر ممکن است، زیرا شما نمی توانید بر 0 تقسیم کنید. اما می توانیم مقادیری نزدیک به صفر بگیریم، به عنوان مثال، 0.01. 0.001; 0.0001; 0.00001 و غیره و مقدار تابع f (ایکس)افزایش خواهد یافت: 100; 1000; 10000; 100000 و غیره. بنابراین، می توان فهمید که وقتی ایکس→ 0 مقدار تابعی که زیر علامت حد است بدون محدودیت افزایش می یابد، یعنی. به سوی بی نهایت تلاش کن یعنی:

در مورد حد سوم. همان وضعیتی که در مورد قبلی وجود داشت، جایگزینی غیرممکن است ∞ در خالص ترین شکل آن ما باید مورد افزایش نامحدود را در نظر بگیریم ایکس. ما 1000 را یکی یکی جایگزین می کنیم. 10000; 100000 و غیره، آن مقدار تابع را داریم f (x) = 1/ایکسکاهش می یابد: 0.001; 0.0001; 0.00001; و غیره، به سمت صفر گرایش دارند. از همین رو:

لازم است حد تابع محاسبه شود

با شروع حل مثال دوم، شاهد عدم قطعیت هستیم. از اینجا بالاترین درجه از صورت و مخرج را پیدا می کنیم - این است x 3، آن را از پرانتز در صورت و مخرج خارج می کنیم و سپس آن را کاهش می دهیم:

پاسخ

اولین قدم در پیدا کردن این حد، به جای آن مقدار 1 را جایگزین کنید ایکس، منجر به عدم اطمینان می شود. برای حل آن، عدد را فاکتورسازی می کنیم و این کار را با استفاده از روش یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم انجام می دهیم. x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1.2 = (-24±)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

بنابراین عدد به صورت زیر خواهد بود:

پاسخ

این تعریف مقدار خاص آن یا ناحیه خاصی است که تابع در آن سقوط می کند، که توسط حد محدود می شود.

برای حل محدودیت ها، قوانین را دنبال کنید:

با درک اصل و اصل قوانین برای حل حد، درک اولیه ای از نحوه حل آنها به دست خواهید آورد.

معمولاً دومین حد قابل توجه به این شکل نوشته می شود:

\begin(معادله) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(معادله)

عدد $e$ نشان داده شده در سمت راست برابری (1) غیر منطقی است. مقدار تقریبی این عدد: $e\approx(2(,)718281828459045)$ است. اگر $t=\frac(1)(x)$ را جایگزین کنیم، فرمول (1) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\begin(معادله) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(معادله)

در مورد اولین حد قابل توجه، مهم نیست که کدام عبارت به جای متغیر $x$ در فرمول (1) یا به جای متغیر $t$ در فرمول (2) قرار می گیرد. نکته اصلی رعایت دو شرط است:

1. پایه درجه (یعنی عبارت در پرانتز فرمول های (1) و (2)) باید به وحدت گرایش داشته باشد.
2. توان (یعنی $x$ در فرمول (1) یا $\frac(1)(t)$ در فرمول (2)) باید به بی نهایت تمایل داشته باشد.

گفته می شود که دومین محدودیت قابل توجه عدم قطعیت $1^\infty$ را نشان می دهد. لطفاً توجه داشته باشید که در فرمول (1) ما مشخص نمی کنیم که در مورد کدام بی نهایت ($+\infty$ یا $-\infty$) صحبت می کنیم. در هر یک از این موارد، فرمول (1) صحیح است. در فرمول (2)، متغیر $t$ می تواند هم در سمت چپ و هم در سمت راست به صفر تمایل داشته باشد.

متذکر می شوم که از محدودیت قابل توجه دوم نیز چندین پیامد مفید وجود دارد. نمونه هایی از استفاده از محدودیت قابل توجه دوم و همچنین پیامدهای آن در بین کامپایلرهای محاسبات و آزمایش های استاندارد استاندارد بسیار محبوب است.

مثال شماره 1

حد $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$ را محاسبه کنید.

بیایید بلافاصله توجه کنیم که پایه درجه (یعنی $\frac(3x+1)(3x-5)$) به وحدت تمایل دارد:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\راست| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

در این حالت، توان (عبارت $4x+7$) به سمت بی نهایت میل می کند، یعنی. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

پایه درجه به وحدت میل می کند، توان به بی نهایت میل می کند، یعنی. ما با عدم قطعیت $1^\infty$ روبرو هستیم. بیایید یک فرمول برای آشکار کردن این عدم قطعیت اعمال کنیم. در پایه توان فرمول عبارت $1+\frac(1)(x)$ قرار دارد و در مثالی که در نظر می گیریم، پایه توان عبارت است از: $\frac(3x+1)(3x- 5) دلار. بنابراین، اولین اقدام، تعدیل رسمی عبارت $\frac(3x+1)(3x-5)$ به شکل $1+\frac(1)(x)$ خواهد بود. ابتدا یکی را جمع و کم کنید:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

لطفاً توجه داشته باشید که نمی توانید به سادگی یک واحد اضافه کنید. اگر مجبور شدیم یکی را اضافه کنیم، باید آن را نیز کم کنیم تا ارزش کل عبارت را تغییر ندهیم. برای ادامه راه حل، آن را در نظر می گیریم

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

از آنجایی که $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$، پس:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ چپ(1+\frac(6)(3x-5)\راست)^(4x+7) $$

بیایید تنظیم را ادامه دهیم. در عبارت $1+\frac(1)(x)$ از فرمول، صورت‌گر کسر 1 است و در عبارت ما $1+\frac(6)(3x-5)$، صورت‌گر 6$ است. برای بدست آوردن $1$ در صورت حساب، $6$ را در مخرج با استفاده از تبدیل زیر بریزید:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

بدین ترتیب،

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\راست)^(4x+7) $$

بنابراین، اساس مدرک، یعنی. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$، به شکل $1+\frac(1)(x)$ مورد نیاز در فرمول تنظیم شده است. حالا بیایید کار با توان را شروع کنیم. توجه داشته باشید که در فرمول، عبارات در مخرج و در مخرج یکسان هستند:

این به این معنی است که در مثال ما، توان و مخرج باید به کاهش یابد همان شکل. برای بدست آوردن عبارت $\frac(3x-5)(6)$ در توان، به سادگی توان را در این کسری ضرب می کنیم. به طور طبیعی، برای جبران چنین ضربی، باید بلافاصله در کسر متقابل ضرب کنید، یعنی. توسط $\frac(6)(3x-5)$. بنابراین ما داریم:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\راست)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

اجازه دهید به طور جداگانه حد کسری $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ واقع در توان را در نظر بگیریم:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\راست| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x))=e^(-\frac(2) (9)) دلار.

مثال شماره 4

حد $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که برای $x>0$، $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$ داریم، پس:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ چپ (\frac(x+1)(x)\right)\right) $$

با بسط کسری $\frac(x+1)(x)$ به مجموع کسرهای $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\چپ (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$

پاسخ: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

مثال شماره 5

حد $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ و $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$، پس با عدم قطعیت شکل $1^\infty$ روبرو هستیم. توضیحات مفصل در مثال شماره 2 آورده شده است، اما در اینجا خودمان را محدود می کنیم راه حل کوتاه. با ساخت جایگزین $t=x-2$، دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\سمت چپ|\شروع(تراز شده)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end (تراز شده)\راست| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\راست)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

می توانید این مثال را به روش دیگری با استفاده از جایگزینی حل کنید: $t=\frac(1)(x-2)$. البته پاسخ یکسان خواهد بود:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\سمت چپ|\begin(تراز شده)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(تراز شده)\راست| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

مثال شماره 6

حد $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $ را پیدا کنید.

بیایید دریابیم که عبارت $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ تحت شرایط $x\to\infty$ به چه چیزی تمایل دارد:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

بنابراین، در یک حد معین، با عدم قطعیتی از شکل $1^\infty$ روبرو هستیم که با استفاده از محدودیت قابل توجه دوم آن را آشکار خواهیم کرد:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\راست)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4 )(7))\راست)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\راست)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

پاسخ: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

محدودیت ها برای همه دانش آموزان ریاضی دردسرهای زیادی ایجاد می کند. برای حل یک محدودیت، گاهی اوقات باید از ترفندهای زیادی استفاده کنید و از بین انواع روش های حل، دقیقاً روشی را انتخاب کنید که برای یک مثال خاص مناسب است.

در این مقاله ما به شما کمک نمی‌کنیم محدودیت‌های توانایی‌های خود را درک کنید یا محدودیت‌های کنترل را درک کنید، اما سعی می‌کنیم به این سوال پاسخ دهیم: چگونه محدودیت‌ها را درک کنیم. ریاضیات بالاتر? درک با تجربه حاصل می شود، بنابراین در عین حال چند مورد را ارائه خواهیم کرد نمونه های دقیقحل حدود با توضیحات

مفهوم حد در ریاضیات

سؤال اول این است: این حد چیست و حد چیست؟ ما می توانیم در مورد محدودیت های دنباله های عددی و توابع صحبت کنیم. ما به مفهوم حد یک تابع علاقه مندیم، زیرا این همان چیزی است که دانش آموزان اغلب با آن مواجه می شوند. اما اول - بیشترین تعریف کلیحد:

فرض کنید مقداری متغیر وجود دارد. اگر این مقدار در فرآیند تغییر به طور نامحدود به عدد خاصی نزدیک شود آ ، آن آ - حد این مقدار

برای تابعی که در یک بازه مشخص تعریف شده است f(x)=y چنین عددی حد نامیده می شود آ ، که تابع زمانی به آن تمایل دارد ایکس ، به یک نقطه خاص تمایل دارد آ . نقطه آ متعلق به بازه ای است که تابع در آن تعریف می شود.

دست و پا گیر به نظر می رسد، اما بسیار ساده نوشته شده است:

لیم- از انگلیسی حد- حد.

یک توضیح هندسی نیز برای تعیین حد وجود دارد، اما در اینجا ما به تئوری نمی پردازیم، زیرا ما بیشتر به جنبه عملی موضوع علاقه داریم تا جنبه نظری. وقتی این را می گوییم ایکس به مقداری تمایل دارد، این بدان معناست که متغیر مقدار یک عدد را نمی گیرد، بلکه به آن بی نهایت نزدیک می شود.

بدهیم مثال خاص. وظیفه یافتن حد است.

برای حل این مثال، مقدار را جایگزین می کنیم x=3 به یک تابع ما گرفتیم:

به هر حال، اگر به عملیات پایه روی ماتریس ها علاقه دارید، بخوانید مقاله جداگانهدر مورد این موضوع

در مثال ها ایکس می تواند به هر ارزشی گرایش داشته باشد. می تواند هر عدد یا بی نهایت باشد. در اینجا یک مثال زمانی است ایکس به بی نهایت تمایل دارد:

بطور شهودی، هرچه عدد در مخرج بزرگتر باشد، مقدار تابع کوچکتر خواهد بود. بنابراین، با رشد نامحدود ایکس معنی 1/x کاهش می یابد و به صفر نزدیک می شود.

همانطور که می بینید، برای حل محدودیت، فقط باید مقدار مورد نظر را در تابع جایگزین کنید ایکس . با این حال، این ساده ترین مورد است. اغلب یافتن محدودیت چندان واضح نیست. در محدوده ها عدم قطعیت هایی از نوع وجود دارد 0/0 یا بی نهایت / بی نهایت . در چنین مواقعی چه باید کرد؟ توسل به ترفندها!

عدم قطعیت های درون

عدم قطعیت شکل بی نهایت/بی نهایت

بگذارید یک محدودیت وجود داشته باشد:

اگر بخواهیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم، هم در صورت و هم در مخرج بی نهایت می گیریم. به طور کلی، شایان ذکر است که عنصر خاصی از هنر در حل چنین عدم قطعیت هایی وجود دارد: باید توجه داشته باشید که چگونه می توانید عملکرد را به گونه ای تغییر دهید که عدم قطعیت از بین برود. در مورد ما، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم ایکس در مقطع ارشد چه اتفاقی خواهد افتاد؟

از مثالی که قبلاً در بالا توضیح داده شد، می دانیم که عبارت های حاوی x در مخرج به صفر تمایل دارند. سپس راه حل حد این است:

برای حل عدم قطعیت نوع بی نهایت / بی نهایتصورت و مخرج را تقسیم بر ایکسبه بالاترین درجه

راستی! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است هر نوع کاری

نوع دیگری از عدم قطعیت: 0/0

مثل همیشه، جایگزینی مقادیر در تابع x=-1 می دهد 0 در صورت و مخرج کمی دقیق تر نگاه کنید و متوجه خواهید شد که در شمارشگر ما معادله درجه دوم. بیایید ریشه ها را پیدا کنیم و بنویسیم:

کم کنیم و بگیریم:

بنابراین، اگر با عدم قطعیت نوع مواجه هستید 0/0 - صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.

برای آسان‌تر کردن حل مثال‌ها، جدولی با محدودیت‌های برخی از توابع ارائه می‌کنیم:

حکومت L'Hopital در داخل

راه قدرتمند دیگری برای از بین بردن هر دو نوع عدم قطعیت. ماهیت روش چیست؟

در صورت عدم قطعیت در حد، مشتق صورت و مخرج را بگیرید تا عدم قطعیت از بین برود.

قانون L'Hopital به این صورت است:

نکته مهم : حدی که در آن مشتقات صورت و مخرج به جای مصدر و مخرج قرار می گیرند باید وجود داشته باشد.

و اکنون - یک مثال واقعی:

عدم قطعیت معمولی وجود دارد 0/0 . بیایید مشتقات صورت و مخرج را در نظر بگیریم:

Voila، عدم قطعیت به سرعت و با ظرافت حل می شود.

امیدواریم بتوانید این اطلاعات را در عمل به کار ببرید و پاسخ سوال «چگونه محدودیت ها را در ریاضیات بالاتر حل کنیم» بیابید. اگر نیاز به محاسبه حد یک دنباله یا حد یک تابع در یک نقطه دارید، و مطلقاً زمانی برای این کار وجود ندارد، برای یک راه حل سریع و دقیق با یک سرویس دانشجویی حرفه ای تماس بگیرید.