عدد 2 را به صورت مثلثاتی نشان دهید اشکال مثلثاتی و نمایی یک عدد مختلط. اعداد مختلط به صورت مثلثاتی

عملیات روی اعداد مختلط نوشته شده در فرم جبری

شکل جبری یک عدد مختلط z =(آ,ب) یک عبارت جبری شکل نامیده می شود

z = آ + دو.

عملیات حسابی روی اعداد مختلط z 1 =a 1 + ب 1 منو z 2 =a 2 + ب 2 من، که به صورت جبری نوشته شده است، به شرح زیر انجام می شود.

1. مجموع (تفاوت) اعداد مختلط

z 1 ± z 2 = (آ 1 ± الف 2) + (ب 1 ± ب 2)∙ من,

آن ها جمع (تفریق) طبق قانون جمع چند جمله ای با کاهش عبارت های مشابه انجام می شود.

2. حاصل ضرب اعداد مختلط

z 1 ∙z 2 = (آ 1 ∙a 2 - ب 1 ∙ب 2) + (آ 1 ∙ب 2 +a 2 ∙ب 1)∙ من,

آن ها ضرب طبق قانون معمول برای ضرب چندجمله ای ها با در نظر گرفتن این واقعیت انجام می شود من 2 = 1.

3. تقسیم دو عدد مختلط طبق قانون زیر انجام می شود:

, (z 2 ≠ 0),

آن ها تقسیم با ضرب سود تقسیمی و مقسوم علیه در عدد مزدوج مقسوم علیه انجام می شود.

توان اعداد مختلط به صورت زیر تعریف می شود:

نشان دادن آن آسان است

مثال ها.

1. مجموع اعداد مختلط را بیابید z 1 = 2 – منو z 2 = – 4 + 3من.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ من)+ (–4 + 3من) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) من = –2+2من.

2. حاصل ضرب اعداد مختلط را بیابید z 1 = 2 – 3منو z 2 = –4 + 5من.

= (2 – 3من) ∙ (–4 + 5من) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3من)+ 2∙5من– 3من ∙ 5من = 7+22من.

3. ضریب را پیدا کنید zاز تقسیم z 1 = 3 - 2na z 2 = 3 – من.

z = .

4- معادله را حل کنید: ایکسو y Î آر.

(2x+y) + (x+y)من = 2 + 3من.

به دلیل برابری اعداد مختلط داریم:

جایی که x =–1 , y= 4.

5. محاسبه کنید: من 2 ,من 3 ,من 4 ,من 5 ,من 6 ,من -1 ،من -2 .

6. محاسبه کنید اگر .

.

7. متقابل یک عدد را محاسبه کنید z=3-من.

اعداد مختلط به صورت مثلثاتی

هواپیمای پیچیدهبه نام هواپیما با مختصات دکارتی ( x، y، اگر هر نقطه با مختصات ( الف، ب) با یک عدد مختلط همراه است z = a + bi. در این حالت محور آبسیسا نامیده می شود محور واقعی، و محور ترتیب است خیالی. سپس هر عدد مختلط a+biبه صورت هندسی روی یک صفحه به عنوان یک نقطه به تصویر کشیده شده است الف (الف، ب) یا بردار.

بنابراین، موقعیت نقطه آ(و بنابراین یک عدد مختلط z) را می توان با طول بردار مشخص کرد | | = rو زاویه j، تشکیل شده توسط بردار | | با جهت مثبت محور واقعی. طول بردار نامیده می شود مدول یک عدد مختلطو با | نشان داده می شود z |=r، و زاویه jتماس گرفت آرگومان عدد مختلطو تعیین شده است j = arg z.

واضح است که | z| ³ 0 و | z | = 0 Û z = 0.

از شکل 2 واضح است که .

آرگومان یک عدد مختلط به طور مبهم، اما با دقت 2 تعیین می شود pk,kÎ ز.

از شکل 2 همچنین واضح است که اگر z=a+biو j=arg z،که

cos j =، گناه j =، tg j = .

اگر zÎآرو z> 0، سپس arg z = 0 +2pk;

اگر z Оآرو z< 0، سپس arg z = p + 2pk;

اگر z = 0,arg zتعریف نشده

مقدار اصلی آرگومان در بازه 0 تعیین می شود £ arg z 2 پوند پ،

یا -پ£ arg z £ p.

مثال ها:

1. مدول اعداد مختلط را بیابید z 1 = 4 – 3منو z 2 = –2–2من.

2. مناطقی را در صفحه مختلط که با شرایط تعریف شده است تعریف کنید:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 پوند؛ 3) | z – (2+من) | 3 پوند؛ 4) 6 پوند | z – من| 7 پوند

راه حل ها و پاسخ ها:

1) | z| = 5 Û Û - معادله دایره ای با شعاع 5 و مرکز در مبدا.

2) دایره ای با شعاع 6 با مرکز در مبدا.

3) دایره ای با شعاع 3 با مرکز در نقطه z 0 = 2 + من.

4) حلقه ای که توسط دایره هایی با شعاع 6 و 7 با مرکز در یک نقطه محدود شده است z 0 = من.

3. مدول و آرگومان اعداد را بیابید: 1) ; 2) .

1) ; آ = 1, ب = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2من; a =–2, b =-2 Þ ,

.

نکته: هنگام تعیین آرگومان اصلی، از صفحه مختلط استفاده کنید.

بدین ترتیب: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1، j 3 =، .

4) , r 4 = 1، j 4 =، .

2.3. شکل مثلثاتی اعداد مختلط

بگذارید بردار در صفحه مختلط با عدد مشخص شود.

اجازه دهید زاویه بین نیم محور مثبت Ox و بردار را با φ نشان دهیم (اگر در خلاف جهت عقربه های ساعت اندازه گیری شود زاویه φ مثبت در نظر گرفته می شود و در غیر این صورت منفی است).

اجازه دهید طول بردار را با r نشان دهیم. سپس . ما نیز اشاره می کنیم

نوشتن یک عدد مختلط غیر صفر z به شکل

شکل مثلثاتی عدد مختلط z نامیده می شود. عدد r را مدول عدد مختلط z و عدد φ را آرگومان این عدد مختلط می نامند و با ارگ z نشان داده می شود.

شکل مثلثاتی نوشتن عدد مختلط - (فرمول اویلر) - شکل نمایی نوشتن عدد مختلط:

عدد مختلط z بی نهایت آرگومان های زیادی دارد: اگر φ0 هر آرگومان عدد z باشد، بقیه آرگومان ها را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد.

برای یک عدد مختلط، آرگومان و شکل مثلثاتی تعریف نشده است.

بنابراین، استدلال یک عدد مختلط غیر صفر، هر راه حلی برای سیستم معادلات است:

(3)

مقدار φ آرگومان یک عدد مختلط z که نابرابری ها را برآورده می کند، مقدار اصلی نامیده می شود و با arg z نشان داده می شود.

آرگومان های Arg z و arg z با هم مرتبط هستند

, (4)

فرمول (5) نتیجه سیستم (3) است، بنابراین همه آرگومان های یک عدد مختلط برابری (5) را برآورده می کنند، اما همه راه حل های φ معادله (5) آرگومان های عدد z نیستند.

مقدار اصلی آرگومان یک عدد مختلط غیرصفر با توجه به فرمول های زیر بدست می آید:

فرمول های ضرب و تقسیم اعداد مختلط به صورت مثلثاتی به شرح زیر است:

. (7)

هنگام افزایش یک عدد مختلط به توان طبیعی، از فرمول Moivre استفاده می شود:

هنگام استخراج ریشه یک عدد مختلط، از فرمول استفاده می شود:

, (9)

که در آن k=0، 1، 2، …، n-1.

مسئله 54. محل را محاسبه کنید.

بیایید یک راه حل ارائه دهیم بیان داده شدهبه صورت نمایی نوشتن عدد مختلط: .

اگر پس از آن.

سپس ، . بنابراین، پس و ، جایی که .

پاسخ: ، در .

مسئله 55. اعداد مختلط را به صورت مثلثاتی بنویسید:

آ) ؛ ب)؛ V)؛ ز)؛ د)؛ ه) ; و) .

از آنجایی که شکل مثلثاتی یک عدد مختلط است، پس:

الف) در عدد مختلط: .

,

از همین رو

ب) ، جایی که ،

ز) ، جایی که ،

ه) .

و) ، آ ، آن

از همین رو

پاسخ: ; 4; ; ; ; ; .

مسئله 56. شکل مثلثاتی یک عدد مختلط را پیدا کنید

.

اجازه دهید ، .

سپس ، , .

از آنجایی که و ، ، سپس ، و

بنابراین، بنابراین

پاسخ: ، جایی که .

مسئله 57. با استفاده از شکل مثلثاتی یک عدد مختلط، اعمال زیر را انجام دهید: .

بیایید اعداد و به صورت مثلثاتی

1) ، کجا سپس

مقدار آرگومان اصلی را بیابید:

بیایید مقادیر را جایگزین کنیم و در عبارت، دریافت می کنیم

2) ، پس کجا

سپس

3) بیایید ضریب را پیدا کنیم

با فرض k=0، 1، 2، سه مقدار مختلف از ریشه مورد نظر بدست می آوریم:

اگر پس از آن

اگر پس از آن

اگر پس از آن .

پاسخ: :

:

: .

مسئله 58. بگذارید , , , اعداد مختلط مختلف و . ثابت کنیم که

یک عدد معتبر است عدد مثبت;

ب) برابری برقرار است:

الف) اجازه دهید این اعداد مختلط را به صورت مثلثاتی نشان دهیم:

زیرا .

بیایید وانمود کنیم که سپس

.

آخرین عبارت یک عدد مثبت است، زیرا علائم سینوس شامل اعداد از فاصله است.

از شماره واقعی و مثبت در واقع، اگر a و b اعداد مختلط و واقعی و بزرگتر از صفر باشند، آنگاه .

بعلاوه،

بنابراین، برابری لازم ثابت می شود.

مسئله 59. عدد را به صورت جبری بنویسید .

بیایید عدد را به صورت مثلثاتی نشان دهیم و سپس شکل جبری آن را پیدا کنیم. ما داریم . برای ما سیستم را دریافت می کنیم:

این به معنای برابری است: .

استفاده از فرمول Moivre:

ما گرفتیم

شکل مثلثاتی عدد داده شده پیدا می شود.

حالا این عدد را به صورت جبری بنویسیم:

.

پاسخ: .

مسئله 60. حاصل جمع را پیدا کنید،

بیایید مقدار را در نظر بگیریم

با استفاده از فرمول Moivre، متوجه می شویم

این مجموع مجموع n جمله یک تصاعد هندسی با مخرج است و اولین عضو .

با استفاده از فرمول مجموع شرایط چنین پیشرفتی، داریم

با جداسازی قسمت خیالی در آخرین عبارت، متوجه می شویم

با جداسازی قسمت واقعی، ما نیز به دست می آوریم فرمول زیر: , , .

مسئله 61. حاصل جمع را بیابید:

آ) ; ب) .

با توجه به فرمول نیوتن برای توان، داریم

با استفاده از فرمول Moivre متوجه می شویم:

با معادل سازی قسمت های واقعی و خیالی عبارات به دست آمده، داریم:

و .

این فرمول ها را می توان به صورت فشرده به صورت زیر نوشت:

,

، جایی که - کل بخشاعداد الف

مشکل 62. یافتن همه، که برای.

از آنجا که ، سپس با استفاده از فرمول

, برای استخراج ریشه، به دست می آوریم ,

از این رو، , ,

, .

نقاط مربوط به اعداد در رأس مربعی قرار دارند که در دایره ای به شعاع 2 حک شده و مرکز آن در نقطه (0;0) قرار دارد (شکل 30).

پاسخ: , ,

, .

مسئله 63. معادله را حل کنید , .

بر اساس شرط؛ بنابراین این معادله ریشه ندارد و بنابراین معادل معادله است.

برای اینکه عدد z ریشه یک معادله باشد، عدد باید باشد ریشه n امدرجه از شماره 1.

از اینجا نتیجه می گیریم که معادله اصلی دارای ریشه های تعیین شده از برابری ها است

,

بدین ترتیب،

,

یعنی ,

پاسخ: .

مسئله 64. معادله مجموعه اعداد مختلط را حل کنید.

از آنجایی که عدد ریشه این معادله نیست، پس برای این معادله معادل معادله است.

یعنی معادله.

تمام ریشه های این معادله از فرمول به دست می آیند (مشکل 62 را ببینید):

; ; ; ; .

مسئله 65. روی صفحه مختلط مجموعه ای از نقاط را رسم کنید که نابرابری ها را برآورده می کند: . (راه دوم برای حل مسئله 45)

اجازه دهید .

اعداد مختلط که دارای ماژول های یکسان هستند با نقاطی از صفحه که روی دایره ای در مرکز مبدأ قرار دارند مطابقت دارند، بنابراین نابرابری تمام نقاط یک حلقه باز محدود شده توسط دایره هایی با مرکز مشترک در مبدا و شعاع ها را برآورده کنید و (شکل 31). بگذارید نقطه ای از صفحه مختلط با عدد w0 مطابقت داشته باشد. عدد ، یک ماژول چندین برابر کوچکتر از ماژول w0 و یک آرگومان بزرگتر از آرگومان w0 دارد. با نقطه هندسیاز نقطه نظر، نقطه مربوط به w1 را می توان با استفاده از همگنی با مرکز در مبدا و ضریب، و همچنین چرخش نسبت به مبدا توسط یک زاویه در خلاف جهت عقربه های ساعت به دست آورد. در نتیجه اعمال این دو تبدیل به نقاط حلقه (شکل 31)، حلقه دوم به حلقه ای تبدیل می شود که توسط دایره هایی با مرکز و شعاع های 1 و 2 یکسان محدود شده است (شکل 32).

تبدیل با استفاده از انتقال موازی به یک بردار پیاده سازی شده است. با انتقال حلقه با مرکز در نقطه به بردار مشخص شده، حلقه ای به همان اندازه با مرکز در نقطه به دست می آوریم (شکل 22).

روش پیشنهادی که از ایده تبدیل‌های هندسی یک هواپیما استفاده می‌کند، احتمالاً برای توصیف کمتر راحت است، اما بسیار ظریف و مؤثر است.

مسئله 66. اگر .

بگذار پس و . برابری اولیه شکل خواهد گرفت . از شرط برابری دو عدد مختلط بدست می آوریم , , که از آن , . بدین ترتیب، .

بیایید عدد z را به صورت مثلثاتی بنویسیم:

، جایی که ، . با توجه به فرمول Moivre، ما .

پاسخ: – 64.

مسئله 67. برای یک عدد مختلط، تمام اعداد مختلط را پیدا کنید به طوری که، و .

بیایید عدد را به صورت مثلثاتی نشان دهیم:

. از اینجا، . برای عددی که به دست می آوریم، می تواند برابر یا باشد.

در مورد اول ، در دوم

.

پاسخ: ، .

مسئله 68. مجموع اعدادی را که . لطفا یکی از این اعداد را ذکر کنید.

توجه داشته باشید که از همان فرمول مسئله می توان فهمید که مجموع ریشه های معادله را بدون محاسبه خود ریشه ها می توان یافت. در واقع، مجموع ریشه های معادله ضریب برای است که با علامت مخالف گرفته می شود (قضیه تعمیم یافته ویتا)، یعنی.

دانش آموزان، اسناد مدرسه، نتیجه گیری در مورد درجه تسلط این مفهوم. مطالعه ویژگی های تفکر ریاضی و روند شکل گیری مفهوم یک عدد مختلط را خلاصه کنید. شرح روش ها تشخیص: مرحله I. گفتگو با معلم ریاضی که در پایه دهم جبر و هندسه تدریس می کند انجام شد. این گفتگو پس از گذشت مدتی از آغاز انجام شد...

رزونانس" (!))، که شامل ارزیابی رفتار خود نیز می شود. 4. ارزیابی انتقادی از درک فرد از موقعیت (تردیدها). 5. در نهایت، استفاده از توصیه ها روانشناسی حقوقی(وکیل جنبه های روانی اقدامات حرفه ای انجام شده را در نظر می گیرد - آمادگی حرفه ای و روانی). حال اجازه دهید تحلیل روانشناختی حقایق حقوقی را در نظر بگیریم. ...

ریاضیات جایگزینی مثلثاتی و آزمایش اثربخشی روش تدریس توسعه یافته. مراحل کار: 1. توسعه یک درس اختیاری با موضوع: "کاربرد جایگزینی مثلثاتی برای حل مسائل جبری" با دانش آموزان در کلاس های با مطالعه عمیقریاضیات 2. اجرای درس انتخابی توسعه یافته. 3. انجام آزمایش تشخیصی ...

تکالیف شناختی فقط برای تکمیل وسایل کمک آموزشی موجود در نظر گرفته شده است و باید با تمام ابزارها و عناصر سنتی ترکیب شود. فرآیند آموزشی. تفاوت وظایف آموزشیدر تدریس علوم انسانیاز دقیق، از مسائل ریاضیتنها مشکل این است که مسائل تاریخی فاقد فرمول، الگوریتم های سختگیرانه و غیره هستند که حل آنها را پیچیده می کند. ...

3.1. مختصات قطبی

اغلب در هواپیما استفاده می شود سیستم مختصات قطبی . اگر نقطه O داده شود، تعریف می شود قطب، و پرتوی که از قطب خارج می شود (برای ما این محور است گاو) - محور قطبی.موقعیت نقطه M با دو عدد ثابت می شود: شعاع (یا بردار شعاع) و زاویه φ بین محور قطبی و بردار.زاویه φ نامیده می شود زاویه قطبی؛ بر حسب رادیان اندازه گیری شده و در خلاف جهت عقربه های ساعت از محور قطبی شمارش می شود.

موقعیت یک نقطه در سیستم مختصات قطبی با یک جفت مرتب شده از اعداد (r; φ) داده می شود. در قطب r = 0،و φ تعریف نشده است. برای تمام نکات دیگر r > 0،و φ تا عبارتی که مضرب 2π باشد تعریف می شود. در این مورد، جفت اعداد (r; φ) و (r 1 ; φ 1) با یک نقطه مرتبط هستند اگر .

برای یک سیستم مختصات مستطیلی xOyمختصات دکارتی یک نقطه به راحتی بر حسب مختصات قطبی آن به صورت زیر بیان می شود:

3.2. تفسیر هندسی اعداد مختلط

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی را در صفحه در نظر بگیریم xOy.

هر عدد مختلط z=(a, b) با یک نقطه از صفحه با مختصات ( x، y)، جایی که مختصات x = a، i.e. قسمت واقعی عدد مختلط و مختصات y = bi قسمت خیالی است.

صفحه ای که نقاط آن اعداد مختلط هستند، صفحه مختلط است.

در شکل، عدد مختلط است z = (a، b)با یک نقطه مطابقت دارد M(x، y).

ورزش.اعداد مختلط را روی صفحه مختصات رسم کنید:

3.3. شکل مثلثاتی یک عدد مختلط

یک عدد مختلط در هواپیما مختصات یک نقطه را دارد M(x;y). که در آن:

نوشتن یک عدد مختلط - شکل مثلثاتی یک عدد مختلط

عدد r نامیده می شود مدول عدد مختلط zو تعیین شده است. مدول یک عدد واقعی غیر منفی است. برای .

مدول صفر است اگر و فقط اگر z = 0، یعنی a = b = 0.

عدد φ نامیده می شود آرگومان z و تعیین شده است. آرگومان z به طور مبهم تعریف می شود، مانند زاویه قطبی در سیستم مختصات قطبی، یعنی تا یک جمله که مضربی از 2π است.

سپس می پذیریم: , جایی که φ کوچکترین مقدار آرگومان است. بدیهی است که

.

هنگام مطالعه عمیق تر موضوع، یک آرگومان کمکی φ* معرفی می شود، به طوری که

مثال 1. شکل مثلثاتی یک عدد مختلط را پیدا کنید.

راه حل. 1) ماژول را در نظر بگیرید: ;

2) به دنبال φ: ;

3) شکل مثلثاتی:

مثال 2.شکل جبری یک عدد مختلط را پیدا کنید .

در اینجا کافی است مقادیر را جایگزین کنید توابع مثلثاتیو عبارت را تبدیل کنید:

مثال 3.مدول و آرگومان یک عدد مختلط را بیابید.

1) ;

2)؛ φ – در 4 چهارم:

3.4. عملیات با اعداد مختلط به صورت مثلثاتی

· جمع و تفریقاین کار با اعداد مختلط به شکل جبری راحت تر است:

· ضرب- با استفاده از تبدیل های مثلثاتی ساده می توان نشان داد که هنگام ضرب، ماژول های اعداد ضرب می شوند و آرگومان ها اضافه می شوند: ;

سخنرانی

شکل مثلثاتی یک عدد مختلط

طرح

1. نمایش هندسی اعداد مختلط.

2. نمادگذاری مثلثاتی اعداد مختلط.

3. اعمال روی اعداد مختلط به صورت مثلثاتی.

نمایش هندسی اعداد مختلط.

الف) اعداد مختلط طبق قانون زیر با نقاط روی صفحه نمایش داده می شوند: آ + دو = م ( آ ; ب ) (عکس. 1).

تصویر 1

ب) یک عدد مختلط را می توان با برداری که از نقطه شروع می شود نشان داددر باره و انتهای آن در یک نقطه معین (شکل 2).

شکل 2

مثال 7. نقاطی را بسازید که نشان دهنده اعداد مختلط هستند:1; - من ; - 1 + من ; 2 – 3 من (شکل 3).

شکل 3

نماد مثلثاتی اعداد مختلط.

عدد مختلطz = آ + دو را می توان با استفاده از بردار شعاع مشخص کرد با مختصات( آ ; ب ) (شکل 4).

شکل 4

تعریف . طول برداری ، نشان دهنده یک عدد مختلط استz ، مدول این عدد نامیده می شود و نشان داده می شود یاr .

برای هر عدد مختلطz ماژول آنr = | z | به طور منحصر به فرد توسط فرمول تعیین می شود .

تعریف . بزرگی زاویه بین جهت مثبت محور واقعی و بردار ، که نشان دهنده یک عدد مختلط است، آرگومان این عدد مختلط نامیده می شود و نشان داده می شودآ rg z یاφ .

برهان عدد مختلطz = 0 تعریف نشده برهان عدد مختلطz≠ 0 - یک کمیت چند ارزشی و در یک مدت تعیین می شود2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): ارگ z = ارگ z + 2πk ، جایی کهارگ z - مقدار اصلی آرگومان موجود در بازه(-π; π] ، به این معنا که-π < ارگ z ≤ π (گاهی اوقات یک مقدار متعلق به بازه به عنوان مقدار اصلی آرگومان در نظر گرفته می شود .

این فرمول زمانی کهr =1 اغلب فرمول Moivre نامیده می شود:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ)، n  N .

مثال 11: محاسبه کنید(1 + من ) 100 .

بیایید یک عدد مختلط بنویسیم1 + من به صورت مثلثاتی

a = 1، b = 1 .

cos φ = ، sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos +من گناه میکنم )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + من گناه میکنم ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) استخراج ریشه دوماز یک عدد مختلط

وقتی جذر یک عدد مختلط را می گیریمآ + دو دو مورد داریم:

اگرب > o ، آن ;

اعداد مختلط XI

§ 256. شکل مثلثاتی اعداد مختلط

یک عدد مختلط بگذارید a + bi بردار مربوطه O.A.> با مختصات ( الف، ب ) (شکل 332 را ببینید).

اجازه دهید طول این بردار را با نشان دهیم r و زاویه ای که با محور ایجاد می کند ایکس ، از طریق φ . با تعریف سینوس و کسینوس:

آ / r = cos φ , ب / r = گناه φ .

از همین رو آ = r cos φ , ب = r گناه φ . اما در این مورد عدد مختلط a + bi را می توان به صورت زیر نوشت:

a + bi = r cos φ + ir گناه φ = r (cos φ + من گناه φ ).

همانطور که مشخص است، مربع طول هر بردار برابر با مجموعمربع مختصات آن از همین رو r 2 = آ 2 + ب 2، از کجا r = √a 2 + ب 2

بنابراین، هر عدد مختلط a + bi را می توان در فرم نشان داد :

a + bi = r (cos φ + من گناه φ ), (1)

جایی که r = √a 2 + ب 2 و زاویه φ از این شرط تعیین می شود:

این شکل از نوشتن اعداد مختلط نامیده می شود مثلثاتی.

عدد r در فرمول (1) نامیده می شود مدول، و زاویه φ - بحث و جدل، عدد مختلط a + bi .

اگر عدد مختلط باشد a + bi برابر با صفر نیست، پس مدول آن مثبت است. اگر a + bi = 0، سپس a = b = 0 و سپس r = 0.

مدول هر عدد مختلط به طور یکتا تعیین می شود.

اگر عدد مختلط باشد a + bi برابر با صفر نیست، سپس آرگومان آن با فرمول (2) تعیین می شود. قطعادقیق به زاویه ای که بر 2 تقسیم می شود π . اگر a + bi = 0، سپس a = b = 0. در این مورد r = 0. از فرمول (1) به راحتی می توان آن را به عنوان یک آرگومان فهمید φ V در این موردشما می توانید هر زاویه ای را انتخاب کنید: پس از همه، در هر φ

0 (cos φ + من گناه φ ) = 0.

بنابراین آرگومان null تعریف نشده است.

مدول یک عدد مختلط r گاهی اوقات با علامت | z |، و استدلال arg z . بیایید به چند نمونه از نمایش اعداد مختلط به شکل مثلثاتی نگاه کنیم.

مثال. 1. 1 + من .

بیایید ماژول را پیدا کنیم r و استدلال φ این شماره.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

پس گناه کن φ = 1 / √ 2، cos φ = 1 / √ 2، از آنجا φ = π / 4 + 2nπ .

بدین ترتیب،

1 + من = √ 2 ,

جایی که پ - هر عدد صحیح معمولاً از مجموعه بی نهایت مقادیر آرگومان یک عدد مختلط، یکی انتخاب می شود که بین 0 تا 2 باشد. π . در این مورد، این مقدار است π / 4 . از همین رو

1 + من = √ 2 (cos π / 4 + من گناه π / 4)

مثال 2.یک عدد مختلط را به صورت مثلثاتی بنویسید √ 3 - من . ما داریم:

r = √ 3+1 = 2، cos φ = √ 3/2، گناه φ = - 1 / 2

بنابراین تا زاویه ای که بر 2 بخش پذیر است π , φ = 11 / 6 π ; از این رو،

√ 3 - من = 2 (cos 11/6 π + من گناه 11/6 π ).

مثال 3یک عدد مختلط را به صورت مثلثاتی بنویسید من.

عدد مختلط من بردار مربوطه O.A.>، به نقطه A از محور ختم می شود در با دستور 1 (شکل 333). طول چنین بردار 1 است و زاویه ای که با محور x ایجاد می کند برابر است π / 2. از همین رو

من = cos π / 2 + من گناه π / 2 .

مثال 4.عدد مختلط 3 را به صورت مثلثاتی بنویسید.

عدد مختلط 3 مربوط به بردار است O.A. > ایکس abscissa 3 (شکل 334).

طول چنین بردار 3 است و زاویه ای که با محور x ایجاد می کند 0 است. بنابراین

3 = 3 (cos 0 + من گناه 0)

مثال 5.عدد مختلط -5 را به صورت مثلثاتی بنویسید.

عدد مختلط -5 مربوط به یک بردار است O.A.> به یک نقطه محور ختم می شود ایکس با آبسیسا -5 (شکل 335). طول چنین بردار 5 است و زاویه ای که با محور x تشکیل می دهد برابر است π . از همین رو

5 = 5 (cos π + من گناه π ).

تمرینات

2047. این اعداد مختلط را به صورت مثلثاتی بنویسید و ماژول ها و آرگومان های آنها را تعریف کنید:

1) 2 + 2√3 من , 4) 12من - 5; 7).3من ;

2) √3 + من ; 5) 25; 8) -2من ;

3) 6 - 6من ; 6) - 4; 9) 3من - 4.

2048. روی صفحه مجموعه ای از نقاط را نشان دهید که نشان دهنده اعداد مختلط است که مدول های r و آرگومان های φ شرایط را برآورده می کنند:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. آیا اعداد می توانند به طور همزمان مدول یک عدد مختلط باشند؟ r و - r ?

2050. آیا آرگومان یک عدد مختلط می تواند به طور همزمان زاویه باشد؟ φ و - φ ?

این اعداد مختلط را به صورت مثلثاتی ارائه کنید و ماژول ها و آرگومان های آنها را تعریف کنید:

2051*. 1 + cos α + من گناه α . 2054*. 2(cos 20° - من گناه 20 درجه).

2052*. گناه φ + من cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - من گناه 15 درجه).