بررسی کنید که خطوط در همان صفحه قرار داشته باشند. شرط تعلق دو خط مستقیم به یک صفحه. فاصله از نقطه به خط

این مقاله در مورد خطوط موازی و خطوط موازی است. ابتدا تعریف خطوط موازی در یک صفحه و در فضا ارائه شده است، نمادها معرفی شده اند، مثال ها و تصاویر گرافیکی خطوط موازی آورده شده است. در ادامه، علائم و شرایط موازی خطوط مورد بحث قرار می گیرد. در نتیجه، راه‌حل‌هایی برای مسائل معمولی اثبات موازی بودن خطوط نشان داده شده‌اند که با معادلات خاصی از یک خط در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه و در فضای سه‌بعدی ارائه می‌شوند.

پیمایش صفحه.

خطوط موازی - اطلاعات اولیه.

تعریف.

دو خط در یک هواپیما نامیده می شوند موازی، اگر نقاط مشترکی نداشته باشند.

تعریف.

دو خط در فضای سه بعدی نامیده می شود موازی، اگر در یک صفحه دراز بکشند و نقاط مشترک نداشته باشند.

لطفاً توجه داشته باشید که عبارت "اگر آنها در یک صفحه قرار بگیرند" در تعریف خطوط موازی در فضا بسیار مهم است. اجازه دهید این نکته را روشن کنیم: دو خط در فضای سه بعدی که نقاط مشترکی ندارند و در یک صفحه قرار نمی گیرند، موازی نیستند، بلکه متقاطع هستند.

در اینجا چند نمونه از خطوط موازی آورده شده است. لبه های مخالف ورق نوت بوک روی خطوط موازی قرار دارند. خطوط مستقیمی که در امتداد آن صفحه دیوار خانه سطوح سقف و کف را قطع می کند موازی هستند. ریل های راه آهن در زمین هموار نیز می توانند به عنوان خطوط موازی در نظر گرفته شوند.

برای نشان دادن خطوط موازی، از علامت "" استفاده کنید. یعنی اگر خطوط a و b موازی باشند، می توانیم به طور خلاصه a b بنویسیم.

لطفا توجه داشته باشید: اگر خطوط a و b موازی باشند، می توان گفت که خط a موازی با خط b است و همچنین خط b موازی با خط a است.

اجازه دهید بیانیه ای را بیان کنیم که نقش مهمی در مطالعه خطوط موازی در یک صفحه ایفا می کند: از طریق نقطه ای که روی یک خط معین قرار ندارد، تنها خط مستقیم موازی با خط داده شده عبور می کند. این گزاره به عنوان یک واقعیت پذیرفته شده است (بر اساس بدیهیات شناخته شده پلان سنجی نمی توان آن را اثبات کرد) و به آن بدیهیات خطوط موازی می گویند.

در مورد فضا، قضیه معتبر است: از هر نقطه ای در فضا که روی یک خط معین قرار ندارد، یک خط مستقیم موازی با خط داده شده عبور می کند. این قضیه به راحتی با استفاده از اصل خط های موازی بالا اثبات می شود (در کتاب هندسه پایه های 10-11 که در انتهای مقاله در فهرست منابع آمده است، می توانید اثبات آن را بیابید).

در مورد فضا، قضیه معتبر است: از هر نقطه ای در فضا که روی یک خط معین قرار ندارد، یک خط مستقیم موازی با خط داده شده عبور می کند. این قضیه را می توان به راحتی با استفاده از اصل خط موازی بالا اثبات کرد.

موازی خطوط - علائم و شرایط توازی.

نشانه موازی خطوطشرط کافی برای موازی بودن خطوط است، یعنی شرطی که تحقق آن موازی بودن خطوط را تضمین می کند. به عبارت دیگر، تحقق این شرط برای اثبات موازی بودن خطوط کافی است.

همچنین شرایط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط در یک صفحه و در فضای سه بعدی وجود دارد.

بیایید معنای عبارت "شرط لازم و کافی برای خطوط موازی" را توضیح دهیم.

قبلاً به شرط کافی برای خطوط موازی پرداخته ایم. "شرط لازم برای خطوط موازی" چیست؟ از نام "لازم" مشخص می شود که تحقق این شرط برای خطوط موازی ضروری است. به عبارت دیگر، اگر شرط لازم برای موازی بودن خطوط برقرار نباشد، خطوط موازی نیستند. بدین ترتیب، شرط لازم و کافی برای خطوط موازیشرطی است که تحقق آن برای خطوط موازی هم لازم و هم کافی است. یعنی این از یک طرف نشانه توازی خطوط است و از طرف دیگر این خاصیتی است که خطوط موازی دارند.

قبل از تدوین یک شرط لازم و کافی برای موازی خطوط، توصیه می شود چندین تعریف کمکی را یادآوری کنیم.

خط برشخطی است که هر یک از دو خط داده شده را قطع می کند.

هنگامی که دو خط مستقیم با یک عرضی تلاقی می کنند، هشت خط توسعه نیافته تشکیل می شود. به اصطلاح دراز کشیدن متقاطع، متناظرو زوایای یک طرفه. بیایید آنها را در نقاشی نشان دهیم.

قضیه.

اگر دو خط مستقیم در یک صفحه با یک عرضی قطع شوند، برای موازی بودن آنها لازم و کافی است که زوایای متقاطع مساوی یا زوایای مربوطه مساوی و یا مجموع زوایای یک طرفه برابر با 180 باشد. درجه.

اجازه دهید یک تصویر گرافیکی از این شرط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط در یک صفحه نشان دهیم.

شما می توانید اثبات این شرایط را برای موازی بودن خطوط در کتاب های هندسه برای پایه های 7-9 بیابید.

توجه داشته باشید که این شرایط را می توان در فضای سه بعدی نیز استفاده کرد - نکته اصلی این است که دو خط مستقیم و سکنت در یک صفحه قرار دارند.

در اینجا چند قضیه دیگر وجود دارد که اغلب برای اثبات موازی بودن خطوط استفاده می شود.

قضیه.

اگر دو خط در یک صفحه موازی با خط سوم باشند، آنها موازی هستند. اثبات این معیار از اصل خطوط موازی ناشی می شود.

شرایط مشابهی برای خطوط موازی در فضای سه بعدی وجود دارد.

قضیه.

اگر دو خط در فضا موازی با یک خط سوم باشند، آنها موازی هستند. اثبات این معیار در درس هندسه پایه دهم مطرح می شود.

اجازه دهید قضایای بیان شده را توضیح دهیم.

اجازه دهید قضیه دیگری را ارائه کنیم که به ما امکان می دهد موازی بودن خطوط را در یک صفحه ثابت کنیم.

قضیه.

اگر دو خط در یک صفحه بر خط سوم عمود باشند، موازی هستند.

یک قضیه مشابه برای خطوط در فضا وجود دارد.

قضیه.

اگر دو خط در فضای سه بعدی بر یک صفحه عمود باشند، موازی هستند.

اجازه دهید تصاویر مربوط به این قضایا را ترسیم کنیم.

تمامی قضایا، معیارها و شرایط لازم و کافی فرموله شده در بالا برای اثبات موازی خطوط با استفاده از روش های هندسه عالی هستند. یعنی برای اثبات موازی بودن دو خط داده شده، باید موازی بودن آنها با خط سوم را نشان دهید یا برابری زوایای دروغ گفتن متقاطع و غیره را نشان دهید. بسیاری از مسائل مشابه در درس هندسه در دبیرستان حل می شود. با این حال، باید توجه داشت که در بسیاری از موارد استفاده از روش مختصات برای اثبات موازی بودن خطوط در یک صفحه یا در فضای سه بعدی راحت است. اجازه دهید شرایط لازم و کافی را برای موازی بودن خطوطی که در یک سیستم مختصات مستطیلی مشخص شده اند، فرموله کنیم.

موازی بودن خطوط در یک سیستم مختصات مستطیلی

در این بند از مقاله فرموله خواهیم کرد شرایط لازم و کافی برای خطوط موازیدر یک سیستم مختصات مستطیلی، بسته به نوع معادلات تعیین کننده این خطوط، و همچنین راه حل های دقیقی برای مسائل مشخصه ارائه خواهیم داد.

بیایید با شرط موازی بودن دو خط مستقیم روی صفحه ای در سیستم مختصات مستطیلی Oxy شروع کنیم. اثبات او بر اساس تعریف بردار جهت یک خط و تعریف بردار معمولی یک خط در یک صفحه است.

قضیه.

برای موازی بودن دو خط غیرمطابق در یک صفحه، لازم و کافی است که بردارهای جهت این خطوط همخط باشند، یا بردارهای عادی این خطوط، خطی باشند، یا بردار جهت یک خط، عمود بر حالت عادی باشد. بردار خط دوم

بدیهی است که شرط موازی بودن دو خط در یک صفحه به (بردارهای جهت خطوط یا بردارهای عادی خطوط) یا به (بردار جهت یک خط و بردار عادی خط دوم) کاهش می یابد. بنابراین، اگر و بردارهای جهت خطوط a و b هستند، و و به ترتیب بردارهای عادی خطوط a و b هستند، پس شرط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط a و b به صورت زیر نوشته می شود. ، یا ، یا ، جایی که t مقداری واقعی است. به نوبه خود، مختصات راهنماها و (یا) بردارهای عادی خطوط a و b با استفاده از معادلات شناخته شده خطوط پیدا می شوند.

به طور خاص، اگر خط مستقیم a در سیستم مختصات مستطیلی Oxy در صفحه یک معادله خط مستقیم کلی از فرم را تعریف کند. ، و خط مستقیم b - ، سپس بردارهای عادی این خطوط دارای مختصات و به ترتیب دارای مختصات هستند و شرط موازی بودن خطوط a و b به صورت .

اگر خط a با معادله خطی با ضریب زاویه ای شکل و خط b - مطابقت داشته باشد، بردارهای عادی این خطوط دارای مختصات و هستند و شرط موازی بودن این خطوط به این شکل است. . در نتیجه، اگر خطوط روی صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی موازی باشند و بتوان آنها را با معادلات خطوط با ضرایب زاویه ای مشخص کرد، ضرایب زاویه ای خطوط برابر خواهد بود. و برعکس: اگر خطوط غیر منطبق بر روی صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی را بتوان با معادلات یک خط با ضرایب زاویه ای مساوی مشخص کرد، آنگاه چنین خطوطی موازی هستند.

اگر یک خط a و یک خط b در یک سیستم مختصات مستطیلی با معادلات متعارف یک خط در صفحه ای به شکل تعیین شوند. و ، یا معادلات پارامتریک یک خط مستقیم در صفحه ای از فرم و بر این اساس، بردارهای جهت این خطوط دارای مختصات و هستند و شرط موازی بودن خطوط a و b به صورت .

بیایید به راه حل های چند مثال نگاه کنیم.

مثال.

آیا خطوط موازی هستند؟ و

راه حل.

اجازه دهید معادله یک خط را در قسمت ها به شکل یک معادله کلی یک خط بازنویسی کنیم: . اکنون می‌توانیم ببینیم که بردار معمولی خط است ، a بردار معمولی خط است. این بردارها خطی نیستند، زیرا هیچ عدد واقعی t وجود ندارد که برابری ( ). در نتیجه شرط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط در یک صفحه برآورده نمی شود، بنابراین خطوط داده شده موازی نیستند.

پاسخ:

نه، خطوط موازی نیستند.

مثال.

آیا خطوط مستقیم و موازی هستند؟

راه حل.

اجازه دهید معادله متعارف یک خط مستقیم را به معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای کاهش دهیم: . بدیهی است که معادلات خطوط یکسان نیستند (در این صورت خطوط داده شده یکسان خواهند بود) و ضرایب زاویه ای خطوط برابر هستند، بنابراین خطوط اصلی موازی هستند.

خطوط مستقیم در همان صفحه قرار دارند. اگر 1) متقاطع شوند؛ 2) موازی باشند.

برای خطوط L 1: و L 2: متعلق به یک صفحه  به طوری که بردارها م 1 م 2 =(x 2 -x 1 ;y 2 -y 1 ;z 2 -z 1 ) q 1 =(l 1 ;m 1 ;n 1 ) و q 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) همسطح بودند. یعنی با توجه به شرط همسطح بودن سه بردار، حاصلضرب مخلوط م 1 م 2 · ها 1 · ها 2 =Δ==0 (8)

زیرا شرط موازی بودن دو خط به این صورت است: سپس برای تقاطع خطوط L 1 و L 2  به طوری که شرط (8) را برآورده کنند و حداقل یکی از نسبت ها نقض شود.

مثال. موقعیت های نسبی خطوط را کاوش کنید:

بردار جهت خط مستقیم L 1 – q 1 =(1;3;-2). خط L 2 به عنوان تقاطع 2 صفحه α 1 تعریف می شود: x-y-z+1=0; α 2: x+y+2z-2=0. زیرا خط L 2 در هر دو صفحه قرار دارد، سپس آن، و بنابراین بردار جهت آن، عمود بر نرمال است. n 1 و n 2 . بنابراین، بردار جهت س 2 حاصل ضرب بردارها است n 1 و n 2 ، یعنی q 2 =n 1 ایکس n 2 ==-من-3j+2ک.

که س 1 =-س 2 , این بدان معنی است که خطوط موازی یا همزمان هستند.

برای بررسی اینکه آیا خطوط مستقیم منطبق هستند یا خیر، مختصات نقطه M 0 (1;2;-1)L 1 را به معادلات کلی L 2 جایگزین می کنیم: 1-2+2+1=0 - برابری های نادرست، یعنی. نقطه M 0 L 2،

بنابراین خطوط موازی هستند.

فاصله از یک نقطه تا یک خط.

فاصله از نقطه M 1 (x 1; y 1; z 1) تا خط مستقیم L که با معادله متعارف L داده می شود: را می توان با استفاده از حاصل ضرب برداری محاسبه کرد.

از معادله متعارف خط مستقیم چنین است که نقطه M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L و بردار جهت خط مستقیم q=(l;m;n)

بیایید با استفاده از بردارها متوازی الاضلاع بسازیم qو م 0 م 1 . سپس فاصله نقطه M 1 تا خط مستقیم L برابر با ارتفاع h این متوازی الاضلاع است. زیرا S=| qایکس م 0 م 1 |=h| q|، سپس

h= (9)

فاصله بین دو خط مستقیم در فضا.

L 1: و L 2:

1) L 1 L 2 .

2) L 1 و L 2 - عبور

موقعیت نسبی یک خط مستقیم و یک صفحه در فضا.

برای قرار گرفتن یک خط مستقیم و یک صفحه در فضا، 3 مورد ممکن است:

یک خط مستقیم و یک صفحه در یک نقطه قطع می شوند.

خط مستقیم و صفحه موازی هستند.

خط مستقیم در هواپیما قرار دارد.

اجازه دهید خط مستقیم با معادله متعارف آن و صفحه - با کلی ارائه شود

α: Ах+Бу+Сz+D=0

معادلات خط مستقیم نقطه M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L و بردار جهت را نشان می دهد. q=(l;m;n)، و معادله صفحه یک بردار عادی است n=(A;B;C).

1. محل تلاقی یک خط و یک صفحه.

اگر یک خط و یک صفحه قطع شوند، بردار جهت خط qموازی با صفحه α نیست، و بنابراین متعامد با بردار نرمال صفحه نیست. nآن ها محصول نقطه آنها nq≠0 یا از طریق مختصات آنها،

Am+Bn+Cp≠0 (10)

بیایید مختصات نقطه M را تعیین کنیم - نقاط تقاطع خط مستقیم L و صفحه α.

بیایید از معادله متعارف خط به پارامتری حرکت کنیم: , tR

بیایید این روابط را در معادله هواپیما جایگزین کنیم

A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0,z 0 - شناخته شده اند، بیایید پارامتر t را پیدا کنیم:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

اگر Am+Bn+Cp≠0، معادله یک راه حل منحصر به فرد دارد که مختصات نقطه M را تعیین می کند:

t M = -→ (11)

زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه. شرایط توازی و عمود بودن.

زاویه φ بین خط مستقیم L :

با وکتور راهنما q=(l;m;n) و صفحه

: Ах+Ву+Сz+D=0 با بردار نرمال n=(A;B;C) از 0˚ (در مورد خط و صفحه موازی) تا 90 درجه (در مورد خط و صفحه عمود بر هم) متغیر است. (زاویه بین بردار qو برآمدگی آن بر روی صفحه α).

 – زاویه بین بردارها qو n

زیرا زاویه  بین خط مستقیم L و صفحه  مکمل زاویه  است، سپس sin φ=sin(-)=cos =- (مقدار مطلق در نظر گرفته می شود زیرا زاویه φ حاد sin φ=sin( -) یا sin φ =sin(+) بسته به جهت خط مستقیم L)

فصل چهارم. خطوط مستقیم و صفحات در فضا. چند وجهی

§ 46. آرایش متقابل خطوط در فضا

در فضا، دو خط مختلف ممکن است در یک صفحه قرار بگیرند یا نباشند. بیایید به نمونه های مرتبط نگاه کنیم.

بگذارید نقاط A، B، C روی یک خط مستقیم قرار نگیرند. بیایید یک هواپیما از میان آنها بکشیم آرو نقطه S را انتخاب کنید که به هواپیما تعلق ندارد آر(شکل 130).

سپس خطوط مستقیم AB و BC در یک صفحه، یعنی در صفحه قرار می گیرند آر، خطوط مستقیم AS و CB در یک صفحه قرار نمی گیرند. در واقع، اگر آنها در همان صفحه قرار بگیرند، نقاط A، B، C، S نیز در این صفحه قرار می گیرند، که غیرممکن است، زیرا S در صفحه ای که از نقاط A، B، C می گذرد، قرار ندارد.

دو خط مختلف که در یک صفحه قرار دارند و قطع نمی شوند موازی نامیده می شوند. خطوط منطبق را موازی نیز می گویند. اگر مستقیم 1 1 و 1 2 موازی، سپس بنویسید 1 1 || 1 2 .

بدین ترتیب، 1 1 || 1 2 اگر اولاً هواپیما وجود داشته باشد آربه طوری که
1 1 آرو 1 2 آرو ثانیاً یا 1 1 1 2 = یا 1 1 = 1 2 .

دو خط مستقیم که در یک صفحه قرار نمی گیرند، خطوط کج نامیده می شوند. بدیهی است که خطوط متقاطع همدیگر را قطع نمی کنند و موازی نیستند.

اجازه دهید یک ویژگی مهم خطوط موازی را ثابت کنیم که به آن گذر موازی می گویند.

قضیه. اگر دو خط با یک سوم موازی باشند، پس آنها با یکدیگر موازی هستند.

اجازه دهید 1 1 || 1 2 و 1 2 || 1 3. اثبات آن ضروری است 1 1 || 1 3

اگر مستقیم 1 1 , 1 2 , 1 3 در یک صفحه قرار می گیرند، سپس این جمله در پلان سنجی ثابت می شود. ما آن خطوط مستقیم را فرض خواهیم کرد 1 1 , 1 2 , 1 3 در یک هواپیما دراز نکشید.

از طریق خطوط مستقیم 1 1 و 1 2 یک هواپیما بکشید آر 1، و از طریق 1 2 و 1 3 - هواپیما آر 2 (شکل 131).

توجه داشته باشید که خط مستقیم 1 3 حاوی حداقل یک نقطه M است که به صفحه تعلق ندارد
آر 1 .

یک صفحه را از طریق خط مستقیم بکشید و M را نشان دهید آر 3 که صفحه را قطع می کند آر 2 در امتداد یک خط مستقیم ل. این را ثابت کنیم لمصادف است با 1 3. ما آن را "با تناقض" ثابت خواهیم کرد.

فرض کنیم که خط مستقیم است 1 با یک خط مستقیم منطبق نیست 1 3. سپس 1 یک خط را قطع می کند 1 2 در نقطه ای A. نتیجه می شود که هواپیما آر 3 از نقطه A عبور می کند آر 1 و مستقیم 1 1 آر 1 و بنابراین با هواپیما منطبق است آر 1 . این نتیجه گیری با این واقعیت که نقطه M آر 3 متعلق به هواپیما نیست آر 1 .
بنابراین، فرض ما نادرست است و بنابراین 1 = 1 3 .

بنابراین، ثابت شده است که خطوط مستقیم 1 1 و 1 3 در یک هواپیما دراز بکشند آر 3. اجازه دهید ثابت کنیم که خطوط مستقیم 1 1 و 1 3 قطع نمی شود.

در واقع، اگر 1 1 و 1 3 مثلاً در نقطه B و سپس صفحه را قطع کردند آر 2 از یک خط مستقیم عبور می کند 1 2 و از طریق نقطه B 1 1 و بنابراین، با آر 1 که غیر ممکن است.

وظیفه.ثابت کنید که زوایای با اضلاع هم جهت دارای ابعاد مساوی هستند.

اجازه دهید زوایای MAN و M 1 A 1 N 1 دارای اضلاع هم جهت باشند: پرتو AM با پرتو A 1 M 1 هم جهت است و پرتو AN با پرتو A 1 N 1 هم جهت است (شکل 132).

روی پرتوهای AM و A 1 M 1 قطعات AB و A 1 B 1 را از نظر طول مساوی خواهیم گذاشت. سپس

|| و |BB 1 | = |AA 1 |

مانند دو طرف متوازی الاضلاع

به طور مشابه، بر روی پرتوهای AN و A 1 N 1 قطعات AC و A 1 C 1 را با طول مساوی ترسیم خواهیم کرد. سپس

|| و |CC 1 | = |AA 1 |

از گذرا بودن توازی به دست می آید که || . و از آنجایی که |BB 1 | = |CC 1 | ، سپس BB 1 C 1 C متوازی الاضلاع است و بنابراین |BC| = |B 1 C 1 |.
از این رو، /\ ABC /\ A 1 B 1 C 1 و .

دوره ویدیویی "Get a A" شامل تمام موضوعات لازم برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی واحد در ریاضیات با 60-65 امتیاز است. به طور کامل تمام وظایف 1-13 از آزمون دولتی یکپارچه پروفایل در ریاضیات. همچنین برای قبولی در آزمون پایه یکپارچه دولتی در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید در آزمون یکپارچه دولتی با 90-100 امتیاز قبول شوید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 آزمون دولتی واحد ریاضی (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه یک دانش آموز 100 امتیازی و نه دانش آموز علوم انسانی نمی تواند بدون آنها باشد.

تمام تئوری لازم راه حل های سریع، دام ها و اسرار آزمون یکپارچه دولتی. تمام وظایف فعلی بخش 1 از بانک وظیفه FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات آزمون یکپارچه دولتی 2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها تکلیف یکپارچه آزمون دولتی. مسائل کلمه و نظریه احتمال. الگوریتم های ساده و آسان برای به خاطر سپردن برای حل مسائل. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف آزمون دولتی واحد. استریومتری. راه حل های حیله گر، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا تا مسئله 13. درک به جای انباشته کردن. توضیحات واضح مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. مبنایی برای حل مشکلات پیچیده قسمت 2 آزمون یکپارچه دولتی.

برای دو خط در فضا، چهار حالت ممکن است:

خطوط مستقیم منطبق هستند.

خطوط موازی هستند (اما منطبق نیستند).

خطوط متقاطع؛

خطوط مستقیم عبور می کنند، یعنی. هیچ نقطه مشترکی ندارند و موازی نیستند.

بیایید دو روش برای توصیف خطوط مستقیم در نظر بگیریم: معادلات متعارف و معادلات عمومی. بگذارید خطوط L 1 و L 2 با معادلات متعارف به دست آیند:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6.9)

برای هر خط از معادلات متعارف آن بلافاصله نقطه روی آن M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) ∈ L 2 و مختصات را تعیین می کنیم. از بردارهای جهت s 1 = (l 1 ؛ m 1 ; n 1 ) برای L 1 ، s 2 = ( l 2 ; m 2 ; n 2 ) برای L 2 .

اگر خطوط منطبق یا موازی باشند، بردارهای جهت آنها s 1 و s 2 خطی هستند که معادل برابری نسبت های مختصات این بردارها است:

l 1 / l 2 = m 1 / m 2 = n 1 / n 2. (6.10)

اگر خطوط بر هم منطبق باشند، بردار M 1 M 2 با بردارهای جهت هم خط است:

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1. (6.11)

این برابری مضاعف همچنین به این معنی است که نقطه M 2 متعلق به خط L 1 است. در نتیجه، شرط منطبق بودن خطوط این است که برابری های (6.10) و (6.11) به طور همزمان برآورده شوند.

اگر خطوط قطع یا متقاطع شوند، بردارهای جهت آنها غیر خطی هستند، یعنی. شرط (6.10) نقض شده است. خطوط متقاطع در یک صفحه قرار دارند و بنابراین، بردارها s 1، s 2 و M 1 M 2 هستند هم صفحهتعیین کننده مرتبه سوم، متشکل از مختصات آنها (نگاه کنید به 3.2):

شرط (6.12) در سه مورد از چهار مورد برآورده می شود، زیرا برای Δ ≠ 0 خطوط به یک صفحه تعلق ندارند و بنابراین قطع می شوند.

بیایید همه شرایط را کنار هم بگذاریم:

موقعیت نسبی خطوط با تعداد راه حل های سیستم مشخص می شود (6.13). اگر خطوط منطبق باشند، سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد. اگر خطوط همدیگر را قطع کنند، این سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. در مورد موازی یا تقاطع، هیچ راه حل مستقیمی وجود ندارد. دو مورد آخر را می توان با یافتن بردارهای جهت خطوط جدا کرد. برای این کار کافی است دو عدد را محاسبه کنید اثر هنری وکتور n 1 × n 2 و n 3 × n 4، که در آن n i = (A i؛ B i؛ C i)، i = 1، 2، 3،4. اگر بردارهای به دست آمده به صورت هم خط باشند، خطوط داده شده موازی هستند. در غیر این صورت آنها در حال آمیختگی هستند.

مثال 6.4.

بردار جهت s 1 خط مستقیم L 1 با استفاده از معادلات متعارف این خط مستقیم یافت می شود: s 1 = (1; 3; -2). بردار جهت s 2 خط مستقیم L 2 با استفاده از حاصلضرب بردار بردارهای عادی صفحاتی که محل تقاطع آنها است محاسبه می شود:

از آنجایی که s 1 = -s 2 است، پس خطوط موازی یا منطبق هستند. بیایید دریابیم که کدام یک از این موقعیت ها برای این خطوط محقق می شود. برای انجام این کار، مختصات نقطه M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 را در معادلات کلی خط مستقیم L 2 قرار می دهیم. برای اولین آنها 1 = 0 به دست می آوریم. در نتیجه، نقطه M 0 متعلق به خط L 2 نیست و خطوط مورد بررسی موازی هستند.

زاویه بین خطوط مستقیم. زاویه بین دو خط مستقیم را می توان با استفاده از بردارهای جهتسر راست زاویه حاد بین خطوط مستقیم برابر با زاویه بین بردارهای جهت آنها است (شکل 6.5) یا اگر زاویه بین بردارهای جهت منفرد باشد به آن اضافه می شود. بنابراین، اگر برای خطوط L 1 و L 2 بردارهای جهت آنها s x و s 2 مشخص باشد، آنگاه زاویه تند φ بین این خطوط از طریق حاصل ضرب اسکالر تعیین می شود:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

به عنوان مثال، اجازه دهید s i = (l i؛ m i؛ n i)، i = 1، 2. با استفاده از فرمول های (2.9) و (2.14) برای محاسبه طول برداریو محصول اسکالر در مختصات، دریافت می کنیم