مشتقات توابع اثبات ابتدایی. مشتق یک تابع نظریه تفصیلی با مثال. مفهوم تابع معکوس

عملیات یافتن مشتق را تمایز می گویند.

در نتیجه حل مشکلات یافتن مشتقات ساده ترین (و نه خیلی ساده) توابع با تعریف مشتق به عنوان حد نسبت افزایش به افزایش استدلال، جدولی از مشتقات و قوانین دقیقاً تعریف شده تمایز ظاهر شد. . اولین کسانی که در زمینه یافتن مشتقات کار کردند، اسحاق نیوتن (1643-1727) و گوتفرید ویلهلم لایب نیتس (1646-1716) بودند.

بنابراین، در زمان ما، برای یافتن مشتق هر تابع، نیازی به محاسبه حد فوق الذکر از نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان نیست، بلکه فقط باید از جدول استفاده کنید. مشتقات و قواعد تمایز. الگوریتم زیر برای یافتن مشتق مناسب است.

برای یافتن مشتق، به یک عبارت زیر علامت اول نیاز دارید توابع ساده را به اجزاء تقسیم کنیدو تعیین کنید که چه اقداماتی (محصول، جمع، ضریب)این توابع مرتبط هستند. در مرحله بعد، مشتقات توابع ابتدایی را در جدول مشتقات، و فرمول های مشتقات حاصل، مجموع و ضریب را در قوانین تمایز پیدا می کنیم. جدول مشتق و قوانین تمایز پس از دو مثال اول آورده شده است.

مثال 1.مشتق یک تابع را پیدا کنید

راه حل. از قواعد تمایز متوجه می شویم که مشتق مجموع توابع، مجموع مشتقات توابع است، یعنی.

از جدول مشتقات متوجه می شویم که مشتق "x" برابر با یک و مشتق سینوس برابر با کسینوس است. ما این مقادیر را با مجموع مشتقات جایگزین می کنیم و مشتق مورد نیاز شرط مسئله را پیدا می کنیم:

مثال 2.مشتق یک تابع را پیدا کنید

راه حل. ما به عنوان مشتقی از مجموع متمایز می کنیم که جمله دوم دارای یک عامل ثابت است، می توان آن را از علامت مشتق خارج کرد:

اگر هنوز سؤالاتی در مورد اینکه چیزی از کجا آمده است، وجود دارد، معمولاً پس از آشنایی با جدول مشتقات و ساده ترین قوانین تمایز، آنها را برطرف می کنند. ما در حال حاضر به سراغ آنها می رویم.

جدول مشتقات توابع ساده

1. مشتق ثابت (عدد). هر عدد (1، 2، 5، 200...) که در عبارت تابع باشد. همیشه برابر با صفر است. یادآوری این نکته بسیار مهم است، زیرا اغلب اوقات لازم است
2. مشتق متغیر مستقل. اغلب "X". همیشه برابر با یک. این نیز مهم است که برای مدت طولانی به خاطر بسپارید
3. مشتق درجه. هنگام حل مشکلات، باید ریشه های غیر مربع را به توان تبدیل کنید.
4. مشتق یک متغیر به توان -1
5. مشتق از جذر
6. مشتق سینوس
7. مشتق کسینوس
8. مشتق مماس
9. مشتق کوتانژانت
10. مشتق آرکسین
11. مشتق آرکوزین
12. مشتق از arctangent
13. مشتق کوتانژانت قوس
14. مشتق لگاریتم طبیعی
15. مشتق تابع لگاریتمی
16. مشتق توان
17. مشتق تابع نمایی

قوانین تمایز

1. مشتق جمع یا تفاوت
2. مشتق محصول
2a. مشتق یک عبارت ضرب شده در یک عامل ثابت
3. مشتق از ضریب
4. مشتق تابع مختلط

قانون 1.اگر توابع

در نقطه ای قابل تمایز هستند، سپس توابع در همان نقطه قابل تمایز هستند

و

آن ها مشتق مجموع جبری توابع برابر است با مجموع جبری مشتقات این توابع.

نتیجه. اگر دو تابع متمایز با یک جمله ثابت متفاوت باشند، مشتقات آنها برابر است، یعنی

قانون 2.اگر توابع

در یک نقطه قابل تمایز هستند، سپس محصول آنها در همان نقطه قابل تمایز است

و

آن ها مشتق حاصل ضرب دو تابع برابر است با مجموع حاصلضرب هر یک از این توابع و مشتق دیگری.

نتیجه 1. عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد:

نتیجه 2. مشتق حاصلضرب چندین تابع متمایز برابر است با مجموع حاصل از مشتق هر عامل و بقیه.

به عنوان مثال، برای سه ضریب:

قانون 3.اگر توابع

قابل تمایز در یک نقطه و , سپس در این مرحله ضریب آنها نیز قابل تمایز استu/v و

آن ها مشتق ضریب دو تابع برابر کسری است که صورت آن تفاضل حاصلضرب مخرج و مشتق کسر و ممیز و مشتق مخرج و مخرج آن مجذور است. شمارنده سابق

جایی که در صفحات دیگر چیزها را جستجو کنیم

هنگام یافتن مشتق یک محصول و یک ضریب در مسائل واقعی، همیشه لازم است چندین قانون تمایز را به طور همزمان اعمال کنیم، بنابراین مثال های بیشتری در مورد این مشتقات در مقاله وجود دارد."مشتق حاصلضرب و ضریب توابع".

اظهار نظر.نباید ثابت (یعنی عدد) را به عنوان یک جمله در جمع و به عنوان یک عامل ثابت اشتباه بگیرید! در مورد جمله مشتق آن برابر با صفر و در مورد عامل ثابت از علامت مشتقات خارج می شود. این یک اشتباه معمولی است که در مرحله اولیه مطالعه مشتقات رخ می دهد، اما از آنجایی که دانش آموز عادی چندین مثال یک و دو قسمتی را حل می کند، دیگر این اشتباه را انجام نمی دهد.

و اگر، هنگام متمایز کردن یک محصول یا ضریب، یک اصطلاح دارید تو"v، که در آن تو- یک عدد، به عنوان مثال، 2 یا 5، یعنی یک ثابت، سپس مشتق این عدد برابر با صفر خواهد بود و بنابراین، کل عبارت برابر با صفر خواهد بود (این مورد در مثال 10 مورد بحث قرار گرفته است).

یکی دیگر از اشتباهات رایج حل مکانیکی مشتق یک تابع پیچیده به عنوان مشتق یک تابع ساده است. از همین رو مشتق یک تابع پیچیدهمقاله جداگانه ای اختصاص داده شده است. اما ابتدا یاد خواهیم گرفت که مشتقات توابع ساده را پیدا کنیم.

در طول مسیر، شما نمی توانید بدون تبدیل عبارات انجام دهید. برای انجام این کار، ممکن است لازم باشد دفترچه راهنما را در پنجره های جدید باز کنید. اقدامات با قدرت و ریشهو عملیات با کسری .

اگر به دنبال راه حلی برای مشتقات کسری با توان و ریشه هستید، یعنی زمانی که تابع به نظر می رسد ، سپس درس «مشتق از مجموع کسری با توان و ریشه» را دنبال کنید.

اگر کاری دارید مانند ، سپس درس "مشتقات توابع مثلثاتی ساده" را خواهید گرفت.

مثال های گام به گام - چگونه مشتق را پیدا کنیم

مثال 3.مشتق یک تابع را پیدا کنید

راه حل. بخش‌های عبارت تابع را تعریف می‌کنیم: کل عبارت یک محصول را نشان می‌دهد و فاکتورهای آن مجموع هستند که در دومی یکی از عبارت‌ها شامل یک عامل ثابت است. ما قانون تمایز محصول را اعمال می کنیم: مشتق حاصل ضرب دو تابع برابر است با مجموع حاصلضرب هر یک از این توابع توسط مشتق دیگری:

بعد، قاعده تمایز مجموع را اعمال می کنیم: مشتق مجموع جبری توابع برابر است با مجموع جبری مشتقات این توابع. در مورد ما، در هر جمع جمله دوم یک علامت منفی دارد. در هر جمع هم متغیر مستقلی را می بینیم که مشتق آن برابر با یک است و هم یک عدد ثابت (عددی) که مشتق آن برابر با صفر است. بنابراین، "X" به یک تبدیل می شود و منهای 5 به صفر تبدیل می شود. در عبارت دوم، "x" در 2 ضرب می شود، بنابراین ما دو را در همان واحد مشتق "x" ضرب می کنیم. مقادیر مشتق زیر را بدست می آوریم:

مشتقات یافت شده را با مجموع محصولات جایگزین می کنیم و مشتق کل تابع مورد نیاز شرط مسئله را به دست می آوریم:

و می‌توانید راه‌حل مسئله مشتق را بررسی کنید.

مثال 4.مشتق یک تابع را پیدا کنید

راه حل. ما باید مشتق ضریب را پیدا کنیم. ما فرمول را برای افتراق ضریب اعمال می کنیم: مشتق ضریب دو تابع برابر با کسری است که صورت آن تفاوت بین حاصلضرب های مخرج و مشتق کسر و ممیز و مشتق آن است. مخرج، و مخرج مجذور کسر سابق است. ما گرفتیم:

ما قبلاً مشتق فاکتورهای صورت‌گر را در مثال 2 پیدا کرده‌ایم. همچنین فراموش نکنیم که حاصلضرب که دومین عامل در صورت‌گر در مثال فعلی است، با علامت منفی گرفته می‌شود:

اگر به دنبال راه‌حل‌هایی برای مشکلاتی هستید که در آنها باید مشتق یک تابع را پیدا کنید، جایی که انبوهی از ریشه‌ها و قدرت‌ها وجود دارد، مانند، برای مثال، ، سپس به کلاس خوش آمدید "مشتق از مجموع کسری با توان و ریشه" .

اگر نیاز دارید درباره مشتقات سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و سایر توابع مثلثاتی بیشتر بدانید، یعنی زمانی که تابع به نظر می رسد ، سپس یک درس برای شما "مشتقات توابع مثلثاتی ساده" .

مثال 5.مشتق یک تابع را پیدا کنید

راه حل. در این تابع محصولی را می بینیم که یکی از عوامل آن جذر متغیر مستقل است که مشتق آن را در جدول مشتقات با آن آشنا کردیم. با استفاده از قانون تمایز حاصلضرب و مقدار جدولی مشتق جذر، به دست می آوریم:

می توانید راه حل مسئله مشتق را در اینجا بررسی کنید ماشین حساب مشتقات آنلاین .

مثال 6.مشتق یک تابع را پیدا کنید

راه حل. در این تابع ضریبی را می بینیم که سود تقسیمی آن جذر متغیر مستقل است. با استفاده از قاعده تمایز ضرایب که در مثال 4 تکرار و اعمال کردیم و مقدار جدولی مشتق جذر، به دست می آوریم:

برای خلاص شدن از کسری در صورت، صورت و مخرج را در ضرب کنید.

فرمول 3 و 5 را خودتان ثابت کنید.

قوانین اساسی تمایز

با استفاده از روش کلی یافتن مشتق با استفاده از حد، می توان ساده ترین فرمول های تمایز را به دست آورد. اجازه دهید u=u(x)،v=v(x)- دو تابع متمایز از یک متغیر ایکس.

فرمول 1 و 2 را خودتان ثابت کنید.

اثبات فرمول 3.

اجازه دهید y = u(x) + v(x).برای مقدار آرگومان ایکس+Δ ایکسما داریم y(ایکس+Δ ایکس)=تو(ایکس+Δ ایکس) + v(ایکس+Δ ایکس).

Δ y=y(ایکس+Δ ایکس) – y(x) = u(x+Δ ایکس) + v(x+Δ ایکس) – u(x) – v(x) = Δ تو +Δ v.

از این رو،

اثبات فرمول 4.

اجازه دهید y=u(x)·v(x).سپس y(ایکس+Δ ایکس)=تو(ایکس+Δ ایکس)· v(ایکس+Δ ایکس)، از همین رو

Δ y=تو(ایکس+Δ ایکس)· v(ایکس+Δ ایکس) – تو(ایکس)· v(ایکس).

توجه داشته باشید که از آنجایی که هر یک از توابع توو vقابل تمایز در نقطه ایکس، سپس آنها در این نقطه پیوسته هستند، به این معنی تو(ایکس+Δ ایکس)→u(x)، v(ایکس+Δ ایکس)→v(x)، در Δ ایکس→0.

بنابراین می توانیم بنویسیم

بر اساس این خاصیت، می توان قاعده ای برای تمایز حاصلضرب هر تعداد توابع به دست آورد.

اجازه دهید، برای مثال، y=u·v·w.سپس،

y " = تو "·( v w) + تو·( v·w) " = تو "· v·w + تو·( v"·w+ v·w ") = تو "· v·w + تو· v"·w+ u·v·w".

اثبات فرمول 5.

اجازه دهید . سپس

در اثبات از این واقعیت استفاده کردیم که v(x+Δ ایکس)→v(x)در Δ ایکس→0.

مثال ها.

قضیه مشتق تابع مختلط

اجازه دهید y = f(u)،آ تو= تو(ایکس). تابع را دریافت می کنیم yبسته به استدلال ایکس: y = f(u(x)).آخرین تابع تابع تابع یا نامیده می شود تابع پیچیده.

دامنه تعریف تابع y = f(u(x))یا کل دامنه تعریف تابع است تو=تو(ایکس) یا آن قسمتی که مقادیر در آن تعیین می شوند تو، از دامنه تعریف تابع خارج نمی شود y= f(u).

عملیات تابع-از-تابع را می توان نه فقط یک بار، بلکه چند بار انجام داد.

اجازه دهید یک قاعده برای متمایز کردن یک تابع پیچیده ایجاد کنیم.

قضیه.اگر تابع تو= تو(ایکس) در مقطعی داشته است x 0مشتق است و مقدار را در این نقطه می گیرد u 0 = تو(x 0) و تابع y=f(u)در نقطه دارد u 0مشتق y"تو = f "(u 0) سپس یک تابع پیچیده y = f(u(x))در نقطه مشخص شده x 0مشتقی نیز دارد که برابر است با y"x = f "(u 0)· تو "(x 0، جایی که به جای توعبارت باید جایگزین شود تو= تو(ایکس).

بنابراین، مشتق یک تابع مختلط برابر با حاصل ضرب مشتق یک تابع معین نسبت به آرگومان میانی است. توبه مشتق استدلال میانی با توجه به ایکس.

اثبات. برای یک مقدار ثابت ایکس 0 خواهیم داشت تو 0 =تو(ایکس 0), در 0 =f(u 0 ). برای یک مقدار آرگومان جدید x 0+Δ ایکس:

Δ تو= تو(x 0 + Δ ایکس) – تو(ایکس 0), Δ y=f(u 0+Δ تو) – f(u 0).

زیرا تو- قابل تمایز در یک نقطه x 0، آن تو- در این نقطه پیوسته است. بنابراین، در Δ ایکس→0 Δ تو→ 0. به طور مشابه برای Δ تو→0 Δ y→0.

با شرط . از این رابطه، با استفاده از تعریف حد، (در Δ تو→0)

جایی که α→0 در Δ تو→ 0، و در نتیجه، در Δ ایکس→0.

اجازه دهید این برابری را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

Δ y=y"uΔ تو+α·Δ تو.

برابری حاصل برای Δ نیز معتبر است تو= 0 برای α دلخواه، زیرا به هویت 0=0 تبدیل می شود. در Δ تو=0 ما α=0 را فرض خواهیم کرد. اجازه دهید تمام عبارات تساوی حاصل را بر Δ تقسیم کنیم ایکس

.

با شرط . بنابراین، عبور از حد Δ ایکس→ 0، دریافت می کنیم y"x = y"u·u" x. قضیه ثابت شده است.

بنابراین، برای متمایز کردن یک تابع پیچیده y = f(u(x))،شما باید مشتق تابع "خارجی" را بگیرید f، استدلال آن را صرفاً به عنوان یک متغیر در نظر می گیرد و در مشتق تابع "داخلی" نسبت به متغیر مستقل ضرب می کند.

اگر تابع y=f(x)را می توان در فرم نشان داد y=f(u)، u=u(v)، v=v(x)،سپس یافتن مشتق y "x با اعمال متوالی قضیه قبلی انجام می شود.

طبق قاعده ثابت شده داریم y"x = y"تو تو"x. اعمال همان قضیه برای تو"x دریافت می کنیم، یعنی.

y"x = y" ایکس تو" v v"x = f"تو( تو)· تو" v ( v)· v" ایکس ( ایکس).

مثال ها.

مفهوم تابع معکوس

بیایید با یک مثال شروع کنیم. تابع را در نظر بگیرید y= x 3. ما برابری را در نظر خواهیم گرفت y= x 3به عنوان یک نسبی معادله ایکس. این معادله برای هر مقدار است دریک مقدار واحد را تعریف می کند ایکس: . از نظر هندسی، این بدان معنی است که هر خط مستقیم موازی با محور است گاو نرنمودار یک تابع را قطع می کند y= x 3فقط در یک نقطه بنابراین می توانیم در نظر بگیریم ایکسبه عنوان تابعی از y. تابع را معکوس تابع می نامند y= x 3.

قبل از پرداختن به حالت کلی، به معرفی تعاریف می پردازیم.

تابع y = f(x)تماس گرفت افزایش می یابددر یک بخش خاص، اگر مقدار آرگومان بزرگتر باشد ایکساز این بخش مربوط به مقدار بزرگتری از تابع است، یعنی. اگر ایکس 2 >ایکس 1، سپس f(x 2 ) > f(x 1 ).

تابع به طور مشابه فراخوانی می شود در حال کاهش، اگر مقدار کوچکتر آرگومان با مقدار بزرگتر تابع مطابقت داشته باشد، به عنوان مثال. اگر ایکس 2 < ایکس 1، سپس f(x 2 ) > f(x 1 ).

بنابراین، اجازه دهید یک تابع افزایش یا کاهش داده شود y=f(x)، در یک بازه تعریف شده [ آ; ب]. برای قطعیت، ما یک تابع افزایشی را در نظر خواهیم گرفت (برای یک تابع کاهشی همه چیز مشابه است).

دو مقدار متفاوت را در نظر بگیرید ایکس 1 و ایکس 2. اجازه دهید y 1 =f(x 1 ) y 2 =f(x 2 ). از تعریف تابع افزایشی چنین بر می آید که اگر ایکس 1 <ایکس 2، سپس در 1 <در 2. بنابراین، دو مقدار متفاوت ایکس 1 و ایکس 2 مربوط به دو مقدار تابع متفاوت است در 1 و در 2. برعکس آن نیز صادق است، یعنی. اگر در 1 <در 2، سپس از تعریف تابع افزایشی نتیجه می شود که ایکس 1 <ایکس 2. آن ها دوباره دو مقدار متفاوت در 1 و در 2 مربوط به دو مقدار متفاوت است ایکس 1 و ایکس 2. بنابراین، بین مقادیر ایکسو مقادیر مربوط به آنها yمکاتبات یک به یک برقرار می شود، یعنی. معادله y=f(x)برای هر y(برگرفته از محدوده تابع y=f(x))یک مقدار واحد را تعریف می کند ایکس، و می توانیم بگوییم ایکسیک تابع آرگومان وجود دارد y: x=g(y).

این تابع نامیده می شود معکوسبرای عملکرد y=f(x). بدیهی است که عملکرد y=f(x)معکوس تابع است x=g(y).

توجه داشته باشید که تابع معکوس x=g(y)با حل معادله پیدا می شود y=f(x)به طور نسبی ایکس.

مثال.اجازه دهید تابع داده شود y= e x. این تابع در -∞ افزایش می یابد< ایکس <+∞. Она имеет обратную функцию ایکس= ورود y. دامنه تابع معکوس 0< y < + ∞.

بیایید چند نظر بدهیم.

یادداشت 1.اگر تابع افزایش (یا کاهشی) باشد y=f(x)پیوسته در بازه [ آ; ب]، و f(a)=c، f(b)=d، سپس تابع معکوس تعریف شده و در بازه [ ج; د].

تبصره 2.اگر تابع y=f(x)در یک بازه زمانی معین نه افزایش می یابد و نه کاهش می یابد، پس می تواند چندین تابع معکوس داشته باشد.

مثال.تابع y=x2تعریف شده در –∞<ایکس<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤ایکس<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <ایکس≤ 0 تابع - کاهش و معکوس آن.

نکته 3.اگر توابع y=f(x)و x=g(y)متقابل معکوس هستند، سپس رابطه یکسانی را بین متغیرها بیان می کنند ایکسو y. بنابراین نمودار هر دو یک منحنی است. اما اگر آرگومان تابع معکوس را دوباره با نشان دهیم ایکسو تابع از طریق yو آنها را در یک سیستم مختصات رسم کنید، دو نمودار متفاوت دریافت خواهیم کرد. به راحتی می توان متوجه شد که نمودارها نسبت به نیمساز زاویه مختصات 1 متقارن خواهند بود.

قضیه در مورد تابع معکوس مشتق

اجازه دهید یک قضیه را ثابت کنیم که به ما امکان می دهد مشتق تابع را پیدا کنیم y=f(x)، دانستن مشتق تابع معکوس.

قضیه.اگر برای تابع y=f(x)تابع معکوس وجود دارد x=g(y) که در مقطعی در 0 مشتق دارد g "(v 0، غیر صفر، سپس در نقطه مربوطه x 0=g(x 0) تابع y=f(x)مشتق دارد f "(x 0)، برابر است، یعنی. فرمول درست است

اثبات. زیرا x=g(y)قابل تمایز در نقطه y 0، آن x=g(y)در این نقطه پیوسته است، بنابراین تابع y=f(x)پیوسته در یک نقطه x 0=g(y 0). بنابراین، در Δ ایکس→0 Δ y→0.

بیایید آن را نشان دهیم .

اجازه دهید . سپس با خاصیت حد . اجازه دهید در این برابری به حد Δ بگذریم y→ 0. سپس Δ ایکس← 0 و α(Δx)→0، یعنی. .

از این رو،

,

Q.E.D.

این فرمول را می توان به شکل نوشت.

بیایید با استفاده از مثال به کاربرد این قضیه نگاه کنیم.

ما فرمول های مشتقات توابع ابتدایی را بدون اثبات ارائه می کنیم:

1. تابع توان: (x n)` =nx n -1 .

2. تابع نمایی: (a x)` =a x lna(به طور خاص، (e x)` = e x).

3. تابع لگاریتمی: (به طور خاص، (lnx)` = 1/x).

4. توابع مثلثاتی:

(cosх)` = -sinx

(tgх)` = 1/cos 2 x

(ctgх)` = -1/sin 2 x

5. توابع مثلثاتی معکوس:

می توان ثابت کرد که برای افتراق یک تابع توان-نمایی باید از فرمول مشتق یک تابع مختلط دو بار استفاده کرد، یعنی هم به عنوان تابع توانی مختلط و هم به عنوان تابع نمایی مختلط افتراق داد و نتایج را اضافه کرد. : (f(x)  (x))` =(x)*f(x)  (x)-1 *f(x)` +f(x)  (x) *lnf(x)* (x)`.

مشتقات مرتبه بالاتر

از آنجایی که مشتق تابع خود یک تابع است، می تواند مشتق نیز داشته باشد. مفهوم مشتق، که در بالا مورد بحث قرار گرفت، به مشتق مرتبه اول اشاره دارد.

مشتقn- مرتبهمشتق مشتق مرتبه (n- 1) نامیده می شود. به عنوان مثال، f``(x) = (f`(x))` - مشتق مرتبه دوم (یا مشتق دوم)، f```(x) = (f``(x))` - مشتق مرتبه سوم ( یا مشتق سوم) و غیره گاهی اوقات از اعداد عربی رومی داخل پرانتز برای نشان دادن مشتقات مرتبه بالاتر استفاده می شود، به عنوان مثال، f (5) (x) یا f (V) (x) برای یک مشتق مرتبه پنجم.

معنای فیزیکی مشتقات مرتبه بالاتر به همان روشی که برای مشتق اول تعیین می شود: هر یک از آنها نرخ تغییر مشتق مرتبه قبلی را نشان می دهد. به عنوان مثال، مشتق دوم نشان دهنده نرخ تغییر مشتق اول است، یعنی. سرعت سرعت برای حرکت مستقیم، به معنای شتاب یک نقطه در یک لحظه از زمان است.

تابع الاستیسیته

تابع الاستیسیته E x (y) حد نسبت افزایش نسبی تابع y به افزایش نسبی آرگومان x است زیرا دومی به سمت صفر میل می کند:
.

خاصیت ارتجاعی یک تابع نشان می دهد که وقتی متغیر مستقل x به میزان 1 درصد تغییر کند، تابع y = f(x) تقریباً چند درصد تغییر می کند.

از نظر اقتصادی، تفاوت این شاخص با مشتق در این است که مشتق دارای واحدهای اندازه گیری است و بنابراین مقدار آن به واحدهایی بستگی دارد که متغیرها در آن اندازه گیری می شوند. به عنوان مثال، اگر وابستگی حجم تولید به زمان به ترتیب بر حسب تن و ماه بیان شود، مشتق افزایش حاشیه ای حجم را بر حسب تن در ماه نشان می دهد. اگر این شاخص ها را مثلاً در کیلوگرم و روز اندازه گیری کنیم، هم خود تابع و هم مشتق آن متفاوت خواهند بود. کشش اساساً یک کمیت بدون بعد است (در درصد یا سهم اندازه گیری می شود) و بنابراین به مقیاس شاخص ها بستگی ندارد.

قضایای اساسی در مورد توابع متمایز و کاربردهای آنها

قضیه فرما. اگر یک تابع قابل تمایز در یک بازه به بیشترین یا حداقل مقدار خود در نقطه داخلی این بازه برسد، مشتق تابع در این نقطه صفر است.

بدون اثبات.

معنای هندسی قضیه فرما این است که در نقطه بزرگترین یا کوچکترین مقدار بدست آمده در داخل بازه، مماس بر نمودار تابع موازی با محور آبسیسا است (شکل 3.3).

قضیه رول. اجازه دهید تابع y =f(x) شرایط زیر را برآورده کند:

2) قابل تمایز در بازه (a، b).

3) در انتهای بخش مقادیر مساوی می گیرد، یعنی. f(a) =f(b).

سپس حداقل یک نقطه در داخل قطعه وجود دارد که مشتق تابع برابر با صفر است.

بدون اثبات.

معنای هندسی قضیه رول این است که حداقل یک نقطه وجود دارد که در آن مماس نمودار تابع با محور آبسیسا موازی خواهد بود (به عنوان مثال، در شکل 3.4 دو نقطه از این قبیل وجود دارد).

اگر f(a) =f(b) = 0، آنگاه قضیه رول را می توان به گونه ای متفاوت فرموله کرد: بین دو صفر متوالی تابع متمایز حداقل یک صفر از مشتق وجود دارد.

قضیه رول یک مورد خاص از قضیه لاگرانژ است.

قضیه لاگرانژ. اجازه دهید تابع y =f(x) شرایط زیر را برآورده کند:

1) پیوسته در بازه [a، b]؛

2) قابل تمایز در بازه (a, b).

سپس در داخل قطعه حداقل یک نقطه c وجود دارد که در آن مشتق برابر است با ضریب افزایش تابع تقسیم بر افزایش آرگومان در این بخش:
.

بدون اثبات.

برای درک معنای فیزیکی قضیه لاگرانژ، به این نکته توجه می کنیم
چیزی بیش از میانگین نرخ تغییر تابع در کل بازه [a, b] نیست. بنابراین، این قضیه بیان می کند که در داخل قطعه حداقل یک نقطه وجود دارد که در آن نرخ تغییر "آنی" تابع برابر با میانگین نرخ تغییر آن در کل بخش است.

معنای هندسی قضیه لاگرانژ در شکل 3.5 نشان داده شده است. توجه داشته باشید که عبارت
نشان دهنده ضریب زاویه ای خط مستقیمی است که وتر AB روی آن قرار دارد. این قضیه بیان می کند که در نمودار یک تابع حداقل یک نقطه وجود خواهد داشت که مماس آن با این وتر موازی خواهد بود (یعنی شیب مماس - مشتق - یکسان خواهد بود).

نتیجه: اگر مشتق یک تابع در یک بازه معین برابر با صفر باشد، آن تابع در این بازه به طور یکسان ثابت است.

در واقع، اجازه دهید فاصله را در نظر بگیریم. طبق قضیه لاگرانژ، در این بازه یک نقطه c وجود دارد که برای آن
. از این رو f(a) – f(x) = f `(с)(a – x) = 0; f(x) = f(a) = ثابت.

قانون L'Hopital. حد نسبت دو تابع بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ برابر است با حد نسبت مشتقات آنها (متناهی یا نامتناهی) در صورتی که دومی به معنای مشخص شده وجود داشته باشد.

به عبارت دیگر، اگر عدم قطعیت شکل وجود داشته باشد
، آن
.

بدون اثبات.

کاربرد قانون L'Hopital برای یافتن محدودیت ها در کلاس های عملی مورد بحث قرار خواهد گرفت.

شرط کافی برای افزایش (کاهش) یک تابع. اگر مشتق تابع قابل تمایز در یک بازه مشخص مثبت (منفی) باشد، در این بازه تابع افزایش (کاهش) می یابد.

اثبات دو مقدار x 1 و x 2 را از این فاصله در نظر بگیرید (بگذارید x 2 > x 1). با قضیه لاگراند در [x 1, x 2] یک نقطه c وجود دارد که در آن
. بنابراین f(x2) –f(x1) =f`(c)(x2 –x1). سپس برای f`(c) > 0 سمت چپ نابرابری مثبت است، یعنی f(x2) >f(x1)، و تابع در حال افزایش است. Whenf`(c)< 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е.f(х 2)

قضیه ثابت شده است.

تفسیر هندسی شرط یکنواختی یک تابع: اگر مماس بر منحنی در یک بازه معین در زوایای حاد به محور آبسیسا باشد، تابع افزایش می‌یابد و اگر در زوایای مبهم باشد، کاهش می‌یابد (شکل 3.6 را ببینید). ).

نکته: شرط لازم برای یکنواختی ضعیفتر است. اگر تابعی در یک بازه معین افزایش (کاهش) پیدا کند، آنگاه مشتق در این بازه غیر منفی (غیر مثبت) است (یعنی در نقاط جداگانه مشتق یک تابع یکنواخت می تواند برابر با صفر باشد).

محاسبه مشتق اغلب در وظایف آزمون یکپارچه دولت یافت می شود. این صفحه شامل فهرستی از فرمول‌ها برای یافتن مشتقات است.

قوانین تمایز

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. مشتق تابع مختلط اگر y=F(u) و u=u(x)، تابع y=f(x)=F(u(x)) تابع مختلط x نامیده می شود. برابر y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. مشتق تابع ضمنی تابع y=f(x) یک تابع ضمنی نامیده می شود که با رابطه F(x,y)=0 تعریف می شود اگر F(x,f(x))≡0.
6. مشتق تابع معکوس. اگر g(f(x))=x، تابع g(x) تابع معکوس تابع y=f(x) نامیده می شود.
7. مشتق از یک تابع تعریف شده پارامتری. اجازه دهید x و y به عنوان توابع متغیر t مشخص شوند: x=x(t)، y=y(t). آنها می گویند که y=y(x) یک تابع تعریف شده پارامتری در بازه x∈ (a;b) است، اگر در این بازه معادله x=x(t) را بتوان به صورت t=t(x) و تابع را بیان کرد. y=y(t(x))=y(x).
8. مشتق تابع توان-نمایی. با گرفتن لگاریتم به پایه لگاریتم طبیعی پیدا می شود.

ما به شما توصیه می کنیم پیوند را ذخیره کنید، زیرا ممکن است بارها به این جدول نیاز باشد.

برای راحتی و وضوح در هنگام مطالعه موضوع، یک جدول خلاصه ارائه می دهیم.

ثابتy = C تابع توان y = x p (x p) " = p x p - 1	تابع نماییy = a x (a x) " = a x ln a به ویژه، زمانی کهa = eما داریم y = e x (e x) " = e x
تابع لگاریتمی (log a x) " = 1 x ln a به ویژه، زمانی کهa = eما داریم y = logx (ln x) " = 1 x	توابع مثلثاتی (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
توابع مثلثاتی معکوس (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	توابع هذلولی (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

اجازه دهید نحوه به دست آوردن فرمول های جدول مشخص شده را تجزیه و تحلیل کنیم یا به عبارت دیگر، مشتق فرمول های مشتق را برای هر نوع تابع ثابت کنیم.

مشتق از یک ثابت

شواهد 1

برای استخراج این فرمول، تعریف مشتق یک تابع در یک نقطه را مبنا قرار می دهیم. ما از x 0 = x، که در آن استفاده می کنیم ایکسمقدار هر عدد واقعی را می گیرد، یا به عبارت دیگر، ایکسهر عددی از دامنه تابع f (x) = C است. اجازه دهید حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان را به صورت ∆ x → 0 بنویسیم:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

لطفاً توجه داشته باشید که عبارت 0 ∆ x تحت علامت حد قرار می گیرد. این عدم قطعیت «صفر تقسیم بر صفر» نیست، زیرا شمارش حاوی یک مقدار بی نهایت کوچک نیست، بلکه دقیقاً صفر است. به عبارت دیگر، افزایش یک تابع ثابت همیشه صفر است.

بنابراین، مشتق تابع ثابت f (x) = C در کل دامنه تعریف برابر با صفر است.

مثال 1

توابع ثابت داده شده است:

f 1 (x) = 3، f 2 (x) = a، a ∈ R، f 3 (x) = 4. 13 7 22، f 4 (x) = 0، f 5 (x) = - 8 7

راه حل

اجازه دهید شرایط داده شده را شرح دهیم. در تابع اول مشتق عدد طبیعی 3 را می بینیم. در مثال زیر باید مشتق از را بگیرید آ، جایی که آ- هر عدد واقعی مثال سوم مشتق عدد غیر منطقی 4 را به ما می دهد. 13 7 22، چهارم مشتق صفر است (صفر یک عدد صحیح است). در نهایت، در مورد پنجم، مشتق کسر گویا - 8 7 را داریم.

پاسخ:مشتقات توابع داده شده برای هر واقعی صفر هستند ایکس(در کل منطقه تعریف)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0" = 0، f 5" (x) = - 8 7" = 0

مشتق تابع توان

بیایید به تابع توان و فرمول مشتق آن برویم که به شکل: (x p) " = p x p - 1 است، جایی که توان پهر عدد واقعی است

شواهد 2

در اینجا اثبات فرمول زمانی است که توان یک عدد طبیعی است: p = 1، 2، 3، …

ما دوباره بر تعریف مشتق تکیه می کنیم. اجازه دهید حد نسبت افزایش یک تابع توان به افزایش آرگومان را بنویسیم:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

برای ساده کردن عبارت در عدد، از فرمول دو جمله ای نیوتن استفاده می کنیم:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

بدین ترتیب:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1

بنابراین، ما فرمول مشتق یک تابع توان را زمانی که توان یک عدد طبیعی باشد، ثابت کرده‌ایم.

شواهد 3

برای ارائه مدرک برای پرونده زمانی که پ-هر عدد واقعی غیر از صفر، از مشتق لگاریتمی استفاده می کنیم (در اینجا باید تفاوت را با مشتق یک تابع لگاریتمی درک کنیم). برای درک کامل تر، توصیه می شود مشتق یک تابع لگاریتمی را مطالعه کنید و علاوه بر آن مشتق یک تابع ضمنی و مشتق یک تابع مختلط را درک کنید.

بیایید دو مورد را در نظر بگیریم: چه زمانی ایکسمثبت و چه زمانی ایکسمنفی.

بنابراین x> 0. سپس: x p > 0 . اجازه دهید برابری y = x p را بر مبنای e لگاریتم کنیم و خاصیت لگاریتم را اعمال کنیم:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

در این مرحله، یک تابع به طور ضمنی مشخص شده به دست آورده ایم. بیایید مشتق آن را تعریف کنیم:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

اکنون موردی را در نظر می گیریم که ایکس -یک عدد منفی

اگر نشانگر پیک عدد زوج است، سپس تابع توان برای x تعریف می شود< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

سپس x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

اگر پیک عدد فرد است، سپس تابع توان برای x تعریف می شود< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

آخرین انتقال به این دلیل امکان پذیر است که اگر پیک عدد فرد است، پس p - 1یا یک عدد زوج یا صفر (برای p = 1)، بنابراین برای منفی ایکسبرابری (- x) p - 1 = x p - 1 درست است.

بنابراین، ما فرمول مشتق تابع توان را برای هر p واقعی ثابت کرده‌ایم.

مثال 2

توابع داده شده:

f 1 (x) = 1 x 2 3، f 2 (x) = x 2 - 1 4، f 3 (x) = 1 x log 7 12

مشتقات آنها را تعیین کنید.

راه حل

برخی از توابع داده شده را بر اساس ویژگی های درجه به شکل جدولی y = x p تبدیل می کنیم و سپس از فرمول استفاده می کنیم:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

مشتق تابع نمایی

اثبات 4

اجازه دهید فرمول مشتق را با استفاده از تعریف به عنوان پایه استخراج کنیم:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

بلاتکلیفی گرفتیم برای گسترش آن، اجازه دهید یک متغیر جدید z = a ∆ x - 1 بنویسیم (z → 0 به عنوان ∆ x → 0). در این مورد، ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . برای آخرین انتقال، از فرمول انتقال به یک پایه لگاریتمی جدید استفاده شد.

اجازه دهید حد اصلی را جایگزین کنیم:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

اجازه دهید حد قابل توجه دوم را به خاطر بیاوریم و سپس فرمول مشتق تابع نمایی را بدست آوریم:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

مثال 3

توابع نمایی داده شده است:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

باید مشتقات آنها را پیدا کرد.

راه حل

ما از فرمول برای مشتق تابع نمایی و خواص لگاریتم استفاده می کنیم:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

مشتق تابع لگاریتمی

شواهد 5

اجازه دهید اثباتی از فرمول برای مشتق تابع لگاریتمی برای هر کدام ارائه کنیم ایکسدر حوزه تعریف و هر مقدار مجاز پایه a لگاریتم. بر اساس تعریف مشتق، به دست می آوریم:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

از زنجیره برابری های نشان داده شده مشخص است که تبدیل ها بر اساس خاصیت لگاریتم بوده اند. مرز تساوی ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e مطابق با حد قابل توجه دوم صادق است.

مثال 4

توابع لگاریتمی داده شده است:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

محاسبه مشتقات آنها ضروری است.

راه حل

بیایید فرمول مشتق شده را اعمال کنیم:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x)" = 1 x ln e = 1 x

بنابراین، مشتق لگاریتم طبیعی یک تقسیم بر است ایکس.

مشتقات توابع مثلثاتی

اثبات 6

بیایید از چند فرمول مثلثاتی و اولین حد فوق العاده برای استخراج فرمول مشتق یک تابع مثلثاتی استفاده کنیم.

با توجه به تعریف مشتق تابع سینوس، به دست می آوریم:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

فرمول تفاوت سینوس ها به ما امکان می دهد اقدامات زیر را انجام دهیم:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

در نهایت، از اولین محدودیت فوق العاده استفاده می کنیم:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

بنابراین، مشتق تابع گناه xاراده cos x.

ما همچنین فرمول مشتق کسینوس را ثابت خواهیم کرد:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

آن ها مشتق تابع cos x خواهد بود - گناه x.

ما فرمول های مشتقات مماس و کتانژانت را بر اساس قوانین تمایز استخراج می کنیم:

t g " x = گناه x cos x " = گناه " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- گناه x) cos 2 x = گناه 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

مشتقات توابع مثلثاتی معکوس

بخش مشتق توابع معکوس اطلاعات جامعی در مورد اثبات فرمول های مشتقات آرکسین، آرکوزین، آرکتتانژانت و آرکوتانژانت ارائه می دهد، بنابراین ما در اینجا مطالب را تکرار نمی کنیم.

مشتقات توابع هذلولی

شواهد 7

با استفاده از قانون تمایز و فرمول مشتق تابع نمایی می‌توانیم فرمول‌های مشتقات سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت هذلولی را استخراج کنیم:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s - h h 2 x s

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید