توزیع نرمال در نظر گرفته می شود اگر. توزیع نرمال یک متغیر تصادفی و قانون سه سیگما. تابع توزیع احتمال نرمال

نظریه احتمال تعداد نسبتاً زیادی از قوانین توزیع مختلف را در نظر می گیرد. برای حل مشکلات مربوط به ساخت نمودارهای کنترلی، تنها تعدادی از آنها مورد توجه است. مهمترین آنها این است قانون توزیع نرمال، که برای ساختن نمودارهای کنترلی مورد استفاده در کنترل کمی، یعنی وقتی با یک متغیر تصادفی پیوسته سروکار داریم. قانون توزیع نرمال جایگاه ویژه ای در میان سایر قوانین توزیع دارد. این با این واقعیت توضیح داده می شود که اولاً در عمل بیشتر با آن مواجه می شویم و ثانیاً این یک قانون محدود کننده است که سایر قوانین توزیع تحت شرایط معمولی بسیار رایج به آن نزدیک می شوند. در مورد دوم، در نظریه احتمال ثابت شده است که مقدار کافی است تعداد زیادیمتغیرهای تصادفی مستقل (یا ضعیف وابسته)، مشروط به قوانین توزیع (با توجه به برخی محدودیت‌های بسیار سست)، تقریباً از قانون عادی تبعیت می‌کنند، و این درست است، هر چه تعداد متغیرهای تصادفی بیشتر جمع شود، دقیق‌تر باشد. بسیاری از متغیرهای تصادفی که در عمل با آنها مواجه می شوند، مانند خطاهای اندازه گیری، می توانند به صورت مجموع تعداد بسیار زیادی از عبارت های نسبتاً کوچک - خطاهای ابتدایی، که هر کدام به دلیل یک علت جداگانه، مستقل از دیگران. قانون نرمال در مواردی ظاهر می شود که یک متغیر تصادفی باشد ایکسنتیجه تعداد زیادی از عوامل مختلف است. هر عامل به طور جداگانه ارزش دارد ایکسکمی تأثیر می گذارد و نمی توان مشخص کرد که کدام یک بیشتر از دیگران تأثیر می گذارد.

توزیع نرمال(توزیع لاپلاس-گاوسی) – توزیع احتمال پیوسته متغیر تصادفی ایکسبه طوری که چگالی توزیع احتمال برای - ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:

انقضا (3)

یعنی توزیع نرمال با دو پارامتر m و s مشخص می شود که m انتظار ریاضی است. s انحراف استاندارد توزیع نرمال است.

ارزش های 2 واریانس توزیع نرمال است.

انتظار ریاضی m موقعیت مرکز توزیع را مشخص می کند و انحراف استاندارد s (SD) مشخصه پراکندگی است (شکل 3).

f(x) f(x)

شکل 3 - توابع چگالی توزیع نرمال با:

الف) انتظارات مختلف ریاضی m; ب) انحراف معیارهای مختلف s.

بنابراین، ارزش μ توسط موقعیت منحنی توزیع بر روی محور آبسیسا تعیین می شود. بعد، ابعاد، اندازه μ - همان بعد متغیر تصادفی است ایکس. با رشد انتظارات ریاضیهر دو تابع به صورت موازی به سمت راست منتقل می شوند. با کاهش واریانس s 2 چگالی به طور فزاینده ای در اطراف m متمرکز می شود، در حالی که تابع توزیع به طور فزاینده ای شیب دار می شود.

مقدار σ شکل منحنی توزیع را تعیین می کند. از آنجایی که مساحت زیر منحنی توزیع باید همیشه برابر با واحد باقی بماند، با افزایش σ، منحنی توزیع صاف‌تر می‌شود. در شکل شکل 3.1 سه منحنی را برای σ های مختلف نشان می دهد: σ1 = 0.5; σ2 = 1.0; σ3 = 2.0.

شکل 3.1 – توابع چگالی توزیع نرمال باانحرافات استاندارد مختلف s.

تابع توزیع (تابع انتگرال) به شکل (شکل 4) است:

(4)

شکل 4 - توابع توزیع نرمال انتگرال (الف) و دیفرانسیل (ب).

به ویژه تبدیل خطی یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال مهم است ایکس، پس از آن یک متغیر تصادفی به دست می آید زبا انتظارات ریاضی 0 و واریانس 1. این تبدیل نرمال سازی نامیده می شود:

می توان آن را برای هر متغیر تصادفی انجام داد. عادی سازی اجازه می دهد تا همه گونه های ممکن توزیع نرمال به یک مورد کاهش یابد: m = 0، s = 1.

توزیع نرمال با m = 0، s = 1 نامیده می شود توزیع نرمال نرمال (استاندارد).

توزیع نرمال استاندارد(توزیع استاندارد لاپلاس-گاوسی یا توزیع نرمال نرمال) توزیع احتمال یک متغیر تصادفی نرمال استاندارد شده است. ز، که چگالی توزیع آن برابر است با:

در - ¥<z< + ¥

مقادیر تابع Ф(z)با فرمول تعیین می شود:

(7)

مقادیر تابع Ф(z)و تراکم f(z)توزیع نرمال نرمال محاسبه و جدول بندی شده است. جدول فقط برای مقادیر مثبت جمع آوری شده است zاز همین رو:

F (–z) = 1–Ф(z) (8)

با استفاده از این جداول، می توانید نه تنها مقادیر تابع و چگالی توزیع نرمال نرمال شده را برای یک معین تعیین کنید. z، بلکه مقادیر تابع توزیع نرمال عمومی را نیز شامل می شود، زیرا:

; (9)

. 10)

در بسیاری از مسائل مربوط به متغیرهای تصادفی با توزیع نرمال، تعیین احتمال وقوع یک متغیر تصادفی ضروری است. ایکس، تابع قانون عادی با پارامترهای m و s، برای یک منطقه خاص. چنین بخش می تواند، برای مثال، فیلد تحمل برای یک پارامتر از مقدار بالا باشد Uبه پایین L.

احتمال افتادن در فاصله از ایکس 1 به ایکس 2 را می توان با فرمول تعیین کرد:

بنابراین، احتمال برخورد با یک متغیر تصادفی (مقدار پارامتر) ایکسدر زمینه تحمل با فرمول تعیین می شود

شما می توانید احتمال یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکسدر داخل μ خواهد بود کس . مقادیر به دست آمده برای ک=1،2 و 3 موارد زیر هستند (شکل 5 را نیز ببینید):

بنابراین، اگر مقداری در خارج از ناحیه سه سیگما ظاهر شود که شامل 99.73 درصد از تمام مقادیر ممکن است و احتمال وقوع چنین رویدادی بسیار کم باشد (1:270)، باید در نظر گرفت که مقدار مورد نظر بیش از حد بوده است. کوچک یا خیلی بزرگ، نه به دلیل تغییرات تصادفی، بلکه به دلیل اختلال قابل توجه در خود فرآیند، که می تواند باعث تغییر در ماهیت توزیع شود.

ناحیه ای که در داخل مرزهای سه سیگما قرار دارد نیز نامیده می شود منطقه تحمل آماریماشین یا فرآیند مربوطه

در مقایسه با انواع دیگر توزیع ها. ویژگی اصلی این توزیع این است که سایر قوانین توزیع با تکرار بی نهایت تعداد تست ها به این قانون گرایش دارند. این توزیع چگونه به وجود می آید؟

بیایید تصور کنیم که با گرفتن یک دینامومتر دستی، در شلوغ ترین مکان شهر خود قرار دارید. و به همه کسانی که از آنجا می گذرند پیشنهاد می دهید که با فشار دادن دینامومتر با دست راست یا چپ خود قدرت خود را اندازه گیری کنند. قرائت دینامومتر را با دقت یادداشت کنید. پس از مدتی، با تعداد کافی آزمایش، قرائت دینامومتر را روی محور آبسیسا و تعداد افرادی که این قرائت را روی محور ارتین "فشرده اند" رسم کردید. نقاط به دست آمده توسط یک خط صاف به هم متصل شدند. نتیجه منحنی نشان داده شده در شکل 9.8 است. ظاهر این منحنی با افزایش زمان آزمایش تغییر چندانی نخواهد داشت. علاوه بر این، از یک نقطه خاص به بعد، مقادیر جدید فقط منحنی را بدون تغییر شکل آن اصلاح می کنند.

برنج. 9.8.

حالا بیایید دینامومتر خود را به سالن ورزشی منتقل کنیم و آزمایش را تکرار کنیم. اکنون حداکثر منحنی به سمت راست تغییر می کند، انتهای چپ تا حدودی سفت می شود، در حالی که انتهای سمت راست آن تندتر است (شکل 9.9).

برنج. 9.9.

توجه داشته باشید که حداکثر فرکانس برای توزیع دوم (نقطه B) کمتر از حداکثر فرکانس توزیع اول (نقطه A) خواهد بود. این را می توان با این واقعیت توضیح داد که تعداد کل افرادی که از سالن ورزشی بازدید می کنند کمتر از تعداد افرادی است که در حالت اول از نزدیک آزمایشگر عبور کرده اند (در مرکز شهر در یک مکان نسبتاً شلوغ). حداکثر به سمت راست تغییر کرده است، زیرا در سالن‌های ورزشی افراد از نظر فیزیکی قوی‌تر در مقایسه با پس‌زمینه عمومی شرکت می‌کنند.

و در نهایت با همین هدف از مدارس، مهدکودک ها و خانه های سالمندان بازدید خواهیم کرد: آشکار ساختن قدرت دست بازدیدکنندگان از این مکان ها. و دوباره منحنی توزیع شکل مشابهی خواهد داشت، اما اکنون، بدیهی است که انتهای سمت چپ آن تندتر، و انتهای سمت راست آن بیشتر کشیده شده است. و مانند حالت دوم، حداکثر (نقطه C) زیر نقطه A خواهد بود (شکل 9.10).

برنج. 9.10.

این ویژگی قابل توجه توزیع نرمال - حفظ شکل منحنی چگالی احتمال (شکل 8 - 10) در سال 1733 توسط Moivre مورد توجه و توصیف قرار گرفت و سپس توسط گاوس مورد مطالعه قرار گرفت.

در تحقیقات علمی، در فناوری، در پدیده‌های انبوه یا آزمایش‌ها، وقتی صحبت از تکرار مکرر متغیرهای تصادفی در شرایط آزمایشی ثابت می‌شود، می‌گویند که نتایج آزمایش با رعایت قانون منحنی توزیع نرمال تحت پراکندگی تصادفی قرار می‌گیرند.

(21)

رایج ترین رویداد کجاست. به عنوان یک قاعده، در فرمول (21) به جای پارامتر، . علاوه بر این، هر چه سری آزمایشی طولانی‌تر باشد، پارامتر کمتر با انتظارات ریاضی متفاوت خواهد بود. مساحت زیر منحنی (شکل 9.11) برابر با یک در نظر گرفته شده است. مساحت مربوط به هر بازه ای از محور x از نظر عددی برابر با احتمال سقوط یک نتیجه تصادفی در این بازه است.

برنج. 9.11.

تابع توزیع نرمال دارای فرم است

(22)

توجه داشته باشید که منحنی نرمال (شکل 9.11) با توجه به خط مستقیم متقارن است و به طور مجانبی به محور OX در .

بیایید انتظار ریاضی را برای قانون عادی محاسبه کنیم

(23)

خواص توزیع نرمال

اجازه دهید خواص اساسی این توزیع مهم را در نظر بگیریم.

ملک 1. تابع چگالی توزیع نرمال (21) در کل محور x تعریف شده است.

ملک 2. تابع چگالی توزیع نرمال (21) برای هر یک از دامنه های تعریف () بزرگتر از صفر است.

ملک 3. با افزایش (کاهش) بی نهایت، تابع توزیع (21) به سمت صفر میل می کند .

ملک 4. زمانی که تابع توزیع داده شده توسط (21) دارای بیشترین مقدار برابر است

(24)

ملک 5. نمودار تابع (شکل 9.11) با توجه به خط مستقیم متقارن است.

اموال 6. نمودار تابع (شکل 9.11) دارای دو نقطه عطف متقارن نسبت به خط مستقیم است:

(25)

ملک 7. تمام لحظات مرکزی عجیب و غریب صفر هستند. توجه داشته باشید که با استفاده از ویژگی 7، عدم تقارن تابع با فرمول مشخص می شود. اگر به این نتیجه برسند که توزیع مورد مطالعه نسبت به خط مستقیم متقارن است. اگر ، آنگاه می گویند که سری به سمت راست منتقل شده است (شاخه سمت راست نمودار صاف تر یا سفت شده است). اگر، آنگاه سری به سمت چپ منتقل شده است (شاخه سمت چپ تر نمودار در شکل 9.12).

برنج. 9.12.

ملک 8. کشش توزیع برابر با 3 است. در عمل، اغلب محاسبه می‌شود و درجه «فشردگی» یا «تار» نمودار با نزدیکی این مقدار به صفر تعیین می‌شود (شکل 9.13). و از آنجایی که مربوط به , در نهایت درجه پراکندگی فرکانس داده ها را مشخص می کند. و از آنجایی که تعیین می کند

در بسیاری از مسائل مربوط به متغیرهای تصادفی با توزیع نرمال، لازم است که احتمال سقوط یک متغیر تصادفی، تابع یک قانون نرمال با پارامترها، بر روی بخش از تا تعیین شود. برای محاسبه این احتمال از فرمول کلی استفاده می کنیم

تابع توزیع کمیت کجاست.

بیایید تابع توزیع یک متغیر تصادفی را که طبق یک قانون عادی با پارامترها توزیع شده است، پیدا کنیم. چگالی توزیع مقدار برابر است با:

از اینجا تابع توزیع را پیدا می کنیم

. (6.3.3)

اجازه دهید تغییری در متغیر در انتگرال ایجاد کنیم (6.3.3)

و بیایید آن را به این شکل قرار دهیم:

(6.3.4)

انتگرال (6.3.4) از طریق توابع ابتدایی بیان نمی شود، اما می توان آن را از طریق یک تابع خاص که انتگرال معینی از عبارت را بیان می کند یا (به اصطلاح انتگرال احتمال) محاسبه کرد که جداول برای آن جمع آوری شده است. انواع مختلفی از این توابع وجود دارد، به عنوان مثال:

;

و غیره. استفاده از کدام یک از این عملکردها سلیقه ای است. ما به عنوان چنین تابعی را انتخاب خواهیم کرد

. (6.3.5)

به راحتی می توان فهمید که این تابع چیزی بیش از یک تابع توزیع برای یک متغیر تصادفی توزیع شده معمولی با پارامترها نیست.

اجازه دهید موافقت کنیم که تابع را تابع توزیع عادی بنامیم. پیوست (جدول 1) شامل جداول مقادیر تابع است.

اجازه دهید تابع توزیع (6.3.3) کمیت را با پارامترها و از طریق تابع توزیع نرمال بیان کنیم. به طور مشخص،

حالا بیایید احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در بخش از تا را پیدا کنیم. طبق فرمول (6.3.1)

بنابراین، ما احتمال یک متغیر تصادفی را که بر اساس قانون نرمال با هر پارامتر توزیع شده است، از طریق تابع توزیع استاندارد مربوط به ساده ترین قانون نرمال با پارامترهای 0.1 به منطقه وارد می کنیم. توجه داشته باشید که آرگومان های تابع در فرمول (6.3.7) معنای بسیار ساده ای دارند: فاصله انتهای سمت راست بخش تا مرکز پراکندگی وجود دارد که در انحرافات استاندارد بیان می شود. - همان فاصله برای انتهای سمت چپ مقطع، و اگر انتهای آن در سمت راست مرکز پراکندگی قرار گیرد، این فاصله مثبت و اگر به سمت چپ باشد منفی در نظر گرفته می شود.

مانند هر تابع توزیع، تابع دارای ویژگی های زیر است:

3. - عملکرد غیر کاهشی.

علاوه بر این، از تقارن توزیع نرمال با پارامترهای نسبت به مبدا، نتیجه می‌شود که

با استفاده از این ویژگی، به بیان دقیق، می توان جداول تابع را فقط به مقادیر آرگومان مثبت محدود کرد، اما برای جلوگیری از عملیات غیر ضروری (تفریق از یک)، جدول ضمیمه 1 مقادیری را برای آرگومان های مثبت و منفی ارائه می دهد.

در عمل، ما اغلب با مشکل محاسبه احتمال سقوط یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال در ناحیه ای مواجه می شویم که نسبت به مرکز پراکندگی متقارن است. بیایید چنین مقطعی از طول را در نظر بگیریم (شکل 6.3.1). بیایید با استفاده از فرمول (6.3.7) احتمال برخورد با این ناحیه را محاسبه کنیم:

با در نظر گرفتن خاصیت (6.3.8) تابع و دادن فرم فشرده تر به سمت چپ فرمول (6.3.9)، فرمولی برای احتمال یک متغیر تصادفی توزیع شده بر اساس قانون عادی به دست می آوریم. مساحت متقارن با توجه به مرکز پراکندگی:

. (6.3.10)

بیایید مشکل زیر را حل کنیم. اجازه دهید قطعات متوالی طول را از مرکز پراکندگی رسم کنیم (شکل 6.3.2) و احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در هر یک از آنها را محاسبه کنیم. از آنجایی که منحنی نرمال متقارن است، کافی است چنین قطعاتی را فقط در یک جهت رسم کنیم.

با استفاده از فرمول (6.3.7) متوجه می شویم:

(6.3.11)

همانطور که از این داده ها مشخص است، احتمال برخورد هر یک از سگمنت های زیر (پنجم، ششم و...) با دقت 001/0 برابر با صفر است.

با گرد کردن احتمالات وارد شدن به بخش ها به 0.01 (به 1٪)، سه عدد به دست می آوریم که به راحتی قابل یادآوری است:

0,34; 0,14; 0,02.

مجموع این سه مقدار 0.5 است. این به این معنی است که برای یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال، تمام پراکندگی (با دقت کسری از درصد) در منطقه قرار می گیرد.

این اجازه می دهد تا با دانستن انحراف معیار و انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی، به طور تقریبی محدوده مقادیر عملا ممکن آن را نشان دهیم. این روش برای تخمین محدوده مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی در آمار ریاضی به عنوان "قانون سه سیگما" شناخته می شود. قانون سه سیگما همچنین متضمن روش تقریبی برای تعیین انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی است: حداکثر انحراف عملی ممکن را از میانگین گرفته و آن را بر سه تقسیم کنید. البته این روش خشن را تنها در صورتی می توان توصیه کرد که روش های دقیق تری برای تعیین وجود نداشته باشد.

مثال 1. یک متغیر تصادفی که بر اساس یک قانون عادی توزیع شده است نشان دهنده خطا در اندازه گیری فاصله معین است. هنگام اندازه گیری، یک خطای سیستماتیک در جهت تخمین بیش از حد 1.2 (m) مجاز است. انحراف استاندارد خطای اندازه گیری 0.8 (m) است. این احتمال را پیدا کنید که انحراف مقدار اندازه گیری شده از مقدار واقعی از 1.6 (m) در مقدار مطلق تجاوز نکند.

راه حل. خطای اندازه گیری یک متغیر تصادفی است که تابع قانون عادی با پارامترها و . باید احتمال افتادن این کمیت روی بخش از تا را پیدا کنیم. طبق فرمول (6.3.7) داریم:

با استفاده از جداول تابع (ضمیمه، جدول 1)، متوجه می شویم:

; ,

مثال 2. احتمال مشابهی را که در مثال قبل وجود داشت، بیابید، اما به شرطی که خطای سیستماتیک وجود نداشته باشد.

راه حل. با استفاده از فرمول (6.3.10)، با فرض، در می یابیم:

مثال 3. هدفی که شبیه یک نوار (بزرگراه) است که عرض آن 20 متر است در جهت عمود بر بزرگراه شلیک می شود. هدف گیری در امتداد خط مرکزی بزرگراه انجام می شود. انحراف معیار در جهت تیراندازی برابر با m است. یک خطای سیستماتیک در جهت تیراندازی وجود دارد: زیر شلیک 3 متر است. احتمال برخورد به بزرگراه را با یک شلیک پیدا کنید.

در عمل، اکثر متغیرهای تصادفی که تحت تأثیر تعداد زیادی از عوامل تصادفی هستند، از قانون توزیع احتمال نرمال تبعیت می کنند. بنابراین در کاربردهای مختلف نظریه احتمال، این قانون از اهمیت خاصی برخوردار است.

متغیر تصادفی $X$ از قانون توزیع احتمال نرمال پیروی می کند اگر چگالی توزیع احتمال آن به شکل زیر باشد.

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

نمودار تابع $f\left(x\right)$ به صورت شماتیک در شکل نشان داده شده است و "منحنی گاوس" نامیده می شود. در سمت راست این نمودار اسکناس 10 مارکی آلمان وجود دارد که قبل از معرفی یورو استفاده می شد. اگر دقت کنید، می توانید روی این اسکناس منحنی گاوس و کاشف آن، کارل فردریش گاوس، بزرگترین ریاضیدان را ببینید.

اجازه دهید به تابع چگالی $f\left(x\right)$ برگردیم و در مورد پارامترهای توزیع $a,\ (\sigma )^2$ توضیحاتی ارائه کنیم. پارامتر $a$ مرکز پراکندگی مقادیر یک متغیر تصادفی را مشخص می کند، یعنی معنای یک انتظار ریاضی را دارد. هنگامی که پارامتر $a$ تغییر می کند و پارامتر $(\sigma )^2$ بدون تغییر باقی می ماند، می توانیم یک تغییر در نمودار تابع $f\left(x\right)$ در امتداد آبسیسا مشاهده کنیم، در حالی که نمودار چگالی خودش شکلش را تغییر نمی دهد.

پارامتر $(\sigma )^2$ واریانس است و شکل منحنی نمودار چگالی $f\left(x\right)$ را مشخص می کند. هنگام تغییر پارامتر $(\sigma )^2$ با پارامتر $a$ بدون تغییر، می‌توان مشاهده کرد که چگونه نمودار چگالی شکل خود را تغییر می‌دهد، فشرده یا کشیده می‌شود، بدون اینکه در امتداد محور آبسیسا حرکت کند.

احتمال سقوط یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال در یک بازه معین

همانطور که مشخص است، احتمال سقوط یک متغیر تصادفی $X$ در بازه $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ را می توان $P\left(\alpha) محاسبه کرد.< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

در اینجا تابع $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ است تابع لاپلاس. مقادیر این تابع از . ویژگی های زیر تابع $\Phi \left(x\right)$ قابل توجه است.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$، یعنی تابع $\Phi \left(x\right)$ فرد است.

2 . $\Phi \left(x\right)$ یک تابع یکنواخت در حال افزایش است.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) \ Phi \ چپ(x\راست)\ )=-0.5$.

برای محاسبه مقادیر تابع $\Phi \left(x\right)$ می‌توانید از تابع $f_x$ ویزارد در اکسل نیز استفاده کنید: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\راست )-0.5$. برای مثال، بیایید مقادیر تابع $\Phi \left(x\right)$ را برای $x=2$ محاسبه کنیم.

احتمال سقوط یک متغیر تصادفی معمولی $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ در یک فاصله متقارن با توجه به انتظار ریاضی $a$ را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد.

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

قانون سه سیگما. تقریباً مطمئن است که یک متغیر تصادفی معمولی توزیع شده $X$ در بازه $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ قرار می گیرد.

مثال 1 . متغیر تصادفی $X$ تابع قانون توزیع احتمال نرمال با پارامترهای $a=2،\ \sigma =3$ است. احتمال سقوط $X$ به بازه $\left(0.5;1\right)$ و احتمال برآورده شدن نابرابری $\left|X-a\right|< 0,2$.

با استفاده از فرمول

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

$P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\ over (3) را پیدا می کنیم ))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \ left(0.33\right)=0.191- 0.129 = 0.062 دلار.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

مثال 2 . فرض کنید در طول سال قیمت سهام یک شرکت خاص یک متغیر تصادفی است که طبق قانون عادی با انتظار ریاضی معادل 50 واحد پولی متعارف و انحراف معیار برابر با 10 توزیع شده است. احتمال اینکه در یک انتخاب تصادفی چقدر است روز دوره مورد بحث، قیمت تبلیغات به شرح زیر خواهد بود:

الف) بیش از 70 واحد پولی متعارف؟

ب) زیر 50 هر سهم؟

ج) بین 45 تا 58 واحد پولی متعارف در هر سهم؟

اجازه دهید متغیر تصادفی $X$ قیمت سهام یک شرکت باشد. طبق شرط، $X$ تابع یک توزیع نرمال با پارامترهای $a=50$ - انتظار ریاضی، $\sigma =10$ - انحراف استاندارد است. احتمال $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ بیش از (10))\راست)=0.5-\Phi \left(2\right)=0.5-0.4772=0.0228.$$

$$b)\P\ چپ (X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\ چپ (45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

قانون توزیع نرمال، به اصطلاح قانون گاوس، یکی از رایج ترین قوانین است. این یک قانون اساسی در نظریه احتمالات و کاربرد آن است. توزیع نرمال اغلب در مطالعه پدیده های طبیعی و اجتماعی-اقتصادی یافت می شود. به عبارت دیگر، اکثر مجموعه های آماری در طبیعت و جامعه از قانون توزیع نرمال تبعیت می کنند. بر این اساس، می توان گفت که جمعیت تعداد زیادی از نمونه های بزرگ از قانون توزیع نرمال تبعیت می کنند. جمعیت هایی که در نتیجه دگرگونی های خاص از توزیع نرمال منحرف می شوند، می توانند به حالت عادی نزدیک شوند. در این راستا باید به خاطر داشت که ویژگی اساسی این قانون در رابطه با سایر قوانین توزیع این است که قانون مرزی است که سایر قوانین توزیع در شرایط خاص (استاندارد) به آن نزدیک می شوند.

لازم به ذکر است که واژه «توزیع نرمال» به عنوان واژه ای که در ادبیات ریاضی و آماری پذیرفته شده است، معنای متعارفی دارد. این جمله که یکی از ویژگی های هر پدیده ای از قانون توزیع نرمال تبعیت می کند به هیچ وجه به معنای تخطی از هنجارهای ظاهراً ذاتی پدیده مورد مطالعه نیست و طبقه بندی دومی به عنوان قانون نوع دوم به معنای نوعی قانون نیست. غیر طبیعی بودن این پدیده از این نظر، اصطلاح «توزیع نرمال» کاملاً مناسب نیست.

توزیع نرمال (قانون گاوس-لاپلاس) نوعی توزیع پیوسته است. جایی که Moivre (هزار و هفتصد و هفتاد و سه، فرانسه) قانون عادی توزیع احتمال را استخراج کرد. ایده های اساسی این کشف برای اولین بار توسط K. Gauss (1809، آلمان) و A. Laplace (1812، فرانسه) در نظریه خطاها استفاده شد که سهم نظری قابل توجهی در توسعه خود قانون داشتند. به طور خاص، K. Gauss در تحولات خود از تشخیص این که محتمل ترین مقدار یک متغیر تصادفی، میانگین حسابی است، نتیجه گرفت. شرایط عمومی برای ظهور یک توزیع نرمال توسط A.M. Lyapunova ایجاد شد. او ثابت کرد که اگر مشخصه مورد مطالعه نتیجه تأثیر کل عوامل بسیاری باشد که هر یک با اکثریت عوامل دیگر ارتباط کمی دارد و تأثیر هر عامل بر نتیجه نهایی با تأثیر کلی همپوشانی زیادی دارد. همه عوامل دیگر، سپس توزیع به نرمال نزدیک می شود.

توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته نرمال نامیده می شود و دارای چگالی است:

1 +1 (& #) 2

/ (x، x،<т) = - ^ е 2 st2

که در آن x انتظار ریاضی یا مقدار میانگین است. همانطور که می بینید، توزیع نرمال توسط دو پارامتر تعیین می شود: x و °. برای تعریف توزیع نرمال کافی است انتظار ریاضی یا میانگین و انحراف معیار را بدانیم. این دو کمیت مرکز گروه بندی و شکل را تعیین می کنند

منحنی روی نمودار نمودار تابع u (xx, b) منحنی نرمال (منحنی گاوس) با پارامترهای x و b نامیده می شود (شکل 12).

منحنی توزیع نرمال دارای نقاط عطف در X ± 1 است. اگر به صورت گرافیکی نشان داده شود، بین X = + l و 1 = -1 0.683 قسمت از کل منطقه منحنی است (یعنی 68.3٪). در محدوده X = + 2 و X- 2. 0.954 منطقه (95.4٪) و بین X = + 3 و X = - 3 - 0.997 قسمت از کل منطقه توزیع (99.7٪) وجود دارد. در شکل شکل 13 ماهیت توزیع نرمال را با مرزهای یک، دو و سه سیگما نشان می دهد.

با توزیع نرمال، میانگین حسابی، مد و میانه با یکدیگر برابر خواهند بود. شکل یک منحنی نرمال به شکل یک منحنی متقارن تک راس است که شاخه های آن به طور مجانبی به محور آبسیسا نزدیک می شوند. بزرگترین مختصات منحنی برابر با x = 0 است. در این نقطه روی محور آبسیسا، مقدار عددی مشخصه ها برابر با میانگین حسابی، حالت و میانه قرار می گیرد. در دو طرف بالای منحنی، شاخه های آن می آیند و شکل تحدب را در نقاط خاصی به تقعر تغییر می دهند. این نقاط متقارن هستند و با مقادیر x = ± 1 مطابقت دارند، یعنی مقادیر مشخصه ای که انحراف از میانگین از نظر عددی برابر با انحراف استاندارد است. ترتیبی که با میانگین حسابی مطابقت دارد، کل ناحیه بین منحنی و آبسیسا را به نصف تقسیم می کند. بنابراین، احتمال وقوع مقادیر مشخصه مورد مطالعه بیشتر و کمتر از میانگین است

محاسبات برابر با 0.50 خواهد بود، یعنی x، (~ ^ x) = 0.50 V

شکل 12. منحنی توزیع نرمال (منحنی گاوسی)

شکل و موقعیت منحنی نرمال مقدار میانگین و انحراف معیار را تعیین می کند. از نظر ریاضی ثابت شده است که تغییر مقدار میانگین (انتظار ریاضی) شکل منحنی نرمال را تغییر نمی دهد، بلکه تنها منجر به جابجایی آن در امتداد محور آبسیسا می شود. اگر ~ افزایش یابد منحنی به سمت راست و اگر ~ بیاید به سمت چپ تغییر می کند.

شکل 14. منحنی های توزیع نرمال با مقادیر پارامترهای مختلفV

در مورد تغییر شکل نمودار منحنی معمولی هنگام تغییر

انحراف معیار را می توان با حداکثر قضاوت کرد

تابع توزیع نرمال دیفرانسیل، برابر است 1

همانطور که مشاهده می شود، با افزایش مقدار °، حد اکثر منحنی کاهش می یابد. در نتیجه، منحنی توزیع نرمال به سمت محور x فشرده می شود و شکل صاف تری به خود می گیرد.

و برعکس، با کاهش پارامتر β، منحنی نرمال در جهت مثبت محور ارتین کشیده می شود و شکل "زنگ" تیزتر می شود (شکل 2). 14). توجه داشته باشید که، صرف نظر از مقادیر پارامترهای ~ و , سطح محدود شده توسط محور آبسیسا و منحنی همیشه برابر با واحد است (ویژگی چگالی توزیع). این به وضوح توسط نمودار نشان داده شده است (شکل 13).

ویژگی های فوق الذکر از تجلی "نرمال بودن" توزیع به ما امکان می دهد تعدادی از ویژگی های مشترکی را که منحنی های توزیع نرمال دارند شناسایی کنیم:

1) هر منحنی نرمال به حداکثر نقطه می رسد (ایکس= x) پیوسته به سمت راست و چپ آن می آید و به تدریج به محور x نزدیک می شود.

2) هر منحنی نرمال با توجه به یک خط مستقیم متقارن است،

موازی با محور ارتین است و از حداکثر نقطه عبور می کند (ایکس= x)

حداکثر ترتیب ^^^ i است.

3) هر منحنی معمولی شکل "زنگ" دارد، دارای تحدب است که به سمت بالا تا حداکثر نقطه هدایت می شود. در نقاط x ~ ° و x + b تحدب را تغییر می دهد، و هرچه a کوچکتر باشد، "زنگ" تیزتر است، و هر چه a بزرگتر باشد، بالای "زنگ" تیزتر می شود (شکل 14). تغییر در انتظارات ریاضی (با مقدار ثابت

ج) منجر به تغییر شکل منحنی نمی شود.

وقتی x = 0 و ° = 1 باشد، منحنی نرمال را منحنی نرمال شده یا توزیع نرمال به شکل متعارف می نامند.

منحنی نرمال شده با فرمول زیر توصیف می شود:

ساخت یک منحنی نرمال بر اساس داده های تجربی با استفاده از فرمول انجام می شود:

پی 1 - "" = --- 7 = e

جایی که و ™ فرکانس نظری هر بازه (گروه) توزیع است. "- مجموع فرکانس ها برابر با حجم جمعیت؛ "- مرحله فاصله.

یکسان - نسبت محیط یک دایره به قطر آن است

e - پایه لگاریتم های طبیعی برابر با 2.71828.

بخش دوم و سوم فرمول) یک تابع است

انحراف نرمال شده CN)، که می تواند برای هر مقدار X محاسبه شود. جداول مقادیر CN) معمولاً "جدول مختصات منحنی نرمال" نامیده می شوند (پیوست 3). هنگام استفاده از این توابع، فرمول کاری برای توزیع نرمال شکل ساده ای به خود می گیرد:

مثال.بیایید با استفاده از مثال داده های توزیع 57 کارگر بر اساس سطح درآمد روزانه، یک منحنی نرمال ایجاد کنیم (جدول 42). با توجه به جدول 42، میانگین حسابی را پیدا می کنیم:

~ = ^ = И6 54 =

ما انحراف استاندارد را محاسبه می کنیم:

برای هر ردیف از جدول مقدار انحراف نرمال شده را پیدا می کنیم

x و ~x | 12 گرم => - = - ^ 2 = 1.92

آ 6.25 (dd I بازه اول و غیره).

در ستون 8 جدول 42 مقدار جدول تابع Di) را از برنامه یادداشت می کنیم، برای مثال، برای اولین بازه X = 1.92 "1.9" در مقابل "2" (0.0632) را پیدا می کنیم.

برای محاسبه فرکانس‌های نظری، یعنی مختصات منحنی توزیع نرمال، ضریب محاسبه می‌شود:

* = ^ = 36,5 یک 6.25

همه مقادیر جدول یافت شده تابع / (r) را در 36.5 ضرب می کنیم. بنابراین، برای اولین بازه 0.0632x36.5 = 2.31 تن دریافت می کنیم.

فرکانس ها (پ "<5) ترکیب کنید (در مثال ما - دو بازه اول و دو بازه آخر).

اگر فرکانس های نظری شدید به طور قابل توجهی با صفر تفاوت داشته باشند، اختلاف بین مجموع فرکانس های تجربی و نظری ممکن است قابل توجه باشد.

نمودار توزیع فرکانس های تجربی و نظری (منحنی نرمال) با توجه به مثال مورد بررسی در شکل 15 نشان داده شده است.

بیایید نمونه ای از تعیین فرکانس های توزیع نرمال را برای حالتی در نظر بگیریم که در فواصل شدید فرکانس وجود نداشته باشد (جدول 43). در اینجا تجربی

X - انحراف نرمال شده، (ج) a - انحراف معیار.

فرکانس بازه اول صفر است. مجموع فرکانس های نامشخص حاصل با مجموع مقادیر تجربی آنها (56 * 57) برابر نیست. در این مورد، فرکانس نظری برای شستشوی مقادیر به دست آمده از مرکز فاصله، انحراف نرمال شده و عملکرد آن محاسبه می شود.

در جدول 43، این مقادیر با یک مستطیل دایره شده اند. هنگام ترسیم منحنی نرمال، در چنین مواردی منحنی نظری ادامه می یابد. در مورد مورد بررسی، منحنی نرمال به سمت انحرافات منفی از میانگین ادامه می یابد، زیرا اولین فرکانس نامشخص برابر با 5 است. فرکانس نظری محاسبه شده (روشن شده) برای بازه اول برابر با واحد خواهد بود. مجموع فرکانس های تصفیه شده با فرکانس های تجربی منطبق است

جدول 42

مقادیر محاسبه شده

پارامترهای آماری

فاصله،

تعداد واحدها،

x) 2 n¡

بخش های عادی

نظری

فرکانس سری های توزیع نرمال،

/ 0) x - آ

هزار و ششصد و پنجاه و چهار

a = 6,25

^i=36.5 آ

جدول 43

محاسبه فرکانس های توزیع نرمال (تراز کردن فرکانس های تجربی بر اساس قانون نرمال)

تعداد واحدها،

مقادیر محاسبه شده

پارامترهای آماری

فاصله زمانی (و-2)

مقدار میانه (مرکز) بازه،

(یه، -xf

^ x t-x) 1 n و

انحراف نرمال شده

xs- ایکس

تی= x --L

مقدار جدول تابع، f (t)

نظری

فرکانس سری های توزیع نرمال

مقدار فرکانس نظری روشن،

o = 2,41

برنج. 15. توزیع تجربی(1) و منحنی نرمال (2)

منحنی توزیع نرمال برای جمعیت مورد مطالعه را می توان به روش دیگری (برخلاف آنچه در بالا مورد بحث قرار گرفت) ساخت. بنابراین، اگر نیاز به داشتن یک ایده تقریبی از مطابقت توزیع واقعی با توزیع عادی باشد، محاسبات به ترتیب زیر انجام می شود. ماکزیمم اردین مشخص می شود که با اندازه متوسط مشخصه ها مطابقت دارد، سپس با محاسبه انحراف معیار، مختصات نقاط منحنی توزیع نرمال طبق طرح مشخص شده در جداول 42 و 43 محاسبه می شود. با توجه به داده های اولیه و محاسبه شده در جدول 43، میانگین باید ~ = 26 باشد. این مقدار وسط منطبق بر مرکز فاصله چهارم (25-27) است. بنابراین، فرکانس این بازه "20" را می توان (هنگام رسم نمودار) به عنوان حداکثر مقدار در نظر گرفت. با داشتن پراکندگی محاسبه شده (β = 2.41 سانتی متر، جدول 43)، مقادیر مختصات تمام نقاط ضروری منحنی توزیع نرمال را محاسبه می کنیم (جدول 44، 45). با استفاده از مختصات به دست آمده، منحنی نرمال را رسم می کنیم (شکل 16) و فرکانس بازه چهارم را به عنوان حد اکثر می گیریم.

سازگاری توزیع تجربی با توزیع نرمال را نیز می توان از طریق محاسبات ساده شده ایجاد کرد. بنابراین، اگر نسبت شاخص درجه عدم تقارن (^) به میانگین مربعات خطای آن sh a "یا نسبت نشانگر کشیدگی (Ex) به میانگین مربع خطای آن t & از عدد "3" در مقدار مطلق بیشتر شود، a نتیجه گیری در مورد اختلاف بین توزیع تجربی و ماهیت توزیع های نرمال (یعنی،

آ tz E ایکس

اگر ™ A> 3 یا w ه "> 3).

روش‌های غیرممکن دیگری برای تعیین «نرمال بودن» توزیع وجود دارد: الف) مقایسه میانگین حسابی با حالت و میانه. ب) استفاده از ارقام وسترگارد. ج) استفاده از یک تصویر گرافیکی با استفاده از یک شبکه نیمه لگاریتمی توربین؛د) محاسبه معیارهای تطبیق خاص و غیره.

جدول 44

مختصات 7 نقطه از منحنی توزیع نرمال

جدول 45

محاسبه مختصات نقاط یک منحنی توزیع نرمال

	ایکس- 1,5 (7 =	ایکس - a = 23.6	ایکس - 0,5 (7 = = 24,8		x + 0.5st = 27,2	ایکس + a = 28.4	X+1.5 (7 =

شکل 16. منحنی توزیع نرمال با استفاده از هفت نقطه رسم شد

در عمل، هنگام مطالعه یک جمعیت به منظور تطبیق توزیع آن با یک جمعیت عادی، اغلب از "قانون 3cr" استفاده می شود.

از نظر ریاضی ثابت شده است که احتمال اینکه انحراف از میانگین در مقدار مطلق کمتر از سه برابر انحراف معیار باشد برابر با 0.9973 است، یعنی احتمال اینکه مقدار مطلق انحراف از سه برابر انحراف استاندارد بیشتر شود 0.0027 یا خیلی کوچک. بر اساس اصل عدم امکان وقوع حوادث بعید، «مورد تجاوز» از ماده 3 عملاً غیرممکن تلقی می شود. اگر یک متغیر تصادفی به طور نرمال توزیع شود، قدر مطلق انحراف آن از انتظار ریاضی (میانگین) از سه برابر انحراف استاندارد تجاوز نمی کند.

در محاسبات عملی آنها به این ترتیب عمل می کنند. اگر با توجه به ماهیت ناشناخته توزیع متغیر تصادفی مورد مطالعه، مقدار محاسبه شده انحراف از میانگین کمتر از مقدار 3 ST باشد، دلیلی وجود دارد که باور کنیم مشخصه مورد مطالعه توزیع شده است. به طور معمول اگر پارامتر مشخص شده بیشتر شود مقدار عددی 3 ST، می توانیم فرض کنیم که توزیع مقدار مورد مطالعه با توزیع نرمال سازگار نیست.

محاسبه فرکانس‌های نظری برای سری توزیع تجربی مورد مطالعه معمولاً تراز منحنی‌های تجربی بر اساس قانون توزیع نرمال (یا هر قانون دیگری) نامیده می‌شود. این فرآیند هم از نظر تئوری و هم از نظر اهمیت مهم است اهمیت عملی. همسویی داده های تجربی الگویی را در توزیع آنها نشان می دهد که می تواند با شکل تصادفی تجلی آن پنهان شود. الگوی ایجاد شده در این راه می تواند برای حل تعدادی از مسائل عملی استفاده شود.

محقق با توزیعی نزدیک به نرمال در زمینه های مختلف علوم و حوزه های فعالیت عملی انسان مواجه می شود. در اقتصاد، این نوع توزیع کمتر از مثلاً در فناوری یا زیست شناسی رایج است. این به دلیل ماهیت پدیده های اجتماعی-اقتصادی است که با پیچیدگی زیاد عوامل مرتبط و به هم پیوسته مشخص می شود و همچنین وجود تعدادی شرایطی که "بازی" آزاد موارد را محدود می کند. اما یک اقتصاددان باید به توزیع نرمال اشاره کند و ساختار توزیع های تجربی را به عنوان نوعی استاندارد تحلیل کند. چنین مقایسه ای امکان روشن شدن ماهیت آن شرایط داخلی را فراهم می کند که این رقم توزیع را تعیین می کند.

نفوذ کره تحقیق آماریدر حوزه پدیده های اجتماعی-اقتصادی این امکان را به وجود آورد که وجود تعداد زیادی از انواع مختلف منحنی های توزیع آشکار شود. با این حال، نباید تصور کرد که مفهوم نظری منحنی توزیع نرمال به طور کلی در تحلیل آماری و ریاضی این نوع پدیده کاربرد کمی دارد. ممکن است همیشه در تحلیل یک مورد خاص قابل قبول نباشد توزیع آماری، اما در حوزه تئوری و عملی، روش نمونه گیری تحقیق از اهمیت بالایی برخوردار است.

اجازه دهید جنبه های اصلی کاربرد توزیع نرمال در تحلیل های آماری و ریاضی را نام ببریم.

1. برای تعیین احتمال یک مقدار خاص از یک مشخصه. این امر هنگام آزمایش فرضیه‌های مربوط به مطابقت توزیع تجربی خاص با نرمال ضروری است.

2. هنگام تخمین تعدادی از پارامترها، به عنوان مثال، میانگین ها، با استفاده از روش حداکثر درستنمایی. ماهیت آن در تعریف قانونی است که کلیت تابع آن است. تخمینی که حداکثر مقادیر را می دهد نیز تعیین می شود. بهترین تقریب برای پارامترهای جمعیت با نسبت داده می شود:

y = - 2 = e 2

3. برای تعیین احتمال میانگین نمونه نسبت به میانگین عمومی.

4. هنگام تعیین فاصله اطمینان که مقدار تقریبی ویژگی های جمعیت عمومی در آن قرار دارد.