حل معادلات درجه دوم، فرمول ریشه، مثال. معادلات درجه دوم. حل معادلات درجه دوم چگونه یک معادله درجه دوم را به یک محصول تبدیل کنیم

این موضوع ممکن است در ابتدا دشوار به نظر برسد، زیرا بسیاری از آنها چنین نیستند فرمول های ساده. نه تنها معادلات درجه دوم خود نمادهای طولانی دارند، بلکه ریشه ها نیز از طریق ممیز پیدا می شوند. در مجموع سه فرمول جدید به دست می آید. به خاطر سپردن خیلی آسان نیست. این تنها پس از حل مکرر چنین معادلاتی امکان پذیر است. سپس تمام فرمول ها توسط خودشان به خاطر سپرده می شوند.

نمای کلی یک معادله درجه دوم

در اینجا ما ضبط صریح آنها را پیشنهاد می کنیم، زمانی که بزرگترین درجه ابتدا نوشته می شود، و سپس به ترتیب نزولی. اغلب شرایطی وجود دارد که شرایط متناقض هستند. سپس بهتر است معادله را به ترتیب نزولی درجه متغیر بازنویسی کنید.

اجازه بدید ما بعضی نشانه ها را معرفی کنیم. آنها در جدول زیر ارائه شده اند.

اگر این نمادها را بپذیریم، تمام معادلات درجه دوم به نماد زیر کاهش می یابد.

علاوه بر این، ضریب a ≠ 0. اجازه دهید این فرمول شماره یک تعیین شود.

وقتی معادله ای داده می شود، مشخص نیست که پاسخ چند ریشه خواهد داشت. زیرا یکی از سه گزینه همیشه ممکن است:

• راه حل دو ریشه خواهد داشت.
• پاسخ یک عدد خواهد بود.
• معادله اصلاً ریشه نخواهد داشت.

و تا زمانی که تصمیم نهایی نشود، درک اینکه کدام گزینه در یک مورد خاص ظاهر می شود دشوار است.

انواع ضبط معادلات درجه دوم

ممکن است ورودی های مختلفی در وظایف وجود داشته باشد. همیشه شبیه نخواهند بود فرمول کلیمعادله درجه دوم. گاهی اوقات برخی از اصطلاحات را از دست می دهد. آنچه در بالا نوشته شد معادله کامل است. اگر عبارت دوم یا سوم را در آن حذف کنید، چیز دیگری دریافت می کنید. به این رکوردها معادلات درجه دوم نیز گفته می شود، فقط ناقص.

علاوه بر این، فقط اصطلاحات با ضرایب "b" و "c" می توانند ناپدید شوند. عدد "الف" در هیچ شرایطی نمی تواند برابر با صفر باشد. زیرا در این حالت فرمول به یک معادله خطی تبدیل می شود. فرمول شکل ناقص معادلات به صورت زیر خواهد بود:

بنابراین، فقط دو نوع وجود دارد؛ علاوه بر کامل، معادلات درجه دوم ناقص نیز وجود دارد. بگذارید فرمول اول شماره دو باشد و دومی - سه.

تمایز و وابستگی تعداد ریشه ها به مقدار آن

برای محاسبه ریشه های معادله باید این عدد را بدانید. همیشه می توان آن را محاسبه کرد، مهم نیست که فرمول معادله درجه دوم چیست. برای محاسبه ممیز باید از تساوی نوشته شده در زیر استفاده کنید که عدد چهار خواهد داشت.

پس از جایگزینی مقادیر ضرایب در این فرمول، می توانید اعداد را با آن بدست آورید نشانه های مختلف. اگر پاسخ مثبت است، پاسخ معادله دو ریشه متفاوت خواهد بود. اگر عدد منفی باشد، هیچ ریشه ای از معادله درجه دوم وجود نخواهد داشت. اگر برابر با صفر باشد، تنها یک پاسخ وجود خواهد داشت.

چگونه یک معادله درجه دوم کامل را حل کنیم؟

در واقع بررسی این موضوع از قبل آغاز شده است. زیرا ابتدا باید یک ممیز پیدا کنید. پس از اینکه مشخص شد که معادله درجه دوم ریشه دارد و تعداد آنها مشخص شد، باید از فرمول برای متغیرها استفاده کنید. اگر دو ریشه وجود دارد، پس باید فرمول زیر را اعمال کنید.

از آنجایی که دارای علامت "±" است، دو مقدار وجود خواهد داشت. عبارت زیر علامت جذر ممیز است. بنابراین، فرمول را می توان متفاوت بازنویسی کرد.

فرمول شماره پنج از همان رکورد مشخص است که اگر ممیز برابر با صفر باشد، هر دو ریشه مقادیر یکسانی خواهند داشت.

اگر حل معادلات درجه دوم هنوز کار نشده است، بهتر است قبل از اعمال فرمول های متمایز و متغیر، مقادیر همه ضرایب را یادداشت کنید. بعداً این لحظه مشکلی ایجاد نخواهد کرد. اما در همان ابتدا سردرگمی وجود دارد.

چگونه یک معادله درجه دوم ناقص را حل کنیم؟

همه چیز در اینجا بسیار ساده تر است. حتی نیازی به فرمول های اضافی نیست. و آنهایی که قبلاً برای ممیز و مجهول نوشته شده است نیازی نخواهند داشت.

ابتدا به معادله ناقص شماره دو نگاه می کنیم. در این برابری باید کمیت مجهول را از پرانتز خارج کرد و معادله خطی را حل کرد که در پرانتز باقی می ماند. پاسخ دو ریشه خواهد داشت. اولین مورد لزوماً برابر با صفر است، زیرا یک ضریب متشکل از خود متغیر وجود دارد. دومی با حل یک معادله خطی به دست می آید.

معادله ناقص شماره سه با حرکت عدد از سمت چپ تساوی به راست حل می شود. سپس باید بر ضریب مجهول تقسیم کنید. تنها چیزی که باقی می ماند این است که ریشه مربع را استخراج کنید و به یاد داشته باشید که آن را دو بار با علائم مخالف بنویسید.

در زیر چند مرحله وجود دارد که به شما کمک می‌کند یاد بگیرید چگونه انواع برابری‌هایی را که به معادلات درجه دوم تبدیل می‌شوند، حل کنید. آنها به دانش آموز کمک می کنند تا از اشتباهات ناشی از بی توجهی جلوگیری کند. این کاستی ها می تواند باعث نمرات ضعیف در هنگام مطالعه مبحث گسترده «معادلات درجه دوم (پایه هشتم)» شود. پس از آن، این اقدامات نیازی به انجام مداوم نخواهند داشت. زیرا یک مهارت پایدار ظاهر خواهد شد.

• ابتدا باید معادله را به شکل استاندارد بنویسید. یعنی ابتدا عبارت با بیشترین درجه متغیر و سپس - بدون درجه و آخرین - فقط یک عدد.

• اگر یک منفی قبل از ضریب "a" ظاهر شود، می تواند کار را برای یک مبتدی که معادلات درجه دوم را مطالعه می کند، پیچیده کند. بهتر است از شر آن خلاص شوید. برای این منظور، تمام تساوی باید در "-1" ضرب شود. این بدان معنی است که همه اصطلاحات علامت آن را به مخالف تغییر می دهند.

• توصیه می شود به همین ترتیب از شر کسری خلاص شوید. به سادگی معادله را در ضریب مناسب ضرب کنید تا مخرج ها باطل شوند.

مثال ها

حل معادلات درجه دوم زیر لازم است:

x 2 - 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

معادله اول: x 2 − 7x = 0. ناقص است، بنابراین همانطور که برای فرمول شماره دو توضیح داده شد حل می شود.

پس از بیرون آوردن آن از پرانتز، معلوم می شود: x (x - 7) = 0.

ریشه اول مقدار x 1 = 0 را می گیرد. دومی از معادله خطی پیدا می شود: x - 7 = 0. به راحتی می توان دریافت که x 2 = 7.

معادله دوم: 5x 2 + 30 = 0. باز هم ناقص. فقط همانطور که برای فرمول سوم توضیح داده شد حل می شود.

بعد از حرکت 30 به سمت راست معادله: 5x 2 = 30. حالا باید بر 5 تقسیم کنید. معلوم می شود: x 2 = 6. پاسخ ها اعداد خواهند بود: x 1 = √6، x 2 = - √6.

معادله سوم: 15 − 2x − x 2 = 0. در اینجا و بیشتر، حل معادلات درجه دوم با بازنویسی مجدد آنها به شکل استاندارد آغاز می شود: − x 2 − 2x + 15 = 0. اکنون زمان استفاده از دومی است. مشاوره مفیدو همه چیز را در منهای یک ضرب کنید. به نظر می رسد x 2 + 2x - 15 = 0. با استفاده از فرمول چهارم، باید تمایز را محاسبه کنید: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. این یک عدد مثبت است. از آنچه در بالا گفته شد، معلوم می شود که معادله دو ریشه دارد. آنها باید با استفاده از فرمول پنجم محاسبه شوند. معلوم می شود که x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. سپس x 1 = 3، x 2 = - 5.

معادله چهارم x 2 + 8 + 3x = 0 به این تبدیل می شود: x 2 + 3x + 8 = 0. ممیز آن برابر است با این مقدار: -23. از آنجایی که این عدد منفی است، پاسخ این کار به صورت زیر خواهد بود: "ریشه ای وجود ندارد."

معادله پنجم 12x + x 2 + 36 = 0 باید به صورت زیر بازنویسی شود: x 2 + 12x + 36 = 0. پس از اعمال فرمول برای ممیز، عدد صفر به دست می آید. این بدان معنی است که یک ریشه دارد، یعنی: x = -12/ (2 * 1) = -6.

معادله ششم (x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2) نیاز به تبدیل‌هایی دارد که شامل این واقعیت است که باید عبارت‌های مشابهی را بیاورید، ابتدا پرانتزها را باز کنید. به جای اولین عبارت عبارت زیر وجود خواهد داشت: x 2 + 2x + 1. پس از برابری، این ورودی ظاهر می شود: x 2 + 3x + 2. پس از شمارش عبارت های مشابه، معادله به شکل x 2 خواهد بود. - x = 0. ناقص شده است. چیزی شبیه به این قبلاً کمی بالاتر مورد بحث قرار گرفته است. ریشه این اعداد 0 و 1 خواهد بود.

برخی از مسائل در ریاضیات نیاز به توانایی محاسبه مقدار جذر دارد. چنین مسائلی شامل حل معادلات درجه دوم است. در این مقاله روشی موثر برای محاسبه ارائه می کنیم ریشه های مربعو هنگام کار با فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم از آن استفاده کنید.

جذر چیست؟

در ریاضیات، این مفهوم با نماد √ مطابقت دارد. داده های تاریخی می گوید که اولین بار در حدود نیمه اول قرن شانزدهم در آلمان مورد استفاده قرار گرفت (اولین کار آلمانی در مورد جبر توسط کریستوف رودولف). دانشمندان معتقدند که این نماد یک حرف لاتین تغییر یافته r است (رادیکس در لاتین به معنای "ریشه" است).

ریشه هر عدد برابر با مقداری است که مربع آن با عبارت رادیکال مطابقت دارد. در زبان ریاضیات، این تعریف به این صورت خواهد بود: √x = y، اگر y 2 = x.

ریشه یک عدد مثبت (x > 0) نیز یک عدد مثبت است (y > 0)، اما اگر ریشه عدد منفی(ایکس< 0), то его результатом уже будет عدد مختلط، از جمله واحد خیالی i.

در اینجا دو مثال ساده وجود دارد:

√9 = 3، از 3 2 = 9; √(-9) = 3i، زیرا i 2 = -1 است.

فرمول تکراری هرون برای یافتن مقادیر ریشه های مربع

مثال های بالا بسیار ساده هستند و محاسبه ریشه در آنها کار سختی نیست. هنگام یافتن مقادیر ریشه برای هر مقداری که نمی تواند به صورت مربع نمایش داده شود، مشکلات ظاهر می شوند عدد طبیعیبه عنوان مثال √10، √11، √12، √13، ناگفته نماند که در عمل لازم است برای اعداد غیر صحیح ریشه پیدا کنید: به عنوان مثال √(12،15)، √(8،5) و غیره

در تمامی موارد فوق باید از روش خاصی برای محاسبه جذر استفاده شود. در حال حاضر، چندین روش شناخته شده است: به عنوان مثال، گسترش سری تیلور، تقسیم ستون و برخی دیگر. از بین تمام روش های شناخته شده، شاید ساده ترین و موثرترین آنها استفاده از فرمول تکراری هرون باشد که به روش بابلی تعیین ریشه های مربع نیز معروف است (شواهدی وجود دارد که بابلی های باستان از آن در محاسبات عملی خود استفاده می کردند).

اجازه دهید لازم باشد مقدار √x را تعیین کنیم. فرمول برای پیدا کردن جذر به صورت زیر است:

a n+1 = 1/2 (a n +x/a n)، که در آن lim n->∞ (a n) => x.

بیایید این نماد ریاضی را رمزگشایی کنیم. برای محاسبه √x، باید یک عدد مشخص a 0 را بگیرید (ممکن است دلخواه باشد، اما برای به دست آوردن سریع نتیجه، باید آن را طوری انتخاب کنید که (0) 2 تا حد امکان به x نزدیک شود. سپس آن را در عدد جایگزین کنید. فرمول مشخص شده برای محاسبه جذر و گرفتن یک عدد جدید a 1 که از قبل به مقدار مورد نظر نزدیکتر خواهد بود. دقت به دست می آید.

نمونه ای از استفاده از فرمول تکراری هرون

الگوریتم توصیف شده در بالا برای به دست آوردن جذر یک عدد معین ممکن است برای بسیاری بسیار پیچیده و گیج کننده به نظر برسد، اما در واقع همه چیز بسیار ساده تر است، زیرا این فرمول بسیار سریع همگرا می شود (مخصوصاً اگر یک عدد موفق a 0 انتخاب شود) .

بیایید یک مثال ساده بیاوریم: باید √11 را محاسبه کنید. بیایید 0 = 3 را انتخاب کنیم، زیرا 3 2 = 9، که نزدیکتر به 11 است تا 4 2 = 16. با جایگزینی در فرمول، دریافت می کنیم:

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3.333333;

a 2 = 1/2 (3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;

a 3 = 1/2 (3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662.

ادامه محاسبات فایده ای ندارد، زیرا متوجه شدیم که 2 و 3 فقط در رقم 5 اعشاری متفاوت هستند. بنابراین، برای محاسبه √11 با دقت 0.0001، فقط 2 بار فرمول را اعمال کنید.

امروزه از ماشین‌حساب‌ها و رایانه‌ها به‌طور گسترده برای محاسبه ریشه‌ها استفاده می‌شود، با این حال، به خاطر سپردن فرمول علامت‌گذاری شده برای اینکه بتوانیم مقدار دقیق آنها را به صورت دستی محاسبه کنیم، مفید است.

معادلات مرتبه دوم

دانستن اینکه یک جذر چیست و توانایی محاسبه آن در حل معادلات درجه دوم استفاده می شود. به این معادلات تساوی با یک مجهول گفته می شود که شکل کلی آن در شکل زیر نشان داده شده است.

در اینجا c و b و a نشان دهنده برخی از اعداد هستند و a نباید برابر با صفر باشد و مقادیر c و b می توانند کاملاً دلخواه از جمله برابر با صفر باشند.

هر مقدار از x که برابری نشان داده شده در شکل را برآورده کند، ریشه آن نامیده می شود (این مفهوم نباید با جذر √ اشتباه گرفته شود). از آنجایی که معادله مورد بررسی از مرتبه 2 (x 2) است، بنابراین نمی تواند بیش از دو ریشه برای آن وجود داشته باشد. بیایید در مقاله نحوه یافتن این ریشه ها را بیشتر بررسی کنیم.

یافتن ریشه یک معادله درجه دوم (فرمول)

این روش حل نوع برابری های مورد نظر را روش جهانی یا روش تفکیک نیز می نامند. می توان از آن برای هر معادله درجه دوم استفاده کرد. فرمول تفکیک و ریشه های معادله درجه دوم به شرح زیر است:

نشان می دهد که ریشه ها به مقدار هر یک از سه ضریب معادله بستگی دارند. علاوه بر این، محاسبه x 1 با محاسبه x 2 تنها با علامت جلوی جذر متفاوت است. عبارت رادیکال که برابر با b 2 - 4ac است، چیزی جز تمایز برابری مورد بحث نیست. تمایز در فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم نقش مهمی ایفا می کند زیرا تعداد و نوع جواب ها را تعیین می کند. بنابراین، اگر برابر با صفر باشد، تنها یک راه حل وجود دارد، اگر مثبت باشد، معادله دارای دو ریشه واقعی است و در نهایت، یک ممیز منفی به دو ریشه مختلط x 1 و x 2 منجر می شود.

قضیه ویتا یا برخی از خواص ریشه های معادلات مرتبه دوم

در پایان قرن شانزدهم، یکی از بنیانگذاران جبر مدرن، یک فرانسوی، که معادلات مرتبه دوم را مطالعه می کرد، توانست ویژگی های ریشه های آن را به دست آورد. از نظر ریاضی آنها را می توان اینگونه نوشت:

x 1 + x 2 = -b / a و x 1 * x 2 = c / a.

هر دو برابری را می توان به راحتی توسط هر کسی به دست آورد؛ برای انجام این کار، فقط باید عملیات ریاضی مناسب را با ریشه های به دست آمده از فرمول با ممیز انجام دهید.

ترکیب این دو عبارت را به درستی می توان فرمول دوم برای ریشه های یک معادله درجه دوم نامید که امکان حدس زدن جواب های آن را بدون استفاده از ممیز ممکن می سازد. در اینجا باید توجه داشت که اگرچه هر دو عبارت همیشه معتبر هستند، اما استفاده از آنها برای حل یک معادله تنها در صورتی راحت است که بتوان آن را فاکتور گرفت.

وظیفه تثبیت دانش به دست آمده

بیا تصمیم بگیریم مسئله ریاضی، که در آن تمام تکنیک های مورد بحث در مقاله را نشان خواهیم داد. شرایط مسئله به شرح زیر است: باید دو عدد را پیدا کنید که حاصل ضرب آنها 13- و حاصل جمع آن 4 باشد.

این شرط بلافاصله قضیه ویتا را به ما یادآوری می کند؛ با استفاده از فرمول های مجموع ریشه های مربع و حاصل ضرب آنها، می نویسیم:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

اگر فرض کنیم a = 1، آنگاه b = -4 و c = -13. این ضرایب به ما اجازه می دهد تا یک معادله مرتبه دوم ایجاد کنیم:

x 2 - 4x - 13 = 0.

بیایید از فرمول با ممیز استفاده کنیم و ریشه های زیر را بدست آوریم:

x 1.2 = (4 ± √D)/2، D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

یعنی مشکل به یافتن عدد √68 خلاصه شد. توجه داشته باشید که 68 = 4 * 17، سپس با استفاده از خاصیت ریشه مربع، به دست می آوریم: √68 = 2√17.

حالا بیایید از فرمول ریشه دوم در نظر گرفته شده استفاده کنیم: a 0 = 4، سپس:

a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4.125;

a 2 = 1/2 (4.125 + 17/4.125) = 4.1231.

نیازی به محاسبه 3 نیست زیرا مقادیر یافت شده تنها با 0.02 تفاوت دارند. بنابراین، √68 = 8.246. با جایگزین کردن آن به فرمول x 1,2، دریافت می کنیم:

x 1 = (4 + 8.246)/2 = 6.123 و x 2 = (4 - 8.246)/2 = -2.123.

همانطور که می بینیم مجموع اعداد یافت شده واقعاً برابر با 4 است، اما اگر حاصل ضرب آنها را پیدا کنیم، برابر با 12.999- خواهد بود که شرایط مسئله را با دقت 0.001 برآورده می کند.

فقط طبق فرمول ها و قوانین واضح و ساده. در مرحله اول

لازم است معادله داده شده را به یک فرم استاندارد برسانیم، یعنی. به فرم:

اگر معادله قبلاً به این شکل به شما داده شده است، لازم نیست مرحله اول را انجام دهید. مهمترین چیز این است که آن را به درستی انجام دهید

تعیین تمام ضرایب آ, بو ج.

فرمول یافتن ریشه یک معادله درجه دوم.

عبارت زیر علامت ریشه نامیده می شود ممیز . همانطور که می بینید، برای پیدا کردن X، ما

ما استفاده می کنیم فقط الف، ب و ج. آن ها ضرایب از معادله درجه دوم. فقط با دقت آن را در آن قرار دهید

ارزش های الف، ب و جما با این فرمول محاسبه می کنیم. ما جایگزین می کنیم آنهانشانه ها!

مثلا، در معادله:

آ =1; ب = 3; ج = -4.

مقادیر را جایگزین می کنیم و می نویسیم:

مثال تقریباً حل شده است:

این پاسخ است.

رایج ترین اشتباهات، اشتباه گرفتن با مقادیر علامت است الف، بو با. یا بهتر است بگوییم با تعویض

مقادیر منفی در فرمول محاسبه ریشه ها. ضبط دقیق فرمول در اینجا به کمک می آید

با اعداد مشخص اگر در محاسبات مشکل دارید، این کار را انجام دهید!

فرض کنید باید مثال زیر را حل کنیم:

اینجا آ = -6; ب = -5; ج = -1

ما همه چیز را با جزئیات، با دقت، بدون از دست دادن چیزی با تمام علائم و براکت ها شرح می دهیم:

معادلات درجه دوم اغلب کمی متفاوت به نظر می رسند. به عنوان مثال، مانند این:

اکنون به تکنیک های عملی توجه داشته باشید که تعداد خطاها را به طور چشمگیری کاهش می دهد.

اولین قرار. قبلش تنبل نباش حل یک معادله درجه دومآن را به فرم استاندارد برسانید.

این یعنی چی؟

فرض کنید بعد از همه تبدیل ها معادله زیر را به دست می آورید:

برای نوشتن فرمول ریشه عجله نکنید! تقریباً مطمئناً احتمالات را با هم مخلوط خواهید کرد الف، ب و ج.

مثال را درست بسازید. ابتدا X مربع، سپس بدون مربع، سپس عبارت آزاد. مثل این:

از شر منهای خلاص شوید. چگونه؟ باید کل معادله را در -1 ضرب کنیم. ما گرفتیم:

اما اکنون می توانید با خیال راحت فرمول ریشه ها را بنویسید، تفکیک کننده را محاسبه کنید و حل مثال را تمام کنید.

خودت تصمیم بگیر اکنون باید ریشه های 2 و -1 داشته باشید.

پذیرایی دوم.ریشه ها را بررسی کنید! توسط قضیه ویتا.

برای حل معادلات درجه دوم داده شده، i.e. اگر ضریب

x 2 +bx+c=0،

سپسx 1 x 2 = c

x 1 + x 2 =−ب

برای یک معادله درجه دوم کامل که در آن a≠1:

x 2 +بx+ج=0,

کل معادله را بر تقسیم کنید آ:

→ →

جایی که x 1و ایکس 2 - ریشه های معادله.

پذیرایی سوم. اگر معادله شما دارای ضرایب کسری است، از شر کسرها خلاص شوید! تکثیر کردن

معادله با مخرج مشترک

نتیجه. نکات کاربردی:

1. قبل از حل، معادله درجه دوم را به فرم استاندارد می آوریم و می سازیم درست.

2. اگر جلوی مجذور X یک ضریب منفی وجود داشته باشد، آن را با ضرب همه چیز حذف می کنیم.

معادلات -1.

3. اگر ضرایب کسری باشند، با ضرب کل معادله در معادله مربوطه، کسرها را حذف می کنیم.

عامل.

4. اگر x مربع خالص است، ضریب آن برابر با یک است، راه حل را می توان به راحتی با

حل معادلات در ریاضیات جایگاه ویژه ای دارد. این فرآیند با ساعت‌های زیادی مطالعه تئوری انجام می‌شود که در طی آن دانش‌آموز نحوه حل معادلات، تعیین نوع آنها را می‌آموزد و مهارت را برای تکمیل اتوماسیون به ارمغان می‌آورد. با این حال، جستجو برای ریشه ها همیشه منطقی نیست، زیرا ممکن است به سادگی وجود نداشته باشند. تکنیک های خاصی برای ریشه یابی وجود دارد. در این مقاله به تحلیل توابع اصلی، دامنه تعریف آنها و همچنین مواردی که ریشه آنها وجود ندارد، می پردازیم.

کدام معادله ریشه ندارد؟

یک معادله ریشه ندارد اگر هیچ آرگومان واقعی x وجود نداشته باشد که معادله یکسان برای آن صادق باشد. برای افراد غیرمتخصص، این فرمول مانند اکثر قضایا و فرمول های ریاضی، بسیار مبهم و انتزاعی به نظر می رسد، اما این در تئوری است. در عمل، همه چیز بسیار ساده می شود. به عنوان مثال: معادله 0 * x = -53 هیچ راه حلی ندارد، زیرا هیچ عدد x وجود ندارد که حاصلضرب آن چیزی غیر از صفر باشد.

اکنون به ابتدایی ترین انواع معادلات نگاه می کنیم.

1. معادله خطی

معادله ای خطی نامیده می شود که سمت راست و چپ آن به صورت توابع خطی نمایش داده شود: ax + b = cx + d یا به صورت تعمیم یافته kx + b = 0. که در آن a، b، c، d اعداد شناخته شده هستند و x یک است. مقدار نامعلوم کدام معادله ریشه ندارد؟ مثال ها معادلات خطیدر تصویر زیر ارائه شده است.

اساساً معادلات خطی به سادگی با انتقال قسمت عددی به یک قسمت و محتویات x به قسمت دیگر حل می شوند. نتیجه معادله ای به شکل mx = n است که m و n اعداد هستند و x یک مجهول است. برای پیدا کردن x کافی است هر دو طرف را بر m تقسیم کنید. سپس x = n/m. بیشتر معادلات خطی فقط یک ریشه دارند، اما مواردی وجود دارد که یا بی نهایت ریشه دارد یا اصلاً ریشه وجود ندارد. هنگامی که m = 0 و n = 0، معادله به شکل 0 * x = 0 است. جواب چنین معادله ای مطلقاً هر عددی خواهد بود.

با این حال، چه معادله ای ریشه ندارد؟

برای m = 0 و n = 0، معادله هیچ ریشه ای در مجموعه اعداد واقعی ندارد. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - این معادلات ریشه ندارند.

2. معادله درجه دوم

معادله درجه دوم معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 برای a = 0 است. رایج ترین راه حل از طریق تفکیک است. فرمول برای یافتن ممیز یک معادله درجه دوم: D = b 2 - 4 * a * c. بعد دو ریشه x 1.2 = (-b ± √D) / 2 * a وجود دارد.

برای D > 0 معادله دو ریشه دارد، برای D = 0 یک ریشه دارد. اما کدام معادله درجه دوم ریشه ندارد؟ ساده ترین راه برای مشاهده تعداد ریشه های یک معادله درجه دوم، نمودار کردن تابع است که یک سهمی است. برای a > 0 شاخه ها به سمت بالا هدایت می شوند، برای a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

شما همچنین می توانید به صورت بصری تعداد ریشه ها را بدون محاسبه تمایز تعیین کنید. برای انجام این کار، باید راس سهمی را پیدا کنید و مشخص کنید که شاخه ها به کدام سمت هدایت می شوند. مختصات x راس را می توان با استفاده از فرمول تعیین کرد: x 0 = -b / 2a. در این مورد، مختصات y راس به سادگی با جایگزین کردن مقدار x 0 در معادله اصلی پیدا می‌شود.

معادله درجه دوم x 2 - 8x + 72 = 0 هیچ ریشه ای ندارد، زیرا دارای ممیز منفی D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224 است. این بدان معنی است که سهمی محور x را لمس نمی کند و تابع هرگز مقدار 0 را نمی گیرد، بنابراین، معادله ریشه واقعی ندارد.

3. معادلات مثلثاتی

توابع مثلثاتی روی یک دایره مثلثاتی در نظر گرفته می شوند، اما می توانند در یک سیستم مختصات دکارتی نیز نمایش داده شوند. در این مقاله به دو مورد اصلی خواهیم پرداخت توابع مثلثاتیو معادلات آنها: sinx و cosx. از آنجایی که این توابع یک دایره مثلثاتی با شعاع 1، |sinx| را تشکیل می دهند و |cosx| نمی تواند بزرگتر از 1 باشد. بنابراین، کدام معادله sinx ریشه ندارد؟ نمودار تابع sinx که در تصویر زیر نشان داده شده است را در نظر بگیرید.

می بینیم که تابع متقارن است و دارای دوره تکرار 2pi است. بر این اساس می توان گفت که حداکثر مقدار این تابع می تواند 1 و حداقل مقدار -1 باشد. به عنوان مثال، عبارت cosx = 5 ریشه نخواهد داشت، زیرا قدر مطلق آن بزرگتر از یک است.

این ساده ترین مثال از معادلات مثلثاتی است. در واقع، حل آنها ممکن است صفحات زیادی طول بکشد، در پایان آنها متوجه می شوید که از فرمول اشتباهی استفاده کرده اید و باید همه چیز را از نو شروع کنید. گاهی اوقات، حتی اگر ریشه ها را به درستی پیدا کنید، ممکن است فراموش کنید که محدودیت های OD را در نظر بگیرید، به همین دلیل است که یک ریشه یا فاصله اضافی در پاسخ ظاهر می شود و کل پاسخ به خطا تبدیل می شود. بنابراین، تمام محدودیت ها را به شدت دنبال کنید، زیرا همه ریشه ها در محدوده کار قرار نمی گیرند.

4. سیستم های معادلات

سیستم معادلات مجموعه ای از معادلات است که با براکت های مجعد یا مربع به هم وصل شده اند. براکت های فرفری نشان می دهد که همه معادلات با هم اجرا می شوند. یعنی اگر حداقل یکی از معادله ها ریشه نداشته باشد یا با دیگری مغایرت داشته باشد، کل سیستم هیچ راه حلی ندارد. پرانتز مربع کلمه "یا" را نشان می دهد. این بدان معناست که اگر حداقل یکی از معادلات سیستم دارای جواب باشد، کل سیستم دارای جواب است.

پاسخ سیستم c مجموعه تمام ریشه های معادلات فردی است. و سیستم های دارای بریس های فرفری فقط ریشه های مشترک دارند. سیستم های معادلات می توانند شامل توابع کاملاً متفاوتی باشند، بنابراین چنین پیچیدگی به ما اجازه نمی دهد بلافاصله بگوییم کدام معادله ریشه ندارد.

در کتاب‌های مسئله‌ای و کتاب‌های درسی انواع مختلفی از معادلات وجود دارد: معادلاتی که ریشه دارند و آن‌هایی که ریشه ندارند. اول از همه، اگر نمی توانید ریشه ها را پیدا کنید، فکر نکنید که آنها اصلا وجود ندارند. شاید جایی اشتباه کرده اید، پس فقط باید تصمیم خود را به دقت بررسی کنید.

ما به اساسی ترین معادلات و انواع آنها نگاه کردیم. حالا می توانید بگویید کدام معادله ریشه ندارد. در بیشتر موارد انجام این کار دشوار نیست. رسیدن به موفقیت در حل معادلات فقط نیازمند توجه و تمرکز است. بیشتر تمرین کنید، به شما کمک می کند مطالب را بسیار بهتر و سریع تر مرور کنید.

بنابراین، معادله ریشه ندارد اگر:

• در معادله خطی mx = n مقدار m = 0 و n = 0 است.
• در یک معادله درجه دوم، اگر ممیز کمتر از صفر باشد.
• در یک معادله مثلثاتی به شکل cosx = m / sinx = n، اگر |m| > 0، |n| > 0;
• اگر حداقل یک معادله بدون ریشه باشد، در یک سیستم معادلات با براکت های فرفری، و اگر همه معادلات بدون ریشه باشند، با کروشه مربع.

"، یعنی معادلات درجه اول. در این درس به بررسی خواهیم پرداخت چیزی که معادله درجه دوم نامیده می شودو نحوه حل آن

معادله درجه دوم چیست؟

مهم!

درجه یک معادله با بالاترین درجه ای که مجهول در آن قرار دارد تعیین می شود.

اگر حداکثر توانی که مجهول در آن "2" باشد، یک معادله درجه دوم دارید.

نمونه هایی از معادلات درجه دوم

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

مهم! شکل کلی یک معادله درجه دوم به صورت زیر است:

A x 2 + b x + c = 0

"الف"، "ب" و "ج" اعداد داده می شوند.

• "a" اولین یا بالاترین ضریب است.
• "ب" ضریب دوم است.
• "c" یک عضو رایگان است.

برای یافتن "a"، "b" و "c" باید معادله خود را با شکل کلی معادله درجه دوم "ax 2 + bx + c = 0" مقایسه کنید.

بیایید تعیین ضرایب "الف"، "ب" و "ج" را در معادلات درجه دوم تمرین کنیم.

5x 2 − 14x + 17 = 0 7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

معادله	شانس
a = 5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم

بر خلاف معادلات خطی، از روش خاصی برای حل معادلات درجه دوم استفاده می شود. فرمول یافتن ریشه.

یاد آوردن!

برای حل یک معادله درجه دوم شما نیاز دارید:

• معادله درجه دوم را به شکل کلی "ax 2 + bx + c = 0" بیاورید. یعنی فقط "0" باید در سمت راست باقی بماند.
• استفاده از فرمول برای ریشه:

بیایید به مثالی از نحوه استفاده از فرمول برای یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم نگاه کنیم. بیایید یک معادله درجه دوم را حل کنیم.

X 2 − 3x − 4 = 0

معادله "x 2 - 3x - 4 = 0" قبلاً به شکل کلی "ax 2 + bx + c = 0" کاهش یافته است و نیازی به ساده سازی اضافی ندارد. برای حل آن، فقط باید اعمال کنیم فرمول یافتن ریشه یک معادله درجه دوم.

اجازه دهید ضرایب "a"، "b" و "c" را برای این معادله تعیین کنیم.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

می توان از آن برای حل هر معادله درجه دوم استفاده کرد.

در فرمول "x 1;2 =" عبارت رادیکال اغلب جایگزین می شود
"b 2 − 4ac" برای حرف "D" و تفکیک نامیده می شود. مفهوم تمایز با جزئیات بیشتری در درس "ممیز چیست" مورد بحث قرار گرفته است.

بیایید مثال دیگری از یک معادله درجه دوم را بررسی کنیم.

x 2 + 9 + x = 7x

در این شکل، تعیین ضرایب "الف"، "ب" و "ج" بسیار دشوار است. اجازه دهید ابتدا معادله را به شکل کلی "ax 2 + bx + c = 0" کاهش دهیم.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 - 6 x + 9 = 0

حالا می توانید از فرمول برای ریشه ها استفاده کنید.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
پاسخ: x = 3

مواقعی وجود دارد که معادلات درجه دوم ریشه ندارند. این وضعیت زمانی رخ می دهد که فرمول دارای یک عدد منفی در زیر ریشه باشد.