مشتق و دیفرانسیل یک تابع مختلط از چندین متغیر. مشتقات جزئی مشتقات جزئی یک تابع پیچیده مثال هایی با حل

1 درجه مورد یک متغیر مستقل. اگر z=f(x,y) یک تابع متمایز پذیر از آرگومان های x و y باشد که به نوبه خود توابع متمایزپذیر متغیر مستقل هستند. تی:، سپس مشتق تابع مختلط با استفاده از فرمول قابل محاسبه است

مثال. پیدا کن اگر کجا

راه حل. طبق فرمول (1) داریم:

مثال. مشتق جزئی و مشتق کل را بیابید اگر .

راه حل. .

بر اساس فرمول (2) بدست می آوریم .

2°. مورد چند متغیر مستقل.

اجازه دهید z =f (ایکس ؛y) -تابع دو متغیر ایکسو y،که هر کدام تابعی از متغیر مستقل هستند t : x =ایکس (t)، y =y (ت).در این مورد تابع z =f (ایکس (t)؛y (ت ))تابع پیچیده ای از یک متغیر مستقل است t;متغیرها x و y متغیرهای میانی هستند.

قضیه. اگر z == f(ایکس ؛ y) -قابل تمایز در یک نقطه M(x;y)Dعملکرد و x =ایکس (ت)و در =y (ت) -توابع متمایز متغیر مستقل تی،سپس مشتق یک تابع مختلط z (ت) == f(ایکس (t)؛y (ت ))با فرمول محاسبه می شود

مورد خاص:z = f (ایکس ؛ y)جایی که y = y (x)،آن ها z = f (ایکس ؛y (ایکس )) -تابع مختلط یک متغیر مستقل ایکس.این مورد به مورد قبلی و نقش متغیر کاهش می یابد تینمایشنامه ایکس.طبق فرمول (3) داریم:

.

آخرین فرمول نامیده می شود فرمول های مشتق کل

حالت کلی:z = f (ایکس ؛y)جایی که x =ایکس (تو ;v)y=y (تو ;v).سپس z = f (ایکس (تو ;v)؛y (تو ;v)) -تابع پیچیده متغیرهای مستقل وو vمشتقات جزئی آن را می توان با استفاده از فرمول (3) به شرح زیر یافت. رفع شدن vما مشتقات جزئی مربوطه را در آن جایگزین می کنیم

بنابراین، مشتق تابع مختلط (z) با توجه به هر متغیر مستقل (وو v)برابر است با مجموع مشتقات جزئی این تابع (z) نسبت به متغیرهای میانی آن (x و y)به مشتقات آنها با توجه به متغیر مستقل مربوطه (u و v).

در تمام موارد در نظر گرفته شده، فرمول معتبر است

(ویژگی عدم تغییر یک دیفرانسیل کل).

مثال. پیدا کنید و اگر z = f(x،y)، که در آن x =uv، .

راه حل. با استفاده از فرمول های (4) و (5) به دست می آوریم:

مثال. نشان دهید که تابع معادله را برآورده می کند .

راه حل. تابع از طریق یک آرگومان میانی به x و y بستگی دارد، بنابراین

با جایگزینی مشتقات جزئی در سمت چپ معادله، داریم:

یعنی تابع z این معادله را برآورده می کند.

مشتق در جهت و گرادیان معین تابع

1 درجه مشتق تابع در جهت معین. مشتقتوابع z= f(x,y) در این راستاتماس گرفت ، جایی که و مقادیر تابع در نقاط و هستند. اگر تابع z قابل تمایز باشد، فرمول معتبر است

زوایای بین جهات کجاست لو محورهای مختصات مربوطه. مشتق در یک جهت معین، میزان تغییر یک تابع در آن جهت را مشخص می کند.

مثال. مشتق تابع z = 2x 2 - 3 2 را در نقطه P (1; 0) در جهت ایجاد زاویه 120 درجه با محور OX بیابید.

راه حل. بیایید مشتقات جزئی این تابع و مقادیر آنها را در نقطه P پیدا کنیم.

اثبات فرمول مشتق یک تابع مختلط داده شده است. مواردی که یک تابع پیچیده به یک یا دو متغیر بستگی دارد به تفصیل در نظر گرفته می شود. تعمیم در مورد تعداد دلخواه از متغیرها انجام می شود.

همچنین ببینید: نمونه هایی از استفاده از فرمول برای مشتق یک تابع مختلط

فرمول های پایه

در اینجا ما مشتق فرمول های زیر را برای مشتق یک تابع پیچیده ارائه می کنیم.
اگر پس از آن
.
اگر پس از آن
.
اگر پس از آن
.

مشتق یک تابع مختلط از یک متغیر

اجازه دهید یک تابع از متغیر x به صورت یک تابع مختلط به شکل زیر نمایش داده شود:
,
جایی که برخی از توابع وجود دارد. تابع برای مقداری از متغیر x قابل تمایز است. تابع در مقدار متغیر قابل تفکیک است.
سپس تابع مختلط (کامپوزیت) در نقطه x قابل تمایز است و مشتق آن با فرمول تعیین می شود:
(1) .

فرمول (1) را می توان به صورت زیر نیز نوشت:
;
.

اثبات

اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم.
;
.
در اینجا تابعی از متغیرها و , تابعی از متغیرها و وجود دارد. اما آرگومان های این توابع را حذف می کنیم تا محاسبات را به هم نریزیم.

از آنجایی که توابع و به ترتیب در نقاط x و n قابل تمایز هستند، در این نقاط مشتقاتی از این توابع وجود دارد که حدود زیر هستند:
;
.

تابع زیر را در نظر بگیرید:
.
برای یک مقدار ثابت از متغیر u، تابعی از . بدیهی است که
.
سپس
.

از آنجایی که تابع یک تابع قابل تمایز در نقطه است، در آن نقطه پیوسته است. از همین رو
.
سپس
.

حالا مشتق را پیدا می کنیم.

.

فرمول ثابت شده است.

نتیجه

اگر تابعی از متغیر x را بتوان به عنوان یک تابع مختلط از یک تابع مختلط نشان داد
,
سپس مشتق آن با فرمول تعیین می شود
.
در اینجا، و برخی از توابع قابل تمایز وجود دارد.

برای اثبات این فرمول، مشتق را با استفاده از قانون تمایز یک تابع مختلط به ترتیب محاسبه می کنیم.
تابع پیچیده را در نظر بگیرید
.
مشتق آن
.
تابع اصلی را در نظر بگیرید
.
مشتق آن
.

مشتق یک تابع مختلط از دو متغیر

حالا اجازه دهید تابع مختلط به چندین متغیر وابسته باشد. ابتدا بیایید نگاه کنیم مورد تابع مختلط از دو متغیر.

اجازه دهید یک تابع بسته به متغیر x به صورت یک تابع مختلط از دو متغیر به شکل زیر نمایش داده شود:
,
جایی که
و توابع قابل تمایز برای مقداری از متغیر x وجود دارد.
- تابعی از دو متغیر، قابل تفکیک در نقطه، . سپس تابع مختلط در یک همسایگی مشخص از نقطه تعریف می شود و مشتقی دارد که با فرمول تعیین می شود:
(2) .

اثبات

از آنجایی که توابع در نقطه قابل تمایز هستند، در همسایگی معینی از این نقطه تعریف می شوند، در نقطه پیوسته هستند و مشتقات آنها در نقطه وجود دارد که حدود زیر است:
;
.
اینجا
;
.
با توجه به تداوم این توابع در یک نقطه، داریم:
;
.

از آنجایی که تابع در نقطه قابل تمایز است، در همسایگی خاصی از این نقطه تعریف شده است، در این نقطه پیوسته است و افزایش آن را می توان به شکل زیر نوشت:
(3) .
اینجا

- افزایش یک تابع زمانی که آرگومان های آن با مقادیر و .
;

- مشتقات جزئی تابع با توجه به متغیرها و .
برای مقادیر ثابت و، و توابعی از متغیرها و هستند. آنها تمایل به صفر در و:
;
.
از آن زمان و سپس
;
.

افزایش تابع:

. :
.
بیایید (3) را جایگزین کنیم:



.

فرمول ثابت شده است.

مشتق یک تابع مختلط از چندین متغیر

نتیجه گیری فوق را می توان به راحتی به مواردی تعمیم داد که تعداد متغیرهای یک تابع مختلط بیش از دو باشد.

برای مثال، اگر f باشد تابع سه متغیر، آن
,
جایی که
و توابع متمایزپذیر برای مقداری از متغیر x وجود دارد.
- تابع متمایز از سه متغیر در نقطه , , .
سپس از تعریف تمایز پذیری تابع، داریم:
(4)
.
زیرا به دلیل تداوم،
; ; ,
که
;
;
.

با تقسیم (4) بر و عبور از حد، به دست می آوریم:
.

و در نهایت بیایید در نظر بگیریم کلی ترین مورد.
اجازه دهید یک تابع از متغیر x به صورت یک تابع مختلط از n متغیر به شکل زیر نمایش داده شود:
,
جایی که
توابع قابل تمایز برای مقداری از متغیر x وجود دارد.
- تابع متمایز پذیر n متغیر در یک نقطه
, , ... , .
سپس
.

§ 5. مشتقات جزئی توابع مختلط. دیفرانسیل توابع پیچیده

1. مشتقات جزئی یک تابع مختلط.

اجازه دهید تابعی از دو متغیر باشد که آرگومان های آنها و ، خود تابعی از دو یا چند متغیر هستند. به عنوان مثال، اجازه دهید
,
.

سپس اراده تابع پیچیده متغیرهای مستقل و ، متغیرها برای او خواهند بود متغیرهای میانی در این مورد، نحوه یافتن مشتقات جزئی یک تابع با توجه به و

البته می‌توانید آن را مستقیماً به صورت و بیان کنید:

و مشتقات جزئی تابع حاصل را جستجو کنید. اما عبارت می تواند بسیار پیچیده باشد و مشتقات جزئی را پیدا کند , سپس به تلاش زیادی نیاز دارد.

اگر توابع
,
,
قابل تمایز هستند، سپس پیدا کنید و بدون توسل به بیان مستقیم از طریق و امکان پذیر است. در این صورت فرمول ها معتبر خواهند بود

(5.1)

در واقع، بیایید استدلال کنیم افزایش
, - پایان سپس توابع
و افزایشی دریافت خواهد کرد

و تابع افزایش خواهد یافت

جایی که , - بی نهایت کوچک در
,
. بیایید تمام عبارات آخرین برابری را بر تقسیم کنیم. ما گرفتیم:

از آنجایی که طبق شرط، توابع قابل تمایز هستند، پیوسته هستند. بنابراین، اگر
، سپس و . این بدان معنی است که با عبور از حد در آخرین برابری به دست می آوریم:

(از آنجایی که برای , بی نهایت کوچک هستند).

برابری دوم از (5.1) به روشی مشابه اثبات می شود.

مثال. اجازه دهید
، جایی که
,
. سپس یک تابع پیچیده از متغیرهای مستقل و . برای یافتن مشتقات جزئی آن از فرمول (5.1) استفاده می کنیم. ما داریم

با جایگزینی (5.1)، به دست می آوریم

,

فرمول‌های (5.1) به طور طبیعی به یک تابع با تعداد بیشتری آرگومان مستقل و میانی تعمیم داده می‌شوند. یعنی اگر

………………………

و تمام توابع مورد بررسی قابل تمایز هستند، سپس برای هر کدام
برابری وجود دارد

همچنین ممکن است که آرگومان های تابع، توابع تنها یک متغیر باشند، یعنی.

,
.

سپس تابعی پیچیده از تنها یک متغیر خواهد بود و ما می توانیم سوال پیدا کردن مشتق را مطرح کنیم . اگر توابع
,
قابل تمایز هستند، سپس می توان آن را با فرمول پیدا کرد
(5.2)

مثال. اجازه دهید
، جایی که
,
. در اینجا یک تابع پیچیده از یک متغیر مستقل است. با استفاده از فرمول (5.2) بدست می آوریم

.

و در نهایت این امکان وجود دارد که نقش متغیر مستقل توسط , i.e. ،

جایی که
.

سپس از فرمول (5.2) بدست می آوریم

(5.3)

(زیرا
). مشتق ، در فرمول (5.3) در سمت راست مشتق جزئی تابع با توجه به . با یک مقدار ثابت محاسبه می شود. مشتق در سمت چپ فرمول (5.3) نامیده می شود مشتق کامل تابع . هنگام محاسبه آن، در نظر گرفته شد که به دو صورت بستگی دارد: مستقیم و از طریق استدلال دوم.

مثال. یافتن و برای تابع
، جایی که
.

ما داریم
.

برای یافتن از فرمول (5.3) استفاده می کنیم. ما گرفتیم

.

و در پایان این پاراگراف، متذکر می شویم که فرمول های (5.2) و (5.3) به راحتی در مورد توابع با تعداد زیادی آرگومان میانی تعمیم داده می شوند.

2. دیفرانسیل یک تابع مختلط.

به یاد بیاوریم که اگر

تابعی قابل تفکیک از دو متغیر مستقل است، سپس طبق تعریف

, (5.4)

یا به شکل دیگری
. (5.5)

مزیت فرمول (5.5) این است که حتی زمانی که یک تابع پیچیده است درست باقی می ماند.

در واقع، اجازه دهید، کجا، . اجازه دهید فرض کنیم که توابع , , قابل تمایز هستند. سپس تابع مختلط نیز متمایز خواهد بود و دیفرانسیل کل آن طبق فرمول (5.5) برابر خواهد بود

.

با استفاده از فرمول (5.1) برای محاسبه مشتقات جزئی یک تابع مختلط، به دست می آوریم

از آنجایی که دیفرانسیل کامل توابع و داخل پرانتز هستند، بالاخره داریم

بنابراین، ما متقاعد شده ایم که هم در مورد زمانی که و متغیرهای مستقل هستند و هم در مورد زمانی که و متغیرهای وابسته هستند، دیفرانسیل تابع را می توان به شکل (5.5) نوشت. در این راستا به این شکل از ثبت دیفرانسیل کل می گویند ثابت . شکل نوشتن دیفرانسیل پیشنهادی در (5.4) ثابت نخواهد بود، فقط در مواردی می توان از آن استفاده کرد که متغیرهای مستقل باشند. شکل نوشتن دیفرانسیل نیز ثابت نخواهد بود - مرتبه به یاد بیاورید که قبلا نشان دادیم که یک دیفرانسیل از نظم تابع دو متغیر را می توان با فرمول پیدا کرد

. (4.12)

اما اگر متغیرهای مستقل نیستند، فرمول (4.12) با
دیگر حقیقت ندارد

بدیهی است که تمام استدلال های انجام شده در این بخش برای تابعی از دو متغیر می تواند در مورد تابعی با تعداد آرگومان های بیشتر تکرار شود. بنابراین، برای یک تابع، دیفرانسیل را نیز می توان به دو شکل نوشت:

و شکل دوم نماد ثابت خواهد بود، یعنی. منصفانه حتی در شرایطی که
متغیرهای مستقل نیستند، بلکه آرگومان های میانی هستند.

§ 6. تمایز توابع ضمنی

در مورد روش‌های تعریف یک تابع از یک یا چند متغیر، اشاره کردیم که تعریف تحلیلی یک تابع می‌تواند صریح یا ضمنی باشد. در حالت اول، مقدار تابع از مقادیر شناخته شده آرگومان ها پیدا می شود. در مورد دوم، مقدار تابع و آرگومان های آن با معادله ای مرتبط هستند. با این حال، ما زمان معادلات را مشخص نکردیم

و

به ترتیب توابع مشخص شده ضمنی را تعریف کنید. آسان برای استفاده شرایط کافی برای وجود یک تابع ضمنی متغیرها (
) در قضیه زیر موجود است.

قضیه6.1 . (وجود تابع ضمنی) اجازه دهید تابع
و مشتقات جزئی آن
در برخی از همسایگی های نقطه مشخص و پیوسته هستند. اگر
و
، پس چنین محله ای وجود دارد نقطه ای که در آن معادله است

تابع پیوسته را تعریف می کند و

1) معادله را در نظر بگیرید
. شرایط قضیه برای مثال در هر همسایگی نقطه ارضا می شود
. بنابراین، در برخی از محله های نقطه
این معادله به عنوان یک تابع ضمنی از دو متغیر و . بیان صریح این تابع را می توان به راحتی با حل معادله زیر بدست آورد:

2) معادله را در نظر بگیرید
. دو تابع از دو متغیر و . در واقع، شرایط قضیه، برای مثال، در هر همسایگی نقطه برقرار است

، که در آن معادله داده شده یک تابع پیوسته را تعریف می کند که مقدار را دریافت می کند
.

از طرف دیگر، شرایط قضیه در هر همسایگی نقطه ارضا می شود
. در نتیجه، در یک همسایگی معین از نقطه، معادله تابع پیوسته ای را تعریف می کند که مقدار را در نقطه می گیرد.
.

از آنجایی که یک تابع نمی تواند در یک نقطه دو مقدار بگیرد، این بدان معناست که ما در مورد دو تابع متفاوت صحبت می کنیم
و به همین ترتیب. اجازه دهید عبارات صریح آنها را پیدا کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید معادله اصلی را حل کنیم. ما گرفتیم

3) معادله را در نظر بگیرید
. بدیهی است که شرایط قضیه در هر همسایگی نقطه برقرار است
. در نتیجه، چنین همسایگی نقطه وجود دارد
، که در آن معادله به عنوان یک تابع ضمنی از متغیر تعریف می کند. به دست آوردن یک عبارت صریح برای این تابع غیرممکن است، زیرا معادله را نمی توان با توجه به .

4) معادله
هیچ تابع ضمنی را تعریف نمی کند، زیرا هیچ جفتی از اعداد واقعی وجود ندارد و آن را برآورده می کند.

تابع
، توسط معادله داده شده است
طبق قضیه 6.1، مشتقات جزئی پیوسته نسبت به همه آرگومان های همسایه نقطه دارد. بیایید دریابیم که چگونه آنها را بدون مشخص کردن عملکرد مشخص کنیم.

اجازه دهید تابع
شرایط قضیه 6.1 را برآورده می کند. سپس معادله
عملکرد پیوسته
. تابع پیچیده را در نظر بگیرید
، جایی که . تابع یک تابع پیچیده از یک متغیر است و اگر
، آن

(6.1)

از سوی دیگر، با توجه به فرمول (5.3) برای محاسبه مشتق کل
(6.2)

از (6.1) و (6.2) به دست می آوریم که اگر ، پس

(6.3)

اظهار نظر.تقسیم بر ممکن است، زیرا طبق قضیه 6.1
در هر جایی در مجاورت

مثال. مشتق تابع ضمنی داده شده توسط معادله را بیابید و مقدار آن را در محاسبه کنید
.

,
.

با جایگزینی مشتقات جزئی به فرمول (6.3)، به دست می آوریم

.

بعد، با جایگزینی معادله اصلی، دو مقدار پیدا می کنیم:
و
.

در نتیجه، در همسایگی نقطه، معادله دو تابع را تعریف می کند:
و
، جایی که
,
. مشتقات آنها در برابر خواهد بود

و
.

حالا معادله را بگذارید
در برخی از همسایگی های یک نقطه را تعریف می کند
تابع بیا پیداش کنیم به یاد بیاوریم که در واقع این مشتق معمولی یک تابع است که به عنوان تابعی از یک متغیر با مقدار ثابت در نظر گرفته می شود. بنابراین، می‌توانیم از فرمول (6.3) برای یافتن آن استفاده کنیم و آن را تابع، آرگومان، ثابت در نظر بگیریم. ما گرفتیم

. (6.4)

به طور مشابه، با در نظر گرفتن یک تابع، یک آرگومان، یک ثابت، با استفاده از فرمول (6.3) پیدا می کنیم

. (6.5)

مثال. مشتقات جزئی تابعی که با معادله داده شده است را بیابید
.

,
,
.

با استفاده از فرمول های (6.4) و (6.5) به دست می آوریم

,
.

در نهایت، حالت کلی را در نظر بگیرید که معادله است

تابعی از متغیرها را در یک همسایگی مشخص از یک نقطه تعریف می کند. با تکرار آرگومان های انجام شده برای یک تابع به طور ضمنی از دو متغیر، به دست می آوریم

,
, …,
.

§ 7. مشتق جهت دار

1. مشتق جهت دار.

اجازه دهید یک تابع از دو متغیر در یک دامنه تعریف شود
سطح
، - نقطه منطقه، -بردار هر جهت بیایید از نقطه حرکت کنیم
به نقطه ای در جهت بردار. تابع یک افزایش دریافت خواهد کرد

بیایید افزایش تابع را تقسیم کنیم
با طول بخش افست
. نسبت حاصل
میانگین نرخ تغییر تابع در ناحیه را نشان می دهد
. سپس حد این نسبت در
(اگر وجود داشته باشد و متناهی باشد) نرخ تغییر تابع در نقطه خواهد بود
در جهت بردار او نامیده می شود مشتق تابع در نقطه ای در جهت بردار و نشان دهند
یا
.

علاوه بر سرعت تغییر تابع، به شما امکان می دهد ماهیت تغییر تابع را در نقطه ای در جهت بردار تعیین کنید. (افزایش یا کاهش):

این گزاره ها به همان روشی که گزاره های مشابه برای تابعی از یک متغیر اثبات می شوند.

توجه داشته باشید که مشتقات جزئی یک تابع یک مورد خاص از مشتق جهت دار هستند. برای مثال،
این مشتق تابع در جهت بردار است (جهت محور
) مشتق تابع در جهت بردار است (جهت محور
).

فرض می کنیم که تابع در نقطه قابل تفکیک است. سپس

جایی که - بی نهایت کوچک در
.